高中数学北师大版选修1-1《椭圆的简单性质的应用》ppt导学课件

∴椭圆的标准方程为y 2 +x 2 =1.综上所述,所求椭圆的标准方程为
52 13
x2 +y2=1 或y2+x2=1.
148 37
52 13
(法二)设椭圆方程为x2+y2=1(m>0,n>0,m≠n),
mn
由已知椭圆过点 A(2,-6),所以有 4 +36=1.①
mn
由题设知 a=2b,∴m=4n,②
【解析】(1)由
4x2 y=
+ y2 = x + m,
1,得
5x2+2mx+m2-1=0.
因为直线与椭圆有公共点,
所以 Δ =4m2-20(m2-1)≥0.
解得- 5≤m≤ 5.
2
2
(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
由(1)知,x1,x2 为方程 5x2+2mx+m2-1=0 的两根.
点 xa22+by
2 2
=1
的焦点在
x
轴上,方程y
a
2 2
+bx22=1
的焦点在
y
轴上.
(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小,即椭圆x2+y2=1 位于
a2 b2
四条直线 x=±a,y 围成的矩形内.
(3)椭圆=的±离b心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响
如下:
(4)椭圆是轴对称与 对称中 图形,具体如下: 心
已知椭圆x
a
2 2
+by 22
=1(a>b>0)的左焦点为
F,右顶点为
A,点
B
在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,
则椭圆的离心率是( D ).
A. 3
B. 2
C.1
D.1
2
2
3
2
【解析】本题主要考查椭圆及椭圆的几何性质.画出草图,可知 △BAF∽△PAO,∴|AP|∶|PB|=|AO|∶|OF|,而|AO|=a,|FO|=c,∴a =2,
c
即 e=1.
2
3 已知焦点在 x 轴上的椭圆x2+y2=1 的离心率为1,则 m=
2m
2
3 2.
【解析】由题意知 a2=2,b2=m,∴c2=2-m.
∴ 2-m=1,∴m=3.
22
2
4 已知椭圆长轴长是短轴长的2倍,且过点A(2,-6),求椭圆的
标准方程.
【解析】(法一)依题意 a=2b.
①当焦点在 x 轴上时,设椭圆方程为 x2 +y2=1.
1+2k2
1+2k2
整理得 33k2+12k+2<0,整理得 Δ =144-4×33×2=-120<0,∴k 不存在,
故∠ANB 不可能为钝角.
1.设 AB 是过椭圆x2+y2=1 的一个焦点 F 的弦,若 AB 的长为
54
16 5,则直线 AB 的斜率为( C ).
9
A.±1
2
B.±2
C.±1
D.± 2
x1+x2=85t,x1x2=4t25-4, 代入弦长公式得:
|AB|=
4·
2·
5-t 2 ≤4
10,当 t=0 时取得最大值.
5
5
椭圆 mx2+ny2=1 与直线 x+y=1 交于 M,N 两点,MN 的中点为 P,且
OP 的斜率为 2,则m的值为( A ).
2n
A. 2
2
B.2 2
3
C.9 2
a2 b2
依题意知点
P,Q
的坐标满足方程组
x2 a2
+
y2 b2
=
1,①
y = x + 1,②
将②代入①整理得(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0.③
设方程③的两个根分别为 x1,x2.则由 P,Q 在直线 y=x+1 上,且 P,Q 为 直线与椭圆的交点,得 P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1).
4
消去 y 得 5x2-16x+12=0,则 Δ >0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 x1+x2=156,x1x2=152. 代入弦长公式得:
|AB|= 2· (x1 + x2)2-4x1x2=45 2.
中点弦问题
已知中心在原点且一个焦点为 F(0, 50)的椭圆被直线 y=3x-2 截得的弦的中点的横坐标是1,求此椭圆方程.
即 x1·x2+(y1+2)·(y2+2)<0,
即 x1·x2+y1·y2+2(y1+y2)+4<0, ③
而 y1=k(x1+3), ④
y2=k(x2+3), ⑤
∴将④⑤代入③整理得(1+k2)x1x2+(3k2+2k)(x1+x2)+9k2+12k+4<0,⑥
将①②代入⑥,得(1+k2)·18k2-2+(3k2+2k)·(- 12k2 )+9k2+12k+4<0,
由根与系数的关系,得 x1+x2=-25m,
x1x2=15(m2-1).
所以|AB|= (x1-x2)2 + (y1-y2)2= 2(x1-x2)2
= 2[(x1 + x2)2-4x1x2]
= 2[ 4m2 - 4 (m2-1)]=2 10-8m2.
12 3
的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是( A ).
A.± 3 B.± 3 C.± 2 D.±3
4
2
2
4
【解析】由条件可得 F1(-3,0),PF1 的中点在 y 轴上,
∴点
P
的坐标为(3,y0),又
P
在x 2 +y 2 =1
12 3
的椭圆上,得
y0=±
3,
2
∴点 M 的坐标为(0,± 3),故选 A.
3
b2 = 2.
故所求椭圆方程为x2+
2
y2
2
=1
或
x2
2
+y2=1.
2
斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2+y2=1 相交于 A、B 两点,求|AB|的
4
最大值.
【解析】设直线方程为 y=x-t,代入椭圆方程得:5x2-8tx+4t2-4=0,
由 Δ >0 得- 5<t< 5, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得
2
x1 x2
=
-1,
4
x1
+
x2
=
-1.
2
由根与系数的关系以及③式,得
2a2 a 2 +b 2
=
a 2 (1-b 2 )
a 2 +b 2
3, 2或 =1
4
2a2 a 2 +b 2
=
1,
2
a 2 (1-b 2 ) a 2 +b 2
=
-
1 4
.
解方程组得
a2 = 2, b2 = 2 或
3
a2 = 2 ,
(5)椭圆的长轴和短轴都是线段,并不是直线,所以它们有长度,
长轴长是 2a ,短轴长是 2b .
(6)在椭圆中,a,b,c都具有实际的具体意义,其中a:长半轴长
,b:短半轴长,c:半焦距.它们之间的关系是 a2=b2+c.2
问题2 设直线 l:y=kx+b,椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0),联立两方程,消去 y(或 x)得到一元二次方程,其判别式记为 Δ,则如何判断直线 l 与
椭圆 C 的位置关系?若直线 l 交椭圆 C 于 A(x1,y1)和 B(x2,y2)两点,
则线段 AB 叫作椭圆的弦,那么弦长公式是什么?
① Δ>0⇔l 与 C 相交;②Δ=0⇔l 与 C 相切; ③Δ<0⇔l 与 C 相离.
|AB|= (1 + k2)[(x1 + x2)2-4x1x2]
=
(1
+
A.x2 +y2=1
B.x2 +y2=1
36 20
28 12
C.x2 +y2=1
D.x2 +y2=1
25 9
20 4
【解析】由题意得 c=4. ∵P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积为 12,
∴1×2c×b=12,即 bc=12,
2
∴b=3,a=5,故椭圆方程为x 2 +y 2 =1.
25 9
2
4a2 b2
代入点 A(2,-6)坐标,得44a2+3b62=1,解得b2=37, ∴a2=4b2=4×37=148,
∴椭圆的标准方程为 x2 +y2=1.
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②当焦点在 y 轴上时,设椭圆方程为 y2 +x2=1.
4b2 b2
代入点 A(2,-6)坐标得43a62+b42=1, ∴b2=13,∴a2=52.
2 1
=1,
y
2 2
+x 22 =1,
b2+50 b2 b2+50 b2
两式相减得:(y 1 +y 2 )(y 1 -y 2 )+(x 1 +x 2 )(x 1 -x 2 )=0,