三次函数性质总结_T
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。
三次函数图像与性质
2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。
2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数的特性总结
三次函数的特性总结三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。
在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。
1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。
为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。
对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。
通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。
2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。
对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。
如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。
3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。
函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。
如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。
其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。
如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为0的点处。
4. 最值点对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。
为了找到函数的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。
通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。
5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。
当a>0时，函数的图像开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部为最大值点。
同时，函数可能经过x轴的一次或两次。
通过观察函数的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。
总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。
通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。
三次函数变化规律
三次函数的变化规律主要取决于函数的系数和自变量的值。
以下是一些可能影响三次函数变化规律的常见因素：
1.函数的系数：三次函数的系数决定了函数的开口方向、对称轴和顶点等基本性质。
例如，如果二次项系数为正，则函数图像开口向上；如果二次项系数为负，则函数图像开口向下。
2.自变量的值：自变量取不同的值时，函数值也会发生变化。
例如，当自变量取对称轴的值时，函数取得最值。
3.函数的导数：导数可以反映函数的变化速度和方向。
通过求导可以找到函数的极值点、拐点等关键点，从而更好地了解函数的变化规律。
4.函数的奇偶性：奇函数和偶函数的性质不同，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。
这些对称性质也会影响函数的变化规律。
综上所述，三次函数的变化规律是一个复杂的问题，需要考虑多个因素的综合影响。
要了解更多关于三次函数的变化规律，建议查阅数学专业书籍或咨询数学专业人士。
三次函数性质总结
三次函数的图像及性质
形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数叫做三次函数，其中x 是自变量，,,,a b c d 是常数。
它具有以下性质：
1、图像、单调区间与极值
三次函数求导以后是二次函数，2()32f x ax bx c '=++，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：
x
x 0
a >0a <
2、零点个数
若方程()0f x '=的判别式0∆≤，则()f x 在R 上是单调函数，无极值，值域为(,)-∞+∞，故有唯一的零点。
若方程()0f x '=的判别式0∆>，方程有两个不等的实根1x 、2x ， 它们是函数()f x 的极值点，则：
（i ）当12()()0f x f x ⋅>时，()f x 有一个零点；
x
x
x
x
（ii ）当12()()0f x f x ⋅=时，()f x 有两个零点；
x
x
x
x
（iii ）当12()()0f x f x ⋅<时，()f x 有三个零点。
x
3、对称中心
三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
其对称中心的横坐标为3b x a
=-。
4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数
2条
1条。
三次函数图像与性质
2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。
2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。
三次函数的性质
三次函数的性质
三次函数是指满足某一条件的函数，它是一类定义在实数域上的函数。
三次函数的标准形式则是 y=ax+bx+cx+d，其中a、b、c和d 为常数，x为变量。
下面就具体介绍下三次函数的性质。
1、首先，三次函数的最大和最小值，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数准心在x轴上有1个极值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a>0时函数有1个极小值点；当a<0时，函数准心在x轴上有1个极大值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a<0时函数有1个极大值点。
2、其次，三次函数的翻转，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减；当a<0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减，这就是三次函数的翻转。
3、再次，三次函数的对称，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a=0时，三次函数具有对称性，即函数围绕x 轴对称。
4、最后，三次函数的拐角，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数；当a<0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数，这就是三次函数的拐角。
综上所述，三次函数的形状受参数a的变化影响较大，它具有极值、翻转、对称和拐角等性质，是求解函数最重要的一类函数。
了解
三次函数的性质，对求解函数会有很大帮助。
三次函数的图象与性质
三次函数的图象与性质河源市河源中学 钟少辉三次函数()f x =32(0)ax bx cx d a +++≠是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。
本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。
已知三次函数：32(0)y ax bx cx d a =+++≠定义域(,)-∞+∞则232y ax bx c '=++ ， 62y ax b ''=+。
由0y '=得 2320ax bx c ++= (1)依一元二次方程根的判别式知：1.1若24120b ac ∆=-＞ ， 即23b ac ＞。
则方程（1）必有两个不相等的实根12,x x ，即三次函数必有两个驻点12,x x （这里不妨设21x x ＞）， 且123()()y a x x x x '=--。
由函数极值的判定定理则有： 1.a ＞0当1(,)()0x x f x '∈-∞时,＞，()f x 单调递增。
当12(,)()0x x x f x '∈时,＜， ()f x 单调递减。
当2(,)()0x x f x '∈+∞时,＞ ，()f x 单调递增。
驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得极小值，且12,x =。
Ⅱ.0a ＜情况正好与I 相反，在此不再赘述。
由以上讨论知：1223b x x a +=-，而由0y ''= 得33b x a=-，因而：6()3by a x a ''=+，当a>0， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹）。
(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。
当 0a ＜， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＜曲线是（向下凹）。
三次函数性质总结
三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数，知道图象是单一递加或单一递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间获得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单一性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单一递加；当k<0时函数单一递加；b决定函数与y轴订交的地点．此中运用的许多的一次函数不等式性质是： fx 0在[m，n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着，我们相同学习了二次函数，图象大概以下：图1 图2利用已学知识概括得出：当时(如图1)，在对称轴的左边单一递减、右边单一递加，对称轴上获得最小值；当时(图2)，在对称轴的左边单一递加、右边单一递减，对称轴上获得最大值．在某一区间获得最大值与最小值．此中a决定函数的张口方向， a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴订交的地点．总结：一次函数只有一个单一性，二次函数有两个单一性，那么三次函数能否就有三个单一性呢？1三次函数专题一、定义：定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数，称为“三次函数”（从函数分析式的构造上命名）。
定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。
因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。
特别是文科。
系列研究1：从最简单的三次函数yx3开始y反省1：三次函数y x31的有关性质呢？反省2：三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢？反省3：三次函数y x31的有关性质呢？1（2012天津理）（4）函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x（A）0（B）1（C）2（D）3系列研究2：研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质：先求导f(x)3ax22bx c(a0)1．单一性：（1）若△(2b)212ac0，此时函数f(x)在R上是增函数；（2）若△(2b)212ac0，令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2，则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减。
三次函数的性质
三次函数的性质三次函数是一类重要的数学函数，它是利用一次函数、二次函数和多项式联立来构造的一类数学函数。
三次函数的性质多变，常用的有三次函数的单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质、递增递减性质等。
一、三次函数的单调性性质三次函数满足单调性性质，即在函数定义域内函数值单调递增或单调递减，即“若y=f(x) 为某三次函数时，则若x在f(x)的定义域内，若x1<x2，则f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”。
二、三次函数的最值性质三次函数满足最值性质，具体来说就是三次函数在定义域内只有一个极值点，这个极值点可以是函数的极大值点也可以是函数的极小值点，用数学符号表示为“若y=f(x) 为某三次函数，则若x为函数的极值点，有f(x)=0，其中f(x) 为函数的导数”。
三、三次函数的奇偶性质三次函数满足奇偶性质，即“当x为-x，函数值也变为它的相反数，即f(-x)=-f(x)，其中f(x) 为某三次函数”。
四、三次函数的对称性质三次函数满足对称性质，具体来说就是“若f(x) 为某三次函数，且a 为某实数，若x=af(x)=0，则f(x) 与x对称，即f(x)=0 且x=-a 也成立，即f(-a)=0”。
五、三次函数的递增递减性质三次函数满足递增递减性质，即“若y=f(x) 为某三次函数时，若x 位于f(x)定义域内，若f(x)>0，则若x0<x1<x2，有f(x0)<f(x1)<f(x2)；若f(x)<0，则若x0<x1<x2，有f(x0)>f(x1)>f(x2)”。
综上所述，三次函数的性质多变多样，它具有单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质和递增递减性质，并且它们之间也有着相互联系。
所以要想理解三次函数这一重要的数学函数，就需要全面掌握它的这些性质。
三次函数在数学和科学上有着重要的应用，例如在数学归纳法中，通过分析三次函数的性质，可以更加有效地解决数学问题；在科学研究中，三次函数也可用来拟合一些曲线，从而进行有效的科学实验。
三次函数的性质
三次函数的性质2015年11月13日 意琦行 数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一 单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明 的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二 对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明 由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解 由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解 的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三 切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明 设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解 由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四 切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明 由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解 （1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）． 练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1） 根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注 本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。
三次函数 性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
三次函数性质总结
三次函数性质总结三次函数是指函数的最高次项是3次的函数，一般的三次函数的函数表达式可以写成y=ax^3+bx^2+cx+d。
以下是关于三次函数的性质的总结：1.对称性：三次函数一般具有对称性，即关于y轴对称。
这是因为三次函数中只有偶次次项，所以具有对称性。
这可以通过函数图像来观察，如果一条曲线对称于y轴，则表示这个函数是一个三次函数。
2.零点：三次函数可能有一个或多个零点。
如果函数的零点为x=a，那么乘以(x-a)后，函数会变为二次函数，这是因为函数中的三次项会被消去，变成了二次项。
因此，三次函数的零点可以用来快速确定函数的根的个数。
3.单调性：三次函数的单调性与系数a有关。
当a>0时，三次函数是上凹的，即函数的曲线开口向上，为增函数；当a<0时，三次函数是下凹的，即函数的曲线开口向下，为减函数。
4.驻点：三次函数的导数是二次函数，因此导数为零的点称为驻点。
三次函数的驻点有最大值或最小值，可以通过求导数来求得驻点的位置。
5. 渐近线：三次函数可能有水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。
水平渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于一些常数；垂直渐近线是指当x等于一些常数时，函数值趋于正无穷或负无穷；斜渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于ax^2+bx+c。
6.奇偶性：三次函数的奇偶性与系数b有关。
当b为奇数时，三次函数是奇函数，对称于原点，函数图像关于原点对称；当b为偶数时，三次函数是偶函数，对称于y轴，函数图像关于y轴对称。
7.映射性：三次函数的图像可以映射到整个坐标平面上，因为三次函数没有任何限制，所以可以取得任意的y值。
8.随着函数系数的变化，函数图象会发生相应的形变。
例如，当a的绝对值变大时，函数的曲线会变得更陡峭；当b的绝对值变大时，函数的曲线会向原点靠拢；当c的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移；当d 的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移。
总之，三次函数具有丰富的性质和特点，可以通过系数的变化来改变函数的图像和性质。
三次函数性质
表示04年高考解答题出现三次函数的省、市
三 次 函 数 重 要 ， 地 球 人 都 知 道 ！
三次函数的性质以及在高考中的应用
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和 一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。 单调性和对称性最能反映这个函数的特性。 下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性 以及图象变化规律。
b b 2 3ac x1 3a
b b 2 3ac x2 3a
a>0
a<0
Δ >0
Δ ≤0
Δ >0
Δ ≤0
x x1 x2
2
x x0 x1 x2
2
x x0
x
b b 3ac b b 3ac x1 x2 3a 3a
由此图得函数极值与某范围内的最值
函数的对称性 函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心是
(3)两边取以2为底的对数得
log 2 2x 4x 2 1 x 2 1 ( x 2 1) 2 1 ( x 1) 2
即 log 2 (2 x 4 x 2 1) log 2 ( x 2 1 ( x 2 1) 2 1) x 2 2 x 1 即 log 2 (2 x 4 x 2 1) 2 x log 2 ( x 2 1 ( x 2 1) 2 1) ( x 2 1) 构造函数f ( x) log 2 ( x x 2 1) x
b b , f ( ) 3a 3a
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数存在性问题总结
三次函数存在性问题总结
三次函数是一类常见且重要的函数形式。
在本文档中，我们将总结三次函数的存在性问题，包括其定义域、值域以及奇偶性。
一、三次函数的定义域
三次函数的定义域是使函数有意义的输入值的集合。
对于一般的三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，它的定义域是整个实数集 $R$。
二、三次函数的值域
三次函数的值域是函数在定义域内可以取得的所有输出值的集合。
值域的确定需要考虑函数的特性以及相关参数的取值范围。
对于一般的三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，如果参数$a>0$，那么函数的值域是整个实数集 $R$；如果参数 $a<0$，那么函数的值域是一个有上界但无下界的区间。
三、三次函数的奇偶性
三次函数的奇偶性决定了函数图像关于原点对称的特点。
对于一般的三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，如果该函数满足对任意的 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$，即关于原点对称，那么该函数为奇函数；如果该函数关于原点对称，则该函数为偶函数；否则，该函数既不是奇函数也不是偶函数。
综上所述，三次函数存在性问题主要涉及定义域、值域以及奇偶性的确定。
正确理解和分析这些问题，有助于我们更好地理解和应用三次函数。
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
有关三次函数的五个考点
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— ——河北秦皇岛市燕山大学里仁学院机械系 韩新宝
归纳
f ′（x）>0，函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函 数 f（x）没有极值点.当 a >0 时，由 f ′（x）=0，得 x=
± 姨 a .当 x∈（-∞，- 姨 a ）时，f ′（x）>0，函数 f（x）单
解 （Ⅰ）据题意有 f ′（x）=3x2-3a.
∵ 曲线 y ＝ f（x）在点（2， f（2））处与直线 y ＝ 8 相
∈ ∈ f ′（2）＝0，
3（4-a）＝0，
切，∴
整理有
解得 a ＝ 4，b＝24.
f（2）＝8.
8-6a+b＝8.
（Ⅱ）由已知有 f ′（x）=3（x2-a）（a≠0）.当 a <0 时，
y
y
y
y
x2
O
x
x1O
x
Ox
x2 O x1 x
a > 0，Δ ≤ 0 a > 0，Δ > 0 a < 0，Δ ≤ 0 a < 0，Δ > 0
性质 3：函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），x∈[m，
∈∈ ∈∈
n]，若 x0∈[m，n]，且 f ′（x0）＝0，则有 fmax（x）＝max{f（m）， f（x0 ），f（n）}，fmin（x）＝min{f（m），f（x0 ），f（n）}.
0 时，其单调递减区间是 （-∞，x2]和[x1，+∞），单调递
增区间是[x2，x1]. 性 质 2：函 数 y = ax3+bx2+cx+d（a≠0）， 当 Δ≤0
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（2）m≠0
,
f
( x)
mx2
(m
1) x
1
(mx
1)( x
1)
=0,
x1
1,
x2
1 m
m<
0
,
x2
>
x1
,
(,
1)或（-
1 m
,
)
单调递减，
(1,
1 m
)
单调递增；
0
<
m
<1
，
x2
<
x1
，
(,
1 m
)或（-1,
)
单调递增，
(
1 m
,
1)
0< m<1，
(,
1 m
)或（-1,
)
单调递增，
(
1 m
,
1)
单调递减；
m=1,所以在 R 上为单调递增；
m
>1
,,
(,
1)或（-
1 m
,
)
，求曲线过点
错解：依上题，直接填上答案
处的切线方程.
错因剖析：如下图所示，在曲线上的点 A 处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。
点
在曲线
上，它可以是切点也可以不是。
正确解法：设过点
的切线对应的切点为
，
斜率为
，切线方程为
5
点
的坐标代入，得
，
∴切线的方程为
或
请你掌握：三次函数解析式的形式
变式
1
设函数
f
(x) =
1 3
x3
+
x2
- 3x + m
，求函数
f
(x)
的单调区间。
解析： f (x) 的定义域为 R， f ′(x) = x2 +2x - 3
f ′(x) = x2 +2x - 3> 0 ⇒ x ∈(-∞,-3)或（1，+∞）,此时为 f (x) 的单调递增区间；
f ′(x) = x2 +2x - 3< 0 ⇒ x∈(-3,1) ，此时为 f (x) 的单调递减区间。
x (1 1 m, 1 1 m ) 单调递减。
【解后反思】：函数求导后为常数项未知的二次函数，不能确定二次函数与图像的交点个数，即二
次方程的跟，所以要讨论Δ 的正负。
变式
3
设函数
f
(x)
=
1 3
x3
+ mx2
+
x +1 在
x
∈（-∞，+∞）为单调函数，求
m
的取值范围。
解析：依题意可得 f (x) x2 2mx 1 ， 4m2 4 0, 1 m 1 所以 m 1,1 。
总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？
一、定义 定义 1 形如
三次函数专题
的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义 2 三次函数的导数
，把
叫做三次函数导函数的判
别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为
【解后反思】：由于 m 的不确定性，不能确定两根的大小，所以要进行分类讨论，很多同学不知道
分类讨论的分界点是什么，遇到这种能够直接可以因式分解的，讨论的分界点即为两根相等时求 出的参数值，所以此题分类讨论的分界点为 m=1,m>1,m<1,【变式 2】因为不能因式分解，不能确 定方程有根无根，所以要讨论Δ 的正负。
3、同时也是二阶导数为零的点，是
的拐点。
4、又可得以下结论：
是可导函数，若
的图象关于点
证明：
的图象关于
对称，则
对称，则
图象关于直线
对称.
于是
5、
图象关于直线 是可导函数，若
对称 的图象关于直线
对称，则
图象关于点
对称.
证明：
的图象关于直线
对称，则
4
于是
图象关于点
对称。
这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
4、三次函数 图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条； 而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。
例题 2. 已知曲线
，求曲线在点
处的切线方程.
解：
，
曲线在点
处的切线斜率为
∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：
，
即
变式：已知曲线
我们已经学习了一次函数 最大值与最小值，在某一闭区间
三次函数性质的探索
，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？
利用已学过的知识得出：当 k>0 时函数单调递增；当 k<0 时函数单调递增；b 决定函数与 y 轴相交的位置．
其中运用的较多的一次函数不等式性质是：
有极大值 有极大值 有极大值 有极大值
和极小值 和极小值
和极小值 和极小值
例题 6. （2012•重庆文）
设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 在
2 1
1 2
2
1
1 2
A.
B.
处取得极小值，则函数
1 2
1
C.
的图象可能是（ ）
1 2
1
D.
例题
7.
设函数
f
(x)
=
1 3
x3
+
x2
-
3x +1 ，求函数
在
上恒成立的充要条件
接着，我们同样学习了二次函数
，
利用已学知识归纳得出：当 时(如图 1)，在对称轴
的左侧单调递减、右侧单调递增，
对称轴
上取得最小值
；
当 时(图 2)，在对称轴
的左侧单调递增、右侧单调递减，
对称轴
上取得最大值
．
在某一区间取得最大值与最小值． 其中 决定函数的开口方向， 同时决定对称轴， 决定函数与 轴相交的位置．
小值，且两极值异号.所以
,且
.
由图像能够探究出在区间
的最大值与最小值吗？
函数
，
，若
，且
，则；
，
。
拉格朗日中值定理 若函数 满足如下条件：（i）
在闭区间
少存在一点 ，使得
.
上连续；（ii） 在开区间
内可导；则在
内至
3、奇偶性：函数当且仅当 4、对称性：函数图象关于点
证明：三次函数
时是奇函数。
中心对称（了解）
正数，又因为 f (0) abc 0 ， f (1) 0 ， f (3) 0 ．
【点评】本题考查运用导数分析函数的能力，数形结合及代入转化的能力．【答案】A
例题 5.
（2012重庆理卷）（8）设函数 在 上可导，其导函数为 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
6
，且函数
（A）函数 （B）函数 （C）函数 （D）函数
高考命题的一个新的热点和亮点。
1
系列探究 1：从最简单的三次函数
开始
反思 1：三次函数
的相关性质呢？
y
O
x
反思 2：三次函数
的相关性质呢？
反思 3：三次函数
的相关性质呢？
例题 1. （2012 天津理 4）函数
（A）0
（B）1
（C）2
在区间 （D）3
内的零点个数是( )
探究一般三次函数 先求导
1、单调性：
（1）一般形式：
（2）已知函数的对称中心为
，则
（3）已知函数图象与 x 轴的三个交点的横坐标
则
（4）已知函数图象与 轴的一个交点的横坐标 ，则
例题 3. （2012 全国大纲版 10）已知函数
A.
B．
的图像与 轴恰有两个公共点，则 的值是
C．
D．
3 或 1
【解析】因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而 f (x) 3x2 3 3(x)(x 1) ，当 x 1 时取得极值
解析：依题意可得 f (x) x2 (m 1)x m (x m)(x 1) ，
令 f ′(x) = 0 ， x1 m, x2 1， （1)m>1, x2 > x1 ,即 (, m)或（-1，+）为单调递增，（-m,-1）为单调递减； （2）m=1, x2 = x1 ,即 f ′(x) ≥0 ，所以函数 f (x) 在 R 上单调递增; （3）m<1, x2 < x1 ,即（-, 1)或（-m, ) 为单调递增，（-1,-m）为单调递减；
【解后反思】：变式 1 与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数 m，但是不影响函数的单调性。
变式
2
设函数
f
(x) =
1 3
x3
+
x2
+ mx +1 ，求函数
f
(x)
的单调区间。
解析：依题意可得 f (x) x2 2x m
当 4 4m 0 即 m 1时, x2 2x m 0 恒成立,故 f (x) 0 ,所以函数 f (x) 在 R 上单调递增; 当 4 4m 0 即 m 1时,