第五十七讲离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
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所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
离散型随机变量及分布列
离散型随机变量的分布列应注意问题：
X
P
x1
P1
x2
P2
…
…
xi
Pi
…
…
1、分布列的构成： （1）列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率； 2、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
（2） pi p1 p2 pn 1
离散型随机变量及其分布列
一、随机变量的概念：
我们把随机试验的每一个可能的结果都对应于一 数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数 字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量 就叫做随机变量，常用X、Y、x、h 来表示。
注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是 可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义 “X=0，表示正面向上，X =1，表示反面向上”
（4）某品牌的电灯泡的寿命X； [0，+∞) （5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场 任意一棵树木的高度x． [0.5，30]
思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？
二、随机变量的分类：
1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一 列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 （如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等） 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 （如灯泡的寿命，树木的高度等等） 注意： （1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量； （2）变量离散与否与变量的选取有关； 比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量
按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量 与函数有类似的地方吗？
离散型随机变量及其分布列
教学设计一、教材分析概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者是相互渗透、相互联系的。
“离散型随机变量的分布列”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一。
引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律及所有随机事件发生的概率。
离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象，对随机变量的概率分布的研究，可以实现随机现象数学化的转化。
离散型随机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将实验的各个孤立事件联系起来，从整体上研究随机现象，也是为定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础。
二、学情分析在必修三的教材中，学生已经学习了有关统计概率的基本知识在本书的第一章也全面学习了排列组合的有关内容，有了知识上的准备。
并且通过古典概型的学习，基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率，有了方法上的准备。
但并未系统化。
处于这一阶段的学生，思维活跃，已初步具备自主探究的能力，在日常的学习中也培养了小组合作学习的好习惯，学生的动手能力运算能力也较好，但是个别同学基础上薄弱，处理抽象问题的能力还有待于提高。
三、教学目标从知识上，使学生能了解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；从能力上，通过教学渗透“数学化”的研究思想，发展学生的抽象、概括能力；从情感上，通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学的“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。
四、教学重难点学习重点：离散型随机变量的概念及其分布列的概念学习难点：离散型随机变量分布列的表示及性质五、教学策略分析学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。
本课以具体情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。
引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列一．考点知识总结 １．离散型随机变量随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母,,,X Y ξη，…表示． 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ２．离散型随机变量的分布列（１）定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值i x （i ＝１，２，３，…，n ）的概率()=i i P X x p =则表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列有时为了表达简单，也用等式()=i i P X x p =，i ＝１，２，３，…，n 表示X 的分布列（２）离散型随机变量的分布列的性质ａ．0i p ≥（i ＝１，２，３，…，n ） ｂ．=1ni i p ∑＝１３．两点分布若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中()==1p P X 称为成功概率 ４．超几何分布在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中恰有X 件次品，则事件{}=X k 发生的概率为()--=k n k M N MnNC C P X k C =，k ＝０，１，２，…，ｍ，其中ｍ＝{}min ,M n ，且,,,,n N M N M N n N *≤≤∈,称分布列为超几何分布列二．跟踪练习１．袋中有３个白球和５个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是Ａ．至少取到１个白球 Ｂ．至多取到１个白球 Ｃ．取到白球的个数 Ｄ．取到的球的个数 ２．下列４个表格中，可以作为离散型随机变量的是 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．已知随机变量X 的分布列为：()1==,2kP X k k ＝１，２，…则()2<4P X ≤＝ Ａ．316 Ｂ．14 Ｃ．116 Ｄ．516４．从４名男生和２名女生中任取３人参加演讲比赛，则所选３人中女生人数不超过１人的概率是５．从装有３个红球和２个白球的袋中随机取出２个球，设其中有X 个红球，则随机变量X的概率分布为６．在一个口袋中装有黑白两个球，从中随机取一球，记下他的颜色后放回，再取一球，有记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为 ７．某一随机变量X 的概率分布如下表，且ｍ＋２ｎ＝１．２，则ｍ－2n＝８．设随机变量X 的概率分布表如下：()()=F x P X x ≤，当x 的取值范围是[１,２)时，()F x ＝９．已知随机变量η的分布列为若X ＝２η－３，则()1<X 5P ≤＝１０．在甲乙等６个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采取抽签的方法随机确定各单位的演出顺序（序号１,２,３,４,５,６）求： （１）甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 （２）甲乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列参考答案１—３．ＣＣＡ ４．45５．X ＝０，P ＝０．１；X ＝１，P ＝０．６；X ＝２，P ＝０．３ ６．７． （０．２） ８．56 ９． （０．６） １０． （１）45（２）。
离散型随机变量及其分布列
某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可 某射击运动员在射击训练中， 能出现命中的环数情况有哪些？ 能出现命中的环数情况有哪些？ （0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
问题 2
某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品 某纺织公司的某次产品检验， 的100件产品中任意抽出4件，那么其中含有的次 品数可能是哪几种结果？ 品数可能是哪几种结果？ （0件、1件、2件、3件、4件）共5种结果
连 续 型
某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只， 某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只， 公司要求至少要买50只，但不得超过80 只．商场有优惠规定：一次购买这种小于或等 商场有优惠规定： 于50只不优惠，大于50只的，超出部分按原价的7折 只不优惠， 只的， 优惠，已知原来的水杯价格是每只6元．这个人一次 优惠， 购买水杯的只数 ξ 是一个随机变量，那么他所付的款 是一个随机变量， 额是否也是一个随机变量呢？这两个随机变量有什么 额是否也是一个随机变量呢？ 关系？ 关系？
中 a 、是常数） b 是常数）
写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表 写出下列各随机变量可能的取值， 示的随机试验的结果： 示的随机试验的结果： （1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张， 张已编号的卡片（ 被取出的卡片的号数 ξ ． （ ξ ＝1、2、3、···、10）
一、随机变量
1、பைடு நூலகம்义
随机试验的结果可以用一个变量来表示，则称此 随机试验的结果可以用一个变量来表示， η等表示﹒ 变量为随机变量，常用 ξ 、等表示﹒ 变量为随机变量，
2、随机变量的分类 ①离散型随机变量： ξ 的取值可一一列出 离散型随机变量： ②连续型随机变量： ξ 可以取某个区间内的一切值 连续型随机变量： 3、随机变量的运算 若 ξ 是随机变量，则 η = aξ + b 也是随机变量． （其 是随机变量， 也是随机变量．
离散型随机变量的分布列
P(Y＝60)＝CC11C21031＝435＝115.
(10 分)
因此随机变量 Y 的分布列为
Y
010 205060P12
1
2
1
(12分)
3
5
15
15 15
【题后反思】 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式 中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求 解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求 出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
张中奖或 2 张都中奖．故所求概率 P＝C14C16C＋210C24C06＝3405＝23. (6 分)
②X 的所有可能取值为 0，10，20，50，60，且
P(Y＝0)＝CC04C21062＝1455＝13，P(Y＝10)＝CC13C21061＝1485＝25，
P(Y＝20)＝CC23C21060＝435＝115，P(Y＝50)＝CC11C21061＝465＝125，
(2)超几何分布列
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中
恰有 k 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)＝
CkMCCnNnN－－kM，k＝0，1，2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M ___C__nN___
离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1， x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的 概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列离散型随机变量是概率论中的一种重要概念。
它是指取有限或无限个数值的随机变量，其可能取值的集合是离散的。
离散型随机变量可以用分布列来描述其取值和对应的概率。
离散型随机变量的分布列是一个表格，其中包含了随机变量的所有可能取值和对应的概率。
这个表格可以用来表示离散型随机变量的分布情况。
每个取值对应的概率是该取值发生的可能性大小。
为了更好地理解离散型随机变量及其分布列，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个掷硬币的实验，正面朝上记为1，反面朝上记为0。
这个实验的随机变量X可以取到的值只能是0或1，因此X是一个离散型随机变量。
通过多次实验，我们记录下了X的取值和对应的频率，得到如下的分布列：| X | 0 | 1 || :--: | :-: | :-: || P(X) | 0.4 | 0.6 |在这个例子中，分布列告诉我们当硬币扔出来后，有40%的可能性出现反面朝上，有60%的可能性出现正面朝上。
离散型随机变量的分布列具有以下性质：1. 所有可能取值的概率大于等于0：对于所有可能取值xi，P(X=xi)大于等于0。
2. 所有可能取值的概率之和为1：所有的概率值P(X=xi)的和等于1，即ΣP(X=xi) = 1。
离散型随机变量的分布列可以通过实验或者推理来确定。
在实验中，可以通过重复进行一定次数的实验，记录下随机变量的取值和对应的频率，从而近似估计出分布列。
在推理中，可以根据问题的给定条件和假设，利用概率论的理论和方法来推导出分布列。
离散型随机变量的分布列对于概率计算和统计分析非常重要。
通过分布列，可以计算出随机变量的期望、方差和其他重要统计量。
同时，分布列也可以用来描述随机变量的概率分布，从而进一步研究随机现象的规律和性质。
常见的离散型随机变量及其分布列有很多，例如二项分布、泊松分布、几何分布等。
这些分布在概率论、统计学和应用领域中都有广泛的应用。
对于每种离散型随机变量，都有其特定的分布列形式和计算方法。
离散型随机变量及其分布列
1.试验与随机试验 凡是对现象的观察或为此而进行的 实验，都称之为试验，一个试验如果满足 下述条件： (1)试验可以在相同的情形下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的 一个，但在一次试验之前却不能肯定这次 试验会出现哪一个结果． 它就被称为一个随机试验．
中 x，y＝1,2，„，6，而 ξ＝x×y，
x＝1， ξ＝4⇒ y＝4 x＝4， 或 y＝1 x＝2， 或 y＝2.
离散型随机变量的分布列
(1)分布列的定义 设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，„，xi，„，xn，X取 每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
解析 (1)X的可能取值为1,2,3，„，10，X＝k(k＝1,2，„， 10)表示取出编号为k号的球． (2)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，(4－k)个 白球，其中k＝0,1,2,3,4. (3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子 乙得j点，X的可能取值为2,3,4，„，12，则X＝2表示(1,1)；
当ξ＝3 时，即取出的三只球中最大号码为 3，则其他两球的 C3 1 3 编号只能是 1,2，故有 P(ξ＝3)＝ 3＝ ； C5 10 当ξ＝4 时，即取出的三只球中最大号码为 4，则其他两球只 C2 3 3 能在编号为 1,2,3 的 3 只球中取 2 只，故有 P(ξ＝4)＝ 3＝ ； C5 10
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化， 对水位值我们不能按一定次序一一列出．
规律
解答此类问题的关键是掌握离散型随机变量的关键
点是可以“一一罗列出”， 这就说明试验的结果是有限的，这 点是区别于非离散型随机变量的关键．
离散型随机变量及其分布列
故 X 的分布列为
X
2
3
P
1 4
3 4
X 的数学期望为 E(X)＝2×14＋3×34＝141.
X 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名 男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用 X表示其中的男生人数，求X的分布列．
解：依题意，随机变量 X 服从超几何分布， 所以 P(X＝k)＝Ck6CC41440－k(k＝0,1,2,3,4)． ∴P(X＝0)＝CC06C14044＝2110，P(X＝1)＝CC16C14034＝345，
P(X＝2)＝CC26C14024＝37，P(X＝3)＝CC36C14014＝281， P(X＝4)＝CC46C14004＝114，∴X 的分布列为
考题 (2011·湖南高考)某商店试销某种商品20天，获得如
下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3
频数
1595
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设 某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货．若 发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频 率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分 布列和数学期望．
【解】 (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为 0
件)＋P(当天商品销售量为 1 件)
＝210＋250＝130.
(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3. P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为 1 件”)＝250＝14； P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为 0 件”)＋P(“当天商 品销售量为 2 件”)＋P(“当天商品销售量为 3 件”)＝210＋ 290＋250＝34.
离散型随机变量及其分布列
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，
但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%.
如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于
4.73 万元，则三等品率最多是多少？
基础知识
题型分类
思维启迪
思想方法
解析
探究提高
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
离散型随机变量的分布列的求法及应用
【例 2】 随机抽取某厂的某种产品 200 件，
经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50
件、三等品 20 件、次品 4 件．已知生产 1
件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、
2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元．设
1 件产品的利润(单位：万元)为 ξ.
(1)求 ξ 的分布列；
(2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的均值)；
A
D
题型分类
思想方法
解析
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
离散型随机变量的分布列的性质
【例 1】 设随机变量 ξ 的分布列为 思维启迪 解析 答案 探究提高 Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则常
数 a 的值为________， Pξ≥35＝________.
基础知识
件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝
CkMCnN－－kM ____C__nN______(k＝0,1,2，…，m)，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，
M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列
值以及取这些值或取某一集 合内的值的概率，对于离散型 随机变量，它的分布列正是指 出了随机变量 X 的取值范围 以及取这些值的概率． (2)利用离散型随机变量的分
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列[考纲传真]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．【知识通关】1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①p i≥0，i＝1,2,3，…，n；②∑ni＝1p i＝1.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．()布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是() A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D．以上答案都不对C3．设随机变量X的分布列如下：A.16B.13C.14D.112C4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 105．在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________．P(X＝k)＝C k3·C4－k7C410，k＝0,1,2,3离散型随机变量的分布列的性质1．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________.232．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求a ； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ≤710.[解] (1)由分布列的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， 所以a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.[方法总结] (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.求离散型随机变量的分布列【例1】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为X 200 300 400 P 11031035[方法总结] 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列．[解] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P ＝1－C 45C 47＝1－535＝67. (2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，且P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是X 1234P 1354352747超几何分布【例2】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)[75，85]频数31111 3量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为ξ0123P 72421407401120[方法总结]求超几何分布的分布列的步骤某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．[解](1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝47.(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C34C37＝4 35，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝1 35，∴X的分布列为X 0123P 43518351235135。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列如果随机试验每一个可能结果e ，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用X ，Y…表示。
如果随机变量X 的所有取值都可以逐个列举出来，则称X 为离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为n x x x ，，，...21，其相应的概率为n p p p ，，，...21，记：)...2,1()(n i p x X P i i ，，===或把上式列成下表:上表或上式称为离散型随机变量X 的概率分布列(简称X 的分布列).离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)n i p i ，，，，...210=≥;(2)1...21=+++n p p p 【例题1】全班有40名学生，某次综合素质单项测评的成绩(满分5分)如下:现从该班中任选一名学生，用X 表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量X 的分布列.【例题2】设随机变量X 的分布列为4,321)1()(，，，=+==k k k c k X P ，其中c 为常数，求2521(＜＜X P 的值。
【练习】1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果:(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X;(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X;(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.2.用X表示某人进行10次射击击中目标的次数，分别说明下列随机事件的含义.(1){X=8};(2){1<X≤10};(3){X≥1};(4){X<1}3.离散型随机变量X的分布列如下表所示，求p的值4.将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码,(1)求X的分布列;(2)求X>4的概率.两点分布如果随机变量X 只取值0或1，且其概率分布是)1,0(1)0(,)1(∈-====p p X P p X P ，则称随机变量X 服从两点分布，记作：)1(~p B X ，两点分布又称0-1分布，是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布，例如，检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽，等等，当只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量米描述。
离散型随机变量及其分布列 课件
因此 X 的分布列为
X
0
1
P
3 5
2 5
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的 2 张奖券中有 1 张中奖或 2 张都中奖．故所求概率 P＝C14C16C＋210C24C06＝3405＝23.
②Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60，且 P(Y＝0)＝CC40C12062＝1455＝13， P(Y＝10)＝CC31C12061＝1485＝25， P(Y＝20)＝CC32C12060＝435＝115， P(Y＝50)＝CC11C12061＝465＝125，
P(Y＝60)＝CC11C21013＝435＝115. 因此随机变量 Y 的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1
2
15 15
1 15
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量
[例 1] 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量 所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在含有 10 件次品的 100 件产品中，任意抽取 4 件，可 能含有的次品的件数 X 是随机变量；
(2)一袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其 中所含白球的个数 X 是一个随机变量．
离散型随机变量分布列的性质
[例 2] 设随机变量 X 的分布列为 PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值；
(2)求 PX≥35；
(3)求
1
7
P10<X<10.
[解] (1)由 PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，可知k＝51PX＝k5＝k＝51ak
＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得 a＝115.
离散型随机变量及其分布列 教学课件
－1
1 4
0
1 3
1
1 12
2
1 6
3
1 12
P
1 分别求出随机变量⑴ 1 ; (2)2 2 的分布列． 2 1 3 解： (1)由 1 ，可得 的值为－1，－ 1 ， 0， ， 1， 1 1 2 2 2 2 且相应取值的概率没有变化 1的分布列为
1
－1
1 12
例7：将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ;(2)两次掷出的最小点数η; (3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差X.
课堂小结
求离散型随机变量的分布列的步骤：
1、找出随机变量ξ 的所有可能的取值 xi (i 1, 2, ); 2、求出各取值的概率 P( xi ) pi ;
解： 的取值有2、3、4、5、6、7、8、 9、10、11、12
ξ 2
3
2 36
4
3 36
5
4 36
ห้องสมุดไป่ตู้
6
7
8
5 36
9
4 36
10
11
12
1 36
p
1 36
5 6 36 36
3 2 36 36
例１.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在 袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最 小号码,试写出ξ的分布列.
离散型随机变量的分布列
1、设随机变量 的所有可能的取值为 x1 , x2 , x3 , , xi , , xn 的每一个取值 x i (i 1, 2, , n) 的概率为 P( xi ) pi，则称表格
x1
p1
x2
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第五十七讲离散型随机变量及其分布列
一､选择题:
3.(2011∙滨州模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数,则P(ξ=0)的值为( C )
111
.1...
235
A B C D
4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方
便的村庄数,下列概率中等于
46
78
10
15
C C
C
的是(C )
A.P(X=2)
B.P(X≤2)
C.P(X=4)
D.P(X≤4)
5.抛掷两颗骰子,记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数之差为ξ,则“ξ>4”表示的试验结果是( D )
A.第一颗6点,第二颗2点
B.第一颗5点,第二颗1点
C.第一颗1点,第二颗6点
D.第一颗6点,第二颗1点
6.已知X的分布列为:
设η=2X+3,则η的均值是( A )
A.7
3
B.4
C.-1
D.1
6.(2010·山东)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( C )
A.0.477
B.0.628
C.0.954
D.0.977
二､填空题:
8.已知离散型随机变量X的分布如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a=________,b=________.
51 124
8.(2011∙威海模拟)在15人的数学兴趣小组中,有5名三好学生,现从中任意选8人参加“希望杯”数学竞赛,一定有三好学生参加的概率为___:0.993_____.
10.甲､乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分);若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是____:-1,0,1,2,3______.
三､解答题: 11.数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称有一个巧合,求巧合数X的分布列.
所以X的分布列为
12.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如表所示:
(1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率;
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.
解:(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250=1225.
选出2人使用版本相同的方法数为C220+C215+C25+C210=350.
故2人使用版本相同的概率为:
3502
.
12257 P==
∴ξ的分布列为:
13.已知袋子里有红球3个,蓝球2个,黄球1个,其大小和质量都相同,从中任取一球确定颜色后再放回,取到红球后就结束选取,最多可以取三次.
(1)求在三次选取中恰有两次取到蓝球的概率; (2)求取球次数的分布列.
解:(1)从6个球中有放回地取3个球,共有63
种取法.其中三次中恰有两次取到蓝球的取法为(C 13C 12C 12+3C 12C 1
2)种.故三次选取恰有两次取到蓝球的概率为:
11111322223
31.69
C C C C C P +== (2)设取球次数为ξ,则ξ的分布列为:
12.投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两
位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3,各专家独立评审.
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;
(2)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X 的分布列及期望. 解:(1)记A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用. 则D=A+B·C,
P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=2×0.5×0.5=0.5, P(C)=0.3,
P(D)=P(A+B·C)=P(A)+P(B·C)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40. (2)X~B(4,0.4),其分布列为: P(X=0)=(1-0.4)4
=0.1296,
P(X=1)=C14×0.4×(1-0.4)3=0.3456, P(X=2)=C24×0.42×(1-0.4)2=0.3456, P(X=3)=C34×0.43×(1-0.4)=0.1536, P(X=4)=0.44=0.0256.
则其分布列为
期望E(X)=4×0.4=1.6。