江苏2015届高三数学一校四题卷启东大江中学
江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题含解析
江苏省启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.试题重点考查：集合、命题，函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形等，是一份非常好的试卷。
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 【题文】1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】{2，4，5} ∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}， ∴∁U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A ∩（∁U B ）={2，4，5}．故答案为：{2，4，5} 【思路点拨】找出全集U 中不属于B 的元素，确定出B 的补集，找出A 与B 补集的公共元素，即可确定出所求的集合．【题文】2．若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】[-4，0] ∵命题“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题，⇔“∀x ∈R ，有x 2-mx-m ≥0”是真命题．令f （x ）=x 2-mx-m ，则必有△=m 2-4m ≤0，解得-4≤m ≤0． 故答案为：[-4，0]．【思路点拨】令f （x ）=x 2-mx-m ，利用“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题⇔△=m 2-4m ≤0，解出即可．【题文】3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．【知识点】充分条件、必要条件A2故答案为：既不必要也不充分条件． 【思路点拨】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【题文】4.已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】[1，3] ∵f （x ）的定义域是[0，4]，∴f （x+1）+f （x-1）的定义域为不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩的解集，解得：1≤x ≤3． 故答案为：[1，3]． 【思路点拨】由题意可列不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解之即可．【题文】5.已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(-，则=αsin ▲ ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1∴|OP|= 【题文】6.已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ，则过点P 可向曲线S 引切线，其切线共有▲ 条.【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 ∵y=3x-x 3，∴y'=f'（x ）=3-3x 2，∵P （2，2）不在曲线S 上， ∴设切点为M （a ，b ），则b=3a-a 3，f'（a ）=3-3a 2则切线方程为y-（3a-a 3）=（3-3a 2）（x-a ），∵P （2，2）在切线上，∴2-（3a-a 3）=（3-3a 2）（2-a ），即2a 3-6a 2+4=0， ∴a 3-3a 2+2=0，即a 3-a 2-2a 2+2=0，∴（a-1）（a 2-2a-2）=0，解得a=1或a=1±∴切线的条数为3条，故答案为3． 【思路点拨】求函数的导数，设切点为M （a ，b ），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．【题文】7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ▲ ．【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπtan cos cos (cos )sin ∂∂∂-∂∂=-1 【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。
2015届江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学(理)试题
启东中学2015届高三上学期第一次月考数学试题一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．2．若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件． 4.已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ． 5.已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(-，则=αsin ▲ ．6.已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ，则过点P 可向曲线S 引切线，其切线共有 ▲ 条.7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ▲ ．8.设函数1cos )(3+=x x x f ．若11)(=a f ，则=-)(a f ▲ ． 9.函数|cos |sin cos |sin |)(x x x x x f ⋅+⋅=的值域为 ▲ ．10.已知函数x y ωtan =在),(ππ-内是减函数，则实数ω的范围是 ▲ ．11.已知偶函数)(x f 在),0(+∞单调递减，则满足)1()1(f x f <的实数x 的取值范围是 ▲ ．12.已知锐角B A ,满足A B A tan 2)tan(=+，则B tan 的最大值是 ▲ ．13.已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f y =的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为 ▲ ．14.定义在R 上的可导函数)(x f ,已知)(x f ey '=的图象如图所示，则)(x f y =的增区间是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知集合}0)]4()][1([|{},1121|{<+-+-=++-==a x a x x B x x y x A .分别根据下列条件，求实数a 的取值范围. （1）A B A =⋂； （2）φ≠⋂B A16.（本小题满分14分）设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分15分）已知定义域为R 的函数mnx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求实数n m ,的值；（2）若存在]2,1[∈t ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 成立，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分15分）设函数1cos 3sin )(++=x x x f . （1）求函数)(x f 在]2,0[π的最大值与最小值；（2）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值.19.（本小题满分16分）已知某种型号的电脑每台降价x 成（1成为10%），售出的数量就增加mx 成（m 为常数，且0>m ）.（1）若某商场现定价为每台a 元，售出b 台，试建立降价后的营业额y 与每台降价x 成所成的函数关系式.并问当45=m ，营业额增加1.25%时，每台降价多少？ （2）为使营业额增加，当)100(00<<=x x x 时，求m 应满足的条件.20.（本小题满分16分）设函数)()(R a a ax e x f x∈+-=，其图像与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <. （1）求a 的取值范围；（2）证明：0)(21<'x x f （)(x f '为函数)(x f 的导函数）； （3）设点C 在函数)(x f y =的图象上，且ABC ∆为等腰直角三角形，记t x x =--1112，求)1)(1(--t a 的值.参考答案15.（本小题满分14分）（1）；（2） 16.（本小题满分14分）8≥a 或121≤<a . 17.（本小题满分15分）（1）1,2==n m ；（2）1<k .。
【百强校】2015届江苏省启东中学高三下学期期初调研测试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015届江苏省启东中学高三下学期期初调研测试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：196分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 .2、圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ．3、函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为 ．4、若函数不存在零点，则实数的取值范围是 ．5、已知点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若的内切圆的半[径为，则此椭圆的离心率为 ．6、在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝ _．7、设均为正实数，且，则的最小值为 ．8、已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：，则的形状是 ．9、已知函数，若关于x 的方程f(x ）＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .10、设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则．11、由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞），则实数a ＝ ．12、已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝(－∞，a ），若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞），其中c ＝ ．二、解答题（题型注释）13、底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 m 2.14、（本小题满分为10分）设数列的前项和为，已知（，为常数），，．（1）求数列的通项公式；（2）求所有满足等式成立的正整数，．15、（本小题满分为10分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边，连接A 1B ，A 1C ，A 1D ．（1）当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值； （2）线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C 平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由．16、平面直角坐标系中，直线的参数方程是，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为（1）求直线的极坐标方程（2）若直线与曲线C 相交于A,B 两点，求|AB|17、设矩阵，矩阵A 属于特征值的一个特征向量，属于特征值的一个特征向量，求的值18、（本小题满分为16分）已知函数．（1）若，求函数的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若，求函数在上的最值；（3）若，求证：在区间上，函数的图象在的图象下方．19、（本小题满分为16分）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△为钝角三角形．20、（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（1）当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？21、（本小题满分为14分）如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．（1）求证：DE ⊥平面BCD ；（2）在图2中，若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．22、（本小题满分为14分）已知函数，点分别是函数图象上的最高点和最低点．（1）求点的坐标以及的值；（2）设点分别在角的终边上，求的值．23、（本小题满分为14分）已知定义域为R 的函数是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t ）＋f(2t 2－k ）<0恒成立，求k 的取值范围．24、设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数= ．参考答案1、；2、-4；3、；4、；5、；6、2；7、16；8、等腰三角形；9、(0,1），10、；11、1；12、4；13、；14、（1）（2）．15、（1）（2）只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上处16、（1）.（2）17、－418、（1）极小值是，无极大值．（2）（3）详见解析19、（1）（2）详见解析20、（1）不会获利，至少补贴5 000元（2）40021、（1）详见解析（2）22、（1）,（2）23、（1）a＝2，b＝1.（2）24、1；【解析】1、试题分析：，，得，，△ABC面积的最大值为考点：余弦定理2、试题分析：圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2－a，r2＝2－a，则圆心（－1，1）到直线x＋y＋2＝0的距离为，由22＋（）2＝2－a，得a＝－4.考点：点到直线距离3、试题分析：函数的导数为，令，则或，当时单调递减，当和时单调递增和是函数的极值点，因为函数在区间上存在极值点，所以或或，考点：函数极值点4、试题分析：由题意可知，解得且，由对数的性质可得，可得由于或或，要使函数不存在零点，只需取取值集合的补集，即，当时，函数无意义，故k的取值范围应为：考点：函数零点5、试题分析：一方面的面积为；另一方面的面积为，，∴，∴，∴，又∴，∴椭圆的离心率为.考点：椭圆的离心率6、试题分析：设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，所以cos2α＝，同理cos2β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.考点：长方体性质7、试题分析：由化为，因均为正实数，故；当且仅当取等号，故的最小值为16．考点：基本不等式求最值8、试题分析：，，由，即，由四边形垂直平分可得的是等腰三角形．考点：向量数量积9、试题分析：若f(x）＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x）的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1）.考点：分段函数图像10、试题分析：，直线与三角函数图象的交点，在上，当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令或，即或，此时，．考点：三角函数图像与性质11、试题分析：由题意得命题“x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞），从而实数a的值为1.考点：命题的否定12、试题分析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a），由于A⊆B，则a>4，即c＝4.考点：集合包含关系13、试题分析：由条件得斜高为（m）．从而全面积（m2）．考点：正三棱锥的全面积14、试题分析：（1）由数列和项与通项关系求得数列递推关系：，这表示数列是以首项为2，公比为的等比数列，可利用等比数列通项公式求解（2）化简等式为，这等式包含两个未知数，可利用范围求正整数解：因为，，所以，再分别代入验证即可试题解析：（1）由得，所以又当，所以，又所以数列是以首项为2，公比为的等比数列所以数列的通项公式为（2）所以所以化简得（*）因此，因为，所以当时，由（*）得，所以无正整数解；当时，由（*）得，所以无正整数解；当时，由（*）得，所以．综上可知，存在符合条件的正整数．考点：等比数列15、试题分析：（1）利用空间向量求二面角，先建立空间直角坐标系，再确定点的坐标，本题还需先根据体积取最大值条件确定的值，求二面角时首先确定平面法向量，再根据向量数量积求角.（2）探究P点位置，还是从坐标出发，利用条件A1C平面BPD得到两个方程，从而确定P点坐标及位置试题解析：根据题意可知，AA1, AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA1为轴建立如图所示的空间直角坐标系：（1）长方体体积为当且仅当，即时体积有最大值为1 -----------------------1分所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形则，设平面A1BC的法向量，则，取，得：，同理可得平面A1CD的法向量所以，又二面角B-A1C-D为钝角，故值是（也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量）（2）根据题意有，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨，可得即：解得：即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上处.考点：利用空间向量求二面角16、试题分析：（1）利用代入法消去参数得直线的直角坐标方程：，再根据将其化为极坐标方程：，即（2）将极坐标方程代入得：，从而.试题解析：（1）消去参数得直线的直角坐标方程：由代入得.（也可以是：或）（2）得设，，则.（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）考点：利用极坐标求弦长17、试题分析：由特征值、特征向量定义可列出四个方程，解方程组可得．从而ad－bc＝－4试题解析：由特征值、特征向量定义可知，A，即，得同理可得解得．因此ad－bc＝2－6＝－4．考点：矩阵特征值及特征向量18、试题分析：（1）由求函数极值步骤依次求解：先确定定义域，再求导函数，在定义域内求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，由函数极值定义得出结论（2）由求函数最值步骤依次求解：先确定定义域，再求导函数，在定义域内求导函数零点，列表分析区间端点函数值及导数为零的点函数值的大小，得出结论（3）先将函数图像问题转化为一个不等式恒成立问题：，利用导数研究左边函数最小值，即可解决问题.试题解析：（1）的定义域是当时在上递减；当时在上递增，的极小值是，无极大值．（2）恒成立对，在上递增，（3）证明：令在上恒成立，在区间上递减，在区间上，函数的图象在的图象下方考点：利用导数求函数极值，利用导数求函数最值，利用导数证不等式19、试题分析：（1）求椭圆的方程一般利用待定系数法求解，本题两个独立条件可求出方程中两个未知数，关键长轴长为的条件不能列错，（2）证明△为钝角三角形，可利用向量数量积求证：，这样只需列出各点坐标即可.试题解析：（1）由题意：，所以．所求椭圆方程为．又点在椭圆上，可得．所求椭圆方程为．（2）证明：由（1）知：．设，．则直线的方程为：由得．因为直线与椭圆相交于异于的点，所以，所以．由，得．所以．从而，．所以．又三点不共线，所以为钝角．所以△为钝角三角形．考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20、试题分析：（1）解决实际问题关键为读懂题意：能否获利，决定于利润是否为正，故列出利润S函数关系式S＝200x－＝－x2＋400x－80 000＝－（x－400）2，当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利，补贴的标准为S取得最大值-5 000，而不是最小值（2）先列出每吨的平均处理成本的函数关系式，为一个分段函数，需分段求最值，最后比较两段最小值的较小值为所求.试题解析：（1）当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－＝－x2＋400x－80 000＝－（x－400）2，所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.当x＝300时，S取得最大值-5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.（2）由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为①当x∈[120,144）时，＝x2－80x＋5 040＝（x－120）2＋240，所以当x＝120时，取得最小值240.②当x∈[144,500]时，＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.因为200<240，答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.考点：基本不等式求最值21、试题分析：（1）折叠问题需注意折叠前后垂直关系不变的量：折叠前根据平几知识可计算出有DE⊥CD.折叠后仍有DE⊥CD.再由面面垂直性质定理可得DE⊥平面BCD.（2）求三棱锥体积关键在于确定高，即线面垂直.这仍可由面面垂直性质定理得到：因为平面BCD⊥平面ACD，过点B作BH⊥CD交于点H 则有BH⊥平面ACD.由线面平行可推导出线线平行，从而确定G的位置，这样就可计算底面积，最后根据三棱锥体积公式求体积试题解析：（1）证明：在题图1中，因为AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.因为CD为∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2又因为CE＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.在题图2中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，所以DE⊥平面BCD.（2）在题图2中，因为EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.因为点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，所以AE＝EG＝CG＝2.过点B作BH⊥CD交于点H.因为平面BCD⊥平面ACD，BH⊂平面BCD，所以BH⊥平面ACD.由条件得BH＝.又S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝，所以三棱锥B-DEG的体积为V＝S△DEG·BH＝××＝.考点：面面垂直性质定理，线面平行性质定理22、试题分析：（1）由三角函数性质知，当时，取最大值1，当时，取最大值，因此可得，从而根据向量数量积得（2）由三角函数定义可得，根据二倍角公式可得，因此试题解析：（1）当时，取最大值1，当时，取最大值，因此所求坐标为，则（2）因为点分别在角的终边上，则考点：三角函数图像与性质，二倍角公式23、试题分析：（1）利用奇函数性质列出两个独立条件解出a，b的值，注意要验证. 因为定义域为R，所以有f(0）＝0，从而b＝1.再取f(1）＝－f(－1）得a＝2，代入函数验证（2）利用函数奇偶性及单调性化简不等式：因f(x）是奇函数，从而不等式f(t2－2t）＋f(2t2－k）<0等价于f(t2－2t）<－f(2t2－k）＝f(－2t2＋k）. 因为f(x）是减函数，其又等价于t2－2t>－2t2＋k.对一切t∈R恒成立，即Δ＝4＋12k<0，解得试题解析：(1）因为f(x）是奇函数，且定义域为R，所以f(0）＝0，即＝0，解得b＝1.从而有.又由f(1）＝－f(－1）知，解得a＝2----6分经检验适合题意，∴a＝2，b＝1.(2）由(1）知由上式易知f(x）在(－∞，＋∞）上为减函数.又因f(x）是奇函数，从而不等式f(t2－2t）＋f(2t2－k）<0等价于f(t2－2t）<－f(2t2－k）＝f(－2t2＋k）.-----10分因为f(x）是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得考点：奇函数性质，不等式恒成立24、试题分析：对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，可得，可解得，故，又是方程的一个解，所以是函数的零点，分析易得，故函数的零点介于之间，故考点：函数与方程。
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015 年江苏省高考数学试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（2015?江苏）已知会集A={1， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则会集A∪B中元素的个数为 5 ．考并集及其运算．点：专会集．题：分求出 A∪B，再明确元素个数析：解解：会集 A={1 ，2， 3} ， B={2， 4，5} ，则 A∪B={1， 2， 3， 4，5} ；答：因此 A∪B中元素的个数为 5；故答案为： 5点题观察了会集的并集的运算，依照定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题评：2．（ 5 分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考众数、中位数、平均数．点：专概率与统计．题：分直接求解数据的平均数即可．析：解解：数据4， 6，5， 8， 7，6，答：那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点本题观察数据的均值的求法，基本知识的观察．评：3．（ 5 分）（2015?江苏）设复数 z 满足 z2=3+4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为．考复数求模．点：专数系的扩大和复数．题：分直接利用复数的模的求解法规，化简求解即可．析：解解：复数z 满足 z2 =3+4i ，答：可得 |z||z|=|3+4i|==5，∴|z|= ．故答案为：．点本题观察复数的模的求法，注意复数的模的运算法规的应用，观察计算能力．评：4．（ 5 分）（2015?江苏）依照以下列图的伪代码，可知输出的结果S 为7．考伪代码．点：专图表型；算法和程序框图．题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环获取的析：退出循环，输出S 的值为 7．解解：模拟执行程序，可得答：S=1， I=1I ，S 的值，当 I=10时不满足条件I＜8，满足条件I ＜ 8，S=3， I=4满足条件I ＜ 8，S=5， I=7满足条件I ＜ 8，S=7， I=10不满足条件I ＜ 8，退出循环，输出S 的值为7．故答案为： 7．点本题主要观察了循环构造的程序，正确判断退出循环的条件是解题的要点，属于基础评：题．5．（ 5 分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不相同的概率为．考古典概型及其概率计算公式．点：专概率与统计．题：分依照题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．析：解解：依照题意，记白球为A，红球为 B，黄球为12 C、C ，则答：一次取出 2 只球，基本事件为AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2、 C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不相同的是AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2共 5 种；因此所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题观察了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（2015?江苏）已知向量=（ 2，1）， =（ 1，﹣ 2），若m+n=（9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣3．考平面向量的基本定理及其意义．点：专平面向量及应用．题：分直接利用向量的坐标运算，求解即可．析：解解：向量 =（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m+n=（ 9，﹣ 8）答：可得，解得m=2，n=5，∴m﹣ n=﹣ 3．故答案为：﹣3．点本题观察向量的坐标运算，向量相等条件的应用，观察计算能力．评：7．（ 5 分）（2015?江苏）不等式2＜ 4 的解集为（﹣ 1，2）．考指、对数不等式的解法．点：专函数的性质及应用；不等式的解法及应用．题：分利用指数函数的单调性转变成x2﹣ x＜ 2，求解即可．析：解解；∵ 2＜ 4，答：2∴x﹣ x＜ 2，即 x2﹣ x﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x＜2故答案为：（﹣1， 2）点本题观察了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．评：8．（ 5 分）（2015?江苏）已知tan α=﹣ 2， tan （α +β） =，则 tan β的值为3．考两角和与差的正切函数．点：专三角函数的求值．题：分直接利用两角和的正切函数，求解即可．析：解解： tan α=﹣ 2，tan （α +β） =，答：可知 tan （α +β） ==，即 =，解得 tan β =3．故答案为： 3．点本题观察两角和的正切函数，基本知识的观察．评：9．（ 5 分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成整体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考棱柱、棱锥、棱台的体积．点：专计算题；空间地址关系与距离．题：分由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，析：由前后体积相等列式求得 r ．解解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．答：设新圆锥和圆柱的底面半径为r ，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点本题观察了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．评：10．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（ 1， 0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣ 1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为22．（ x﹣ 1） +y =2考圆的标准方程；圆的切线方程．点：专计算题；直线与圆．题：分求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．析：解解：圆心到直线的距离d==≤，答：∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（22x﹣ 1） +y =2．故答案为：（ x﹣1）2 +y2=2．点本题观察所圆的标准方程，观察点到直线的距离公式，观察学生的计算能力，比较基评：础．11．（ 5 分）（2015?江苏）设数列{a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n =n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考数列的求和；数列递推式．点：专等差数列与等比数列．题：分数列 {a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n=n+1（ n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂析：解答：项求和”即可得出．解：∵数列 {a n} 满足 a1 =1，且 a n+1﹣ a n=n+1（n∈N*），∴当 n≥2时， a n=（ a n﹣ a n﹣1）+ +（ a2﹣ a1） +a1=+n++2+1=．当 n=1 时，上式也建立，∴a n=．∴=2．∴数列 {} 的前 n 项的和 S n===．∴数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点本题观察了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，评：观察了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线 x2﹣ y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，则实数 c 的最大值为．考双曲线的简单性质．点：专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x± y=0，c 的最大值为直线x﹣ y+1=0 与直线 x﹣ y=0析：的距离．解解：由题意，双曲线 x2﹣ y2=1 的渐近线方程为 x±y=0，答：因为点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，因此 c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣ y=0 的距离，即．故答案为：．点本题观察双曲线的性质，观察学生的计算能力，比较基础．评：13．（ 5 分）（2015?江苏）已知函数 f （ x） =|lnx| ，g（ x）=，则方程 |f（ x） +g（ x）|=1实根的个数为4．考根的存在性及根的个数判断．点：专综合题；函数的性质及应用．题：分：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x）=﹣ f （ x）± 1，分别作出函数的图象，即可得出析：结论．解解：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x） =﹣ f （x）± 1．答：g（ x）与 h（ x）=﹣ f （ x）+1 的图象以下列图，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x）=﹣ f （ x）﹣ 1 的图象以下列图，图象有两个交点；因此方程 |f （ x）+g（ x）|=1 实根的个数为4．故答案为： 4．点本题观察求方程 |f （ x） +g（ x） |=1 实根的个数，观察数形结合的数学思想，观察学评：生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（ 5 分）（2015?江苏）设向量=（ cos ，sin+cos ）（ k=0，1， 2，， 12），则（ a k?a k+1）的值为．考数列的求和．点：专等差数列与等比数列；平面向量及应用．题：分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性析：即可得出．解解： =+答：=++++=++=++，∴（ a k?a k+1）=+++++++ +++++++ +=+0+0=．故答案为： 9．点本题观察了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的评：周期性，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）（2015?江苏）在△ ABC 中，已知A B=2， AC=3，A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C 的值．考余弦定理的应用；二倍角的正弦．点：专解三角形．题：分（ 1）直接利用余弦定理求解即可．析：（ 2）利用正弦定理求出 C的正弦函数值，尔后利用二倍角公式求解即可．解222﹣2AB?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，解：（ 1）由余弦定理可得： BC=AB+AC答：因此 BC=．（2）由正弦定理可得：，则 sinC=== ，∵AB＜ BC，∴C 为锐角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2×=．点本题观察余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解评：题的要点．ABC﹣ A1B1C1中，已知AC⊥BC， BC=CC1，设AB1 16．（ 14 分）（2015?江苏）如图，在直三棱柱的中点为D， B1 C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2） BC1⊥AB1．考直线与平面平行的判断；直线与平面垂直的性质．点：专证明题；空间地址关系与距离．题：分（ 1）依照中位线定理得DE∥AC，即证 DE∥平面 AA1C1C；析：（ 2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面 ABC，即证 AC⊥CC1；再证明 AC⊥平面 BCC1B1，即证 BC1⊥AC；最后证明 BC1⊥平面 B1AC，即可证出 BC1⊥AB1．解证明：（1）依照题意，得；答： E 为 B1C 的中点， D 为 AB1的中点，因此DE∥AC；又因为 DE?平面 AA1C1C， AC? 平面 AA1C1C，因此 DE∥平面 AAC C；11（ 2）因为棱柱ABC﹣ A1B1C1是直三棱柱，因此 CC1⊥平面 ABC，因为 AC? 平面 ABC，因此 AC⊥CC1；又因为 AC⊥BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1B1，BC∩CC1=C，因此 AC⊥平面 BCC1B1；又因为 BC ? 平面平面BCCB ，111因此 BC1⊥AC；因为 BC=CC1，因此矩形BCC1B1是正方形，因此 BC1⊥平面 B1AC；又因为 AB1 ? 平面 B1AC，因此 BC1⊥AB1．点本题观察了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的地址关系，也观察了空间想象评：能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（2015?江苏）某山区外面有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改进山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区界线的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1， l 2，山区界线曲线为 C，计划修建的公路为 l ，以下列图， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N到 l 1， l 2的距离分别为 20 千米和千米，以 l 2，l 1在的直线分别为 x， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 吻合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t ．①请写出公路 l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短求出最短长度．考函数与方程的综合运用．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）由题意知，点 M， N的坐标分别为（ 5， 40），（ 20，），将其分别代入y=，建立方析：程组，即可求 a，b 的值；（ 2）①求出切线 l 的方程，可得A， B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②设 g（ t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解解：（ 1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（ 5， 40），（20，），答：将其分别代入 y=，得，解得，（2）①由（ 1）y= （5≤x≤20）， P（ t ，），∴y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣ =﹣（ x﹣ t ）设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A， B 点，则 A（， 0）， B（ 0，），∴f （ t ） ==，t ∈[5 ， 20] ；②设 g（ t ） =，则 g′（ t ） =2t ﹣ =0，解得 t=10 ，t ∈（ 5， 10）时， g′（ t ）＜ 0，g（ t ）是减函数； t ∈（ 10， 20）时， g′（ t ）＞ 0，g（ t ）是增函数，进而 t=10 时，函数g（ t ）有极小值也是最小值，∴g（ t ）min=300，∴f （ t ）min=15，答： t=10 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 千米．点本题观察利用数学知识解决实责问题，观察导数知识的综合运用，确定函数关系，正评：确求导是要点．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 +=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于A， B 两点，线段AB的垂直均分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线AB的方程．考直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．点：专直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：解答：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得a，c，再由 a，b，c系，可得b，进而获取椭圆方程；（ 2）谈论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可获取所求直线的方程．解：（ 1）由题意可得，e==，且 c+=3，解得 c=1， a=，2则 b=1，即有椭圆方程为+y =1；的关当 AB与 x 轴不垂直，设直线 AB： y=k（ x﹣ 1）， A（ x1， y1）， B（x2，y2），将 AB方程代入椭圆方程可得（ 1+2k2） x2﹣ 4k2x+2（k2﹣ 1） =0，则 x1+x2=， x1x2 =，则 C（，），且 |AB|=?= ，若 k=0，则 AB 的垂直均分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k≠0，故 PC：y+=﹣（ x﹣）， P（﹣ 2，），进而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB| ，可得 =，解得 k=±1，此时 AB的方程为 y=x ﹣ 1 或 y=﹣ x+1．点本题观察椭圆的方程和性质，主要观察椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，评：运用韦达定理和弦长公式，同时观察两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（2015?江苏）已知函数 f （x） =x3+ax2+b（ a，b∈R）．（1）试谈论 f （ x）的单调性；（2）若 b=c﹣ a（实数 c 是与 a 没关的常数），当函数 f （x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），求 c 的值．考利用导数研究函数的单调性；函数零点的判判定理．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）求导数，分类谈论，利用导数的正负，即可得出 f （ x）的单调性；析：（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数 f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0）f （﹣） =b（ +b）＜ 0，进一步转变成 a＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（a） =﹣ a+c，利用条件即可求 c 的值．解解：（ 1）∵ f （ x） =x3+ax2+b，答：2∴f ′（ x） =3x +2ax ，令 f ′（ x） =0，可得 x=0 或﹣．a=0 时， f ′（ x）＞ 0，∴ f （ x）在（﹣∞， +∞）上单调递加；a＞ 0 时， x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（﹣， 0）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞，﹣），（ 0，+∞）上单调递加，在（﹣，0）上单调递减；a＜ 0 时， x∈（﹣∞， 0）∪（﹣， +∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（ 0，﹣）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞， 0），（﹣， +∞）上单调递加，在（0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0） f （﹣） =b（+b）＜ 0，∵b=c﹣ a，∴a＞ 0 时，﹣ a+c＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（ a） =﹣ a+c，∵函数 f （ x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（， +∞），∴在（﹣∞，﹣3）上， g（ a）＜ 0 且在（ 1，）∪（， +∞）上g（ a）＞ 0 均恒建立，∴g（﹣ 3） =c﹣1≤0，且 g（） =c﹣1≥0，∴c=1，322此时 f （ x） =x +ax +1﹣ a=（ x+1） [x +（ a﹣ 1） x+1﹣ a] ，2∴x+（ a﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴△ =（ a﹣ 1）2﹣ 4（1﹣ a）＞ 0，且（﹣ 1）2﹣（ a﹣ 1） +1﹣a≠0，解得 a∈（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），综上 c=1．点本题观察导数知识的综合运用，观察函数的单调性，观察函数的零点，观察分类谈论评：的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（2015?江苏）设 a1， a2， a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明： 2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；234（2）可否存在 a1， d，使得 a1，a2， a3， a4依次构成等比数列并说明原由；（3）可否存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列并说明原由．考等比关系的确定；等比数列的性质．点：专等差数列与等比数列．题：分（ 1）依照等比数列和等差数列的定义即可证明；析：（ 2）利用反证法，假设存在a1， d 使得 a1， a22， a33， a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，获取结论；（ 3）利用反证法，假设存在n n+k n+2k n+3ka1， d 及正整数 n， k，使得 a1，a2， a3， a4依次n n+2k2（ n+k）n+k n+3k 构成等比数列，获取 a1（ a1+2d）=（ a1+2d），且（a1+d）（ a1+3d） =（ a1+2d）2 （n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理获取ln （ 1+3t ） ln （1+2t） +3ln （ 1+2t ）ln （1+t ） =4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不行立．解解：（ 1）证明：∵ ==2 d，（ n=1， 2， 3，）是同一个常数，答：∴2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；（2）令 a1 +d=a，则 a1， a2， a3， a4分别为 a﹣d， a， a+d， a+2d（a＞ d， a＞﹣ 2d，d≠0）假设存在 a1， d 使得 a1， a22，a33， a44 依次构成等比数列，43624则 a =（ a﹣d）（ a+d），且（ a+d） =a （ a+2d），令 t= ，则 1=（ 1﹣ t ）（ 1+t ）3，且（ 1+t ）6 =（1+2t ）4，（﹣＜ t ＜ 1，t≠0），化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ * ）式，2t （ t+1 ） +2（ t+1 ）﹣ 2=t +3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然 t= ﹣不是上面方程的解，矛盾，因此假设不行立，因此不存在a1， d，使得 a1， a2 2， a33， a44依次构成等比数列．（3）假设存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n， a2n+k， a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则 a1n（a1+2d）n+2k=（ a1+2d）2（n+k），且（ a1+d）n+k（ a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以 =a12（n+k）， a12（n+2k），并令 t= ，（ t ＞， t ≠0），n+2k 2（ n+k） n+k n+3k 2（ n+2k）则（ 1+2t ） =（ 1+t ），且（ 1+t ）（ 1+3t ） =（ 1+2t ），将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （ 1+2t ） =2（ n+k） ln （ 1+t ），且（ n+k） ln （ 1+t ） +（ n+3k） ln （1+3t ） =2（ n+2k）ln （ 1+2t ），化简得， 2k[ln （1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ] ，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln（1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ）令 g（ t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ）ln （ 1+2t ）+3ln （1+2t ）ln （ 1+t ），则g′（ t ）=[ （ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ）+3（1+t ）2 ln （ 1+t ）] ，令φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则φ′（ t ） =6[ （ 1+3t ）ln （1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3（1+t ）ln （1+t ）] ，令φ 1（t）=φ′（t），则φ 1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（ t ）=φ1′（ t ），则φ2′（ t ） =＞0，由 g（ 0）=φ（ 0）=φ1（ 0）=φ2（ 0） =0，φ2′（ t ）＞ 0，知 g（ t ），φ（ t ），φ1（ t ），φ2（ t ）在（﹣， 0）和（ 0，+∞）上均单调，故 g（ t ）只有唯一的零点t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解t=0 ，故假设不行立，n n+k n+2k n+3k因此不存在a1， d 及正整数n，k，使得 a1， a2，a3，a4依次构成等比数列．点本题主要观察等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，观察代数评：推理、转变与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1 ：几何证明选讲】21．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在△ ABC 中， AB=AC，△ ABC的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC于点 D．求证：△ ABD∽△ AEB．考相似三角形的判断．点：专推理和证明．题：分直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．析：解答：点证明：∵ AB=AC，∴∠ ABD=∠C，又∵∠ C=∠E，∴∠ ABD=∠E，又∠ BAE可知：△ ABD∽△ AEB．本题观察圆的基本性质与相似三角形等基础知识，观察逻辑推理能力．是公共角，评：【选修 4-2 ：矩阵与变换】22．（ 10 分）（2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 =是矩阵的属于特色值﹣ 2 的一个特色向量，求矩阵 A 以及它的另一个特色值．考 特色值与特色向量的计算．点：专 矩阵和变换．题：分 利用 A=﹣ 2，可得 A=，经过令矩阵 A 的特色多项式为 0 即得结论．析：解解：由已知，可得A=﹣ 2，即 ==，答： 则，即，∴矩阵 A=，进而矩阵 A 的特色多项式 f （λ） =（λ +2）（λ﹣ 1），∴矩阵 A 的另一个特色值为1．点 本题观察求矩阵及其特色值，注意解题方法的积累，属于中档题．评：【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】23．（2015?江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ρ 2+2ρsi n （θ﹣）﹣ 4=0，求圆 C 的半径． 考 简单曲线的极坐标方程．点：专 计算题；坐标系和参数方程．题：分 先依照 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．析：解解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin （θ﹣）﹣ 4=0，可得 ρ2﹣ 2ρcos θ +2ρ sin θ﹣答： 4=0，化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0，化为标准方程为（22x ﹣ 1） +（ y+1） =6，圆的半径 r= ．点本题主要观察把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关评： 键是利用公式 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，比较基础，[ 选修 4-5 ：不等式选讲】24．（2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2．考 绝对值不等式的解法． 点： 专 不等式．题：分思路 1（公式法）：利用|f （ x ）| ≥g （ x ）? f （x ）≥ g （ x ），或 f （ x ）≤﹣ g （ x ）；析：思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“ x≥”“ x＜”进行谈论求解．解解法 1：x+|2x+3| ≥2变形为 |2x+3| ≥2﹣ x，答：得 2x+3≥2﹣ x，或 2x+3≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+（ 2x+3）≥ 2，即 x≥，因此 x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3）≥ 2，即 x≤﹣ 5，因此 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．点本题观察了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常有的方法，无论用哪评：种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f （x）| ≥g（ x） ? f （x）≥ g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（ x）； |f （ x）| ≤g（ x）? ﹣ g（ x）≤ f （ x）≤ g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ ABC=∠BAD=，PA=AD=2， AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q是线段 BP上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．点：专空间地址关系与距离；空间角．题：分以 A 为坐标原点，以AB、AD、 AP所在直线分别为x、y、 z 轴建系 A﹣ xyz ．析：（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；2（2）利用换元法可得 cos ＜，＞≤，结合函数 y=cosx 在（ 0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB、 AD、AP所在直线分别为x、 y、 z 轴建系 A﹣ xyz 如图，由题可知B（ 1，0， 0）， C（ 1， 1，0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）．（ 1）∵ AD⊥平面 PAB，∴ =（ 0， 2， 0），是平面PAB的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（ 0， 2，﹣ 2），设平面 PCD的法向量为 =（x， y， z），由，得，取 y=1，得 =（ 1，1， 1），∴cos＜，＞ ==，∴平面 PAB与平面 PCD所成两面角的余弦值为；（ 2）∵ =（﹣ 1，0， 2），设 =λ =（﹣λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又 =（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣λ，﹣ 1， 2λ），又 =（ 0，﹣ 2， 2），进而 cos ＜，＞ ==，设 1+2λ =t ，t ∈[1 ， 3] ，则 cos 2＜，＞ ==≤，当且仅当 t= ，即λ =时， |cos ＜，＞ | 的最大值为，DP所成角获取最小值．因为 y=cosx 在（ 0，）上是减函数，此时直线 CQ与又∵ BP==，∴ BQ=BP=．点本题观察求二面角的三角函数值，观察用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的评：积累，属于中档题．*26．（ 10 分）（2015?江苏）已知会集 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，，n）（n∈N），设S n={（ a，b） |a 整除 b 或整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f （n）表示会集 S n所含元素的个数．（1）写出 f （ 6）的值；（2）当 n≥6时，写出 f （ n）的表达式，并用数学归纳法证明．考数学归纳法．点：专综合题；点列、递归数列与数学归纳法．题：分（ 1） f （ 6） =6+2++=13；析：（ 2）依照数学归纳法的证明步骤，分类谈论，即可证明结论．解解：（ 1） f （ 6）=6+2++=13；答：（ 2）当 n≥6时， f （ n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6 时， f （ 6）=6+2++=13，结论建立；②假设 n=k（k≥6）时，结论建立，那么 n=k+1 时， S k+1在 S k的基础上新增加的元素在（ 1，k+1），（2， k+1），（ 3， k+1）中产生，分以下状况谈论：1）若 k+1=6t ，则 k=6（ t ﹣ 1）+5，此时有 f （ k+1）=f （k）+3=（ k+1）+2++，结论建立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +1=k+2+++1=（ k+1） +2++，结论建立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均建立．点本题观察数学归纳法，观察学生分析解决问题的能力，正确归纳是要点．评：。
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2015 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知集合 A={1 ，2， 3} ， B={2 ， 4， 5} ，则集合 A∪ B 中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出 A ∪ B，再明确元素个数解答：解：集合 A={1 ， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则 A ∪ B={1 ，2， 3， 4，5} ；所以 A ∪ B 中元素的个数为 5；故答案为： 5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知一组数据 4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据 4， 6，5， 8， 7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（ 5 分）（ 2015?江苏）设复数z 满足 z 2=3+4i（ i 是虚数单位），则 z 的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数 z 满足 z 2=3+4i ，可得 |z||z|=|3+4i|= =5，∴ |z|= ．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（ 5 分）（ 2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ，S 的值，当 I=10 时不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I ＜ 8， S=3， I=4满足条件I ＜ 8， S=5， I=7满足条件I ＜ 8， S=7， I=10不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．故答案为： 7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（ 5 分）（ 2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为 A ，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出 2 只球，基本事件为 AB 、 AC 1、 AC 2、 BC1、 BC2、C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不同的是 AB 、 AC 1、AC 2、 BC1、 BC2共 5 种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知向量=（ 2， 1），=（ 1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣ 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可． 解答：=（ 2， 1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）解：向量 可得，解得 m=2， n=5，∴ m ﹣ n=﹣3．故答案为：﹣ 3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（ 5 分）（ 2015?江苏）不等式 2 ＜ 4 的解集为 （﹣ 1， 2） ．考点 ：指、对数不等式的解法．专题 ：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为 x 2﹣ x ＜ 2，求解即可． 解答：解； ∵2＜ 4，∴ x 2﹣ x ＜ 2，即 x 2﹣ x ﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x ＜2故答案为：（﹣ 1， 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知 tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，则 tan β的值为3 ．考点 ：两角和与差的正切函数． 专题 ：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解： tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，可知 tan （ α+β） == ，即= ，解得 tan β=3． 故答案为： 3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（ 5 分）（ 2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个， 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．考点 ：棱柱、棱锥、棱台的体积．： 算 ；空 位置关系与距离．分析：由 意求出原来 柱和 的体 ， 出新的 柱和 的底面半径 r ，求出体 ，由前后体 相等列式求得 r ．解答：解：由 意可知，原来 和 柱的体 和 ： ．新 和 柱的底面半径 r ，新 和 柱的体 和 ：．∴，解得：．故答案 ：．点 ：本 考 了 柱与 的体 公式，是基 的 算 ．10．（ 5 分）（ 2015?江 ）在平面直角坐 系xOy 中，以点（1， 0） 心且与直 mx y2m 1=0 （ m ∈R ）相切的所有 中，半径最大的 的 准方程 （ x 1） 2+y 2=2 ．考点 ： 的 准方程； 的切 方程．： 算 ；直 与 ．分析：求出 心到直 的距离 d 的最大 ，即可求出所求 的 准方程．解答：解： 心到直 的距离d==≤，∴ m=1 ， 的半径最大 ，22∴ 所求 的 准方程 （x 1） +y =2．22故答案 ：（ x 1） +y =2 ．点 ：本 考 所 的 准方程，考 点到直 的距离公式，考 学生的 算能力，比 基 ．n 1 n+1n=n+1（ n ∈N * ）， 数列 { } 的前11．（ 5 分）（ 2015?江 ） 数列 {a} 足 a =1，且 aa10 的和 ．考点 ：数列的求和；数列 推式．：等差数列与等比数列．分析：数列 {a n1 n+1 n*），利用 “累加求和 ”可得 a n= ．再} 足 a =1 ，且 aa =n+1（n ∈N利用 “裂 求和 ”即可得出．解答：解： ∵数列 {a n } 足 a 1=1，且 a n+1a n =n+1 （ n ∈N *），∴ 当 n ≥2 ， a n =（a na n ﹣ 1） +⋯+（ a 2a 1） +a 1=+n+ ⋯+2+1=．当 n=1 ，上式也成立，∴ a n =．∴ =2．∴ 数列 {} 的前 n 项的和 S =n==．∴ 数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的 “累加求和 ”方法、 “裂项求和 ”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（ 2015?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2﹣ y 2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0， c 的最大值为直线 x ﹣ y+1=0 与直线 x ﹣ y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0 ，因为点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0 与直线 x ﹣ y=0 的距离，即 ．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=|lnx| ， g （ x ） = ，则方程|f （ x ）+g （ x ） |=1 实根的个数为4 ．考点 ：根的存在性及根的个数判断． 专题 ：综合题；函数的性质及应用．分析：：由 |f （ x ）+g （ x ） |=1 可得 g （x ） =﹣ f （ x ）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论． 解答：解：由 |f （ x ） +g （ x ） |=1 可得 g （ x ） =﹣ f （ x ） ±1．g （ x ）与 h （ x ）=﹣ f （ x ） +1 的图象如图所示，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x） = f（x） 1 的象如所示，象有两个交点；所以方程 |f（ x） +g（ x） |=1 根的个数4．故答案： 4．点：本考求方程|f（ x）+g（ x）|=1 根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力，属于中档．14．（ 5 分）（ 2015?江）向量=（ cos，sin+cos）（k=0，1，2，⋯，12），（ a k?a k+1）的．考数列的求和．点：等差数列与等比数列；平面向量及用．：分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出．：解解：答+=：=++++=++=++，∴（a k?a k+1）=+++++++⋯+ ++++++ ⋯+=+0+0=．故答案： 9 ．点本考了向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性，考了推理能力与算能力，属于中档．：二、解答（本大共 6 小，共90 分，解答写出文字明、明程或演算步）15．（ 14 分）（ 2015?江）在△ABC 中，已知 AB=2 ， AC=3 ，A=60 °．（1）求 BC 的；（2）求 sin2C 的．考点：余弦定理的用；二倍角的正弦．：解三角形．分析：（ 1）直接利用余弦定理求解即可．（ 2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（ 1）由余弦定理可得：BC 2=AB2+AC22AB ?ACcosA=4+82×2×3× =7，所以 BC=．（ 2）由正弦定理可得：，sinC===，∵ AB ＜ BC ，∴ C 角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2 ×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（ 14 分）（ 2015?江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中，已知 AC ⊥ BC ，BC=CC 1，设AB 1的中点为 D ，B 1C∩BC1=E．求证：（1） DE ∥平面 AA 1C1 C；（2） BC 1⊥ AB 1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（ 1）根据中位线定理得DE∥AC ，即证 DE∥平面 AA 1C1C；（2）先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC ，即证 AC ⊥ CC1；再证明 AC ⊥平面 BCC1B 1，即证 BC 1⊥AC ；最后证明 BC1⊥平面 B 1AC ，即可证出 BC 1⊥ AB 1．解答：证明：（1）根据题意，得；E 为 B 1C 的中点， D 为 AB 1的中点，所以DE∥AC ；又因为 DE ? 平面 AA 1C1C， AC ? 平面 AA 1C1C，所以 DE ∥平面 AA 1C1C；（ 2）因为棱柱ABC ﹣ A 1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC ，因为 AC ? 平面 ABC ，所以 AC ⊥CC1；又因为 AC ⊥ BC，CC1? 平面 BCC 1B1，BC ? 平面 BCC 1B1，BC ∩CC1=C，所以 AC ⊥平面 BCC 1B 1；又因为 BC 1? 平面平面BCC 1B1，所以 BC 1⊥AC ；因为 BC=CC 1，所以矩形BCC 1B1是正方形，所以 BC 1⊥平面 B1AC ；又因为 AB 1? 平面 B1AC ，所以 BC 1⊥AB 1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（ 2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到l 1，l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1， l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l 2，l1在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线 C 符合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路l 长度的函数解析式f（ t），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）由题意知，点 M ，N 的坐标分别为（5，40），（ 20，2.5），将其分别代入 y= ，建立方程组，即可求a， b 的值；（ 2）① 求出切线 l 的方程，可得 A ，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式 f （ t），并写出其定义域；②设 g（ t） = ，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（ 1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（ 5， 40），（ 20， 2.5），将其分别代入y= ，得，解得，（ 2）①由（ 1） y= （5≤x≤20），P（ t，），∴ y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣=﹣（x﹣t）设在点 P 处的切线 l 交 x， y 轴分别于 A ，B 点，则 A （， 0）， B （0，），∴ f（ t） ==，t∈[5，20]；②设 g（ t） =，则g′（t）=2t﹣=0，解得 t=10，t∈（ 5， 10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（ 10，20）时，g′（t）＞0，g（ t）是增函数，从而 t=10时，函数g（ t）有极小值也是最小值，∴g（ t）min=300 ，∴ f（ t）min=15 ，答： t=10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为15 千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB ，求直线AB 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a， c 的方程，解得 a， c，再由 a， b， c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达10解答：解：（ 1）由题意可得， e= =且 c+ =3，解得 c=1， a= ， 则 b=1 ，即有椭圆方程为（ 2）当 AB ⊥ x 轴， AB=， CP=3，不合题意；当 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB ： y=k （ x ﹣ 1），A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），将 AB 方程代入椭圆方程可得（ 1+2k 2）x 2﹣ 4k 2x+2（ k 2﹣ 1） =0， 则 x 1+x 2=， x 1x 2=，则 C （ ，），且|AB|= ? = ，若 k=0 ，则 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k ≠0，故 PC ： y+=﹣ （ x ﹣）， P （﹣ 2，），从而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB|，可得 =，解得 k= ±1，此时 AB 的方程为y=x ﹣ 1 或 y= ﹣ x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式， 同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=x 3+ax 2+b （a ， b ∈R ）． （1）试讨论 f （ x ）的单调性；（2）若 b=c ﹣a （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f （ x ）有三个不同的零点时， a 的取值 范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3）∪ （ 1， ） ∪（ ， +∞），求 c 的值．考点 ：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题 ：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f （x ）的单调性；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣）=+b ，则函数+y 2=1；，f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣ ）=b （ +b ）＜ 0，进一步转化为a ＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时，﹣a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣ a+c ，利用条件即可求 c 的值．解答：解：（ 1） ∵ f （ x ） =x 3+ax 2+b ，∴ f ′（x ） =3x 2+2ax ，令 f ′（x ） =0 ，可得 x=0 或﹣ ．a=0 时， f ′（ x ）＞ 0， ∴ f （ x ）在（﹣ ∞， +∞）上单调递增；a ＞ 0 时， x ∈（﹣ ∞，﹣ ） ∪（ 0， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（﹣ ，0）时， f ′（ x ） ＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，﹣ ），（ 0，+∞）上单调递增，在（﹣ ，0）上单调递减；a ＜ 0 时， x ∈（﹣ ∞，0） ∪（﹣ ， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（ 0，﹣ ）时， f ′（ x ）＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，0），（﹣ ，+∞）上单调递增，在（ 0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣ ）=+b ，则函数f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣）=b （+b ）＜ 0，∵ b=c ﹣ a ，∴ a ＞ 0 时， ﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时， ﹣ a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣a+c ，∵ 函数 f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ）∪ （ ， +∞），∴ 在（﹣ ∞，﹣ 3）上， g （ a ）＜ 0 且在（ 1， ） ∪ （ ， +∞）上 g （a ）＞ 0 均恒成立，∴ g （﹣ 3） =c ﹣ 1≤0，且 g （ ）=c ﹣ 1≥0，∴ c=1，此时 f （ x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（ x+1 ）[x 2+（ a ﹣ 1）x+1 ﹣ a]，∵ 函数有三个零点，∴ x 2+（a ﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴ △ =（ a ﹣ 1） 2﹣ 4（ 1﹣ a ）＞ 0，且（﹣ 1） 2﹣（ a ﹣ 1） +1﹣ a ≠0，解得 a ∈（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ） ∪ （ ，+∞），综上 c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（ 2015?江苏）设 1 2 3 4d （ d ≠0）的等差数列． a ，a ， a ． a 是各项为正数且公差为 （1）证明： 2 ， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（2）是否存在 a 1 12 2， a 33， a 44 依次构成等比数列？并说明理由；， d ，使得 a ， ann+kn+2kn+3k依次构成等比数列？并（3）是否存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 ，a 2 ，a 3，a 4 说明理由．考点 ：等比关系的确定；等比数列的性质． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ 1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（ 2）利用反证法，假设存在 a 1 ，d 使得 a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，推出矛 盾，否定假设，得到结论；（ 3）利用反证法，假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 n ，a 2n+k，a 3 n+2k ， a 4n+3k 依次构成等比数列， 得到 a 1n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ）2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2（ n+2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ）ln （ 1+t ）=4ln （1+3t ）ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（ 1）证明： ∵==2d，（n=1 ， 2，3，）是同一个常数，∴ 2， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（ 2）令 a 1+d=a ，则 a 1，a 2，a 3，a 4 分别为 a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d （ a ＞ d ，a ＞﹣ 2d ，d ≠0）假设存在 a 11 22， a 33， a 44依次构成等比数列，， d 使得 a， a43624则 a =（ a ﹣d ）（ a+d ） ，且（ a+d ） =a （ a+2d ） ，令 t=，则 1= （1﹣ t ）（ 1+t ） 3，且（ 1+t ） 6=（ 1+2t ）4，（﹣ ＜ t ＜ 1， t ≠0）， 化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ *）式， t （ t+1） +2（ t+1 ）﹣ 2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0 ，则 t=﹣ ，显然 t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在 a 1， d ，使得 a 1，a 2 2， a 33， a 44依次构成等比数列．（ 3）假设存在 a 11 n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数，d 及正整数 n ，k ，使得 a列，则 a 1 （ ）（ ） n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ） 2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2 n+2k， 分别在两个等式的两边同除以 =a2（ n+k） 2（ n+2k），（ t ＞ ， t ≠0），1， a 1 ，并令 t=则（ 1+2t ）n+2k=（ 1+t ） 2 （n+k ）（ n+2k ），且（ 1+t ） n+k （ 1+3t ）n+3k=（ 1+2t ） 2 ， 将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （1+2t ） =2（ n+k ） ln （ 1+t ）， 且（ n+k ） ln （ 1+t ） +（ n+3k ） ln （ 1+3t ） =2（n+2k ）ln （1+2t ），化简得， 2k[ln （ 1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ]，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln （1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ） 令 g （ t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ），则 g ′（ t ）=[（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ） 2ln （ 1+2t ）2+3 （ 1+t ） ln （ 1+t ） ]，令 φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2 ln （1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则 φ′（t ）=6[ （1+3t ） ln （ 1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3 （1+t ） ln （ 1+t ） ] ，令 φ1 1（ t ） =φ′（t ），则 φ ′（ t ） =6[3ln （ 1+3t ）﹣ 4ln （ 1+2t ） +ln （ 1+t ） ]， 令 φ2 1 2＞ 0， （ t ） =φ ′（ t ），则 φ ′（ t ） =由 g （ 0） =φ（ 0） =φ1 2 2（ 0） =φ （ 0） =0，φ ′（ t ）＞ 0，知 g （ t ）， φ（ t ）， φ， 0）和（ 0， +∞）上均单调，1（ t ）， φ2（ t ）在（﹣ 故 g （ t ）只有唯一的零点 t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解 t=0 ，故假设不成立，所以不存在n n+k n+2k n+3k依次构成等比数列． a 1， d 及正整数 n ，k ，使得 a 1，a 2 ，a 3 ，a 4 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） 【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）（ 2015?江苏）如图，在 △ABC 中， AB=AC ， △ ABC 的外接圆 ⊙O 的弦 AE 交BC 于点 D ．求证： △ ABD ∽ △ AEB ．考点 ：相似三角形的判定． 专题 ：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明： ∵AB=AC ，∴ ∠ABD= ∠C ，又 ∵ ∠ C=∠ E ，∴∠ ABD= ∠ E ，又 ∠ BAE 是公共角，可知： △ ABD ∽ △ AEB ．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）（ 2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 = 是矩阵 的属于特征值﹣ 2 的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．考点 ：特征值与特征向量的计算． 专题 ：矩阵和变换．分析：利用 A =﹣ 2 ，可得 A=，通过令矩阵 A 的特征多项式为 0 即得结论．解答：解：由已知，可得 A =﹣ 2 ，即 = = ，则，即 ，∴ 矩阵 A= ，从而矩阵 A 的特征多项式 f （ λ） =（ λ+2）（ λ﹣1），∴ 矩阵 A 的另一个特征值为 1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．（ 2015?江苏）已知圆2ρsin （ θ﹣ ）﹣ 4=0 ，求圆 C 的半径．C 的极坐标方程为 ρ+2考点 ：简单曲线的极坐标方程．专题 ：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据 x= ρcos θ，y= ρsin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 解答： 2 ρsin （ θ﹣ 2ρsin θ﹣4=0 ，解：圆的极坐标方程为 ρ+2 ）﹣ 4=0 ，可得 ρ﹣ 2ρcos θ+2化为直角坐标方程为 x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0 ，化为标准方程为（x ﹣ 1）2+（ y+1 ） 2=6，圆的半径 r= ．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式 x= ρcos θ， y=ρsin θ，比较基础，[ 选修 4-5：不等式选讲】24．（ 2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2． 考点 ：绝对值不等式的解法．分析：思路 1（公式法）：利用 |f（ x） |≥g（ x） ? f（ x）≥g（ x），或 f （x）≤﹣ g（ x）；思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法 1： x+|2x+3| ≥2 变形为 |2x+3|≥2﹣ x，得2x+3≥2﹣ x，或 2x+3 ≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+ （ 2x+3）≥2，即 x≥，所以 x≥；② x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3 ）≥2，即 x≤﹣ 5，所以 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f（ x） |≥g（x） ? f （x）≥g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（x）； |f（ x） |≤g（x） ?﹣g（ x）≤f（ x）≤g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以 A 为坐标原点，以AB 、 AD 、AP 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建系 A ﹣xyz ．（ 1）所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（ 2）利用换元法可得 cos 2＜， ＞ ≤ ，结合函数 y=cosx 在（ 0， ）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB 、AD 、 AP 所在直线分别为 x 、 y 、z 轴建系 A ﹣ xyz 如图，由题可知 B （ 1， 0， 0）， C （1， 1， 0）， D （ 0， 2， 0）， P （ 0，0， 2）．（ 1） ∵AD ⊥ 平面 PAB ，∴=（ 0， 2，0），是平面 PAB 的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（0， 2，﹣ 2），设平面 PCD 的法向量为=（ x ，y ， z ），由，得 ，取 y=1，得 =（ 1， 1，1），∴ cos ＜， ＞ = = ，∴ 平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为；（ 2） ∵=（﹣ 1， 0，2），设 =λ =（﹣ λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又=（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣ λ，﹣ 1， 2λ），又=（ 0，﹣ 2， 2），从而 cos ＜ ， ＞ = = ，设 1+2 λ=t ， t ∈[1， 3]，则 cos 2＜， ＞ = =≤ ，当且仅当 t= ，即 λ= 时， |cos ＜ ， ＞ |的最大值为 ，因为 y=cosx 在（ 0， ）上是减函数，此时直线CQ 与 DP 所成角取得最小值．又 ∵ BP== ， ∴ BQ= BP=．点：本考求二面角的三角函数，考用空向量解决的能力，注意解方法的累，属于中档．26．（ 10 分）（ 2015?江）已知集合 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，⋯，n）（n∈N *）， S n={（ a，b） |a 整除 b或整除 a， a∈X ，B ∈Y n} ，令 f（ n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的；（2）当 n≥6 ，写出 f （n）的表达式，并用数学法明．考点：数学法．：合；点列、数列与数学法．分析：（1） f （ 6） =6+2+ + =13 ；（2）根据数学法的明步，分，即可明．解答：解：（ 1） f（ 6） =6+2+ + =13；（ 2）当 n≥6 ， f （ n） =．下面用数学法明：①n=6 ， f （ 6） =6+2+ + =13，成立；②假 n=k（ k≥6），成立，那么 n=k+1 ， S k+1在 S k的基上新增加的元素在（ 1，k+1 ），（ 2， k+1 ），（ 3， k+1 ）中生，分以下情形：1）若 k+1=6t ， k=6（ t 1）+5 ，此有 f（ k+1）=f （k） +3=（ k+1）+2++，成立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +1=k+2+ + +1=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ）=f（k）+2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6 的自然数 n 均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
江苏省启东市大江中学高三数学一轮复习练习---圆锥曲线含参考答案
高中数学一轮复习练习---圆锥曲线（1）一、选择题(每题5分)1)如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值是（ ） A 、21 B 、33 C 、23 D 、3 2)若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为（ ）A 、1,1-B 、2,2-C 、1D 、1-3)已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 414 4)椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）85)椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）86)椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） （A ）3（B ）11（C ）22（D ）107)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）（A ）222=-y x （B ）222=-x y（C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y8)双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）129)过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ）（A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）2810)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3（B ）26（C ）36（D ）3311)过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于（ ） （A ）2a （B ）12a （C ）4a （D ）4a12) 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） （A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x二、填空题(每题5分)13)与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，_____ 14）离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是_______。
2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版(K12教育文档)
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2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，,则集合AB 中元素的个数为_______。
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位)，则z 的模为_______。
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球,2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________。
6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________。
8。
已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______。
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10。
在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。
2015年江苏省高考数学试卷及答案 word
2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r 1，，若()()98ma nb mn R +=-∈r r，，则m-n 的值为______. 7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。
2015江苏省高考数学,WORD版
2015年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共计70分1、已知集合{1,2,3},B {2,4,5},A ==则集合B A ⋃中元素的个数为2、已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为3、设复数z 满足234i(i )z =+是虚数单位，则z 的模为4、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为5、袋中又形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球。
从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为6、已知向量(2,1),b (1,2).m +nb=(9,-8)(m,n R),m-n a a ==-∈若则的值为7、不等式224x x -<的解集为8、已知1tan 2,tan(),tan 7ααββ=-+=则的值为 9、现有橡皮泥制作的底面积半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为10、在平面直角坐标系xoy 中，以点（1,0）为圆心且与直线210(m R)mx y m ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为11、设数列*1n+11{}=11(n N ),{}10n n n a a a a n a -=+∈满足，且则数列前项的和为 12、在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点.若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为13、已知函数20,01,(x)ln ,(x)(x)g(x)142,1x f x g f x x <≤⎧⎪==+=⎨-->⎪⎩则方程实根的个数为14、设向量1110(cos sin cos )(k 0,1,2,,12),()666k k k k k k k a a a +==+=⋅∑πππ，则的值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，已知02360AB AC A ===，，,(1)求BC 的长；（2）求sin 2C 的值16、（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1AC BC BC CC ⊥=，，设1AB 的中点为D ，11B C BC E ⋂=求证：（1）11//DE AAC C 平面; (2)11BC AB ⊥17（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，,M N C 为的两个端点，1212,,M l l l l 测得点到的距离分别为5千米和40千米，点N 到的距离分别为20千米和2.5千米，以21l l ，所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，假设曲线C 符合函数2(,)a y a b x b =+其中为常数模型（1）求,a b 的值（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . 1、请写出公路l 长度的函数解析式(t)f ，并写出其定义域；2、当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 232F l 的离心率为，且右焦点到左准线的距离为 （1）求椭圆的标准方程；2,F l AB P C PC AB AB =（2）过的直线与椭圆交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线和于点，，若求直线的方程19、（本小题满分16分）32()(,)f x x ax b a b R =++∈已知函数（1）()f x 试讨论的单调性；(c )()33--+22b c a a f x a =-∞⋃⋃∞（2）若实数是与无关的常数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是（，3）（1，）（，），求c 的值20、（本小题满分16分）()()3124123423411234,,,(0)122222,,,a a a a a a a a d d a d a a a a ≠设是各项为正数且公差为的等差数列证明：，，，依次构成等比数列；是否存在，，使得依次构成等比数列？并说明理由；。
江苏省四市2015届高三第一次调研考试（一模）数学试题及答案
徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______. 7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____. 8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-³，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____. 10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x pw w =->的图象分别向左、向右各平移4p个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则w 的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________. 13．已知函数22,0,()2,0x x f x x x x +ì-³ï=í<ïî，则不等式(())3f f x £的解集为______. 14．在△ABC 中，己知中，己知 3,45AC A =Ð=，点D 满足满足 2CD BD =，且，且 13AD =，则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）分） 己知向量(1,(1,2sin 2sin ),(sin(),1)3a b p q q ==+，R q Î．(1)若a b ^，求tan q 的值：的值：(2)若//a b ，且(0,)2p qÎ，求q 的值．的值．16．（本小题满分14分）分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ^平面ABC ． (1)若AB ^BC ，CD ^PB ，求证：CP ^P A ：(2)若过点A 作直线上平面ABC ，求证：，求证： //平面PBC ．17.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD . （1）若AC =4，求直线CD 的方程; （2）证明：D OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ). 18.(本小题满分16分) 如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 4 km.km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域; (2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由. 19.(本小题满分16分) 在数列{}na中，已知12211,2,nn n a a aaa n N l *++==+=+Î，l 为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列，求数列 的前n 项和项和 n S ；（3）当0l ¹时，数列数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由. 20.(本小题满分16分) 己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+Î(1)若(1)0f =，求函数，求函数 ()f x 的单调递减区间; (2)若关于x 的不等式()1f x ax £-恒成立，求整数恒成立，求整数 a 的最小值: (3)若 2a =-，正实数，正实数 12,x x 满足满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12512x x -+³附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = A C AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分ÐABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知,a b R Î，矩阵1 3a A b -éù=êúëû所对应的变换A T 将直线将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 理
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 理注 意 事 项1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合A ＝{x|log2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ． 2．由命题“∃x ∈R ，x2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝ ▲ ．3．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.4．圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ▲ ． 5．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 ▲ .6．设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ▲ ．7． 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x xy ，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ .8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆ 的形状是 ▲ ．9．设y x ,均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 ▲ ．10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方 体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．11．已知点(,4)P m 是椭圆22221+=x y ab (0)>>a b 12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为 ▲ ．12．若函数)1ln(2ln )(+-=x kxx f 不存在零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分为14分）已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．16．（本小题满分为14分）已知函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f ππ，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．17．（本小题满分为14分）如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)在图2中，若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021)144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（1）当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 19．（本小题满分为16分）设A ，B 分别为椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形．20．（本小题满分为16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=．（1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方．2015届高三第二学期期初调研测试数学（Ⅱ）加试题22．（本小题满分为10分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t=<<，连接A1B，A1C，A1D．（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说23．（本小题满分为10分）设数列}{na的前n项和为nS，已知λ+=+nnSS12（*N∈n，λ为常数），21=a，12=a．（1）求数列}{na的通项公式；（2）求所有满足等式111+=--+mnnamSmS成立的正整数m，n．C1AB CDA1B1D12015届高三寒假作业测试答案 数学（Ⅰ）试题1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，则a>4，即c ＝4；2. 答案：1；由题意得命题“∀x ∈ R ，x2＋2x ＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.3. 答案：33；由条件得斜高为32)33(12=+ (m)．从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23＝3 3 (m2)．4. 答案：-4；圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.5. 答案：4+；BC AB BC AB S ⨯=⨯=424sin 21π，BC AB BC AB ⨯-+=2164cos 22π，得BC AB BC AB BC AB ⨯≥+=⨯+221622，)22(8+≤⨯BC AB ，6. 答案：37π；ax x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π，直线与三角函数图象的交点，在]2,0[π上，当3=a 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令32323)3sin(ππππ+=+⇒=+k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ，即πk x 2=或)(32Z k k x ∈+=ππ，∴此时ππ2,3,0321===x x x ，37321π=++∴x x x ．7. 答案：(0,1)，解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象 可以看出，若f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象 与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1). 8. 答案：等腰三角形；ACAB DC AD DB AD CD BD AD +=+++=--)()(2，BC AC AB =-，由()()20AB AC AD BD CD -⋅--= ，即)(AC AB BC +⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的是等腰三角形．9.答案：16；法一；由33122x y +=++化为xy y x xy 28≥+=-，因y x ,均为正实数，故4≥xy ；法二：由于33122x y+=++和xy 都是对称式，故令x=y=4．10.答案：2；设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC ，记为α，所以cos2α＝AC2AC21＝a2＋b2a2＋b2＋c2，同理cos2 β＝a2＋c2a2＋b2＋c2，cos2γ＝b2＋c2a2＋b2＋c2，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝211. 答案：35；一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为122⋅p y c，11(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35==c e a . 12. 答案：)4,0(；由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++x x ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集，即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(13. 答案：)0,1()2,3(-⋃--；函数x e x x f 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y xx x ，令0='y ，则0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，14. 答案：1；对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，则x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，则x t x f 2log )(+=，又由6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故2ln 1)(,log 4)(2x x f x x f ='+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2ln 1log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零点，分析易得04ln 112ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a ，故答案为：1二、解答题：15. 解 (1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0，-------------------------2分 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. ---------------------------------------------------------4分 从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2----6分经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1.-------------------------------------------------------7分 (2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分 因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.------------------------------------------------------------12分 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13---------------------------------------------------14分17. 解：(1)证明：在题图1中，因为AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°， 所以∠ACB ＝60°.因为CD 为∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝∠ACD ＝30°，所以CD ＝2 3.------------------------==--------------------------------------------------2分 又因为CE ＝4，∠DCE ＝30°，所以DE ＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD.-------------=-----------------------------------------5分在题图2中，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面BCD.--------------------------------======----------------------------------7分 (2)在题图2中，因为EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC∩平面BDG ＝BG ，所以EF ∥BG.--------------10分 因为点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点， 所以AE ＝EG ＝CG ＝2.过点B 作BH ⊥CD 交于点H.因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD.-------------------------==-------------------------------------12分 由条件得BH ＝32.又S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC·CD·sin 30°＝3，所以三棱锥B-DEG 的体积为V ＝13S △DEG·BH ＝13×3×32＝32.-------=------14分 18. 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎪⎭⎫ ⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x2＋400x －80 000＝－12(x －400)2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为⎪⎩⎪⎨⎧∈-+∈+-=]500,144[2008000021)144,120[504080312x x x x x x x y -------------------------------------------9分①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.-------------------------------------------------12分 ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，------15分 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.----------16分19．解析：（1）由题意：24=a ，所以2=a ．所求椭圆方程为22214+=x y b ．又点在椭圆上，可得21=b ．所求椭圆方程为2214+=x y ．-----------5分 （2）证明：由（1）知：(2,0),(2,0)-A B ．设(4,)P t ，(,)M M M x y ． 则直线PA 的方程为：(2)6=+ty x ．--------------------------------------------------7分由22(2),644,⎧=+⎪⎨⎪+=⎩t y x x y 得2222(9)44360+++-=t x t x t ．----------------------------------8分 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以22429--+=+M t x t ，所以222189-+=+M t x t ．----------------------------------------10分 由(2)6=+M M t y x ，得269=+M ty t ．所以2222186(,)99-+++t t M t t ．从而22246(,)99=-++ t t BM t t ，(2,)= BP t ．------------------------------------------12分所以22228699⋅=-+++ t t BM BP t t 22209=-<+t t ．------------------------------------14分 又,,M B P 三点不共线，所以∠MBP 为钝角．-------------------------------------15分 所以△MBP 为钝角三角形．----------------------------------------------------------16分20. 解：（1）)(x f 的定义域是),0(+∞x x x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-='当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；-------------------------------2分 当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>' 在),1(+∞上递增， )(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值．------------------------------------------4分（2）01)(ln 21)(2>+='⇒+=x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，)(x f ∴在],1[e 上递增，------------------------------------------------------------------6分.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f --------------------------------10分（3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='x x x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立，)(x h ∴在区间),1[+∞上递减，-----------------------------------------------------------12分 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h -----------------------------------------------------------15分∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方--------------16分数学（Ⅱ）加试题21.（本小题共2小题，满分20分）．B ．解：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，------------------5分同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321，， ， a b c d ====． 因此ad －bc ＝2－6＝－4． ---------------------10分 C ．解：（1）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=- --------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ） ----------------5分（2）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ得0332=--ρρ -----------------------------7分 设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ， 则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB . ------10分 （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 22．解：根据题意可知，AA1, AB,AD 两两垂直， 以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA1为z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系：（1）长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 -----------------------1分 所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=，设平面A1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩，取1x z ==，得：()1,0,1m = ， 同理可得平面A1CD 的法向量()0,1,1n =所以，1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅-----------------------------4分又二面角B-A1C-D 为钝角，故值是120︒ ---------------------------5分 （也可以通过证明B1A ⊥平面A1BC 写出平面A1BC 的法向量） （2）根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ-- ()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP A C BD A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩解得：21,3t λ==------------------------------------------------------------------9分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ， 位置是线段A1C 上1:2:1A P PC =处. ---------------------------------------------10分当2=m 时，由（*）得622=⨯n，所以无正整数解； 当3=m 时，由（*）得82=n，所以3=n ．综上可知，存在符合条件的正整数3==n m ． ---------------------------10分。
2015年高考数学江苏卷含答案
．
答案：9√3．
建议解法：������������
=
(cos
������π 6
,
√2
sin(
������π 6
+
π 4
))，������������+1
=
(cos
(������
+ 6
1)π
,
√2 sin( (������
+ 1)π 6
+
π 4
))，
所以
������������
⋅
������������+1
．
答案：√5． 建议解法：因为 |������|2 = |������2| = √32 + 42 = 5，所以 |������| = √5．
S 数学 I 试卷 第 1 页（共 11 页）
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 ������ 为
答案：7． 建议解法：列表如下：
������ 1 3 5 7 ������ 1 4 7 10 当 ������ = 10 时，循环结束，此时 ������ = 7．
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置。
3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4. 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无
效。 5. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
1)π
+
1 2
cos
(2������
+ 6
1)π
2015年江苏高考数学试题及答案word精校版(江苏卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高。
圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量a v =（2,1），b v =（1，-2），若ma nb +v v=（9，-8）（m ，n ∈R ），则m-n 的值为______. 7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为 。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)
2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式： 圆柱的体积公式：shV=圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字3上．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合BA Y 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足iz 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), nm -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．1←S1←IWhile48. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}na 满足11=a，且11+=-+n a an n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线51=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k=(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.616．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC⊥， 1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BCC B =11I . 求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角ABCDEA BC7坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y xb =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；8（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax xx f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；BAO x ylP C9（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a aa a 依次成等比10数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.★ 启用前绝密2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径. AB C ED O （第21D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ==== （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分） 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Yn ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C D Q。
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2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）（2015?江苏）已知集合A={1 , 2, 3}, B={2 , 4, 5},则集合AU B中元素的个数为 _考点:并集及其运算.专题:集合.分析：求出A U B,再明确元素个数解答：解：集合A={1 , 2, 3} , B={2 , 4, 5},则A U B={1 , 2, 3, 4,5}；所以AUB中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2.（5分）（2015?江苏）已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为_6_考点：众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析：直接求解数据的平均数即可.解答：解：数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为：44-6+548+7^6 =6>6故答案为：6.点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.3.（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i （ i是虚数单位），则z的模为一. 考点:复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.解答：解：复数z满足z2=3+4i ,可得lzllzl=l3+4il=Jj莓梓巧，A lzl=^故答案为：•街点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力.4.（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7WTulft Z<Sgg 4 2冲+ 3End ^hile Print S考点:伪代码.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I, S的值，当1=10时不满足条件IV 8,退出循环，输出S的值为7・解答：解：模拟执行程序，可得S = 1, 1=1满足条件1< 8, S=3, 1=4满足条件1< 8, S=5, 1=7满足条件I < 8, S=7, 1=1不满足条件1<8,退出循环，输出S的值为7.故答案为：7.点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5.（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为虫・考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可. 解答：解：根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为Cl、C2,则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC 2、BC1、BC2、C1C2共6不申，其中2只球的颜色不同的是AB、AC 1、AC 2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P伞.故答案为：卫.点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目.6.(5 分)(2015?江苏)已知向量3= ( 2, 1) , b= ( 1, - 2)，若( 9, - 8) ( m, neR),则m - n的值为_H—考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题：平面向量及应用.分析: 解答: 直接利用向量的坐标运算，求解即可.解：向量-2），点评2n可得,解得m=2, n=5,考查计算能力.< 4的解集为（- 1, 2）.8. （5分）（2015?江苏）已知3 2, tan考点：指、对数不等式的解法.专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：利用指数函数的单调性转化为x2 - x< 2,求解即可.解答：x2 -K解；V2 <4,2・・・x - x< 2,7即x - x - 2< 0,解得：- 1< x<2故答案为：（- 1, 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大.考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可.解答：〒解：tan a = - 2, tan （ a + 3 ）'=,可知（an（ a + 0）L- tan ^ tanP =T,即l+2tan® = 7,解得tan B =3. 故答案为：3.点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.7.9. （5分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个, 若将它们重新制作成总押只与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.2 11.（5 分）（2015?江）数列｛a 1｝足 a*),数列｛ 丄｝的前10的和 20—考点：数列的求和;数列推式.:等差数列与等比数列. 分析：務別J数歹 I ｛a n1n+1 n｝足 a =1,且 a a =n+l （n WN 利用“裂求和”即可得出. *）,利用“累加求和”可得an n解答:解：•* an=n二 当 n 》2 ,n (n+1)当n=l ,上式也成立,解答：解：由意可知，原来和柱的体和: 吉心5冗1, 0)心且与直 mx y(x 1) ?+y 2=2分析:求出心到直的距离 d 的解答::算；空位置关系与距离.分析：由 意求出原来柱和 的体，出新的柱和 的底面半径r,求出体，由前后体相等列式求得r.新和柱的底面半径 r,新和柱的体和： —X4K r 2+8^ r ?二竺仝 |3 3•••空£$竺,解得：rWr-33故答案：低 点：本 考了柱与 的体公式，是基的算.10. （ 5分）（2015?江）在平面直角坐系 xOy 中，以点（ 2m 1=0 （ mWR ）相切的所有中，半径最大的的准方程考点：的准方程；的切方程.:算；直与.故答案:(x1) +y=2 . 点：本 考所的准方程，考点到直的距离公式，考学生的算能力，比基.解：心到直的距离 x 1) +y =2.a n n. (n+1)2[(「扣20故答案为:n 项和公7 7 12. (5x -y+l=』-占)• ・・・数列｛ 1 ｝的前n 项的和S =n2n ~n+l数列｛—-)的前io 项的和为22.务1120点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前 查了推理能力与计算能力，属于中档题.右支上的一个动点，若点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 丄 考点：双曲线的简单性质. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：双曲线x - y =1的渐近线方程为 x±y=o, c 的最大值为直线 的距离. 解答：解：由题意，双曲线x 2- y 2=l 的渐近线方程为x±y=0 , 因为点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，所以c 的最大值为直线x-y+l=0与直线x- y=0的距离，即 故答案为：愛.|2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.a o<x<i13. ( 5分)(2015?江苏)已知函数亍(x) =llnxl , g ( x) 4.,则方程| x 24 | =2, X^>1If ( x) +g ( x) 1=1实根的个数为4 .考点：根的存在性及根的个数判断. 专题:综合题；函数的性质及应用.分析：：由lf(x)+g(x) 1=1可得g (x) = - f ( X)± 1 ,分别作出函数的图象，即可得出 结论. 解答：解：由 If ( x) +g ( x) 1 = 1 可得 g ( x) = - f ( X) ± 1 .g( X)与h ( x) = - f ( x) +1的图象如图所示，图象有两个交点；-4」Jg(x)与(f) ( x) = f(x) 1的象如所示，象有两个交点;•4_-S L所以方程lf( x) +g ( x) 1=1根的个数 4.故答案：4.点：本考求方程lf( x)+g(x)l=l根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力, 属于中档•—k开上兀fi G罠14.(5 分)(2015?江)向量=(cos ° , sin ° +cos ° ) ( k=0, 1, 2,…，12),11£ _皿_k=0( ak?ak+i)的・考数列的求和.点■等差数列与等比数列;平面向量及用.■■分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出.解解:=k 兀飞.k 冗 (k+1)冗 sin~g- cos-------------- ----kTT (k+1)兀kH(k+1) cos 可・cos p+sirr ---- 一 kTl . (k+1)兀kTl (k+n Kcos p sin 1GOJs QOS g2・3H ・咔・97T,+5开C05_T.¥开丄・11兀 sinrV 11兀丄 I -.13H 1-+化和差公6 | ・k 兀 k 兀、厂.(k+1)兀siri ——+cos —— J ( sm --------- ---- cos --6 6 6 6 7T —+JI_3、范・ 2k+1l 1 2H1TT二、解答（本大共 6小，共 90分，解答 写出文字明、明程或演算步）15. （ 14 分）（2015?江）在 AABC 中，已知 AB=2 , AC=3 , A=60 ° .（1） 求BC 的； （2） 求 sin2C 的.考点：余弦定理的用；二倍角的正弦. :解三角形.・ 2k+L 仃」/ _2k+l “丄 n .= COS"^S1 _— n+7； ^cos -17+COS —''分析：（1）直接利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求出C的正弦函数，然后利用一倍角公式求解即可.解答・•解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2 2AB ?ACcosA=4+8 2X2X3^： =7, 所以BC=听.（2）由正弦定理可得：••• AB < BC , C 角,16.( 14ABC -A [B则cosC=71- sin2C=^l -孑等•因此sin2C=2sinCcosC=2 ・7 7 7点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键.考点:直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.专题：证明题；空间位置关系与距离.分析：(1)根据中位线定理得DE〃AC ,即证DE〃平面AA1C1C；(2)先由直三棱柱得出CC1丄平面ABC ,即证AC丄CC1；再证明AC丄平面BCC1B 1, 即证BC 1丄AC ；最后证明BC1丄平面B 1AC ,即可证出BC 1丄AB 1.解答：证明：(1)根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE〃AC；又因为DE ?平面AA 1C1C, AC ?平面AA 1C1C,所以DE 〃平面AA 1C1C；(2)因为棱柱ABC・A 1B1C1是直三棱柱，所以CC1丄平面ABC ,因为AC ?平面ABC ,所以AC丄CC1；又因为AC丄BC,CC1?平面BCC 1B1,BC ?平面BCC冷\BC ACC1=C,所以AC丄平面BCC 1B 1；又因为BC 1?平面平面BCC 1B1,所以BC 1丄AC ；因为BC=CC 1,所以矩形BCC 1B1是正方形，所以BC 1丄平面B1AC ；又因为AB 1?平面B1AC , 所以BC 1±AB 1.点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目.17.（14分）（2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为11, 12,山区边界曲线为C,计划修建的公路为1,如图所示，M, N为C的两个端点，测得点M到11, 12的距离分别为5千米和40千米，点N到11, 12的距离分别为20千米和2.5千米，以12, 11在的直线分别为x, y轴，建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C符合函数尸」_,+b （其中a, b为常数）模型.（1）求a, b的值；（2）设公路1与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路1长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路1的长度最短？求出最短长度.考点:函数与方程的综合运用.专题:综合题；导数的综合应用.分析：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5, 40） ,（20, 2.5）,将其分别代入yf ,x2+b 建立方程组，即可求a, b的值；（2）① 求出切线1的方程，可得A, B的坐标，即可写出公路1长度的函数解析式f（t）,并写出其定义域；、 2 4X105②设g （t） --- ,利用导数，确定单调性，即可求出当｛为何值时，公路1 的长度最短，并求岀最短长度.(20, 2.5),解答：解：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5,(b= 0 =40 25+将其解得（2）v ,10QQ 2 X (5Wx W20):•寸-200・・・切y- 1000t 2_设在点PSt 2 ' .・・2=3t 2 +4XlQt e[5,②设g （t)t 4 6・，(t)iq/2）t e （ 5,o ,g（(t) <0,t ）是减函,20)时, g f( t) >x 2 y 218. （16分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy^4,已知椭圆a 2+b 2=l （ a>b> 0）的离心率为 2 ,且右焦点F 到左准线1的距离为3.（1） 求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于 A, B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线1和AB 于点P,C,若PC=2琴鼻求直线 AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程. 专题:直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a, c 的方程，解得a, c,再由a, b, c 的关系,可得b,进而得到椭圆方程;（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和屮点坐标公式，即可得到所求直线的方程.1 0a= V2则b=l ,即有椭圆方程将AB 方程代入椭圆方程可得(CP=3,不合题意；(x - 1) , A (xi, yi) , B ( X2, y2), 2AB : y=k 22 2 -4k x+21) =0,2(k 2 L+2k 22 娠 tl+k 2) 1+2 k 2若k=0 ,则AB 的垂直平分线为 y 轴，与左从而IPCd |k|(1+丄(2k 2l+2P (- 2」共二解答：解：(l)由题意可得，e2且c+生3,解得c=l,c此时AB 的方程为 y=x - 1或y= - x+1.点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用， 属于中档题. 19. (16 分)(2015?江苏)已知函数 f ( x) -x'+ax'+b (a, beR). (1)试讨论f ( x)的单调性；(2)若b=c-a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f ( x)有三个不同的零点时，a 的取值 范围恰好是(- g, - 3) U (1上)U (J, +8)，求c 的值.>2 2考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理. 专题:综合题；导数的综合应用.2(3k 2+ l)右+/4^2 <l+k 2) |k| (l+2k 2)~lt2k 2由 IPCI=2IABI,可得,解得k= ± 1,则Xl+X),且X1X2=严丿IABI =分析: (1)求导f (x)的单2a). _3 ?2(2)由(1)知，函数f ( X)的两个极值为f ( 0) =b, f (-+b,则函a=0 时，f ' ( x) > 0,・・・ f(X)在a> 0 时, xe (- )U( 0,・・・函数f2a(X)在(-8,-,(0, +8)a< 0 时, xe ( - < 0, ・・・函数f(X)在(-8,0), 2*(2)由 (1)知，函数f ( x)的两个极值为 f ( 0)二b, f (-2a-詈)上单调递减; 4 3+b,则函f( X)有三2a f ( o) f(・爷)=b(寻「27 +b) < 0, T b=c - a, 4 3・•・a> 0时，设 g ( a) 一 a+c, •・・函数8,U (T +°・••在(- 8,- 3)上，g+ 8)上g (a) > 0均恒成f ( x)有三个不同的零点等价于 f ( 0) f ( - g?) =b (吕 J +b) < 0,进一步转化为3274 14 T4 3a> 0 时，—a ' - a+c> 0 或 a V 0 时，—a" - a+c< 0・设 g ( a )- a+c,利用条件即可求c 的值.解答：解：(1) V f ( x) =x ^+ax^+b ,f z(x) =3x +2ax,令 f' (x) =0 ,可得 x=0 或3< 0,立，• • C = 1 y,f‘( x)此时f ( x) =x、+ax +1 - a= ( x+l ) [x + ( a - 1) x+1 - a],•・・函数有三个零点，9x_+ (a - 1) x+1 - a=0有两个异于-1的不等实根，•••△=( a 一1) z - 4 ( 1 - a) > 0,且(一1) — ( a - 1) +1 - aHO,20. ( (1) 证(2015?辽苏)设 a , a , ",2 幻，2 ", 22 al 1 2 ,，d,使得a , a (3)是否存在 说明理由.解答： 解解得 aG (- 8, 一 3) U ( 1,虽)U +8),2综上C = 1・点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大.12 3 4a ・a 是各项为正数且公差为 d ( dHO)的等差数列.5依次构成等比数列； as 3, a/依次构成等比数列？并说明理由； nn+kn+2k n+3kai, d 及正整数n, k,使得ai , a2 , a3, a4依次构成等比数列？并考点:等比关系的确定；等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列.分析：(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明；7 3 4(2) 利用反证法，假设存在 an d 使得ai, a22, a3', af 依次构成等比数列，推岀矛 盾，否定假设，得到结论；(3) 利用反证法，假设存在 ai, d 及正整数n, k,使得ai a2n+k , a 3 n +2k, a 4n+3k 依 次构成等比数列,得到 ai n( al+2d ) n+2k 二(al+2d )2 n+k,且(al+d) n+k( al+3d )n+3k(ai+2d) 2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到g( i +3t ) In ( l+2t) +3In (l+2t) In ( 1+t) =4In (l+3t) In ( 1+t) ,( ** ),多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立.n 監十1 . ——=2^n &a =2d, (n=l , 2, 3,)是同一个常数，/. 2 '】，2叫,2 %,2幻依次构成等比数列；(2) 令 al+d=a,则 al, a2, a3, a4 分别为 a - d, a, a+d, a+2d ( a> d, a> - 2d, d#0)假设存在ai i 22, a33, a4°依次构成等比数列，・d 便却a ・、43624则 a = ( a - d) ( a+d),且(a+d) =a ( a+2d),令 t=—，则 1= (1 - t ) ( 1+t ) 3，且(1+t) 6= ( l+2t) 4 ,(t< 1, tHO), 化简得 t ^+2t 2 - 2=0 ( * )，且 t^=t+l ,将 t^=t+l 代入(*)式，t ( t+I ) +2 ( t+l ) - 2=t^+3t=t4-14-3t=4t4-l =0 ,贝!J t= -显然匸-寺是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，7 34因此不存在ai, d,使得ai, a2 ,町',昭 依次构成等比数列. (3) 假设存在ai i n , a2n+K , a3n+2K , a4n+3K ^次构成等比数,d 及正整数n, k,使得a列，( ) ( ) rmi n / 小八 n+2K ( 小八 2 n+K 口 / 八 n+K z “、n+3K ( c i 、2 n+2K 则 ai ( ai+2d) = ( ai+2d) ,且(ai+d) ( ai+3d ) = ( ai+2d ) ,2 ' n+k ?2 ' n+2k ?d_ 1分别在两个等式的两边同除以=a 1 , ai ,并令吨;，(t> "3, tHO),则（l+2t ）n+2k=（ 1O (/ n-In ( (1+t 1+t ) ]=],+2t)In ( l++31n ( 1+t) , 则 g‘ z2[(l+3t) _ln ( (1+t) (l+2t) (l+3t)29 l+3t) - 3 ( l+2t) In ( l+2t)7 (1+t ) In ( 1+t ),则' (t 令 1号)-4)'> o,0) 1 (t), 2 2再将这两式相除，化简得,三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21・24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21. （ 10分）（2015?江苏）如图，在AABC 中，AB=AC , △ ABC 的外接圆OO 的弦AE 交 BC 于点D.求证：△ ABD s △ AEB •考点：相似三角形的判定. 专题：推理和证明.分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似.解答：证明：・/AB=AC ,・\ ZABD= ZC,又 T Z C=Z E, A Z ABD= Z E,又 Z BAE 是公共 角，22. （ 10分）（2015?江苏）已知~ax1 y 三R,向量X 1特征值-2的-1y 0是矩阵的属于分析: 通过令矩解答： 解：由已知，可得【选修P +2 P sin ( 7T -4=0,求可知：△ ABD s △ AEB .点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力.考点:特征值与特征向量的计算.-1 1・・.矩阵A =L2 0一从而矩阵A 的特征多项式f （入）=（入+2） （ x - 1）, ・・・矩阵A 的另一个特征值为1.点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于屮档题.考点:简单曲线的极坐标方程. 专题：计算题；坐标系和参数方程.分析：先根据X 二p cos H , y= PsinB,厂求岀圆的直用坐标方程，求出半径. 解答：2寸空-y2解：圆的极坐标方程为 P +2 P sin （ H -） - 4=0 ,可得 P - 2 P cos B +2 P sin B -4=0 ,2 2化为直角坐标方程为 x +y - 2x+2y - 4=0 , 化为标准方程换（x- 1） ?+（ y+i ）2=6, 圆的半径r=.点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x= P cos B , y= P sin 0 ,比较基础,［选修4・5：不等式选讲】24. ( 2015?江苏)解不等式 X +I2X +3I N2.考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式.【选修4-2：矩阵与变换】 -个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 矩阵和变换.I a 利用A = - 2--- *1 ---- -- a a分析：思路1 (公式法)：利用If ( X) I2g ( X) ? f ( X) 2g ( X)，或f (x) W - g ( x); 思路2 (零点分段法)：对x的值分“XV0”进行讨论求解.2 2解答：解法1： x+l2x+引22变形为I2x+引22 - X,得2X+3M2 - X,或2x+3 2 -( 2 -x) , BP-i ,或xW - 5,3即原不等式的解集为(xlX 2— 3,或XW - 5}・3解法2：令I2x+：3I=O,得只=一卫.2①当寸，原不等式化为x+ ( 2x+3) 22,即x>-l,2 3所以x± -丄；3②x< 一爭'原不等式化为X・(2x+3 ) 22,即xW・5,所以xW - 5.综上，原不等式的解集为{xlx事-丄，或xW - 5}.3点评：本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：If ( x) I2g (x) ? f (x) Mg ( x),或f ( x) W ・ g (x) ； If ( x) iWg (x) ?-g( x) Wf ( x) Wg ( x).可简记为：大于号取两边，小于号取中间.使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集.【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCD为直角梯形, ZABC=25.( 10分)(2015?江苏)如图，在四棱锥P - ABCD中，已知PA丄平面ABCD ,且四边形TT2[(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算. 专题:空间位置关系与距离；空间角.分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A - xyz . ( 1 ) 所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝3•・・PG1, - 2) ,PD= (0, 2,・ 2),x, y, z),cos < AD,・・・平设1+2 7 则COS入t [1, 3],2t 2<CQ,_______ 2 ______ F9_g (丄一知t /*9,icos<CQ ,.DP> I 的最人值为10勺F-10t+9因为 y=co对值，计算即可；(2)利用换元法可得COS 2<CQ, DP> 总，结合函数y=cosx 在(0,—)上的单调10 2性，计算即得结论.解答：解：以A 为坐标原点，以 AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A - xyz 如 图，由题可知 B ( 1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D ( 0, 2, 0) , P ( 0, 0, 2).(1 ) VAD 丄平面PAB ,・••石二(0, 2, 0),是平面PAB 的一个法向量，(0, - i, o),贝CQ=CB+BQ=( - 入，(0, - 2, 2),从而 cos<C0，DP> =兀)上是减函数，此时直线 CQ 与DP 所成角取得最小值. 又•・・B P £] 2 + 2? 並,・•・BQ# BP=由巨逻专得 广K +卩- 2z=01 n\ • PD 二 0] ^2y — 2z 二Q设平面PCD 的法向量为IT取 y== 1,得 IF ( 1 ‘ 1,1),(2)0,当且点：本 考求二面角的三角函数，考用空向量解决 的能力，注意解方法的累，属于中档.*26. ( 10 分)(2015?江)已知集合 X={1 , 2, 3), Yn={l , 2, 3,…，n) (n^N ), Sn={( a, b) 或整除a, aex, B ey n },令f( n)表示集合Sn 所含元素的个数.(1) 写出f(6)的；(2) 当26，写出f(n)的表达式，并用数学 法明.la 整除b考点：数学法.:合；点列、数列与数学法. 分析•( 1) f (6) =6+2+ +|=咼；(2)根据数学法的明步，分，即可明・ 角军答： 口 •解：(1) f(6) =6+2+3；(2)当 n>6 , f(n)=n+24-〔专申 f «=6t n+2f,n=6t+ln n _ 2n+2+ (刁—-—)« n-6t+2 z Jn+24-〔二^丄 晋)，n=6t43 n+2f (詈 4^二)• n=61+4 n+2f (”；1 l "；2) , n=6H5下面用数学法明：①"6, f( 6) =6+2++購成立;②假n=k( k>6),成立，那么n=k+l , Sk+i 在Sk 的基上新增加的元素在(1, k+1 (2, k+1 ),(3, k+1 )中生，分以下情形： 1)若 k+l=6t , k=6 (t1)+5 ,此有 f( k+l)=f (k) +3=( k+l)+2+― ),1 k+132)若 k+l=6t+l ,则 k=6t+l ,此时有 f ( k+1 ) =f ( k) +l=k+2+—2T1=(k+1)+2+(k+1) 2-1(k+1) -1"nr"1,结论成立;3)若 k+l=6t+2 ,则 k=6t+l ,此时有 (k+1=f(k) +2=k+2+ □ +k-l^3~+2= ( k+1 ) +2+k+1 (k+1 )-2 ~2,结论成立;4)若 k+l=6t+3 ,则 k=6t+2 ,此时有 (k+1 =f ( k)+2=k+2+g ¥2 3+2= ( k+1(k+1) "1 k+1 2 」3,结论成立;+2+5)若 k+l=6t+4 ,则 k=6t+3 ,此时有 (k+1 =f ( k)k - 1 k+2=k +2+— E+2= ( k+1+2+吐 1 (k+1)~2,结论成立;6)若 k+l=6t+5 ,则 k=6t+4 ,此时有 (k+1 =f ( k) +2= ( k+1+2+ (k+1〕- 1 (k+1) " 2" * 3n26的自然数n 均成立.2 | ' 综上所述，结论对满足,结论成立.点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键.。
2015年江苏省高考的数学试卷(2020必考).doc
2015 年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1（．5 分）已知集合 A={ 1，2，3} ，B={ 2，4，5} ，则集合 A∪B 中元素的个数为．2．（5 分）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5 分）设复数 z 满足 z2=3+4i（i 是虚数单位），则 z 的模为．4．（5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为．5．（5 分）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．6．（5 分）已知向量=（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（9，﹣ 8）（m， n∈R），则 m﹣n 的值为．7．（5 分）不等式 2 ＜4 的解集为．8．（5 分）已知 tan α=﹣2，tan（α+β）= ，则 tan β的值为．9．（5 分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以点（ 1，0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣1=0（ m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．．（5 分）设数列n 1 ，且n+1 n *），则数列 { } 的前11 { a } 满足 a =1 a ﹣ a =n+1（ n∈N10 项的和为．12．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线 x2﹣y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．13．（ 5 分）已知函数 f（ x）=| lnx| ，g（x）=，则方程| f（x）+g（x） | =1 实根的个数为．14．（ 5 分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，，12），则（ a k?a k+1）的值为．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）在△ ABC中，已知 AB=2， AC=3， A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C的值．16．（ 14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知 AC⊥BC，BC=CC1，设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面 AA1C1C；（2） BC1⊥ AB1．17．（ 14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1， l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2的距离分别为20 千米和 2.5 千米，以 l2， 1 在的直线分别为，y 轴，建立平面l x直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= （其中 a，b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路 l 长度的函数解析式 f（ t），并写出其定义域；②当t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．18．（ 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程．19．（ 16 分）已知函数 f （x）=x3+ax2 +b（ a， b∈ R）．（1）试讨论 f（ x）的单调性；（2）若 b=c﹣a（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f（ x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（，+∞），求c的值．20．（ 16 分）设 a1，a2，a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（ 1）证明： 2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在 a1， d，使得 a1，a22， a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）如图，在△ ABC中， AB=AC，△ ABC的外接圆⊙ O 的弦 AE 交 BC于点 D．求证：△ ABD∽△ AEB．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）已知 x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[ 选修 4-5：不等式选讲】24．解不等式 x+| 2x+3| ≥2．【必做题】每题10 分，共计 20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD= ， PA=AD=2， AB=BC=1．（1）求平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长．26．（10 分）已知集合 X={ 1，2，3} ，Y n={ 1，2，3，，n）（n∈N*），设 S n ={（a，b）| a 整除 b 或 b 整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f（n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的值；（2）当 n≥6 时，写出 f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1．（5 分）已知集合 A={ 1，2，3} ， B={ 2， 4， 5} ，则集合 A∪B 中元素的个数为5．【分析】求出 A∪ B，再明确元素个数【解答】解：集合A={ 1，2，3} ， B={ 2， 4， 5} ，则 A∪B={ 1，2，3，4，5} ；所以 A∪B 中元素的个数为5；故答案为： 5【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5 分）已知一组数据 4， 6， 5， 8， 7， 6，那么这组数据的平均数为6．【分析】直接求解数据的平均数即可．【解答】解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5 分）设复数 z 满足 z2=3+4i（i 是虚数单位），则 z 的模为．【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．【解答】解：复数z 满足 z2 =3+4i，可得 | z|| z| =| 3+4i| = =5，∴ | z| =．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I， S 的值，当 I=10 时不满足条件 I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1， I=1满足条件 I＜ 8， S=3， I=4满足条件 I＜ 8， S=5， I=7满足条件 I＜ 8， S=7， I=10不满足条件 I＜8，退出循环，输出S 的值为 7．故答案为： 7．【点评】本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5 分）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．【分析】根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 C1、C2，则一次取出 2 只球，基本事件为 AB、AC1、 AC2、BC1、BC2、C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不同的是 AB、AC1、AC2、 BC1、 BC2共 5 种；所以所求的概率是P= ，故答案为：．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5 分）已知向量=（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（9，﹣ 8）（m， n∈R），则 m﹣n 的值为﹣3．【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【解答】解：向量=（ 2， 1），=（1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）可得，解得 m=2，n=5，∴m﹣n=﹣ 3．故答案为：﹣ 3．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5 分）不等式 2＜4的解集为（﹣1，2）．【分析】利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．【解答】解；∵ 2 ＜4，∴x2﹣x＜ 2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣ 1＜ x＜2故答案为：（﹣ 1，2）【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5 分）已知 tan α=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解： tan α=﹣ 2， tan（α+β）=，可知 tan（α+β） ==，即=，解得 tan β=3．故答案为： 3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5 分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中，以点（ 1，0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣ 1=0（ m∈ R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．【分析】求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d= = ≤ ，∴m=1 时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（ x﹣ 1）2+y2=2．故答案为：（ x﹣1）2 +y2=2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 5 分）设数列 ，且 +*），则数列 { } 的前 11 { a n } 满足 a 1=1 a n 1﹣ a n =n+1（ n ∈N10 项的和为 ．【分析】数列 { a n } 满足 a 1=1，且 a n +1﹣ a n =n+1（n ∈N * ），利用 “累加求和 ”可得a n =．再利用 “裂项求和 ”即可得出．【解答】解：∵数列 { a n 满足 1 ，且 n +1﹣ n （ ∈ N *），} a =1 a a =n+1 n ∴当 n ≥2 时， a （ ﹣ ﹣ ）（ ﹣ a 1 ） +a 1．n = a n a n 1 + + a 2 =n+ +2+1= 当 n=1 时，上式也成立， ∴ a n = ．∴ =2．∴数列 { } 的前 n 项的和 S n ===．∴数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的 “累加求和 ”方法、 “裂项求和 ”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2﹣y 2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x ﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．【分析】双曲线 x 2﹣y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0，c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0与直线 x ﹣y=0 的距离．【解答】解：由题意，双曲线x 2﹣y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0，因为点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0 与直线 x ﹣y=0 的距离，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（ 5 分）已知函数 f（ x）=| lnx| ，g（x）=，则方程| f（x）+g（x） | =1 实根的个数为4．【分析】：由| f（ x）+g（x）| =1 可得 g（x）=﹣ f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由 | f（x） +g（x）| =1 可得 g（x）=﹣f（x）± 1．g（x）与 h（ x） =﹣ f（x）+1 的图象如图所示，图象有 2 个交点g（x）与φ（x） =﹣ f（x）﹣ 1 的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程 | f（x） +g（x）| =1 实根的个数为 4．故答案为： 4．【点评】本题考查求方程| f（x）+g（ x）| =1 实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（ 5 分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，，12），则（ a k?a k+1）的值为．【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．【解答】解：=+=++++=++=++，∴（a k?a k+1）=+++++++ +++++++ +=+0+0=．故答案为： 9 ．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）在△ ABC中，已知 AB=2， AC=3， A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C的值．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．（ 2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：（1）由余弦定理可得：2 2 2﹣ 2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3 BC =AB +AC× =7，所以 BC= ．（ 2）由正弦定理可得：，则 sinC= = =，∵AB＜BC，BC= ，AB=2，角 A=60°，在三角形 ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角 C＜角 A，角 C 为锐角． sinC＞0，cosC＞0 则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2×=．【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（ 14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知 AC⊥BC，BC=CC1，设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面 AA1C1C；（2） BC1⊥ AB1．【分析】（1）根据中位线定理得DE∥ AC，即证 DE∥平面 AA1C1C；（2）【方法一】先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC，即证 AC⊥CC1；再证明 AC⊥平面 BCC1B1，即证 BC1⊥AC；最后证明 BC1⊥平面 B1AC，即可证出 BC1⊥ AB1．【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直．【解答】证明：（1）如图所示，由据题意得，E 为 B1C 的中点， D 为 AB1的中点，所以 DE∥AC；又因为 DE?平面 AA1C1C， AC? 平面 AA1C1C，所以 DE∥平面 AA1C1C；（ 2）【方法一】因为棱柱ABC﹣ A1 B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC，因为 AC? 平面 ABC，所以 AC⊥CC1；又因为 AC⊥BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1B1，BC∩CC1=C，所以 AC⊥平面 BCC1B1；又因为 BC1? 平面 BCC1B1，所以 BC1⊥AC；因为 BC=CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，所以 BC1⊥平面 B1AC；又因为 AB1? 平面 B1AC，所以 BC1⊥AB1．【方法二】根据题意， A1C1⊥B1C1， CC1⊥平面 A1B1C1，以 C1为原点建立空间直角座标系，C1A1为 x 轴， C1B1为 y 轴， C1C 为 z 轴，如图所示；设 BC=CC1=a，AC=b，则 A（b，0，a）， B1（0，a，0）， B（ 0， a， a），C1（ 0， 0， 0）；∴=（﹣ b，a，﹣ a），=（0，﹣ a，﹣ a），∴?=﹣ b× 0+a×（﹣ a）﹣ a×（﹣ a）=0，∴⊥，即 AB1⊥BC1．【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题．17．（ 14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为C 的两个端点，测得点 M 到 l ， l 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l ，l1 2 12 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l2， 1 在的直线分别为，轴，建立平面l x y直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= （其中 a，b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路 l 长度的函数解析式 f（ t），并写出其定义域；②当t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．【分析】（1）由题意知，点M，N 的坐标分别为（ 5， 40），（20，2.5），将其分别代入 y=，建立方程组，即可求a，b 的值；（2）①求出切线 l 的方程，可得 A，B 的坐标，即可写出公路 l 长度的函数解析式f（ t），并写出其定义域；②设 g（t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l 的长度最短，并求出最短长度．【解答】解：（1）由题意知，点 M ，N 的坐标分别为（ 5， 40），（ 20，2.5），将其分别代入 y=，得，解得，（ 2）①由（ 1） y= （5≤x≤20），P（t ，），∴ y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣=﹣（x﹣t）设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 点，则 A（，0），B（0，），∴ f（t ）==，t∈[ 5，20]；②设 g（t ）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得 t=10，t ∈（ 5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞ 0， g（t ）是增函数，从而 t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴ g（ t）min ，=300∴ f（t ）min=15 ，答： t=10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为15 千米．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（ 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程．【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得 a，c，再由a，b，c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．【解答】解：（1）由题意可得， e= = ，且 c+ =3，解得 c=1， a= ，则 b=1，即有椭圆方程为+y2 ；=1（ 2）当 AB⊥x 轴， AB=，CP=3，不合题意；当 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=k（x﹣1）， A（ x1，y1），B（x2，y2），将 AB 方程代入椭圆方程可得（ 1+2k2）x2﹣ 4k2 x+2（ k2﹣1）=0，则 x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =则C（，），且|AB|=?=，若 k=0，则 AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k≠0，故 PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而| PC| =，由 | PC| =2| AB| ，可得=，解得k=±1，此时 AB 的方程为 y=x﹣ 1 或 y=﹣x+1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）已知函数 f （x）=x3+ax2 +b（ a， b∈ R）．（1）试讨论 f（ x）的单调性；（2）若 b=c﹣a（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f（ x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（，+∞），求c的值．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（ x）的单调性；（ 2）由（ 1）知，函数 f（x）的两个极值为 f（0）=b，f（﹣） = +b，则函数 f（x）有三个不同的零点等价于 f（0）f（﹣）=b（+b）＜ 0，进一步转化为 a＞0 时，﹣a+c＞0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（a）=﹣ a+c，利用条件即可求c 的值．【解答】解：（1）∵ f（ x） =x3+ax2+b，∴ f （′ x）=3x2+2ax，令 f ′（x） =0，可得 x=0 或﹣．a=0 时， f ′（x）＞ 0，∴ f（x）在（﹣∞， +∞）上单调递增；a＞0 时， x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f ′（x）＜ 0，∴函数f（ x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0 时， x∈（﹣∞， 0）∪（﹣，+∞）时，f（′x）＞0，x∈（0，﹣）时，f ′（x）＜ 0，∴函数f（ x）在（﹣∞， 0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数 f（x）有三个不同的零点等价于f（ 0）＞ 0，且 f （﹣）＜0，∴ b＞ 0 且+b＜0，∵b=c﹣a，∴ a＞ 0 时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设 g（a） =﹣a+c，∵函数 f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），∴在（﹣∞，﹣ 3）上， g（a）＜ 0 且在（ 1，）∪（，+∞）上 g（a）＞ 0 均恒成立，∴g（﹣ 3） =c﹣1≤0，且 g（）=c﹣ 1≥ 0，∴c=1，此时 f （x） =x3+ax2 +1﹣a=（x+1）[ x2+（a﹣ 1） x+1﹣a] ，∵函数有三个零点，∴ x2+（ a﹣ 1）x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴△ =（a﹣ 1）2﹣ 4（ 1﹣ a）＞ 0，且（﹣ 1）2﹣（ a﹣ 1） +1﹣a≠0，解得 a∈（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），综上 c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（ 16 分）设 a1，a2，a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（ 1）证明： 2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在 a1， d，使得 a1，a22， a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在 a1，d 使得 a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推第20页（共 28页）（ 3）利用反证法，假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1n ，a 2n +k ，a 3n +2k ，a 4n +3k 依次构成等比数列，得到 a 1n （ a 1+2d ）n +2k =（ a 1+d ）2（n +k ），且（ a 1+d ）n +k （a 1+3d ）n +3k =（ a 1+2d ）2（ n +2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到 ln （ 1+3t ）ln （1+2t ）+3ln （1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ）ln （ 1+t ），（** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．【解答】解：（1）证明：∵==2d ，（ n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2 ，2 ，2 依次构成等比数列；（ 2）令 a 1+d=a ，则 a 1，a 2，a 3，a 4 分别为 a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d （ a ＞ d ，a ＞﹣ 2d ，d ≠0）假设存在 a 1，d 使得 a 1， a 22，a 3 3，a 44 依次构成等比数列，则 a 4=（a ﹣d ）（ a+d ）3，且（ a+d ）6=a 2（a+2d ）4，令 t= ，则 1=（ 1﹣ t ）（1+t ）3，且（ 1+t ） 6=（1+2t ） 4，（﹣ ＜ t ＜ 1， t ≠0），化简得 t 3+2t 2 ﹣2=0（* ），且 t 2=t+1，将 t 2=t+1 代入（ * ）式， t （t+1）+2（ t+1）﹣ 2=t 2+3t=t +1+3t=4t+1=0，则 t=﹣ ，显然 t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在 a 1， d ，使得 a 1，a 22， a 33， a 44 依次构成等比数列．（ 3）假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1n ，a 2n +k ，a 3n +2k ，a 4n +3k 依次构成等比数列，则 a 1n （ a 1+2d ）n +2k =（ a 1 +d ）2（ n +k ），且（ a 1+d ） n +k （a 1+3d ） n +3k =（a 1+2d ） 2（ n +2k ），（ + ）（+ ），（t ＞， t ≠ 0），分别在两个等式的两边同除以 a 12 n k ， a 12n 2k，并令 t= +）2 （ + ）+ +（ + ） 则（ 1+2t ） n 2k（ 1+t n k，且（ 1+t ）n k （1+3t ）n 3k （ 1+2t ）2 n 2k ，= =将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （ 1+2t ）=2（n+k ）ln （1+t ），且（ n+k ）ln （1+t ） +（ n+3k ）ln （ 1+3t ）=2（n+2k ）ln （1+2t ），化简得， 2k[ ln （ 1+2t ）﹣ ln （1+t ）] =n[ 2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ）] ，且 3k[ ln （1+3t ）﹣ ln （ 1+t ） ] =n[ 3ln （1+t ）﹣ ln （1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ）ln （ 1+2t ） +3ln （1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ）ln （ 1+t ），（** ）令 g （t ） =4ln （1+3t ）ln （1+t ）﹣ ln （1+3t ） ln （1+2t ） +3ln （1+2t ）ln （1+t ），则 g ′（t ）= [ （1+3t ）2 ln （ 1+3t ）﹣ （ 1+2t ）2 （ 1+2t ）+33 ln（ 1+t ） 2ln （1+t ） ] ，令 φ（t ）=（1+3t ） 2ln （1+3t ）﹣ 3（1+2t ）2ln （ 1+2t ） +3（1+t ）2ln （1+t ），则 φ′（t ）=6[ （1+3t ）ln （1+3t ）﹣ 2（1+2t ）ln （ 1+2t ）+3（1+t ）ln （1+t ）] ，令 φ1（ t ）=φ′（t ），则 φ1′（t ）=6[ 3ln （1+3t ）﹣ 4ln （1+2t ） +ln （ 1+t ） ] ， 令 φ ） =＞0， 2（ t ）=φ1′（t ），则 φ2′（ t由 g （0）=φ（ 0） =φ1（ ） φ2（ ） ， φ2′（ ）＞ ，0 =0 =0 t0 知 g （t ），φ（t ），φ1（ ），φ2（ ）在（﹣， ）和（ ， ∞）上均单调， tt0 0 +故 g （t ）只有唯一的零点 t=0，即方程（ ** ）只有唯一解 t=0，故假设不成立，所以不存在 a 1， d 及正整数 n ，k ，使得 a 1n，a 2n +k， a 3n +2k， a 4n +3k依次构成等比数列．【点评】本题主要考查等差数列、 等比数列的定义和性质， 函数与方程等基础知识，考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力， 属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） 【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，△ ABC 的外接圆⊙ O 的弦 AE 交 BC 于点 D ．求证：△ ABD ∽△ AEB ．【分析】直接利用已知条件， 推出两个三角形的三个角对应相等， 即可证明三角形相似．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ ABD=∠C，又∵∠ C=∠E，∴∠ ABD=∠E，又∠BAE 是公共角，可知：△ ABD∽△ AEB．【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）已知 x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．【分析】利用 A =﹣ 2，可得A=，通过令矩阵 A 的特征多项式为0 即得结论．【解答】解：由已知，可得 A =﹣2，即==，则，即，∴矩阵 A=，从而矩阵 A 的特征多项式 f（λ） =（λ+2）（λ﹣ 1），∴矩阵 A 的另一个特征值为1．【点评】本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．【分析】先根据x=ρcos，θy=ρsin，θ求出圆的直角坐标方程，求出半径．【解答】解：圆的极坐标方程为2ρsin（θ﹣2 ρ+2 ）﹣ 4=0，可得ρ﹣2ρ cos+2θρ sin﹣θ4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（ x﹣ 1）2+（y+1）2=6，圆的半径 r=．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcos，θy=ρsin，θ比较基础，[ 选修 4-5：不等式选讲】24．解不等式 x+| 2x+3| ≥2．【分析】思路 1（公式法）：利用 | f（x）| ≥g（x） ? f（ x）≥ g（ x），或 f（x）≤﹣ g（ x）；思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．【解答】解法 1：x+| 2x+3| ≥2 变形为 | 2x+3| ≥2﹣x，得 2x+3≥ 2﹣ x，或 2x+3≤﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为 { x| x≥，或x≤﹣5}．解法 2：令 | 2x+3| =0，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥ 2，即 x≥，所以 x≥；② x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3）≥ 2，即 x≤﹣ 5，所以 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为{ x| x≥，或x≤﹣5}．【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：| f（x）| ≥g（x）? f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g （x）；| f（ x）| ≤ g（x）? ﹣ g（ x）≤ f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计 20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ的长．【分析】以 A 为坐标原点，以 AB、 AD、AP 所在直线分别为 x、 y、z 轴建系 A﹣xyz．（1）所求值即为平面 PAB的一个法向量与平面 PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（ 2）利用换元法可得 cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系A ﹣xyz 如图，由题可知 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）， P（ 0，0， 2）．（1）∵ AD⊥平面 PAB，∴ =（0， 2， 0），是平面 PAB的一个法向量，∵ =（1，1，﹣ 2）， =（0，2，﹣ 2），设平面 PCD的法向量为 =（x，y，z），由，得，取 y=1，得 =（1，1，1），∴ cos＜，＞==，∴平面 PAB与平面 PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵ =（﹣ 1， 0， 2），设 =λ =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又 =（0，﹣ 1，0），则 = + =（﹣λ，﹣ 1，2λ），又=（0，﹣ 2，2），从而 cos＜，＞==，设 1+2λ=t，t∈ [ 1，3] ，则 cos2＜，＞==≤，当且仅当 t=，即λ=时，| cos＜，＞|的最大值为，因为 y=cosx在（ 0，）上是减函数，此时直线CQ与 DP 所成角取得最小值．又∵ BP==，∴ BQ= BP=．【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10 分）已知集合 X={ 1，2，3} ，Y n={ 1，2，3，，n）（n∈N*），设 S n ={（a，b）| a 整除 b 或 b 整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f（n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的值；（2）当 n≥6 时，写出 f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）f（6） =6+2+ + =13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．【解答】解：（1）f（6）=6+2+ + =13；（ 2）当 n≥6 时， f（ n） =．下面用数学归纳法证明：①n=6 时， f（6）=6+2+ + =13，结论成立；②假设 n=k（k≥ 6）时，结论成立，那么 n=k+1 时， S k+1在k的基础上新增加的S元素在（ 1， k+1），（2，k+1），（ 3， k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若 k+1=6t，则 k=6（t ﹣1）+5，此时有 f（ k+1）=f（k）+3=（ k+1）+2+ +，结论成立；2）若 k+1=6t+1，则 k=6t，此时有 f （ k+1） =f（ k） +1=k+2+ + +1=（ k+1）+2+ + ，结论成立；3）若 k+1=6t+2，则 k=6t+1，此时有 f（ k+1）=f（k）+2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立；4）若 k+1=6t+3，则 k=6t+2，此时有 f （k+1）=f（ k） +2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立；5）若 k+1=6t+4，则 k=6t+3，此时有 f （k+1）=f（ k） +2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立；6）若 k+1=6t+5，则 k=6t+4，此时有 f （k+1）=f（ k） +2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立．综上所述，结论f（ n） =n+[ ]+[ ]+ 2，对满足 n≥6 的自然数 n 均成立．【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
江苏省高三数学一校四题卷 启东市大江中学
启东市大江中学（一校四题）1.函数)11lg()(22+--++=x x x x x f 的值域为解析：函数的定义域为()+∞,0，1122+--++x x x x =22)230()21(-++x —22)230()21(-+-x 表示)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21的距离减去)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21的距离，从而得到1122+--++x x x x )1,0(∈，所以范围为()0,∞-2.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,其中，，35==C B 且满足.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A求（1）)cos(C B -的值；（2）的外心为ABC O ∆，若n m +=，求n m +的值。
解：（1）由.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 得 21cos -=A )20(π，∈A Θ 32π=∴A .在ABC ∆中，由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+= ∴7=a在ABC ∆中，由正弦定理得：Cc B b A a sin sin sin ==，1433sin ,1435sin ==C B 1413cos ,1411cos ==∴C B 4947sin sin cos cos )cos(=+=-C B C B C B 。
- （2）建立直角坐标系得)631125(),23323-(),05(0,0(，，，），O C B A由n m +=得.911,32-=-=n m 917-=+∴n m 3.设椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>2倍，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3（I ）求椭圆E 的方程；（II ）点P 是椭圆E 上横坐标大于2的动点，点,B C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，试判断点P 在何位置时PBC ∆的面积S 最小，并证明你的判断.XB C A Y ． Oa b ==，故所求椭圆方程为221126x y +=. （II ）设000(,)(2P x y x <≤，(0,),(0,)B m C n .不妨设m n >，则直线PB 的方程为0:PB y m l y m x x --= 即000()0y m xx y x m --+=，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，01,2x =>，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，同理，2000(2)20x n y n x -+-=，∴,m n 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个根， ∴00002,22y x m n mn x x --+==--，则22200020448()(2)x y x m n x +--=-， ∵00(,)P x y 是椭圆上的点，∴22006(1)12x y =-，∴2200202824()(2)x x m n x -+-=-. 则214S =⋅222222000000002220002824412(2)8(2)2(2)2(2)x x x x x x x xx x x -+-+-+⋅=⋅=⋅---， 令02(01))x t t -=<≤，则02x t =+，令222(8)(2)()2t t f t t++=， 化简，得2211616()262f t t t t t=++++，则32331632(2)(16)()2t t f t t tt t +-'=+--=，令()0f t '=，得t =，而1)<，∴函数()f t 在[0,1)]上单调递减，当1)t =时，()f t 取到最小值， 此时0x =P 的横坐标为0x =时，PBC ∆的面积S 最小.4.假设有穷数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{}n a 的排序数列，例如：数列132a a a <<，满足则排序数列为2,3,1(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列。
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文注 意 事 项1．本试卷包含填空题〔第1题～第14题，共14题〕、解答题〔第15题～第20题，共6题〕，总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．集合A ＝{x|log2x≤2}，B ＝(－∞，a)，假设A ⊆B ，如此实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ．2．由命题“∃x ∈R ，x2＋2x ＋m ≤0〞是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，如此实数a ＝ ▲ ．3．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.4．圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，如此实数a =▲． 5．△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，如此△ABC 面积的最大值为 ▲ .6．设常数a 使方程a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，如此=++321x x x ▲ ．7． 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x xy ，假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，如此实数k 的取值范围是 ▲ .8．平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，如此ABC ∆的形状是 ▲ ．9．设y x ,均为正实数，且33122x y +=++，如此xy 的最小值为 ▲ ．10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，如此有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所 成的角为α，β，γ，如此cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．11．点(,4)P m 是椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 上的一点， 12,F F 是椭圆的两个焦点，假设12∆PF F 的内切圆的半径为32，如此此椭圆的离心率为 ▲ ．12．假设函数)1ln(2ln )(+-=x kxx f 不存在零点，如此实数k 的取值范围是 ▲ ．13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，如此实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，假设0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，如此实数a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分为为14分〕定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．〔1〕求a ，b 的值；〔2〕假设对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．16．〔本小题总分为为14分〕函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f ππ，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．〔1〕求点B A ,的坐标以与OB OA ⋅的值；〔2〕设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求的值．1F 2F yxP17．〔本小题总分为为14分〕如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点． (1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)在图2中，假设EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．18．〔本小题总分为为16分〕为了保护环境，开展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进展技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理本钱y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021)144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，假设该项目不获利，国家将给予补偿．〔1〕当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，如此国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？〔2〕该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低？19．〔本小题总分为为16分〕设A ，B 分别为椭圆22221+=x y ab (0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，假设直线AP 与椭圆相交于异于A 的点，证明：△MBP 为钝角三角形．20．〔本小题总分为为16分〕函数x a x x f ln 21)(2+=．〔1〕假设1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； 〔2〕假设1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；〔3〕假设1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方．2015届高三寒假作业测试答案 数学〔Ⅰ〕试题1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，如此a>4，即c ＝4；2. 答案：1；由题意得命题“∀x ∈R ，x2＋2x ＋m>0〞是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.3. 答案：33；由条件得斜高为32)33(12=+ (m)．从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23＝3 3 (m2)．4. 答案：-4；圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r2＝2－a ，如此圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.7. 答案：(0,1)，解析 画出分段函数f(x)的图象如下列图，结合图象 可以看出，假设f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象 与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1). 8. 答案：等腰三角形；AC AB DC AD DB AD CD BD AD +=+++=--)()(2，BC AC AB =-，由()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，即)(AC AB BC +⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的是等腰三角形．9.答案：16；法一；由33122x y +=++化为xy y x xy 28≥+=-，因y x ,均为正实数，故4≥xy ；法二：由于33122x y+=++和xy 都是对称式，故令x=y=4．10.答案：2；设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如下列图，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC ，记为α，所以cos2α＝AC2AC21＝a2＋b2a2＋b2＋c2，同理cos2 β＝a2＋c2a2＋b2＋c2，cos2γ＝b2＋c2a2＋b2＋c2，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝211. 答案：35；一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为122⋅p y c，11(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35==c e a . 12. 答案：)4,0(；由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++x x ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集，即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(13. 答案：)0,1()2,3(-⋃--；函数x e x x f 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y xx x ，令0='y ，如此0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，14. 答案：1；对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，如此x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，如此x t x f 2log )(+=，又由6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故2ln 1)(,log 4)(2x x f x x f ='+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2ln 1log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零点，分析易得04ln 112ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a ，故答案为：1 二、解答题：15. 解 (1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0，-------------------------2分 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. ---------------------------------------------------------4分 从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2----6分经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1.-------------------------------------------------------7分 (2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分 因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.------------------------------------------------------------12分 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13---------------------------------------------------14分16. 解：〔1〕∵,21)36cos(16736350≤+≤-∴≤+≤∴≤≤ππππππx x x --------3分当,336πππ=+x 即0=x 时，)(x f 取得最大值1，当即4=x 时，)(x f 取得最小值.2-因此，所求的坐标为).2,4(),1,0(-B A --------------------------------------------------5分如此;2).2,4(),1,0(-=⋅∴-==OB OA OB OA ----------------------------------------7分〔2〕∵点).2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，如此,552cos ,55sin ,2=-==ββπα-------------------------------------------------10分如此,54552)55(2cos sin 22sin -=⨯-⨯==βββ.531)552(21cos 22cos 22=-⨯=-=ββ---------------------------------------------12分.1027)5453(22)24sin()22sin(=+=-=-∴βπβα--------------------------------------14分18. 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，如此S ＝200x －⎪⎭⎫ ⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x2＋400x －80 000＝－12(x －400)2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分 当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理本钱为⎪⎩⎪⎨⎧∈-+∈+-=]500,144[2008000021)144,120[504080312x x x x x x x y -------------------------------------------9分①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.-------------------------------------------------12分 ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，------15分 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低.----------16分20. 解：〔1〕)(x f 的定义域是),0(+∞x x x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-='当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；-------------------------------2分 当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>'在),1(+∞上递增，)(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值．------------------------------------------4分〔2〕01)(ln 21)(2>+='⇒+=x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，)(x f ∴在],1[e 上递增，------------------------------------------------------------------6分.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f --------------------------------10分word- 11 - / 11 〔3〕证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='x x x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减，-----------------------------------------------------------12分 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h -----------------------------------------------------------15分 ∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方--------------16分。
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启东市大江中学（一校四题）
1.函数
)11lg()(22+--++=x x x x x f 的值域为
解析：函数的定义域为
()+∞,0，
1122+--++x x x x =2
2)2
3
0()21(-++x —
2
2)
2
30()21(-+-x 表示)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
23,21的距离减去)0,(x 到⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,21的距离，从而得到
1122+--++x x x x )1,0(∈，所以范围为()0,∞-
2.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,其中，，35==C B 且满足.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 求（1）)cos(C B -的值；
（2）的
外心为ABC O ∆，若n m +=，求n m +的值。
解：（1）由.12cos sin 2sin 22sin 2
=+-A A A A 得
21c o s
-=A )20(π，∈A 3
2π=∴A .在ABC ∆中，由余弦定理得：A bc c b a cos 22
22-+= ∴7=a
在ABC ∆中，由正弦定理得：C c B b A a sin sin sin ==，14
3
3sin ,1435sin ==C B 14
13
cos ,1411cos ==∴C B 4947
sin sin cos cos )cos(=+=-C B C B C B 。
-
（2）建立直角坐标系得
0,0(），B A
由n m +=得.9
11
,32-=-=n m 9
17
-
=+∴n m 3.设椭圆:E 22
221(0)x y a b a b
+=>>x 轴的
直线被椭圆截得的弦长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）点P 是椭圆E 上横坐标大于2的
动点，点,B C 在y 轴上，圆22
(1)1x y -+=内切于PBC ∆，试判断点P 在何位置时PBC ∆的
面积S 最小，并证明你的判断.
a
b ==
故所求椭圆方程为
22
1126
x y +=. （II ）设000(,)(2P x y x <≤，(0,),(0,)B m C n .
不妨设m n >，则直线PB 的方程为00
:PB y m
l y m x x --=
即000(
)0y m x x y x m --+=，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，
01,2x =>，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，
同理，2000(2)20x n y n x -+-=，∴,m n 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个根，
∴00002,22y x m n mn x x --+==--，则22
2
0002
0448()(2)
x y x m n x +--=-， ∵00(,)P x y 是椭圆上的点，∴22
00
6(1)12x y =-，∴2
2
002
02824()(2)
x x m n x -+-=-. 则2
14S =⋅22
2222
00000000222
0002824412(2)8(2)2(2)2(2)
x x
x x x x x x x x x -+-+-+⋅=⋅=⋅---， 令02(01))x t t -=<≤，则02x t =+，令22
2
(8)(2)()2t t f t t
++=， 化简，得2211616()262f t t t t t =++++，则3233
1632(2)(16)
()2t t
f t t t t t +-'=
+--=，
令()0f t '=，得t =
，而
1)<
∴函数()f t
在1)]上单调递减，当
1)t =时，()f t 取到最小值， 此时0x =，即点P 的横坐标为0x =时，PBC ∆的面积S 最小.
4.假设有穷数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{}n a 的排序数列，例如：数列132a a a <<，满足则排序数列为2,3,1(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列。
解：（Ⅰ）排序数列为4,1,3,2.- （Ⅱ）证明：充分性：
当数列{}n a 单调增时，∵
12a a <<…n a <,
∴排序数列为1,2,3，…，n. ∴排序数列为等差数列.
当数列{}n a 单调减时，∵1n n a a -<<…1a <,
∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 . ∴排序数列为等差数列.
综上，数列{}n a 为单调数列时，排序数列为等差数列. 必要性： ∵排序数列为等差数列 ∴排序数列为1,2,3，...，n 或n,n-1,n-2，...，1. ∴12a a <<...n a <或1n n a a -<< (1)
a <
∴数列{}n a 为单调数列.。