高考数学总复习 28等差数列练习新人教版

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高考数学总复习28等差数列

C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,„
由此可得a1000=-1.
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
∴a1000=a166×6+4=a4=-a1=-1. 答案:D
忽略数列项数
【典例1】已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N+),求数列 {|an|}的前n项和Tn.
[错解]当n=1时,a1=S1=9;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=11-2n.
由于n=1时,a1=9也满足an=11-2n,
因此an=11-2n. 由11-2n>0,得
n 11. 2
4.与等差数列有关的结论
(1)若数列{an}和{bn}是等差数列,则{man+kbn}仍为等差数列, 其中m,k为常数.
(2)等差数列中依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,„ 成等差数列,且公差为k2d(d是原数列公差).
(3)项数为偶数2n的等差数列{an},有
S2n=n(a1+a2n)=„=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项);
即从第6项开始数列各项为负,那么 Tn=|a1|+|a2|+„+|an| =-(a1+a2+„+an)+2(a1+a2+„+a5) =-Sn+2S5=n2-10n+2×(10×5-52) =n2-10n+50. [剖析]错解中忽视了“项数”,默认了n>5,事实上,n完全可以

高中数学必修练习题等差数列新人教

高中数学必修练习题等差数列新人教文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]高中数学必修⑤练习题(2)----等差数列(B)班级__________ 姓名_________ 学号____ 评分_______一、选择题:（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的( )A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项2．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 , y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x( ) A ．32B ．43 C ．1 D ．343. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ,则前9项和S 9= ( )4.在-1和8之间插入两个数a,b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a=2，b=5B. a=-2，b=5C. a=2，b=-5D. a=-2，b=-55.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )A.d ＞83B.d ＞3C.83≤d ＜3D.83＜d ≤36．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为( )A ．3B ．-3C ．-2D ．-1 7．在等差数列}{n a 中，,0,01110><a a 且||1011a a >，则在n S 中最大的负数为 ( )A ．17SB ．18SC ．19SD ．20S8.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( )9.设函数f(x)满足f(n+1)=2)(2nn f +(n ∈N *)且f(1)=2,则f(20)为( )10．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ,且S 7 >S 8 ,则 ( )A ．在数列{a n }中a 7 最大；B ．在数列{a n }中,a 3 或a 4 最大；C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等；D ．当n ≥8时，a n <0.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.12、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++，则13S =_____13、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是． 14．等差数列｛a n ｝、｛b n ｝、｛c n ｝与｛d n ｝的前n 项和分别记为S n 、T n 、P n 、Q n .n n T S =1315-+n n ，()n n a f n b =；n n c d =2325--n n ，()n n P g n Q =.则()()f ng n 的最小值= 三、解答题：15.(12分)(1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ;(2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；16.(13分)一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大17.(13分)数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=(1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S 。

高考数学专题复习 (28)

数列{1＋2n－1}的前 n 项和为( )
A．1＋2n
B．2＋2n
C．n＋2n－1
D．n＋2＋2n
解：由题意得 an＝1＋2n－1，所以 Sn＝n
＋11－－22n＝n＋2n－1．故选 C．
22－1 1＋32－1 1＋42－1 1＋…＋（n＋11）2－1的值为(
)
A．2（nn＋＋12）
B．34－2（nn＋＋12）
①n（n1＋1）＝
－ n1＋1；
②（2n－1）1（2n＋1）＝
2n1－1－2n1＋1；
③n（n＋1）1（n＋2）＝
n（n1＋1）－（n＋1）1（n＋2）；
④
1 a＋
＝ b
( a－ b)；
⑤（n＋n1）！＝
－（n＋11）！；
⑥Cmn －1＝ ⑦n·n！＝
；！－n！；
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)． 2．数列应用题常见模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为 a 元，每期利率为 r，存期
为 x，则本利和 y＝
．
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为 a 元，每期利率为 r，存
期为 x，则本利和 y＝
．
(3)产值模型
原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，对于时
间 x，总产值 y＝
．
(4)递推型
递推型有 an＋1＝f(an)与 Sn＋1＝f(Sn)两类．
＋190，…，若 bn＝ana1n＋1，数列{bn}的前 n 项和记为 Sn，则 S2 019
＝________．
n（n＋1）
解：由条件得到数列{an}的通项为 an＝
2 n＋1
＝n2，则 an＋1＝n＋2 1，所
以 bn＝ana1n＋1＝n（n4＋1）＝41n－n＋1 1，则 Sn＝4(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1) ＝41－n＋1 1＝n4＋n1，将 n＝2 019 代入得到 S2 019＝2500159．故填2500159．

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一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（）A ．29B ．38C ．40D ．58 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（） A ．8B ．10C ．12D ．143．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（） A ．72B ．90C ．36D ．454．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）A ．6-B ．2-C ．1-D ．06．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．57．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45B ．50C ．60D ．809．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200B ．100C ．90D ．8010．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（）A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项12．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2B ．4C ．8D ．1613．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2B ．43C ．4D ．4-14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（）A ．10B ．145C ．300D ．32015．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（） A ．9B ．5C ．1D ．5916．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19B ．20C ．21D ．2217．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25B ．11C ．10D ．918．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）A ．7B ．9C ．21D ．4219．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2220．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（）．A ．65B ．16C ．15D ．14二、多选题21．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列C ．2020312a <<D ．2020314a << 22．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T23．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.24．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4B ．5C ．7D ．825．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥27．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =28．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值29．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列30．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 2．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=，所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=，所以62612a =⨯=. 故选：C 3．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 4．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 5．A 【分析】转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 6．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 7．C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 8．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 9．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 10．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 11．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项.【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max 22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 13．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

新高考数学等差数列选择题专项训练专项练习附答案

一、等差数列选择题1．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+ B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.2．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（） A ．24 B ．39C ．104D ．52解析：D 【分析】根据等差数列的性质计算求解．【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=．故选：D ．3．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 解析：C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C4．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<解析：D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<.5．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（） A ．13 B ．26 C ．52 D ．56解析：B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=，可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（）A ．25B ．50C ．75D ．100解析：B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m +=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=，从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B.7．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12 B ．20C ．40D ．100解析：B由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B.8．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（） A ．4 B ．6C ．7D ．8解析：A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值【详解】解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =，故选：A9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个解析：B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ．【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-，所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤，当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确．又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．10．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8 B ．13C ．26D ．162解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.11．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝2解析：C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C12．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.13．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（） A ．11 B ．10C ．6D ．3解析：A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =，又{}n a 为等差数列，得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==，则101+92911a a d ==+=；故选：A.14．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤 B ．6斤C ．9斤D ．12斤解析：C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 15．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（） A ．13 B ．14C ．15D ．16解析：A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=，所以1474339a a a a ++==，解得：413a =，故选：A二、等差数列多选题16．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列解析：ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ．【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4， ∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题17．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.18．题目文件丢失！19．题目文件丢失！20．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 21．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.22．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2解析：ABC【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n <-恒成立，由12n -第增，且31222n≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC .【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.23．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（）A ．2490a a +=B ．数列{}n S 中最大值的项是25SC ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列解析：AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+， 1149249,2a d a d =-=-.对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确.对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.24．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（）A ．0d <B ．120a >C ．13n S S ≤D ．当且仅当0n S <时，26n ≥ 解析：AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（）A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21解析：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。

2020年高考数学一轮复习考点29等差数列及其前n项和必刷题理含解析

考点29 等差数列及其前n 项和1、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28 D ．27【答案】C【解析】由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝8，S 6＝54，则数列{a n }的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．92 【答案】A【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝8，S 6＝6a 1＋15d ＝54，解得a 1＝4，d ＝2.故选A.4、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6【答案】D【解析】.由题意得S 11＝11a 1＋a 112＝112a 1＋10d2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.5、已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为 ( ) A ．24 B ．39 C ．104 D ．52【答案】D【解析】因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48.所以a 4＋a 10＝8.其前13项的和为13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×82＝52，故选D.6、在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 020＝( )A ．2 020B ．－2 020C ．4 040D ．－4 040【答案】C【解析】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．∵S 1212－S 1010＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 017，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴S 2 0202 020＝－2 017＋2019×1＝2，∴S 2 020＝4 040.故选C.7、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，公差d ≠0，若S 11＝132，a 3＋a k ＝24，则正整数k 的值为 ( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】A【解析】依题意，得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6＝132，a 6＝12，于是有a 3＋a k ＝24＝2a 6，因此3＋k ＝2×6＝12，k ＝9，故选A.8、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＜2T nB ．b 4＝0C ．T 7＞b 7D ．T 5＝T 6【答案】D【解析】因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9,2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D.9、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9【答案】C【解析】由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7.该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8.故选C.10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升 C.4744升 D ．3733升【答案】B【解析】设该等差数列为{a n }，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B.11、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 3S 5＝25，则a 6a 12＝( )A ．4B ．2 C.14 D ．12【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝25，可得a 1＝d ，故a 6a 12＝a 1＋5d a 1＋11d ＝6d 12d ＝12.故选D.12、下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4【答案】D【解析】{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以{a n }是递增数列，故p 1正确；对p 2，举反例，令a 1＝－3，a 2＝－2，d ＝1，则a 1＞2a 2，故{na n }不是递增数列，p 2不正确；a n n ＝d ＋a 1－dn，当a 1－d ＞0时，{a n n}递减，p 3不正确；a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d,4d ＞0，{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．故p 1，p 4是正确的，选D.13、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则 ( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7【答案】D【解析】由条件，得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1.所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零．所以S n 的最小值为S 7.故选D.14、数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11【答案】B【解析】∵{b n }为等差数列，设其公差为d ，由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B.15、在等差数列{a n }中，已知a 3＝5，a 7＝－7，则S 10的值为( ) A ．50 B ．20 C ．－70 D ．－25【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d .∵a 7－a 3＝4d ＝－12，∴d ＝－3，∴a 10＝a 7＋3d ＝－16，a 1＝a 3－2d ＝11，∴S 10＝10a 1＋a 102＝－25.故选D.16、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列 D ．{d 2n }是等差数列【答案】A【解析】作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|， ∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|.设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)， ∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]， ∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列．17、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0的n 的最大值为________．【答案】19．【解析】∵a 11a 10＜－1，且S n 有最大值， ∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10＞0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0，故使得S n ＞0的n 的最大值为19.18、若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为________．【答案】23．【解析】因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，所以使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.19、在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 【答案】99【解析】∵a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99.20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．【答案】21【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该女最后一天织21尺布．21、已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝________. 【答案】－1【解析】因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11，即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋10d )，解得a 1＝－1.22、设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．【答案】1941【解析】因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.23、设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 【答案】130【解析】由a n ＝2n －10(n ∈N *)，知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0；当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.24、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】(1) 2n ＋2 (2) －n 2＋10n T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.25、记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．【答案】(1) (－2)n. (2) S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 11－q n 1－q ＝－23＋(－1)n·2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n·2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n·2n ＋13＝2S n，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．26、在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)若数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．【答案】(1)n ＋83. (2) －1或1【解析】(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1·(a 1＋7d )，解得a 1＝9d . 由数列{a n }的前10项和为45得10a 1＋45d ＝45，即90d ＋45d ＝45，所以d ＝13，a 1＝3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝n ＋83.(2)因为b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1，即T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 1＋nd ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19－19＋n ＝19－19＋n，因此1d2＝1，解得d ＝－1或d ＝1.故数列{a n }的公差为－1或1.27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 【答案】(1) a ＝2，k ＝10 (2)n n ＋32【解析】(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)，得S n ＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32.28、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2n －1 n2(2) 存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋16d ＝34，3a 1＋3d ＝9，解得a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. (2)由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t，要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须有2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t，移项得2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ＝6＋6t －3－t3＋t 1＋t，整理得m ＝3＋4t －1. 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2,3,5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．。

人教版高中数学高考总复习等差数列习题及详解及参考答案

高中数学高考总复习等差数列习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·宁夏)一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14 B.12 C.13D.23[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b 2b ＝x ＋2x，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13. 2．(文)(2010·茂名市模考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 4等于( )A.45B.15C.120D.56[答案] A[解析] ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＝45，故选A. (理)已知等差列{a n }共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则a 1004＝( ) A ．1 B ．2 C.1502D.1256[答案] B[解析] 依题意得2008(a 1＋a 2008)2＝2010，a 1＋a 2008＝1005502，1004(a 2＋a 2008)2＝2，a 2＋a 2008＝1251，故a 2－a 1＝－1003502＝d (d 为公差)，又a 2＋a 2008＝2a 1005，∴a 1005＝1502，a 1004＝a 1005－d ＝1502＋1003502＝2.3．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] 由等差数列性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8. ∴m ＝8.故选B.(理)(2010·温州中学)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．43D ．27[答案] B[解析] 由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45.4．(2010·浙江省金华十校)等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝( ) A ．15 B ．30 C ．45D ．60[答案] A[解析] 解法1：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2S 9＝5知，⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝29a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－127d ＝427，∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝15.解法2：由等差数列性质知，{S n n }成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D＝227， ∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15. 5．(文)(2010·福建福州一中)设数列{a n }的通项公式为a n ＝20－4n ，前n 项和为S n ，则S n 中最大的是( )A ．S 3B ．S 4或S 5C ．S 5D ．S 6[答案] B[解析] 由a n ＝20－4n ≥0得n ≤5，故当n >5时，a n <0，所以S 4或S 5最大，选B.(理)(2010·山师大附中)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18[答案] B[解析] ∵3d ＝(a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5)＝99－105＝－6，∴d ＝－2，由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39，∴a n ＝39－2(n －1)＝41－2n ，由a n ≥0，n ∈N 得，n ≤20，∴a 20>0，a 21<0，故选B.6．(文)(2010·辽宁锦州)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] ∵2a 3－a 72＋2a 11＝0，{a n }为等差数列， ∴a 72＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵{b n }为等比数列，b 7＝a 7，∴a 7≠0，∴a 7＝4， ∴b 7＝4，∴b 6b 8＝b 72＝16.(理)(2010·重庆市)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3、S 9、S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－12S 3B ．S 6＝－2S 3C ．S 6＝12S 3D ．S 6＝2S 3[答案] C[解析] ∵S 3、S 9、S 6成等差数列，∴2S 9＝S 3＋S 6， ∵S n 是等比数列{a n }前n 项的和，∴2q 9＝q 3＋q 6，∵q ≠0，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，q 3＝1时，S 3、S 9、S 6不成等差数列，应舍去，∴q 3＝－12，∴S 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝S 3(1＋q 3)＝12S 3. 7．(2010·重庆中学)数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2010＝( )A ．1B ．3C ．7D ．9[答案] D[解析] 由条件知，a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，……可见{a n }是周期为6的周期数列，故a 2010＝a 6＝9.8．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2010，其前n 项的和为S n .若S 20092009－S 20072007＝2，则S 2010＝( )A ．－2010B ．－2008C ．2009D ．2010[答案] A[解析] ∵S 20092009－S 20072007＝2，∴(a 1＋1004d )－(a 1＋1003d )＝2，∴d ＝2， ∴S 2010＝2010a 1＋2010×20092d ＝－2010.9．(文)将正偶数按下表排成4列：则2010在( A ．第502行，第1列 B ．第502行，第2列 C ．第252行，第4列D ．第251行，第4列 [答案] C[解析] 2010是第1005个偶数，又1005＝8×125＋5，故前面共排了125×2＋1＝251行，余下的一个数2010应排在第4列． (理)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2011的值是( ) A ．2008×2009 B ．2009×2010 C ．2010×2011D ．2011×2012 [答案] C[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1 a 2＝1×2 a 3＝2×3 a 4＝3×4 猜想a 2011＝2010×2011，故选D. 解法2：a n －a n －1＝2(n －1)， a n －1－a n －2＝2(n －2)， …a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]．＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)．∴a 2011＝2010×2011.10．在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x 上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n＝⎝⎛⎭⎫34d，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.二、填空题11．一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．[答案] 11[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝26，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝110，∴a 1＋a n ＝26＋1104＝34，又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝187，∴n ＝11.12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，设b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n ＝________.[答案]4nn ＋1[解析] 由条件知a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4n n ＋1.13．(09·上海)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝_______________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0. ∵{a n }为等差数列且d ≠0，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧 ∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.14．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为______．a 11 a 12 … a 19 a 21 a 22 … a 29 … … … … a 91 a 92 … a 99[答案] 405[解析] S ＝(a 11＋…＋a 19)＋…＋(a 91＋…＋a 99)＝9(a 15＋a 25＋…＋a 95)＝9×9×a 55＝405. 三、解答题15．(09·安徽)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .[解析] (1)a 1＝S 1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n . 又a 1＝4适合上式，∴a n ＝4n (n ∈N *)．将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1， ∴T 1＝b 1＝1.当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ， ∴b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴b n ＝12b n －1，∴b n ＝21－n .(2)解法1：由c n ＝a n 2·b n ＝n 2·25－n ，得c n ＋1c n ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，即c n ＋1<c n .解法2：由c n ＝a n 2·b n ＝n 2·25－n得，c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n .16．(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a n 2－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[分析] (1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于a 1、d 的方程组解出a 1和d ，代入通项公式及前n 项和公式可求得a n ，S n .(2)由a n 可得b n ，观察b n 的结构特点可裂项求和．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1；S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a n 2－1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．17．(文)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a n 2＋n －4. (1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[分析] 利用a n 与S n 的关系及条件式可消去S n (或a n )，得到a n 与a n －1(或S n 与S n －1)的关系式，考虑待求问题，故应消去S n .[解析] (1)当n ＝1时，有2a 1＝a 12＋1－4，即a 12－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a n －12＋n －5，又2S n ＝a n 2＋n －4，两式相减得2a n ＝a n 2－a n －12＋1，即a n 2－2a n ＋1＝a n －12, 也即(a n －1)2＝a n －12，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，所以a 2＝－2这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2. (理)(2010·新课标全国)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n－1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1. ＝23(4n －1)－n ·22n ＋1 ＝13(22n ＋1－2－3n ·22n ＋1) ＝13[(1－3n )2n ＋1－2] ∴S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。

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(2)证明：由(1)得 Sn＝n2＋2 2n＝n(n＋1)，则 bn＝Snn＝n＋1，故 bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 Tn＝n2＋2n＋1＝nn＋ 2 3.
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(2)a3，a6，a9，…，a3n 构成首项为 a3＝9，公差为 9 的等差数列，则 a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝9n＋12n(n－1)×9＝92(n2＋n)．
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由于 d 的符号未知，所以 S10 不一定最大，故②错误； S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，所以 S7＝S12，故③正确； S20＝20a1＋190d＝10d，不一定为 0，故④错误．所以一定正确的是①③.
(2)当公差 d>0 时，an＝4n－9(n∈N*)．当 n≤2 时，an＝4n－9<0，T1＝－a1＝5，T2＝－a1－a2＝6. 设数列{an}的前项和为 Sn，则 Sn＝－5＋24n－9×n＝2n2－7n. 当 n≥3 时，an＝4n－9>0，
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13．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a2＝－3，S5 ＝－10，则 a5＝________，Sn 的最小值为________．
0 －10 解析：设等差数列{an}的公差为 d，因为 a2＝－3，S5＝－10，

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高中数学高考总复习等差数列习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·宁夏)一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14 B.12 C.13D.23[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b 2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13. 2．(文)(2010·茂名市模考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 4等于( )A.45B.15C.120D.56[答案] A[解析] ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＝45，故选A. (理)已知等差列{a n }共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则a 1004＝( )A ．1B ．2 C.1502D.1256[答案] B[解析] 依题意得2008(a 1＋a 2008)2＝2010，a 1＋a 2008＝1005502，1004(a 2＋a 2008)2＝2，a 2＋a 2008＝1251，故a 2－a 1＝－1003502＝d (d 为公差)，又a 2＋a 2008＝2a 1005，∴a 1005＝1502，a 1004＝a 1005－d ＝1502＋1003502＝2.3．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] 由等差数列性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8. ∴m ＝8.故选B.(理)(2010·温州中学)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．43D ．27[答案] B[解析] 由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45.4．(2010·浙江省金华十校)等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝( )A ．15B ．30C ．45D ．60[答案] A[解析] 解法1：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2S 9＝5知，⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝29a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－127d ＝427，∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝15.解法2：由等差数列性质知，{S n n }成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D ＝227，∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15.5．(文)(2010·福建福州一中)设数列{a n }的通项公式为a n ＝20－4n ，前n 项和为S n ，则S n 中最大的是( )A ．S 3B ．S 4或S 5C ．S 5D ．S 6[答案] B[解析] 由a n ＝20－4n ≥0得n ≤5，故当n >5时，a n <0，所以S 4或S 5最大，选B. (理)(2010·山师大附中)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18[答案] B[解析] ∵3d ＝(a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5)＝99－105＝－6，∴d ＝－2，由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39，∴a n ＝39－2(n －1)＝41－2n ，由a n ≥0，n ∈N 得，n ≤20，∴a 20>0，a 21<0，故选B.6．(文)(2010·辽宁锦州)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] ∵2a 3－a 72＋2a 11＝0，{a n }为等差数列， ∴a 72＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵{b n }为等比数列，b 7＝a 7，∴a 7≠0，∴a 7＝4， ∴b 7＝4，∴b 6b 8＝b 72＝16.(理)(2010·重庆市)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3、S 9、S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－12S 3B ．S 6＝－2S 3C ．S 6＝12S 3D ．S 6＝2S 3[答案] C[解析] ∵S 3、S 9、S 6成等差数列，∴2S 9＝S 3＋S 6， ∵S n 是等比数列{a n }前n 项的和，∴2q 9＝q 3＋q 6，∵q ≠0，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，q 3＝1时，S 3、S 9、S 6不成等差数列，应舍去，∴q 3＝－12，∴S 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝S 3(1＋q 3)＝12S 3.7．(2010·重庆中学)数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2010＝( )A ．1B ．3C ．7D ．9[答案] D[解析] 由条件知，a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，……可见{a n }是周期为6的周期数列，故a 2010＝a 6＝9.8．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2010，其前n 项的和为S n .若S 20092009－S 20072007＝2，则S 2010＝( ) A ．－2010 B ．－2008 C ．2009D ．2010[答案] A[解析] ∵S 20092009－S 20072007＝2，∴(a 1＋1004d )－(a 1＋1003d )＝2，∴d ＝2， ∴S 2010＝2010a 1＋2010×20092d ＝－2010.9．(文)将正偶数按下表排成4列：则2010在(A ．第502行，第1列 B ．第502行，第2列 C ．第252行，第4列D ．第251行，第4列[答案] C[解析] 2010是第1005个偶数，又1005＝8×125＋5，故前面共排了125×2＋1＝251行，余下的一个数2010应排在第4列．(理)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2011的值是( ) A ．2008×2009 B ．2009×2010 C ．2010×2011D ．2011×2012[答案] C[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1 a 2＝1×2 a 3＝2×3 a 4＝3×4猜想a 2011＝2010×2011，故选D. 解法2：a n －a n －1＝2(n －1)， a n －1－a n －2＝2(n －2)， …a 3－a 2＝2×2， a 2－a 1＝2×1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]．＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)．∴a 2011＝2010×2011.10．在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x 上的点列(x n ，y n )，有y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.二、填空题11．一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．[答案] 11[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝26，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝110，∴a 1＋a n ＝26＋1104＝34，又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝187，∴n ＝11.12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，设b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n ＝________.[答案]4nn ＋1[解析] 由条件知a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4n n ＋1. 13．(09·上海)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝_______________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0. ∵{a n }为等差数列且d ≠0，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧 ∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.14．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为______．a 11 a 12 … a 19 a 21 a 22 … a 29 … … … … a 91 a 92 … a 99[答案] 405[解析] S ＝(a 11＋…＋a 19)＋…＋(a 91＋…＋a 99)＝9(a 15＋a 25＋…＋a 95)＝9×9×a 55＝405.三、解答题15．(09·安徽)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .[解析] (1)a 1＝S 1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n . 又a 1＝4适合上式，∴a n ＝4n (n ∈N *)．将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1， ∴T 1＝b 1＝1.当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ， ∴b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴b n ＝12b n －1，∴b n ＝21－n .(2)解法1：由c n ＝a n 2·b n ＝n 2·25－n ，得c n ＋1c n ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，即c n ＋1<c n .解法2：由c n ＝a n 2·b n ＝n 2·25－n得，c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2] ＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n .16．(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a n 2－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[分析] (1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于a 1、d 的方程组解出a 1和d ，代入通项公式及前n 项和公式可求得a n ，S n .(2)由a n 可得b n ，观察b n 的结构特点可裂项求和．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1；S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a n 2－1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．17．(文)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a n 2＋n －4. (1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[分析] 利用a n 与S n 的关系及条件式可消去S n (或a n )，得到a n 与a n －1(或S n 与S n －1)的关系式，考虑待求问题，故应消去S n .[解析] (1)当n ＝1时，有2a 1＝a 12＋1－4，即a 12－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a n －12＋n －5，又2S n ＝a n 2＋n －4，两式相减得2a n ＝a n 2－a n －12＋1，即a n 2－2a n ＋1＝a n －12, 也即(a n －1)2＝a n －12，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，所以a 2＝－2这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2. (理)(2010·新课标全国)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n－1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1.＝23(4n －1)－n ·22n ＋1 ＝13(22n ＋1－2－3n ·22n ＋1) ＝13[(1－3n )2n ＋1－2] ∴S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。

高考数学一轮复习第28讲等差数列精品试题新人教版

高考数学一轮复习第28讲等差数列精品试题新人教版班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15解析：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)， ∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝13p .∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝133p .答案：C2．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．51解析：∵a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，则由a 1＝13得d ＝23，令a n ＝33＝13＋(n －1)×23，可解得n＝50.故选C.答案：C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.故选C.答案：C4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( ) A.16 B.13 C.35 D.56解析：∵{a n }是等差数列，∴a5a3＝a2＋a82a1＋a52＝S56(a1＋a5)×52×5＝56S5S5＝56，故选D.答案：D5．(2011·济宁市模拟)已知数列{a n}为等差数列，若a11a10<－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为( )A．11 B．19C．20 D．21解析：∵a11a10<－1，且S n有最大值，∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，∴S19＝19(a1＋a19)2＝19·a10>0，S20＝20(a1＋a20)2＝10(a10＋a11)<0.所以使得S n>0的n的最大值为19，故选B.答案：B6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6200920102011A．1003 B．1005C．1006 D．2011解析：依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a 2010＝a 2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a 2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a 2009＝503，a 2011＝－503，a 2009＋a 2010＋a 2011＝1005，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：S 9＝9a 5＝－9，∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72. 答案：－728．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则a 6b 6＝________.解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论a n b n ＝A 2n －1B 2n －1求得．答案：6179．设f (x )＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x ＋2，∴f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x ，∴f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋12·2x2＋2x ＝1＋12·2x2＋2x＝22. 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋ [f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝3 2. 答案：3 210．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S n n2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 4－a 2＝8，∴d ＝4.又∵a 3＋a 5＝26，即2a 1＋6d ＝26，∴a 1＝1. ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，则T n ＝S n n2＝2－1n<2.∵对一切正整数T n ≤M 恒成立，∴M ≥2. ∴M 的最小值为2. 答案：2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知：f (x )＝－4＋1x2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ，－1a n ＋1在曲线y ＝f (x )上(n ∈N *)，且a 1＝1，a n >0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，问：当b 1为何值时，数列{b n }是等差数列．解：(1)由y ＝－4＋1x2，点P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ，－1a n ＋1在曲线y ＝f (x )上，∴－1a n ＋1＝f (a n )＝－4＋1a 2n，并且a n >0，∴1a n ＋1＝4＋1a 2n，∴1a 2n ＋1－1a 2n＝4(n ∈N *)．数列{1a 2n }是等差数列，首项1a 21＝1，公差d 为4，∴1a 2n＝1＋4(n －1)＝4n －3，a 2n ＝14n －3. ∵a n >0，∴a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由a n ＝14n －3，T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3得 (4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)，T n ＋14n ＋1＝T n4n －3＋1. 令c n ＝T n4n －3，如果c 1＝1，此时b 1＝T 1＝1，∴c n ＝1＋(n －1)×1＝n ，n ∈N *，则T n ＝(4n －3)n ＝4n 2－3n ，n ∈N *，∴b n ＝8n －7，n ∈N *，∴b 1＝1时数列{b n }是等差数列．12．数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，已知a 3＝95. (1)求a 1，a 2；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝13n (a n ＋t )(n ∈N *)，且{b n }为等差数列？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)n ＝2时，a 2＝3a 1＋32－1n ＝3时，a 3＝3a 2＋33－1＝95，∴a 2＝23.∴23＝3a 1＋8，∴a 1＝5. (2)当n ≥2时，b n －b n －1＝13n (a n ＋t )－13n －1(a n －1＋t )＝13n (a n ＋t －3a n －1－3t ) ＝13n (3n －1－2t )＝1－1＋2t 3n . 要使{b n }为等差数列，则必须使1＋2t ＝0，∴t ＝－12，即存在t ＝－12，使{b n }为等差数列．13．设f (x )＝ax x ＋a(a ≠0)，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，又b n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求数列{b n }的前n 项和．分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{b n }前n 项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．解：(1)证明：a n ＋1＝f (a n )＝a ·a n a n ＋a ＝11a ＋1a n， ∴1a n ＋1＝1a ＋1a n，即1a n ＋1－1a n ＝1a.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1a 的等差数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)1a.整理得a n ＝a(a －1)＋n.(3)b n ＝a n ·a n ＋1＝a(a －1)＋n ·a (a －1)＋n ＋1＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋a －1－1n ＋a .设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝a 2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －11＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋a －12＋a ＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋a －1－1n ＋a＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1n ＋a ＝a 2·n ＋a －a a (n ＋a )＝na n ＋a . ∴数列{b n }的前n 项和为nan ＋a.。

广西高考数学一轮复习考点规范练29 等差数列及其前n项和文-人教版高三全册数学试题

考点规范练29 等差数列及其前n 项和一、基础巩固1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 8=6,则S 9等于( )A.272B.27C.54D.1089=9(a 1+a 9)2=9(a 2+a 8)2=27.2.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( )A.172B.192C.10D.12公差d=1,S 8=4S 4,∴8(a 1+a 8)2=4×4(a 1+a 4)2, 即2a 1+7d=4a 1+6d ,解得a 1=12.∴a 10=a 1+9d=12+9=192.3.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A.-12B.-10C.10D.123S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d ,则3a 1+3d=d ,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.4.已知等差数列{a n }的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为( )A.110B.200C.210D.260{a n }的前n 项和为S n .∵在等差数列{a n }中,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列,又S 4=30,S 8=100,∴30,70,S 12-100成等差数列,∴2×70=30+S 12-100,解得S 12=210.5.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 是( )A.18B.19C.20D.211+a 3+a 5=105⇒a 3=35,a 2+a 4+a 6=99⇒a 4=33,则{a n }的公差d=33-35=-2,a 1=a 3-2d=39,S n =-n 2+40n ,因此当S n 取得最大值时,n=20. 6.在等差数列{a n }中,若aa a 2a 是一个与n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( ) A.{1}B.{1,12}C.{12}D.{0,1,12}.若aa a 2a =1,则数列{a n }是一个常数列,满足题意;若a aa 2a =12, 设等差数列的公差为d ,则a n =12a 2n =12(a n +nd ),化简,得a n =nd ,即a 1+(n-1)d=nd ,化简,得a 1=d ,也满足题意;若aa a 2a =0,则a n =0,不符合题意.故选B .7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+8×72×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.8.在数列{a n}中,其前n项和为S n,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S15=.S n+1+S n-1=2(S n+S1),得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),则数列{a n}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以S15=1+2×14+14×132×2=211.9.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1a a}成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以1a a −1a a-1=2.又1a1=1a1=2,故{1a a}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)可得1a a =2n,S n=12a.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12a −12(a-1)=a-1-a2a(a-1)=-12a(a-1).当n=1时,a 1=12不适合上式.故a n ={12,a =1,-12a (a -1),a ≥2.10.在等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3,解得a 1=1,d=25.所以{a n }的通项公式为a n =2a +35. (2)由(1)知,b n =[2a +35].当n=1,2,3时,1≤2a +35<2,b n =1; 当n=4,5时,2≤2a +35<3,b n =2;当n=6,7,8时,3≤2a +35<4,b n =3; 当n=9,10时,4≤2a +35<5,b n =4.所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.二、能力提升11.若数列{a n }满足:a 1=19,a n+1=a n -3(n ∈N *),则当数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A.6B.7C.8D.9a 1=19,a n+1=a n -3,∴数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列. ∴a n =19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n }的前k 项和数值最大,则有{a a ≥0,a a +1≤0,k ∈N *. ∴{22-3a ≥0,22-3(a +1)≤0.∴193≤k ≤223. ∵k ∈N *,∴k=7.∴满足条件的n 的值为7.12.(2018安徽皖中名校联盟联考)已知数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,且2a 1+3a 3=S 6,给出以下结论:①a 10=0;②S 10最小;③S 7=S 12;④S 19=0.其中一定正确的结论是( )A.①②B.①③④C.①③D.①②④{a n }的公差为d ,则2a 1+3a 1+6d=6a 1+15d ,即a 1+9d=0,a 10=0,故①正确;若a 1>0,d<0,则S 9=S 10,且它们为S n 的最大值,故②错误; S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,即S 7=S 12,故③正确;S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10=0,故④正确.13.已知数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n =a n a n+1a n+2(n ∈N *),设S n 为{b n }的前n 项和.若a 12=38a 5>0,则当S n 取得最大值时,n 的值等于 .{a n }的公差为d ,由a 12=38a 5>0,得a 1=-765d ,a 12<a 5,即d<0,所以a n =(a -815)d ,从而可知当1≤n ≤16时,a n >0; 当n ≥17时,a n <0.从而b 1>b 2>…>b 14>0>b 17>b 18>…,b 15=a 15a 16a 17<0,b 16=a 16a 17a 18>0, 故S 14>S 13>…>S 1,S 14>S 15,S 15<S 16,S 16>S 17>S 18>…. 因为a 15=-65d>0,a 18=95d<0,所以a 15+a 18=-65d+95d=35d<0,所以b 15+b 16=a 16a 17(a 15+a 18)>0,所以S 16>S 14,所以S n 中S 16最大.故答案为16.14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2<0,且1,a 2,81成等比数列,a 3+a 7=-6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a a a }的前n 项和T n 取得最小值时n 的值.∵a 3+a 7=-6=2a 5,∴a 5=-3.∵1,a 2,81成等比数列,∴a 22=1×81.又a 2<0,∴a 2=-9.∴等差数列{a n }的公差d=a 5-a 25-2=-3-(-9)5-2=2.∴a n =a 2+(n-2)×2=2n-13.(2)∵S n =a (-11+2a -13)2=n 2-12n. ∴a a a =n-12.由n-12≤0,解得n ≤12.因此,当n=11或n=12时,{a a a }的前n 项和T n 取得最小值. 15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项公式a n ;(2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =aa a +a ,求非零常数c.∵数列{a n }为等差数列,∴a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117,∴a 3,a 4是方程x 2-22x+117=0的两实根.又公差d>0,∴a 3<a 4,∴a 3=9,a 4=13,∴{a 1+2a =9,a 1+3a =13,∴{a 1=1,a =4.∴通项公式a n =4n-3. (2)由(1)知a 1=1,d=4,∴S n =na 1+a (a -1)2d=2n 2-n=2(a -14)2−18. ∴当n=1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n2-n ,∴b n =a a a +a =2a 2-a a +a , ∴b 1=11+a ,b 2=62+a ,b 3=153+a .∵数列{b n }是等差数列,∴2b 2=b 1+b 3,即62+a ×2=11+a +153+a ,∴2c 2+c=0,∴c=-12(c=0舍去),故c=-12.三、高考预测16.已知各项均为正数的等差数列{a n }满足:a 4=2a 2,且a 1,4,a 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有a n 的和:①20≤n ≤116;②n 能够被5整除.∵a 4=2a 2,且a 1,4,a 4成等比数列, ∴{a 1+3a =2(a 1+a ),a 1·(a 1+3a )=16,解得{a 1=2,a =2. ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,+1=20.∴满足条件的n组成等差数列{b n},且b1=20,d=5,b n=115,∴项数为115-205∴{b n}的所有项的和为S20=20×20+1×20×19×5=1350.2又a n=2n,即a n=2b n,∴满足条件的所有a n的和为2S20=2×1350=2700.。

高三数学一轮复习课时作业28 等差数列B 新人教A版理

[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．[2011·昌平二模] 数列{a n }对任意n ∈N *，满足a n ＋1＝a n ＋3，且a 3＝8，则S 10等于( )A ．155B ．160C ．172D ．2402．[2011·福州质检] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．2603．[2011·佛山一模] 在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．244．[2011·辽宁卷] S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 能力提升 5．[2011·汕头一模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A.12B ．1C ．2D ．36．[2011·漳州质检] {a n }是首项为1，公差为2的等差数列，令b n ＝a 3n ，则数列{b n }的一个通项公式是( )A ．b n ＝3n ＋2B ．b n ＝4n ＋1C ．b n ＝6n －1D ．b n ＝8n －37．[2011·江西卷] 设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．[2011·张家界模拟] 已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.10．[2011·东城综合] 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.11．[2011·海淀二模] 已知数列{a n }满足a 1＝t ，a n ＋1－a n ＋2＝0(t ∈N *，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t )，则f (t )＝________.12．(13分)[2012·豫南九校联考] 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .难点突破13．(12分)[2011·全国卷] 设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝ k ＝1nb k ，证明：S n ＜1.课时作业(二十八)B【基础热身】1．A [解析] 由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差d ＝3的等差数列，由a 3＝8，得a 1＋2d ＝8，a 1＝2，所以S 10＝10×2＋10×92×3＝155，故选A.2．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 9＋a 11＝30，得 a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30，即a 1＋6d ＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝130，故选C.3．B [解析] 由已知，有a 1＋(k －1)d ＝7a 1＋7×62d ，把a 1＝0代入，得k ＝22，故选B.4．－1 [解析] 由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d 解得4(a 1＋3d )＋2d ＝0，即2a 4＋d＝0，所以a 4＋(a 4＋d )＝0，即a 5＝－a 4＝－1.【能力提升】5．C [解析] 由S 33－S 22＝1，得13(3a 1＋3d )－12(2a 1＋d )＝1，解得d ＝2，故选C.6．C [解析] 由已知，得{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列{b n }的前4项为5,11,17,23，即数列{b n }是首项b 1＝5，公差为6的等差数列，它的一个通项公式为b n ＝6n －1，故选C.7．B [解析] 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0， ∴a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B. 8．C [解析] 方法1：S 3＝S 11得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列性质可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．方法2：由S 3＝S 11可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n－1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，当n ＝7时S n 最大．方法3：根据a 1＝13，S 3＝S 11，这个数列的公差不等于零，说明这个数列的和先是单调递增的，然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当S 3＝S 11时，只有n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．9．4 [解析] 因为对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，所以a n ＋1－a n ＝a 1＝19，数列{a n }是以a 1＝19为首项，公差为19的等差数列，故a 36＝19＋(36－1)×19＝4.10．20 [解析] 由调和数列的定义，得x n ＋1－x n ＝d ，即数列{x n }是等差数列，则x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11， ∴x 1＋x 2＋…＋x 20＝10(x 1＋x 20)＝200，故x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.11.⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t4，t 为偶数，t ＋124，t 为奇数[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝－2，则数列{a n }是公差为－2的等差数列，数列{a n }的前n 项和为S n ＝nt ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋(t ＋1)n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －t ＋122＋t ＋124.若t 为奇数，t ＋12是整数，则当n ＝t ＋12时，S n 有最大值t ＋124；若t 为偶数，则t ＋12不是整数，则当n ＝t 2或n ＝t 2＋1时，S n 有最大值t 2＋2t4.故f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t4t 为偶数，t ＋124t 为奇数.12．[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝n4n ＋1，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.【难点突破】13．[解答] (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n.(2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝∑n k ＝1b k ＝∑nk ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1.。

2019高三数学人教A版文一轮课时分层训练28 等差数列及其前n项和含解析精品

课时分层训练(二十八) 等差数列及其前n 项和(对应学生用书第270页)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19A [a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37.]2．(2018·兰州模拟)在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B ．－4 C ．5D ．－5C [法一：由题意得⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝23，∴a 4＝a 1＋3d ＝5，故选C ．法二：由等差数列的性质有a 1＋a 10＝a 7＋a 4，∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝60，∴a 1＋a 10＝12.又∵a 7＝7，∴a 4＝5，故选C ．]3．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 7 B ．S 6 C ．S 5D ．S 4C [∵⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.]4．(2018·合肥模拟)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )【导学号：79170165】A ．－45B ．－54C ．413D ．134A [设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，∵a 1＝1，a 4＝4，∴3d ＝1a 4－1a 1＝－34，即d ＝－14，则1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，故a 10＝－45，故选A ．] 5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日D ．12日A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a 1＝103，公差d 1＝13的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝na 1＋n (n －1)2d 1＝103n ＋132n (n －1)＝6.5n 2＋96.5n ；驽马每日行程也构成一个首项b 1＝97，公差d 2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝nb 1＋n (n －1)2d 2＝97n －0.52n (n －1)＝－0.25n 2＋97.25n .两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n 2＋96.5n －0.25n 2＋97.25n ＝1 125×2，解得n ＝9，即它们第9天相遇，故选A ．] 二、填空题6．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝________.22 [a k ＝a 1＋(k －1)d ＝(k －1)d ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 4＝7a 1＋21d ＝21d ，所以k －1＝21，得k ＝22.]7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．214[法一：∵a 5＝a 1＋a 92，b 5＝b 1＋b 92， ∴a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2 ＝S 9T 9＝7×99＋3＝214. 法二：∵等差数列前n 项之和的形式为n (an ＋b )． ∴由S n T n ＝7n n ＋3＝7n ·n (n ＋3)n ，可令S n ＝7n 2，T n ＝n 2＋3n . 可求得：a n ＝14n －7，b n ＝2n ＋2. ∴a 5b 5＝14×5－72×5＋2＝6312＝214.]8．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．【导学号：79170166】20 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d ，所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝10，所以a 3＝2.由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.] 三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .[解] (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 3分由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. 5分 (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，8分即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.12分 10．(2018·华中师大附中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n＋n )(n ∈N *)．(1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . [解] (1)证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，n ∈N *，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎨⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·衡阳模拟)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为()A ．3B ．3或4C ．4或5D ．5B [由题意知⎩⎨⎧(a 1＋2d )(a 1＋14d )＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2， ∴S n n ＝na 1＋n (n －1)2dn＝－3＋n －1＝n －4，由n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.]2．(2018·湛江模拟)若等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，且a 11a 10＜－1，那么使S n 取最小正值的项数n ＝( ) A ．15 B ．17 C ．19D ．21C [由于S n 有最大值，所以d ＜0，因为a 11a 10＜－1，所以a 11＋a 10a 10＜0，所以a 10＞0＞a 11，且a 10＋a 11＜0.所以S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＜0，S 19＝19a 10＞0，又a 1＞a 2＞…＞a 10＞0＞a 11＞a 12＞…，所以S 10＞S 9＞…＞S 2＞S 1＞0，S 10＞S 11＞…＞S 19＞0＞S 20＞S 21＞…，又S19－S1＝a2＋a3＋…＋a19＝9(a10＋a11)＜0，所以S19为最小正值，故选C．] 3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【导学号：79170167】[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，2分两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ. 5分(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1. 7分令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；9分{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列. 12分。

高三数学一轮复习课时作业28 等差数列A 新人教A版理

[时间：35分钟分值：80分]基础热身 1．[2011·江门调研] 在等差数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＋a 4＝10，a n ＝39，则n ＝( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．222．[2011·武汉模拟] 已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝2π，则cos(a 2＋a 8)＝( )A ．－12B ．－32C.12D.323．[2011·太原一模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝16，且a 9＝12，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．1104．[2011·湖南卷] 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.能力提升5．[2011·益阳模拟] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n(n ≥2)，则a n ＝( )A.2n ＋1B.2n ＋2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 6．[2011·邯郸二模] 在等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11＝( )A ．14B ．15C ．16D ．177．[2011·潍坊质检] 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( )A.14B.94C.134D.1748．[2011·郑州质检] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18B.13C.19D.3109．[2011·广州一模] 已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋2a 6＋a 8＝12，则该数列前11项的和为________．10．[2011·惠州二模] 已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 3n ，则数列{b n }的前9项和等于________．11．[2012·田家炳实验中学月考] 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________．12．(13分)[2012·吉林摸底] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2，(n ∈N *)． (1)求a 1和a n ；(2)记b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．难点突破13．(12分)[2011·南昌一模] 在数列{a n}中，a n＋1＋a n＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.(1)求a n；(2)设S n为{a n}的前n项和，求S n的最小值．课时作业(二十八)A【基础热身】1．B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 4＝10，得a 1＋d ＋a 1＋3d ＝10，即d ＝14(10－2a 1)＝2，由a n ＝39，得1＋2(n －1)＝39，n ＝20，故选B.2．A [解析] 由已知得a 5＝2π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝4π3，则cos(a 2＋a 8)＝－12，故选A.3．D [解析] 方法一：由a 1＋a 5＝16，且a 9＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝16，a 1＋8d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝203，d ＝23，则S 11＝11×203＋11×102×23＝110，故选D.方法二：由已知a 1＋a 5＝16，得2a 3＝16，即a 3＝8，则S 11＝11a 3＋a 92＝110，故选D.4．25 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 4＝7，所以a 4＝a 1＋3d ⇒d ＝2，故S 5＝5a 1＋10d ＝25.【能力提升】5．A [解析] 解法1(直接法)：由1a n －1＋1a n ＋1＝2a n(n ≥2)，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，其首项1a 1＝1，公差d ＝1a 2－1a 1＝32－1＝12，∴1a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12，则a n ＝2n ＋1，故选A. 解法2(特值法)：当n ＝1时，a 1＝1，排除B ，C ，当n ＝2时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴a 3＝12，排除D ，故选A.6．C [解析] 由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120得a 8＝24，设公差为d ，则a 9－13a 11＝a 8＋d－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16，故选C. 7．C[解析] 由已知，得，⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×72d ＝30，4a 1＋4×32d ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋14d ＝15，4a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，d ＝1，则a 4＝a 1＋3d ＝134，故选C.8．D [解析] 由等差数列的性质，有S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，则 2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，因为S 4S 8＝13，即S 8＝3S 4，代入上式，得S 12＝6S 4，又2(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)＋(S 16－S 12)，将S 8＝3S 4，S 12＝6S 4代入得S 16＝10S 4，则S 8S 16＝310，故选D.9．33 [解析] 由已知得4a 6＝12，∴a 6＝3，∴S 11＝a 1＋a 11×112＝2a 6×112＝11a 6＝33.10．405 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝a 3n ＝9n ，∴数列{b n }的前9项和为S 9＝9＋812×9＝405.11．3 [解析] 由题意知a n ＋a n ＋1＝5，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，…，a 18＝3.12．[解答] (1)∵S n ＝10n －n 2，∴a 1＝S 1＝10－1＝9.∵S n ＝10n －n 2，当n ≥2，n ∈N *时，S n －1＝10(n －1)－(n －1)2＝10n －n 2＋2n －11，∴a n ＝S n －S n －1＝(10n －n 2)－(10n －n 2＋2n －11) ＝－2n ＋11.又n ＝1时，a 1＝9＝－2×1＋11，符合上式．则数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)．(2)∵a n ＝－2n ＋11，∴b n ＝|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋11n ≤5，2n －11n >5，设数列{b n }的前n 项和为T n ，n ≤5时，T n ＝n 9－2n ＋112＝10n －n 2；n >5时T n ＝T 5＋n －5b 6＋b n 2＝25＋n －51＋2n －112＝25＋(n －5)2＝n 2－10n ＋50，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2n ≤5，n ∈N *，n 2－10n ＋50n >5，n ∈N *. 【难点突破】13．[解答] (1)由a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ≥1)，a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44，得a n ＋2－a n ＝2.又a 1＋a 2＝2－44，a 1＝－23⇒a 2＝－19，同理得a 3＝－21，a 4＝－17，故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项，2为公差的等差数列； a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项，2为公差的等差数列．从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24，n 为奇数，n －21，n 为偶数.(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n －1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－n 2·44＝n 22－22n ，故n ＝22时，S n 取最小值－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝a 1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n －1)－44]，＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋n －12·(－44)＝n 22－22n －32. 故n ＝21或23时，S n 取最小值－243，综上所述，S n 的最小值为－243.。

高中数学等差数列知识点及练习题新人教A版必修

高中数学必修5：等差数列知识点及练习题(人教版)一．等差数列基本概念1．等差数列定义2.等差数列通项公式 n a =______________或n a =___________.3.等差数列前n 项和 1)n S =________________2).n S =_________________4.等差中项：如果 ,,a b c 成等差数列，么b 叫做,a c 的等差中项，则有_________________5.等差数列的判定方法1) 定义法：2)中项公式法：3)通项法：已知数列n a 的通项公式为n a pn q =+，则n a 为等差数列，其中首项为1a =________，公差d=________。

4)前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和2n S An Bn =+，则n a 为等差数列，其中首项为 1a =________，公差d=________，6.等差数列性质1) 1212nn a a a a a -+=+=2)当*,,,m n p k N ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+；特别当2m n p +=时 2m n pa a a += 特别注意“m n p +=时，m n p a a a +=”是不正确的.3) 数列n a 的前n 项和为n S ，则232...,,m m m m m S S S S S --成大差数列4）当n 为奇数时，12nn S na +=二．例题分析【类型1】求等差数列通项【例1】.等差数列n a 中，51210,31a a ==，求1,,n d a a .【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.【例2】等差数列n a 中，381312a a a ++=，381324a a a ⋅⋅=，求通项公式n a .【变式1】等差数列{}n a 中，51510,25,a a ==则25a 的值是．【变式2】已知等差数列{n a }中．61018a a += 31a =，则13a = ．【变式3】（09年安徽文）等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a = ．【变式4】(2008年天津文4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = ．【例3】已知数列{}n a 中，1a =1，1(1)2n n n a a n++=，则数列{}n a 的通项公式为 ______【变式1】已知数列{n a }中，1a =2,2a =3，其前 n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+ (n ≥2，n ∈N *)，则数列{n a }的通项公式为 ( )A ．n a =nB ．n a =2nC ．n a = n-lD ．n a =n+l【例4】在数列{}n a 和数列{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足22n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和n T 满足13n n T nb +=，且11b = （1）求数列{}n a 的通项公式（2）求数列{}n b 的通项公式【例5】数列n a 中，11551,n n n a a a a +=+=，求数列{}n a 的通项公式；【类型2】求等差数列前n 项和【例1】（11年天津文11．）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______【变式1】如果2n S an bn c =++是一个等差数列的前n 项和，其中 a ，b ，c 为常数，则c的值为．【例2】（10年全国文6）等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么n a 的前7项和7S = ．【变式1】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设nb n ac =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（） A ．55 B ．70 C ．85 D ．100【例3】{}n a 通项公式为21n a n n =+，则n S =_______ ．【变式1】{}n a 通项公式为11n a n n =++则n S = ．【变式2】 {}n a 通项公式为11n a n n =++，若其前n 项和为10，则项数n 为．【例4】等差数列{}n a 中，249n a n =-，前n 项和记为n S ，求n S 取最小值时n 的值.【变式】差数列{}n a 中，213n a n =-，则n = 时n S 有最大值；【类型3】等差数列性质的应用【例1】（1）等差数列{}n a 中，230,100,m m S S ==求3m S 的值.（2）等差数列{}n a 中，481,4S S ==，求17181920a a a a +++的值.【例2】（2009年辽宁理科14）等差数列{}n a 中， n a 的前n 项和为n S ，如果369,36S S ==，则789a a a ++= ．【变式1】（2009年辽宁文）等差数列{}n a 中，n a 的前n 项和为n S ，366,24,S S ==，则9a = ．【变式2】已知等差数列{}n a 中，12345612,18,a a a a a a ++=++=则789a a a ++= ．【变式3】已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且7+1,427n n A n B n =+求 1111a b 的值.【例3】等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若2610a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中一定是常数的是（）C ． 6S B ．11S C ．12SD ．13S【变式1】等差数列{}n a 中，1912,24,a a =-=则9S =（）C ． -36 B ．48 C ．54D ．72【变式2】等差数列}{n a 中，已知前15项的和9015=S ，则8a 等于（）A ．245 B ．12 C ．445 D ．6【变式3】在等差数列{}n a 中，若99,S = 则46a a += ．【类型4】证明数列是等差数列【例1】知数列{}n a 的前n 项和为21+2n n n S =，求通项公式n a 并判断是否为等差数列【例2】在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+,设,21-=n n n a b 证明{}n b 是等差数列．【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(021≥=+-n S S a n n n ，211=a ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；求数列{}n a 的通项公式。

2021届高考数学一轮复习第五章数列课堂达标28等比数列及其前n项和文新人教版

2021届高考数学一轮复习第五章数列课堂达标28等比数列及其前n 项和文新人教版[A 基础巩固练]1．(2020·湖南省常德市一模)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6等于( )A ．16B ．32C ．64D ．128[解析] ∵S 3＝14，a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝14a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2，∴a 6＝a 1q5＝2×32＝64，故选：C.[答案] C2．(2020·衡水模拟)已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( )A ．20B ．25C ．50D ．不存在[解析] (a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7·a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400.∴a 7＋a 14≥20. [答案] A3．(2020·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思为：“一女子善于织布，每天织的布差不多上前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”依照上题的已知条件，若要使织布的总尺数许多于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 设该女子第一天织布x 尺，则x 1－251－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n≥187，则n 的最小值为8.[答案] B4．(2020·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n)B ．16(1－2－n)C.323(1－4－n) D.323(1－2－n) [解析] ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．[答案] C5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3[解析] 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 11－q 2m1－q a 11－q m1－q＝q m＋1＝9，∴q m＝8.∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2. [答案] B6．(2020·郑州一模)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范畴为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [解析] ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2，∴n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，可得：a n ＝22n －1，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因为对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则t 的取值范畴为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选D. [答案] D7．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝______.[解析] ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2， ∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3…b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3…b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024. [答案] 1 0248．(2020·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝______.[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，因此n ＝14.[答案] 149．(2020·河北武邑中学二模)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 5，a 11成等比数列，且a 11＝2(S m －S n )(m >n >0，m ，n ∈N *)，则m ＋n 的值是______．[解析] a 25＝a 2a 11⇒(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋10d )，(d ≠0)整理得a 1＝2d ，a 11＝2(S m －S n )，可得a 1＋10d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ma 1＋m m －1d2－na 1－n n －12d ，化简得(m 2－n 2)＋3(m －n )＝12，即(m －n )(m ＋n ＋3)＝12，因为m >n >0，m ，n ∈N *，因此m ＝5，n ＝4，因此m ＋n ＝9，故填：9. [答案] 910．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n . [解] (1)令n ＝1⇒a 1＝1；令n ＝2⇒a 1＋2a 2＝2⇒a 2＝12；令n ＝3⇒a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54⇒a 3＝14.(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ＝4－n ＋22n －1.②②－①，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n 2n －1，∴a n ＝12n －1，又∵当n ＝1时，a 1＝1也适合a n ＝12n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)，易证数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝12.∴数列{a n }的前n 项和T n ＝a 11－q n 1－q ＝2－12n －1.[B 能力提升练]1．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 [解析] ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．[答案] D2．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情形有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情形有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D. [答案] D3．(2020·衡水中学第六次调研)各项均为正数的数列{a n }首项为，且满足a 2n －a n a n －1－n (n ＋1)a 2n －1＝0，公差不为零的等差数列{b n }的前项和为S n ，S 5＝15，且b 1，b 3，b 9成等比数列设c n ＝b n a n，求数列{c n }的前项和T n ＝______.[解析] (1)a 2n －a n a n －1－n (n ＋1)a 2n －1＝(a n ＋na n －1)(a n －(n ＋1)a n －1)＝0，因为{a n }各项均为正数，则a n ＋na n －1>0，∴a n －(n ＋1)a n －1＝0即a n ＝(n ＋1)a n －1则a n －1＝na n －2，a n －2＝(n －1)a n －3，…a 2＝3a 1上面n －1个式子相乘得a n ＝(n ＋1)！，设{b n }的公差d,5b 1＋10d ＝15，(b 1＋2d )2＝b 1(b 1＋8d )，解之得b 1＝1，d ＝1，b n ＝n ，c n ＝b n a n＝nn ＋1！＝n ·n ！n ＋1！n ！＝1n ！－1n ＋1！.[答案] 1－1n ＋14．(2021·课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大伙儿学习数学的爱好，他们推出了“解数学题猎取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 由题意得，数列如下： 1， 1,2， 1,2,4， …1,2,4，…，2k －1…则该数列的前1＋2＋…＋k ＝k k ＋12项和为S ⎝⎛⎭⎪⎫k k ＋12＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋ (2))＝2k ＋1－k －2要使k k ＋12>100，有k ≥14，现在k ＋2<2k ＋1，因此k ＋2是之后的等比数列1,2，…，2k ＋1的部分和，即k ＋2＝1＋2＋…＋2t －1＝2t－1，因此k ＝2t－3≥14，则t ≥5，现在k ＝25－3＝29，对应满足的最小条件为N ＝29×302＋5＝440，故选A. [答案] A5．(2020·太原二模)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝na n2n ＋1·2n(n ∈N *)，若存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列，求m ，n 的值．[解] (1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0，又a n ＞0，因此有2a n－a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1，因此数列{ a n }是公比为2的等比数列，由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2，因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)．(2)b n ＝na n2n ＋1·2n ＝n 2n ＋1，若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即3m 2＋n (2m 2－4m －1)＝0，因此2m 2－4m －1＜0，解得1－62＜m ＜1＋62，又m ∈N *，且m ＞1，因此m ＝2，现在n ＝12.[C 尖子生专练]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n∈N *.(1)判定数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .[解] (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。

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第二十八讲等差数列班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15解析：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)， ∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝13p .∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝133p .答案：C2．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．51解析：∵a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，则由a 1＝13得d ＝23，令a n ＝33＝13＋(n －1)×23，可解得n＝50.故选C.答案：C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.故选C.答案：C4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( ) A.16 B.13 C.35 D.56解析：∵{a n }是等差数列，∴a 5a 3＝a 2＋a 82a 1＋a 52＝S 56(a 1＋a 5)×52×5＝56S 5S 5＝56，故选D. 答案：D5．(2011·济宁市模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 解析：∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 所以使得S n >0的n 的最大值为19，故选B. 答案：B6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：2009精选考题2011A ．1003 B ．1005 C ．1006 D ．2011解析：依题意得，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…，是以a 2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a 精选考题＝a 2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a 2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a 2009＝503，a 2011＝－503，a 2009＋a 精选考题＋a 2011＝1005，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：S 9＝9a 5＝－9，∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72. 答案：－728．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则a 6b 6＝________.解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论a n b n ＝A 2n －1B 2n －1求得．答案：6179．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x＋2， ∴f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x ，∴f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋12·2x2＋2x ＝1＋12·2x2＋2x＝22. 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋ [f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝3 2. 答案：3 210．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S n n2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 4－a 2＝8，∴d ＝4.又∵a 3＋a 5＝26，即2a 1＋6d ＝26，∴a 1＝1. ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，则T n ＝S n n2＝2－1n<2.∵对一切正整数T n ≤M 恒成立，∴M ≥2. ∴M 的最小值为2. 答案：2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知：f (x )＝－4＋1x2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ，－1a n ＋1在曲线y ＝f (x )上(n ∈N *)，且a 1＝1，a n >0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，问：当b 1为何值时，数列{b n }是等差数列．解：(1)由y ＝－4＋1x2，点P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ，－1a n ＋1在曲线y ＝f (x )上，∴－1a n ＋1＝f (a n )＝－4＋1a 2n，并且a n >0，∴1a n ＋1＝4＋1a 2n，∴1a 2n ＋1－1a 2n＝4(n ∈N *)．数列{1a 2n }是等差数列，首项1a 21＝1，公差d 为4，∴1a 2n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，a 2n ＝14n －3. ∵a n >0，∴a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由a n ＝14n －3，T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3得 (4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)，T n ＋14n ＋1＝T n4n －3＋1. 令c n ＝T n4n －3，如果c 1＝1，此时b 1＝T 1＝1， ∴c n ＝1＋(n －1)×1＝n ，n ∈N *，则T n ＝(4n －3)n ＝4n 2－3n ，n ∈N *，∴b n ＝8n －7，n ∈N *，∴b 1＝1时数列{b n }是等差数列．12．数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，已知a 3＝95. (1)求a 1，a 2；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝13n (a n ＋t )(n ∈N *)，且{b n }为等差数列？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)n ＝2时，a 2＝3a 1＋32－1n ＝3时，a 3＝3a 2＋33－1＝95，∴a 2＝23.∴23＝3a 1＋8，∴a 1＝5. (2)当n ≥2时，b n －b n －1＝13n (a n ＋t )－13n －1(a n －1＋t )＝13n (a n ＋t －3a n －1－3t ) ＝13n (3n －1－2t )＝1－1＋2t 3n . 要使{b n }为等差数列，则必须使1＋2t ＝0，∴t ＝－12，即存在t ＝－12，使{b n }为等差数列．13．设f (x )＝ax x ＋a(a ≠0)，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，又b n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求数列{b n }的前n 项和．分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{b n }前n 项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．解：(1)证明：a n ＋1＝f (a n )＝a ·a n a n ＋a ＝11a ＋1a n， ∴1a n ＋1＝1a ＋1a n，即1a n ＋1－1a n ＝1a.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1a的等差数列． (2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)1a.整理得a n ＝a(a －1)＋n.(3)b n ＝a n ·a n ＋1＝a(a －1)＋n ·a (a －1)＋n ＋1＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋a －1－1n ＋a .设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝a 2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －11＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋a －12＋a ＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋a －1－1n ＋a＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1n ＋a ＝a 2·n ＋a －a a (n ＋a )＝na n ＋a . ∴数列{b n }的前n 项和为nan ＋a.。

高考数学总复习 28等差数列练习 新人教版