江苏省泰兴市第三中学高考数学一轮复习 直线与圆的位置关系(2)教案
《直线与圆的位置关系》教案
《直线与圆的位置关系》教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解直线与圆的位置关系的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆的位置关系。
教学内容：1. 直线与圆的定义。
2. 直线与圆的位置关系的分类。
教学步骤：1. 引入直线和圆的定义，让学生回顾相关概念。
2. 提问：直线和圆有什么关系？它们可以相交、相切还是相离？3. 引导学生观察和思考直线与圆的位置关系，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线x=2与圆x^2+y^2=4b) 直线y=3与圆x^2+y^2=9c) 直线x+y=4与圆x^2+y^2=8第二章：直线与圆的相交教学目标：1. 让学生了解直线与圆相交的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相交的性质。
教学内容：1. 直线与圆相交的定义。
2. 直线与圆相交的性质。
教学步骤：1. 引入直线与圆相交的概念，让学生了解相交的含义。
2. 提问：直线与圆相交时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相交的性质，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线y=2x+3与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第三章：直线与圆的相切教学目标：1. 让学生了解直线与圆相切的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相切的性质。
教学内容：1. 直线与圆相切的定义。
2. 直线与圆相切的性质。
教学步骤：1. 引入直线与圆相切的概念，让学生了解相切的含义。
2. 提问：直线与圆相切时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相切的性质，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线y=3x+2与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第四章：直线与圆的相离教学目标：1. 让学生了解直线与圆相离的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相离的性质。
高中数学《直线与圆的位置关系》教案
高中数学《直线与圆的位置关系》教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握判断直线与圆的位置关系的方法，能够用两种方法解决直线与圆的位置关系问题。
【过程与方法】
在小组合作探究过程中，得出判别直线与圆位置关系的两种方法，体会解题方式的多样性的同时，感受用代数语言解决几何问题的魅力。
【情感、态度与价值观】
在探究中获得成功的体验，激发学习数学的热情。
二、教学重难点
【重点】直线与圆的位置关系的判定方法。
【难点】直线与圆的位置关系的判定方法的应用。
三、教学过程
（一）导入新课
回顾所学圆的方程。
点明我们以前学过直线与圆的位置关系，今天这节课继续深入研究如何判断直线与圆的位置关系。
引出课题。
（二）讲解新知
请学生回忆平面中直线与圆的位置关系有哪些，以前是如何判断直线和圆的位置关系的。
预设学生能够回答出直线与圆有三种位置关系，可根据公共点个数或者是圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系来判断直线和圆的位置关系。
教师引导学生思考，现在我们已经学习了直线和圆的方程，能否用直线方程和圆的方程判断它们之间的位置关系。
同时展示例题：如图，已知直线l:3x＋y－6＝0和圆心为C的圆X2＋Y2－2Y－4＝0，判断直线L与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。
（四）小结作业
课堂小结：回顾判断直线与圆的位置关系的两种方法。
课后作业：完成课后相应练习，根据题目给出的直线方程与圆的方程，先用两种方法判断直线与圆的位置关系。
如果有公共点，再求出公共点坐标。
四、板书设计。
直线与圆的位置关系(第二课时)-高中数学获奖教案
2.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册)一、教学目标1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法；2. 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程；3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
二、教学重难点1.利用直线与圆的位置关系解决实际问题的一般方法和思想；2.学生的数学抽象、数学转化能力与数学建模能力的培养。
三、教学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系的判断方法：直线Ax+By+C=0(A ,B 不同时为0)与圆(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)的位置关系及判断：2. 直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB|，则有：(|AB|2)2＋d 2＝r 2，即|AB|＝2r2－d2. 3.过某点的圆的切线方程问题： （1）若点P(x0，y 0)在圆上，利用切线和圆心与点P 的连线垂直求解切线方程；(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线，常利用几何方法求解，即：圆心到切线的距离等于半径，设切线方程，利用待定系数法求解。
易错提示：直线方程的点斜式无法表示斜率不存在的直线【设计意图】以提问的方式，帮助学生复习前面所学知识，同时ppt 动态演示复习内容，给学生以直观的感受和提醒，为本节课内容做好铺垫。
（二）问题引入新课台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为多少？【设计意图】通过现实生活中的实例，让学生体会到数学源于生活并可以指导生活，感受数学的魅力（三）讲授新课例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB =20m,拱高OP =4m,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度（精确到0.01m).问题1.如何建立适当的平面直角坐标系？（大家分组讨论，给出方案）（教师展示学生方案，引导学生回忆建立平面直角坐标系应该遵循的原则，选择最合适的坐标系。
《直线与圆的位置关系》教案
《直线与圆的位置关系》教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生掌握直线与圆的位置关系，理解直线与圆相交、相切、相离的概念。
2. 学会运用直线与圆的位置关系解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆的位置关系。
2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点重点：1. 直线与圆的位置关系的判定。
2. 直线与圆相交、相切、相离的性质。
难点：1. 直线与圆的位置关系的推理论证。
2. 运用直线与圆的位置关系解决实际问题。
三、教学准备教具：1. 直尺、圆规、铅笔。
2. 直线与圆的位置关系的图片或模型。
学具：1. 直尺、圆规、铅笔。
2. 直线与圆的位置关系的练习题。
四、教学过程1. 导入：1.1 教师出示一些直线与圆的位置关系的图片或模型，让学生观察。
1.2 学生分享观察到的直线与圆的位置关系。
2. 探究：2.1 教师引导学生通过画图、观察、分析、推理等方法，探索直线与圆的位置关系。
3. 讲解：3.1 教师根据学生的探究结果，讲解直线与圆的位置关系的判定方法和性质。
3.2 教师通过例题，讲解如何运用直线与圆的位置关系解决实际问题。
4. 练习：4.1 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4.2 教师选取部分学生的练习题进行点评，解答学生的疑问。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对直线与圆的位置关系的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神。
六、教学拓展1. 教师引导学生思考：直线与圆的位置关系在实际生活中有哪些应用？2. 学生举例说明直线与圆的位置关系在实际生活中的应用，如自行车轮子与地面的关系、篮球筐与投篮线的关系等。
七、课堂小结八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固直线与圆的位置关系的知识。
高考数学一轮复习 直线与圆复习教案
江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 直线与圆复习教案教学重点、难点：直线与圆一、 基础训练：1、直线l 过点M （２，１）其倾斜角是直线40x y -+=倾斜角的2倍，则直线l 的方程是_________________2、已知三点(2,3),(3,),(4,)a b 在一条直线上，则点(,)a b 所在的直线方程是________3、.过点(1, 2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程：________________________4、已知A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)是圆222x y +=两点，若12121x x y y +=-则AOB ∠＝______5、过圆224x y +=外的一点P （４，２）作圆的两条切线，切点为A, B 则△PAB 的外接圆方程:______________6、 两圆相交于两点(1, 3)和(m ,-1)，若两圆圆心在直线0x y c -+=上则m c +＝________7、曲线1y =与直线(2)4y k x =-+有两个不同的交点，则k 的取值范围_____8、P(x , y )是圆22(1)1x y +-=上的任意一点，若不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围______________二、例题讲解：例1. 过点M(2, 4)作两条直线垂直的直线分别交,x y 的正半轴于A, B 若四边形OAMB 的面积被直线AB平分，求AB 的方程。
例2. 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA, PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，切点为A 、B ，Ｃ为圆心，求四边形PACB 的面积的最小值。
例3：已知圆22:(2)1M x y +-=，直线l 的方程20x y -=，点P 在直线l 上，过P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B（1）若060APB ∠=，求点P 的坐标；（2）过点P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，若点P 的纵坐标为1，且CD =CD 的方程；（3）求证：当点P 在直线l 上运动时，经过AB 两点的直线恒过定点例4：已知圆229:9,(5,0),(,0)5C x y A B +=--，直线:20l x y -=（1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的方程；（2）求证：对圆C 上任意一点P ，PB PA为一常数，并求出这一常数 数学（理）即时反馈作业编号：017 直线与圆复习1、过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是____________2、已知圆C ：)0(4)2()(22>=-+-a y a x 及直线03=+-y x l ：，当直线l 被C 截的弦长为32时，则a=________3、过点)3,2(P 向1)1()1(22=-+-y x 引切线，设T 为切点，则切线长|PT|=__________4、一条光线从点)3,2(P 射出，经x 轴反射，与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的方程是 __________.5、设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则点M 到直线3420x y +-=的最短距离是________________6、已知圆22(2)9x y -+=和直线y kx =交于A,B 两点,O 是坐标原点, 若2OA OB O +=,则||AB =7、圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有2个不同的点到直线4320x y --=的距离为1则半径r 的取值范围是____________10、已知圆与两直线350,330x y x y +-=+-=都相切，且圆心在直线210x y ++=上，求这个圆的方程。
直线与圆的位置关系教案
直线与圆的位置关系教案一、教学目标1.知识目标：了解直线与圆的位置关系的基本概念及判断方法。
2.能力目标：能够根据已知条件判断直线与圆的位置关系。
3.情感目标：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学思维和创新意识。
二、教学重点三、教学难点根据已知条件判断直线与圆的位置关系。
四、教学准备1.教学工具：黑板、白板、教学投影仪。
2.教学素材：教材课件、教案、实例、练习题。
五、教学步骤步骤一：引入新课（5分钟）1.教师展示一些直线与圆的照片，向学生提问：“你们在日常生活中见过直线和圆吗？它们之间有什么关系？”2.学生回答后，教师引导学生思考直线与圆的关系，并给出提示：“直线和圆在几何学中有着重要的位置关系。
”3.教师引出本堂课的主题：“本节课我们要学习直线与圆的位置关系，通过学习，我们能够了解它们之间的关系以及如何判断它们的位置关系。
”步骤二：讲解直线与圆的位置关系（15分钟）1.教师向学生介绍直线与圆的位置关系的基本概念。
2.教师通过示意图展示直线与圆的四种位置关系：（1）直线与圆相交；（2）直线与圆内切；（3）直线与圆外切；（4）直线与圆相离。
3.教师通过实例分别讲解以上四种位置关系的判断方法。
步骤三：示例分析与讨论（20分钟）1.教师给出一些示例题，引导学生按照判断方法，分析并判断直线与圆的位置关系。
2.学生在黑板上完成示例题的解答，并与教师及其他同学进行讨论。
3.教师在讨论中强调判断的关键点和注意事项。
步骤四：解释与总结（10分钟）1.教师对本节课的重点知识进行解释和总结，强调直线与圆的位置关系的判断方法。
2.教师鼓励学生对所学知识进行思考，提出自己的疑问或观点，加深对知识的理解。
步骤五：练习与巩固（20分钟）1.学生在教师的指导下，完成一些练习题，巩固所学知识。
2.学生互相交流解题过程和答案，讨论解题思路和方法。
3.教师在学生解题过程中及时给予指导和点评。
六、课堂小结1.教师对本节课的重点进行概括性总结，强调直线与圆的位置关系的判断方法。
《直线和圆的位置关系》教学设计
《直线和圆的位置关系》教学设计《直线和圆的位置关系》教学设计（精选5篇）教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。
教学设计要遵循教学过程的基本规律，选择教学目标，以解决教什么的问题。
今天应届毕业生店铺为大家编辑整理了《直线和圆的位置关系》教学设计，希望对大家有所帮助。
《直线和圆的位置关系》教学设计篇1一、素质教育目标㈠知识教学点⒈使学生理解直线和圆的位置关系。
⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。
㈡能力训练点⒈通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力。
⒉在7.1节我们曾学习了“点和圆”的位置关系。
⑴点P在⊙O上OP＝r⑵点P在⊙O内OP＜r⑶点P在⊙O外OP＞r初步培养学生能将这个点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系互相对应的理论迁移到直线和圆的位置关系上来。
㈢德育渗透点在用运动的观点揭示直线和圆的位置关系的过程中向学生渗透，世界上的一切事物都是变化着的，并且在变化的过程中在一定的条件下是可以相互转化的。
二、教学重点、难点和疑点⒈重点：使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系。
⒉难点：直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的关径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，学生不太容易理解。
⒊疑点：为什么能用圆心到直线的距离九圆的关径大小关系判断直线和圆的位置关系？为解决这一疑点，必须通过图形的演示，使学生理解直线和圆的位置关系必转化成圆心到直线的距离和圆的关径的大小关系来实现的。
三、教学过程㈠情境感知⒈欣赏网页flash动画，《海上日出》提问：动画给你形成了怎样的几何图形的印象？⒉演示z＋z超级画板制作《日出》的简易动画，给学生形成直线和圆的位置关系的印象，像这样平面上给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然存在着若干种不同的位置关系，如果从数学角度，它的若干位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下。
高三一轮复习-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系（2）课型：高三数学一轮复习课课题：直线与圆的位置关系(2)课时：第二课时教材：苏教版对教材内容的理解分析：１、本节内容在全书及章节的地位：直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课．２、本节课的复习内容：本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法的应用，它是高考中的热点内容之一．３、教材的地位与作用：本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．[教学目标]知识目标:学习目标：（1）判断直线与圆位置；（2）相切时会求切线方程；（3）相交时会求弦长；（4）相离时会求有关距离最值．能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力．情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性．[重点难点]重难点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用；动中之定。
[教学方法]启发式、自主探究相结合．[教具资料]三角板、圆规、GGB软件一、【基础训练】1. 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)在平面内到直线到直线4x＋3y＝25距离为2的点的轨迹方程为___________(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．+--+=上一点到直线3x+ 4y- 2 = 0的距离的最小值为________．2. 圆2264120x y x y3. 直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________4. 直线l ：y ＝k (x －2)＋2与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切，则直线l 的斜率等于________5. 直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .6. 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是________．【设计意图】以小题的形式复习第一课时所学知识，第1题改编自2011的湖南高考题，为下面的例题2的处理打下伏笔；第2、4小题为第一小题的处理打下基础。
高考数学一轮复习 直线与圆的位置关系教案
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
直线和圆的位置关系数学教案
直线和圆的位置关系数学教案
标题：直线与圆的位置关系
一、教学目标
1. 理解并掌握直线与圆的位置关系的概念。
2. 掌握判断直线与圆位置关系的方法。
3. 培养学生的空间想象能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点
重点：直线与圆的位置关系的理解及应用。
难点：根据条件判断直线与圆的位置关系。
三、教学过程
1. 导入新课：
通过实例引入，如：在日常生活中我们经常会遇到直线与圆的位置关系的问题，比如篮球运动员投篮时，球的运动轨迹就是一个抛物线，而篮球框是一个圆形。
那么如何确定球是否会进入篮筐呢？这就需要我们学习直线与圆的位置关系的知识。
2. 新课讲解：
(1) 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离。
(2) 判断方法：利用点到直线的距离公式，比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。
3. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生自己动手操作，通过实践来理解和掌握直线与圆的位置关系。
4. 小结：
回顾本节课所学的内容，强调重点和难点。
5. 作业：
设计一些相关的题目作为家庭作业，让学生在课后继续复习和巩固所学知识。
四、教学反思
教师要时刻关注学生的学习情况，对教学效果进行反思和调整，以达到最佳的教学效果。
2018届高三数学第一轮复习---直线与圆的位置关系教学设计
直线和圆的位置关系教学设计（高三第一轮复习）一． 内容和内容解析1、 内容：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第七章《直线和圆》， 本节课内容为高三第一轮复习《直线和圆的位置关系》2、重点解析：（1）直线和圆位置关系的几何特征的运用；（2）解决圆的切线和弦长问题的基本方法和思路。
3、难点解析：数型结合、分类讨论思想的体现和掌握。
二、目标和目标解析1、目标:理解直线和圆的位置关系的定义，掌握直线和圆的位置关系的判定方法、圆的切线的相关问题和直线被圆所截得的弦长问题的基本思路和方法；体验以上基本思路和方法提炼的过程和数学思想；培养学生数与形、形与数相互转化的能力以及探究问题、解决问题的能力。
2、目标解析：（1）通过实际演示，学生归纳出直线与圆的位置关系的种类，这种位置关系是从现实世界中几何图形的数学概括；（2）学生经历对直线和圆位置关系判定方法的探究，体验数学中数与形的完美结合；（3）通过对圆的切线和弦长问题基本思路和方法的分析，体会这两个问题是当直线和圆的位置关系为相切和相交时，对直线、圆的代数形式 以及几何属性的探究。
三、教学过程设计：1、 授课内容（1）直线与圆位置关系及其判定的方法问题一: 直线与圆的位置关系有几种？是如何定义的？（几何画板演示 学生回顾归纳）问题二：如何判断直线与圆的位置关系?（引导学生抓住位置关系的定义，分别从代数和几何两个方面来总结方法）（2）、圆的切线的相关问题的思路分析判断下列直线与圆的位置关系： 学以致用①直线l:与圆C ： 241)(y 3)(x22=++-的位置关系是______032=+-y x ②直线l:与圆C ： 4y 1)(x 22=+-的位置关系是______θθθsin 2cos sin +=+y x圆的切线相关问题所对应的直线与圆的位置关系为相切位置关系解决相关问题时必须牢牢抓住直线与圆相切的几何特征解题之道几何特征设圆心M到直线的距离d ，圆的半径为r),(b a 点和代数特征比较，计算更为简便（3）、圆的弦长的相关问题的解题思路分析直线被圆所截得的弦长问题直线被圆所截得的弦长相关问题所对应的直线与圆的位置关系为相交位置关系利用直线与圆相交的几何特征解题之道设圆心C2L几何特征：d<r特征三角形：弦心距d 、半径r 和半弦长构成的直角三角形若利用弦长公式在圆中求弦长主要还是利用几何性质来优化计算考虑到计算的便捷2、例题讲授：3、互动探究：（1）、已知圆C 的圆心在x 轴上，半径为2, 求当圆与直线x+2y=4相切时圆C 的方程，所截得的弦长为）的直线被圆，、过点（14)1(32)2(22=++-y x 求直线的方程值域、求函数13)2(1)()3(2++--=x x x f 1,111)4(2222=+=-+-b a a b b a 求证：、已知四、教学反思学生的作图能力较差，不能很好地利用图形结合来解题，在课前我先复习直线、圆的方程与作图，为本节课的教学打好了基础，从课堂的反应效果不错，学生基本能作图分析。
江苏高考数学一轮复习《直线与圆的位置关系》 教程学案
第45课 直线与圆的位置关系(2)1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1. 阅读：必修2第115～117页.2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断1. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为7 .解析：由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|2＝22，所以切线长最小为（22）2－1＝7.2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或177Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22.因为直线l 的斜率存在，设为k ，所以直线l ：y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，故直线l 的斜率为1或177.3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则实数k ＝ 4 Ｗ.解析：因为圆O ：x 2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即k ＝4.4. 已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－524)∪(524，＋∞) . 解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以过点A 的圆的切线方程为y ＝±24(x ＋2).当x ＝3时，y ＝±524，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(524，＋∞). 范例导航考向❶ 直线与圆相交的弦的问题例1 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：(1) 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ， 所以直线l 的斜率为k ＝2－02－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0， 则圆心C(1，0)到直线l 的距离为12.又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.已知圆x 2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.(1) 若α＝3π4，则AB ＝30 ；(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 x －2y ＋5＝0 Ｗ.解析：(1) 因为α＝3π4，所以k AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22，则AB ＝28－12＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.又因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.考向❷ 定点、定值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1) 因为A(－3，4)， 所以OA ＝（－3）2＋42＝5.因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17， 所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2) 设C(－3m ，4m)(0<m ≤1)，则OC ＝5m ， 则AC ＝OA －OC ＝5－5m.因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m(x ＋2y)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. 解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪4t ＝4， 所以△OAB 的面积为定值. (2) 因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12，所以k OC ＝12＝2t t ＝2t2，所以t ＝±2.当t ＝2时，圆心C (2，1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C (－2，－1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＝955>5，所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符题意. 综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝ 5. 考向❸ 隐圆问题例3 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：3x －4y ＝0.(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由题意可设所求直线方程为4x ＋3y －b ＝0. 因为直线与圆相切， 所以|－b|42＋32＝3，得b ＝±15，所以所求直线方程为4x ＋3y ＋15＝0或4x ＋3y －15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t ，0). 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时， PB PA ＝|t ＋3|2； 当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时， PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数. 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，所以PB PA ＝35为常数.方法二：假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，设P(x ，y)，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA ＝35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析：(1) 由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3. 由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以设圆心C(a ，2a －4)，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意得点M(x ，y)也在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125， 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 自测反馈1. 过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为 x ＝2或4x ＋3y －17＝0 Ｗ. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x ＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得|k ＋3|k 2＋1＝1，所以k ＝－43，切线方程为4x ＋3y －17＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0.2. 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则实数k ＝ 1 .解析：由题意得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，因为直线l 过点M(0，1)，且被圆C 截得的弦最短，所以直线l 与直线CM 垂直，又k CM ＝－1，所以k ＝1.3. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 －1 .解析：圆(x －1)2＋(y －a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r ＝4，直线ax ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离为22，所以d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 [－52，1] .解析：设点P 坐标为(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y)，则PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以PA →·PB →－20＝x 2＋y 2＋12x －6y －20＝50＋12x －6y －20≤0，即2x －y ＋5≤0，则点P 表示的轨迹在直线2x －y ＋5＝0的上方.又因为点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由图易知，点P 的横坐标的取值范围是[x C ，x D ].由题意得x C ＝－52，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y 得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，即x D ＝1，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1].1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.3. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020版江苏高考数学一轮复习学案：第44课《直线与圆的位置关系》(含解析)
第44课 直线与圆的位置关系(1)1. 理解直线与圆的位置关系，会利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，能够根据所给关系解决相关问题.2. 熟练掌握圆的几何性质的运用，通过数形结合解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等问题，体会用代数法处理几何问题的思想.1. 阅读：必修2第112～114页.2. 解悟：①了解直线和圆有哪些位置关系；用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？试用数学语言进行表述；②已知圆心到直线的距离为d ，试写出直线与圆相交形成的弦AB 的长度；③求切线方程及切线长度的注意点和具体方法是什么？3. 践习：在教材空白处完成必修2第115页练习第1、5、6题.基础诊断1. 已知直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m ＝ 3或－33 . 解析：将圆化为标准方程(x －1)2＋y 2＝3，所以圆心(1，0)，半径r ＝ 3.因为直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，所以圆心到直线3x －y ＋m ＝0的距离等于半径，即|3＋m|3＋1＝3，解得m ＝3或－3 3. 2. 若过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 2x －y ＝0 Ｗ.解析：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx.圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心为(1，2)，半径r ＝1.又因为直线与圆相交所得的弦长为2，为直径，所以直线y ＝kx 过圆心，所以k ＝2，直线方程为2x －y ＝0.3. 已知直线3x －4y ＋a ＝0与圆x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0有公共点，则实数a 的取值范围是 [－12，8] .解析：将圆化为标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心(2，1)，半径为 2.因为直线与圆有公共点，设圆心到直线的距离为d ，所以d ≤r ，即|6－4＋a|33＋42≤2，解得－12≤a ≤8.4. 若圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－65，0 . 解析：原问题可转化为圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4和圆x 2＋y 2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d ＝（2a －0）2＋（a ＋3－0）2＝5a 2＋6a ＋9，所以2－1<5a 2＋6a ＋9<2＋1，解得－65<a<0.范例导航考向❶ 直线与圆的位置关系问题例1 分别求当正数a 取何值时，直线x ＋y －2a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0：(1) 相切；(2) 相离；(3) 相交.解析：将圆方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0化为标准方程，得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a ，圆心坐标为(a ，－1)，圆心到已知直线的距离为d ＝|a －1－2a ＋1|2＝a2，半径为r ＝ a.(1) 当d ＝r ，a2＝a ，即a ＝2时，直线与圆相切. (2) 当d>r ，a2>a ，即a>2时，直线与圆相离. (3) 当d<r ，a2<a ，即0<a<2时，直线与圆相交.已知圆C ：x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，直线l 过点P 且倾斜角为α.(1) 若直线l 与圆C 相切，则α的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，3π4 ；(2) 若直线l 与圆C 相交，则α的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π ； (3) 若直线l 与圆C 相离，则α的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫π4，3π4 .解析：因为直线l 过点P(4，0)，设直线l ：y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝|4k|k 2＋1.(1) 若直线l 与圆C 相切，则d ＝|4k|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝－1，所以倾斜角为π4或3π4. (2) 若直线l 与圆C 相交，则d ＝|4k|k 2＋1<22，解得－1<k<1，所以倾斜角范围为⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π.(3) 当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为π2，此时直线l 与圆C 相离；当直线的斜率存在时，则d ＝|4k|k 2＋1>22，解得k>1或k<－1，所以倾斜角为⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4，综上，倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4，3π4.考向❷ 直线与圆的交点及弦长问题例2 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1) 证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2) 求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 解析：方法一：(1) 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，（x －1）2＋（y ＋1）2＝12， ①消去y 并整理，得(k 2＋1)x 2－(2－4k)x －7＝0. ② 因为Δ＝(2－4k)2＋4(k 2＋1)·7>0恒成立，所以方程②总有两个不相等的实数根， 即方程组①有两组解，即直线与圆总有两个交点， 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由(1)知，直线与圆总有两个不同的交点，设为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由②式知x 1＋x 2＝2－4k k 2＋1，x 1x 2＝－7k 2＋1，所以直线l 被圆C 截得的弦长 AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k k 2＋12－4·⎝⎛⎭⎫－7k 2＋1 ＝28－4k ＋11k 2k 2＋1＝211－4k ＋3k 2＋1.令t ＝4k ＋3k 2＋1，则tk 2－4k －3＋t ＝0，当t ＝0时，k ＝－34，此时AB ＝211；当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16＋4t (3－t )≥0，解得－1≤t ≤4(t ≠0)， 故t 的最大值为4，此时AB 取得最小值27.综上，直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.方法二：(1) 圆心C (1，－1)到已知直线l 的距离为d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径r ＝23，r 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k 2.令t ＝11k 2－4k ＋8＝11⎝⎛⎭⎫k －2112＋8411≥8411>0，从而r 2－d 2>0，即d <r ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点. (2) 由平面几何知识，得直线l 被圆C 截得的弦长：AB ＝2r 2－d 2＝211k 2－4k ＋81＋k 2，下同方法一.方法三：(1) 已知圆的圆心C (1，－1)，半径r ＝23， 直线l ：y ＝kx ＋1经过定点P (0，1)，因为PC ＝12＋22＝5<23＝r ，所以点P (0，1)在圆的内部， 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由平面几何知识，得过圆内定点P (0，1)的弦，只有和PC 垂直时最短， 所以P (0，1)为弦AB 的中点，由勾股定理，得AB ＝212－5＝27， 故直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1，1)的直线l 与圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝ 12Ｗ.解析：因为点M 在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5上，圆心C (－1，2)，所以直线l 与直线MC垂直，所以直线MC 平行于直线ax ＋y －1＝0，所以－a ＝1－21－（－1）＝－12，即a ＝12.考向❸ 直线与圆相切问题例3 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点.(1) 若AM ⊥l ，过点A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小； (2) 若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围. 解析：(1) 圆M 的圆心M(1，1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ， 所以k AM ＝1，所以直线AM 的方程为y ＝x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A(3，3). 如图，连结MP ，因为∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM ＝2（3－1）2＋（3－1）2＝22，所以∠PAM ＝45°，所以∠PAQ ＝90°.(2) 过A(a ，b)作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点. 因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要作∠DAE ≥60°. 因为AM 平分∠DAE ，所以只要30°≤∠DAM<90°，即12≤sin ∠DAM<1，即2（a －1）2＋（b －1）2≥12，且2（a －1）2＋（b －1）2<1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即点A 横坐标的取值范围是[1，5].已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解析：将圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以C(1，1)，半径r ＝1.因为四边形PACB 面积S ＝2×12×PA ×AC ＝PA ＝PC 2－1，所以当PC 取最小值时，四边形PACB 的面积S 取最小值.因为P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，所以PC 最小即为圆心到直线的距离，即PC min ＝|3＋4＋8|32＋42＝155＝3，所以四边形PACB 面积最小值为S ＝2 2.自测反馈1. 已知过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2＝3截得的弦长为22，则直线l 的方程为 x ＝－1或3x －4y －5＝0 .解析：由题意得圆心到所求直线的距离为1，当直线斜率不存在时，直线为x ＝－1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线为y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y －5＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－1或3x －4y －5＝0.2. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为 102 Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心为(1，3)，半径为10.因为点E 在圆内，所以过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过点E 且与直径AC 垂直的弦，则AC ＝210，BD ＝210－[（1－0）2＋（3－1）2]＝25，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD ＝10 2. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是 (－13，13) .解析：由题意知圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2.因为圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，所以圆心到直线的距离小于1，即|c|122＋52<1，所以－13<c<13.4. 从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 35.解析：将圆的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心坐标(1，1)，半径为1.由题意知过点P(3，2)的两条切线斜率存在，设切线方程为y －2＝k(x －3)，即kx －y －3k＋2＝0，所以圆心到切线的距离等于半径，即|－2k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝43.设两直线的夹角为α，所以tan α＝43，所以cos α＝11＋tan 2α＝35，即两条切线夹角的余弦值为35.1. 直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆的方程联立方程组，消去y后观察二次方程的Δ即可，若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离.2. 用点到直线的距离公式可以写出圆心到直线的距离d ，比较d 与半径r 的关系：若d>r ，则直线和圆相离；若d<r ，则直线与圆相交；若d ＝r ，则直线与圆相切.3. 弦长与切线长问题往往转化为弦心距、点到切线的距离与半径，利用直角三角形处理.4. 你还有哪些体悟，写下来：。
江苏省泰兴市第三中学高考数学一轮复习 空间两直线位置关系系(2)教案
江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 空间两直线位置关系系（2）教案教学目标：判断空间两直线为异面直线；异面直线所成角的定义、范围及应用．重点难点：异面直线的判定，异面直线所成角的计算． 引入新课1．两架飞机同时在天空飞过，其中一架从东向西飞行，另一架从南向北飞行，它们各留下了一条白色的痕迹，这两条白色的痕迹一定相交吗？2．在长方体1111D C B A ABCD -中，直线AB 与C A 1具有怎样的位置关系？建构教学：3．已知a B B A a ∉∈∉⊂，，，ααα，求证：直线AB 与a 是异面直线． 定理： 的直线，和这个平面内的直线是异面直线．符号语言：4．异面直线所成的角：（尝试在右侧画出图形表示） 已知异面直线b a 、，经过空间中任一点O 作直线b b a a ////''、，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）．异面直线所成的角的范围_____________________．5.若异面直线b a 、所成的角为直角，则称异面直线b a 、 _____________________，记着__________ 6、若α⊂a ，β⊂b ，则a 和b 是异面直线，对不对？如下图：A B a α作图区例题剖析例1 已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体．（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 是异面直线； （2）求异面直线1AA 与BC 所成的角； （3）求异面直线1BC 和AC 所成的角．例2 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，PC ⊥AB ，2==AB PC ，F E ，分别是PA 和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）求EF 与PC 所成的角．（1）证明一： 证明二：例3：已知,αβ交于直线l ，AB ，CD 分别在平面,αβ内，且与直线l 分别交于B ，D两点，若ABD CDB ∠=∠，试问： AB 与CD 是否平行？说明理由 巩固练习 1．在三棱锥所有的棱中互为异面直线的有_____________对．2．下列说法正确的有________________．(填上正确的序号)①．过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．③．若a c b a ⊥，//，则b c ⊥．④．若c b c a ⊥⊥，，则b a //．3．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2321===AA AD AB ，．（1）直线BC 与11C A 所成的角； （2）直线1AA 与1BC 所成的角．课堂小结异面直线的判定，异面直线所成角的计算． 数学（理）即时反馈作业编号：043班级______________姓名_______________学号C D A 11B 1 F E P A BC CD A 1 B 1 α β CA D B______________1．两条异面直线所成角的取值范围是____________________________．2．在正方体1111D C B A ABCD -中，面11A ABB 的对角线1AB 所在直线与直线1DD 所成角的大小是______________________．3、两条异面直线指的是：（1）不同在任何一个平面内的两条直线；（2）分别在某两个平面内的两条直线；（3）既不平行又不相交的两条直线；（4）平面内的一条直线和平面外的一条直线，其中正确的命题的序号为________________4、,a b 是异面直线，,,a b l αβαβ⊂⊂=，则直线l 必定：（1）分别与,a b 相交；（2）至少与,a b 之一相交；（3）与,a b 均不相交；（4）至多与,a b 之一相交，其中不正确的说法是_________________5、下列命题：（1）若//,//a b b c ，则//a c ；（2）若,a b b c ⊥⊥，则//a c ；（3）若a b 与相交，b c 与相交，则a 与c 相交；（4）若a b 与异面，b c 与异面，则a 与c 异面；其中正确的说法是_____________6、在平面直角坐标系中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于_______________7、中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________________8．长方体1111D C B A ABCD - 中，221===AB AA AD ，，则异面直线1AB 与1BC所成角的余弦值是_______________．9．已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体，F E ，分别是AB AA ，1的中点．（1）哪些棱所在直线与直线DC（2）哪些棱所在直线与直线EF 垂直？（3）直线11D C 与EF 的夹角是多少？12．空间四边形ABC P -中，PC PB PA ===（1）写出图中几组异面直线； （2）画出与PC AB ，都垂直且相交的直线．A B C A 11 E F P C。
人教版高中必修24.2直线、圆的位置关系课程设计 (2)
人教版高中必修24.2直线、圆的位置关系课程设计一、课程背景本课程是高中数学必修课程中的一部分，属于解析几何章节，主要讲解直线与圆的位置关系。
在本章节之前，学生已经学习了平面向量、坐标系、直线、圆等知识。
本课程旨在通过实例、图形等形象的方法，使学生能够理解直线与圆的位置关系，并能够运用所学知识解决与直线与圆有关的综合问题。
二、教学目标通过本课程的学习，学生将会掌握以下知识和技能：1.理解直线与圆的位置关系；2.掌握直线与圆的交点、离心率、切点等基本概念；3.能够判断给定的直线与圆的位置关系；4.能够解决与直线与圆有关的综合问题。
三、教学重点本课程的教学重点是：深入理解直线与圆的位置关系，并能够准确判断直线与圆的位置。
四、教学难点本课程的教学难点是：解决具有一定难度的与直线与圆有关的综合问题。
五、教学内容及具体安排5.1 教学内容1.直线与圆的位置关系及分类；2.直线与圆的交点；3.直线关于圆的离心率；4.直线与圆的切点。
5.2 具体安排第一课时：直线与圆的位置关系1.引入直线与圆的交点、离心率、切点的概念；2.列举不同情况下直线与圆的位置关系；3.通过图形直观感受不同情况下直线与圆的位置关系。
第二课时：直线与圆的交点1.掌握求解直线与圆的交点的方法；2.练习不同情况下求解直线与圆的交点；3.小组讨论并解决与直线与圆有关的实例问题。
第三课时：直线关于圆的离心率1.掌握求解直线关于圆的离心率的方法；2.练习不同情况下求解直线关于圆的离心率；3.小组讨论并解决与直线与圆有关的实例问题。
第四课时：直线与圆的切点1.掌握解决直线与圆的切点问题的方法；2.练习不同情况下解决直线与圆的切点问题；3.小组讨论并解决与直线与圆有关的实例问题。
第五课时：与直线与圆有关的综合问题的解决1.综合前面所学知识，解决具有一定难度的与直线与圆有关的问题；2.讨论不同情况下问题的解决方法；3.小组自主发挥，设计与直线与圆有关的问题并解决。
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江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 直线与圆的位置关系（3）教
案
教学目标：依据直线和圆的方程，能够熟练的写出它们的交点坐标；能通过比较圆心到直线的距离和半径
之间的大小判断直线和圆的位置关系；理解直线和圆的方程组成的二元二次方程组的解的对应关系．
重点难点：通过方程组的解来研究直线和圆的位置关系；及圆的几何性质在解题中应用．
例1：已知直线:5120l x y a ++=与圆22:20C x y x +-=
（1）若l 与圆C 相切，求a 的值；（2）若l 与圆C 相交，求a 的取值范围；
（3）若l 与圆C 相离，求a 的取值范围；（4）若l 被圆C 截得的弦长为
1013
，求a 的值；
变式1：若直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围
变式2：在平面直角坐标系中，已知圆22
4x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，求实数c 的取值范围
变式3：在平面直角坐标系中，已知圆222(0)x y r r +=>上有且仅有四个点到直线125260x y -+=的距离为1，求实数r 的取值范围
例2：已知圆满足①在y 轴上截得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为13
∶；③圆心到直线02=-y x l ：的距离为
5
5，求该圆的方程
数学（理）即时反馈作业
编号：013 直线与圆的位置关系二
1． 过P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx +2y ＋k 2
=0作C 的切线有两条，则k 的取值范围是
2、若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，则a 的值是______.
3、已知210p q +-=，则直线30px y q -+=恒过定点A __________
4、若方程02)2(222=++++a ax y a x a 表示圆，则a 的值为
5、动点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x ，则（1）
2
1--x y 的最大值是________（2）y x +2的最小值是_______________.
6、若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为
7、已知圆22(1)4x y -+=内一点(2,1)P ，则过P 点最短弦所在的直线方程是___________
8、已知圆和直线6100x y --=相切于点(4,1)-，且经过点(9,6)，求圆的方程
9、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，求该圆的标准方程
10.求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在坐标轴上的截距相等的直线方程
11．已知过点)33(- -，
M 的直线l 被圆02142
2=-++y y x 截得的弦长为54， 求直线l 的方程．
12．已知点O 为坐标原点，圆C 过点(1,1)和点(2,4)-，且圆心在y 轴上
（1）求圆C 的标准方程；（2）如果过点(1,0)P 的直线l 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范
围；（3）如果过点(1,0)P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，且||AB =，试求直线l 的方程。