量子物理2 德-波 波函数 薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
量子物理学的诞生波函数一维定态薛定谔方程
V(x)∞ ∞
束缚于金属内的自由电子只 能在金属内运动，而不能逃逸出 金属表面，可以近似地认为金属 内的自由电子在一维无限深势阱 内运动。
o
ax
势能曲线
10
大学物理 第三次修订本
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d2Ψ x
dx2
2mE 2
Ψ
x
0
,0 xa
令 k
2mE 2
则
d
2Ψ x
dx2
k
2Ψ
x
0
方程通解
个空间内连续。
5
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第15章 量子物理基础
二、薛定谔方程
1926年薛定谔提出了适用于低速情况下的, 描述微 观粒子在外力场中运动的微分方程，称为薛定谔方程。
2m
2 x2
2 y 2
2 z 2
V
r, t
Ψ
r,
t
i
Ψ r,t
t
其中，V = V ( r, t ) 是粒子的势能。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，是关于r 和 t 的线性偏微分方程。
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大学物理 第三次修订本
第15章 量子物理基础
在微观粒子的各种定态问题中，将势能函数 V ( r ) 的具体形式
如，氢原子中的电子 一维线性谐振子
V r 1 e2
4π0 r
V x 1 m 2x2
2
代入薛定谔方程, 可以求得定态波函数, 同时也就
确定了概率密度的分布以及能量和角动量等。
8
大学物理 第三次修订本
而成的驻波。
波长n满足条件
a n , n 1, 2,
2
Ψn (x)
n 3 Ψn 2
清华大学物理-量子物理.第27章.薛定谔方程
第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。
和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。
▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。
▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。
若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。
),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。
Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。
§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。
粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。
七个薛定谔方程
七个薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。
一般情况下，薛定谔方程可以写成如下的形式：1. 定态薛定谔方程（Stationary Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
2. 非定态薛定谔方程（Time-dependent Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
3. 薛定谔方程的波函数形式（Schrödinger Equation in Wave Function Form）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，∇²是拉普拉斯算符，V是势能函数。
4. 薛定谔方程的路径积分形式（Path Integral Form of Schrödinger Equation）：Ψ(x,t) = ∫ Dx exp(iS[x]/ħ)Ψ(x₀,0)其中，Ψ(x,t)是波函数，S[x]是作用量，x₀是初始位置，Dx是路径积分测度。
5. 一维薛定谔方程（One-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²Ψ/∂x² + V(x)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，x是位置，V(x)是势能函数。
6. 三维薛定谔方程（Three-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + V(r)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，r是位置矢量，∇²是拉普拉斯算符，V(r)是势能函数。
量子物理第二章薛定谔方程
量⼦物理第⼆章薛定谔⽅程第2章薛定谔⽅程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了⼀个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有⼀个波动⽅程。
⼏个⽉后，薛定谔果然提出了⼀个波⽅程，这就是后来在量⼦⼒学中著名的薛定谔⽅程。
·薛定谔⽅程是量⼦⼒学的动⼒学⽅程，象⽜顿⽅程⼀样，不能从更基本的⽅程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔⽅程的建⽴(⼀种⽅法)⼀、薛定谔⽅程 1.⼀维薛定谔⽅程 · ⼀维⾃由运动粒⼦⽆势场，不受⼒，动量不变。
· ⼀维⾃由运动粒⼦的波函数(前已讲)由此有· 再利⽤可得此即ψ ? x = ( )P ψi h2ψ ? x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = ? t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ?x 22⼀维⾃由运动粒⼦(⽆势场)的薛定谔⽅程·推⼴到若粒⼦在势场U (x , t ) 中运动由有⼀维薛定谔⽅程式中ψ =ψ (x , t )是粒⼦在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相⽐较,只要把P 22mE = +U (x , t ) P 22m E = +U (x , t )再作⽤到波函数ψ(x, t)上，即可得到上述⽅程。
2.三维薛定谔⽅程式由⼀维⽅程推⼴可得三维薛定谔⽅程式·拉普拉斯算符·当 U (r , t ) = 0时，⽅程的解，即三维⾃由运动粒⼦的波函数· 波函数的叠加原理薛定谔⽅程是ψ的线性微分⽅程；若ψ1、ψ2是⽅程的解，则 c 1ψ1 + c 2ψ2也是⽅程的解。
(c 1 、c 2是常数)★ E.Schrodinger & P.A.M.Dirac荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)2 x 2 2y 22≡ + + ?2z 2⼆、定态薛定谔⽅程 1.⼀维定态薛定谔⽅程若粒⼦在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔⽅程式可⽤分离变量法求解。
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
波动力学中的薛定谔方程
波动力学中的薛定谔方程波动力学是描述微观粒子行为的理论，而薛定谔方程是波动力学的基础方程。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是描述量子力学中粒子运动的波函数演化的数学方程。
薛定谔方程的形式为：iℏ ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∇²ψ + Vψ其中，ψ代表波函数，t代表时间，ℏ为普朗克常数除以2π，m为粒子的质量，V为势能。
方程右侧第一项表示时间对波函数的变化率，第二项表示波函数的动能，第三项表示波函数在势能V下的势能。
薛定谔方程的物理意义是描述粒子波函数随时间的演化规律。
方程左侧的i代表虚数单位，ℏ表示量子力学中的规范常数，∂/∂t是时间的偏导数，∇²表示拉普拉斯算子，它描述了波函数在空间中的曲率。
薛定谔方程具有许多重要的性质。
首先，它是一个线性方程，意味着波函数的线性组合也是方程的解。
这使得量子力学中的叠加原理成立，即存在叠加态和相干态的概念。
其次，方程是一个偏微分方程，需要通过边界条件才能得到唯一解。
这些边界条件通常来自实验测量数据。
薛定谔方程的解释方式是通过波-粒二象性和波函数的统计解释。
粒子的运动既可以表现为经典的粒子性质，也可以表现为波动性质。
波函数则是描述了粒子状态的数学函数，其模平方表示了在空间中找到粒子的概率分布。
薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
它可以解释束缚态和散射态等问题。
当粒子受到限制时，其波函数将在空间中形成离散的能级，例如原子的电子能级。
当粒子遇到势垒或势阱时，将发生反射、透射或隧穿现象，这些现象都可以通过薛定谔方程进行解释。
除此之外，薛定谔方程还可以应用于量子力学中的研究。
例如，它被用于描述光子的波粒二象性，研究光的色散行为和光子的干涉效应。
另外，薛定谔方程还可以用于研究量子态的叠加和相干性，研究量子比特的量子计算和量子通信等方面。
虽然薛定谔方程在量子力学中发挥着重要的作用，但也存在一些问题。
例如，方程本身无法解释观测结果的概率规律，这是波函数在测量前处于叠加态的所谓量子纠缠问题。
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
量子物理学中的薛定谔方程与波函数
量子物理学中的薛定谔方程与波函数量子物理学是一门非常神秘和富有挑战性的学科。
它探究的是原子和分子的微观世界。
在这个领域里，薛定谔方程和波函数是两个非常关键的概念。
本文将解释这些概念，并探讨它们在量子物理学中的重要性。
什么是薛定谔方程？薛定谔方程是描述量子系统的一个数学方程式。
它由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔在1925年提出。
该方程式包括两个部分。
第一部分是哈密顿量，它表示系统的能量。
第二部分是波函数，它描述了物质的波动性。
薛定谔方程可以用来预测物质在量子级别上的行为。
通过求解这个方程式，我们可以确定一个量子物体在特定条件下的位置和能量。
这个方程式的发现提供了量子力学的基础，并深刻影响了现代物理学的发展。
薛定谔方程具有非常重要的应用。
它被广泛用于研究化学反应、半导体器件和量子计算等领域。
它还被用于描述新型材料的电子结构，对于研究材料的物理性质和特殊性能具有重要意义。
什么是波函数？波函数是指物体在特定时间实现某个状态的概率幅函数。
波函数可用于描述量子物体在不同位置的概率分布。
一般来说，波函数是一个包容性的概念，用于描述物质粒子在量子状态下的各种性质和特征。
在物理学中，波函数通常用希腊字母Ψ来表示。
Ψ( x , t )的平方表示了在某个时间点 t ，量子物体出现在 x 点的概率。
当然，这个概率并不等同于粒子实际出现在 x 点的机会，它只是在统计意义上的一个概率。
量子力学中的波函数呈现出诸如波动性、干涉性、不确定性等非经典性质。
例如，薛定谔方程可以描述双缝实验中的干涉效应，并解释有关实验结果的奇怪表现。
量子力学中还存在着类似于位置-动量不确定性原理等基本性质，这些都是通过对波函数的分析得出的。
波函数的概念并不容易理解。
但它的实际应用却是非常广泛和有力的。
许多技术和应用，例如核医学、半导体器件、量子计算等生活中应用，都依赖于对波函数的理解和利用。
从薛定谔方程与波函数的角度出发，我们可以更好地理解量子力学和量子物理学的许多基本概念。
薛定谔方程及其简单应用
（3）几率密度
粒子在势阱中的概率密度：
| (x) |2 2 sin2 n x
aa
n 很大时，相邻波腹靠得 很近，接近经典力学各处概 率相同。
一维无限深方势阱中 粒子的能级、波函数
(x)
4 x
E4
3 x
E3
2 x
E2
1x E1
n+1个
o
x a 节点
23
稳定的驻波能级
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
根据波函数的标准化条件，在边界上：
(0) 0, (a) 0
18
代入方程，得： (0) Asin 0 B cos0 0 (a) Asin(ka) Bcos(ka) 0
由此可得： B 0
Asin ka 0
若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违反 粒子在势阱内运动的已知条件，
n 4
| |2
4
16 E1
3
n 3
9E1
n 2
n 1 0
2
1
a/2 a 0 a/2
4E1 E1 a Ep 0
对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子
出现的几率是不同的。 24
经典理论中，处于无限 深方势阱中粒子的能量为连 续值，粒子在阱内运动不受 限制，各处概率相等。
随着能级的升高，几率
密度的峰值增多，当 n
2-1
薛定谔方程及 其简单应用
1
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。 薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人 之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭 的放射性等方面的研究都有很大成就。
薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起 来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔 方程的量子力学波动方程。
量子力学：薛定谔方程
在汤姆逊电子衍射实验中， 在汤姆逊电子衍射实验中，衍射图象上亮条纹处出 现的电子数目多。 现的电子数目多。 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。 电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现 电子作为一个整体，只能在某处出现， 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 粒子性的表现 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定， 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这 就是它的波动性的表现。 波动性的表现 就是它的波动性的表现。
h2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ 2m ∂t
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 式中： 式中： ∂x ∂y ∂z
称为拉普拉斯算符
二．薛定谔一般方程 当粒子处在势场中时， 当粒子处在势场中时，粒子的能量
p2 E= + U( t , x, y,z ) 2m
与上同样推导： 与上同样推导：
∂Ψ h2 2 ih =− ∇ Ψ + UΨ 2m ∂t
2
代入薛定锷方程
h2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + UΨ 2m ∂t
r r ∂f ( t ) ∂Ψ ( t , r ) =ψ ( r ) ∂t ∂t
r ∂ f(t ) r r h2 2 i hψ ( r ) f ( t )∇ ψ ( r ) + Uf ( t ) ψ ( r ) =− ∂t 2m 2m r 两边同除 ψ ( r ) f ( t )
第20章 薛定谔方程 20章
量子力学3
V ( x) ,
x 0, x a
V (x)
粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深势阱。 其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
o
a
x
波函数 薛定谔方程 在阱外粒子势能为无穷大，满足：
nx ( x ) A sin( ), a
由归一化条件
n 1,2,3,
A 2 a
0
a
n x A sin ( )dx 1 a
2
波函数 薛定谔方程
量子物理学基础
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数： n ( x) 0, x 0, x a
nx n ( x) A sin( ), n 1,2,3, 0 x a a E 称 n为量子数； n (x ) 为本征态； n 为本征能量。 讨论
波函数 薛定谔方程 二、薛定谔方程 1、薛定谔方程建立应满足的条件
量子物理学基础
（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程 （2）要建立的方程是线性的，即如果1 、2是方 程的解，则1 和2的线性叠加 a1+b2 也 应是方程的解。（量子力学态的叠加原理） （3）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、 能量等） （4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非 相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。
2
2 x 2
p
2
( x , t ) 而i E ( x , t ) 一维自由运动粒子的薛定谔方程 t
i 0 2 2m x t
2 2
波函数 薛定谔方程
薛定谔方程量子力学基本假设I
d sin d d
⑵波函数的归一化
量子力学第一基本假设告诉我们，| c |2与 | |2 描写 同一微观状态
说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布 如空间R与R点的相对概率：
| c (r1) |2 | (r1) |2 | c (r2 ) |2 | (r2 ) |2
a
A(
a
1
)2
即归一化的波函数为
(x,t) (
a
1 12x2 i t
)2e 2 2
② (x,t) | (x,t) |2 a ea2x2
③ 由 d 0
dx
a ea2x2 (a2 2x) 0 x 0 时
有极值
d 2
dx2
δ为常数，可取任意常实数值
为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。 不讨论相因子（δ=0），即归一化的波函数 不会有相因子的不确定性。
例一
已知一维粒子波函数为 (x,t)
1 2x2 i t
Ae 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
（正数），
为已知常数，A为任意常数。
求：①归一化的波函数
②粒子坐标的几率密度分布
电子的双缝衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现
屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）→亮纹处（亮点密） →电子投射的数目多→电子投射几率大 取的面积大→里的电子数目多→几率大
因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点
德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即： 波函数的一个重要性质。
③粒子在何处出现的几率最大？
解： ① , 1
第二章薛定谔方程
第二章薛定谔方程本章介绍：本章将系统介绍波动力学。
波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。
薛定谔方程是波动力学的核心。
在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。
§2.1 波函数的统计解释§2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。
怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。
b5E2RGbCAP2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。
如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。
这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。
p1EanqFDPw能否认为粒子是由波组成？比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾DXDiTa9E3d经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系：◆一类是实物粒子◆另一类是相互作用场<波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。
粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。
RTCrpUDGiT经典波动则是以场量<振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。
薛定谔方程及其在量子物理中的应用
薛定谔方程及其在量子物理中的应用量子物理是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
在量子物理中，薛定谔方程是一个非常重要的数学工具，它被用来描述量子系统的演化和态函数的变化。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及它在量子物理中的应用。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它是一种描述量子系统的波动方程。
薛定谔方程的基本形式为：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，t是时间，ψ是系统的波函数，Ĥ是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程的解决了经典物理学无法解释的一系列现象，例如电子在原子中的行为、粒子的干涉和衍射等。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学对象，它包含了粒子的位置、动量和能量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，从而了解系统的性质和行为。
薛定谔方程在量子物理中的应用非常广泛。
首先，它被用来解释原子和分子的结构。
根据薛定谔方程，我们可以计算出原子和分子的能级和波函数，从而推导出它们的光谱特性和化学性质。
此外，薛定谔方程还被用来研究固体材料的电子结构和导电性质，为材料科学和电子器件的设计提供了理论基础。
其次，薛定谔方程在粒子物理学中也有重要应用。
量子场论是描述基本粒子的理论框架，其中的场满足薛定谔方程。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到场的模式和激发态，从而计算出粒子的质量、自旋和相互作用等性质。
薛定谔方程还被用来研究粒子的散射和衰变等过程，为粒子物理实验的解释提供了理论依据。
此外，薛定谔方程还在量子计算和量子通信等领域有着重要应用。
量子计算利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现比经典计算更高效的算法。
薛定谔方程提供了描述量子比特演化的数学工具，为量子计算的设计和优化提供了理论基础。
量子通信利用量子纠缠的特性，可以实现更安全和更快速的通信方式。
薛定谔方程被用来描述量子纠缠的产生和传输，为量子通信技术的发展提供了理论支持。
量子物理2
三、波函数的标准化条件
归一化条件：整个空间内，粒子在各处出现的几率 之和为1。
total
2
d
2
dxdydz 有限值
| | d
2
粒子在d中出现的概率
| |
total
2
d
可令 : A, 使
A d 3r 1
归一化的波函数
2
total
归一化因子
r n
应用德布罗意公式
t )
即 即
的自由粒子的波函数为
p (r , t ) Ae
i ( r P Et )
即
自由粒子的波函数 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。 微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学 的一个基本假设。
2 2 i (r , t ) [ U (r )]ψ (r , t ) t 2m
哈密顿算符： ˆ (能量算符) H 从而可得薛定谔方程(波动方程)的普遍形式：
ˆ i Hψ t
3.关于薛定谔方程的一些说明
① 揭示了微观世界中物质运动的基本规律；
此式即自由粒子的薛定谔方程。
2.势场中粒子的薛定谔方程
对于在势场U(r)中运动的粒子，其能量关系式：
p2 E U r 2m
则对波函数求导后可得：
2 2 i (r , t ) [ U (r )]ψ (r , t ) t 2m
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电离能：
E电离=E∞－En=－En
紫外区
1
赖曼系 巴耳末系
E1 En 2 n
－13. 6
帕邢系
1000
1300
2000
3000
5000
10000 20000 A
。
氢原子的能级与光谱
2)氢原子光谱线的波数公式 当原子从较高能态 En向较低能态 Em 跃迁时 ，发射一个光子，其频率满足: h E E
由不确定关系有
ΔP
在宏观现象中，不确定关系可以忽略。
【例】设子弹质量为0.01kg，枪口直径为0.5cm， 试分析波粒二象性对射击瞄准的影响。 解 横向速度的不确定度为
1.05 10 30 v x 1.1 10 (m s ) 2 2 2mx 2 10 0.5 10
§1 薛定谔方程
1926年，在一次学术讨论会上，当薛定谔介绍完 德布罗意关于粒子波动性假说的论文后，物理学家德 拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动 方程。 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴 奋地说：“你们要的波动方程，我找到了！”这个方 程，就是著名的薛定谔方程。
玻恩对 的统计解释(1926) ：波函数 是描 述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。 其模平方
(r , t ) Ψ (r , t ) (r , t ) ——概率密度
*
2
代表 t 时刻 在 r 端点处单位体积中发现一个 粒子的概率 t 时刻在 r 端点附近dV z Ψ dV 内发现粒子的概率为：
三、对波粒二象性的理解 怎样理解微观粒子既是粒子又是波?
根据电子双缝衍射实验 再作单电子双缝衍射实验 双缝
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝 为防止电子间发生作用，让电子一个 一个地入射，发现时间足够长后的干涉图 样和大量电子同时入射时完全相同。
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
在 观 察 屏 上 的 图 像 一个个地出 现说明了电 子的粒子性 随着电子数 目的增多， 在屏上逐渐 形成了衍射 3000个 20000个 图样， 说明 “一 70000 个电子”就 具有的波动 性 微观粒子具有波粒二象性 概率波！ 7个电子 100个电子
n m
相应的波数为:
mn
En Em 1 1 R( 2 2 ) hc m n
与氢原子光谱公式比较, 得里德伯常量的理论值 me e 4 7 1 R 2 3 1.0973731534 10 m 8 0 h c
3. 玻尔的贡献 1) 成功地揭开了“巴耳末公式之迷” 2) 首次打开了人们认识原子结构的大门 3) 定态假设和频率假设在原子结构和分子 结构的现代理论中仍是重要概念 4) 为量子力学的建立奠定了基础 但他的 理论是半经典的 仍保留了“轨道”概念 4. 能级分立的实验验证 ---- 夫兰克-赫兹实验 测出水银原子的第一激发电位 从而证明了能级分立
波函数的标准化条件: 有限、单值、连续 4. 波函数的归一性 根据波函数统计解释 率总和必须为1 在空间各点的概
r , t dV 1
( 全空间)
2
波函数的归一化条件
对于一维运动
x, t
X
2
dx 1
§3 不确定关系
一、不确定关系的表述和含义 1927年，海森伯（Heisenberg）分析了一 些理想实验并考虑到德布罗意关系，提出粒子 在同一方向上的坐标和动量不能同时确定。 如果用x代表位置测量的不确定度（不确定 范围），用px代表x方向的动量的测量不确定 度，那么 x ΔP / 2 一般写为:
r
y
x
(r , t ) dV
2 Ω
2
在空间发现粒子的概率为： Ψ (r ,t ) dV
讨论
1) Ψ (r , t ) 不同于经典波的波函数 它无直接的物理意义 所以波函数是复数 2) 有物理意义的是 3) 对于概率分布来讲 重要的是相对概率分布 波函数可以有一个常数因子的不确定性 即 r
2
a0= r1 = 0.529×10－10 m —玻尔半径
设电子与原子核相距无穷远时的静电势能 为零，则原子系统的能量是:
2 1 Ze 2 E n mvn 2 4 π 0 rn
2 1 Ze 2 由(1)式 mvn 2 8 π 0 rn
电子动能 静电势能
得
Ze 2 Z 2 me 4 En 2 ( Z 1) 2 2 8 π ε0 rn n 8ε 0 h
二、不确定关系的应用举例 例5.1 原子中电子的动能按 10eV估算，论证 原子中电子的运动不存在轨道。 解：原子的线度 r ∼10-10 m
19 2 Ek 2 10 1.6 10 6 v 2 10 (m s) 31 m 9.11 10
代之以 2Δr 电子云 ΔP Δυ 0.6 106 m/ s υ 的概念 m 2mΔr 电子速度完全不确定。从而下一时刻电子的位 置完全不能确定，轨道的概念失去意义。
玻尔氢原子理论的三条假设: 定态假设 E1 , E2 , 频率条件 h En Em 角动量量子化假设 L n , n 1, 2, 2. 玻尔对氢原子的工作 1)求出了氢原子的能级公式和轨道半径
氢原子轨道半径和能量的计算
由库仑定律和牛顿运动定律:
Ze 2 v2 m 2 4 0r r
Ψ (r , t ) Ψ 0 e
i ( E t P r ) h
物质波波函数：一维 Ψ（x, t ) ， 三维 Ψ ( r , t )
二、波函数的统计解释
概率密度
玻恩（M.Born）假设（ 1926年）：
物质波不代表实在物理量的波 动,而是刻划粒子在空间的概 率分布的概率波。 M.玻恩 玻恩获得1954年诺贝尔物理学奖
类氢离子: He+, Li++ … Z—原子序数 氢原子Z=1
(1)
又由角动量量子化条件: n=1, 2, 3, … L mvr n 消去两式中的 v，以 rn代替 r , 得：
2 ε h 2 0 rn n 2 Zπ me
n 1,2,
rn n r1
氢原子 E1 1 me e 4 E n 2 2 2 （n=1,2,…） E n 能级： 2 n 8ε 0 h n E1=－13.6 eV 氢原子基态能级 E 2 2 类氢离子的能量： E n Z E H Z 1 n2
∞
n
4 3
E(eV)
2
可见区
红外区
0 －0. 85 －1. 51 －3. 39
-34
这可以看成是横向速度的最大值，它远 远小于子弹从枪口射出时每秒几百米的速度， 因此对射击瞄准没有任何实际的影响。 子弹的运动几乎显现不出波粒二象性。
德-波、波函数、不确定关系作业:
5----46, 49, 50, 51, 30, 31
第3章 薛定谔方程
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
x
Δy ΔPy Δ z ΔPz
2 2
Δq Δp
2
是微观粒子运 动的基本规律
•不确定关系使粒子运动“轨道”的概念失去意 •不确定关系是微观体系具有波粒二象性的必然 义 结果，与仪器精度和测量方法的缺陷无关
•存在不确定关系的物理量称为共轭物理量 能量和时间也是一对共轭物理量，有
x i 2 π( t )
E const . h
所以与自由粒子联系的波 是单色平面波 则自由粒子波函数 Ψ ( x, t ) Ψ 0e
E 将德布罗意关系 h
h P 代入，得
( x, t ) 0
i ( Et px ) e
沿+x方向运动的自由粒子波函数. 在三维空间中运动的自由粒子的波函数
Ψ
2
和 C r 描写同一个概率波
三、物理对波函数的要求
1. 波函数的有限性 在空间任何有限体积元中找到粒子的概 率必须为有限值
2. 波函数的单值性 要求波函数单值,从而保证概率密度在 任意时刻都是确定的 3. 波函数的连续性 粒子可以在空间任何点处出现 要求波 函数及其一阶导数是连续的 以上要求称为波函数的标准化条件
与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，
— 德布罗意波长
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。 在论文答辩会上，佩林问： “这种波怎样用实验耒证实呢？” 德布罗意答道： “用电子在晶体上的衍射实验可以做到。” h h （ 电子v << c 电子的波长：
p 2m0 E
非相对论）
设加速电压为U h h 1.225 (nm ) p 2m0eU （单位为伏特） U 当 U=100伏 =1.225Å — X 射线波段 当 U=10000伏 =0.1225Å
y( x , t ) y0 cos 2 π( t x )
写成复数形式:
y( x, t ) y0 e
x i 2 π( ν t ) λ
有意义的是实部
量子: 沿+x方向运动的自由粒子波函数
F外 0
E const . P const .
h const . P
实验观察到 I 为极大！
U
C C C
G.P.汤姆孙（G.P.Thomson）实验（1927） 电子通过金多晶薄膜的衍射实验
实验原理
1937年戴维孙、G.P.汤姆孙共获诺贝尔物理奖
约恩孙（Jonsson）实验（1961）
电子的单缝、双缝、三缝、四缝衍射实验：
单 缝
双 缝
三 缝
四缝
质子、中子、原子、分子…也有波动性。