重庆南开中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 扫描版缺答案
重庆市南开中学高2014级高一
重庆市南开中学高2014级高一（上）期末考试物理试题试题分选择题和非选择题两部分。
第一部分(选择题1—16)，第二部分（非选择题17—23）。
试题卷共6页，答题卷共3页。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在机读卡及答卷规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．所有题目必须在机读卡和答卷上相应位置作答，在试题卷上答题无效。
第一部分(选择题共64分)一、单项选择题（以下各小题中只有一个答案符合题目要求，选对得4分，选错或未选得0分，共48分。
）1．下列说法正确的是（）A．游泳运动员仰卧在水面上静止不动时处于失重状态B．体操运动员双手握住单杠掉在空中不动时处于平衡状态C．举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内处于超重状态D．蹦床运动员在空中上升与下降时处于超重状态2．下列说法中正确的是（）A．做匀速圆周运动的物体是匀变速曲线运动B．物体的速度大小不变，则它的加速度必定为零C．物体沿直线向右运动，速度随时间均匀变化，则物体的加速度一定向右D．加速度的方向不能由速度方向确定，可以由合外力的方向来确定3．一质点受三个共点力作用，其大小分别为F1＝4 N，F2＝6 N，F3＝8 N，则这三个共点力的合力的最小值是（）A．0 N B．2 N C．4 N D．6 N4．质量为m的物体沿倾角为、动摩擦因数为的斜面匀速下滑，则（）A．物体所受斜面的摩擦力大小为mgsinB．物体所受斜面的摩擦力大小为mgsinC．物体所受斜面的支持力大小为mgsinD．物体所受合外力大小为mg5．一个物体做自由落体运动，则它在第2秒内的位移（g=10 m/s2）（）A.5 mB.10 mC. 15 mD. 20m6．一个做竖直上抛运动的物体，上升过程的平均速度是10 m/s，则它能到达的最大高度为（g＝10 m/s2 ）（）A．5 m B．10 m C．20 m D．30 m7．甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象如图所示，下列说法中正确的是（）A．0~6s甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动B．两物体再次相遇的时刻分别为2s末和6s末C．乙在前4s内的平均速度等于甲的速度D．2s后甲、乙两物体的速度方向相反8．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，运动轨道半径之比为1:2。
重庆南开中学高2015级高一期末数学试题
重庆南开中学高2015级2012～2013学年度高一（下）期末 数 学 试 题第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知点(1,2)M ，)1,2(N ，则直线MN 的倾斜角是 （ ） A ．45B ．90C ．135D ．不存在2．已知c b a ,,满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是 （ ） A ．cb ab 22< B ．ab ac > C. c b a ()-<0 D ．ac a c ()->0 3．直线033:1=+-y x l 与直线033:2=+-y x l 的夹角为 （ ）A ．6π B ．4π C. 3πD ．23π4．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速h km /60是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[)50,40，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有（ ）A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆5．若实数,x y 满足线性约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-03002y x y x y x ，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．0 B. 3 C. 92D. 46．直线210kx y k --+=与圆()41)1(22=-+-y x 的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与k 有关第7题图7．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的x 值是（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．38．已知0,0p q >>，,p q 的等差中项是12，12,x p y q p q =+=+则x y +的最小值为（ ）A ．7B ．5C. 4+ D ．3+9．已知点(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，直线b x y +=31将ABC ∆分割成面积相等的两 部分，则b 的值为 （ ） A.21 B. 32 C. 43D. 1 10.已知圆:M 051684422=-+++y x y x ,直线01:=-+y x l ,ABC ∆的顶点A 在直 线l 上,顶点C B ,都在圆M 上,且边AB 过圆心M ,︒=∠45BAC .则点A 横坐标的最大值 为 （ ） A.25 B. 23 C. 21 D. 21-第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的 就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽 取的学生人数为12．圆心在原点，并与直线01043=--y x 相切的圆的方程为 . 13．已知正实数b a ,满足8)2)(1(=++b a ，则b a +2的最小值为14．将一张坐标纸折叠一次，使点)1,5(与)3,7(重合，则与原点重合的点的坐标为15．对于满足不等关系221x y x y ⎧+≤⎨+≥⎩的任意实数,x y ，均有2ax y +≤恒成立，则a 的取值范围为______ __三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组同学在某次数学测验中的成绩，两组记录中各有一个数据模糊，无法确认，在图中以x ，y 表示, 已知乙组同学的平均成绩与乙组中位数相等 甲组 乙组 9 x 8 7 84 1 9 y 2 3（1）求y ；（2）若甲组同学与乙组同学平均成绩相等，求x 与甲组同学成绩的方差．（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中, 已知三点)0,1(-A ，)4,0(B ，)4,3(C （1）求AC 边上的高所在直线l 的方程； （2）求与直线l 平行且距离为23的直线方程．18．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且满足C bBc a cos cos )2(=-（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),(1,1)m A A n ==，且1,m n b ⋅==ABC ∆的面积．19．（本小题满分12分）已知直线l ：0143=++y x 将圆22:24C x y mx y +--+280m -=)0(>m 截为长度为51：两段圆弧（1）求圆C 的方程；（2）若点(,)P x y 为圆C 上一动点，求y x y x 4222+++的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n N +∈）. （1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设112n nn b a n +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“折线距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-（1）已知()()1,4,0,1-N M ，P 为直线4=+y x 上一点，若),(),(N P d M P d =，求P 点坐标；（2）求坐标原点O 与直线01034=-+y x 上一点的“折线距离”的最小值；（3）求圆122=+y x 上一点与直线01034=-+y x 上一点的“折线距离”的最小值．。
重庆市南开中学2015届高三10月月考数学(理)试题 扫描版含答案
重庆南开中学高2015级10月月考数学答案（理 科）一、选择题 BCDCB ACBAD二、填空题11. 10 12. (-3,3) 13. 1-14. 223 15. 12- 16. []5,2-三、解答题17.(1) ()cos sin cos (cos )f x x x x x =+- 11cos 2sin 222x x +=-1sin(2)42x π=-- ()的最小正周期f x T π∴= （2）[,]44x ππ∈-32[,]444x πππ∴-∈- ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-22,1)42sin(πx 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈--0,212221)42sin(22πx ()f x ∴的最大值为0，最小值为2122--18.（1）tan 2((,))2πθθπ=-∈sin ,cos θθ∴==-()2sin()sin cos 6f πθθθθ∴=+=+=(2)()2sin()26f παα=+=sin()16πα∴+=又[0,]3πα∈ +[0,]62ππα∴∈ +=，故=623πππαα∴ 8又()2sin()65f πββ=+=，4sin()65πβ∴+= 25(22)2sin(2+)2sin(2)366f πππβαββ∴+=+=+2cos(2)3πβ=+22[12sin ()]6πβ=-+14= -25/2219.(1)()2(1)f x x x m =-++-1时，m ∴=/2()2(2)f x x x x x =-+=-- 0或2时，x x ∴<>/()0f x <，()在（-，0），（2，+）上单调递减f x ∴∞∞ 02时，x ∴<</()0f x >，()在（0，2)上单调递增f x ∴ 故当0x =时，()f x 取得极小值(0)0f =，2x =时，()f x 取得极大值4(2)3f =（2）法一:当[0,]2x π∈时，/(sin )cos 0f x x ≥ ，而cos 0x ≥（[0,]2x π∈） 故只许/22(sin )sin 2sin (1)0f x x x m =-++-≥在[0,]2π上恒成立 即221sin 2sin m x x -≥-在[0,]2π上恒成立， 22max 须1[(sin 1)1]m x ∴-≤--而22sin 2sin (sin 1)1x x x -=--，又sin [0,1]x ∈∴ 当sin 0x =时，2(sin 1)1x --取得最大值0∴210m -≥，即-1m ≤或1m ≥法二:也可利用同增异减法则,说明外层函数在[]10，单调递减20.（1）过点P 作PC x ⊥轴，则3BC AC =，故tan 3tan BPC APC ∠=∠ tan tan()APB BPC APC ∴∠=∠-∠22tan 1213tan APC APC ∠==-∠ 解得1tan 1或3APC ∠=. 若111tan ,则333APC AC PC ∠===，此时()f x 的最小正周期443T AC ==，3故2ω=，313()sin[()]cos 232f x x x ππ=+= ，其图像关于y 轴对称，舍去 若tan 1,则11APC AC PC ∠===，此时()f x 的最小正周期44T AC ==，1故2ω=，1()sin[()]sin()2326f x x x πππ=+=+ ，符合题意 （2），32sin sin )312()312(==--βαβπαπf f 且34αβπ+= ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-62=，62cos cos -=βα ∴原式=22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos sin αθαθβθβθθθ++-2222sin sin cos cos cos sin sin()sin cos cos sin αβθαβθαβθθθθ+++=- 22sin sin cos cos tan sin()tan 1tan αβαβθαβθθ+++=-922-=21. 解： （Ⅰ）2(21)1()x ax a x a f x e-+-+-'= 由条件知(0)1f a '=-， 因为函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与直线013=+-y x 平行所以31=-a ,2-=a（Ⅱ）2(21)1()x ax a x a f x e-+-+-'=(1)(1)x ax a x e -+--= ①当0a =时，1x =，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增；在)4,1(上，有()0f x '< 函数()f x 减，44)4(,0)0(-==e f f 函数()f x 的最小值为0，结论不成立． ②当0a ≠时，1211,1x x a==- (1)若0a <，(0)0f a =<，结论不成立(2)若01a <≤，则110a-≤，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增； 在)4,1(上，有()0f x '<，函数()f x 减，只需⎩⎨⎧≥≥--44)4()0(ef e f ，所以14≤≤-a e (3)若1a >，则1011a <-<，在)11,0(a-上，有()0f x '<，函数()f x 减； 在)1,11a-（,有()0f x '>,函数()f x 增;在)4,1(上，有()0f x '<，函数()f x 减 函数在11x a =-有极小值，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=)4(),11()(min f a f x f 只需⎪⎩⎪⎨⎧≥≥---44)4()11(ef e a f 得到⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥---14171213a e a a ，因为1,11213<>---a e a ，所以1a >综上所述可得4-≥e a22.（1）方程即x a x =+)ln(，构造函数x a x x F -+=)ln()(，定义域为{}a x x ->， ax a x a x x F ++--=-+=')1(11)(，由a a ->-1可得)(x F 在)1,(a a --增，),1(+∞-a 减 而-∞→+∞→-∞→-→)(,;)(,x F x x F a x ；则0)1(=-a F 即1=a(2) ),25(21ln )(2≥-+=m mx x x x g bx cx x x h --=2ln )( 由已知01)(2=+-='xmx x x g 的两根为21,x x ，当25≥m 时方程012=+-mx x 的0>∆ 则m x x =+21，121=x x又由21,x x 为bx x x x h --=22ln )(的零点可得⎩⎨⎧=--=--0ln 0ln 22221211bx cx x bx cx x 两式相减0)())((ln 21212121=---+-x x b x x x x c x x ，可反解出)(ln212121x x c x x x x b +--=① 而)2()(2121x x h x x y +'-=)[(21x x -=])(22121b x x c x x -+-+代入①式 =y )ln2)((21212121x x x x x x x x --+-212121ln 2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-= 令t x x =21)10(<<t ，由m x x =+21，121=x x 可得221m t t =++则]41,0(∈t 设函数t t t t G ln 112)(-+-=，而0)1()1()(22<+--='t t t t G ，则)(t G y =在]41,0(∈t 单减 所以4ln 56)41()(min +-==G t G ，即)2()(2121x x h x x y +'-=的最小值为4ln 56+-。
重庆一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
重庆一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一.选择题.（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅2．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．23．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（）A．0B．C．D．5．（5分）函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A．3B．2C．1D．06．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）7．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cosx B．y=ln|x| C．y=D．y=tan2x8．（5分）设a=tan35°，b=cos55°，c=sin23°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D． c＞a＞b 9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈B．C．D．二.填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）tan=．12．（5分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设=，=，则=．（结果用，表示）13．（5分）（lg25﹣lg）÷100=．14．（5分）求值：=．15．（5分）设g（x）=x﹣1，已知f（x）=，若关于x 的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32的取值范围是．三.解答题.（本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．（13分）已知＜α＜π，tanα﹣=﹣．（Ⅰ）求tana的值；（Ⅱ）求的值．17．（13分）平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．（Ⅰ）设向量=+，且||=，求向量的坐标；（Ⅱ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值．18．（13分）已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当a＞1时，解不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）．19．（12分）已知函数g（x）=4sin（ωx+），h（x）=cos（ωx+π）（ω＞0）．（Ⅰ）当ω=2时，把y=g（x）的图象向右平移个单位得到函数y=p（x）的图象，求函数y=p（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）设f（x）=g（x）h（x），若f（x）的图象与直线y=2﹣的相邻两个交点之间的距离为π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间．20．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数m的值；（Ⅱ）当m＞0时，关于x的方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，求m的范围．21．（12分）已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）函数满足：①f（4）=1；②对任意x＞2均有f（x）＞0；③对任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）是否存在实数k，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由．重庆一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题.（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．解答：解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．3．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由α为第四象限角，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出s inα的值，即可确定出tanα的值．解答：解：∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故选：D．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（）A．0B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用正六边形ABCDEF的性质，对边平行且相等得到向量相等或者相反，得到所求为0向量．解答：解：因为正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD=AF，所以++=++=；故选A．点评：本题考查了向量相等以及向量加法的三角形法则，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）上连续且单调递增，利用函数零点的判定定理求解即可．解答：解：函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）上连续且单调递增，又∵f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（1）=3+1﹣3=1＞0；∴f（0）•f（1）＜0；故函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）内有一个零点，故选C．点评：本题考查了函数零点的判定定理的应用及函数的单调性的应用，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式解答：解：由图象知函数的最大值为2，即A=2，函数的周期T=4（）=2，解得ω=1，即f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法知+φ=π，解得φ=，故f（x）=2sin（x+），故选：B点评：本题主要考查函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．要要求熟练掌握五点对应法．7．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cosx B．y=ln|x| C．y=D．y=tan2x考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据余弦函数的单调性，对数函数的单调性，偶函数、奇函数的定义即可判断每个选项的正误．解答：解：A．y=cosx在（1，2）是减函数，所以A错误；B．显然y=ln|x|是偶函数，且在（1，2）内是增函数，所以B正确；C．显然函数是奇函数，所以该选项错误；D．tan﹣2x=﹣tan2x，所以该函数是奇函数，所以该选项错误．故选B．点评：考查余弦函数的单调性，对数函数的单调性，以及奇函数、偶函数的定义．8．（5分）设a=tan35°，b=cos55°，c=sin23°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的诱导公式结合三角函数的单调性即可得到结论．解答：解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知sin35°＞sin23°，即b＞c，而a=tan35°=＞sin35°=b，∴a＞b＞c，故选：A点评：本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈B．C．D．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：化简得出令=m，则1+sinx=2m﹣mcosx，sinx+mcosx=2m﹣1，φ）=2m﹣1得sin（x+φ）=，由≤1，解得0，利用函数性质求解f（m）=单增，解答：解：f（x）==﹣==﹣=令=m，则1+sinx=2m﹣mcosx，sinx+mcosx=2m﹣1，φ）=2m﹣1得sin（x+φ）=，由≤1，解得0，f（m）=单增，值域为点评：本题考察了函数的性质，换元法求解问题，属于难题，计算量较大．二.填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）tan=﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：tan=tan（π﹣）=﹣tan=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设=，=，则=．（结果用，表示）考点：向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则、向量共线定理可得+==，即可得出．解答：解：+===．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理，属于基础题．13．（5分）（lg25﹣lg）÷100=20．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算法则和有理数的公式进行化简即可．解答：解：（lg25﹣lg）÷100=（lg100）×=2×10=20，故答案为：20．点评：本题主要考查有理数的化简，比较基础．14．（5分）求值：=1．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．解答：解：原式=sin50°•=cos40°===1故答案为：1点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．15．（5分）设g（x）=x﹣1，已知f（x）=，若关于x 的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32的取值范围是（，1）．考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：化简f（x）=，从而作出其图象，结合图象可得0＜m＜，从而分别讨论x1，x2，x3，再令y=x12+x22+x32=+1﹣2m，化简并利用换元法求取值范围即可．解答：解：∵g（x）=x﹣1，f（x）=，f（x）=；即f（x）=；作出其图象如下，若方程f（x）=m有三个根，则0＜m＜，且当x＞0时，方程可化为﹣x2+x﹣m=0，易知，x2+x3=1，x2x3=m；当x≤0时，方程可化为x2﹣x﹣m=0，可解得x1=；记y=x12+x22+x32=+1﹣2m=﹣m﹣+；令t=∈（1，），则y=﹣t2﹣t+，解得，y∈（，1）．故答案为：（，1）．点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了换元法的应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，属于中档题．三.解答题.（本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．（13分）已知＜α＜π，tanα﹣=﹣．（Ⅰ）求tana的值；（Ⅱ）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）设tanα=x，已知等式变形后求出方程的解确定出x的值，即可求出tana的值；（Ⅱ）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）令tanα=x，则x﹣=﹣，即2x2+3x﹣2=0，解得：x=或x=﹣2，∵＜α＜π，∴tanα＜0，则tanα=﹣2；（Ⅱ）原式==tanα+1=﹣2+1=﹣1．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．（13分）平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．（Ⅰ）设向量=+，且||=，求向量的坐标；（Ⅱ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）根据向量的坐标运算以及模长公式，求出λ的值即可；（Ⅱ）根据向量平行的坐标表示，列出方程，即可求出k的值．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（3，2），=（﹣1，2），∴=+=（，）+（﹣，）=（λ，3λ）；又||=，∴=，解得λ=±1，∴=（1，3）或=（﹣1，﹣3）；（Ⅱ）∵+k=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），2﹣=2（﹣1，2）﹣（3，2）=（﹣5，2）；且（+k）∥（2﹣），∴2×（3+4k）﹣（﹣5）×（2+k）=0，解得k=﹣．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量平行与求向量模长的问题，是基础题目．18．（13分）已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当a＞1时，解不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）分类讨论当a＞1时，当0＜a＜1时，求出最大值，最小值，即可求解答案．（Ⅱ）转化log2（4+2x）＜log2（x2+1）得出得出不等式组，求解即可解答：解：f（x）max=a2，f（x）min=a﹣1，则=a2=8，解得a=2；当0＜a＜1时，f（x）=max=a﹣1，f（x）min=a2，则=a﹣3=8，解得a=；故a=2或a=（Ⅱ）当a＞1时，由前知a=2，不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）即得解集为（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）．点评：本题考察了指数函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是分类得出方程，不等式组．19．（12分）已知函数g（x）=4sin（ωx+），h（x）=cos（ωx+π）（ω＞0）．（Ⅰ）当ω=2时，把y=g（x）的图象向右平移个单位得到函数y=p（x）的图象，求函数y=p（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）设f（x）=g（x）h（x），若f（x）的图象与直线y=2﹣的相邻两个交点之间的距离为π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意，先求得：p（x）=4sin（2x+），令2x+=kπ，即可求得函数y=p（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）先求得解析式f（x）=2sin（2ωx﹣）﹣，由题意T=π，可解得ω的值，令t=2x﹣是x的增函数，则需y=2sint﹣是t的增函数，由2k≤2x﹣≤2k，可解得函数f（x）的单增区间．解答：解：（Ⅰ）当ω=2时，g（x）=4sin（2x+），g（x﹣）=4sin（2x﹣+）=4sin（2x+），p（x）=4sin（2x+），令2x+=kπ，得x=﹣+，中心为（﹣+，0）（k∈Z）；（Ⅱ）f（x）=4sin（ωx+）（﹣cosωx）=﹣4cosωx=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）=2sin（2ωx﹣）﹣由题意，T=π，∴=π，ω=1令t=2x﹣是x的增函数，则需y=2sint﹣是t的增函数故2k≤2x﹣≤2k，2k≤2x≤2kπ+，k≤x≤kπ+函数f（x）的单增区间是（k∈Z）．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象和性质，属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数m的值；（Ⅱ）当m＞0时，关于x的方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，求m的范围．考点：对数函数的图像与性质；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据f（x）是偶函数，建立方程关系即可求实数m的值；（Ⅱ）利用对数函数的性质，利用换元法，转化为两个函数的交点问题即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）若f（x）是偶函数，则有f（﹣x）=f（x）恒成立，即：log2（4﹣x+1）﹣mx=log2（4x+1）+mx．于是2mx=log2（4﹣x+1）﹣log2（4x+1）=log2（）﹣log2（4x+1）=﹣2x，即是2mx=﹣2x对x∈R恒成立，故m=﹣1．（Ⅱ）当m＞0时，y=log2（4x+1），在R上单增，y=mx在R上也单增所以f（x）=log2（4x+1）+mx在R上单增，且f（0）=1，则f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1可化为f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=f（0），又f（x）单增，得8（log4x）2+2log2+﹣4=0，换底得8（）2﹣2log2x+﹣4=0，即2（log2x）2﹣2log2x+﹣4=0，令t=log2x，则t∈，问题转换化为2t2﹣2t+﹣4=0在t∈，有两解，即=﹣2t2+2t+4，令y=﹣2t2+2t+4，则y=﹣2t2+2t+4=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，函数取得最大值，当t=0时，函数y=4，当t=时，函数取得最小值，若方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，则等价为4≤＜，解得＜m≤1，故求m的范围为＜m≤1．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数函数的应用，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．21．（12分）已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）函数满足：①f（4）=1；②对任意x＞2均有f（x）＞0；③对任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）是否存在实数k，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由．考点：函数恒成立问题；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）将条件③变形得到f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，其中m=x﹣1，n=y﹣1，令m=n=1，即可解得f（2）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），则要证明f （x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．显然当m＞1即m+1＞2时f（m+1）＞0；（Ⅲ）利用条件①②将问题转化为是否存在实数k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈恒成立．再令t=sinθ+cosθ，，则问题等价于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10对恒成立．分情况讨论，利用二次函数的性质即可解题．解答：解：（Ⅰ）由条件③可知f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）=f=f，令m=x﹣1，n=y﹣1，则由x＞1，y＞1知m，n＞0，并且f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立．令m=n=1，即有f（2）+f（2）=f（2），故得f（2）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得：f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），要证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．设x2=mn+1，x1=n+1，其中m，n＞0，m＞1，则x2﹣x1=n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），m＞1，m+1＞2，所以f（m+1）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），即f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）∵由f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，及f（4）=1∴令m=n=3，有f（4）+f（4）=f（10），即f（10）=2．令m=9，n=，则f（9+1）+f（+1）=f（9×+1）=f（2），故f（）=f（2）﹣f（10）=﹣2，由奇偶性得f（﹣）=﹣2，则f（x）＜2的解集是．于是问题等价于是否存在实数k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈恒成立．令t=sinθ+cosθ，，问题等价于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10对恒成立．令g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1，则g（t）对恒成立的必要条件是，即解得，此时无解；同理1＜g（t）＜10恒成立的必要条件是，即解得，即；当时，g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1的对称轴．下面分两种情况讨论：（1）当时，对称轴在区间的右侧，此时g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1在区间上单调递减，1＜g（t）＜10恒成立等价于恒成立，故当时，1＜g（t）＜10恒成立；（2）当时，对称轴在区间内，此时g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1在区间上先单调递减后单调递增，1＜g（t）＜10恒成立还需，即，化简为k2﹣12k+24＜0，解得，从而，解得；综上所述，存在，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立．点评：本题考查了抽象函数的运算，单调性，以及函数恒成立问题，需要较强的分析、计算能力，属于难题．。
重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (5)
重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=411．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}【解答】解：∵全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴C U B={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}，∴A∩C U B={1，3}．故选A．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}，故选C．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π【解答】解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：∵AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，可得：CP∥B1M，∴∠NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角．连接NP，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为a．可得：CN=CP=．NP==．∵△NCP的三条边满足：CN2+CP2=NP2．∴∠NCP=90°．即异面直线B1M与CN所成的角是90°．故选：D．8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：A．10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=4【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选C．11．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y﹣4=0的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y﹣1=（x﹣1）即x﹣3y+2=0故选B12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定【解答】解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则＜1，∴a2+b2＞1，点P（a，b）在圆C外部，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为﹣18或8．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径R=1，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|a+5|=13，即a+5=13或a+5=﹣13，得a=8或a=﹣18，故答案为：﹣18或814．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x＜1．当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg （﹣x），由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【解答】解：（1）由对数函数的定义知＞0．即＜0，解得：﹣1＜x＜1；故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）f（x）为奇函数，理由如下：f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又∵f（﹣x）=log a=﹣log a=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．【解答】解：因为AC边上的高所在直线方程为2x﹣3y+1=0，所以直线AC的斜率为﹣；所以直线AC的方程为y﹣2=﹣，即3x+2y﹣7=0，同理可求得直线AB的方程为x﹣y+1=0．由，得顶点C（7，﹣7），由，得顶点B（﹣2，﹣1）．所以直线BC的斜率为﹣，所以直线BC的方程为y+1=﹣，即2x+3y+7=0．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S=×3×3=，∴==••6=9．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EF∥AB，即EF∥MB．∵EF=MB=1∴四边形EMBF是平行四边形．∴EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=．∴EM=．在△AEM中，AE=，AM=1，EM=，∴AM2+EM2=3=AE2，∴AM⊥EM．∴AM⊥FB，即AB⊥FB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC．∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AB⊥平面BCF．（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH，则OH∥AB，OH=AB=1．由（1）知EF∥AB，且EF=AB，∴EF∥OH，且EF=OH．∴四边形EOHF是平行四边形．∴E0∥FH，且EO=FH=1．由（1）知AB⊥平面BCF，又FH⊂平面BCF，∴FH⊥AB，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH⊂平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．∴E0⊥平面ABCD．∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO．∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO⊂平面EBD，BD平面EBD，∴AO⊥平面EBD．∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．在Rt△AOE中，tan∠AEO==．∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影因为tan∠OOA==，tan∠O1OC==，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1．解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角由题设知OA=3，OO 1=，O1C=1，所以=2，AC==，从而=，又O1E=OO1•sin30°=，所以sin∠O1FE==，cos∠O1FE==，∴二面角O﹣AC﹣O1的余弦值为．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。
重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (12)
重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．44．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f （x ）在[a ，b ]上的值域是[，]，则称f （x ）为“倍缩函数”，若函数f （x ）=log 2（2x +t ）为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（﹣∞，）C ．（0，]D ．（﹣∞，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 ．14．（5分）若tanα=﹣，则sin 2α+2sinαcosα的值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f （x +2）=﹣，且当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣2017）+f （2019）= ．16．（5分）已知函数（），若函数F （x ）=f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n = ．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x |x 2﹣6x +5＜0}，C={x |3a ﹣2＜x ＜4a ﹣3}，若C ⊆A ，求a 的取值范围．18．（12分）已知cosα=，cos （α﹣β）=，且0＜β＜α＜， （1）求tan2α的值；（2）求β．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：D．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，1]为减函数，在[1，4]上为增函数，故当x=1时，函数f（x）取最小值1；当x=4时，函数f（x）取最大值10；故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为[1，10]，故选：B．3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．4【解答】解：（log29）•（log34）===4．故选D．4．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]【解答】解：函数f（x）=有意义，可得，即为，则1＜x≤10，且x≠2，故选：D．6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：由f（1﹣x）=f（1+x），得函数关于x=1对称，则c=f（2）=f（1+1）=f（1﹣1）=f（0），∵当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，且﹣1＜﹣＜0，∴f（﹣1）＞f（﹣）＞f（0），即c＜a＜b，故选：A8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）=0，即•（+）=0；又因为﹣=，所以（﹣）•（+）=0，即||=||，所以△ABC是等腰三角形．故选：A．9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：∵=t，t≠0，∴sinx•﹣cosxcosx=0，化为：tanx=±1．则sin2x====±1．故选：C．10．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣【解答】解：∵=λ（+），∴为∠ACB角平分线方向，根据角平分线定理可知：=，∴=．∴===．故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f （x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（0，]D．（﹣∞，]【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，所以扇形的半径r为：r=4，r=2，则扇形的圆心角α的弧度数为=2．故答案为：2．14．（5分）若tanα=﹣，则sin2α+2sinαcosα的值为．【解答】解：∵tanα=﹣，∴sin2α+2sinαcosα===．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x ≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）=0．【解答】解：对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=﹣=f（x），即当x≥0时，函数f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣2017）=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=log22=1，f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=f（2+1）=﹣=﹣1，则f（﹣2017）+f（2019）=﹣1+1=0，故答案为：0．16．（5分）已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=445π．【解答】解：令2x+=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，，∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，…，x n﹣1+x n=2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=2×（+++…+）=2××30=445π．故答案为：445π．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，C={x|3a﹣2＜x＜4a ﹣3}，若C⊆A，求a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，C⊆A，∴当C=∅时，3a﹣2≥4a﹣3，解得a≤1；当C≠∅时，a＞1，∴．解得1＜a≤2．综上所述：a的取值范围是（﹣∞，2]．18．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．【解答】解：（1）由0＜β＜α＜，cosα=，可得sinα=，∴tan=，则tan2α==﹣；（2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，得sin（α﹣β）==，可得，cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=∴．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：（1）∵已知（x∈R，a ∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点），∴f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）当时，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，f（x）取得最大值为a+3=4，∴a=1．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．【解答】解（1）由，可知M、B、C三点共线．如图令==，∴，即面积之比为1：4．（2）由，，由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解答】解：（1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （k 为常数），x=100时，y=9，代入解得k=，所以y=lgx++5．当x∈[50，500]时，y=lgx++5是增函数，但x=50时，f（50）=lg50+6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求；（2）对于函数模型f（x）==15﹣a为正整数，函数在[50，500]递增；f（x）min=f（50）≥7，解得a≤344；要使f（x）≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥﹣0.15x2+13.8x 对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315．综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（本小题12分）（1）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．…（1分）∴，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1，∴又f（﹣1）=f（1），∴=，解得m=2 ∴．…（3分）（2）由（1）知，易知f（x）在R上为减函数，…（4分）又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，从而h（﹣1）h（1）＜0，即，…（6分）∴（a+）（a﹣）＜0，∴﹣＜a＜，∴a的取值范围为（﹣，）；…（8分）（3）由（1）知，又f（x）是奇函数，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，…（10分）即对一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，…（11分）∴k＜﹣12，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣12）．…（12分）。
南开中学2014届高三第一次月考数学试卷(理)无答案
南开中学2014届高三第一次月考数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）（1）设集合{}2S x x =>-，{}2340T x x x +-≤=，则S T = （ ） （A ）(]2,1- （B ）(],4-∞- （C ）(],1-∞ （D ）[)1,+∞（2）在四边形ABCD 中，0AB BC ⋅= ，BC AD =，则四边形ABCD 是（ ）（A ）直角梯形 （B ）菱形 （C ）矩形 （D ）正方形（3）已知向量()1,1a =，()2,b n = ，若a b a b +=⋅ ，则n =（ ）（A ）-3 （B ）3 （C ）1 （D ）-1（4）函数2sin cos y x x x =+- ）（A ）2,3π⎛ ⎝⎭ （B ）5,6π⎛ ⎝⎭ （C ）23π⎛- ⎝⎭（D ）,3π⎛ ⎝ （5）已知曲线的极坐标方程为24cos22θρ=-，则其直角坐标下的方程是（ ）（A ）()2211x y ++= （B ）()2211x y ++= （C ）()2211x y -+= （D ）()2211x y +-=（6）不等式()2251x x +-≥的解集是（ ）（A ）13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）(]1,11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（7）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB = ，则向量CA 在CB方向上的投影为（ ）（A （B ）3 （C ） （D ）-3（8）已知1212120a a b b c c ≠，命题p ：111222a b c a b c ==， 命题q ：两个关于x 的不等式21110a x b x c ++>，22220a x b x c ++>解集相同， 则命题p 是命题q 的（ ）条件（A ）充分必要 （B ）充分不必要（C ）必要不充分 （D ）既不充分也不必要第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） （9）已知5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭04x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为___________. （10）在ABC ∆中，90C ∠=，60A ∠=，20AB =，过C 作ABC ∆的外接圆的切线CD ，BD CD ⊥，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为___________. （11）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s b A 、cos c C 、cos a B 成等差数列，则角C =___________. （12）将函数2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的纵坐标缩小到原来的12，横坐标伸长到原来的2倍，再将图象向左平移4π，则所得图象解析式为____________________. （13）已知,E F 为平行四边形ABCD 中边BC 与边CD 的中点，且1AF AE ==，60EAF ∠=，则AB BC ⋅=___________.（14）命题p ：关于x 的方程240x ax -+=有实根，命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在[),b +∞上是增函数，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则b 的取值范围是________________.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）已知函数()()0,cos 2cos sin 22>∈-=ωωωωR x xx x x f ，相邻两条对称轴之间的距离是2π. （Ⅰ）求⎪⎭⎫⎝⎛4πf 的值； （Ⅱ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f 的最值及相应的x 值.（16）（本小题满分13分）某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲，乙，丙通过量化监测. 假设该技术的指标甲，乙，丙独立通过检测合格的的概率分别为21,32,32，并且甲，乙，丙指标检测合格分别记4分，2分，4分。
2013-2014学年重庆市南开中学高一(上)期末数学试卷含答案
2013-2014学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5.00分）sin42°cos18°+cos42°sin18°=（）A．B．C．D．2．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A．y=e x+e﹣x B．y=|x|C．y=sinx D．y=﹣x33．（5.00分）设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=sin（x+φ），x∈R”为偶函数的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5.00分）函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z5．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）6．（5.00分）已知a=log0.34，b=log43，c=0.3﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c7．（5.00分）已知tan（α+β）=，tan（α+）=﹣，则tan（β﹣）=（）A．2 B．C．1 D．8．（5.00分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只要将y=2sinx（x∈R）的图象上的所有的点（）A．纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度B．纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C．纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D．纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度9．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f（2）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=（）A．1 B．2014 C．0 D．﹣201410．（5.00分）已知A，B，C为△ABC的三个内角，所对的边分别为a，b，c，且bcosA=acosB，则下列结论正确的是（）A．A＞C B．A＜B C．A＞B D．A=B二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5.00分）设函数f（x）=，则f（4）=．12．（5.00分）函数y=log a（2x﹣3）+8的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=．13．（5.00分）函数f（x）=sinx•sin（x+）的最小正周期是．14．（5.00分）关于x的不等式2a﹣sin2x﹣acosx＞2的解集为全体实数，则实数a的取值范围为．15．（5.00分）对于区间[m，n]，定义n﹣m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax2﹣2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1，x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥1成立，则实数a的最小值为．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（13.00分）已知函数的定义域为集合A，函数定义域为集合B，求A∩B．17．（13.00分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），（x＜0），且cosα=x．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（13.00分）已知函数f（x）=log3（ax2﹣x+1），其中a∈R．（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，若g（x）=f（x）﹣log3（x﹣1），求g（x）的值域．19．（12.00分）已知函数f（x）=2cosxsinx（x﹣）+sin2x+sinxcosx．（1）求函数y=f（x）图象的对称中心；（2）若2f（x）﹣m+1=0在[，]有两个相异的实根，求m的取值范围．20．（12.00分）已知函数f（x）=．（1）当k=2时，求函数f（x）的最大值；（2）对定义域内的任意x都有|f（x）﹣1|≤k成立，求k的取值范围．21．（12.00分）已知关于x的函数f n（x）=cos n x+cos n（x+）+cos n（x+），其中n∈N*．（1）求f n（0）和f n（）；（2）求证：对任意x∈R，f2（x）为定值；（3）对任意x∈R，是否存在最大的正整数n，使得函数y=f n（x）为定值？若存在，求出n的最大值；若不存在，请说明理由．2013-2014学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5.00分）sin42°cos18°+cos42°sin18°=（）A．B．C．D．【解答】解：由两角和的正弦公式可得：sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin（42°+18°）=sin60°=故选：B．2．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A．y=e x+e﹣x B．y=|x|C．y=sinx D．y=﹣x3【解答】解：A．y=e x+e﹣x为偶函数，不满足条件．B．y=|x|为偶函数，不满足条件．C．y=sinx是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，满足条件．D．y=﹣x3是奇函数，在区间（﹣1，1）上是减函数，不满足条件．故选：C．3．（5.00分）设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=sin（x+φ），x∈R”为偶函数的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（x）=sin（x+φ），为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z，故“φ=”是“f（x）=sin（x+φ），x∈R”为偶函数的充分不必要条件，故选：A．4．（5.00分）函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z【解答】解：对于函数y=3sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x∈[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：D．5．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B．6．（5.00分）已知a=log0.34，b=log43，c=0.3﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：∵a=log0.34＜0，0＜b=log43＜1，c=0.3﹣2＞0.30=1，∴a＜b＜c．故选：D．7．（5.00分）已知tan（α+β）=，tan（α+）=﹣，则tan（β﹣）=（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（α+）=﹣，则tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]===1．故选：C．8．（5.00分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只要将y=2sinx（x∈R）的图象上的所有的点（）A．纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度B．纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C．纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D．纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象可得==﹣，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴函数f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin （2x+）=2sin2（x+），故把将y=2sinx（x∈R）的图象上的所有的点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度，即可得到f（x）的图象，故选：C．9．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f（2）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=（）A．1 B．2014 C．0 D．﹣2014【解答】解：∵y=f（x+1）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x+1）=﹣f（x+1），∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x）即有f（﹣x﹣1）=f（x+1），则f（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x+1），即f（x+1）=﹣f（x﹣1），即有f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），则f（x）的周期是4，由于f（2）=1，则f（2）=﹣f（0）=1，则f（0）=﹣1，又f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），则f（1）=0，又f（3）=﹣f（1）=0，f（4）=f（0）=﹣1，则有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0+1+0+（﹣1）=0，由于f（2014）=f（4×503+2）=f（2）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=0×503+[f（1）+f（2）]=0+1=1．故选：A．10．（5.00分）已知A，B，C为△ABC的三个内角，所对的边分别为a，b，c，且bcosA=acosB，则下列结论正确的是（）A．A＞C B．A＜B C．A＞B D．A=B【解答】解：∵bcosA=acosB，由正弦定理可得：sinBcosA=sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A=B，故选：D．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5.00分）设函数f（x）=，则f（4）=．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=2f（6）=2×2f（8）=4=8．故答案为：8．12．（5.00分）函数y=log a（2x﹣3）+8的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=27．【解答】解：对于函数y=log a（2x﹣3）+8，令2x﹣3=1，解得x=2，此时y=8，因此函数y=log a（2x﹣3）+8的图象恒过定点P（2，8）．设幂函数f（x）=xα，∵P在幂函数f（x）的图象上，∴8=2α，解得α=3．∴f（x）=x3．∴f（3）=33=27．故答案为27．13．（5.00分）函数f（x）=sinx•sin（x+）的最小正周期是π．【解答】解：函数f（x）=sinx•sin（x+）=sinxcosx=sin2x 的最小正周期是=π，故答案为：π．14．（5.00分）关于x的不等式2a﹣sin2x﹣acosx＞2的解集为全体实数，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：不等式2a﹣sin2x﹣acosx＞2，变形得：2a﹣sin2x﹣acosx＞2，即（2﹣cosx）a＞2+sin2x，解得：a＞==2+cosx﹣，设2﹣cosx=t，即cosx=2﹣t，则有a＞4﹣t﹣=4﹣（t+），根据基本不等式得：t+≥2，当且仅当t=1时取等号，此时a＞2，则实数a的范围是为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．15．（5.00分）对于区间[m，n]，定义n﹣m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax2﹣2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1，x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥1成立，则实数a的最小值为1．【解答】解：要使函数f（x）=ax2﹣2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1，x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥1成立，只需要恒成立∵f（x）=ax2﹣2x+1=∴∵a＞0∴a≥1∴实数a的最小值为1故答案为：1三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（13.00分）已知函数的定义域为集合A，函数定义域为集合B，求A∩B．【解答】解：∵函数的定义域：A={x||2x﹣3|﹣x≥0}={x|2x﹣3≥x，或2x﹣3≤﹣x}={x|x≥3，或x≤1}．函数定义域：B=={x|}={x|x＜0}．∴A∩B={x|x＜0}．17．（13.00分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），（x＜0），且cosα=x．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：由条件知cosα=x=，解得：x=﹣2，即P（﹣2，﹣1），（1）tanα==；（2）∵P（﹣2，﹣1），∴sinα=﹣，∴原式===2sinαtanα=﹣．18．（13.00分）已知函数f（x）=log3（ax2﹣x+1），其中a∈R．（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，若g（x）=f（x）﹣log3（x﹣1），求g（x）的值域．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=log3（﹣x+1），显然定义域不是R，不合题意，舍去．当a≠0时，要使f（x）的定义域为R，则．故实数a的取值范围（，+∞）（2）当a=1时，，其定义域为x∈（1，+∞）．∴．令t=x﹣1＞0，则，故，即g（x）的值域为[1，+∞）．19．（12.00分）已知函数f（x）=2cosxsinx（x﹣）+sin2x+sinxcosx．（1）求函数y=f（x）图象的对称中心；（2）若2f（x）﹣m+1=0在[，]有两个相异的实根，求m的取值范围．【解答】解：=．（1）由得：，故f（x）的对称中心为．（2）由2f（x）﹣m+1=0可得：．∵，，故f（x）∈[0，2]．结合函数图象，当时，原方程有两个相异的实根，故3≤m＜5．20．（12.00分）已知函数f（x）=．（1）当k=2时，求函数f（x）的最大值；（2）对定义域内的任意x都有|f（x）﹣1|≤k成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）当k=2时，f（x）=1+，设t=2x＞0，则y=1+，∵t＞0，∴t+≥2，∴0＜≤，∴1＜y≤，∴函数f（x）的最大值为；（2）k=1时显然成立；k≠1时，对定义域内的任意x都有|f（x）﹣1|≤k成立，则≥对定义域内的任意x都成立，∴≥，∴﹣3k≤k﹣1≤3k，k≠1，∴k≥且k≠1．综上，k≥．21．（12.00分）已知关于x的函数f n（x）=cos n x+cos n（x+）+cos n（x+），其中n∈N*．（1）求f n（0）和f n（）；（2）求证：对任意x∈R，f2（x）为定值；（3）对任意x∈R，是否存在最大的正整数n，使得函数y=f n（x）为定值？若存在，求出n的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），．（2）对任意x∈R=又，故．（3）由于故，即n=4时，y=f n（x）为定值．当n为奇数，且n≥3时，由（1）得：，而，即．故y=f n（x）不可能为定值．当n为偶数，且n≥6时，由（1）得：．而关于n单调递减，故．即，故y=f n（x）不可能为定值．综上，存在最大的正整数n=4，使得对任意的x∈R，y=f n（x）为定值．。
2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题含解析
2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定 5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1A C 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．函数22log (1)y x x =--的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合2{(,)49}A x y y x ==-，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ．15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l ，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1axg x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C D D C B2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[7,72]-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为229142333d -==+分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． ……………………6分（2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， ………11分即3a ≤或4a ≥． …………12分19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5，则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分 由于5MN =125MN =，有2221()2r d MN =+， ,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为55， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为 511532122122-<-=++⨯-=c c d ， …………10分 解得5254+<<-c ． …………13分21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x ax x ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分 （2）由（1）得：11log )(21-+=x x x g ， 下面证明函数11log )(21-+=x x x g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414． xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立． min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴x x x x a ……………………10分设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分 )(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。
重庆市南开中学2014_2015学年高三数学上学期一诊模拟试卷文(含解析)
2014-2015学年重庆市南开中学高三（上）一诊模拟数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分．在给出的四个选项中只有一项是正确的．1．集合A={x|≥2，x∈Z}的子集个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 52．已知m∈R，复数的实部和虚部相等，则m的值为（）A．B． 0 C． 1 D．﹣13．下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0B．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C．样本的中位数一定在样本中D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率（）A．均不相等B．都相等，且为C．不全相等D．都相等，且为5．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．7．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0，在区间[﹣4，6]上任取整数m，则直线l：x+y+m=0与圆C 相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC满足|AB|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足==，且+=λ，λ∈R，则•=（）A． 8B． 8 C． 4D． 49．已知实数x，y满足可行域D：，曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣4C．﹣6 D． 2﹣8 10．已知实数a，b，c，d满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．﹣1 B． 2﹣C． 3﹣2D． 1﹣二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．二项式（﹣x2）5展开式中的第四项的系数为．12．已知x，y∈R+，且+=1，则x+2y的最小值为．13．设点p是椭圆（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是．14、15、16为选做题．请从中任选两题作答．若三题全做，则按前两题给分．14．（几何证明选做题）如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O 的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为．15．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以O为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为psin（θ+）=2，C1与C2的交点为A、B，则|AB|= ．1013•南昌二模）设f（x）=|2x﹣1|，若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是．三、解答题：本大题共6小蹶．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sinwxcoswx+2cos2wx﹣1的周期为．（1）求w的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠ABC的对边，f（）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．18．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．19．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣p，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）当p=2时，数列{a n}满足b1=2，b n+1=b n+a n（n∈N+），求数列{nb n}的前项n和T n．20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．22．设数列{a n}满足a1=1，a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+）；（1）证明：a n+1＞a n；（2）若b n=（1﹣），证明：0＜b k＜2．2014-2015学年重庆市南开中学高三（上）一诊模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在给出的四个选项中只有一项是正确的．1．集合A={x|≥2，x∈Z}的子集个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据条件求出集合A，利用子集的关系即可得到结论．解答：解：∵A={x|≥2，x∈Z}，∴A={﹣3，﹣2}∴集合A={x|≥2，x∈Z}的子集为{﹣3}，{﹣2}，{﹣3，﹣2}，∅共4个，故选：C点评：本题主要考查集合子集个数的判断，比较基础．2．已知m∈R，复数的实部和虚部相等，则m的值为（）A．B． 0 C． 1 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部和虚部的定义即可得出．解答：解：∵复数==+的实部和虚部相等，∴m+1=1﹣m，解得m=0．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、实部和虚部的定义，属于基础题．3．下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0B．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C．样本的中位数一定在样本中D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∃x∈R，x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≤0，不正确，其否定“∀x∈R，x2﹣2x+2≥0”，即可判断出；B．只有一个平面四边形的内对角互补的四个顶点共圆，即可判断出；C．样本的中位数一定在样本中，不正确，即可判断出；D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）正确，即可判断出．解答：解：A．∃x∈R，x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≤0，不正确，其否定“∀x∈R，x2﹣2x+2≥0”，正确；B．任意一个平面四边形的四个顶点共圆，不正确，其否定正确；C．样本的中位数一定在样本中，不正确，其否定正确；D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）正确，其否定不正确．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定、实数的性质、四点共圆的性质、概率统计，考查了推理能力，属于基础题．4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率（）A．均不相等B．都相等，且为C．不全相等D．都相等，且为考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据抽样的定义进行判断即可．解答：解：在各种抽样中，为了保证抽样的公平性，每个个体被抽到的概率都是相同的，都为=，故选：B点评：本题主要考查抽样的定义和理解，比较基础．5．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+），令x﹣=kπ+，k∈z，求得x的值，即可得到函数图象的一条对称轴方程．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+﹣）=2sin（x﹣）．由x﹣=kπ+，k∈z，可得 x=kπ+，故所得函数图象的一条对称轴是，故选C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的对称轴的求法，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i 的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．7．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0，在区间[﹣4，6]上任取整数m，则直线l：x+y+m=0与圆C 相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式；圆的一般方程．专题：应用题；概率与统计．分析：直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形，可得圆心到直线的距离d=＜×2且m≠1，即﹣1＜m＜3且m≠1，从而在区间[﹣4，6]上任取整数m，有基本事件11个，﹣1＜m＜3且m≠1，有基本事件2个，即可求得结论．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0∴化成标准形式得（x﹣1）2+（y+2）2=4，得圆心为C（1，﹣2），半径为2∵直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形，∴圆心到直线的距离d=＜×2且m≠1，∴﹣1＜m＜3且m≠1，在区间[﹣4，6]上任取整数m，有基本事件11个，﹣1＜m＜3且m≠1，有基本事件2个，∴所求概率为，故选：B．点评：本题考查概率的计算，考查直线与圆的位置关系，求得基本事件的个数是关键．8．已知△ABC满足|AB|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足==，且+=λ，λ∈R，则•=（）A． 8B． 8 C． 4D． 4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：O是△ABC所在平面内一点，满足==，可得O是△ABC的外心．设AB边的中点为D．可得OD⊥AB．由于+=λ，可得AC∥OD．∠A=90°．即可得出．解答：解：∵O是△ABC所在平面内一点，满足==，∴O是△ABC的外心．设AB边的中点为D．则OD⊥AB．∵+=λ，∴AC∥OD．∴∠A=90°．∴•===8．故选：B．点评：本题考查了三角形外心的性质、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知实数x，y满足可行域D：，曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣4C．﹣6 D． 2﹣8考点：简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，确定x，y的取值范围将曲线进行化简，利用面积关系进行转化求即可即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，1），C（3，0），由，解得，即B（2，3），则x≥0且0≤y≤3，则曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，等价为x﹣y+5+a=0，则曲线x﹣y+5+a=0与直线AB：x﹣y+1=0平行，则C到AB：x﹣y+1=0的距离d AB==2，|AB|=，则△ABC的面积S==4．∵T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，∴设C到x﹣y+5+a=0的距离d，则，即，即d==，则d==2，即|a+8|=2，解得a+8=2，或a+8=﹣2，即a=2﹣8或a=﹣2﹣8（舍）．故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据图象将曲线进行化简是解决本题的关键，考查学生的运算和推理能力．10．已知实数a，b，c，d满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．﹣1 B． 2﹣C． 3﹣2D． 1﹣考点：曲线与方程；基本不等式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：实数a，b，c，d满足==1，可得b=lna，（d﹣1）2+c2=1．考查函数y=lnx 与圆的方程x2+（y﹣1）2=1的图象及其性质．设直线l与函数y=lnx相切于点P（x0，lnx0），利用导数的几何意义可得切线l的方程为：y﹣lnx0=，由于EP⊥l，可得k EP•k l=﹣1，解得切点为P（1，0）．即可得出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（|EP|﹣r）2．解答：解：∵实数a，b，c，d满足==1，∴b=lna，（d﹣1）2+c2=1．考查函数y=lnx，与圆的方程x2+（y﹣1）2=1．设直线l与函数y=lnx相切于点P（x0，lnx0），∵，∴切线l的方程为：y﹣lnx0=，∵EP⊥l，∴k EP•k l==﹣1，∴，当x0=1时，上述方程成立；当x0＞1或0＜x0＜1时，上述方程不成立．因此切点为P（1，0）．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（|EP|﹣r）2==3﹣2．故选；C．点评：本题考查了对数函数与圆的图象及其性质、导数的几何意义、切线的性质、两点之间的距离公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．二项式（﹣x2）5展开式中的第四项的系数为﹣40 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：先求得二项式（﹣x2）5的通项公式，再令r=3，即可求得第四项的系数．解答：解：∵二项式（﹣x2）5的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•25﹣r•x r﹣5，∴第四项的系数为﹣•22=﹣40，故答案为：﹣40．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．已知x，y∈R+，且+=1，则x+2y的最小值为15 ．考点：基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：由x，y∈R+，且+=1，变形x+2y=x+1+2y﹣1=﹣1=9+，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x，y∈R+，且+=1，∴x+2y=x+1+2y﹣1=﹣1=9+≥9+2=9+6=15，当且仅当x+1=6y=12时取等号．∴x+2y的最小值为15．故答案为：15．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13．设点p是椭圆（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设△PF1F2的内切圆半径为r，根据内心的性质，结合三角形面积公式将S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2化简整理，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．由此结合椭圆离心率公式，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则S△IPF1=|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=|F1F2|•r，∵S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，∴|PF1|•r+|PF2|•r=|F1F2|•r，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．∴椭圆的离心率e====故答案为：点评：本题已知椭圆的焦点三角形的一个面积关系式，求椭圆的离心率．着重考查了三角形内切圆的性质、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．14、15、16为选做题．请从中任选两题作答．若三题全做，则按前两题给分．14．（几何证明选做题）如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O 的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为 4 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题；选作题．分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠DAC=30°，从而得到三角形AOC是一个等腰三角形，得到半径的长度，在含有30°角的直角三角形中，做出OD的长．解答：解：∵AD是圆O的切线，∠B=30°∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=2，在直角三角形AOD中，OD=2AO=4，故答案为：4．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．15．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以O为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为psin（θ+）=2，C1与C2的交点为A、B，则|AB|= 6．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：把曲线C1的参数方程化为普通方程，得方程①；曲线C2的极坐标方程化为普通方程，得方程②；由①②组成方程组，求出x，利用弦长公式，即可得出结论．解答：解：把曲线C1的参数方程（t为参数），化为普通方程，得y=x2①；曲线C2的极坐标方程ρsin（θ+）=2，化为普通方程，得x+y=4②；由①②联立，消去y，得x2+2x﹣8=0，∴x=2，或x=﹣4，∴|AB|=•|2+4|=6．故答案为：6．点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时先把参数方程、极坐标方程化为普通方程，再解答问题，是基础题．1013•南昌二模）设f（x）=|2x﹣1|，若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是{x|x≤﹣1或x≥2}．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：把f（x）看作是一个参数，问题转化为求的最大值，再把此式看作是关于a的函数，通过分段处理的方式，可获得最值．解答：解：∵不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，∴f（x）大于或等于的最大值，令g（a）=，则当a≤﹣1时，g（a）=；当﹣1＜a＜0时，g（a）=﹣3；当0＜a＜时，g（a）=3；当a时，g（a）=，即g（a）=∴g（a）有最大值g（）=．∴f（x）≥3，即|2x﹣1|≥3，解得x≤﹣1或x≥2．故答案为{x|x≤﹣1或x≥2}．点评：本题属于恒成立问题，解决本题的关键有两个：（1）弄清谁是参数我们习惯上把a当作参数，但由于本题是“对任意实数a≠0恒成立”，所以不等式f（x）≥应看作是关于a的不等式；（2）如何去绝对值符号求函数g（a）=的最大值时，采用了分段处理的方法，分段的依据是以三个临界点﹣1，0，为准则进行讨论，从而顺利地去掉了绝对值符号．三、解答题：本大题共6小蹶．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sinwxcoswx+2cos2wx﹣1的周期为．（1）求w的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠ABC的对边，f（）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换求得函数f（x）=2sin（2wx+），再根据f（x）的周期为T==，求得w的值．（2）由f（）=2sin（4×+）=1，求得sin（2A+）=，求得A=．再根据a=2，b+c=4，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积为bc•sinA 的值．解答：解：（1）由于函数f（x）=2sinwxcoswx+2cos2wx﹣1=sin2wx+cos2wx=2sin （2wx+）的周期为T==，∴w=2，f（x）=2sin（4x+）．（2）∵f（）=2sin（4×+）=1，∴sin（2A+）=，∴2A+=，求得A=．再根据a=2，b+c=4，利用余弦定理可得a2=4=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc，∴bc=4，∴△ABC的面积为bc•sinA=×4×=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性，余弦定理，属于基础题．18．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．解答：解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：X 2 3 4 5PEX=2×+3×+4×+5×=．点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．19．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣p，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）当p=2时，数列{a n}满足b1=2，b n+1=b n+a n（n∈N+），求数列{nb n}的前项n和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=2a n﹣p，得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，a1=2a1﹣p，由此能证明{a n}是首项为p，公比为2的等比数列．（2）当p=2时，a n=2n，从而b n+1﹣b n=2n，由此利用累加法能求出b n=2n．从而nb n=n•2n，由此利用错位相减法能求出T n=（n﹣1）•2n﹣1+2．解答：（1）证明：因为S n=2a n﹣p（n∈N*），则S n﹣1=2a n﹣1﹣p（n∈N*，n≥2），所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，整理得a n=2a n﹣1由S n=2a n﹣p，令n=1，得a1=2a1﹣p，解得a1=p，所以{a n}是首项为p，公比为2的等比数列．（2）解：当p=2时，a n=2n，∵满足b1=2，b n+1=b n+a n=，∴b n+1﹣b n=2n，∴b n=b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+b n﹣b n﹣1=2+2+22+23+…+2n﹣1=2+=2n．∴nb n=n•2n，∴T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①2T n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n﹣1+2．点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意累加法和错位相减法的合理运用．20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：（1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间；（2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．解答：解：（1）求导函数，可得（x＞0）若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1﹣a=0，解得a=1∴f（x）=x﹣lnx∴f（x）+2x=x2+b，即x﹣lnx+2x=x2+b，亦即x2﹣3x+lnx+b=0设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0）则g'（x）=2x﹣3+==当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表x （0，）（，1） 1 （1，2） 2g'（x）+ 0 ﹣0 +G（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b﹣2，g（）=b﹣﹣ln2，g（2）=b﹣2+ln2∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴g（）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0∴b﹣﹣ln2≥0，b﹣2＜0，b﹣2+ln2≥0∴+ln2≤b＜2点评：本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．考点：圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，得：，解得p=2，∴抛物线C1：y2=4x；由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上，可得：a2=1，c2=1，∴a=c=1，则b==，∴椭圆C2：；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），直线与抛物线联立，消元可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵，∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2，∴，，∴λ1+λ2==﹣1为定值；（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），∵，∴S（x3+x4，y3+y4），∵，∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①，∵P，Q在椭圆上，∴②，③，由①+②+③得（x3+x4）2+=1．∴点S在椭圆C2上．点评：本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．22．设数列{a n}满足a1=1，a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+）；（1）证明：a n+1＞a n；（2）若b n=（1﹣），证明：0＜b k＜2．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+），化为，作差比较即可证明．（2）由a1=1＞0，a n+1＞a n，可得∀n∈N*，a n＞0，＞0，可得b n＞0，0＜b k．另一方面：b n=＜=，利用“累加求和”即可证明．解答：证明：（1）∵a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+），化为，∴a n+1﹣a n==＞0，∴a n+1＞a n；（2）∵a1=1＞0，a n+1＞a n，∴∀n∈N*，a n＞0，∴＞0，∴b n=（1﹣）＞0，∴0＜b k．另一方面：b n=（1﹣）=＜=，∴b k ＜+…+=2＜2．∴0＜b k＜2．点评：本题考查了“累加求和”、“放缩法”、数列的单调性，考查了数列的变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21。
【物理】重庆市沙坪坝区南开中学2014-2015学年高一(上)期末试卷
2014-2015学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期末物理试卷参考答案与试题解析一、选择题（共70分，每题5分，每题只有一个选项符合题意，选择符合题意的选项并在机读卡上将相应符号涂黑）1．下列说法正确的是（）A．只有相互接触的物体间才有力的作用B．伽利略的理想实验证明了物体不受外力时，也可以保持原来的匀速直线运动状态C．国际单位制中，力学的基本单位有三个，它们分别是kg、m、ND．人推车时，人先给车一个力F，然后车才产生一个与F相反作用在人身上的力F′考点：力学单位制．分析：力是物体对物体的作用，相互接触的物体不一定有力的作用，没有相互接触的物体可能存在力的作用；伽利略的理想实验证明了物体不受外力时，也可以保持原来的匀速直线运动状态；国际单位制中力学的三个基本单位分别是千克、米、秒，分别对应的物理量为质量、长度、时间．由牛顿第三定律可知，作用力与反作用力大小相等，方向相反，它们同时产生，同时变化，同时消失．解答：解：A、当相互接触的物体间，有力的作用，属于弹力，有力不一定有必须接触，比如：重力，故A错误；B、伽利略的理想实验证明了物体不受外力时，也可以保持原来的匀速直线运动状态，故B 正确；C、国际单位制中力学的三个基本单位分别是kg、m、s，分别对应的物理量为质量、长度、时间．故C错误；D、作用力与反作用力它们同时产生，同时变化，同时消失，所以人推车时，人给车一个力F的同时，车也产生一个与F相反作用在人身上的力F′，故D错误；故选：B．点评：此题考查的是力的概念，知道物体之间的相互作用不一定需要物体相互接触，掌握国际单位制中力学的基本单位，知道作用力与反作用力的关系的同时性．2．关于曲线运动的叙述正确的是（）A．物体的速度大小一定时刻变化B．物体速度方向一定时刻变化C．物体的加速度大小一定时刻变化D．物体的加速度方向一定时刻变化考点：曲线运动；向心加速度．专题：物体做曲线运动条件专题．分析：既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动一定是变速运动；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，合外力大小和方向不一定变化．解答：解：A、曲线运动的速度一定在变化，但速度的大小不一定变化，如匀速圆周运动，所以A错误．B、既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动的速度方向一定变化，故B正确；C、物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，既然物体有合外力，则物体一定有加速度，但加速度可以不变，例如匀速圆周运动，所以C错误．D、物体做曲线运动，一定有加速度，但不一定变化，比如：平抛运动，故D错误．故选：B．点评：本题关键是对质点做曲线运动的条件的考查，匀速圆周运动，平抛运动等都是曲线运动，对于它们的特点要掌握住．3．下列各量是矢量的物理量是（）①质量②力③路程④位移．A．②④B．①②C．②③D．①④考点：矢量和标量．分析：矢量是指既有大小又有方向的物理量，标量是只有大小没有方向的物理量．根据有无方向区分．解答：解：矢量是指既有大小又有方向的物理量，力和位移是矢量，而标量是只有大小没有方向的物理量．质量和路程是标量．故A正确，BCD错误．故选：A．点评：本题是一个基础题目，就是看学生对矢量和标量的掌握．对于矢量，可结合矢量的方向特点进行判断．4．质量为2kg的物体静止在光滑水平面上，现对物体沿水平方向同时施加两个大小分别为6N和8N的力，那么物体加速度的大小不可能的是（）A． 1m/s2B． 4m/s2C． 7m/s2D． 9m/s2考点：牛顿第二定律；力的合成与分解的运用．专题：牛顿运动定律综合专题．分析：两个共点力的合力范围为：F1+F2≥F≥|F1﹣F2|；先求解合力范围，再根据牛顿第二定律确定加速度范围．解答：解：置于光滑水平桌面上质量为2㎏的物体，同时受到大小分别为 6N和8N的两个水平力作用，合力范围为：2N≤F≤14N物体的质量为2kg，根据牛顿第二定律，加速度的范围为：1m/s2≤a≤7m/s2故ABC是可能的，D是不可能的；本题选不可能的，故选：D．点评：本题关键是确定两个共点力的合力范围，然后牛顿第二定律公式a=确定加速度范围，基础问题5．用如图的方法可以测出一个人的反应时间，设直尺从静止开始自由下落，到直尺被受测者抓住，直尺下落的距离h，受测者的反应时间为t，则下列结论正确的是（）A． t∝h B． t∝C． t∝D． t∝h2考点：自由落体运动．专题：自由落体运动专题．分析：根据题意分析，直尺下落可看做自由落体运动，由自由落体运动公式可求t 出h与的关系．解答：解：根据题意分析，直尺下落可看做自由落体运动，由自由落体运动公式，可得t=，所以t∝，故C正确．故选：C点评：考查实际问题转化为物理题，利用自由落体运动规律解决．6．如图所示是一沿直线运动物体的v﹣t图象，则下列说法正确的是（）A．在0～3 s内物体做匀变速直线运动B．在3～6 s内物体静止C．在0～9 s内物体的运动方向始终相同D．物体在12s末回到出发位置考点：匀变速直线运动的图像．专题：运动学中的图像专题．分析：速度时间图线速度的正负值可以确定物体的运动方向，图线的斜率表示加速度，图线与时间轴围成的面积表示位移．解答：解：A、图象0～3 s内直线斜率在变化，故加速度一直变化，物体做非匀变速直线运动，A错误；B、图象3～6 s表示物体做匀速直线运动，B错误；C、在0～9 s内物体的速度均为正，即运动方向相同，C正确；D、由图可知，12s内物体的上方面积大于下方面积；故位移为正值，没有回到出发位置；故D错误；故选：C点评：解决本题的关键知道速度时间图线的物理意义，知道图线的斜率表示加速度，图线与时间轴围成的面积表示位移．7．如图所示，一物体静止在固定斜面上，关于它所受各力的相互关系，下列说法正确的是（）A．它受到的重力与弹力大小相等B．它受到的静摩擦力的大小等于重力沿斜面向下的分力的大小C．它受到的弹力与摩擦力的合力大于物体受到的重力D．它受到斜面作用力的方向垂直于斜面向上考点：共点力平衡的条件及其应用；力的合成与分解的运用．专题：共点力作用下物体平衡专题．分析：物体静置在斜面上，受力平衡，分析物体的受力情况，根据平衡条件列式分析各力的关系．解答：解：A、物体静置在斜面上，受到重力、斜面的支持力和静摩擦力三个力作用，由平衡条件得知，重力与支持力、静摩擦力的合力大小相等，重力大于弹力，故A错误．B、将重力分解得知，重力沿斜面向下的分力等于静摩擦力．故B正确．C、由A分析可知，弹力与摩擦力的合力与重力大小相等、方向相反，即此合力的方向应是竖直向上，大小与重力相等．故C错误．D、物体所受斜面的作用力是支持力和摩擦力的合力，方向竖直向上．故D错误．故选：B．点评：本题关键根据平衡条件分析三个力之间的关系，知道斜面对物体的作用力是支持力和摩擦力的合力．8．如图所示，某汽车中一根细线下挂着小球，当汽车做匀变速直线运动时，细线与竖直方向成某一角度，若在汽车底板上还有一跟汽车相对静止的物体M，则关于汽车的运动情况和物体M的受力情况，下列说法正确的是（）A．汽车一定向右做匀加速直线运动B．汽车一定向左做匀加速直线运动C．物体M受重力、支持力和向右的摩擦力作用D．物体M受重力、支持力和向左的摩擦力作用考点：牛顿第二定律；力的合成与分解的运用．专题：牛顿运动定律综合专题．分析：由题可知物体M、小球m和汽车的加速度相同．先以小球为研究对象，分析受力情况，根据牛顿第二定律可求得加速度，判断汽车的运动情况；再以物体M为研究对象，根据牛顿第二定律，分析受力情况解答：解：A、B以小球为研究对象，分析受力情况：重力mg和细线的拉力F，由于小球的加速度水平向右，根据牛顿第二定律得知，小球的合力也水平向右，则有mgtanθ=ma，得a=gtanθ，θ一定，则加速度a一定，汽车的加速度也一定，则汽车可能向右做匀加速运动，也可能向左做匀减速运动．故A错误，B错误．C、D以物体M为研究对象：受到重力、底板的支持力和摩擦力．M相对于汽车静止，加速度必定水平向右，根据牛顿第二定律得知，一定受到水平向右的摩擦力．故C正确，D错误．故选：C点评：本题涉及物体较多，抓住加速度相同，灵活选择研究对象是解题的关键9．为节约能量，商场安装了智能化的电动扶梯．无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运动，一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程，如图所示，下列说法正确的是（）A．顾客始终受到三个力的作用B．顾客先处于超重状态，后义处于失重状态C．扶梯对顾客的支持力的大小始终等于顾客的重力D．扶梯对顾客的支持力的大小先大于顾客重力，后又等于顾客重力考点：牛顿运动定律的应用-超重和失重．专题：牛顿运动定律综合专题．分析：正确解答本题要掌握：正确对物体进行受力分析，应用牛顿第二定律解题；明确超重和失重的实质，理解生活中的超重和失重现象．解答：解：A、以人为研究对象，加速过程中，人受到静摩擦力、重力、支持力三个力的作用下沿电梯加速上升；匀速的过程中人受到重力和支持力两个力的作用．故A错误；B、顾客开始时有竖直向上的加速度，因此顾客处于超重状态，匀速运动时既不超重，也不失重．故B错误；C、顾客开始时有竖直向上的加速度，因此顾客处于超重状态，扶梯对顾客的支持力的大于顾客的重力．故C错误；D、顾客开始时有竖直向上的加速度，顾客处于超重状态，对扶梯的压力大于顾客的重量；匀速运动时的支持力等于重力．故D正确．故选：D．点评：本题考查了牛顿第二定律在生活中的应用，要熟练应用牛顿第二定律解决生活中的具体问题，提高理论联系实际的能力．10．如图所示，光滑杆上套有一个质量为m的环，杆与水平面间的倾角为α，若要使环在杆上保持静止，对环还需施加一个力，此力的最小值应为（）A． mg B． mgsinαC． mgcosαD．考点：共点力平衡的条件及其应用．专题：共点力作用下物体平衡专题．分析：杆受到的重力大小和方向以及杆弹力的方向是固定的，根据力的平衡条件所施加的力与弹力的合力应该等于重力，在矢量三角形中判断施加力的最小值解答：解：以杆为研究对象进行受力分析，设所受杆的弹力为N，施加的力为F，F与N 的合力与mg等大反向，根据矢量三角形定则作图如下：可知当F与N垂直时F有最小值mgsinα．故选：B．点评：本题考查力的合成，用矢量三角形合成的法则比较简单11．小球从空中静止下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，该过程中小球的速度随时间变化的关系如图所示．则下列说法正确的是（）A．小球下落的加速度大小等于5 m/s2B．小球与地面相碰后反弹的初速度的大小为5 m/sC．小球反弹后跳起的最大高度为0.45 mD．小球反弹后跳起的最大高度为1.25 m考点：匀变速直线运动的图像．专题：运动学中的图像专题．分析：解答本题应掌握：速度图象的“面积”大小等于物体在某一段时间内发生的位移、斜率等于物体的加速度．解答：解：A、小球下落时的加速度a==10m/s2；故A错误；B、由图可知，反弹后的初速度大小为3m/s；故B错误；C、小球在0.5﹣0.8s时间内上升的高度为：h2=×3×0.3=0.45m．故C正确；D错误故选：C．点评：本题解题的关键在于正确理解图象的意义：速度图象的“面积”大小等于物体在某一段时间内发生的位移、斜率等于物体的加速度．熟练掌握运用图象处理物理问题的能力．12．如图所示，两物体的质量m1＞m2，不计一切摩擦及滑轮的质量，由静止放手后让m1、m2运动时，细绳上拉力F的大小（）A．小于m l g B．等于m l gC．等于D．大于m1g考点：机械能守恒定律；牛顿第二定律．专题：机械能守恒定律应用专题．分析：因为m1＞m2，所以m1将向下做匀加速直线运动，m2将向上做匀加速直线运动，根据牛顿运动定律分析两个物体是处于超重还是失重状态，即可进行解答．解答：解：由静止放手后让m1、m2运动时，m1将向下做匀加速直线运动，m2将向上做匀加速直线运动，根据牛顿运动定律知，m1处于失重状态，m2处于超重状态，则有m2g＜F＜m1g则F≠．故选：A．点评：解决本题的关键要掌握超重和失重的条件：加速度向上时超重，加速度向下时失重，也可以根据牛顿第二定律求出F的大小，再进行判断．13．如图所示，粗糙水平面上A、B两物体相距s=7m，物体A在水平拉力作用下，以v A=4m/s 的速度向右匀速直线运动，此时前方的物体B在摩擦力的作用下向右做初速度v B=10m/s，加速度大小为2m/s2的匀减速直线运动，下列说法正确的是（）A．物体B在4s末停下来B．在B停下来之前，A、B间的距离一直减小C． A在7s末追上BD． A在8s末追上B考点：匀变速直线运动的位移与时间的关系；匀变速直线运动的速度与时间的关系．专题：直线运动规律专题．。