速度合成定理的一种证明方法
牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
8-2 速度合成定理
ve──t瞬时动点的牵连速度 动为任何运动的情况。
2
速度合成定理的应用
曲柄滑杆机构
•应用速度合成定理时，动点和动系的选择原则 (1)动点相对动系必须有相对运动； (2)动点的相对运动轨迹要简单清晰。 •解题方法 (1)几何法 (2)解析法
3
例1：凸轮顶杆机构
相对轨迹
绝对轨迹
v
vr
φ
va
ve
φ
牵连轨迹
uuuuur uuuuur uuuuuur
MM
uuuuur
'
MMuu1uuur
M1M
'
uuuuuur
lim MM ' lim MM1 lim M1M '
t0 t
t0 t
t0 t
uuuuuur
uuuuuur
lim M1M ' lim MM 2
t0 t
t0 t
由速度定义可知
uuuuur
uuuuur
uuuuuur
lim
t 0
MM t
'
va
lim
t 0
MM1 t
ve
lim MM 2 t0 t
vr
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Ⅰ(t)
vr
va
ve
o o
ⅡΔ o
va ve vr
称为速度合成定理 速度合成定理的几何意义：
速度平行四边形
va──t瞬时动点的绝对速度
速度合成定理适用于绝
vr──t瞬时动点的相对速度 对运动、相对运动和牵连运
Q O1A l2 r2 2r sin 1/ 2 ve r / 2
Q ve 1g2r
点的速度合成定理
MM 1 lim t = ve t →0
M 1M ′ MM 2 = lim lim t t →0 t = vr t →0
9.2
点 的 速 度 合
于是可得： 于是可得：
M2
B
va ve
M′
B′
va = ve + vr
vr
M
M1
A
A′
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该 瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就 是点的速度合成定理。 点的速度合成定理。
例2
9.2
点 的 速 度 合
x′ ω ve = 180 × 0.083 = 15m / s = 54km / s R
vA 45 × 103 ω= = = 0.083rad / s y′ R 3600 ×150 O
vA
vB A vr 2 B
ve
vr 2 = v + v = 80.72km / h
2 B 2 e
例2
9.2
点 的 速 度 合
如图车A沿半径为150m vA 的圆弧道路以匀速vA = 45km h 行驶， vB O 车B沿直线道路以匀速 vB = 60km h B A R 行驶 ，两车相距30m，求：（1） A车相对B车的速度；（2）B车相 对A车的速度。 解：（1）以车A为动点，静系取在地面上， 动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
下面研究点的绝对速度、 下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速 9.2 度的关系。 点 度的关系。 B M ′ B′ M2 如图，由图中矢量关系可得： 如图，由图中矢量关系可得： 的
速 度 合
第七章 第二节 点的速度合成定理
ve
(3) 作速度平行四边形。 (注意:va为平行四边形的对角线) (4) 利用几何关系解出未知量。
Hale Waihona Puke va vrD Aw
O l
ve va cos 45 2u / 2
j
B u
ve 2u / 2 u w OA 2l 2l bu D点速度 v D bw 2l
2 2 vr ve va 2ve va cosq
3 3R
例(P152例7-4)已知定滑轮半径为R，以等角速度w绕轴O顺时针 方向转动，重物M铅垂下落。试求图示瞬时M相对于滑轮的相 对速度。 解(1)动点：M， w 动系：滑轮。 O (2)分析三种运动和三种速度。 q (3)作速度平行四边形。 (4)利用几何关系解出未知量。
例7-5 (P153例7-5 ) 杆BCD以匀速v1向右运动，杆OA以匀角速度w 绕O转动，当q=45º 时，OM为l。试求该瞬时销钉M的绝对速度。 x 解(1)动点：M， D (2)先取BCD为动系 A ve2 (3)运动、速度分析 有 va = ve1 + vr1 (4)再取OA为动系 ve1 M (5)运动、速度分析 有 va = ve2 + vr2 动点M速度唯一，得
vr1
ve1 + vr1 = ve2 + vr2
vr2
w
向x 轴投影 ve1 sinq vr 1 cosq ve 2 B ve1sinq - ve 2 vr 1 v1 2lw cosq 2 2 2 va ve1 vr 1 2 v1 - 2 2 v1l w + 2 l 2w 2
tan j v r 1 v 1 2 lw 1 ve1 v1 2 lw v1
速度合成定理
讨论：动点、动系的选择
B
v0
O
A
15
动点与动系选取原则
动点相对动系有运动， 动点与动系应选在不同的刚体上。 动点相对于动系的相对轨迹应易于确定。
16
1 2
一个单独点在另一个运动的物体上做相对运动 两个物体在运动中始终有一个接触点（关联点）
1）其中接触点在一个物体上位置始终不变 动点：位置不变的接触点 动系：固连于另一个物体
1、绝对轨迹、绝对速度
绝对轨迹—动点在固定参考系内所描绘的轨迹； 绝对速度—动点相对于固定参考系运动的速度，va ；
2、相对轨迹、相对速度
相对轨迹 —动点相对于动参考系运动的轨迹； 相对速度—动点相对于动参考系运动的速度，vr ；
1
3、牵连轨迹、牵连速度
牵连运动 -- 动参考系相对于固定参考系的运动
ve OA ωO 2eωO
v a ve v r
ve
va
vr
ve 4 vr eωO cos 3
31
例5 图示平面机构中，杆OA以匀角速度绕O轴转动,通过 滑块A在圆盘B上的滑槽CD内的运动来带动圆盘绕O1轴转 AO O 90 动。在图示位置时， ，OO1=O1A=L。 1 试求该瞬时： 1）圆盘B的角速度； 2）滑块A相对于圆盘B的 相对速度。
ω
α
B
22
Va
Ve
A
解：1）动点——块上的A点； 动系——摇杆； 2）绝对运动——直线 相对运动——直线 牵连运动——定轴转动
α
Vr
ω
23
ve va
α ω vr
A
24
例1 已知
h, , v , a
理论力学加速度合成定理
一般式
一般情况下(we 与vr不垂直时科) 氏加速度 a的c 计算可以用矢积
表示
大小: ac 2wevrsin
方向：按右手法则确定。
[例3] 已知：凸轮机构以匀 w 绕O轴转动， 图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 绝对运动: 直线;
va
vr
ve
绝对速度: va=? 待求, 方向//AB; 相对运动: 曲线;
相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动;
牵连速度: ve= w r ， 方向OA， 。
根据速度合成定理
vAB va ve tan w r tan
vr ve / cos w r / cos
绝对加速度 : aa ? , 方向 // AB 相对加速度 : arn vr2/ w2r2 / cos2θ ,
解：首先计算1点的加速度。
动点：圆盘上的1点 动系： 与框架固结
牵连运动：以匀角速度w2作定轴转动
牵连加速度：aeτ 0
ar ae aa
vr
ae aen w22R 450 mm s2
相对运动：以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动
相对加速度：a rτ 0 ar arn w12R 1250mm s2
绝对速度 va = ? , 方向AB ； 绝对加速度 aa=?, 方向AB，待求。
相对速度 vr = ? , 方向CA; 相对加速度 art =? 方向CA
牵连速度 ve=v0 , 方向 →;
a
n r
vr2
/
R
方向沿CA指向C
由速度合成定理 va ve vr , 牵连加速度 ae=a0 , 方向→
速度合成三角形法则
速度合成三角形法则速度合成三角形法则是物理学中的一个重要概念，它描述了两个速度合成后的结果。
在运动学中，速度合成是指两个速度矢量的合成，得到一个新的速度矢量。
速度合成三角形法则是一种图形法，可以用来计算速度合成的结果。
本文将从定义、图形法和实例三个方面来介绍速度合成三角形法则。
一、定义速度合成是指两个速度矢量的合成，得到一个新的速度矢量。
速度矢量是一个有方向的量，它的大小表示物体在单位时间内所走的路程。
速度合成三角形法则是一种图形法，可以用来计算速度合成的结果。
速度合成三角形法则的基本思想是将两个速度矢量按照一定比例分解成两个相互垂直的矢量，然后将它们按照三角形法则相加，得到一个新的速度矢量。
二、图形法速度合成三角形法则的图形法是将两个速度矢量按照一定比例分解成两个相互垂直的矢量，然后将它们按照三角形法则相加，得到一个新的速度矢量。
具体步骤如下：1. 将两个速度矢量按照一定比例分解成两个相互垂直的矢量。
2. 将这两个矢量按照三角形法则相加，得到一个新的速度矢量。
3. 计算新的速度矢量的大小和方向。
三、实例速度合成三角形法则在实际生活中有很多应用。
例如，当一架飞机在空中飞行时，它的速度可以分解成两个分量：水平速度和垂直速度。
水平速度是指飞机在水平方向上的速度，垂直速度是指飞机在垂直方向上的速度。
当飞机在飞行时，它的速度可以用速度合成三角形法则来计算。
具体步骤如下：1. 将飞机的速度分解成水平速度和垂直速度。
2. 将水平速度和垂直速度按照三角形法则相加，得到飞机的速度。
3. 计算飞机的速度大小和方向。
总之，速度合成三角形法则是物理学中的一个重要概念，它可以用来计算两个速度矢量合成后的结果。
在实际生活中，速度合成三角形法则有很多应用，例如飞机的飞行。
通过学习速度合成三角形法则，我们可以更好地理解物理学中的运动学概念，提高我们的物理学水平。
加速度合成定理公式
加速度合成定理公式加速度合成定理公式是物理学中一个重要的概念，在我们理解物体运动的变化方面发挥着关键作用。
咱先来说说啥是加速度合成定理公式。
简单来讲，就是当一个物体同时参与几个不同方向的运动时，它总的加速度等于各个分加速度的矢量和。
这就好比你在操场跑步，同时有风在吹，你实际感受到的加速的感觉，就是你自己跑步的加速度加上风的影响产生的加速度。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别有意思。
当时我在黑板上写下公式，开始讲解，大家都听得挺认真，可就这个小家伙一脸懵。
我问他是不是没听懂，他挠挠头说：“老师，这感觉好复杂，我脑子都乱了。
”我就笑了，跟他说：“别着急，咱们来举个例子。
”我就拿他喜欢的足球来说事儿。
假设一个足球在操场上，被一个小朋友用力往前踢，这时候足球有一个向前的加速度。
可同时呢，操场上还有侧风在吹，这风又给足球一个侧向的加速度。
那足球实际运动时的加速度，就是这两个加速度合成之后的结果。
我一边说，一边在纸上画图给他看。
这小家伙眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像懂啦！”在实际生活中，加速度合成定理公式的应用可不少。
比如开车的时候，车辆本身在加速前进，要是突然来个急转弯，这时候车辆的加速度就不是单纯的直线加速了，而是直线加速和转弯产生的向心加速度的合成。
再比如说飞机飞行，飞机既要向前飞，又可能因为气流的影响有上下左右的晃动，那飞机实际的加速度就是各种方向加速度的总和。
对于我们研究物体的运动，加速度合成定理公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解复杂运动的大门。
通过这个公式，我们能更准确地预测物体的运动轨迹，也能更好地控制和设计各种运动系统。
总之，加速度合成定理公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多结合实际例子去理解，多去思考生活中的各种运动现象，就能发现它其实就在我们身边，而且特别有用。
希望大家都能把这个公式掌握好，让它成为我们探索物理世界的有力工具！。
速度合成定理-精选文档
O
θ
ve va A vr C
动点－曲柄上的A点； 动系－固连于杆BC上。 定系－固连于机座。 2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心 、l为半径的等 速圆 周运动。 相对运动－沿BC方向的直线运动。 牵连运动－铅垂方向的平移。
2 3 v ( ) A B e 3
A O B 10 cm 例 铰接四边形机构中， O 1 2 ， 6： O O 2 rad /s O 1 O1 A 1 2 AB
，杆 以匀角速度 绕 轴转动。 AB杆上有一滑套C，滑套C与CD 杆铰接，机构各部件在 时， 60 CD杆的速度和加速度。 同一铅直面内。求当
[例1] 桥式吊车 已知：
小车水平运行，速度为v1， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v2。求物块A的 运行速度。 解：⒈ 选取动点、动系、静系：
动点: 物块A，动系: 固连小车， 静系: 固连地面。
⒉ 三种运动分析：
⑴ 绝对运动： 动点A
静系
绝对轨迹： 未知曲线
⑵ 相对运动: 动点A 动系（小车） 相对轨迹：铅直直线 ⑶ 牵连运动:
凸轮上。求：杆OA的角速度。
杆 OA v , 30 ; 靠在
分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，一个 物体上的某点不和另一个物体始终接触，因此两物体的接触点
都不宜选为动点，这种情况下，需选择满足动点与动系的选取
原则的非接触点为动点。
解： ⒈ 选取动点、动系、 静系：
动点：凸轮上的Ｃ点, 动系：固连摆杆OA， 静系：固连地面。 ⒉ 三种运动分析： ⑴ 绝对运动： 动点C ⑵ 相对运动: 动点C
ve = vBC = 1.6 m/s vr = 2.2 m/s
[例5] 圆盘凸轮机构
教学要求掌握应用点的速度合成定理分析求解有关速度的方法
各速度方向如图（c）所示。 以及瞬心的定义来确定。
平面图形在自身平面内运动时，在每一瞬时平面图形上速度为零的点，称为平面图形在该瞬时的速度中心，简称瞬心。 二、根据已知速度的情况，再确定应用哪种方法求解。
O1A= r，B=O2B=3r，曲柄O1A以角速度ω1绕O1轴转动。
平面图形在自身平面内运动时，在每一瞬时平面图形上速度为零的点，称为平面图形在该瞬时的速度中心，简称瞬心。
变的，所以这两点的速度在两点连线方向的分量必须 相等；否则，这两点的距离不是伸长，就是缩短，这 是不可能的。所以，速度投影法在本质上是任意两点 的距离不变性质的一种反映，在原理上是基点法的一 个投影式。
例2：如图所示：一发动机曲柄连杆机构。曲柄OA长
为r =200mm，以角速度ω=2rad/s绕O点转动，连杆AB
④如果已知平面图形上任意两点的速度方向平行、 且大小相等，则该瞬时平面图形的瞬心在无穷远处， 称为瞬时平动。如图8-14所示。
例3：如图所示：一车轮沿直线轨道作纯滚动（即无
滑动地滚动）。已知轮心A的速度vA及车轮的半径R， 求轮缘上B、C、D各点的速度。
用瞬心法求解: ①运动分析、确定瞬心的位置。
车轮作平面运动，轮心A的速度vA已知，故选点A为 基点进行计算；由于车轮的瞬时角速度ω未知，可
利用车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮与地面接触
点 P的速度为零的条件来确定，即:
vP =vA+vPA=0 vPA= -vA 可见，vPA的方向与vA相反。 大小为:
vPA=PAω= Rω=vA 亦即:ω=vA/R
曲柄OA=25cm，以角速度ω=8rad/s转动。
即 vA=APω=Rω ω= vA/R
所以，速度投影法在本质上是任意两点的距离不变性质的一种反映，在原理上是基点法的一个投影式。
7.1、速度合成定理
本章将用矢量合成法研究刚体 之间的相对运动
1
7.1 速度合成定理 1 绝对运动/相对运动/牵连运动
运动与参照物之间的关系:
1) 没有参照物就没有运动
2) 同一物体的运动:不同的参照物对应着 不同的运动;
2
绝对运动:物体相对于地球(或静止在地球表 面上的另一物体)的运动 ,称为它的绝对运动 固定坐标系:固定在地球上或固定在相对于地 球静止的物体上的坐标系称为固定坐标系,简 称定系 物体在定系中的位移、速度和加速度分别称 为它的绝对位移、绝对速度和绝对加速度
甲物体在(乙参照物)动系中的位移/速度和加速度 分别称为甲的相对位移/相对速度和相对加速度 Relative,相对的
vr
:绝对速度
a r :绝对加速度
4
参照物乙相对于地球的运动,也就是动系相对于定 系的运动(亦即动系在定系中的运动),称为甲物体 的牵连运动 在研究甲物体相对于乙物体的运动时,只选取甲物 体上的某一个点为研究对象,称这个点为动点,只 研究动点在乙物体动系中的运动(轨迹线/速度/加 速度);于是甲物体相对于乙物体的运动问题就简 化为动点在乙物体动系vr
10
2 30 CA 10rad / s
o
解 动点:CA杆A端点,动系:摇杆OA
va ve vr
(图示)
ve va cos45 rCACA cos45
OB
ve rCA CA cos 45 rOA rOA
9
2 30 CA 10rad / s
o
(确定两系/两点/三运动)
动点:CA杆A端点 定系:地球 动系:摇杆OA 牵连点(图示时刻,t时刻) :OA杆上a点 t时刻动点及其牵连点在t+⊿t时刻的新位置(图b)
速度合成定理
ve2
ω
ve1
M2
M1
6
( v r)
动 点
( v a)
动 系
牵连运动 (刚体运点)
7
速度合成定理
va ve vr
8
用速度合成定理解题的步骤 （一点二系三运动） 1）选取动点，动系和静系：（注意动点必须 与动系有相对运动，相对轨迹易区分） 2）分析三种运动，判断其运动轨迹； 3）分析三种速度，作出速度矢量图； 4）根据速度合成定理用三角关系式或矢量投 影关系求解
ve OA ωO 2eωO
v a ve v r
ve
va
vr
ve 4 vr eωO cos 3
31
例5 图示平面机构中，杆OA以匀角速度绕O轴转动,通过 滑块A在圆盘B上的滑槽CD内的运动来带动圆盘绕O1轴转 AO O 90 动。在图示位置时， ，OO1=O1A=L。 1 试求该瞬时： 1）圆盘B的角速度； 2）滑块A相对于圆盘B的 相对速度。
3
在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点以直接的 影响。 某瞬时，与动点相重合的动参考系上的点为动点在此 瞬时的牵连点。
4
牵连轨迹—牵连点对于固定参考系的轨迹 牵连速度—牵连点对于固定参考系的速度，ve
5
随着动点 M 的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的牵连速度 为
va ve vr
大小： ？ 方向：
1 va ve tan eO 3
14
ve OA ωO 2eωO
？
ve
va
vr
选择AB杆的A点为动点，动坐标系与凸轮固结。因此， 三种运动、特别是相对运动轨迹十分明显、简单且为已 知的凸轮轮廓曲线，使问题得以顺利解决。
点的速度合成定理
va v r y
ve ＊
x
x
va
ve
tan30 2 3e
3
vr
2va
4 3e
3
vABva
2 3e
3
■ 点的速度合成定理 ★ 应用举例
1、选择动点、动系、定系
要选择合适的动点、动系。
解 2、运动分析
题
绝对运动与相对运动都是指点的运动，它可能作
步
直线运动或曲线运动。 牵连运动则是指参考体的运动即刚体的运动，它
O x
牵连点：M′（脚牵印连）点（：甲？板上）
va vr ve 三者关系？
★ 速度合成定理
z y
z o
x
刚性金属丝
y
O
小环
x
动点：小环（沿金属丝滑动）
定系（ oxy）z ：固定于地面
动系（ oxyz ）：固连于刚性金属丝
★ 速度合成定理
☆
z
zz
动 系 的
o z y x o x y o
oy
x
运
骤 可能作平动、转动或其它较复杂的运动。
3 、速度分析及其求解
牵连速度：某瞬时动系上与动点相重合的那一点
（称为牵连点）相对于定系的速度；
由 va vrve 作平行四边形，其对角线为v a ；
va vr ve 满足“6-4=2”方可求两个未知量。
■ 点的速度合成定理 ★ 讨论与思考
例 1中
动点：滑块A 动系：固连于O1B杆 绝对运动：绕O点的圆周运动 相对运动：沿滑杆的直线运动
牵连运动：绕O1轴的定轴转动
y
B
x
●A
O1
动点： O1B杆上的A点 动系：固连于OA杆
速度合成定理
速度合成定理
速度合成定理是指在两个速度合并时，可以将它们看作是一个向量的两个分量。
假设有一个物体在一个平面上运动，它在X轴上的速度为Vx，Y轴上的速度为Vy。
则可以将它的速度向量表示为(Vx, Vy)。
根据速度合成定理，我们可以将这个速度向量拆分为两个分量，分别沿X轴和Y轴方向。
这两个分量的大小就是物体在每个
方向上的速度。
根据勾股定理，可以用速度向量的两个分量计算出物体的合速度。
合速度的大小等于两个分量的平方和的平方根。
合速度的方向则可以使用正切函数计算出来。
速度合成定理在物理学和工程学中经常被使用，可以方便地求解复杂的速度问题，特别是涉及到多个方向的运动。
速度合成定理
§1.1速度合成定理力学的任务是研究宏观物体的机械运动。
所谓机械运动，就是物体位置的变化。
因此，确定物体的位置自然是力学的第一个课题。
一、 质点的运动方程质点是力学中的一个理想模型，当我们所研究的对象其体积和形状都可以被忽略的时候，物体就可以被看成质点。
任何质点的位置都是相对于其他物体而言的。
所以，要确定质点A 的位置，必须事先选定另一个物体B 作为描述的依据或参考。
此时，物体B 称为参考体。
为了定量地确定物体的位置，描述物体的运动，必须选定一个固定在参考体上的坐标系和计算时间的钟。
只有指出了事件的空间坐标和时刻，才能着手去研究运动的特征。
对于同一个运动而言，选取不同的坐标系将观测到不同的结果。
因此，为了处理问题的简便，我们应该针对具体问题的特点，用心选取最适当的坐标系。
一个质点P 的位置，可以用引自参考体B 上某点O 的矢量r r来确定，如图1-1所示。
矢量r r称为质点P 对于O 点的位矢。
实践表明，对于质点的机械运动来讲，rr是时间t 的单值、连续函数。
即 图1-1)(t r r rr = （1.1-1）利用这个函数关系出质点在任一时刻的位置，从而，我们就能给确定质点的运动特征。
所以，（1.1-1）称为质点的运动方程。
如果我们选定了坐标系，矢量方程（1.1-1）就能投影成为等 （1.1-2）(1.1-3) ===)()()(t t t r r ϕϕθθ (1.1- 4) 价的分量方程组。
在图1-2所示的直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下，质点分量形式的运动方程为b⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t t θθρρ⎪⎩⎪⎨⎧质点运动时, 其位矢r r的连续变化将描绘出一条矢端曲线。
由此可知，方程组（1.1-2）这条曲线称为质的运动轨迹。
--(1.1-4)都是轨道曲线的参数方程。
如果消去方程组中的参数t ，就得到了直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中质点的轨道方程。
第2节 速度合成定理
t 0
va
=
ve
+
vr
第九章
质点和刚体运动学
点的速度 合成定理
va ve vr
速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于 它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 这就是点的速度合成定理。也称为速度平行四 边形定理。
第九章
质点和刚体运动学
例9-1 凸轮机构中的凸轮外形为半圆形，挺杆MB 沿垂直槽滑动，设凸轮以匀速 v 沿水平向右平动，当 在图示的位置 = 30º 时，求挺杆 M 点的速度。
第九章 注意
质点和刚体运动学
当牵连运动是转动时，由于在同一瞬时动系上各 点的速度都不相同，因此必须根据该瞬时牵连点 的位置来确定牵连速度。
当牵连运动为平动时，由于在同一瞬时动系上所 有点的速度都相同，所以动点的牵连速度等于该 瞬时动系平动的速度。
＜＜
第九章
质点和刚体运动学
二、速度合成定理 主要目的：建立动点的绝对速度、相对速度和牵 连速度之间的关系。 题设条件：一 动点沿平面 P 上一曲线槽AB 运动，平面 P 又相对于静系 Oxy 运动如图 所示，动系固 连于平面 P 上 并随平面 P 一 起运动。
第九章 注意
质点和刚体运动学
牵连点的含义
牵连点：是指动系上在 t 瞬时与动点相重合的点。 定义包含了以下三层意思：
1）牵连点在动系上，是动系上的点，即刚体上的 一点；
2）牵连点与动点重合； 3）不同瞬时牵连点的位置不同。
第九章
质点和刚体运动学
动点：小环 M 动系：作定轴转动的AB杆 静系：机架（或地面） 结论 在 t1 瞬时，牵连点在 AB 杆上的 E1 点； 在 t2 瞬时，牵连点在 AB 杆上的 E2 点；
6.1、速度合成定理证明(4-2)
讲述完毕 ！
解
lim MM1 lim MM2 lim mm1 lim M3 A
t0 t t0 t t0 t t0 t
va
ve
vr
0
va
ve
vr
7-7
6.1、速度合成定理证明
7-1
速度合成定理证明（4-2）
解 两点两系三运动
动点：小套环 牵连点：m点 定系:Oxy 动系:Cx' y '
定系中: M点 t时刻:
动系中: m点
定系中:M1点 t+⊿t时刻:
动系中:m1点
7-2
速度合成定理证明（4-2）
解 两点两系三运动
⊿t 时间 段内
绝对位移:MM1 牵连位移:MM2 相对位移:mm1=MM3
va
ve
vr
0
7-5
速度合成定理证明（4-2）
解
lim M3 A lim 2 MM3 sin( / 2)
t0 t
t 0
t
lim
t 0
MM
3
lim
t0 t
lБайду номын сангаасm
t 0
MM 3
Cx ' y '
=0
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7-6
速度合成定理证明（4-2）
7-3
速度合成定理证明（4-2）
解
MM1 MM 2 M 2M1 mm1 MM 3
M 2M1 MA MM 3 M 3 A
MM1 MM2 mm1 M3 A
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7-4
速度合成定理证明（4-2）
点的速度合成定理_工程力学_[共3页]
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点的合成运动 186 第13章 考系必须有相对运动。
13.2 点的速度合成定理动点相对于不同参考系的运动是不同的，因此，对不同的参考系，动点的速度也不同。
（1）绝对速度：动点相对于静参考系的速度，用v a 表示。
（2）相对速度：动点相对于动参考系的速度，用v r 表示。
（3）牵连速度：牵连点相对于静参考系的速度，用v e 表示。
下面讨论动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。
在图13-1中设动点M 的相对轨迹为曲线AB ，动系固定于AB 上，在瞬时t ，动点位于曲线AB 上点M ，经过时间间隔∆t 后，动系AB 运动到新位置A ′B ′，同时点沿弧MM ′运动到M ′，弧MM ′为动点的绝对轨迹。
在动参考系上观察动点M 的运动，则它沿曲线AB 运动到M 2。
弧是动点的MM 2的相对轨迹。
在瞬时t ，曲线AB 上与动点重合的那一点经过时间Δt 沿弧线MM 1运动到点M 1。
矢量'MM 、2MM 和1MM 分别为动点的绝对位移、相对位移和牵连位移（t 瞬时动点M的牵连点在时间内的位移）。
得到结论： a r e v v v =+由此得点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成的平行四边形的对角线来确定，这个平行四边形称为速度平行四边形。
应指出，以上推导过程未对牵连运动加任何限制，故速度合成定理适用于任何情况。
例 已知凸轮D 半径为r ，以等速度u 向右运动，带动杆AB 向上运动。
求ϕ =30°时杆AB 的速度及相对于凸轮的速度。
解：杆AB 及凸轮D 均做平动，取杆AB 上的A 点为动点，动系固定在凸轮上，速度分析如图13-2所示。
e v u =由速度平行四边形可求得cos cos30sin e r a r v u v v v ϕϕ===== 因此，ϕ =30°时杆AB的速度为，相对于凸轮的速度为。
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Ａ ｎＡ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈｔ ｏＰ ｒ ｏ ｖ ｅｔ ｈ ｅＴ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｏ ｆ Ｖ ｅ ｌ ｏ ｃ ｉ ｔ ｙＣ ｏ ｍｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｅ
Ｓ ＵＺ ｈ ｅ ｎ ｃ ｈ ａ ｏ ，Ｘ Ｕ ＥＹ ａ ｎ ｘ ｉ ａ
（ Ｘ ｉ ａ ｍ ｅ ｎＵ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙＴ ａ ｎＫ ａ ｈＫ ｅ ｅＣ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ，Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ３ ６ ３ １ ０ ５ ）
第３ ０卷第 ４ ５期 ２ ０ １ ７年 １ ０月
常州工学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕＩ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
３ ０ ㊀Ｎ ｏ ． ４ ５ Ｖ ｏ ｌ ． Ｏ ｃ ｔ ． ２ ０ １ ７
Байду номын сангаас
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ １ ０ ４ ３ ６ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ４ ． ０ ０ ９
速度合成定理的一种证明方法
苏振超， 薛艳霞
（ 厦门大学嘉庚学院， 福建 漳州 ３ ６ ３ １ ０ ５ ）
摘要： 指出理论力学中速度合成定理的重要性以及一些教材在证明这一定理时出现的概念问 题， 列举了近年来学者们对这一问题的讨论。然后将泊松公式进行推广， 通过引入刚体（ 动系） 瞬 时角速度矢的概念， 得到固结于做任意运动刚体上的矢量对时间一阶导数的表达式， 并基于该表达 式和刚体的角速度矢以及三种速度的概念给出了速度合成定理的解析证明过程。该过程逻辑严 密、 思路清晰， 既提高了学生的逻辑思维能力， 也为加速度合成定理的推导奠定了坚实的基础。 关键词： 速度合成定理； 解析方法； 合成运动； 理论力学 中图分类号： Ｏ ３ １ １ ㊀㊀ 文献标志码： Ａ ㊀㊀ 文章编号： １ ６ ７ １ ０ ４ ３ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ ０ ０ ３ ８ ０ ４