2018-2019学年北京市昌平区高一第一学期期末数学试题(解析版)

（1）由 所以
解得
, 故函数 的定义域是
.
（2）函数 是奇函数.
由（1）知定义域关于原点对称. 因为
，
所以函数 是奇函数.
(3) 由
可得
.பைடு நூலகம்
得
解得
.
【点睛】
本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，
是一道中档题．
19．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古 诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
数型函数的一段，即满足
，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析
式即可得到函数的解析式．令 y=40，求出 x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．
【详解】
由题意，当 0≤t≤5 时，函数图象是一个线段，当 t≥5 时，函数的解析式为
，
点（5，100）和点（15，60），代入解析式，
有
，
解得 a＝5,b=20，
. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为
，
①当
，即
时，
=
= 所以当
， 时， 有最大值 13600．
当
，即
时，
h
=
，
因为 的对称轴方程为 ，
所以 当
时， 是增函数，
所以 当 时， 有最大值为 13200. 因为 13600>13200，
，则对“古诗词”的阅读时间为
所以阅读总字数 的最大值为 13600，此时对“经典名著”的阅读时间为 40 分钟，对 “古诗词”的阅读时间为 20 分钟． 【点睛】 本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．
,则函数 的一个解析式为
【答案】
（不是唯一解）
【解析】根据 f（﹣2）•f（2）＞0 便可想到 f（x）可能为偶函数，从而想到 f（x）＝x2，
x＝0 是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出 f（x）的一个解析式为：f（x）＝
x2．
【详解】
根据 f（﹣2）•f（2）＞0 可考虑 f（x）是偶函数；
∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1； ∴b＜c＜a．
故选：A．
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．
7．如果二次函数
A．
B．
【答案】C
有两个不同的零点，那么 的取值范围为
C．
D．
【解析】由条件利用二次函数的性质可得△＝4 ﹣4（ 【详解】
20．已知函数 的定义域为 ，对于给定的 足：
，若存在
，使得函数 满
① 函数 在 上是单调函数；
② 函数 在 上的值域是
，则称 是函数 的 级“理想区间”.
(1)判断函数
，
区间”；（只需直接写出结果）
是否存在 1 级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想
(2) 证明：函数
存在 3 级“理想区间”；（
由题意可得 T •
，解得ω＝2．
再由五点法作图可得 2
＝ ，解得 ，
故答案为(1). 2 (2). ． 【点睛】 本题主要考查利用 y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象 求解析式，属于中档题．
14．已知函数 在 上存在零点，且满足 __________.（只需写出一个即可）
2．已知角α的终边经过点
，那么 的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义直接可求得 sina.
【详解】
∵知角 a 的终边经过点 P
，
∴sina
，
故选：B．
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3． sin210 （ ）
A． 3 2
B． 3 2
【答案】D
C． 1 2
17．已知函数 （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 的单调递减区间；
(3)求函数 在区间 上的最小值．
【答案】（1） ；（2）
；（3）
【解析】（1）化简
，由周期公式计算周期即可.
（2）由题意知
解得 x 的范围即得 单调递减区间.
（3）由（2）知 f（x）在区间
上单调递增，在
上单调递减，即可求 f（x）
故选：C．
【点睛】
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间
上为减函数的为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于 A，y 为反比例函数，为奇函数，不符合题意； 对于 B，y＝cosx 为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意； 对于 C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意；
）
(3)设函数
，
，若函数 存在 级“理想区间”，求 的值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 或
【解析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.
(2)由题意结合函数 的单调性得
，即方程
有两个不等实根.
设
，由零点存在定理知 有零点 ， ，所以方程组有解，即函数
，向量 与 的夹角为 , 那么
【答案】 【解析】【详解】
∵| |＝1，| |＝1，向量 与 的夹角为 ，∴
，
∴
，
故答案为 . 【点睛】 本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．
13．已知函数 __________, __________.
的图象如图所示，那么函数
【答案】2 【解析】根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式． 【详解】
2018-2019 学年北京市昌平区高一第一学期期末数学试题
一、单选题 1．已知集合
，
,那么 等于
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据并集的定义写出 A∪B 即可．
【详解】
集合 A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，3}，
则 A∪B＝{﹣1，0，2，3}．
故选：A．
【点睛】
本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．
在区间[0， ]上的最小值．
【详解】
（1）
所以函数 的最小正周期是
.
（2）由题意知
故
所以函数 单调递减区间为
.
（3）由（2）知 f（x）在区间
上单调递增，在
上单调递减，
故 f（x）在 时取得最小值为 . 【点睛】 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
18．已知函数
.
（1）求函数的 定义域；
②由 f（x）的图象关于原点对称，可得 f（0）=0，又当 x＞0 时，f（x）的对称轴为 x=a,
所以若 f（x）的值域是 R，
则当 x＞0 时，f（x）＝
必须满足：
，或
，
解得 a≥2 或 a≤-2， 即 a 的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：【答题空 1】 ；【答题空 2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）． 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．
小明阅读“经典名著”的阅读量 （单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足二次函数 关系，部分数据如下表所示；
t
0
10
20
30
0
2700
5200
7500
阅读“古诗词”的阅读量 系.
（单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足如图 1 所示的关
（1）请分别写出函数 和 的解析式； （2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时
（2）判断函数 的奇偶性，并用定义证明你的结论；
（3）若函数
，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】（1）由
，求得 x 的范围，可得函数的定义域；
（2）根据函数的定义域关于原点对称，且 f（﹣x）＝﹣f（x），可得 f（x）为奇函数；
（3）由 f（x） 0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集． 【详解】
对于 D，y＝|x|+1 合题意；
，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．
6．已知
那么 a，b，c 的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】容易看出 40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出 a，b，c 的大小关系． 【详解】
间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）设 f（t）=
代入（10，2700）与（30，7500），解得 a 与 b. 令
＝kt，
,代入（40，8000），解得 k,再令 ＝mt+b，
,代入（40，8000），
（60，11000），解得 m，b 的值．即可得到 和 的解析式；
∴想到 f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；
∴写出 f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．
故答案为：f（x）＝x2． 【点睛】 考查函数零点的定义及求法，属于基础题．
15．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
（1）当 时，
__________；
，其中 ．