方程思想及其应用作业
解方程的实际案例将方程运用到实际生活中的问题
解方程的实际案例将方程运用到实际生活中的问题数学中，方程是解决问题的基本工具之一。
通过解方程，我们可以找到未知数的值，进而解决各种实际问题。
本文将介绍解方程在实际生活中的应用案例，展示方程的实际价值。
一、家庭预算问题家庭预算是现代生活中的一个重要问题。
通过解方程，我们可以根据家庭成员的收入和支出情况，找到合适的生活方式。
假设小明家庭的月收入为x元，月支出为y元。
根据已知条件，我们可以得到以下方程：x - y = 2000 (方程一)3x + 2y = 5000 (方程二)解方程组(方程一和方程二)，可以得到小明家庭的月收入和月支出的具体数值，从而帮助他们制定合理的家庭预算。
二、时间和距离问题解决时间和距离问题也是方程应用的一个典型案例。
比如，小红骑自行车从家骑到学校，全程10公里，速度为v km/h。
如果她加快速度5 km/h，则所需时间将减少1小时。
根据已知条件，我们可以建立以下方程：10 / v = 10 / (v + 5) - 1 (方程三)通过解方程(方程三)，我们可以找到小红平时骑自行车的速度v，为她合理安排时间提供依据。
三、商业应用问题在商业领域，方程的应用也十分广泛。
假设一个商店以每件商品10元的价格出售，并设定了目标利润为200元。
为了达到目标利润，商店需要卖出多少件商品？我们可以通过以下方程来解决这个问题：10x = 200 (方程四)解方程(方程四)后，可以得出商店需要卖出20件商品，才能达到目标利润。
四、面积和周长问题解决面积和周长问题也常常需要运用方程。
比如，小明有一块正方形园地，已知围墙的周长是32米。
小明想扩大园地的面积，扩大后的园地边长为x米。
我们可以通过以下方程来解决这个问题：4x = 32 (方程五)解方程(方程五)，可以得到小明扩大后园地的边长为8米。
综上所述，方程在实际生活中的应用案例非常丰富。
从家庭预算到时间和距离、商业应用到面积和周长等问题，通过解方程可以帮助我们解决各种实际难题，为生活提供便利和解决方案。
用方程解决问题应用题50道
用方程解决问题应用题用方程解决问题是数学的一种重要应用。
方程是描述数学关系的一种方式，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
在本文中，我们将探讨一些常见的用方程解决问题的案例，并详细解释如何建立和求解这些方程。
第一部分：代数方程的应用问题1：购买水果假设你去市场购买了苹果和橙子，其中每个苹果的价格为x元，每个橙子的价格为y元。
你购买了5个苹果和3个橙子，总花费为20元。
现在，我们需要建立一个方程来计算每个水果的价格。
解答：令方程为5x + 3y = 20，其中x表示苹果的价格，y表示橙子的价格。
通过观察这个方程，我们可以发现，当x = 2和y = 4时，方程成立。
因此，每个苹果的价格为2元，每个橙子的价格为4元。
问题2：年龄之谜现在我们来考虑一个更复杂的问题。
假设有一个父子年龄之和为36岁的问题，父亲的年龄是儿子年龄的三倍。
我们需要建立一个方程，找到父亲和儿子的实际年龄。
解答：设父亲的年龄为x岁，儿子的年龄为y岁。
根据问题的描述，我们可以得到两个方程：x + y = 36 （年龄之和为36岁）x = 3y （父亲的年龄是儿子年龄的三倍）将第二个方程代入第一个方程，得到：3y + y = 364y = 36y = 9将y = 9代入第二个方程，可以求得：x = 3 * 9x = 27因此，父亲的年龄是27岁，儿子的年龄是9岁。
第二部分：几何方程的应用问题3：等腰三角形的高度假设我们有一个等腰三角形，其中底边的长度为x，斜边的长度为y。
我们需要建立一个方程，计算这个等腰三角形的高度。
解答：根据等腰三角形的性质，高度将从中点垂直于底边画出，并且它将把底边划分为两个相等的部分。
因此，我们可以将等腰三角形的高度表示为x / 2。
根据勾股定理，我们可以得到另一个方程：y = √((x / 2)^2 + h^2)，其中h表示等腰三角形的高度。
解方程组：将x / 2代入y的方程，得到：y = √((x / 2)^2 + (x / 2)^2)y = √(x^2 / 4 + x^2 / 4)y = √(x^2 / 2)y = x / √2因此，等腰三角形的高度可以表示为x / 2或x / √2，具体取决于问题的要求和条件。
方程思想及其应用
（文科）中档题复习（一）方程思想及其应用学习目标：（1）熟悉不同知识模块中方程建立的常见知识与方法；（2）优化方程的算法；（3）理解方程与函数、不等式之间的联系与转化； （4）逐步建立不同知识之间的联系与转化。
一、填空题1、已知锐角3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边经过点(1,P ,则cos α= 2、在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =__________ 3、在△ABC 中，若4=•=•，则边AB 的长等于4、以双曲线22163x y -=的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是5、已知椭圆C 的离心率为2，焦点12,F F 在x 轴上，椭圆上一点(),2P t 满足120PF PF ⋅=,点M (),x y 是椭圆上任意一点，若m x =，则m 的取值范围是 6、已知实数,,a b c 满足9a b c ++=，24ab bc ca ++=，则b 的取值范围是 7、方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是 变式1：关于x 的方程22(1)10x x λ-++=有整数解，则所有整数λ的集合为综合应用：在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k =二、例题例题1：在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c （1）若()()3a b c b c a bc +++-=，90,4B C c -=︒=，求b ；（2）若228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b 。
例题2：设函数2()ln f x x a x =-与1()g x x a=1x =于点A ，B ，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行。
例谈方程思想在解题中的应用
数学篇学思导引方程思想就是以方程的观点去分析和研究问题，通过挖掘问题的数量关系，把繁难、陌生的问题转化为简单、熟悉的方程或方程组问题，然后运用所学的方程知识达到顺利解题的目的.用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理构造方程(组).这种思想在代数及几何问题中有着广泛的应用.一、方程思想在解代数题中的应用在解答某些代数式化简、求值、证明问题时，若按照常规思路难以下手时，同学们不妨转变思维视角，从方程思想入手，把已知等式看作是有关某些字母的方程，或将已知、结论中的代数式设为辅助元，构造适当的方程或方程组，将问题转化为方程或方程组问题，从而实现轻松解题.例1设m +2n -8p =0，2m -3n +5p =0，则5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值为.分析：此题直接求值难度较大，若能把已知条件中的两个等式看作是关于m ，n 的方程组，通过解方程组得出m ，n ，p 三者的关系，则可以使问题快速得解.解：由题意可得{m +2n -8p =0,2m -3n +5p =0,解方程组可得{m =2p ,n =3p .当p =0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值不存在；当p ≠0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2=20p 2+36p 2+3p 240p 2-81p 2+8p 2=59p 233p 2=5933.例2证明不论a 为何实数，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有三个偶数.分析：本题不易直接证明.若能利用方程思想，设a 2-4a +4a 2+1=t ，把代数式转化为关于a 的方程，再运用根的判别式，得出代数式的取值范围，即可使问题得证.证明：设a 2-4a +4a 2+1=t ，则a 2-4a +4=ta 2+t (a 2+1≠0)，即(t -1)a 2+4a +(t -4)=0.当t =1时，即a =34时，代数式a 2-4a +4a 2+1的值不是整数.所以上述方程可以看作是关于a 的二次方程.因为a 为实数，所以△=16-4(t -4)(t -1)≥0，化简可得t 2-5t ≥0，解得0≤t ≤5，即0≤a 2-4a +4a 2+1≤5，显然，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有0，2，4这三个偶数.评注：方程思想是转化思想的具体体现.许多代数问题借助方程思想均可以实现转化，从而快速找到解题突破口.同学们在平时的解题过程中，不要形成思维定势，局限于常规解法，要及时转变思路，结合题目的结构特点，灵活运用方程知识去思考、分析并解答问题.二、方程思想在解几何题中的应用几何问题中有许多的几何计算题，这些计算题所涉及的几何量之间蕴含着一定的数量关系.在解题时，同学们要仔细审题，结合已知条件、图形特点、几何定理、公式等，挖掘几何量之间的数量关系，合理设出未知数，列27数学篇出方程或方程组，将几何问题转化为代数问题，然后利用方程思想巧妙解题.例3如图，已知正方形EFGH的边长为12,M是GH的中点，EM的垂直平分线NO交EF的延长线于N，MN交FG于Q，求FQ与GQ的长.分析：本题涉及几何量之间的数量关系，对此可以采用方程思想求解.很多同学在设未知数时，直接设所求的目标线段FQ=x,GQ=12-x，再通过Rt△FQN∽Rt△GQM，用x的代数式表示出FN的长.显然，该求解过程较为复杂.若能设FN=x，则EN=12+x，MP=6+x，这样易求出MN、FN的长，再利用Rt△FQN∽Rt△GQM，得出FQ与GQ的比值，即可求出FQ与GQ的长度.所以，结合题中特殊的线段位置关系，本题宜采用间接设元来求解.解：如图所示，过N作NP⊥EN与HG的延长线交于P.设FN=x，那么EN=12+x，MP=6+x.由题意可知，在Rt△MNP中，MN2=MP2+NP2.因为MN=EN，NP=FG=EH，所以(12+x)2=(6+x)2+122，解得x=3，即FN=3.因为Rt△FQN∽Rt△GQM，所以FQGQ=FN GM=36=12，即GQ=2FQ，又FQ+GQ=FG=12，所以FQ=4，GQ=8.评注：在利用方程思想求解几何计算题时，关键是要找出几何量之间的等量关系，选取恰当的几何量作为未知数，建立方程或方程组.有的几何量之间的等量关系从已知中不易获得，这就需要结合图形，挖掘潜在的隐含条件，考虑以某个几何量为桥梁，间接设元，以降低求解的难度.一般地，当题目涉及线段长度或角度比、三角形周长与面积、特殊的图形位置关系时，常常采取间接设元法.总之，方程思想不仅是数学中的基本思想，更是破解数学问题的重要工具.同学们在解题的过程中，要注意根据题意，建立合适的方程或者方程组，灵活运用方程思想，将问题转换为方程问题来解答.上期《〈一次函数〉巩固练习》参考答案1.B；2.C；3.D；4.C；5.D；6.k>0；7.225；8.增大；9.-2；10.y=1.2x+10(0<x≤10)11.（1）y=2x-5；（2）点(-1,-5)不在该函数的图象上．12.解：（1）轿车出发时，两车相距60×1.4＝84（km），（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C（4.4，300），设线段BC对应的函数表达式为y＝kx+b，将C（4.4，300），B（1.4，0）代入得：ìíî4.4k+b=300,1.4k+b=0,，解得ìíîk=100,b=-140,∴线段BC对应的函数表达式为y＝100x-140；由图象可知，a小时轿车追上货车，∴100a-140＝60a，解得a＝3.5，∴a的值为3.5；（3）∵轿车出发1.6h，与货车的距离小于12km，∴ìíî1.6v-(1.4+1.6)×60<12,(1.4+1.6)×60-1.6v<12,解得：105＜v＜120，∴轿车速度v的取值范围是105＜v＜120．学思导引28。
用方程思想解应用题
浅谈用方程思想解应用题列方程解应用题的意义是用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
弄清题意，确定未知数并用 x 表示；找出题中的数量之间的相等关系；列方程，解方程；检查或验算，写出答案。
范围：一般应用题；和倍、差倍问题；几何形体的周长、面积、体积计算；几何形体的周长、面积、体积计算；分数、百分数应用题；比和比例应用题。
找准题目中的数量关系是列方程解应用题的关键。
在列方程之前先熟悉日常生活中常见的几种数量关系，一来是铺垫，二来是让学生更体会到数学中文字蕴含的等量关系其实都来源于我们生活的一些常识，没什么特别和难明白的，多结合生活实例想想就很容易理解了。
而只要找准等量关系，方程就能列出来了1.如有一个上下两层的书架一共放了240书，上层放的书是下层的2倍，两层书架各放书多少本？2，图书馆买来文艺科技书共 235 本，文艺书的本数比科技书的2倍多25本，两种书各买了多少本？3，甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的两倍，三人各捐多少元？4 ，a、b两个码头相距379.4千米，甲船比乙船每小时快3.6千米，两船同时在这两个码头相向而行，出发后经过三小时两船还相距48.2千米，求两船的速度各是多少？以相差数为等量关系建立方程例题：化肥厂三月份用水420吨，四月份用水 380 吨，四月份比三月份节约水费60元，这两个月各付水费多少元？解设：每吨水费x元三月份的水费一四月份的水费=节约的水费 420x 一 380x=60 40x=60 x=1.5三月份付水费1.5×420=630（元）四月份付水费 1.5×380=570（元）答：三月份付水费 630元，四月份付水费570元。
练一练：①新华书店发售甲种书90包，乙种书68包，甲种书比乙种书多1100本，每包有多少本？②一篮苹果比一篮梨子重30千克，苹果的千克数是梨子的 2.5 倍，求苹果和梨子各多少千克？③两块正方形的地，第一块地的边长比第二块地的边长的2倍多2米，而它们的周长相差56厘米，两块地边长是多少？④小亮购买每支0.5元和每支1.2元的笔共20支，付20元找回404元，两种笔各买了多少支？⑤甲、乙两数之差为 100，甲数比乙数的3倍还多 4，求甲、乙两数？⑥两个水池共贮水60吨，甲池用去6吨，乙池又注入8吨水后，乙池的水比甲池的水少 4 吨，原来两池各贮水多少吨？以题中的等量为等量关系建立方程。
勾股定理--与方程思想(简单应用)
17.1(9.1)勾股定理--与方程思想（简单应用）一．【知识要点】1.在直角三角形中，边长具有数量关系，可以设未知数表示边长，再利用勾股定理列方程。
二．【经典例题】1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝．2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是．3.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1,2)，求点D的坐标。
2求4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝10 AB的长．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．三．【题库】【A】1、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，AC=2，则斜边AB的长为（）A.332B.552C. 4D.3342．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．A. 5mB. 7mC. 8mD. 10m3.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm24.在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，10ABEFDC5.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．6.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．【B】1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题.这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？2、在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把△ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B′.(1)如图(1),如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图(2),如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长。
中考数学综合提升训练：方程思想在解题中的应用
方程思想在解题中的应用一、选择题1. 已知(x－y＋3)2＋2x＋y＝0，则x＋y的值为( )A. 0B. －1C. 1D. 52. 已知(x－3)(x2＋mx＋n)的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为( )A. m＝3，n＝9B. m＝3，n＝6C. m＝－3，n＝－9D. m＝－3，n＝93. (xx·台湾)已知面包店的面包一个15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一个面包就可以打九折，价钱会比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少个面包？()A. 38B. 39C. 40D. 414. (xx·辽宁阜新)为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15 cm，9只饭碗摞起来的高度为20 cm，那么11只饭碗摞起来的高度最接近()A. 21 cmB. 22 cmC. 23 cmD. 24 cm5. (xx·浙江杭州)设二次函数y1＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2＝dx ＋e(d≠0)的图象交于点(x1，0)．若函数y＝y1＋y2的图象与x轴仅有一个交点，则()A. a(x1－x2)＝dB. a(x2－x1)＝dC. a(x1－x2)2＝dD. a(x1＋x2)2＝d二、填空题6. 已知2x a ＋4y 5与－13xy b 是同类项，则a ＋b ＝________． 7. 如图，C ，D 是线段AB 上的两点，AC ∶CD ∶BD ＝2∶3∶4，P 是线段AB 的中点．若PD ＝2 cm ，则线段AB 的长为________cm.2019-2020年中考数学综合提升训练：方程思想在解题中的应用8. (1)已知一个角的余角的补角是这个角的补角的45，则这个角的13角的余角的度数是________．(2)如图，已知OA ⊥OD ，OB 平分∠AOC ，∠AOB ∶∠COD ＝2∶5.则∠AOB 的度数是________．9. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(倍加增指从塔的顶层到底层)．请你算出塔的顶层有________盏灯．10. 请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何”诗句中谈到的鸦为________只，树为________棵．11. 我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.3·转化为分数时，可设0.3·＝x ，则x ＝0.3＋110x ，解得x ＝13，即0.3·＝13.仿此方法，将0.4·5·化成分数是________． 12. 已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，则2a ＋b 的值是________．(第13题)13. (xx·浙江宁波)如图，已知点A ，C 在反比例函数y ＝a x(a >0)的图象上，点B ，D 在反比例函数y ＝b x(b <0)的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB ＝3，CD ＝2，AB 与CD 的距离为5，则a －b 的值是________．三、解答题14. 若代数式(2x 2＋ax －y ＋b )－(2bx 2＋3x ＋5y ＋1)的值与字母x 的值无关，求代数式3a 3－2b 3－(4a 3－3b 3)的值．15. 盒中有x 个黑球和y 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从盒中随机取一个球是黑球的概率是25.若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为12. (1)x ＝________，y ＝________．(2)小王、小林利用x 个黑球和y 个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同，则小王胜；若两球颜色不同，则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少．16. 如图，小岛A 在港口P 的南偏西45°方向，距离港口81 n mile 处．甲船从A 出发，沿AP 方向以9 n mile/h 的速度驶向港口，乙船从港口P 出发， 沿南偏东60°方向以18 n mile/h 的速度驶离港口，现两船同时出发．(第16题)(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等？(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向(结果精确到0.1 h)?(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)17. (xx·湖南衡阳)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM，BM.(第17题)(1)求抛物线的函数表达式．(2)判断△ABM的形状，并说明理由．(3)把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？参考答案1．C 2．A 3．B 4．C 5．B[∵一次函数y 2＝dx ＋e ()d ≠0的图象经过点(x 1，0)，∴0＝dx 1＋e ，∴e ＝－dx 1．∴y 2＝dx －dx 1＝d ()x －x 1．∴y ＝y 2＋y 1＝a (x －x 1)(x －x 2)＋d ()x －x 1＝()x －x 1[]a （x －x 2）＋d ．又∵二次函数y 1＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0，x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2＝dx ＋e ()d ≠0的图象交于点(x 1，0)，函数y ＝y 1＋y 2的图象与x 轴仅有一个交点，∴函数y ＝y 2＋y 1是二次函数，且它的顶点在x 轴上，即y ＝y 2＋y 1＝a ()x －x 12．∴(x －x 1)[a (x －x 2)＋d ]＝a (x －x 1)2．∴a (x －x 2)＋d ＝a ()x －x 1．令x ＝x 1，得a (x 1－x 2)＋d ＝a (x 1－x 1)，即a (x 1－x 2)＋d ＝0，∴a (x 2－x 1)－d ＝0．] 6．2 7．36 8．(1)80° (2)60° 9．3[设顶层的红灯有x 盏，由题意，得x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x ＋32x ＋64x ＝381，解得x ＝3．] 10．20 5[设鸦有x 只，树有y 棵．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋5＝x ，5（y －1）＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝5.] 11．511[设x ＝0．4·5·，则x ＝0．4545…①．根据等式的性质，得100x ＝45．4545…②．②－①，得100x －x ＝45．4545…－0．4545…，即99x ＝45，解得x ＝4599＝511．] 12．52[∵m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，2＜7＜3，∴m ＝2，n ＝5－7－2＝3－7，∴amn ＋bn 2＝a ·2×(3－7)＋b (3－7)2＝6a －2a ·7＋9b －6b ·7＋7b ＝6a ＋16b －(2a ＋6b ) 7＝1．∵a ，b 为有理数，1为有理数，∴6a ＋16b 也为有理数．∴只有当－(2a ＋6b ) 7为有理数时等式才成立．∴－(2a＋6b )＝0．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6b ＝0，6a ＋16b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12.∴2a ＋b ＝3－12＝52．] 13．6[不妨设点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )．∵AB ∥CD ∥x 轴，∴y A ＝y B ，y C ＝y D ．易得x A y A ＝x C y C ＝a ，x B y B ＝x D y D ＝b ．∴a －b ＝x A y A －x B y B ＝(x A －x B )y A ＝－AB ·y A ＝－3y A ．同理，a －b ＝x C y C －x D y D ＝(x C －x D )y C ＝CD ·y C ＝2y C ．又∵AB 与CD 之间的距离为5，∴y C －y A ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧－3y A ＝2y C ，y C －y A ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧y A ＝－2，y C ＝3.∴a －b ＝－3y A ＝－3×(－2)＝6．] 14．(2x 2＋ax －y ＋b )－(2bx 2＋3x ＋5y ＋1)＝2x 2＋ax －y ＋b －2bx 2－3x －5y －1＝(2－2b )x 2＋(a －3)x －6y ＋b －1．∵此代数式的值与字母x 的值无关，∴2－2b ＝0，a －3＝0，∴a ＝3，b ＝1．∴3a 3－2b 3－(4a 3－3b 3)＝3a 3－2b 3－4a 3＋3b 3＝－a 3＋b 3＝－33＋13＝－27＋1＝－26． 15．(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＝25，x ＋1x ＋y ＋1＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. (2)P (小王胜)＝820＝25，P (小林胜)＝1220＝35． 16．(1)3 h ． (2)设出发后x (h)乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C ，D 处，连结CD ．过点P 作PE ⊥CD ，垂足为E ，则点E 在点P 的正南方向．在Rt △CEP 中，∠CPE ＝45°，∴PE ＝PC ·cos 45°．在Rt △PED 中，∠EPD ＝60°，∴PE ＝PD ·cos 60°，∴(81－9x )·cos 45°＝18x ·cos 60°，解得x ≈3．7．∴出发后约3．7 h 乙船在甲船的正东方向． 17．(1)y ＝x 2－1． (2)△ABM 是直角三角形，且∠BAM ＝90°．理由如下：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．∵点A (－1，0)，B (2，3)，∴AC ＝BC ＝3，∴∠BAC ＝45°．∵M 是抛物线y ＝x 2－1的顶点，∴点M (0，－1)，∴OA ＝OM ＝1．∵∠AOM ＝90°，∴∠MAC ＝45°，∴∠BAM ＝∠BAC ＋∠MAC ＝90°，∴△ABM 是直角三角形． (3)将抛物线的顶点平移至点(m ，2m )，则其函数表达式为y ＝(x －m )2＋2m ．∵抛物线的不动点是抛物线与直线y ＝x 的交点，∴(x －m )2＋2m ＝x ．化简，得x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0．∴Δ＝[－(2m ＋1)]2－4(m 2＋2m )＝－4m ＋1．当－4m ＋1≥0时，方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，∴m ≤14．€30505 7729 眩36478 8E7E 蹾s34523 86DB 蛛 33630 835E 荞28357 6EC5 滅% 25231 628F 抏0+,。
八年级数学----方程思想的应用
八年级数学----方程思想的应用在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的方法就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
用方程思想解整式例1．已知A=5x2-mx+n，B=-3y2+2x-1，若A+B中不含有一次项和常数项，求m2-2mn+n2的值．解：A+B=5x2-mx+n+（-3y2+2x-1）=5x2-3y2-mx+2x+n-1由题意2010mn-+=⎧⎨-=⎩⇒21mn=⎧⎨=⎩∴m2-2mn+n2=（m-n）2=1例2．单项式3x m+2n y4与-2x2y3m+4n是同类项，求n m的值．解：由同类项定义知：22 344m nm n+=⎧⎨+=⎩，解方程组得 m=0 n=1 n m=1例3．若nmaaaa++=+-2)5)(3(，则m、n的值分别为（）（A）5,3-（B）15,2-（C）15,2--（D）15,2练习1、已知3yx m与4xy n-是同类项，则m＝，n＝。
2、要使y=(m-2)x n-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .3.(2013贵州黔西南州，16，3分)已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项，那么(n －m)2013=_______．用方程思想解几何问题 --等腰三角形和直角三角形中的应用 例1. 如图,在三角形ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 练习1. 如图，在三角形ABC 中，求∠A 的度数例2. 如图2-10，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．B 2xx －15°B分析 若作AE ⊥BC 于E ，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD 是Rt•△ADC 的直角边．∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程． 解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ， ∴BE=EC=12BC=12×32=16． 在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2， 在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202．∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9． ∴BD=BE-DE=16-9=7．1（山西省中考试题）已知：如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AC 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．解法一：如图，在矩形ABCD 中，∵ AD ∥BC ，∴ ∠2＝∠3．当矩形ABCD 沿着直线BD 折叠后，△BC ′D 与△BCD关2-102-11于直线BD对称，∴∠1＝∠2，故∠2＝∠3．∴△BED是等腰三角形，作EF⊥BD于F，则BF＝21BD＝25．设BE＝x，∵BE＝ED，∴AE＝8－x，在Rt△ABE中，42＋（8－x）2＝x2，解之，得x＝5，在Rt△BEF中，x2＝EF2＋（25）2∴EF＝5，∴S△BDE ＝21BD·EF＝10．用方程思想解应用题例1.（2013湖北咸宁，13，3分）某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需元．【解析】依条件求得一个单人间和一个双人间各需多少钱，进而相加后乘以5即可得到所求．设一个单人间需要x元，一个双人间需要y元．有3x＋6y＝1020①及x＋5y＝700②，联立之，化简①得：x＋2y＝340③，②－③得：3y＝360，y＝120，把y＝120代入③得：x＝100，∴5（x＋y）＝1100，故答案为1100．【答案】1100【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用；找到相应的等量关系求出一个单人间及一个双人间各需多少元是解决本题的关键．例2.（2013山东东营，21，9分）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：（1）该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【解析】（1）设该工厂从A 地购买了x 吨原料，运往B 地的产品为y 吨，根据等量关系：①两次运输共支出公路运费15000元；②铁路运输97200元列方程组求解．然后用总售价-总进价-运输费用；（2）用销售款减原料费与运输费即可。
方程思想解题实例
解法一：利用勾股定理
A 2 B’ 8 10 10 D 6
在Rt△AEB’中，由勾股定 理可得 22+x2=(6－x) 2
8 解得x= 3
x E 6-x B
6-x
C
几何中的方程思想
解法二:利用三角形相似
A 2 B’ 由△AEB’ ∽ △DB’C，得 8 10 10 D 6
AE AB x 2 ,即 ' B D CD 8 6
解得x= 8 3
'
x E B
C
几何中的方程思想
解法三：利用线段相等 6－x=
2 x
2
2
A 2 B’ x E 6-x B
22 x 2
8 10 10
D 6
解得x= 8 3
C
变式1
（2012雨花区一模25）如图，矩形纸片ABCD的边长 AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A与点C重合， 折痕分别交AB、CD于点E、F， （1）在图中，用尺规作折痕EF所在的直线（保留作 图痕迹，不写作法）； （2）求线段EF的长．
无解，即b2-4ac=4+4k<0,解得k<-1,故选A. 总结：用方程思想解函数图象交点问题，适用面更广，方法 更简单，只需令y1=y2，在所形成的一元二次方程中，若求 两函数图象交点坐标，解方程即可.若图象无交点，则判别 式<0；若图象有交点，则判别式≥ 0；若图象有两个不同的 交点，则判别式＞0.这也是高中解析几何中常用的方法。
高级模型2: 大角加半角模型
45
o
120 o 60
o
45
o
45
o
60
o
60
o
专题 方程思想在勾股定理中的应用(解析版)
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》专题 方程思想在勾股定理中的应用【例题1】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ：b ＝3：4，c ＝10，则△ABC 的面积为（ ）A ．24B ．12C ．28D ．30【分析】由a 与b 的比值，设a ＝3k ，b ＝4k ，再由c 的长，利用勾股定理列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，得出a 、b 的长，即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵a：b＝3：4，设a＝3k，b＝4k，在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即9k2+16k2＝100，解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），则a＝3k＝6，b＝4k＝8，∴△ABC的面积=12ab=12×6×8＝24．故选：A．【点评】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出a和b 是解本题的关键．【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．【解答】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，整理得：x2＝16，解得：x＝4，∴两直角边分别为12cm，16cm，则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 ．【分析】根据a+c＝32和a：c＝3：5可以准确计算a、c的长度，根据a、c的长度计算b的长度，即可求得a+b+c．【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，即c2＝b2+a2，∵a +c =32a ：c =3：5，∴a ＝12，c ＝20，∵c 2＝b 2+a 2，∴b ＝16．∴a +b +c ＝12+16＝20＝48．故答案为：48．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据a 、c 的两个等量关系式计算a 、c 的长度是解题的关键．【变式1-3】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（ ）A ．8B ．10C ．24D ．48【分析】设另一直角边长为x ，根据勾股定理列出方程，解方程求出x ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设另一直角边长为x ，则斜边长为（x +2），由勾股定理得，x 2+62＝（x +2）2，解得，x ＝8，∴该三角形的面积=12×6×8＝24，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为2A ．12B ．1CD ．2【分析】根据已知可得到两直角边的和，根据完全平方公式即可求得两直角边的乘积，从而不难求得其面积．【解答】解：设两直角边分别为：a ，b ，斜边为c ，∵直角三角形的斜边为2，周长为2+∴a+b=∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝4+2ab＝6，∴ab＝1，∵三角形有面积=12ab=12，故选：A．【点评】此题主要考查学生对勾股定理及完全平方和公式的运用．【变式1-5】（2022秋•遂川县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC=AB＝3AC，求AC的长．【分析】根据勾股定理直接求解即可．【解答】解：设AC的长为x，则AB的长为3x．在直角△ABC中，∠C＝90°．∴AC2+BC2＝AB2．∵BC=∴x22=(3x)2，x2+32＝9x2，解得x＝±2（﹣2舍去）．∴AC＝2．【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-6】（2022春•虞城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c，（1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值．（2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值．【分析】（1）设a＝3x，则b＝4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．（2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b＝3：4，∴设a＝3x，则b＝4x．∵a2+b2＝c2，即（3x）2+（4x）2＝152，解得x＝9，∴a＝3x＝27，b＝4x＝36；（2）∵△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴a2+b2＝c2，∵c﹣a＝4，b＝16，∴a2+256＝（a+4）2，解得：a＝30．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD＝1，BD BC的长为 ．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD＝CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD＝CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2＝BD2﹣AD2，而BD=AD＝1，∴AB＝4，AC＝4﹣λ；由勾股定理得：λ2＝12+（4﹣λ）2，解得：λ=17 8．故答案为17 8．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．【变式1-8】（2021秋•重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝ ．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BDE，根据等式的性质得到∠CAE＝∠DEB，求得AC＝EC，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵AB＝BD＝4，∴∠BAE＝∠BDE，∵CB⊥BD，∴∠DBE＝∠CAB＝90°，∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD，∴∠CAE＝∠DEB，∵∠AEC＝∠DEB，∴∠CAE＝∠CEA，∴AC＝EC，∵BE＝1，∴BC＝AC+1，∵AC2+AB2＝BC2，∴AC2+42＝（AC+1）2，∴AC=15 2，故答案为：15 2．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键．【变式1-9】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）A．3B．5C．2.4D．2.5【分析】连接CE，由矩形的性质可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE＝CE；设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．【解答】解：连接CE，如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴DE的长为3．故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相相关性质及定理是解题的关键．【变式1-10】（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵AB＝AC，∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2+CD2，∴（AD+5）2＝AD2+122，∴AD=119 10，∴AC=11910+5=16910．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．关性质及定理是解题的关键．【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；（2）若BC＝20，求CD的长．【分析】（1）由勾股定理可得出答案；（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，由勾股定理可得出102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，∴AD8，∴BD=15．故答案为：8，15；（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，解得x=211 40，∴CD=211 40．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．【分析】设BD＝x，则CD＝14﹣x，根据勾股定理得出方程，解方程求出x的值，再由勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ADB与△ACD均为直角三角形，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得x＝9，∴BD＝9，∴AD12．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出BD是解决问题的关键．【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．【解答】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；（2）在Rt△BDE中，BE=5．所以CE＝BE＝5．设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．【变式2-3】如图，在△ABC中，ACBC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（ ）A．10B．11C．12D．13【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB＝2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，得到AB＝2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．【解答】解：连接DE，∵AD⊥BC，点E是AB的中点，∴AB＝2DE，∵DF ⊥CE ，点F 是线段CE 的中点，∴DE ＝DC ，∴AB ＝2CD ，在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2﹣BD 2，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2﹣DC 2，∴AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2，即（2CD ）2﹣（13﹣CD ）22﹣DC 2，解得，CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝10，故选：A ．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式2-4】（2021秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝4，CD ＝2，点F 为BC 边上一点，且CF ＝1，连接AF ，DG ⊥AF 垂足为E ，交BC 于点G ，则BG 的长为 ．【分析】连接AG ，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，则四边形DMBC 为矩形，由勾股定理求出AD ，AF ，DF的长，设EF ＝x ，则AE ＝5﹣x ，得出2−(5−x )2=2−x 2，求出EF ＝1，证明Rt △AEG ≌Rt △ABG （HL ），由全等三角形的性质得出EG ＝BG ，设BG ＝y ，则EG ＝3﹣y ，由勾股定理得出12+y 2＝（3﹣y ）2，解方程求出y =43，则可得出答案．【解答】解：连接AG ，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，则四边形DMBC 为矩形，∴DM＝BC＝4，∴AD=∵CF＝1，BC＝AB＝4，∴BF＝3，∴AF==5，∵DC＝2，∴DF=设EF＝x，则AE＝5﹣x，∵AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2，∴2−(5−x)2=2−x2，∴x＝1，∴EF＝1，∴AE＝4，∴AE＝AB，在Rt△AEG和Rt△ABG中，AE=ABAG=AG，∴Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），∴EG＝BG，设BG＝y，则EG＝3﹣y，∵EF2+EG2＝FG2，∴12+y2＝（3﹣y）2，∴y=4 3，∴BG=4 3，故答案为：4 3；【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式2-5】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？【分析】设BC＝xcm，则CD＝（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，解得x＝8．∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．【变式2-6】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝AD⊥BC，垂足为D．（1）求证：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的长度；（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明；（2）设CD ＝x （x ＞0），由勾股定理得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2，列出关于x 的方程，求出x 的值，即可得到答案；（3）由三角形面积公式得到12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝∠C ，∵∠BAC +∠C +∠B ＝180°，∴∠B +2∠C ＝180°，∵AD ⊥BC ，∴∠CAD +∠C ＝90°，∴2∠C +2∠CAD ＝180°，∴∠B ＝2∠CAD ，（2）解：设CD ＝x （x ＞0），在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2＝AD 2，∴102﹣（10﹣x ）2=−x 2，∴x ＝2，∴BD ＝BC ﹣CD ＝10﹣2＝8；（3）解：作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，且PM ＝PN ，连接AP ，在Rt △ABD 中，AD ==6，∵△ABC 的面积＝△PAB 的面积+△PAC 的面积，∴12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ，∴10×6＝（PM ，∴PM ＝10﹣∴P 到AB 的距离是10﹣【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程；由三角形面积公式得到12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ．【例题3】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 为AC 上一点，将△ABD 沿BD 折叠，使点A 恰好落在BC 上的E 处，则折痕BD 的长是（ ）A ．5BC ．3 D【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC=10，∵将△ABD 沿BD 折叠，使点A 恰好落在BC 上的E 处，∴AD ＝DE ，∠DEB ＝∠A ＝90°，BE ＝AB ＝6，∴∠CED ＝90°，CE ＝10﹣6＝4，∵CD 2＝DE 2+CE 2，∴（8﹣AD ）2＝AD 2+42，∴AD ＝3，∴BD故选：C．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）A．154cm B．254cm C．74cm D．无法确定【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x=7 4，即CD的长为74 cm．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC 沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）A．95B．125C．165D．185【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点F，∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∴BF＝DF，∠BFC＝90°，∵AB＝4，BC＝3，∴AC=5，设CF＝x，则AF＝5﹣x，∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，∴x=9 5，∴CF=9 5，∵CE＝BC，∴CF=12 DE，∴DE=18 5．故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，4），B （﹣3，0），连接AB ．将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A ′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则点C 的坐标为 ．【分析】在Rt △OAB 中，OA ＝4，OB ＝3，用勾股定理计算出AB ＝5，再根据折叠的性质得BA ′＝BA ＝5，CA ′＝CA ，则OA ′＝BA ′﹣OB ＝2，设OC ＝t ，则CA ＝CA ′＝4﹣t ，在Rt △OA ′C 中，根据勾股定理得到t 2+22＝（4﹣t ）2，解得t =32，则C 点坐标为（0，32）．【解答】解：∵A （0，4），B （﹣3，0），∴OA ＝4，OB ＝3，在Rt △OAB 中，AB =5，∵△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A ′处，∴BA ′＝BA ＝5，CA ′＝CA ，∴OA ′＝BA ′﹣OB ＝5﹣3＝2，设OC ＝t ，则CA ＝CA ′＝OA ﹣OC ＝4﹣t ，在Rt △OA ′C 中，由勾股定理得：OC 2+OA ′2＝CA ′2，即t 2+22＝（4﹣t ）2，解得：t =32，∴C 点坐标为（0，32）．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB 'C 是将长方形ABCD 沿着AC 折叠得到的．若AB ＝4，BC ＝6，则OD 的长为 ．【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠OAC＝∠ACB，由折叠可得∠ACO＝∠ACB，∴∠OAC＝∠ACO，∴AO＝CO，在Rt△DOC中，CO2＝DO2+CD2，即（6﹣OD）2＝DO2+16，解得OD=5 3，故答案为：5 3．【点评】本题考查了翻折变换，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【变式3-5】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求CE的长；（2）求点D的坐标．【分析】（1）根据轴对称的性质以及勾股定理即可求出线段C的长；（2）在Rt△DCE中，由DE＝OD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标．【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，∴BE==6，∴CE＝BC﹣BE＝4；（2）在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，又∵DE＝OD，∴（8﹣OD）2+42＝OD2，∴OD＝5，∴D（0，5）．【点评】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．【变式3-6】（2022秋•锦江区校级期中）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，2），折叠长方形使得点C与点A重合，折痕交BC于点D、交OA于点E，点O的对应点为F．（1）求点D的坐标；（2）求折痕DE的长度．【分析】（1）由勾股定理得AD2﹣BD2＝AB2，由折叠性质得AD＝CD，进而得出CD的方程求得CD，便可得出D点坐标；（2）连接AC ，与DE 交于点H ，由勾股定理依次求得AC ，DH 便可．【解答】解：（1）∵A （6，0），B （6，2），∴OA ＝BC ＝6，OC ＝AB ＝2，由折叠性质得，AD ＝CD ，∵∠ABD ＝90°，∴AD 2﹣BD 2＝AB 2，∴CD 2﹣（6﹣CD ）2＝22，∴CD =103，∴D （103，2）；（2）连接AC ，与DE 交于点H ，则DE ⊥AC ，CH ＝AH ，∵CD ∥AE ，∴∠DCH ＝∠EAH ，∵∠CHD ＝∠AHE ，∴△CDH ≌△AEH （ASA ），∴DH ＝EH ，∵AC =∴CH =12AC∴DH =∴DE ＝2DH =【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出CD 的方程．【例题4】（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．【解答】解：设门高为x 尺，则竹竿的长为（x +1）尺，根据勾股定理可得：x 2+42＝（x +1）2，即x 2+16＝x 2+2x +1，解得：x ＝7.5，∴门高7.5尺，竹竿的长＝7.5+1＝8.5（尺）．【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．【变式4-1】（2021秋•源城区月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A 系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB 的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C 刚好着地（如图②）．量得BC =5米，求旗杆AB的高度．【分析】设旗杆AB的高度为x m,在Rt△ABC中，由勾股定理可求出x=12，由此即可解决问题．【解答】解：设AB=x m,则AC=（x+1）m,在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，∴x2+52=（x+1）2，解得：x=12，∴旗杆AB的高度为12米．【点评】本题考查勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【分析】由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，∵∠AOB＝90°，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，∴62+（18﹣x）2＝x2，解方程得出x＝10（cm）．答：机器人行走的路程BC是10cm．【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC 滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x．【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）则10+a＝x+b＝15（m）．∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，解得，x＝2，即AD＝2（米）∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）答：树高AB为12米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．【变式4-4】（2022春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？【分析】本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解．【解答】解：如图所示：根据题意，得AC＝AD﹣BE＝13﹣8＝5m，BC＝12m．根据勾股定理，得AB==13m．则小鸟所用的时间是13÷2＝6.5（s）．答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．【点评】此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间＝路程÷速度．【变式4-5】（2021秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°．设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm，由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm．∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2，Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，解得x＝25，∴A'F＝25（cm），∴CF=60（cm）．又∵EF＝AD＝3cm，∴CE＝60+3＝63（cm），∴点C离地面的距离为63cm．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【变式4-6】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：风筝的高度CE为21.6米；（2）由题意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM==17（米），∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他应该往回收线8米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．【变式4-7】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E 到A站的距离．【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE 中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10代入关系式即可求得．【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，解得x＝15，∴E站应建在距A站15km处．【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．【变式4-8】（2021秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下：∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米，∴CM2+AM2＝AC2，∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，由（1）可知，∠AMC＝90°，∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°，在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2，解得：x＝16.9，答：公路AB的长为16.9千米．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式4-9】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC＝AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2＝BC2，解方程即可．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；（2）连接BC，由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．∵OA⊥OB，∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，即：122+（36﹣BC）2＝BC2，解得BC＝20．答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．【变式4-10】（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；（2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是矩形，∴CE＝BF＝1.6m，∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），故答案为：1.6，3，1；（2）∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，设秋千的长度为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，解得：x＝5（m），即秋千的长度是5m；（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，∵DE＝0.6m，∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），由（2）可知，AD＝AB＝5m，∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC==4（m），即需要将秋千AD往前推送4m，故答案为：4．【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．。
方程在初一上册各章中的应用作文
方程在初一上册各章中的应用作文Equations are a fundamental concept in mathematics that can be applied in various real-life situations. In the first year of junior high school, students are introduced to simple equations and learn how to solve them. These equations are used in everyday scenarios, such as calculating discounts while shopping, measuring ingredients for recipes, and determining distances in map problems.方程是数学中的基本概念，可以应用于各种现实生活情况。
在初中一年级，学生们开始接触简单的方程，并学习如何解决它们。
这些方程在日常情况中被广泛应用，比如在购物时计算折扣、在烹饪时衡量配料，以及在地图问题中确定距离。
Understanding how to manipulate and solve equations can also help students develop critical thinking skills. When faced with a problem or situation that involves unknown quantities or variables, students can use equations to model the problem and find a solution. This process of problem-solving and logical reasoning can enhance students' analytical abilities and prepare them for more complex mathematical concepts in the future.理解如何操作和解决方程也有助于学生培养批判性思维能力。
方程思想的运用
方程思想在解决数学问题中的应用
一、代数问题
例1、孝武超市一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20％，则这台空调的进价是多少元？（直接设）
例2、孝感红星美凯龙某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20％，如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得纯利润为多少元？（间接设）
二、几何问题
例3、如图，在矩形ABCD中，AD=20，AB=50，现将矩形
沿对角线BD折叠后，点A落在点E处，且BE与CD交于点F
（1）求DF的长
（2）过点F作FG垂直BD于点G，求FG的长例4、如图，三角形ABC中，∠ABC=∠BAC，∠BAC的外角平分线交BC 的延长线于点D，若∠ADC=∠CAD，求∠ABC的度数
总结：
1、代数问题：直接设，间接设
2、几何问题：（1）求线段，求角度
（2）列方程方法：利用勾股定理；利用三角形相似；利用三角形内角和为180度或四边形内角和为360度
练习
1、某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服，其中一件赚了20％，而另一件亏损了20％，则这单买卖是亏了还是赚了？
2、在矩形ABCD中，AB=30，AD=50，折叠矩形的一边AD，折痕为AE，当DE为多少时，使得折叠后的点D落在BC上
3、如图所示，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数
4、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，若AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于多少？。
期末专项训练 专题二 运用方程思想解决生活中的实际问题
二、填空题
8．已知方程(m－3)x|m|－2＋1＝0 是关于 x 的一元一次方程，则 m＝ －3 .
9．已知方程 3x＋6y－4＝0，用含 x 的代数式表示 y＝ 23－21x 数式表示 x＝ 43－2y .
；用含 y 的代
10．方程组x2－x＋y＝y＝06
x＝2 的解是 y＝2
.
11．m＝－14 ，关于 x 的方程 4x－2m＝3x－1 的解是 x＝2x－3m 的解的 2
期末专项训练
专题二
运用方程思想解决生活中的实际问题
一、选择题 1．运用等式性质进行的变形，正确的是( C ) A．如果 a＝b，那么 a＋2＝b＋3 B．如果 a＝b，那么 a－2＝b－3 C．如果ac＝bc，那么 a＝b D．如果 a2＝3a，那么 a＝3
2．按如图的运算程序，能使输出结果为 3 的 x、y 的值是( D )
4．已知yx＝＝2－1 是二元一次方程组3nxx＋－2yy＝＝1m 的解，则 m－n 的值是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
a＋2b＝3－m① 5．已知 a、b 满足方程组2a＋b＝－m＋4② ，则 a－b 的值为( D )
A．－1
B．m－1
C．0
D．1
6．根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( C )
A．51 元 C．8 元
B．35 元 D．7.5 元
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/8/1 12021/ 8/11We dnesda y, August 11, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。202 1/8/11 2021/8/ 112021 /8/118 /11/202 1 8:20:29 PM
七年级上册方程思想应用典型例题1
七年级上册方程思想应用典型例题许多问题的解决都需要转化为方程求解。
一、有理数方面的问题1、绝对值等于8的数是 。
分析：依题意得8=x ，即8,8-==x x 或2、12=-x ，则=x 。
分析：依题意得方程：12,12-=-=-x x 或3、a 与3互为相反数，则a = 。
分析：依题意得方程：03=+a二、整式方面的问题1、若单项式143+n ab 与() 1239-+-n ab 是同类项，则n 的值是（ ）A 、－1B 、0C 、7D 、2分析：根据同类项的概念：相同字母的指数相同，得到1)23(14-+=+n n 解方程练习：1、若m y x 32与23y x n -是同类项，则m+n= ，分析：根据同类项的概念，可得到方程： 和 ，从而求出m,n 的值。
2、如果n y x 23与312y x n --是同类项，那么m= ，n= 。
三、一元一次方程方面的问题1、关于x 的方程()232-=-x a x 的解为1-=x ，则a 的值为（ ）A 、5B 、－1C 、－5D 、 35- 分析：方程()232-=-x a x 中实际上有两个未知数a x ,，把解1-=x ，代入方程中就得到以a 为未知数的一元一次方程：)21()1(32--=-⨯-a ，再解方程得到a 的值。
练习：已知2x =-是方程240x m +-=的解，则m 的值是_________已知关于x 的方程3a －x= x 2 +3的解是4, 则a=_________四、图形的初步认识方面的问题1、一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．分析：前提条件知道补角的定义。
设这个角的度数为x，则它的补角为180－x，根据题意，可列出一元一次方程来求解。
解：设这个角是x度，则它的补角是（180-x）度，根据题意，得180-x=4x，x=36．练习：1、一个角是它的余角的2倍，这个角的度数是_________2、一个角是它的补角的2倍，这个角的度数是_________3、一个角的补角是它的余角的3倍，这个角的度数是________2、两个角的大小之比是7︰3，他们的差是72°，则这两个角的关系是（）. （A）相等（B）互余（C）互补（D）无法确定分析：根据“他们的差是72°，”得到相等关系：大角－小角=72，设大角为7x,小角为3x，则得到7x－3x=72，求得x，再分别得到7x，3x的度数，确定关系。
七年级数学 第五章 一元一次方程 专题十八 角度计算方程思想作业
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内容(nèiróng)总结
第五章 一元(yī yuán)一次方程。1．如图，BD平分∠ABC，BE将∠ABC分为2∶5两部分，∠DBE＝21°，求 ∠ABC的度数．。(2)直接用n的式子表示∠BOD为_______度．。解：(1)设∠AOD＝x°，x＋(36＋x)＝90°，x＝ 27°，∠BOD＝45°－27°＝18°
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3．如图，已知O为直线AB上一点(yī diǎn)，过点O向直线AB上方引三条射线OC，OD， OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度数．
解：设∠1＝x°，则∠2＝3∠1＝3x°.因为(yīn wèi)∠COE＝∠1＋∠3＝70°，所 以∠3＝70°－x°.因为OC平分∠AOD，所以∠4＝∠3＝70°－x°.因为∠1＋ ∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以x＋3x＋(70－x)＋(70－x)＝180，解得x＝20，所以 ∠2＝3x°＝60°，答：∠2的度数为60°
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2．如图，点 A，O，B 在一条直线上，∠AOC＝12∠BOC＋30°， OE 平分∠BOC，求∠BOE 的度数．
解：设∠BOE＝x°，因为OE平分∠BOC，所以(suǒyǐ)∠COE＝∠BOE＝x.所以∠AOC ＝180°－2x°.由题意知：180－2x＝x＋30，解得x＝50，答：∠BOE的度数是 50°
12/9/2021
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5．(阿凡题：1070854)如图，∠AOB内有两条射线(shèxiàn)OM，ON，∠AOM∶∠MOB ＝5∶11，∠AON∶∠NOB＝5∶7，∠MON＝15°，求∠AOB的度数．
解：设∠AOM＝5x°，∠MOB＝11x°，∠AON＝152∠AOB＝230x°， 230x－5x＝15，解得 x＝9，∠AOB＝16x＝144°
数学方程思想
初中数学构建方程的思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决．方程思想在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活．1.利用勾股定理建立一元二次方程。
2.利用三角形三边关系可建立不等式。
3.利用圆的内接四边形内角和等于360°建立一元一次方程。
4.利用绝对值、根式建立方程组。
5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。
【例题1】（2020•内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A 落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）D．√13A．3 B．5 C．5√136【对点练习】若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【例题2】（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为．【对点练习】如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是°．）．【例题3】（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94（1）求抛物线的解析式；，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（2）已知直线l过点A，M（32（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【对点练习】（2019江苏徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？一、选择题1．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm2．（2019湖北黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m3．（2019贵州贵阳）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（）A．3 B．4.5 C．6 D．184. （2020桂林模拟）若|3x﹣2y﹣1|+=0，则x，y的值为（）A．B．C．D．二、填空题5．（2020•常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．6．（2020•长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ +PEPM=．（2）若PN2＝PM•MN，则MQNQ=．7．（2020•湘潭）若yx =37，则x−yx=．8．（2019宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．9．（2020毕节市模拟）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是L．10.（2020•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=k（x＞0）的x图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8√3，则k＝．11．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．12.（2019•湖北天门）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是．三、解答题13．（2020•天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．14．（2020•武威）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．15．（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．16．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tan B的值．17．某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？18.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）19．（2019辽宁本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD 的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．。
中考复习专题 解方程(组)与方程思想的实际应用
专题三 解方程（组）与方程思想的实际应用,河北中考命题规律)年份题型 考点 题号 分值难易度2019 选择题、解答题 分式方程、一元一次方程、一元二次方程根的判别式15，24（1）26（3） 2＋2＋3＝7 容易题 2018 选择题、解答题 等式的性质、一元一次方程、一元二次方程7，22（2） 3＋2＝5 容易题 2017 选择题、填空题、解答题 分式方程、一元二次方程及根的判别式13，19，26（2） 2＋2＋4＝8 容易题、中等题 考情及预测解方程（组）属于基础内容，考生容易得分，注意平时加强练习，不要省略计算过程，解方程（组）的应用属于中等难度内容，这部分也是今后学习一次函数、二次函数及反比例函数的基础，河北中考较少单独在此命题，多数与函数相结合考查，预测2020年也会与函数相结合考查 ,中考重难点突破)备考建议►此专题与“专题一”类似，重点在于计算，考生考出好成绩贵在平时的训练；另外，方程的应用问题复习时应加强找等量关系的训练.一次方程（组）的解法【例1】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－（x ＋y ）4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.【解析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法求解.【解答】解：原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－1，①－x ＋5y ＝3.② 由②，得x ＝5y －3. ③将③代入①，得5（5y －3）－11y ＝－1，解得y ＝1.将y ＝1代入③，得x ＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. ,1.解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0， ①3x ＋4y ＝6.② 解：①×3－②，得2y ＝－6，解得y ＝－3.把y ＝－3代入①，得x ＝6.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3. 一元二次方程的解法 【例2】解方程：3x 2－2x －2＝0.【解析】观察方程，可知用公式法解此题最佳.【解答】解：∵b 2－4ac ＝（－2）2－4×3×（－2）＝28>0，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝2±282×3＝1±73， 即x 1＝1＋73，x 2＝1－73.,2.解方程：3x （x －1）＝2（x －1）.解：原方程可化为3x （x －1）－2（x －1）＝0，即（3x －2）（x －1）＝0.解得x 1＝1，x 2＝23.分式方程的解法【例3】分式方程3x x ＋2＝1的解是x ＝1. 【解析】本题考查解分式方程，方程两边同乘（x ＋2），得3x ＝x ＋2，解得x ＝1.经检验x ＝1是原分式方程的解.所以原分式方程的解是x ＝1.,3.解方程：23x －1－1＝36x －2. 解：方程两边同乘2（3x －1），得4－2（3x －1）＝3，解得x ＝12. 检验：当x ＝12时，2（3x －1）≠0. ∴原分式方程的解为x ＝12. 一元二次方程的应用 【例4】某商店原来平均每天可销售某种水果200 kg ，每千克可盈利6元.为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20 kg .若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【解析】可设每千克降价x 元，本题的关键是用含有x 的代数式表示每天的销量，由“每千克降价1元，每天可多售出20 kg ”可知：当降价x 元时，每天的销量是（200＋20x ） kg ，再根据“总利润＝每千克利润×销售量”，列出方程求解即可.【解答】解：设每千克降价x 元.根据题意，得（6－x ）（200＋20x ）＝960.解得x 1＝2，x 2＝－6（不合题意，舍去）.答：每千克应降价2元. ,4.（2019·大连中考）某村2016年的人均收入为20 000元，2018年的人均收入为24 200元.（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x.根据题意，得20 000（1＋x ）2＝24 200. 解得x 1＝－2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%.答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%；（2）24 200×（1＋10%）＝24 200×1.1＝26 620（元）.答：预测2019年该村的人均收入为26 620元.分式方程的应用【例5】在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每支降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍.（1）求降价后每支玫瑰的售价是多少元；（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500支，康乃馨进价为2元/支，玫瑰进价为1.5元/支，问至少购进玫瑰多少支？【解析】（1）可设降价后每支玫瑰的售价是x 元，根据等量关系：降价后30元可购买玫瑰的数量＝原来购买玫瑰数量的 1.5倍，列出方程求解即可；（2）可设购进玫瑰y 支，根据不等关系：购进康乃馨的钱数＋购进玫瑰的钱数≤900元，列出不等式求解即可.【解答】解：（1）设降价后每支玫瑰的售价是x 元.根据题意，得30x ＝30x ＋1×1.5.解得x ＝2. 经检验，x ＝2是原分式方程的解，且符合题意.答：降价后每支玫瑰的售价是2元；（2）设购进玫瑰y 支.根据题意，得2（500－y ）＋1.5y ≤900.解得y ≥200.答：至少购进玫瑰200支.,5.（2019·唐山丰润区一模）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程.当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一个大型活动要在该校田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程由一号、二号施工队同时进行施工，完成整个工程需要多少天？解：（1）设由二号施工队单独施工，完成整个工程需要x 天.根据题意，得40－1440＋40－5－14x＝1.解得x ＝60. 经检验，x ＝60是原方程的解，且符合题意.答：由二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天；（2）根据题意，得1÷⎝⎛⎭⎫140＋160＝24（天）. 答：此项工程由一号、二号施工队同时进行施工，完成整个工程需要24天.方程（组）的应用【例6】随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折.已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元.（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【解析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结果；（2）根据“节省钱数＝甲品牌粽子节省的钱数＋乙品牌粽子节省的钱数”，即可求出节省的总钱数.【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝660，50×0.8x ＋40×0.75y ＝5 200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝70，y ＝80. 答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）80×70×（1－80%）＋100×80×（1－75%）＝3 120（元）.答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 120元.,6.2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500 km ，“复兴号”G 92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40 km ，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10 min .求乘坐“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西需要多长时间.解：设“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西需要x h .根据题意，得500x －16＝50054⎝⎛⎭⎫x －16＋40. 解得x ＝83. 经检验，x ＝83是原分式方程的解，且符合题意. 答：乘坐“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西需要83h . 请完成限时训练A 本P A 68～A 69，选做B 本P B 39。
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方程思想及其应用作业（文科）
1、 在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段OB OA ,分别相交于点N M ,。
若
y x ==,。
则x 与y 的关系为
2、若,,a b c R ∈，且满足0,10a b c a bc ++=+-=，则a 的取值范围为
3、对任意实数m ，过函数2()1f x x mx =++图象上的点(2,(2))f 的切线恒过一定点P ，则点P 的坐标为
4、设函数()21x f x =-的定义域和值域都是[],a b ，则a b +=
5、设()f x 是连续偶函数，且当0x >是增函数，则满足3()(
)4
x f x f x +=+的所有x 之和为
6、设m R ∈，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值 集合为
7、（1）已知函数22()2cos cos 1,()cos (cos 1)cos 3f x x x g x x a x x =+-=++--，若()y f x =与()y g x =的图像在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围；
（2）设πβππα2,0<<<<，若对任意的R x ∈，都有关于x 的等式
++)c o s (αx 0c o s 2)s i n (=++x x β恒成立，试求βα,的值；
8、已知函数()2sin cos 2f x acos x x x a b =--++的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,1-，求,a b 的值。
9、设数列{}n a 的前n 项和2Sn n =，数列{}n b 满足()n n n a b m N a m
+=∈+。
（1）若128,,b b b 成等比数列，试求m 的值；（2）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足14,,(5)t b b b t ≥成等差数列？
10、已知在△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为)0,2(-和)0,2(，点C 在x 轴上方. （Ⅰ）若点C 的坐标为)3,2(，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； （Ⅱ）若∠ 45=ACB ，求△ABC 的外接圆的方程；
（Ⅲ）若在给定直线y x t =+上任取一点P ，从点P 向(Ⅱ)中圆引一条切线，切点为Q . 问是否存在一个定点M ，恒有PM PQ =？请说明理由。