必修三概率统计专题复习(完整版).doc
(完整版)必修三概率统计专题复习(完整版)
随机抽样一、随机抽样的分类1． 简单随机抽样⎩⎨⎧随机数法抽签法2．系统抽样 3. 分层抽样二、适用条件：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用 抽签法 ；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用 随机数法 ；当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用 系统抽样 ；当总体中个体差异较显著时，可采用 分层抽样 ． 三、典型练习1．某会议室有50排座位，每排有30个座位．一次报告会坐满了听众．会后留下座号为15的所有听众50人进行座谈．这是运用了( c )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样D ．有放回抽样2．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体( b )A ．3B ．4C ．5D ．63．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 ( b )A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人用样本估计总体1、频率分布直方图在频率分布直方图中，纵轴表示 频率/组距 ，数据落在各小组内的频率用 面积 来表示，各小长方形的面积的总和等于 1 . 2、茎叶图补充：某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数和平均数； 众数：8．6， 中位数：8.78.88.752+=， 平均数：（7．0+7．3+8．6+8．6+8．6+8．6+8．7+8．7+8．8+8．8+8．9+8．9+9．5+9．5+9．6+9．7）/16=3．众数. 4．中位数 5．平均数※6．已知一组数据的频率分布直方图如下．求众数、中位数、平均数．众数:面积最大的那个矩形的中点横坐标 65中位数：前部分面积加起来占50%的那条线的横坐标 60+10⨯4020=65 平均数：每个矩形面积╳其中点横坐标再全部加起来（不用再除！！！）6705.0951.08515.0754.0653.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7、标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.8经典练习1．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( D ) A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝__15___.3．在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5,12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5，那么这个小组的平均分约为 ( B )A ．97.2分B ．87.29分C ．92.32分D ．82.86分变量间的相关关系1． 函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种 不确定 性关系．（正相关、负相关）2．从散点图上看,如果点从整体上看大致分布在一条直线附近,称两个变量之间具有 线性相关关系 ,这条直线叫 回归直线 . 3．xb y a xn xy x n yx ni ini ii a x b ∧∧==∧∧∧∧-=--=+=∑∑1221b y 其中程参考公式：线性回归方统计概率期末复习※()y x ,一定在回归方程上！！！ 经典练习1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( B ) A.63.6万 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元解析：5.651.94.96,6,1.9,4.95.342,42,5.3=+⨯===+⨯===--y x a a y x 当所以代入，概率一．随机事件及其概率1.事件：必然事件、不可能事件、和随机事件 3.概率基本性质：（1）对任意的一个随机事件概率是__（0,1）__.（2）必然事件概率是__1____,不可能事件的概率是___0___. （3）互斥事件是___不能同时发生__. 若A 和B 互斥_P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )____（加法公式）对立事件是_不能同时发生，但必有一个发生_. 若A 和B 事件对立，则__P (A )=1-P (B ) ____. 二．古典概型： 1.特点：①基本事件有__有限___个， ② 每个基本事件发生的可能性__相等__.2.概率公式：※掷两个骰子，抛两枚硬币是有序的有序：有先后次序，依次抽，无放回抽，有放回抽 无序：任取，一次性抽取，随机抽公式（大题只用于验算写出的基本事件个数对不对，小题可直接用）：n 个任取2个：()21-n n A A mP n =所包含的基本事件的个数（）＝基本事件的总数n 个任取3个：()()621--n n n三.几何概型：1.定义：_每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例 _简称为几何概型。
必修3第三章《概率》复习课
数学
年级
高二
备课组组长
主备人
授课时间
2020年 月 日
单元
（第几单元）第三章总复习
课题
必修3第三章《概率》复习课
教材分析
随机事件的概率，随机现象的产生，频率与概率的关系与区别
课程标准
要求
通过本节课学习使学生掌握必然事件，不可能事件，确定事件，随机事件，频数与频率，概率的六种基本性质，古典概型，几何概型，互斥事件，对立事件等内容。
课前3分钟教育
课前三分钟防疫情及爱国主义教育
课型
复习课
教学目标
1、随机事件的概率；随机现象的发生；频率与概率的区别。
2、利用古典概型与几何概型可以求一些随机事件的概率；随机模拟。
教学重点
应用概率解决实际问题
教学难点
应用概率解决实际问题
教学方法
讲授法，归纳、总结、讨论、交流
学习方法
自主学习，合作学习
教学用具
教材书，课件，班班通，粉笔
课时数
2课时
设计
意图
师生
活动
师生 们共 同讨 论实 例， 提出 自己
的观 点， 老师， 学生进行 讨论。
首先
学生
们对
每一
个实
例提
出自
己的
观点，
然后
在老
师的
引导
下解
决问
题。
首先
学生
们对
每一
个实
例提
出自
己的
观点，
题。
首先第三章的有关内容与定义提问的形式来让学生想起。
（1）频率本身是随机的，在试验前___________确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
高中数学选择性必修三 概率统计
概率统计通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为：X0 1 2 3 4 5P136 112 19 13 19 13于是，我们可以根据分布列画出函数的图象.考点1：二点分布1.如果随机变量X 的分布列为X 1 0P p 1p -其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲 解两点分布，让学生从直观上理解二点分布．屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的．于是，他会随机的挑选一个撞过去，那么成功率就是13.随机变量X 为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为1，失败定义为0，则X 的分布列满足二点分布．X 1 0P1323知识点睛543210PX2.二点分布的期望与方差：若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则()()101E X p p p =⨯+⨯-=；()()()()()221011D X p p p p p p =-⋅+-⋅-=-【教师备案】二点分布严格定义是01-分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0，这样就可以写出一个二点分布的分布列．我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考．这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了．这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币……从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是()1p p -，由均值不等式很容易得出当12p =的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的．【例1】 二点分布从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用X 表示“取到的白球个数”，求随机变量X 的分布列及期望与方差．【解析】 由题意知()420645P X ===+，()631645P X ===+，故随机变量X 的分布列为()205P X ==，()315P X ==，概率分布表如下：X 0 1 P2535()35E X =，()2365525D X =⨯=．考点2：超几何分布1.超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn N P X m --==(01m l =，，，，l 为n 和M 中较小的一个 )．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．2.超几何分布的期望与方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nME X N=；()11nM M N n D X N N N -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭． 【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有100扇窗户，其中有10扇窗户是打开的，现在鸟不傻知识点睛经典精讲了，不过眼神依然不好.他现在决定尝试20次（否则可能撞的次数太多给撞死了），并且撞过的窗户不再去撞了，记录结果，统计一下有多少次能出去.这就是超几何分布，从模型角度讲，超几何分布就是“无放回”的抽取.超几何分布的典型例子就是生物学上的标记重捕法．先标记种群内的一部分个体，放回后再次捕捉，统计含有标记的数量，来估计总数，这实际是利用了超几何分布的期望的直观意义．【教师备案】老师在讲完超几何分布后，就可以让学生做例2，例2主要是让学生写超几何分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式就可以很快写出分布列；然后老师就可以继续讲超几何分布的期望与方差，对于超几何的期望和方差，老师可以只介绍期望公式，方差的公式太麻烦了，所以不建议给学生讲解，而且期望的公式推导过程也不要求，只需让学生记住就行了．讲完期望公式后，就可以让学生做例3，例3主要是套公式，学生会发现，对于超几何分布求期望用公式也非常快．【例2】 求超几何分布的分布列一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球， ⑴ 求其中红球个数的分布列 ⑵ 求其中白球个数的分布列．【追问】从红球的分布列和白球的分布列你能看出X 和Y 的取值之间有什么关系？【解析】 ⑴ 记X 表示“取出4个球中红球的个数”，则X 服从参数为1044，，的超几何分布．∴0446410C C 1(0)C 14P X ⋅===，1346410C C 8(1)C 21P X ⋅===，2246410C C 3(2)C 7P X ⋅===， 3146410C C 4(3)C 35P X ⋅===，4046410C C 1(4)C 210P X ⋅===． ∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 P114821 37 435 1210⑵ 记Y 表示“取出4个球中白球的个数”，则Y 服从参数为1064，，的超几何分布．∴4046410C C 1(0)C 210P Y ⋅===，3146410C C 4(1)C 35P Y ⋅===， 2246410C C 3(2)C 7P Y ⋅===，1346410C C 8(3)C 21P Y ⋅===，0446410C C 1(4)C 14P Y ⋅===， ∴Y 的分布列为： Y0 1 2 3 4 P1210435 37 821 114【追问】4X Y +=，故(0)(4)(1)(3)P X P Y P X P Y ======，，．提高班学案1【铺1】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试经典精讲都从备选题中随机抽出5题进行测试，求他答对题数的期望．【解析】 设答对的试题数为ξ，则ξ服从参数为1065，，的超几何分布，因此由公式知他答对题数的期望为()56310E ξ⨯==．【例3】 求超几何分布的期望一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个、黑球3个，现在从中随机摸出3个球． ⑴求摸到红球个数ξ的概率分布列和数学期望； ⑵求摸到黑球个数η的概率分布列和数学期望．【解析】 ⑴ 摸到红球的个数ξ为离散型随机变量，且ξ服从8N =，5M =，3n =的超几何分布，ξ可能取值为0123，，，．于是有()35338C C C m mP m ξ-==． ()035338C C 10C 56P ξ===，()125338C C 151C 56P ξ===， ()215338C C 152C 28P ξ===，()305338C C 53C 28P ξ===． 所以摸到红球个数的分布列为ξ 0 1 23 P156 **** **** 528 ∴()88E ξ==．⑵ 摸到黑球的个数η为离散型随机变量，且η服从8N =，3M =，3n =的超几何分布，η可能取值为0123，，，．于是有()33538C C C m m P m η-==． ()033538C C 50C 28P η===，()123538C C 151C 28P η===， ()213538C C 152C 56P η===，()303538C C 13C 56P η===． η 0 1 23 P528 1528 1556 156 ∴()88E η==．【点评】 解题的关键是能够判断所给问题属于超几何分布模型．尖子班学案1【拓2】 盒中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球个数的期望和方差． 【解析】 设取出白球个数为ξ，则ξ服从参数为532，，的超几何分布，ξ的可能取值为012，，．因此，()32 1.25E ξ⨯==，()()()()2221330 1.21 1.22 1.20.3610510D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．目标班学案1【拓3】 某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值． 【解析】 方法一：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．021120232323222555C C C C C C 361(0)(1)(2)C 10C 10C 10P X P X P X =========，，． 012X =，，时他所获得的钱数分别为100150200，，．因此他获得钱数的期望值为：100(0)150(1)200(2)140P X P X P X ⨯=+⨯=+⨯==元．方法二：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．由公式知()22455E X ⨯==．因此他获得钱数的期望值为：4410050214055⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭元．考点3：二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率p 相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列X 01… k… nP00C nn p q111C n n p q- …C k k n kn p q- …C n n n p q称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．3．二项分布的期望与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D X npq =(1)q p =-．【教师备案】学生没学过二项式定理，所以期望和方差的推导了解即可． 【教师备案】设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，由X 的分布列()C k k n kn P X k p q-==，0k =，1，2，…，n 和数学期望的定义式得到 00111222()0C 1C 2C C C n n n k k n kn n n n n n n E X p q p q p qk p qn p q ---=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯00111211(1)(1)1101111(C C C C )n n k k n k n n n n n n np p q p q p q pq -------------=⋅+++⋅++ 1()n np p q np -=+=，所以()E X np =． ∴()()220202C(1)C C (1)C nnnnii n ii in ii in ii i n i nnnn i i i i E Xi p qi i p qi p qi i p q E X ----======-+=-+∑∑∑∑()222(2)(2)22(1)Cni i n i n i n n pp qE X ------==-+∑()22(2)2(1)Cn j j n j n j n n pp q E X ----==-+∑()()2222(1)()(1)(1)n n n p p q E X n n p E X n n p np -=-++=-+=-+，知识点睛∴()()()22222()(1)()D X E X E X n n p np np np np npq =-=-+-=-=． 故()D X npq =．【举例】老师可以以二点分布知识点睛中的【举例】继续引申，从而让学生更直观的理解二项分布.现在假设这只鸟比较傻，每次都记不住上次的结果，那么这只鸟就可能需要不停的重复进行撞玻璃的操作，每次的成功率都是13.这种独立重复试验就可以用二项分布的模型来研究．从直观意义上来讲，二项分布可以看做是多个二点分布重复出现的结果.从模型角度讲，二项分布实际是“有放回”抽取的模型.对于二项分布的期望和方差，我们一样可以有直观意义.二项分布的期望指的是平均成功次数，而方差是随着次数的增多而增加，相比于二点分布，在同样的试验次数下，二项分布也是在12p =时方差最大，也就是结果最不稳定．【教师备案】老师在讲完二项分布后，就可以让学生做例4，例4主要是让学生写二项分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是二项分布，然后根据二项分布的概率公式就可以很快写出二项分布列；然后老师就可以继续讲二项分布的期望与方差，讲完期望与方差公式后，就可以让学生做例5，例5主要是套公式，学生会发现，对于二项分布求期望和方差用公式非常快，这时就不需要用上一讲讲的期望和方差最原始的公式了．提高班学案2【铺1】 某一学校心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问 该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列． 【解析】 3个人各做一次试验，看成三次独立重复实验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．由题意可知：3~34B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以3331()C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3．ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P16496427642764【例4】 求二项分布的分布列一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列．【解析】 将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是13，且每次试验结果相互独立，故1~63B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以ξ的分布为6612()C (0126)33k kk P k k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，． ξ0 1 2 3 4 5 6 P64729 64243 80243 160729 20243 4243 1729提高班学案3经典精讲【铺1】 设()~B n p ξ，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，试求n p ，的值． 【解析】 因为()~B n p ξ，，所以()E np ξ=，()()1D npq np p ξ==-由题意可得方程组 ()2.41 1.44np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得0.46.p n =⎧⎨=⎩，【例5】求二项分布的期望某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． ⑴ 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵ 任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．【解析】 ⑴ 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是： 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B =⋅=⋅=⨯=．所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=．⑵ 因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，．33()C 0.90.1k k k P k ξ-==⨯⨯，0123k =，，，．3(0)0.10.001P ξ===；2(1)30.90.10.027P ξ==⨯⨯=； 2(2)30.90.10.243P ξ==⨯⨯=；3(3)0.90.729P ξ===；ξ 012 3 P0.001 0.0270.243 0.729∴ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=．尖子班学案2【拓2】 某厂一批产品的合格率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算：⑴ 抽出的10件产品中平均有多少件正品；⑵ 计算抽出的10件产品中正品数的方差和标准差．【解析】 用X 表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以X 服从二项分布()100.98B ，． ⑴ 利用二项分布的期望公式得到()100.989.8E X =⨯=．平均有9.8件正品； ⑵ X 的方差()100.980.020.196D X =⨯⨯=，标准差()0.196D X σ．目标班学案2【拓3】 一份数学模拟试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题选得正确答案得4分，不做选择或选错不得分，满分100分．张强选对任一题的概率为0.8，求他在这次数学测验中的成绩的期望． 【解析】 张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布()~250.8X B ，，其数学期望有简便算法．设张强做对选择题的个数为X ，则()~250.8X B ，， 所以()250.820E X np ==⨯=．因为答对每题得4分，所以张强在这次数学测验中的成绩为4X ，其成绩的期望值为()()4442080E X E X ==⨯=．【点评】 本题中，利用二项分布的均值公式()E X np =快速地求出所求的期望值，当n 的值越大时，这一公式更加显得威力无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运用时，需要注意的是，只有随机变量X 服从二项分布时，才能运用该公式来求均值．考点4：综合运用【教师备案】老师在讲完上一讲的离散型随机变量和本讲前边的典型分布以后，学生对离散型随机变量都有了很明确的认识，所以这时候就可以让学生做一下下边的综合题，让学生再巩固一下离散型随机变量的分布列、期望和方差．【例6】 综合运用甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23． ⑴ 记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望()E ξ与方差()D ξ； ⑵ 求乙至多击中目标2次的概率；⑶ 求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【解析】 ⑴ ()303110C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()313131C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()323132C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()333113C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．ξ的概率分布如下表：ξ 0 1 23 P18 38 38 18 ()13310123 1.58888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()13 1.52E ξ=⨯=）()1133224D ξ=⨯⨯=；⑵ 乙至多击中目标2次的概率为3332191C 327⎛⎫-= ⎪⎝⎭．⑶ 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件1B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件2B ，则12A B B =+，1B 、2B 为互斥事件．()()()12311218278924P A P B P B =+=⋅+⋅=．所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124．尖子班学案3【拓2】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……，6），求： ⑴ 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； ⑵ 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望． 【解析】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．⑴ 设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由古典概经典精讲型的概率计算公式得()2326C 14()111C 55P A P A =-=-=-=．⑵ ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且()26510C 3P ξ===，()26441C 15P ξ===，()26312C 5P ξ===，()26223C 15P ξ===，()26114C 15P ξ===从而知ξ有分布列 ξ 0 12 3 4 P13 415 15215 115所以，()14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．目标班学案3【拓3】 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设甲、乙命中10环的次数分别为X 、Y ，则4()3E Y =．ξ为甲与乙命中10环的差的绝对值．求ξ的期望．【解析】 由已知可得~(20.5)~(2)X B Y B s ，，，，故4()23E Y s ==，所以23s =．||X Y ξ=-，ξ的取值可以是012，，．(0)()(0)(1)(2)P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ======+==+==甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是22111(0)2336P X Y ⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是112211122(1)C C 22339P X Y ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是222222121(2)C C 239P X Y ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以12113(0)369936P ξ==++=； (2)(||2)(02)(20)(0)(2)(2)(0)P P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ξ==-====+=====+==，，甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是：222022111(2)(0)C C 2336P X P Y ⎛⎫⎛⎫===⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是：220222121(0)(2)C C 239P X P Y ⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以115(2)36936P ξ==+=，因此1(1)1(0)(2)2P P P ξξξ==-=-==ξ的期望是157()22369E ξ=+⋅=．【例7】 综合运用袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等． ⑴ 求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；⑵ 用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和期望．【追问】用Y 表示取出的3个小球上所标的最小数字，Y 的分布列与期望是否可以直接看出来？【解析】 ⑴ “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则31114333312C C C C 27()C 55P A ⋅⋅⋅==． ⑵ 由题意X 所有可能的取值为1，2，3，4．31211(1)C 220P X ===；1221333333312C C C C C 19(2)C 220P X ⋅+⋅+===； 2112363633312C C C C C 6416(3)C 22055P X ⋅+⋅+====； 2112393933312C C C C C 13634(4)C 22055P X ⋅+⋅+====． 所以随机变量X 的分布列为X1 2 3 4P1220 19220 1655 3455随机变量X 的期望为()11916341551234220220555544E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【追问】(4)(1)(3)(2)(2)(3)(1)(4)P Y P X P Y P X P Y P X P Y P X ============，，，故Y 的概率分布与上述X 的分布正好有关系，如直接由X 的分布列得到：X 1 2 3 4P3455 1655 19220 1220且()()5E X E Y +=．从而15565()54444E Y =-=．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是12，需要比赛场数的期望是__________．【解析】 5.8125 【思路】随机变量ξ表示比赛场数，根据题意：“有一队胜4场比赛才宣告结束”，故ξ的取值应是4，5，6，7，把一次比赛看作一次试验，故n 场(4567)n =，，，比赛视为n 次独立重复试验．4ξ=表示甲胜4场或乙胜4场，且两两互斥．所以44411(4)2C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．5ξ=表示甲队第5场胜且前4场中胜3场，或乙队第5场胜且前4场中胜3场．所以44334411111(5)C C 22224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类似地，55335511115(6)C C 222216P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，66336611115(7)C C 222216P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11比赛场数ξ的分布列为：ξ4 5 6 7 P18 14 516 516所以()11557593456713 5.812584161641616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯==．这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均进行6场比赛才能决出胜负．【错因分析】本题若审题不严，对比赛规则搞不清楚，弄不清随机变量的取值，则会出错．【演练1】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量ξ的方差为（ ）A ．65B ．1825C ．625D ．18125【解析】 B ；2~35B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()231835525D ξ=⨯⨯=．【演练2】设有产品12件，其中有次品3件，正品9件，现从中随机抽取3件，求抽得次品件数ξ的分布列． 【解析】 从12件产品中随机抽取3件，抽得次品件数ξ是一个离散型的随机变量，它的取值可能是0、1、2、3．依题意，随机变量ξ（次品件数）服从超几何分布，所以，从12件产品中抽取3件，其中有k 件次品的概率为339312C C ()(0123)C k kP k k ξ-⋅===，，，． ∴0339312C C 21(0)C 55P ξ⋅===，1239312C C 27(1)C 55P ξ⋅===， ∴2139312C C 27(2)C 220P ξ⋅===，3039312C C 1(3)C 220P ξ⋅===， ∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3 P2155 2755 27220 1220【演练3】设在15个同类型的零件中有两个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的期望()E ξ和方差()D ξ．【解析】 ()313315C 220C 35P ξ===，()12213315C C 121C 35P ξ===，()21213315C C 12C 35P ξ===．故ξ的分布列是：ξ 01 2 P22351235 135实战演练12()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=，（ξ满足参数为1523，，的超几何分布，故232()155E ξ⨯==）()2222222122152012535535535175D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【演练4】有一批数量很大的商品次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求()E ξ，()D ξ．【解析】 因为商品数量相当大，抽200件商品可以看做200次独立重复试验，所以()~2001%B ξ，，因为()E np ξ=，()D npq ξ=，这里200n =，1%p =，99%q =，所以，()2001%2E ξ=⨯=，()2001%99% 1.98D ξ=⨯⨯=．【演练5】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望()E ξ． 【解析】 ⑴ 设A 表示事件“3人各投篮1次，3人都没有投进”，1B 表示“甲投进”，2B 表示事件“乙投进”，3B 表示事件“丙投进”，则()()()()12312111113525P A P B P B P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=--⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．⑵ ξ的可能取值为0123，，，，则()332705125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121323541C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()212323362C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()333283C 5125P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭． ξ分布列为ξ的数学期望为()0123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（或26()355E ξ=⨯=）大千世界：排球单循环赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍． 求证：冠军是一支南方球队．（注：每场比赛获胜队得1分，负队得0分） 【解析】 设北方球队共有x 支，则南方球队有9x +支，所有球队总得分为229(29)(28)C (29)(4)2x x x x x +++==++．由题意，南方球队总得分为9(29)(4)10x x ++，北方球队总得分为1(29)(4)10x x ++，南方球队内部比赛总得分29C x +，北方球队内部比赛总得分为2(1)C 2xx x -=， 由于北方球队总得分不少于北方球队内部比赛总得分，故 (29)(4)(1)02x x x x ++--≥．111693x +<=．13因为1(29)(4)10x x ++为整数，所以6x =或8x =． ①当6x =时，所有球队总得分为229C (29)(4)210x x x +=++=．南方球队内部比赛总得分9(29)(4)18910x x ++=，北方球队总得分为21018921-=．南方球队内部比赛总得分29C 105x +=，北方球队内部比赛总得分为26C 15=． 北方胜南方得分21156-=，北方球队最高得分5611+=，因为1115165189⨯=<，所以南方球队中至少有一支得分超过11分．故冠军在南方球队中．②当8x =时，所有球队总得分为229C (29)(4)300x x x +=++=，南方球队总得分为9(29)(4)27010x x ++=，北方球队总得分为30027030-=．南方球队内部比赛总得分29C 136x +=，北方球队内部比赛总得分28C 28=．北方胜南方得分30282-=，北方球队最高得分729+=，因为917153270⨯=<，所以南方球队中至少有一支得分超过9分，故冠军在南方球队中． 综上所述，冠军是一支南方球队．。
数学必修三统计和概率知识点总结
数学必修三统计和概率知识点总结
数学必修三统计和概率的主要知识点包括：
1. 统计：
- 样本调查与总体推断：样本的选择和调查方法，通过样本推断总体特征；
- 随机变量与概率分布：离散型和连续型随机变量的概念，概率质量函数和概率密度函数；
- 期望与方差：随机变量的期望值和方差；
- 离散型随机变量的分布：二项分布、泊松分布等离散型随机变量的性质；
- 连续型随机变量的分布：均匀分布、正态分布等连续型随机变量的性质；
- 多元随机变量与边缘分布：多个随机变量之间的关系与边缘分布；
- 相关与回归：随机变量之间的相关性和回归分析；
- 统计与误差：抽样误差和非抽样误差。
2. 概率：
- 随机事件与概率：样本空间、随机事件和概率的概念；
- 概率的运算：事件的和、积以及互斥事件的概率；
- 条件概率：在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；
- 事件的独立性：事件之间的独立性和联合概率；
- 正态分布的应用：正态分布的特性、标准正态分布的应用；
- 抽样与抽样分布：抽样的概念，样本均值的分布；
- 参数估计：点估计和区间估计；
- 假设检验：零假设和备择假设的提出，检验统计量的构造。
以上是数学必修三统计和概率的主要知识点总结，具体内容可根据教材的要求进行深入学习和了解。
高中数学必修3概率统计学习知识点归纳.docx
概率知点平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一数据的集中，最重要也是最常的方法就是用“三数”来明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念1．平均数平均数是反映一数据的平均水平的特征数，反映一数据的集中．平均数的大小与一数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的化都会引起平均数的化．２．众数在一数据中出次数最多的数据叫做一数据的众数．一数据中的众数有不唯一．众数着眼于各数出的次数的考察，就告我在求一数据的众数，既不需要排列，又不需要算，只要能找出本中出次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一数据中有数据多次重复出，它的众数也就是我所要关心的一种集中．３．中位数中位数就是将一数据按大小序排列后，在最中的一个数（或在最中的两个数的平均数）．一数据中的中位数是唯一的．二、注意区平均数、众数和中位数三者之的关系平均数、众数和中位数都是描述一数据的集中的量，但它描述的角度和适用的范又不尽相同．在具体中采用哪种量来描述一数据的集中，那得看数据的特点和要关注的．三、能正确用平均数、众数和中位数来解决由于平均数、众数和中位数都是描述一数据的集中的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决生活中的．极差、方差、准差极差、方差和准差都是用来研究一数据的离散程度的，反映一数据的波范或波大小的量 .一、极差一数据中最大与最小的差叫做数据的极差，即极差=最大 - 最小 . 极差能反映数据的化范 , 差是最的一种度量数据波情况的量，它受极端的影响大.二、方差方差是反映一数据的整体波大小的特征的量. 它是指一数据中各个数据与数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一数据偏离平均的情况 . 方差越大，数据的波越大；方差越小，数据的波越小 .求一数据的方差可以先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一数据x1、x2、x3、⋯、x n的平均数为x，则该组数据方差的计算公式为：S21[( x1 x )2( x2 x )2( x n x) 2 ] . n三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差 .即标准差 =方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小 . 两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大 . 在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象 .一、随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
必修三概率单元知识总结以及重点强化复习
（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率.
解：（I）记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A.
（Ⅱ）记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B，
（Ⅲ）记“取出的3张卡片数字之积是0”为事件C.
例2：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数 为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值 ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
高中数学必修3概率统计常考题型随机事件的概率
随机事件的概率【知识梳理】．事件的分类()前提：对于给定的随机事件，在相同的条件下重复次试验，观察事件是否出现．()频数：指的是次试验中事件出现的次数.频率：指的是事件出现的比例()＝.．概率()定义：对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率()稳定在某个常数上，把这个常数记作()，称为事件的概率．()范围：[]．()意义：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．【常考题型】题型一、事件的分类【例】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：()某人购买福利彩票一注，中奖万元；()三角形的内角和为°；()没有空气和水，人类可以生存下去；()同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；()从分别标有的四张标签中任取一张，抽到号标签；()科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解] ()购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．()所有三角形的内角和均为°，所以是必然事件．()空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．()同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．()任意抽取，可能得到号标签中的任一张，所以是随机事件．()由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．【类题通法】对事件分类的两个关键点()条件：在条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；()结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．【对点训练】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．()我国东南沿海某地明年将受到次冷空气的侵袭．()若为实数，则≥.()抛掷硬币次，至少有一次正面向上．()同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中的炮弹击中目标．()没有水分，种子发芽．解：()我国东南沿海某地明年可能受到次冷空气侵袭，也可能不是次，是随机事件．()对任意实数，≥总成立，是必然事件．()抛掷硬币次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．()同一门炮向同一目标发射，命中率可能是，也可能不是，是随机事件．()没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.题型二、试验及重复试验的结果的分析【例】指出下列试验的条件和结果：()某人射击一次，命中的环数；()从装有大小相同但颜色不同的，，，这个球的袋中，任取个球；()从装有大小相同但颜色不同的，，，这个球的袋中，一次任取个球．[解]()条件为射击一次；结果为命中的环数：，共种．()条件为从袋中任取个球；结果为：，，，，共种．()条件为从袋中任取个球；若记(，)表示一次取出的个球是和，则试验的全部结果为：(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，共种．【类题通法】分析试验结果的方法()首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的概率的前提和基础．()在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏．【对点训练】下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？()一天中，从北京站开往合肥站的列列车，全部正点到达；()某人射击两次，一次中靶，一次未中靶．解：()一列列车开出，就是一次试验，共有次试验．试验的结果有“只有列列车正点到达”“只有列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共种．()射击一次，就是一次试验，共有次试验．试验的结果有“两次中靶”“第一次中靶，第。
数学必修三统计和概率知识点总结
数学必修三统计和概率知识点总结统计和概率是数学必修三中的重要知识点，下面是统计和概率的一些基本概念和常见应用总结：1. 统计的基本概念：- 总体：研究对象的全体。
- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 参数：总体的特征值，通常用来描述总体的某种性质。
- 统计量：样本的某种函数，用来描述样本的某种性质。
2. 随机事件和概率：- 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
- 样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合。
- 概率：用来描述某个随机事件发生的可能性大小的数值。
3. 随机变量和概率分布：- 随机变量：将随机试验的结果与某个数值相对应的变量。
- 离散型随机变量：只能取有限个或者可列个数个值的随机变量。
- 连续型随机变量：可以取连续范围内的任意值的随机变量。
- 概率分布：随机变量取各个值的概率。
4. 二项分布和正态分布：- 二项分布：描述了在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。
- 正态分布：在自然界中许多现象可以用正态分布来描述，它是最常见的概率分布。
5. 随机事件的独立性与相关性：- 独立事件：一个事件的发生与另一个事件的发生没有关联。
- 相关事件：一个事件的发生与另一个事件的发生有关联。
6. 统计推断：- 估计：通过样本数据推断总体参数的值。
- 假设检验：基于样本数据对总体参数提出的某种假设进行推断。
7. 相关系数和回归分析：- 相关系数：用来描述两个变量之间的相关程度。
- 回归分析：通过已知数据建立函数关系模型，可以预测未来的可能结果。
这些是统计和概率的一些基本知识点，掌握了这些知识，可以帮助我们在实际问题中进行数据的处理和分析，并进行相应的推断和预测。
(完整word版)高中数学必修3统计与概率
统计1：简单随机抽样（1）总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
（3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
（4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
3：分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
高中数学必修3概率统计知识点归纳
高中数学必修3概率统计知识点归纳概率统计是高中数学必修3中的一门重要课程，它研究的是随机事件的发生规律和变化趋势。
概率统计知识点在高中数学习中占据着重要的位置，对于培养学生的逻辑思维、数学建模和解决实际问题的能力具有重要意义。
下面将对高中数学必修3概率统计知识点进行全面归纳。
1.基础概念概率统计的基础概念包括样本空间、随机事件、事件的概率等。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合，用S表示；随机事件是样本空间的子集，用A、B、C等表示；事件的概率是指一个随机事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
2.排列组合排列组合是概率统计中常用的工具，主要用于计算事件的可能性。
在排列中，元素的顺序是重要的，而在组合中，元素的顺序是不重要的。
排列可以表示为n!，组合可以表示为C(n,m)。
3.基本概率公式基本概率公式是指计算事件的概率的公式。
对于一个随机事件A，它的概率可以用公式P(A) = n(A) / n(S)来表示，其中n(A)表示事件A 的样本点数量，n(S)表示样本空间的样本点数量。
4.互斥事件与对立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件，它们的概率相加等于两个事件发生的总概率。
对立事件是指两个事件互为对方的补集，它们的概率之和等于1。
5.条件概率条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。
条件概率可以用公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来表示，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
6.全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是处理复杂事件概率的重要方法。
全概率公式可以用于计算一个事件在不同条件下发生的概率，贝叶斯公式可以用于根据已知条件计算相应的概率。
7.随机变量与概率分布随机变量是指与随机事件相对应的数值，概率分布是指随机变量各取值的概率情况。
常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。
高一数学必修三,概率与统计的综合问题知识点及题型
第四节概率与统计的综合问题考点一概率与统计图表的综合问题[典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．[解](1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6.(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130,140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140,150]的有2人，分别记作m，n.从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.故选出的两人在同一组的概率P＝715.[对点训练]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.考点二 概率与随机抽样的综合问题[典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号． (2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值．(3)若a ≥10，b ≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 [解] (1)依题意，最先抽取到的3个人的编号依次为785,567,199. (2)由题意可得7＋9＋a100＝0.3，解得a ＝14.因为7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，所以b ＝17. (3)由题意知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，则满足条件的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共14组．其中满足“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，共6组．故所求概率P ＝614＝37.[对点训练]某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：[20,25)内的有几部？(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．解：(1)因为在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15＝1∶2∶3，所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×36＝3(部)．(2)这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a ，在区间[10,15)内的有2部，分别记为b 1，b 2，在区间[20,25)内的有3部，分别记为c 1，c 2，c 3，从中任取2部，可能的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种；设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A ，则事件A 包含的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9种．故P (A )＝915＝35.考点三 概率与数字特征的综合问题[典例] (2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．[解] (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x ＝0.02. 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．设中位数为t 分，则有(t －70)×0.03＝0.1，得t ＝2203，即所求的中位数为2203分．(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1. 记成绩在[70,80)的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[80,90)的2名学生分别为d ，e ，成绩在[90,100]的1名学生为f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种．其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的可能结果为(a ，b ，c )，只有1种， 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P ＝1－120＝1920.[解题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．[对点训练](2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．解：(1)甲在比赛中得分的均值x ＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.(2)甲得分在20分以下的6场比赛分别为：7,8,10,15,17,19. 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(7,17)，(7,19)，(8,10)，(8,15)，(8,17)，(8,19)，(10,15)，(10,17)，(10,19)，(15,17)，(15,19)，(17,19)，共15种，其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(8,10)，(8,15)，(10,15)，共6种，所以所求概率P ＝615＝25.考点四 概率与统计案例的综合问题[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：(1)①求出表中x ，y ②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的 概率； (2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为全程观看与性别有关.附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)①由分层抽样知抽取的男生人数为500900×45＝25，抽取的女生人数为45－25＝20，因而x ＝25－20＝5，y ＝20－16＝4.②从表中数据可以得出，没有观看的同学共6人，2名男生分别记为A 1，A 2,4名女生分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，则从中随机选取2人，有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4，共15种情况，记“男生、女生各1人”为事件M ，其包含的情况有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，共8种，所求概率P (M )＝815.(2)由题意得列联表如下：K 2＝45×(180－70)228×20×17×25≈2.288＜2.706，因而没有90%的把握认为全程观看与性别有关．[对点训练]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092， 112＋132＋122＋82＝498.解：(1)设选到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，且每种情况都是等可能的，其中，选到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13.(2)由表中2月份至5月份的数据可得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4 x y∑i ＝14x 2i －4 x2＝187， 则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＜2； 当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．[课时跟踪检测]1．(2019·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据图中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X (单位：元)，求X ＞182的概率；(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：(1)甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数为110(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.(2)设a 为乙公司员工B 每天的投递件数，则 当a ＝35时，X ＝140，当a ＞35时，X ＝35×4＋(a －35)×7，令X ＝35×4＋(a －35)×7＞182，得a ＞41，则a 的取值为44,42，所以X ＞182的概率P ＝410＝25.(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝ 4 860(元)，易知乙公司员工B 每天所得劳务费X 的可能取值为136,147,154,189,203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为110×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元)．2．(2018·湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)∵K 2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.249＞6.635，∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n . 则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )．则P (A )＝815.故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.3．(2019·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：采用分层抽样，“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×300300＋200＝60(名)，“25周岁以下组”应抽取工人100×200300＋200＝40(名)．(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70＋10×0.5－0.05－0.350.35＝70207≈73(件)． 综上，25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件．(2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人共有60×0.005×10＝3(名)，设其分别为m 1，m 2，m 3；25周岁以下的工人共有40×0.005×10＝2(名)，设其分别为n 1，n 2，则从中抽取2人的所有基本事件为(m 1，m 2)，(m 1，m 3)，(m 1，n 1)，(m 1，n 2)，(m 2，m 3)，(m 2，n 1)，(m 2，n 2)，(m 3，n 1)，(m 3，n 2)，(n 1，n 2)，共10个．记“至少抽到一名‘25周岁以下组’的工人”为事件A ，事件A 包含的基本事件共7个． 故P (A )＝710.(3)由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.02＋0.005)×10]＝15(名)，25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5＋0.005)×10]＝15(名)，则2×2列联表如下：K 2＝100×(15×25－15×45)60×40×30×70≈1.786＜2.706.综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．4．某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x (吨)为该商品进货量，y (天)为销售天数)：(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)在该商品进货量x (吨)不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x (吨)恰有一个值不超过3吨的概率．参考公式和数据：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ^＝y －b ^ x .∑i ＝18x 2i ＝356，∑i ＝18x i y i ＝241.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，得x ＝18(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，y ＝18(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，b ^＝∑i ＝18 (x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x)2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝241－8×6×4356－8×62＝4968， ∴a ^＝4－4968×6＝－1134，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝4968x －1134.(3)由题意知，该商品进货量不超过6吨的有2,3,4,5,6共有5个，任取2个有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共10种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率P ＝610＝35.。
必修3第三章概率集中处理1234
必修3第三章概率复习题一、 选择题1. 1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是( )A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品 2.下列事件中,不可能发生的事件是 ( )A.三角形的内角和为180°B.三角形中大边对的角也较大C.锐角三角形中两个锐角的和小于90°D.三角形中任意两边之和大于第三边3.下面四个事件： ①明天天晴；②常温下,锡条能够熔化；③自由落下的物体作匀加速直线运动；④函数 xy a =(0a >,且1a ≠)在定义域上为增函数.其中随机事件的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 34.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．65. 某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶6.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中是互斥事件 ：⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一个白球,至少有一个红球；⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一个白球,都是红球. 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.下列说法中正确的是( )A.事件A 、B 至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件8. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列既是互斥事件又是对立事件的是 ( )A 、恰好有1件次品和恰好有2件次品B 、至少有1件次品和全是次品C 、至少有1件正品和至少有1件次品D 、至少有1件次品和全是正品 9.同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面C.至多1枚正面和至少有2枚正面D.至少有2枚正面和恰有1枚正面6.有两双不同的袜子，任取2只恰好成双的概率是( )A.16B.14C.13D.127.从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.158. 用1,2,3组成无重复数字的三位数,且这些数被2整除的概率为 ( )A. 15B. 14C. 13D. 359. 袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为A. 37B. 710C. 110D. 310( )4.人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ） A.2π B.1πC.23D.135.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=25外的概率是 ( ) A.536B.712C.512D.137.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a的概率为 ( )A.22 B.22π C.16D.16π 8.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.39.一枚伍分硬币连掷3次,只有1次正面向上的概率为 ( ) A.38 B.25 C. 13 D.1410.袋中有5个球,其中3个是红球,2个是白球.从中任取2个球,这2个球都是红球的概率为 A. 1120 B. 310 C. 710 D. 37( )1、从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列既是互斥事件又是对立事件的是 ( )A 、恰好有1件次品和恰好有2件次品B 、至少有1件次品和全是次品C 、至少有1件正品和至少有1件次品D 、至少有1件次品和全是正品 2、甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是( ) A. 30% B. 20% C. 80% D. 以上都不对3、在500mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( ) A. 0.5 B. 0.4 C. 0.004 D. 不能确定4、同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面C.至多1枚正面和至少有2枚正面D.至少有2枚正面和恰有1枚正面 5、平面上画有等距的平行线组，间距为(0)a a >，把一枚半径为(2)r r a <的硬币随机掷在平面上，硬币与平行线相交的概率 [ ] A 、2a r a - B 、2a r a - C 、a r a - D 、2ra 6、从1、2、3、4、5、6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是[ ]A.12B.13C.14D.157、在区间（0，1）中，随机的取出两数，其和小于12的概率 [ ] A 、18 B 、14 C 、34 D 、788、现有五个球分别记为A 、C 、J 、K 、S ，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是（ ）A.101B.53C.103D.109 9、盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是( ) A.4445B.15C.145D.899010、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是( ) A.21B.34C.41D. 2311、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=25外的概率是 ( ) A.536B.712C.512D.131．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( ).A ．241 B ．61 C ．83D ．1212．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31 B ．π2C ．21D ．323．从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).A ．103B ．107C ．53D ．52 4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ).A ．103 B ．51 C ．101 D ．1215．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ).A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．125196．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ).A ．21 B ．31 C ．41 D ．1617．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ). A ．51B ．52 C ．53D ．54 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31 C ．21 D ．329．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”．已知P (A )＝P (B )＝61，则“出现1点或2点”的概率为( ). A ．21 B ．31C ．61 D ．121二、填空题1.下列事件中:①若x R ∈,则20x <;②没有水分,种子不会发芽； ③刘翔在2008年奥运会,力挫群雄,荣获男子110米栏冠军； ④若两平面//αβ,m α⊂且n β⊂,则//m n .其中_________是必然事件,_________是随机事件.2.若事件A 、B 是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.3..在放有5个红球,4个黑球和3个白球的袋中.任意取出3球,取出的球全是同色球的概率为________.1.先后抛掷两枚骰子，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足log2xy ＝1的概率为________．2.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．3.一个投针实验的模板如图所示，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆上 且CA ＝CB.现向模板内任投一针， 则该针恰好落在△ABC 内(图中的阴影区域)的概率是________．4.某同学军训时打靶一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3,0.3,0.2，那么他射击一次不够8环的概率是___2、在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和大于23的概率是______________13、向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于2S的概率是_________10．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________．11．有A ，B ，C 三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A 未被照看的概率是 ．12．抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有1～6点)，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为．13．已知函数f (x )＝log 2x ， x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为．14．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．则a＋b能被3整除的概率为．三、解答题1.如图，墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m处向木板投镖，射击到边线上或没射中木板都不算，可重新投一次，问：（1）投中大圆的概率是多少？（2）投中小圆和中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？2.一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有的基本事件；(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？3.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5且小于10的概率．4.一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号码后放回．再取出1个，记下号码后放回，按顺序记录为(x，y)，求所得两球的和为6的概率．5.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球；(3)C：取出的两球中至少有一个白球．6.从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率；(2)第2摸到黄球的概率．(1)求至多2人排队等候的概率；(2)求至少2人排队等候的概率．在一个口袋内装有10个相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球,那么摸出的五个球所标数字之和小于2或大于的概率是多少？18.盒中有6只灯泡,其中有2只是次品,4只是正品.从中任取2只,试求下列事件的概率, ⑴取到的2只都是次品； ⑵取到的2只中恰有一只次品.19.5位同学参加百米赛跑,赛场共有5条跑道.其中甲同学恰有第一道,乙同学恰好排在第二道的概率是多少？20在1万张有奖储蓄的奖券中,设有一等奖1个,二等奖5个,三等奖10个.从中购买一张奖券.⑴求分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； ⑵求购买一张奖券就中奖的概率.21.一个箱子中有红、黄、白三色球各一只,从中每次任取一只,有放回地抽取3次.求： ⑴3只全是红球的概率； (2)3只颜色全相同的概率； (3)3只颜色不全相同的概率； (4)3只颜色全不相同的概率.5、设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x²＋bx ＋c ＝0有实数根的概率16、将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率．17、甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球。
高一数学必修三概率复习总结
例1：柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率
（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的； 注意： 含有“至多”“至少”等 （2）取出的鞋不成对； 类型的概率问题，从正面 解决 比 较困难或者比较繁琐时， 解（1 ）记“取出的鞋一只是左脚的， 可考虑其反面，即对立事 件， 然后 一只是右脚的”为 C 3´ 3 3 利用对立事件的性质进一步求解。 p(C)= = 15 5
6、在长为10cm的线段AB上任取一点，并以 线段AP为一边作正方形，这个正方形的面 1/5 积介于25 c m 与 49 c m 之间的概率为_____
2 2
例3.甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者 等一个小时后即离去设二人在 这段时间内的各时刻到达是等 可能的，且二人互不影响。求 二人能会面的概率。
2）古典概型计算任何事件的概率 计算公式为：
A 所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 P （ A ） ＝ 基 本 事 件 的 总 数
几何概型
1）几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2）在几何概型中,事件A的概率 的计算公式如下:
（2）记“取出的鞋不成对”为D ， 3 4 = P（D）= 1 15 5
x = x -x -2 , x ? , 5 [5 ] 例2、函数 f() ，那么任取一点 x ， 使 f ( x )£0 几何概型主要有体积型、面积型、长 0 0 的概率（ ） 度型 等，解题关键是：找到本题中要
2
用到是哪种几何度量，然后再考虑子 解：画出函数的图象，由图象得,当任取一 区域A的几何度量占的几何度量的比 x0 5,5的结果有无限个，属于几何概 点 例。除以上三种几何度量之外，还有 与角度、时间相关的问题。 型。设使 f x0 0 为事件A，则事件A构成
高中数学必修3概率统计常考题型：(整数值)随机数(random numbers)的产生.doc
(整数值)随机数(random numbers)的产生【知识梳理】1．随机数的产生(1)标号：把n个大小，形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n；(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；(3)摸取：从中摸出一个．这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．2．伪随机数的产生(1)规则：依照确定算法；(2)特点：具有周期性(周期很长)；(3)性质：它们具有类似随机数的性质．计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．3．利用计算器产生随机数的操作方法用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．例如，用计算器产生1到25之间的取整数值的随机数，方法如下：4．利用计算机产生随机数的操作程序每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1.(2)选定A1格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按Ctrl＋V快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验．(3)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数．(4)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．【常考题型】题型一、随机数的产生方法【例1】某校高一年级共有20个班1 200名学生，期末考试时，如何把学生随机地分配到40个考场中去？[解]第一步，n＝1；第二步，用RANDI(1,1 200)产生一个[1,1 200]内的整数随机数x表示学生的座号；第三步，执行第二步，再产生一个座号，若此座号与以前产生的座号重复，则执行第二步，否则n＝n＋1；第四步，如果n≤1 200，则重复执行第三步，否则执行第五步；第五步，按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束．【类题通法】产生随机数需要注意的两个问题(1)利用抽签法时，所设计的试验要切实保证任何一个数被抽到的可能性是相等的，这是试验成功的基础(关键词：等可能)．(2)利用计算器或计算机产生随机数时，由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同，故需特别注意操作步骤与顺序的正确性，具体操作需严格参照其说明书(关键词：步骤与顺序)．【对点训练】用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，产生计算机统计这100次试验中“出现正面朝上”随机数．解：利用计算机统计频数和频率，用Excel演示．(1)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1：A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数；(2)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率.题型二、利用随机模拟法估计概率【例2】(1)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35B．0.25C．0.20 D．0.15[解析]由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为520＝1 4＝0.25.故选B.[答案] B(2)种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．[解]利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为930＝0.3.【类题通法】利用随机模拟估计概率应关注三点用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n 个随机数表示时，要把n 个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．【对点训练】甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数．034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762428 114 572 042 533 237 322 707 360 751据此估计乙获胜的概率为________．解析：就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为1130≈0.367. 答案：0.367【练习反馈】1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为24＝12. 2．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 03474373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616 8045 60113661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.819 2C ．0.8D ．0.75解析：选D 该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为1520＝0.75，故选D.3．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是________．解析：恰有一个面涂有红色在每一个侧面上只有一个，共有6个，故所求概率为29. 答案：294．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，则这两个数正好相差1的概率是________．解析：从5个数中任取两个，共有10种取法，两个数相差1的有1,2；2,3；3,4；4,5四种，故所求概率为410＝25. 答案：255．盒中有大小、形状相同的5只白球2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，都是白球．解：用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．(1)步骤：①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n ；②统计这n 组数中小于6的组数m ；③任取一球，得到白球的概率估计值是m n. (2)步骤：①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n ；②统计这n 组数中，每个数字均小于6的组数m ；③任取三球，都是白球的概率估计值是mn.。
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46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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随机抽样
一、随机抽样的分类
1． 简单随机抽样⎩
⎨⎧随机数法抽签法
2．系统抽样 3. 分层抽样
二、适用条件：
当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用 抽签法 ；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用 随机数法 ；当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用 系统抽样 ；当总体中个体差异较显著时，可采用 分层抽样 ． 三、典型练习
1．某会议室有50排座位，每排有30个座位．一次报告会坐满了听众．会后留下座号为15的所有听众50人进行座谈．这是运用了
( c )
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．系统抽样
D ．有放回抽样
2．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体( b )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 ( b )
A ．30人，30人，30人
B ．30人，45人，15人
C ．20人，30人，10人
D ．30人，50人，10人
用样本估计总体
1、频率分布直方图
在频率分布直方图中，纵轴表示 频率/组距 ，数据落在各小组内的频率用 面积 来表示，各小长方形的面积的总和等于 1 . 2、茎叶图
补充：某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数和平均数； 众数：8．6， 中位数：
8.78.8
8.752
+=， 平均数：（7．0+7．3+8．6+8．6+8．6+8．6+8．7+8．7+8．8+8．8+8．9+8．9+9．5+9．5+9．6+9．7）/16=
3．众数. 4．中位数 5．平均数
※6．已知一组数据的频率分布直方图如下．求众数、中位数、平均数．
众数:面积最大的那个矩形的中点横坐标 65
中位数：前部分面积加起来占50%的那条线的横坐标 60+10⨯
40
20
=65 平均数：每个矩形面积╳其中点横坐标再全部加起来（不用再除！！！）
6705.0951.08515.0754.0653.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
7、标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.
8经典练习
1．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有
( D )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．c >b >a
2．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝__15___.
3．在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5,12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5，那么这个小组的平均分约为 ( B )
A ．97.2分
B ．87.29分
C ．92.32分
D ．82.86分
变量间的相关关系
1． 函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种 不确定 性关系．（正相关、负相关）
2．从散点图上看,如果点从整体上看大致分布在一条直线附近,称两个变量之间具有 线性相关关系 ,这条直线叫 回归直线 . 3．
x
b y a x
n x
y x n y
x n
i i
n
i i
i a x b ∧
∧==∧
∧
∧
∧
-=--=
+=∑∑1
2
2
1
b y 其中程参考公式：线性回归方
※()
y x ,一定在回归方程上！！！ 经典练习
1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( B ) A.63.6万 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
解析：
5
.651.94.96,6,1.9,4.95.342,42,5.3=+⨯===+⨯===-
-
y x a a y x 当所以代入，
概率
一．随机事件及其概率
1.事件：必然事件、不可能事件、和随机事件 3.概率基本性质：
（1）对任意的一个随机事件概率是__（0,1）__.
（2）必然事件概率是__1____,不可能事件的概率是___0___.
（3）互斥事件是___不能同时发生__. 若A 和B 互斥_P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )____（加法公式）
对立事件是_不能同时发生，但必有一个发生_. 若A 和B 事件对立，则__P (A )=1-P (B ) ____. 二．古典概型：
1.特点：①基本事件有__有限___个， ② 每个基本事件发生的可能性__相等__.
2.概率公式：
※掷两个骰子，抛两枚硬币是有序的
有序：有先后次序，依次抽，无放回抽，有放回抽 无序：任取，一次性抽取，随机抽
公式（大题只用于验算写出的基本事件个数对不对，小题可直接用）：
A A m
P n =
所包含的基本事件的个数（）＝基本事件的总数
n 个任取2个：
()2
1-n n n 个任取3个：()()6
21--n n n
三.几何概型：
1.定义：_每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例
_简称为几何概型。
2. 特点：① 基本事件有__无限__个,② 基本事件__等可能___.
3.几何概型概率公式
四.典型练习
1、 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1) 恰有1名男生与恰有2名男生; 互斥不对立 (2) 至少有1名男生与全是男生; 不互斥不对立 (3) 至少有1名男生与全是女生; 对立
(4) 至少有1名男生与至少有1名女生. 不互斥不对立
2、在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率为（ D ） A.259 B.2516 C.10
3 D.51
3、．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下不成和棋的概率是 0.5 ．
4．袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：
（1）3只全是红球的概率； （2）3只颜色全相同的概率；(3) 3只颜色不全相同的概率．
解：所有基本事件：
（红，红，红），（红，红，黄），（红，黄，黄），（红，黄，红）， （黄，黄，黄），（黄，红，红），（黄，红，黄），（黄，黄，红）， 共8种
记3只全是红球为事件A ，3只颜色全相同为事件B ， 3只颜色不全相同为事件C
满足事件A 有（红，红，红）1种，P(A)= 8
1
P(A)=
构成事件A 的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
满足事件B 有（红，红，红）, （黄，黄，黄）2种，P(B)= 4
1 事件B 与事件C 对立，P(C)=1- P(B)= 4
5.为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B,C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B ，C 区中分别有18，27，18个工厂 （Ⅰ）求从A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。
21
11 解：A,B,C 三区人数比为：
18:27:18=2:3:2
抽取A 区个数：（个）2
2322
7=++⨯ 抽取B 区个数：（个）3
2323
7=++⨯ 抽取C 区个数：（个）2
2
322
7=++⨯ 6.进位制（阅读必修三课本p40-43）
例1 把二进制数110011(2)化为十进制数.
110 011(2)＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51. 例2 把310(8)化为十进制数
310(8)＝0×80＋1×81＋3×82＝200.
例3 把194(10)化成八进制数； 例4 把48(10)化成二进制数．。