【配套K12】高中数学第二章参数方程二第一课时椭圆的参数方程优化练习

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【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学第二章参数方程一曲线的参数方程第2课时

第2课时圆的参数方程[A 级基础巩固]一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案：D 2．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)B.⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数) D.⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)解析：由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．答案：D 3．已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，圆上点A 的坐标是(4，－33)，则参数θ＝( )A.7π6B.4π3C.11π6D.5π3解析：由题意⎩⎨⎧4＝2＋4cos θ，－33＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝12，sin θ＝－32(0≤θ<2π)，解得θ＝5π3. 答案：D4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2. 答案：B5．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2. 所以直线与圆相交，但不过圆心．答案：D二、填空题6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2， y ＝4t 21＋t 2，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数) 7．已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，则|PA |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，故|PA |min ＝9－42＝22－1.答案：22－18．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)消参可得 x 2＋(y ＋1)2＝1，利用圆心到直线的距离d ≤r 得|－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.答案：x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]三、解答题9．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点．(1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解：方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)． (1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan φ＝2确定)，所以1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立．因为－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1，所以当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．10．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. B 级能力提升1．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则2x ＋y 的最小值为________．解析：令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(其中φ由tan φ＝2确定)．所以－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最小值为－2 5.答案：－252．已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α. 所以(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22. 所以|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 3．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值； (2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．解：(1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cosα＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α≤π，故只能sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤ α＋π6≤2π3，即π6≤ α≤π2. 故α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2.。

【配套K12】2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲二1.椭圆的参数方程-含答

1．椭圆的参数方程[对应学生用书P22] 椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．(2)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为(x －h )2a 2＋(y －k )2b 2＝1，则其参数方程为⎩⎨⎧x ＝h ＋a cos φy ＝k ＋b sin φ(φ是参数)．[对应学生用书P22][例1] 已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．[思路点拨] 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．[解] 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得 z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则 |P A |＝(5cos θ－3)2＋(4sin θ)2＝9cos 2θ－30cos θ＋25＝(3cos θ－5)2＝|3cos θ－5|≤8，当cos θ＝－1时，|P A |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5,0).[例2] 已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．[思路点拨] 由条件可知，A ，B 两点坐标已知，点C 在椭圆上，故可设出点P 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．[解] 由题意知A (6,0)、B (0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.消去参数θ得到(x －2)24＋(y －1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段P A 中点Q 的轨迹方程．解：设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3.(θ为参数)∴9(x －3)2＋16(y －3)2＝36，即为所求．3．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点． (1)若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2. 又点A (1，32)在椭圆上，因此14＋(32)2b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得(x ＋12)2＋4y 23＝1. 即为线段F 1P 中点的轨迹方程.[例3] 已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．[思路点拨] 利用参数方程，设出点M 的坐标，并由此得到直线MB 1，MB 2的方程，从而得到P 、Q 两点坐标，求出|OP |，|OQ |，再求|OP |·|OQ |的值．[证明] 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4. 即|OP |·|OQ |＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．4．曲线⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞b ＞0)上一点M 与两焦点F 1、F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2. 证明：∵M 在椭圆上，∴由椭圆的定义，得： |MF 1|＋|MF 2|＝2a ，两边平方，得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝4a 2.在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1||MF 2|＝b 2cos 2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|sin α＝b 2tan α2.[对应学生用书P24]一、选择题1．椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )A ．π B.π2 C ．2πD.32π解析：∵点(－a,0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案：A2．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数) B.⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数) C.⎩⎨⎧x ＝9cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数) D.⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝9sin φ(φ为参数) 解析：把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，则b ＝2，a ＝3，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．答案：B3．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A. 3 B ．－33 C ．2 3D ．－2 3解析：点M 的坐标为(1,23)， ∴k OM ＝2 3. 答案：C4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎨⎧ x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎨⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：由⎩⎨⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0， 1≤y ≤2)，由⎩⎨⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．答案：B 二、填空题5．椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率为________解析：椭圆方程为x 225＋y 216＝1，可知a ＝5，b ＝4，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝c a ＝35.答案：356．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则 2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案：57．(湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32.答案：32 三、解答题8．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(∵y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54·45＝1， ∴交点坐标为(1，255)．9．对于椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1a 倍，再把纵坐标缩短为原来的1b 倍即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．解：设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为a ＝b ＝r ，所以c ＝a 2－b 2＝0，则离心率e ＝ca ＝0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为原点)，求离心率e 的取值范围．解：设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)(a ＞b ＞0)，则椭圆上的点P (a cos θ，b sin θ)，A (a,0)．∵OP ⊥AP ，∴b sin θa cos θ·b sin θa cos θ－a ＝－1，即(a 2－b 2)cos 2θ－a 2cos θ＋b 2＝0. 解得cos θ＝b 2a 2－b 2或cos θ＝1(舍去)．∵a ＞b ，－1≤cos θ≤1，∴0＜b 2a 2－b 2≤1.把b 2＝a 2－c 2代入得0＜a 2－c2c 2≤1.即0＜1e 2－1≤1，解得22≤e ＜1. 故离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.。

【配套K12】高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质优化练习

2.1.2 第1课时椭圆的简单几何性质[课时作业] [A 组基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)解析：方程化为x 2＋y 26＝1，∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D2．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5 解析：由题意得m 2＝2×8＝16， ∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3， ∴e ＝32.故选A. 答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝53.答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0. 其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －－k ＝4，故选B答案：B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 28＝1或y 212＋x 28＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1 解析：由题意知a ＝3，又∵e ＝33，∴c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1.故选D.答案：D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴方程是y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)．答案：(±3，0)8．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则该椭圆的离心率为________．解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c 3＋4c 3＝2a ，∴e ＝c a ＝33. 答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1.(1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ， ∴e ＝c a ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2， ∴c ＝m －4， ∴e ＝c a＝m －4m＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝32，求k 的值．解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234. 故满足条件的k 值为k ＝28或－234.[B 组能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．2m ＋R n ＋R 千米 B.m ＋R n ＋R 千米C ．mn 千米D ．2mn 千米解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，解得a ＝m ＋n2＋R ，c ＝m －n2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22＝R 2＋m ＋n R ＋mn ＝m ＋Rn ＋R .即2b ＝2m ＋R n ＋R .答案：A2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A.23 B.33 C.53 D.73解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，所以|PF 1|＝2b ， ∴|PF 2|＝2a －2b ， ∴|AF 2|＝a －b . 在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得 3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，∴e ＝53.故选C. 答案：C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 4．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b cx 的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M.由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ . 又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ，则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝ca＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB的直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为6，求椭圆的方程．解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为b a，故CD 方程为y ＝b a(x －c )．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 将E ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2， ∴e ＝c a ＝22. (2)由(1)知CD 的方程为y ＝22(x －c )，b ＝c ，a ＝2c . 与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0. ∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D |＝22c x C ＋x D2－4x C x D＝22c c 2＋2c 2 ＝62c 2＝6， ∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2. 故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.。

[配套K12]2018-2019学年高中数学第二章参数方程二圆锥曲线的参数方程第1课时椭

第1课时椭圆A 级基础巩固一、选择题1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1解析：易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，所以x 2＋y 24＝1.答案：A2．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ，得x ＋y －2＝0(－1≤x ≤0，1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.可知两曲线交点有1个．答案：B3．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则点P 的坐标是( )A ．(3，4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝⎛⎭⎪⎫125，125解析：因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.答案：D4．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221 C.29D ．229解析：消去参数θ得椭圆方程为：x 24＋y 225＝1，所以a 2＝25，b 2＝4，所以c 2＝21，所以c ＝21，所以2c ＝221. 答案：B5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：x －y －a ＝0过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过椭圆的右顶点(3，0)．则3－0－a ＝0，所以a ＝3. 答案：A 二、填空题6．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，所以a ＝32.答案：327．已知P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点M 的轨迹方程是________．解析：设P (4cos θ，22sin θ)，M (x ，y )，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋4cos θ2，y ＝0＋22sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ得动点M 的轨迹方程是x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝18．已知A (3，0)，P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的动点．若使|AP |最大，则P 点坐标是________．解析：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则|PA |＝（5cos θ－3）2＋（4sin θ）2＝ 9cos 2θ－30cos θ＋25＝（3cos θ－5）2＝|3cos θ－5|≤8，当cos θ＝－1时，|PA |最大，此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5，0)．答案：(－5，0) 三、解答题9．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)化为普通方程得x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，所以t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.9．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)化为普通方程得x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，所以t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.B 级能力提升1．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．2 6 B ．4 C.2＋ 6D ．2 2解析：椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)，x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2. 答案：D2．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ，(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .因为恒有公共点，所以方程有解．令f (θ)＝b ＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12. 所以－25≤f (θ)≤2 5. 所以－25≤b ≤2 5. 答案：[－25，25]3．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。

[配套K12]2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课

2.1.1 椭圆及其标准方程
课时达标训练
1.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|
等于( )
A.4
B.5
C.8
D.10
【解析】选D.由椭圆+=1,得a=5,
所以|PF1|+|PF2|=2×5=10.
2.已知椭圆中a=,c=,则该椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.因为a=,c=,所以b2=()2-()2=4,而由于焦点不确定,所以D 选项正确.
3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.焦点在y轴上,c=8,2a=20,a=10,所以b2=36.
所以椭圆方程为+=1.
4.椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为________.
【解析】椭圆的标准方程为+=1,
所以a2=16,b2=9,c2=7,且焦点在x轴上,
所以焦点坐标为(-,0),(,0).
答案:(-,0),(,0)
5.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上.
(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.
【解析】(1)椭圆的标准方程为+=1.
(2)由b2=a2-c2,得b2=25-4=21.
故椭圆的标准方程为+=1.。

[配套k12学习]高中数学第二章参数方程二第一课时椭圆的参数方程优化练习新人教A版

二第一课时椭圆的参数方程[课时作业] [A 组基础巩固]1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )A ．π B.π2C ．2πD.32π 解析：∵点(－a,0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案：A2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率为( )A.45B.35 C.34D.925解析：椭圆方程为x 225＋y 216＝1，可知a ＝5，b ＝4，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝c a ＝35.答案：B3．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A ．(0,0)，(0，－8)B ．(0,0)，(－8,0)C ．(0,0)，(0,8)D ．(0,0)，(8,0)解析：椭圆中心(4,0)，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故焦点坐标为(0,0)(8,0)，应选D. 答案：D4．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.5π6解析：M 点的坐标为(2,23)，tan α＝3，α＝π3.答案：A5．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．2 6 B ．4 C.2＋ 6D ．2 2解析：椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)，x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2. 答案：D6．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________．解析：∵a ＝5，b ＝2，c ＝25－4＝21，∴2c ＝221 . ∴焦距为221. 答案：2217．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则 2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案：58．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)，点M 在椭圆上，对应的参数φ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析：当φ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，故点M 的坐标为(1,23)．所以直线OM 的斜率为2 3.答案：2 39．椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．解析：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝3，c ＝5，∴b ＝2，∴椭圆的普通方程为x 232＋y 222＝1，化为参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．10．如图，由椭圆x 24＋y 29＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．解析：椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2cos θ2＝2cos θ，y ＝3sin θ2，消去θ，得x 24＋4y 29＝1，即为点P 的轨迹方程．[B 组能力提升]1．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2－sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t(t为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．答案：B2．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：如图，|AB |＝5，12|AB |·h ＝4，h ＝85. 设点P 的坐标为(4cos φ，3sin φ)，代入3x ＋4y －12＝0中，φ＋cos φ－12|5＝85， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4－1＝23，当2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4－1＝23时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝526＞1，此时无解；当2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4－1＝－23时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝26，此时有2解．∴应选B. 答案：B3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)．答案：324．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________．解析：当t ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M (1,23)，同理N (3，2)．k MN ＝23－21－3＝－2.答案：－25．已知直线l ：x －y ＋9＝0和椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)求椭圆C 的两焦点F 1，F 2的坐标；(2)求以F 1，F 2为焦点且与直线l 有公共点M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为x 212＋y 23＝1，所以a 2＝12，b 2＝3，c 2＝a 2－b 2＝9. 所以c ＝3.故F 1(－3,0)，F 2(3,0)． (2)因为2a ＝|MF 1|＋|MF 2|，所以只需在直线l ：x －y ＋9＝0上找到点M 使得|MF 1|＋|MF 2|最小即可．点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点是F 1′ (－9,6)，所以M 为F 2F 1′与直线l 的交点，则|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1′|＋|MF 2|＝|F 1′F 2| ＝－9－2＋－2＝65，故a ＝3 5.又c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝36. 此时椭圆方程为x 245＋y 236＝1.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和定点A (0，b )，B (0，－b )，C 是椭圆上的动点，求△ABC 的垂心H 的轨迹．解析：由椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)知，椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，所以椭圆上的动点C 的坐标设为(a cos φ，b sin φ)，所以直线AC 的斜率为k AC ＝b sin φ－b a cos φ，A C 边上的垂线的方程为y ＋b ＝－a cos φb sin φ－bx ， ①直线BC 的斜率为k BC ＝b sin φ＋b a cos φ，BC 边上的垂线的方程为y －b ＝－a cos φb sin φ＋bx ， ②由方程①②相乘消去φ可得y 2－b 2＝a 2cos 2φb 22φ－x 2，即a 2b2x 2＋y 2＝b 2，又点C 不能与A 、B 重合，所以y ≠±b ，故H 点的轨迹方程为a 2bx 2＋y 2＝b 2，去掉点(0，b )和点(0，－b )．。

【配套K12】高中数学第二章参数方程2.1参数方程的概念课后训练

参数方程的概念练习1点P (3，b )在曲线1,21x y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩上，则b 的值为( )．A ．－5B ．3C ．5或－3D ．－5或32曲线21,43x t y t ⎧=+⎨=-⎩(t 为参数)与x 轴的交点坐标是( )．A ．(1,4)B ．25,016⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1，－3)D ．25,016⎛⎫± ⎪⎝⎭3动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3 m/s 和4 m/s ，直角坐标系的长度单位是1 m ，点M 的起始位置在点M 0(2,1)处，则点M 的轨迹的参数方程是( )．A ．3,4x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≥0) B ．23,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，t ≥0)C ．2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≥0) D ．32,4x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，t≥0)4参数方程2,sin 21tan tan x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(θ为参数)所表示的曲线是( )．A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线5“由方程(),()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上”是“方程(),()x f t y g t =⎧⎨=⎩是曲线C 的参数方程”的________条件．6点E (x ，y )在曲线15cos ,25sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与最小值分别为________．7已知曲线C 的参数方程是23,21x t y t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系；(2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．8已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0上的动点，求(1)x ＋y 的最值；(2)点P 到直线x ＋y －1＝0的距离d 的最值．参考答案1答案：D 由点P＋1＝3，∴t ＝±2.当t ＝2时，y ＝b ＝－5，当t ＝－2时，y ＝b ＝3.2 答案：B 把34y t +=代入x ＝1＋t 2，得x ＝1＋2316y (+)，即y 2＋6y －16x ＋25＝0.令y ＝0，得25=16x . ∴曲线与x 轴的交点为25,016⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3答案：B 设在时刻t 时，点M 的坐标为M (x ，y )，则23,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数，t ≥0)． 4 答案：D y ＝tan θ－221sin cos sin cos ==tan cos sin sin cos θθθθθθθθθ-- cos2=1sin22θθ- ∴平方得222cos 2=sin 24y θθ， ∵sin 2θ＝2x ，∴cos 2θ＝∴22221=124x y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理，得x 2－y 2＝4. ∴曲线为双曲线．5答案：必要不充分6答案：30＋30－x 2＋y 2＝(1＋5cos θ)2＋(2＋5sin θ)2＝30＋(10cos θ＋20sin θ)＝30＋θ＋α)，其中tan α＝12，α为锐角，故x 2＋y 2的最大值与最小值分别为30＋30－7 答案：解：(1)把点M 1的坐标(0,1)代入23,21,x t y t =⎧⎨=+⎩有203,121,t t =⎧⎨=+⎩解得t ＝0，所以点M 1在曲线C 上．把点M 2的坐标(5,4)代入23,21,x t y t =⎧⎨=+⎩有253,421,t t =⎧⎨=+⎩这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C 上．(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以263,21,t a t =⎧⎨=+⎩解得t ＝2，a ＝9，所以a 的值为9. 8 答案：解：圆方程可化为(x －3)2＋(y －2)2＝1，用参数方程表示为3cos,2sin, xyθθ=+⎧⎨=+⎩由于点P在圆上，∴P(3＋cos θ，2＋sin θ)．则(1)x＋y＝3＋cos θ＋2＋sin θπ4θ⎛⎫+⎪⎝⎭.∴x＋y的最大值为55(2)dπ|4|θ⎛⎫++⎪，显然，当πsin=14θ⎛⎫+⎪⎝⎭时，d取最大值当πsin4θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，d取最小值1.。

精品K12学习高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用优化练习

2.1.2 第2课时椭圆方程及性质的应用[课时作业] [A 组基础巩固]1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5或m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1，若5<m ，则必有公共点， ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k的值为( )A ．±1B ．± 2C ．±33D ．± 3 解析：因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33，选C.答案：C3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a . ∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝ac.又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12.答案：D4．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2，的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：由题意知yx －2的几何意义是椭圆上的点(x ，y )与点 (2,0)两点连线的斜率，∴当直线y ＝k (x －2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时，yx －2＝k 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 2＋y 2＝4整理得(4＋k 2)x 2－4k 2x 2＋4k 2－4＝0.Δ＝(－4k 2)2－4(4＋k 2)(4k 2－4)＝16(4－3k 2)＝0，即k ＝－233(k ＝233舍去)时，符合题意．答案：C5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1， ∴|AF →|＝－2＋n 2＝1＋1＝ 2.故选A. 答案：A6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，那么椭圆的方程是________．解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a ＝2c ，又a －c ＝3，故c ＝3，a ＝23， ∴b 2＝(23)2－3＝9，椭圆的方程为x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝17．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2. 答案：6 28．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →＝0， ∴AM →⊥PM →.∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2， ∴|PM →|min ＝ 3. 答案： 39．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围．解析：(1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．解析：椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋43＝53.[B 组能力提升]1．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若A B →·A F →2＝0，|A B →|＝|A F →2|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.3－ 2 C.3－1 D.2－1解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m .又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62m . 所以椭圆的离心率e ＝2c2a ＝621＋22＝6－ 3.答案：A2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能解析： ∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴b ＝3c ，方程ax 2＋bx －c ＝0，可化为2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74<2， ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．故选A. 答案：A3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案：64．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得c a ＝22，所以e＝22. 答案：225．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得，ax 21＋by 21＝1，①ax 22＋by 22＝1.②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0. 而y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22，则b ＝2a .又∵|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.又由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b. ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入，得a ＝13，b ＝23.∴所求椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.6．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，F 1，F 2为其焦点，一直线过点F 1与椭圆相交于A ，B 两点，且△F 2AB 的最大面积为2，求椭圆的方程．解析：由e ＝22得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1，所以椭圆方程设为x 2＋2y 2＝2c 2. 设直线AB ：x ＝my －c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －c x 2＋2y 2＝2c2，得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2＝0，Δ＝4m 2c 2＋4c 2(m 2＋2)＝4c 2(2m 2＋2) ＝8c 2(m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程的两个根．得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2mc m 2＋2，y 1y 2＝－c2m 2＋2，所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝22c m 2＋1m 2＋2S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝c ·22c ·m 2＋1m 2＋2＝22c2m 2＋1＋1m 2＋1≤22c 2·12＝2c 2，当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号，∴2c 2＝2，c ＝1，所以，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1。

[K12配套]2017_2018学年高中数学第二章参数方程2.3.1椭圆曲线的参数方程学案新人教B版选修4_4

2．3.1 椭圆的参数方程[对应学生用书P31][读教材·填要点]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝b sin t ,0≤t ≤2π.中心在M 0(x 0，y 0)的椭圆x －x 02a ＋y －y 02b ＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos ty ＝y 0＋b sin t 0≤t ≤2π.[小问题·大思维]1．中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的参数方程是什么？提示：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a2＝sin 2φ，x2b 2＝cos 2φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ.即参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ(0≤φ≤2π)．2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？提示：圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(0≤θ≤2π)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(0≤φ≤2π)中的φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA ＝a (或OB ＝b )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．[对应学生用书P32]利用椭圆的参数方程求最值[例1] 已知椭圆x 2100＋y 264＝1有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B ，C ，D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．[精解详析] ∵椭圆方程为x 2100＋y 264＝1， ∴可设A 点的坐标为(10cos α，8sin α)，则|AD |＝20|cos α|，|AB |＝16|sin α|.∴S 矩形＝|AB |·|AD |＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1，∴矩形ABCD 的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2φ的最大值与最小值．解：椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ，0≤φ≤2π.代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ0＝85. 所以z min ＝－89，z max ＝89.[例2] 由椭圆x 24＋y 29＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即M 点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P 的坐标即可求得轨迹．[精解详析] 椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ2，消去θ，得x 24＋4y 29＝1，表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin 2θ＋cos 2θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得(x ＋12)2＋4y23＝1.[例3] 已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B 1，B 2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M 点的坐标，然后用参数表示出|OP |·|OQ |即可．[精解详析] 设M (2cos φ，sin φ)(0≤φ≤2π)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)，则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x .令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．3．求证：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0,0≤θ≤2π)上一点M 与其左焦点F 的距离的最大值为a ＋c (其中c 2＝a 2－b 2)．证明：M ，F 的坐标分别为(a cos θ，b sin θ)，(－c,0)． |MF |2＝(a cos θ＋c )2＋(b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋2ac cos θ＋c 2＋b 2－b 2cos 2θ ＝c 2cos 2θ＋2ac cos θ＋a 2＝(a ＋c cos θ)2.∴当cos θ＝1时，|MF |2最大，|MF |最大，最大值为a ＋c .[对应学生用书P33]一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)的离心率为( )A.25 B.425 C.215D.2125解析：选C 由椭圆的参数方程可知a ＝5，b ＝2. 所以c ＝52－22＝21，故椭圆的离心率e ＝c a ＝215，故选C. 2．曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(0≤θ≤2π)中两焦点间的距离是( )A. 6B. 3 C ．2 6D ．2 3解析：选C 曲线化为普通方程为x 212＋y 218＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.3．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．2 6 B ．4 C.2＋ 6D ．2 2解析：选D 椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)，x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2. 4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ0≤θ≤π上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝⎛⎭⎪⎫125，125解析：选D 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34.所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.二、填空题5．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ≤2π)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12，则m ＝________. 解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1546．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)的左焦点的坐标是________．解析：题中曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1，左焦点为(－4,0)．答案：(－4,0)7．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ0≤θ≤2π，恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ ＝25sin (θ＋φ)(tan φ＝12)．∴－25≤f (θ)≤2 5. ∴－25≤b ≤2 5. 答案：[－25，25] 8．直线x ＋y ＝23被椭圆⎩⎨⎧x ＝23cos φ，y ＝2sin φ0≤φ≤2π截得的弦长为________．解析：把⎩⎨⎧x ＝23cos φ，y ＝2sin φ代入x ＋y ＝23得3cos φ＋sin φ＝ 3.即sin(φ＋π3)＝32，于是φ＝0或φ＝π3，得两交点M (23，0)，N (3，3)，|MN |＝3＋3＝ 6.答案： 6 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y的最大值．解：椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ，0≤φ≤2π.故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ≤2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(32cos φ＋12sin φ)＝2sin(φ＋π3)．所以当φ＝π6时，S 取最大值2.10．P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，求P 到直线l ：3x －4y －24＝0的距离的取值范围．解：设P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，则P 到l 的距离为 d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5＝|122cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－24|5＝24－122cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d 取最大值24＋1225；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 取最小值24－1225. 综上，所求的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫24－1225，24＋1225. 11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴正半轴交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为坐标原点)，求离心率e 的取值范围．解：由题意，知A (a,0)，若存在点P ，使OP ⊥AP ，则点P 必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P (a cos φ，b sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 因为OP ⊥AP ，所以k OP ·k AP ＝－1，即b sin φa cos φ·b sin φa cos φ－a＝－1.所以b 2sin 2φ＋a 2cos 2φ－a 2cos φ＝0，即(a 2－b 2)cos 2φ－a 2cos φ＋b 2＝0. 解得cos φ＝b 2a 2－b 2或cos φ＝1(舍去)．由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，得0<cos φ<1，所以0<b 2a 2－b2<1，把b 2＝a 2－c 2代入，得0<a 2－c 2c <1，即0<1e－1<1，解得22<e <1.。

【配套K12】高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程优化练习

2.2.1 椭圆及其标准方程[课时作业][A 组基础巩固]1．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，则M 到另一个焦点F 2的距离为( ) A ．3B ．6C ．8D ．以上都不对解析：由椭圆的定义知|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－2＝8，故选C.答案：C 2．(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．9解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4，又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3，又m ＞0，故m ＝3.答案：B3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 解析：∵|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8.又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋ (|BF 1|＋|BF 2|)＝16.故选B. 答案：B4．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵π2<2<3π4，∴sin 2>0，cos 2<0 且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y 轴上的椭圆．答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3解析：由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12·mn ＝1，设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，故h ＝33，故选C. 答案：C6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．解析：由c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，∴3b 2＝12，b 2＝4，a 2＝16，∴标准方程为y 216＋x 24＝1. 答案：y 216＋x 24＝1 7．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．该椭圆的方程是________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，c ＝2，|F 1F 2|＝4，由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12，故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 答案：x 216＋y 212＝1 8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．解析：如图所示，|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，由|AF 1|＋|AF 2|＝6，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝36.又在△AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2＝2|AF 1||AF 2|cos 45°，∴36－2|AF 1||AF 2|－8＝2|AF 1||AF 2|，∴|AF 1||AF 2|＝282＋2＝14(2－2)． ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|sin 45° ＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)．答案：7(2－1)9．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解析：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，得c ＝5.设椭圆方程为x 2a ＋y 2a －25＝1，代入P (3,4)，得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45. ∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解析：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 组能力提升]1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <32D ．m <－1或1<m <2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |－1>0，2－m >0，|m |－1<2－m ，解得m <－1或1<m <32.故选C. 答案：C2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍解析：不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，±32，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，则|PF 1|＝732，即|PF 1|＝7|PF 2|，故选A.答案：A 3．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．解析：将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3>5－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理|BC |＝2R sin A ，|AC |＝2R sin B ，|AB |＝2R sin C ，∴|BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10＞8，由椭圆的定义2a ＝10，a ＝5，c ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝9，又C 与AB 不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0) 5．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解析：由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4，∴点B 到定点A ，C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1.∴b ′2＝3.又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)． 6．动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝32内切，与定圆C 2：(x －3)2＋y 2＝8外切，A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)若轨迹C 上的两点P ，Q 满足AP →＝5AQ →，求|PQ |的值．解析：(1)如图，设动圆C 的半径为R ，则|CC 1|＝42－R ，①|CC 2|＝22＋R ，②①＋②得，|CC 1|＋|CC 2|＝62>6＝|C 1C 2|，由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为62的椭圆，其轨迹方程为x 218＋y 29＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1－92，AQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－92. 由AP →＝5AQ →可得⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 1－92＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－92，所以x 1＝5x 2，y 1＝5y 2－92×5＋92＝5y 2－18， ③由P ，Q 是椭圆C 上的两点，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2218＋y 229＝1， ④25x 2218＋y 2－29＝1， ⑤由④、⑤得y 2＝3，将y 2＝3代入③，得y 1＝－3，将y 2＝3代入④，得x 2＝0，所以x 1＝0，所以P (0，－3)，Q (0,3)，|PQ |＝6.。

配套K12高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程优化练习

2.1 曲线与方程[课时作业][A组基础巩固]1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：同时以－x替x，以－y替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．答案：C2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )解析：方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故选B.答案：B3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( ) A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1解析：设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.答案：C4．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2.即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：D5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅ 解析：当0＜a ≤1时，两曲线只有一个交点(如图(1))；当a ＞1时，两曲线有两个交点(如图(2))．答案：A6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0.∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2.从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹方程为________．解析：设圆心C (x ，y )，由题意得x －2＋y －2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －88．已知l 1是过原点O 且与向量a ＝(2，－λ)垂直的直线，l 2是过定点A (0,2)且与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，λ2平行的直线，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是________，轨迹是________．解析：∵kl 1＝2λ，∴l 1：y ＝2λx ； kl 2＝－λ2，l 2：y ＝－λ2x ＋2，∴l 1⊥l 2，故交点在以原点(0,0)，A (0,2)为直径的圆上但与原点不重合，∴交点的轨迹方程为x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0)．答案：x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0) 以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)9．已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．解析：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM |＝12|AB |＝3. 所以M 的轨迹为以原点O 为圆心，以3为半径的圆，故M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝9.10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，求动点P 的轨迹方程．解析：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，∴MN →＝(x ，－2y )，∴OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.[B 组能力提升]1．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝＋2＋42＝5. 设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B2．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是点M 的坐标满足方程y ＝－2x 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：点M 在曲线y 2＝4x 上，其坐标不一定满足方程y ＝－2x ，但当点M 的坐标满足方程y ＝－2x 时，则点M 一定在曲线y 2＝4x 上，如点M (4，－4)．答案：B3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝12，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，则PM →＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，－y )．于是PM →·PN →＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12，化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程．答案：x 2＋y 2＝164．直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2，所以x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254. 因为点M 应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜165. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜165 5．已知等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个顶点是B (3,5)，求另一个顶点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设另一顶点C 的坐标为(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式，得x －2＋y －2＝－2＋－2. 化简，得(x －4)2＋(y －2)2＝10.因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ， C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．①因为B ，C 不重合，所以点C 的坐标不能为(3,5)，②又因为点B 不能为⊙A 的一直径的两个端点，由x ＋32＝4，得x ＝5.点C 的坐标不能为(5，－1)．如图，故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5和⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5y ＝－1除外. 点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，除去点(3,5)，(5，－1)．6．已知直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，求实数m 的取值范围．解析：直线y ＝m (x ＋3)过定点(－3,0)，曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示半圆，由图可知m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.。

【配套K12】高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课后导练

2.1.1 椭圆及其标准方程课后导练基础达标1.椭圆1121322=+y x 上一点到两个焦点的距离和为( )A.26B.24C.134D.132解析：由a 2=13,得2a =213.答案：D2.下列说法中正确的是( )A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段答案：D3.已知椭圆的方程为22216m y x +=1,焦点在x 轴上，则m 的范围是( )A.-4≤m ≤4且m ≠0B.-4＜m ＜4且m ≠0C.m ＞4或m ＜-4D.0＜m ＜4解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以0<m 2<16，即-4<m <4且m ≠0.答案：B4.设P 是椭圆121622y x +=1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是() A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =8.又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3.又|F 1F 2|=2c =21216-=4,∴△PF 1F 2为直角三角形.答案：B5.椭圆121622y x +=1的焦距等于2，则m 的值为( )A.5或3B.8C.5D.16解析：当焦点在x 轴上时，c 2=m -4,即1=m -4,∴m =5.当焦点在y 轴上时，c 2=4-m ,即1=4-m ,∴m =3答案：A6.椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是__________.解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，a 2=41,b 2=91,所以c =659141=-，椭圆的焦点坐标为（±65,0）. 答案：（±65,0） 7.过点(-3，2)且与4922y x +=1有相同焦点的椭圆的方程是__________. 解析：因为c 2=9-4=5,所以设所求椭圆的方程为52222-+a y a x =1. 由点（-3,2）在椭圆上知54922-+a a =1,所以a 2=15. 所以所求椭圆的方程为101522y x +=1. 答案：101522y x +=1 8.若方程ky k x -+-3522=-1表示椭圆，则实数k 的取值范围是__________. 解析：由题意k 必须满足⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-k k k k 350305∴3<k <5且k ≠4答案：3<k <5且k ≠49.过原点的直线与椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，若F (c ,0)是椭圆右焦点，则△FAB 的最大面积是多少？解析：∵S △FAB =S △OAF +S △OBF =21c ·|y A |+21c ·|y B |=21c ·(|y A |+|y B |).而（|y A |+|y B |）max =2b , ∴(S △FAB )max =bc .10.点P 是椭圆4522x y +=1上的一点，F 1、F 2是焦点，且∠F 1PF 2=30°，求△F 1PF 2的面积. 解析：在椭圆4522x y +=1中，a =5,b =2,∴c =22b a -a 2-b 2=1. ∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|=2a =25.|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=20① 由余弦定理知|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos30°=|F 1F 2|2=4② ①-②得(2+3)|PF 1||PF 2|=16,∴|PF 1||PF 2|=16(2-3),∴21PF F S ∆=21|PF 1||PF 2|·sin30°=8-43.综合运用 11.F 1、F 2是椭圆C ：4822y x +=1的焦点，在C 上求满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数？解析：a =22,c =2,e =22, 设P (x 0,y 0),则|PF 1|=22+22x 0,|PF 2|=22-22x 0. ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 即2020)2222()2222(x x -++=16,解得x 0=0. 故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF 1⊥PF 2.12.已知圆C 1：(x +1)2+y 2=1和圆C 2：(x -1)2+y 2=9,求与圆C 1外切而内切于圆C 2的动圆圆心P的轨迹方程.解析：圆C 1的圆心C 1坐标为（-1，0），半径r 1=1, 圆C 2的圆心C 2坐标为（1，0），半径r 2=3.动点P 满足|PC 1|=r +1,|PC 2|=3-r (r 为动圆半径)，∴|PC 1|+|PC 2|=4∴动点P 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长为4的椭圆.故点P 的轨迹方程为3422y x +=1 13.已知P 为椭圆6410022y x +=1上的点，设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=3π，求△F 1PF 2的面积.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=20又∠F 1PF 2=3π 由余弦定理知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=400|)||(|1443πcos ||·||2||||||221212221221PF PF PF PF PF PF F F ∴|PF 1|·|PF 2|=3256 ∴33643πsin ||·||212121==PF PF S PF ΔF拓展探究14.已知椭圆的焦点是F 1(-1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2=120°，求tan∠F 1PF 2. 解：(1)由题设2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|,∴2a =4,又2c =2,∴b =3. ∴椭圆的方程为.13422=+y x (2)设∠F 1PF 2=θ,则∠PF 2F 1=60°-θ. 由正弦定理得.)60sin(||120sin ||sin ||1221θθ-== PF PF F F 由等比定理得.)60sin(120sin ||||sin ||2121θθ-++= PF PF F F ∴.)60sin(234sin 2θθ-+= 整理得5sin θ=3(1+cos θ). ∴,532tan .53cos 1sin ==+θθθ故tan F 1PF 2=tan θ=.11352531532=-⨯。

【配套K12】高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆及其标准方程2课时作业

2.1.2 椭圆及其标准方程（2）一、选择题1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 29＋y 212＝1C.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.又2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：C2．若方程x 2m ＋9＋y 225－m ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是() A. －9<m <25 B. 8<m <25C. 16<m <25D. m >8解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25.答案：B3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：将方程mx 2＋ny 2＝1转化为x 21m ＋y 21n＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上，则有1m >0，1n >0，且1n >1m，即m >n >0.反之，m >n >0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选C.答案：C4．[2014·安徽省合肥六中月考]设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A. 5B. 4C. 3D. 1 解析：本题考查椭圆定义的综合应用．由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 答案：B二、填空题5．[2013·北京东城区检测]已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：本题主要考查椭圆的定义．由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a .又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：86．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.由余弦定理得cos ∠F1PF 2＝22＋42－722×2×4＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°7．设P 为椭圆x 24＋y 29＝1上的任意一点，F 1，F 2为其上、下焦点，则|PF 1||PF 2|的最大值是__________．解析：由已知a ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，式中等号成立．故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9.答案：9三、解答题8．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1得 8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3，即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1. 把M 点的坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 9．在直线l ：x －y ＋9＝0上取一点P ，过点P 以椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为焦点作椭圆． (1)P 点在何处时，所求椭圆长轴最短；(2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F 1(－3,0)、F 2(3,0)．设点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点F ′1的坐标为(x 0，y 0)，当P 在F 2F ′1与直线l 的交点处时，椭圆长轴最短．则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋3＝－1，x 0－32－y 02＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－9，y 0＝6， ∴F ′1(－9,6)．则过F ′1和F 2的直线方程为y －6－6＝x ＋93＋9，整理得x ＋2y －3＝0联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y ＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝4，即P 点坐标为(－5,4)． (2)由(1)知2a ＝|F ′1F 2|＝180， ∴a 2＝45. ∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.。

【配套K12】高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质课后训练

2.1.2 椭圆的几何性质课后训练1．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( )A C．1 2210=，化简的结果是( )A．2212516x y+= B．2212521x y+=C．221254x y+= D．2212521y x+=3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点是(0，－4)，则k的值为( )A．132B．8 C．18D．324．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )A．221916x y+= B．2212516x y+=C．2212516x y+=或2211625x y+= D．2211625x y+=5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A．45B．35C．25D．156．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为的两段，则其离心率为__________．8．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(-，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________．9．如果椭圆22189x yk+=+的离心率为12，求k的值．参考答案1.答案：B2.答案：B 由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(2,0)和(－2,0)之间的距离，又两定点之间的距离为4,4＜10，符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝4，从而可求得b2＝21.3.答案：A 先化成标准方程为221112x yk k+=，又焦点是(0，－4)，可知焦点在y轴上，所以112k k>>，又c＝4，所以11162k k-=，解得132k=.4.答案：C5.答案：B 依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，∴4b2＝a2＋2ac＋c2.∵b2＝a2－c2，∴4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，∴3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得35e=或e＝－1(舍去)．故选B.6.答案：22椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得a=，所以2cea==.7.答案：5-由题意得(a＋c)∶(a－c)11ee+=-e＝5－8.答案：221164x y+=由题意可设该椭圆的标准方程为22221x ya b+=(a＞b＞0)，由已知得2222,ca ba b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆的标准方程为221164x y+=.9.答案：分析：所给椭圆的焦点不确定应分两种情况讨论，利用离心率的定义解题．解：当焦点在x轴上，即k＞1时，b＝3，a=∴c=12cea===，解得k＝4，符合k＞1的条件．当焦点在y轴上，即－8＜k＜1时，a＝3，b=c==∴12cea===，解得54k=-，符合－8＜k＜1的条件．综上所述，k＝4或54 k=-.。

高中数学第二章2.2椭圆2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质优化练习新人教A版选修4

2.2.2 第1课时椭圆的简单几何性质[A 组基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D 2．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆x 2＋y 2m ＝1的离心率为( ) A.32 B. 5 C.32或52D.32或 5 解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝32.故选A. 答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0， tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝53. 答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)有( ) A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0.其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －－k ＝4，故选B 答案：B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 28＝1或y 212＋x 28＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1 解析：由题意知a ＝3，又∵e ＝33，∴c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1.故选D. 答案：D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12， ∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴方程是y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)．答案：(±3，0)8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则该椭圆的离心率为________．解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c3＋4c3＝2a ，∴e ＝c a ＝33. 答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1. (1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝ca ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝ca ＝m －4m＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233， ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝32，求k 的值．解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234. 故满足条件的k 值为k ＝28或－234. [B 组能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2m ＋R n ＋R 千米 B.m ＋R n ＋R 千米C ．mn 千米D ．2mn 千米解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，解得a ＝m ＋n2＋R ，c ＝m －n 2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22 ＝R 2＋m ＋n R ＋mn ＝m ＋R n ＋R . 即2b ＝2m ＋R n ＋R .答案：A 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1， F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A.23 B.33 C.53 D.73解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)， ∴e ＝53.故选C. 答案：C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35， ∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 4．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a. 由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ，则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为6，求椭圆的方程．解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为b a ，故CD 方程为y ＝b a(x －c )．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0. ∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bca ，将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝22. (2)由(1)知CD 的方程为y ＝22(x －c )，b ＝c ，a ＝2c . 与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D |＝22c x C ＋x D 2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2＝62c 2＝6，∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2.故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.。

[K12配套]2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.1椭圆的简单几何性质综合提升案新人教A版选修1_

2-1-2-1 椭圆的简单几何性质综合提升案·核心素养达成 [限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分) 1．椭圆x 2＋6y 2＝6的焦点坐标为A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(－5，0)，(5，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析椭圆的标准方程为x 26＋y 2＝1.∴a 2＝6，b 2＝1.于是c ＝6－1＝5，又焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．答案 C2．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析由2a ＝18，得a ＝9.又a －c ＝2c ，则c ＝3.于是b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72. 故椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.答案 A3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.答案 D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若＝2，则椭圆的离心率是A.32 B.22 C.13 D.12解析 ∵＝2，∴||＝2||.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.答案 D5．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值为A. 3B.23C.83D.32解析 a 2＝2，b 2＝m .故c 2＝2－m .∴e 2＝c 2a 2＝2－m 2＝14.∴m ＝32.答案 D6．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为A.22 B.33 C.12 D.13解析解法一将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ，又在Rt△F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a ，根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33.解法二设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c .所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝ca ＝33. 答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．椭圆焦点在x 轴上，O 为坐标原点，A 是一个顶点，F 是一个焦点，椭圆长轴长为6，且cos ∠OFA ＝23，椭圆的标准方程是________．解析如图，∵椭圆长轴长为6，∴|AF |＝3， ∴cos ∠OFA ＝|OF ||AF |＝c 3＝23，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1.答案x 29＋y 25＝1 8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0＜e ≤32，则长轴长的取值范围为________．解析由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－1a 2，得0＜1－1a 2≤34，从而－1＜－1a 2≤－14.于是1＜a 2≤4.故1＜a ≤2，即2＜2a ≤4. 答案 (2，4]9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．解析由题意，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204.因为＝(x 0＋1，y 0)，＝(x 0，y 0)，所以·＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 24＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，·取得最大值224＋2＋3＝6.答案 6三、解答题(共35分)10．(10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆方程．解析设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若0<b <12，则当y ＝－b 时|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎪⎫－b －322＝7，所以b ＝7－32>12，故矛盾．若b ≥12，则当y ＝－12时，4b 2＋3＝7，b 2＝1，从而a 2＝4.所求方程为x 24＋y 2＝1.11．(10分)已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)，F 2(0，1)，离心率e ＝12.(1)求椭圆方程；(2)若P 是椭圆上的点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解析 (1)∵c ＝1，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆中心在原点，焦点在y 轴上， ∴椭圆的方程为x 23＋y 24＝1.(2)由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4及|PF 1|－|PF 2|＝1知|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝35.12．(15分)如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析解法一设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c ，则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ， △MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以ca ＝53，即e ＝53.。

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二第一课时椭圆的参数方程[课时作业] [A 组基础巩固]1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )A ．π B.π2C ．2πD.32π 解析：∵点(－a,0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案：A2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率为( )A.45B.35 C.34D.925解析：椭圆方程为x 225＋y 216＝1，可知a ＝5，b ＝4，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝c a ＝35.答案：B3．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A ．(0,0)，(0，－8)B ．(0,0)，(－8,0)C ．(0,0)，(0,8)D ．(0,0)，(8,0)解析：椭圆中心(4,0)，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故焦点坐标为(0,0)(8,0)，应选D. 答案：D4．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.5π6解析：M 点的坐标为(2,23)，tan α＝3，α＝π3.答案：A5．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．2 6 B ．4 C.2＋ 6D ．2 2解析：椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)，x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2. 答案：D6．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________．解析：∵a ＝5，b ＝2，c ＝25－4＝21，∴2c ＝221 . ∴焦距为221. 答案：2217．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则 2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案：58．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)，点M 在椭圆上，对应的参数φ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析：当φ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，故点M 的坐标为(1,23)．所以直线OM 的斜率为2 3.答案：2 39．椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．解析：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝3，c ＝5，∴b ＝2，∴椭圆的普通方程为x 232＋y 222＝1，化为参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．10．如图，由椭圆x 24＋y 29＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．解析：椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2cos θ2＝2cos θ，y ＝3sin θ2，消去θ，得x 24＋4y 29＝1，即为点P 的轨迹方程．[B 组能力提升]1．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2－sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t(t为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．答案：B2．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：如图，|AB |＝5，12|AB |·h ＝4，h ＝85. 设点P 的坐标为(4cos φ，3sin φ)，代入3x ＋4y －12＝0中，φ＋cos φ－12|5＝85， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4－1＝23，当2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4－1＝23时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝526＞1，此时无解；当2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4－1＝－23时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝26，此时有2解．∴应选B. 答案：B3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)．答案：324．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________．解析：当t ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M (1,23)，同理N (3，2)．k MN ＝23－21－3＝－2.答案：－25．已知直线l ：x －y ＋9＝0和椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)求椭圆C 的两焦点F 1，F 2的坐标；(2)求以F 1，F 2为焦点且与直线l 有公共点M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为x 212＋y 23＝1，所以a 2＝12，b 2＝3，c 2＝a 2－b 2＝9. 所以c ＝3.故F 1(－3,0)，F 2(3,0)． (2)因为2a ＝|MF 1|＋|MF 2|，所以只需在直线l ：x －y ＋9＝0上找到点M 使得|MF 1|＋|MF 2|最小即可．点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点是F 1′ (－9,6)，所以M 为F 2F 1′与直线l 的交点，则|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1′|＋|MF 2|＝|F 1′F 2| ＝－9－2＋－2＝65，故a ＝3 5.又c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝36. 此时椭圆方程为x 245＋y 236＝1.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和定点A (0，b )，B (0，－b )，C 是椭圆上的动点，求△ABC 的垂心H 的轨迹．解析：由椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)知，椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，所以椭圆上的动点C 的坐标设为(a cos φ，b sin φ)，所以直线AC 的斜率为k AC ＝b sin φ－b a cos φ，A C 边上的垂线的方程为y ＋b ＝－a cos φb sin φ－bx ， ①直线BC 的斜率为k BC ＝b sin φ＋b a cos φ，BC 边上的垂线的方程为y －b ＝－a cos φb sin φ＋bx ， ②由方程①②相乘消去φ可得y 2－b 2＝a 2cos 2φb 2sin 2φ－x 2，即a 2b2x 2＋y 2＝b 2，又点C 不能与A 、B 重合，所以y ≠±b ，故H 点的轨迹方程为a 2bx 2＋y 2＝b 2，去掉点(0，b )和点(0，－b )．。