山西省晋中市2020届高三普通高等学校招生统一模拟考试(四模)数学(文)答案
2020届山西省晋中市高考数学文科模拟试卷(5月)(有答案)(加精)
山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题1．设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8}，则集合A∩B中的元素共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）3．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．104．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．5．如图是将二进制111111化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）（2）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱C．钱D．钱7．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣8．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2 B．3C．4D．69．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．B．C．D．10．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g （x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠011．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．12．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f （x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3二、填空题13．已知实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最大值是______．14．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，其中A=120°，b=1，△ABC的面积S=，则=______．15．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC﹣ABC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的半径为______．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1）给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数f（x）有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2其中正确的命题是______．三、解答题17．已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．18．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点M是棱CC1的中点．（1）在棱AB上是否存在一点N，使MN∥平面AB1C1？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由；（2）当△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2时，求点M到平面AB1C1的距离．20．已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．21．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8}，则集合A∩B中的元素共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8}，∴A∩B={4，7}，则集合A∩B中的元素共有2个，故选：B．2．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得2x﹣2=0，解可得x的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则有1•x=2•（﹣2），即x=﹣4，即=（﹣4，﹣2），则+=（﹣2，﹣1），故选A．3．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．10【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据z是A、B的中点，由复平面内的中点坐标公式求出z，则可求，代入可求的值．【解答】解：因为复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，且若复数z对应的点C为线段AB的中点，所以z=，所以，所以故选C．4．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．5．如图是将二进制111111化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）（2）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图程序要要循环5次，根据循环变量的初值为1，步长为1，故循环变量的终值为5，由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：由已知中程序的功能是将二进制数111111化为十进制数，（2）共有6位，结合循环体中S=1+2S，及二进制数111111（2）可得循环体要重复执行5次，又由于循环变量初值为1，步长为1，故循环终值为5，即i≤5时，继续循环，i＞5时，退出循环，故选：C．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱C．钱D．钱【考点】等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．7．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到tanθ=﹣2，利用1的代换进行求解即可．【解答】解：圆C1：x2+y2+ax=0的圆心坐标为（﹣，0），圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0的圆心坐标为（﹣a，﹣），∵两圆都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，∴圆心都在方程为2x﹣y﹣1=0的直线上，则﹣×2﹣1=0，得a=﹣1，﹣2a+﹣1=0，即2+﹣1=0则=﹣1，即tanθ=﹣2，则sinθcosθ=====﹣，故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2 B．3C．4D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原几何体是长方体的一个角，利用勾股定理，基本不等式，确定xy最大时AD的值，代入棱锥的体积公式计算可得．【解答】解：由三视图得几何体为三棱锥，其直观图如图：∴AD⊥BD，AD⊥CD，∴x2﹣7=25﹣y2，∴x2+y2=32，∵2xy≤x2+y2=32，∴xy≤16，当x=y=4时，取“=”，此时，AD=3，几何体的体积V=×3××4×=2．故选：A．9．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用等腰直角三角形求出A，由周期求出ω，由函数的奇偶性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用两角差的余弦公式，求得f（）的值．【解答】解：由题意可得•=KL=1，∴ω=π，KM==，∴A=，∴f（x）=sin（πx+φ）．再结合f（x）为偶函数，以及所给的图象，可得φ=，∴f（x）=cos（πx）．则f（）=cos（）=•cos（﹣）= [cos cos+sin sin]=•[+]=，故选：B．10．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g （x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴∀x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，故选：C11．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．12．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f （x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）==，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．二、填空题13．已知实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最大值是1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点A时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（2，0），此时z=×2﹣0=1，故答案为：1．14．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，其中A=120°，b=1，△ABC的面积S=，则=．【考点】正弦定理．【分析】由条件和三角形的面积公式列出方程求出c的值，由余弦定理求出a的值，由正弦定理和分式的性质求出的值．【解答】解：在△ABC中，∵A=120°，b=1，△ABC的面积S=，∴，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=21，则a=，∴由正弦定理得，===，故答案为：．=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC 15．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的半径为2．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴V P ﹣ABC =V A ﹣PBC =×x=，∴x=2，∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PC 的中点为球心，球的半径为2． 故答案为：2．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=e x （x +1）给出下列命题： ①当x ＞0时，f （x ）=e x （1﹣x ） ②函数f （x ）有2个零点③f （x ）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞） ④∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜2 其中正确的命题是 ③④ ． 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】通过函数的奇偶性的定义求出函数的解析式，判断①的正误；通过分析出函数的零点的个数判断②的正误；直接求解不等式的解集判断③的正误；求出函数的最值判断④的正误． 【解答】解：设x ＞0，则﹣x ＜0，故f （﹣x ）=e ﹣x （﹣x +1）=﹣f （x ）， ∴f （x ）=e ﹣x （x ﹣1），故①错； ∵f （x ）定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0，又x ＜0时，f （﹣1）=0，x ＞0时，f （1）=0，故f （x ）有3个零点，②错； 当x ＜0时，令f （x ）=e x （x +1）＞0，解得﹣1＜x ＜0， 当x ＞0时，令f （x ）=e ﹣x （x ﹣1）＞0．解得x ＞1，综上f （x ）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），③正确； 当x ＜0时，f ′（x ）=e x （x +2），f （x ）在x=﹣2处取最小值为， 当x ＞0时，f ′（x ）=e ﹣x （﹣x +2），f （x ）在x=2处取最大值为， 由此可知函数f （x ）在定义域上的最小值为，最大值为，而=＜2，∴∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜2，④正确． 故答案为：③④．三、解答题17．已知数列{a n }的首项a 1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等比关系的确定． 【分析】（Ⅰ）由a n+1=，可得，即可证明数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）分组，再利用错位相减法，即可求出数列{}的前n 项和S n ．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知﹣1=，即，∴．设…，①则…，②由①﹣②得…，∴．又1+2+3+…，∴数列的前n项和．18．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点M是棱CC1的中点．（1）在棱AB上是否存在一点N，使MN∥平面AB1C1？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由；（2）当△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2时，求点M到平面AB1C1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）在棱AB上在一点N，使MN∥平面AB1C1，点N为线段AB的中点．下面给出证明：分别取线段AB，AC的中点N，P．连接MP，PN，NM．利用三角形中位线定理可得：MP∥AC1，NP∥BC，又BC∥B1C1，可得NP∥B1C1．再利用线面面面平行的判定定理与性质定理即可证明．（2）先求点A到平面AB1C1的距离h，则点M到平面AB1C1的距离是．由△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2，可得点A到平面BCC1B1的距离d=．利用=，即可得出．【解答】解：（1）在棱AB上在一点N，使MN∥平面AB1C1，点N为线段AB的中点．下面给出证明：分别取线段AB，AC的中点N，P．连接MP，PN，NM．又点M是棱CC1的中点，由三角形中位线定理可得：MP∥AC1，NP∥BC，又BC∥B1C1，可得NP∥B1C1．又MP⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴MP∥平面AB1C1，同理可证PN∥平面AB1C1，又PN∩PM=P．∴MN∥平面AB1C1．（2）先求点A到平面AB1C1的距离h，则点M到平面AB1C1的距离是．∵△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2，∴点A到平面BCC1B1的距离d=.==2．AC1=AB1==2．∴==．∵=，∴=，∴h==．∴=．∴点M到平面AB1C1的距离为．20．已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设点M（x，y），通过K AM•K BM=﹣，即可求出所在的曲线C的方程．（2）求出，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S△OQR，求解最值．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．21．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）在其定义域上为增函数⇔f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．通过分离参数a，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）当a=1时，g（x）=.．由于函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，可知：方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．再利用导数研究其单调性、函数的零点即可．【解答】解：（1）：函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnx+x2+ax，∴．∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．∴对x∈（0，+∞）都成立．当x＞0时，，当且仅当，即时，取等号．∴，即．∴a的取值范围为．（2）当a=1时，．．∵函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．令（x＞0），由于x＞0，则，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∵，，∴函数φ（x）的零点x0∈（3，4）．∵方程φ（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，t∈N*∴t≤3．∵t∈N*，∴t的最大值为3．[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到，又GC=AG，所以，从而得到证明；（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可．【解答】（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt△AGB和Rt△DCA相似所以又因为OG⊥AC，所以GC=AG所以，即BA•DC=GC•AD（2）解：因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以所以AD=15，即圆的直径2r=15又因为AB2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM﹣100=0解得BM=5．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y﹣2﹣1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；…（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，代入x+y得，x+y=•2cosθ+=2sin=4sin（）∈[﹣4，4]∴x+y的取值范围是[﹣4，4]…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式；对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法．【分析】对于（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域．根据m=5和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x ﹣2|＞5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．对于（2）由关于x的不等式f（x）≥1，得到|x+1|+|x﹣2|＞m+2．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+2＜3，求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)(文科数学含答案详解)
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（4）文科数学本试题卷共6页，23题(含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分有不必要 D ．充要【答案】B【解析】2:log 102q x x <⇒<<，因为()()0,21,2⊂-，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B ．2．已知复数11i z a =+，232i z =+，a ∈R ，i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数,则a =( ）A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】A【解析】复数11i z a =+，232i z =+,()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++．若12z z ⋅是实数,则230a +=，解得23a =-．故选A ．3．下列函数中既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（ ）A ．()22x x f x -=-B ．()21f x x =-C ．()12log f x x = D ．()sin f x x x =【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在()0,+∞上单调递减,不满足条件；D 是偶函数但是在()0,+∞上不单调．故答案为B ．4．已知变量x ,y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：x1 2 3 4 y0.1m3.14则m =（ )A ．0。
8B ．1.8C ．0.6D ．1。
6【答案】B【解析】由题意, 2.5x =，代入线性回归方程为 1.31ˆyx =-,可得 2.25y =， 0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯， 1.8m ∴=,故选B ．5．若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤，则32x y +的最大值是( ) A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()1,1A 处取得最大值,max 3231215z x y =+=⨯+⨯=．本题选C ．6．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且124a a a 、、成等比数列，则1143a a a +=（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由124a a a 、、成等比数列得2214a a a =,()()21113a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=，0d ≠,1d a ∴=，1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+，选C ． 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后,至少再隔多少天三人再次相会？"假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( ） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25，20,小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20—(8+6+5）+1=60． 故选C ．8．如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．24223++B ．22243++C ．263+D ．842+【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为222222324223ABC PBC PAC PAB S S S S S =+++=+++=++△△△△，故选A ．9．若函数()()()3sin 2cos 2(0π)f x x x θθθ=+++<<的图象经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】由题意得()()()π3sin 2cos 22sin 26f x x x x θθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，∵函数()f x 的图象经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，∴ππππ2sin 22sin 02266f θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又0πθ<<,∴5π6θ=，∴()2sin 2f x x =-．对于选项A ，C ，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，故函数不单调，A ，C 不正确;对于选项B ，D ，当π3π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π3π2,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递增,故D 正确．选D ．10．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点,若点A ,B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞- C ．()1,-+∞ D ．()2,-+∞【答案】B【解析】设(),2aA a ，(),2bB b ，则112222ab -=-，因为a b ≠，所以221a b +=，由基本不等式有2222a b a b ++>⨯，故221a b +⨯<,所以2a b +<-，选B ．11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1,2，a ，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线,则三棱锥的体积的最大值为( )A ．212B ．312C ．26D ．36【答案】A【解析】如图所示，三棱锥A BCD -中，AD a =，2BC =,1AB AC BD CD ====，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD △看作底面，则当平面ABC ⊥平面BCD 时,该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高22h =,△BCD 是等腰直角三角形，则12BCD S =△，综上可得，三棱锥的体积的最大值为112232212⨯⨯=．本题选择A 选项．12．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ,A ，B 为其左右顶点，以线段1F ，2F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30MAB ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．212B ．213C ．193D ．192【答案】B【解析】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=±，以1F ，2F 为直径的圆的方程为222x y c +=，将直线by x a=代入圆的方程，可得：22ac x a a b==+（负的舍去）,y b =，即有()M a b ，,又()0A a -，，30MAB ∠=︒，则直线AM 的斜率33k =，又2bk a=，则()2222343b a c a ==-,即有2237c a =，则离心率213c e a ==，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos 2c B a b =+,则C ∠=_________． 【答案】120︒【解析】∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac+-⨯=+,即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．【答案】138【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知:当1x =,1y =时，220z x y =+=<,1x =，2y =，运算程序依次继续：320z x y =+=<，2x =，3y =；520z x y =+=<，3x =,5y =;820z x y =+=<，5x =,8y =；1320z x y =+=<，8x =，13y =；2120z x y =+=>,138y x =运算程序结束，输出138，应填答案138． 15．在ABC △中,22CA CB ==，1CA CB ⋅=-，O 是ABC △的外心，若CO xCA yCB =+，则x y +=______________．【答案】136【解析】由题意可得：120CAB ∠=︒，2CA =，1CB =，则:()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，如图所示，作OE BC E ⊥=,OD AC D ⊥=,则2122CO CA CA ⋅==,21122CO CB CB ⋅==，综上有:4212x y x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，求解方程组可得：5643x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故136x y +=． 16．已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =．若在区间[)1,4内，函数()()2g x f x ax =-有两个不同零点，则a 的范围为__________．【答案】ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】()()2f x f x =，()2x f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,当[)2,4x ∈时，[)1,22x ∈;()ln ln ln 222x x f x f x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故函数()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，，作函数()f x 与2y ax =的图象如下,过点()4,ln 2时,ln 224a =,ln 28a ∴=,ln ln 2y x =-，1y x '=；故ln ln 21x x x-=，故2e >4x =，故实数a 的取值范围是ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在ABC △中，2B A C =+，且2c a =． （1）求角A ，B ，C 的大小；（2）设数列{}n a 满足2cos n n a nC =，前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值．【答案】（1)π6A =，π3B =,π2C =；(2）4n =或5n =．【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=,所以π3B =．又由2c a =， 所以2222π42cos 33b a a a a a =+-⋅=，所以222c a b =+,所以ABC △为直角三角形,π2C =，πππ236A =-=． （2）0,π2cos 2cos22,n n n n n n a nC n ⎧⎪===⎨⎪⎩为奇数为偶数． 所以()22224221241224020202143kk k n k k S S S ++--===++++⋅⋅⋅++==-,*k ∈N ，由2224203k n S +-==,得22264k +=，所以226k +=,所以2k =，所以4n =或5n =． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示:（1）求m 的值及这50名同学数学成绩的平均数x ；（2)该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,140的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在[]130,140的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．【答案】(1）0.008m =,121.8x =；（2)()45P A =． 【解析】（1)由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=,解得0.008m =，950.004101050.012101150.024101250.0410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ 1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=．(2）由频率分布直方图可知，成绩在[]130,140的同学有0.01210506⨯⨯=（人）， 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A 、B 、C 、D;女生分别为x 、y ，则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC 、ABD 、AB x 、AB y 、ACD 、AC x 、AC y 、AD x 、AD y 、BCD 、BC x 、BC y 、BD x 、BD y 、CD x 、CD y 、A xy 、B xy 、C xy 、D xy ——共20种，其中不含女生的有4种ABC 、ABD 、ACD 、BCD;设：至少有一名女生参加座谈为事件A ，则()441205P A =-=． 19．如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，E 为AB 的中点．（1)在侧棱VC 上找一点F ，使BF ∥平面VDE ,并证明你的结论；（2)在（1）的条件下求三棱锥E BDF -的体积．【答案】(1）见解析；（2)36E BDF V -=． 【解析】（1）F 为VC 的中点． 取CD 的中点为H ，连BH HF 、，ABCD 为正方形，E 为AB 的中点,BE ∴平行且等于DH ，//BH DE ∴， 又//FH VD ，∴平面//BHF 平面VDE ，//BF ∴平面VDE ．（2)F 为VC 的中点，14BDE ABCD S S =△正方形，18E BDF F BDE V ABCD V V V ---∴==， V ABCD -为正四棱锥,V ∴在平面ABCD 的射影为AC 的中点O ，5VA =AO =VO ∴=21233V ABCDV -∴=⋅=,6E BDF V -∴=． 20．已知椭圆1C :22221x y a b += (0)a b >>的离心率为，焦距为，抛物线2C ：22x py =(0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点．（1）求1C 与2C 的标准方程；（2)1C 上不同于F 的两点P ,Q 满足0FP FQ ⋅=,且直线PQ 与2C 相切，求FPQ △的面积．【答案】（1)221124x y +=,28x y =；（2）5．【解析】（1）设椭圆1C 的焦距为2c，依题意有2c =,c a =，解得a =2b =,故椭圆1C 的标准方程为221124x y +=． 又抛物线2C :22(0)x py p =>开口向上,故F 是椭圆1C 的上顶点，()0,2F ∴,4p ∴=，故抛物线2C 的标准方程为28x y =．（2）显然，直线PQ 的斜率存在．设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ,()22,Q x y ，则()11,2FP x y =-，()22,2FQ x y =-， ()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=，即()()()22121212440k x x km k x x m m ++-++-+=()*，联立221124y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得,()()2223163120**k x kmx m +++-=．依题意1x ,2x ，是方程()**的两根，2214412480k m ∆=-+>，122631kmx x k -∴+=+，212231231m x x k -⋅=+, 将12x x +和12x x ⋅代入()*得220m m --=， 解得1m =-，(2m =不合题意，应舍去）联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=，令264320k '∆=-=，解得212k =．经检验，212k =，1m =-符合要求． 此时，12x x -===, 121325FPQ S x x ∴=⨯⨯-=△．21．设函数()()221f x x x =∈+R ． (1）求证：()21f x x x -++≥；（2）当[]1,0x ∈-时，函数()2f x ax +≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1)见解析；（2）1a ≥．【解析】（1）原不等式等价于4310x x x --+≥，设()431g x x x x =--+， 所以()()()322431141g x x x x x x '=--=-++，当(),1x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>,()g x 单调递增．又因为()()min 10g x g ==，所以()0g x ≥．所以()21f x x x -++≥． (2）当[]1,0x ∈-时，()2f x ax +≥恒成立，即221xa x -+≥恒成立． 当0x =时，2201xx-=+； 当[)1,0x ∈-时，而()222111x x x x --=++--,所以1a ≥． （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），直线2l 的参数程为3x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）,设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ．（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线2C 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠；（2)d 的最小值为【解析】（1)将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程；(1:l y k x =+，①)21:3l y x k=，②①×②消k 可得:2213x y +=，因为0k ≠,所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠．（2）直线2C 的直角坐标方程为:80x y +-=． 由（1)知曲线1C 与直线2C 无公共点，由于1C 的参数方程为sin x ay a ⎧=⎪⎨=⎪⎩(a 为参数,πa k ≠，k ∈Z )，所以曲线1C 上的点),sin Qa a 到直线80x y +-=的距离为：d ==所以当πsin 13a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d 的最小值为23．已知函数()()13f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； (2)设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥，①当13x ≤时,原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤；②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤．③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以2x ≥， 综上所述，当2a =时,不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．(2)不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -+≤≤，所以113112a a ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≤≥， 解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(A卷)(含答案解析)
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. D.2.若复数为虚数单位，则的值为A. B. C. D.3.若，，且，则向量，的夹角为A. B. C. D.4.若，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.5.给定下列四个命题，其中真命题是A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为3，则等于A. B. C. 4 D.7.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则该同学10次测评的平均成绩为A. 12B.C.D. 118.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为A. B. C. D.9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过A. 2小时B. 4小时C. 6小时D. 8小时10.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，A. B. C. D.11.已知双曲线，点F是双曲线C的左焦点，过原点的直线交双曲线C于A，B两点，且，，如图所示，则双曲线C的离心率为A.B.C. 2D.12.函数，若存在正实数，，，，其中且，使得，则n的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为______．14.已知函数是奇函数，当时，且，且，则______．15.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若的面积，则面积的最小值为______．16.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面ABC，且，且，D为PA的中点．求证：直线平面ABC；求多面体的体积．18.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系？针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率．参考数据：，．19.已知等差数列前n项和为，，．求数列的通项公式及前n项和；设，求前2n项和．20.设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．求椭圆E的方程；设过原点O的直线交椭圆于A，B两点B不在坐标轴上，连接AF并延长交椭圆于点C，若，求四边形ABCD面积的最大值．21.已知函数．讨论的单调性；当时，证明：；证明：．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和的直角坐标方程；已知曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于极点O，求的值．23.已知关于x的函数．若存在x使得不等式成立，求实数a的取值范围；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为集合，集合，所以．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：若，，且，设向量，的夹角为，，则，求得，，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4.答案：D解析：解：由幂函数的性质可知，函数在R上单调递增，又，，故选：D．利用幂函数的性质可知选项D正确．本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图所示，在长方体中：，，但是与不平行，所以A错；平面与平面相交，但是内平行于的直线都平行于，所以B错；平面平面，平面平面，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6.答案：B解析：解：设抛物线的方程为，由抛物线定义知，，，抛物线方程为，点在抛物线上，，．故选：B．先由抛物线的定义建立关于p的方程，解之可得p的值以及抛物线的方程，再把点P的坐标代入可求得，最后利用两点间距离公式即可得解．本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：因为中位数为12，所以，．所以该组数据的平均数为：，故选：B．由中位数求出，整体代换求平均值．本题考查中位数、平均数的求法，属于基础题．8.答案：B解析：解：函数，整理得，由于函数的最小正周期为，所以，故．将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象，由于函数的图象关于对称，所以，解得，当时，．故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：C解析：解：，则n小时后的血液中酒精含量为，由，解得，故选：C．先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．10.答案：C解析：解：已知，所以，所以，解得或舍去．则，由于，所以．则当，即时，函数取得最大值．故选：C．首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：设双曲线的右焦点为，根据对称性知是平行四边形，所以有，又点A在双曲线上，所以，因为，所以，即，而在三角形OFB中，，，，，在三角形AFB中，，，，，所以，即，所以双曲线的离心率，故选：B．由双曲线的对称性，连接A，B与右焦点的连线，可得是平行四边形，对应边平行且相等，，所以，即，在直角三角形OBF中可得，再在三角形ABF中可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出离心率．本题考查双曲线的性质及直角三角形的性质，属于中档题．12.答案：C解析：解：，当时，，，，，即，所以，，由知，集合，因为且，所以，，所以，即，又，所以n的最大值为8，故选：C．用均值不等式求出函数的值域8】，则8】与需有公共元素，进而可求n的范围．本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．13.答案：300解析：解析：由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，设阴影部分能栽种x株，则有，解得．故答案为：300．由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，即可得答案．本题考查几何概型的计算以及应用，关键是掌握概率的性质，属于基础题．14.答案：解析：解：根据题意，函数是奇函数，且，又由，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：根据题意，由对数的性质可得，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15.答案：解析：解：，，，，，即．，的面积，解得．则面积的最小值为当且仅当，时取等号．故答案为：．，利用正弦定理、倍角公式可得，化简可得利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得，利用的面积，进而得出结论．本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：由题意，，又，，，，，．，三棱锥的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，且点C到平面ABD的距离，．故答案为：；．由题意，，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC的长度，结合，可知三棱锥的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C 到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，求出点C 到平面ABD的距离，可得三棱锥体积的最大值．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．17.答案：解：设AB的中点为G，连接DG，CG，则，，又且，所以且，所以四边形DGCE为平行四边形，所以，又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．取BC中点F，连接因为，所以PBCE在同一平面上，所以多面体ABCEP是四棱锥，因为平面ABC，平面ABC，所以，又为等腰直角三角形，，F是BC的中点，所以，所以平面PBCE，即AF是四棱锥的高，已知，所以，，，所以．解析：设AB的中点为G，连接DG，CG，说明，证明四边形DGCE为平行四边形，得到，然后证明平面ABC．取BC中点F，连接说明多面体ABCEP是四棱锥，推出AF是四棱锥的高，通过等体积法求解即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100计算得的观测值为，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系；喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，设抽取的男生为，，女生为，，，，选出的两人均为女生为事件A，则基本事件空间，，，．事件，，，故选出的两人均为女生的概率为．解析：根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；分别计算抽取的6人中男生的人数和女生的人数，列出所有基本事件，再利用古典概型的概率公式即可算出结果．本题考查了独立性检验的应用问题，以及古典概型的概率公式，考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：解：由题意，设等差数列的公差为d，则，整理，得，解得，，，．由知，设．．解析：本题第题先设等差数列的公差为d，然后根据，列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可得到等差数列的通项公式及前n项和；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用分组求和法计算出前2n项和．本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及运用分组求和法求和问题．考查转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.答案：解：由题得，，所以，则，故椭圆E的方程为：；根据条件可得，设直线AC的方程为，联立，整理得，设，，则，，则，令，则，在上单调递减，所以当，即时，面积最大，最大值为．解析：有条件得到，，求出b，即可得椭圆方程，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到，利用换元思想及不等式即可求出其最值．本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：，令，时，，在上单调递增；时，时，，单调递增；时，，单调递减．，时，，单调递减；时，，单调递增．综上，时，在上单调递增；时，在上调递增，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增．时，，所以，令，则，时，，单调递增；时，，单调递减．，即，即．时，，．由知，即．令得，即，所以，．．解析：，令，对a分类讨论即可得出单调性．时，，，令，利用导数研究其单调性即可证明结论．时，，由知，即令得，即，可得，利用累加求和方法、放缩法即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法累加求和方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：曲线的参数方程为，为参数转换为和直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．根据题意建立，解得，同理，解得，故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立方程组，进一步求出的值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：对，，当且仅当时，等号成立，故原条件等价于，即，解得，故实数a的取值范围为；当时，，，即，则，又的解集包含，在恒成立，当时，，又，，即实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的性质可得，解出即可；依题意，在恒成立，则，，由此即可求得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。
【附加15套高考模拟试卷】山西省2020届高三第三次四校联考数学(文)试卷含答案
山西省2020届高三第三次四校联考数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是（）A．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[]3,1-C．(][),31,-∞-+∞UD．3,17⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a 的值为A．B．C．1 D．23．已知函数()2sin4f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,8⎛⎫⎪⎝⎭π上单调递增，则ω的最大值为（）A．12B．1 C．2 D．44．关于函数，下列说法错误的是()A．是奇函数B．在上单调递增C．是的唯一零点D．是周期函数5．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E为顶点的多边形为正五边形，且512PTAT-=.下列关系中正确的是（）A．51BP TS RS+-=u u u r u u r u u rB．51CQ TP++=u u u r u u rC．51ES AP--=u u u r u u u rD．51AT BQ-+=u u u r u u u r u u r6．已知函数()()()2sin0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，已知点()0,3A ，,06B π⎛⎫⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为( )A ．4x π=B ．3x π=C ．23x π=D ．12x π= 7．已知,x y 满足的约束条件3121x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．在V ABC 中，sin 32sin B A =，2BC =，且4C π=，则AB =（ ）A ．26B ．5C ．33 D ．269．集合{1,3,5,7}A =，2{|40}B x x x =-+≥，则A B =I （ ） A ．[1,3]B ．{1,3}C ．[5,7]D ．{}5,710．数列{}n a 满足3OA OB ⋅=-u u u v u u u v(2,)n n N ≥∈是数列{}n a 为等比数列的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设集合{}14A x =，，，{}21B x =，，且{}14A B x ⋃=，，，则满足条件的实数x 的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个.12．AQI 是表示空气质量的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据,图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201,则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日,空气质量越来越好二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山西省高考4月份考前适应性测试文科数学含答案
令 f ′( x ) = 0 得 x = ±1，∴ A( -1, 2 )，B ( 1, -2 )，又 P ( m，m3 - 3m ).
当 P 为切点时，由切线 AP 的斜率得 3m2
-
3
=
m3
- 3m m+1
2，
化简得 3( m
+
1)(
m
-
1) =
(m
+
1 )2 ( m m+1
-
2 )，解得 m
=
1 2
AAA AAB AAC ABA ABB ABC ACA ACB ACC
BAA BAB BAC BBA BBB BBC BCA BCB BCC
CAA CAB CAC CBA CBB CBC CCA CCB CCC ………………………………………………… 10 分
其中，可集齐三种玩具的情况共有 6 种可能（以下划线形式标出），而每种可能出现的机会相等，
即 ( n + 11 )( n - 9 ) ≤ 0，解得 1 ≤ n ≤ 9.
故正整数 n 的最大值为 9. ……………………………………………………………………………………… 12 分
18.（1）解：由已知得 AM = 1，AN = 2，∠A = 60°，
∴MN ⊥ AB. ……………………………………………………………………………………………………… 2 分
对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具 A，B，C 的频率分别是 32%，35%，33%，其中 35%-32% = 3%，
差别较大，故不能够认为购买一袋该零食，获得玩具 A，B，C 的概率相同 . …………………………………… 6 分
（2）据题设知，将其购买的第一袋、第二袋、第三袋零食中附赠的玩具按顺序列出，可知共有 27 种不同的可能，即
2020年山西省晋中市高考数学一模试卷(文)含答案解析
2020年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足1+z=i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（）A．100 B．110 C．115 D．1203．“|m|＜2”是“m≤2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．55．公差不为零的等差数列{a n}中，a7=2a5，则数列{a n}中与4a5的值相等的项是（）A．a11B．a12C．a13D．a146．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．17．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2=，则•的值是（）A．48 B．24 C．12 D．68．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．19．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB （O为坐标原点）的面积是（）A． B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（）A．i＞6 B．i＞7 C．i＞8 D．i＞911．在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．π12．已知f（x）=则方程f[f（x）]=3的根的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B⊆∁U A，则集合B的个数是．14．设四个函数：①y=x；②y=21﹣x；③y=ln（x+1）；④y=|1﹣x|．其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是．15．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=3（2n﹣1），数列{b n}的通项公式为b n=5n﹣2．数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}．若数列{c n}的第n项恰为数列{a n}第k n项，则数列{k n}的前32项的和是．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．19．某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．20．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．21．已知直线y=x+1与函数f（x）=ae x+b的图象相切，且f′（1）=e．（I）求实数a，b的值；（Ⅱ）若存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求的取值范围．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆E的方程；（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]23．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]25．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．2020年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020-2021学年山西省高考数学模拟试卷(文科)及答案解析
山西省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（）A．x=1，y=1 B．（1，1）C．{1，1} D．{（1，1）}2．“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（）A．x=1 B．x=±1 C．y=1 D．y=±14．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣145．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．6．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．65πD．7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44 B．32 C．10+6D．22+69．已知函数f（x）=若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．a≤﹣B．a＜C．﹣≤a＜D．a＞10．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A．B．C．D．11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x的最大整数），则运行后输出的结果是（）A．31 B．33 C．35 D．3712．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．是复数z的共轭复数，若z•=4，则|z|= ．14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为．16．F为抛物线y2=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，]，则△AFH面积的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}为等差数列，且，3，a4，a10成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．（Ⅰ）求证：BA1=BM；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？20．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC 至D，使得AC•BF=AD•BE．（1）证明：DA是⊙O的切线；（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣a|（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（）A．x=1，y=1 B．（1，1）C．{1，1} D．{（1，1）}【考点】交集及其运算．【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．【解答】解：联立得：，消去y得：2x﹣1=x2，即（x﹣1）2=0，解得：x=1，y=1，则A∩B={（1，1）}，故选：D．2．“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性及其求法．【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：若“”则“”一定成立若“”，则α=2kπ±，k∈Z，即不一定成立故“”是“”的充分不必要条件故选B3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（）A．x=1 B．x=±1 C．y=1 D．y=±1【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，让d等于半径1，得到cosθ=0，sinθ=±1，即可求出直线l的方程．【解答】解：根据圆C：x2+y2=1，得到圆心坐标C（0，0），半径r=1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==r=1，解得：cosθ=0，sinθ=±1则直线l的方程为x=±1．故选：B．4．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即B（3，﹣3）此时z=3+2×（﹣3）=3﹣6=﹣3．故选：A．5．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．6．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．65πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，球半径R=，由此能求出该球的表面积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，则OE∥PA，∴OE⊥平面ABCD，∴O到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为，∴O是该四棱锥的外接的球心，该球半径R====，∴该球的表面积为S=4=．故选：B．7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】他从口袋中随意摸出2张，求出基本事件总数，再求出其面值之和不少于四元包含的基本事件个数，由此能求出其面值之和不少于四元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，基本事件总数n==10，其面值之和不少于四元包含的基本事件个数m==5，∴其面值之和不少于四元的概率p==．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44 B．32 C．10+6D．22+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形四棱锥，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为矩形四棱锥；且矩形的长为6，宽为2，四棱锥的高为4，如图所示：所以该四棱锥的表面积为S=S矩形ABCD+2S△PAB +2S△PBC=6×2+2××6×+2××2×=22+6．故选：D．9．已知函数f（x）=若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．a≤﹣B．a＜C．﹣≤a＜D．a＞【考点】分段函数的应用；函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式先求出当x＜﹣1时的取值范围，然后根据函数f（x）的值域为R，确定当x≥﹣1时，函数f（x）的取值范围即可．【解答】解：当x＜﹣1时，则﹣x﹣1＞0，此时f（x）=2e﹣x﹣1＞2，若2a﹣1=0，则a=，此时当x≥﹣1时，f（x）=﹣1，此时函数f（x）的值域不是R，不满足条件．若2a﹣1＞0，即a＞时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为增函数，此时f（x）≥﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，此时函数的值域不是R，若2a﹣1＜0，即a＜时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为减函数，此时f（x）≤﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，若函数的值域是R，则1﹣4a≥2，即4a≤﹣1，即a≤﹣，故选：A．10．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】延长OC 到D ，使OD=4OC ，延长CO 交AB 与E ，由已知得O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，推导出S △AEC =S △BEC ，S △BOE =2S △BOC ，由此能求出结果． 【解答】解：延长OC 到D ，使OD=4OC ， 延长CO 交AB 与E ， ∵O 为△ABC 内一点，且满足，∴=，∴O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，∴OD ：OE=2：1，∴OC ：OE=1：2，∴CE ：OE=3：2， ∴S △AEC =S △BEC ，S △BOE =2S △BOC ，∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2， ∴=．故选：B ．11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x 的最大整数），则运行后输出的结果是（ ）A．31 B．33 C．35 D．37【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的i值是什么．【解答】解：模拟程序框图运行，如下；S=0，i=1，S≤30成立，S是整数，S=；i=3，S≤30成立，S不是整数，S=[]=0，S=；i=5，S≤30成立，S不是整数，S=[]=1，S=3；i=7，S≤30成立，S是整数，S=5；i=9，S≤30成立，S是整数，S=7；…i=31，S≤30成立，S是整数，S=29；i=33，S≤30成立，S是整数，S=31；i=35，S≤30不成立，终止循环，输出i=35．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由已知式子和正弦定理可得B=，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．【解答】解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．是复数z的共轭复数，若z•=4，则|z|= 2 ．【考点】复数求模．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，|z|=||，利用z•=|z|2，即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，|z|=||，∵z•=4，∴|z|2=4，则|z|=2．故答案为：2．14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为[﹣3，3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，通过导函数大于0，解不等式即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，∴△=4a2﹣36≥0，解得：﹣3≤a≤3，故答案为：[﹣3，3]．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，=﹣，求得ω=2．再根据图象经过点（，0），可得2•+φ=kπ，k∈Z，求得φ=﹣，故函数f（x）=2sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故函数f（x）的最小值为2×（﹣）=﹣1，故答案为：﹣1．16．F为抛物线y2=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，]，则△AFH面积的最小值为36．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，]，则x≥9，△AFH面积S=×（x+3）y，利用导数确定函数的单调性，即可求出△AFH面积的最小值．【解答】解：设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，]，则x≥9△AFH面积S=×（x+3）y，t=S2=（x+3）2×12x=3x（x+3）2，t′=3（x+3）2+6x（x+3）=3（x+3）（3x+3）＞0，函数单调递增．∴x=9时，S最小，S2=3×9×122，S=36．故答案为：36．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}为等差数列，且，3，a4，a10成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由，3，a4，a10成等比数列．可得公比为2．再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，3，a4，a10成等比数列．∴公比为=2．∴a4=×22=6，a10==12．设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，于是a n=3+（n﹣1）=n+2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：==，于是S n=++…+=﹣=．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．（Ⅰ）求证：BA1=BM；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C，由题意可得△ABC是等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形，利用菱形和等边三角形的性质可得A1D=DM，由面面垂直的性质可得BD⊥A1D，BD⊥DM，于是△A1DB≌Rt△MDB，于是BA1=BM；（II）根据等腰直角三角形的性质计算BD，以△A1C1M为棱锥的底面，则棱锥的高与BD相等．代入棱锥的体积公式计算．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C．∵AB=BC，∴BD⊥AC．∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1ACC1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面A1ACC1，∵A1D⊂平面A1ACC1，DM⊂A1ACC1，∴BD⊥A1D，BD⊥DM．∵D，M是AC，CC1的中点，∴DM=，∵AC=AA1，∠A1AC=60°，∴四边形AA1C1C是菱形，△A1AC为等边三角形，∴A1D==DM，∴Rt△A1DB≌Rt△MDB．∴BA1=BM．（Ⅱ）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=2，∴BD=AD=AC=．∴A1D==．MC1==．S==．∵BB1∥平面AA1C1C，∴点B1到平面AA1C1C的距离h=BD=，∴V=V===．19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）确定基本事件，即可求出径之差不超过1mm的概率．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（Ⅱ）易知样本中次品共6件，将直径为58，59，70，71，71，73的次品依次记为A，B，C，D，E，F从中任取2件，共有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF15种可能，而直径不超过1mm的取法共有AB，CD，CE，4种可能，由古典概型可知P=．…20．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．（II）设直线l的方程为x=my﹣1，与椭圆联立，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出△ABF2的面积．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…∵AF2⊥BF2，∴=0，∴=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4===0∴m2=7．…∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．…21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（Ⅱ）求出g（x）的导函数g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1 （x＞0），当时，g′（x）在（0，+∞）上单调递增，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g′（x0）=0，则当0＜x＜x0时，g（x）单调递减，当x＞x0时，g（x）单调递增，从而可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：由函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．得，（x＞0）．若a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；若a＞0，时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，综上，若a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），若a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（Ⅱ）证明：g（x）=xf（x）+2=，（x＞0）．则g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1 （x＞0）．当时，g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1在（0，+∞）上单调递增，又g′（1）=﹣1＜0，，∴g′（2）=﹣a+ln2﹣1＞0，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g′（x0）=0．则当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；故而（a﹣2）x0+2．又g′（x0）=﹣ax0+lnx0+a﹣1=0，1＜x0＜2，∴．选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC 至D，使得AC•BF=AD•BE．（1）证明：DA是⊙O的切线；（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）证明：∠ACD=∠BEF，∠DAC=∠FBE，进而证明∠DAB=90°，即可证明DA是⊙O的切线；（2）由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，利用AF：AB=1：，即可求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．【解答】（1）证明：由题意知∠ACD=90°，∵A，E，F，C四点共圆，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF．又∵AC•BF=AD•BE，∴△ADC∽△BFE．∴∠DAC=∠FBE．∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，即∠DAB=90°，∴DA是⊙O的切线．…（2）解：由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，∵AF：AB=1：．∴AF2：AB2=1：2．即过点A，E，F，C的圆的面积与⊙O的面积之比为1：2．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）先求出直线AB的方程，设P（4cosθ，3sinθ），求出P到直线AB的距离，由此能求出△ABP面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，∴9ρ2+7ρ2sin2θ=144，由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144．即曲线C的直角坐标方程为．…（Ⅱ）∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为3x+4y﹣12=0，设P（4cosθ，3sinθ），则P到直线AB的距离为：d==，当θ=时，d max=，∴△ABP面积的最大值为×|AB|×=6（+1）．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣a|（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=5时，不等式即|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，移项平方，可得它的解集．（2）根据条件可得，由此求得a的范围，从而求得a的值．【解答】解：（1）当a=5时，不等式f（x）≥0可化为：|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，等价于（x﹣1）2≥（2x﹣5）2，解得2≤x≤4，∴不等式f（x）≥0的解集为[2，4]．（2）据题意，由不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，可得：，解得，∴9≤a＜10．又∵a∈Z，∴a=9．。
山西省2020年4月高三适应性考试文科数学试题(含解析)
山西省2020年4月高三适应性考试文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足i i 1z =+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A.1i +B.1i -C.1i --D.1i -+2.已知0a >，0b >，m ∈R ，则“a b ≤”的一个必要不充分条件是（ ） A.m m a b ≤B.22a bm m ≤C.22am bm ≤D.22a m b m ≤++3.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成类型的标准：年龄中位数在20岁以下为年轻型人口；年龄中位数在20~30岁为成年型人口；年龄中位数在30岁以上为老年型人口. 全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响上图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响.据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为成年型人口；②从2010年至2020年为老年型人口；③放开二孩政策之后我国仍为老年型人口. 其中正确的是（ ） A.②③B.①③C.②D.①②4.已知函数()e 3,1,ln ,1,x x x f x x -<≥⎧=⎨⎩则关于函数()f x 的说法不正确的是（ ）A.定义域为RB.值域为()3,-+∞C.在R 上为增函数D.只有一个零点5.在四边形ABCD 中，()3,1AC =-，()2,BD m =，AC BD ⊥，则该四边形的面积是（ ）B.C.10D.206.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（ ） A.5.5，3.7B.5.4，4.4C.6.5，3.7D.5.5，4.47.双曲线1C ：22221x y a b -=与2C ：22221x y b a-=（0a b >>）的离心率之积为4，则1C 的渐近线方程是（ ）A.y x =±B.(2y x =±C.2y x =±D.(2y x =±8.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（ ）A.279π+B.2712π+C.33πD.189π+9.在OAB △中，若OA OB ⊥，OA a =，OB b =，则AB ==类比上述结论，可推测：在三棱锥O ABC -中，若OA ，OB ，OC 两两垂直，OA a =，OB b =，OC c =，1BOC S S =△，2COA S S =△，3AOB S S =△，则ABC S =△（ ）A.B.12S S S10.过点()1,1P -作抛物线2y ax =（0a >）的两条切线PA ，PB ，且PA PB ⊥，则a =（ ） A.14B.12C.2D.411.函数()2sin 2x x f x =+()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值是（ ） A.6π B.4π C.3π D.23π 12.已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A.6B.C.D.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省实验中学2020届高三年级第四次联考(文数)
山西省实验中学2020届高三年级第四次联考数 学（文科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解 三角形、平面向量、数列、不等式（约40%）；立体几何、直线与圆（约60%）。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1．已知集合{}33>=x x A ，{}05232<--=x x x B ，则=B A I A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-35,1B ．)1,1(-C ．),1(+∞-D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,12．已知直线3+=kx y 的倾斜角是ο45，则=k A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．已知圆锥的高为3，底面直径和母线长相等，则圆锥的体积为 A ．π334B ．π3C ．π33D ．π334．已知向量)2,1(-=a ，),2(k b =，若a b a //)2(+，则实数=k A ．2B ．2-C ．4D ．4-5．已知函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的周期为π，则"6"πϕ=是"6)("⎪⎭⎫⎝⎛≤πf x f 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．圆1)1()2(.:221=++-y x C 与圆4)2()3(:222=+++y x C 的位置关系是 A ．相交B ．外离C ．相切D ．内含7．设2log 2=a ，9.02-=b 1.222,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则 A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．如图是某几何体的三视图（正视图及侧视图中两虚线均垂直，且长 度相等），则该几何体的表面积为 A ．π496-B ．π2248+C ．π)12(496-+D ．π)12(248-+9．若直线l 与圆0124:22=++-+y x y x C 交于B A ,两点，AB 的中点为)2,1(-P ，则=AB A ．2B ．2C ．22D ．410．如图是一个正方体的表面展开图，D B A ,,均为棱的中点，C 是顶点， 则在正方体中异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为A ．510 B ．1010C ．55D ．10511．如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，,2BC AB =将ADE ∆沿直线DE 翻转为DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点，则 在ADE ∆翻转过程中，给出下列命题：①BM 是定值； ②三棱锥ADE A -1的体积存在最大值； ③C A DE 1⊥; ④若∉1A 平面BEDC ,则//MB 平面.1DE A其中正确的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数x x x f ln 2)(-=,xm x x g 3)(3+-=,方程)()(x g x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1内有两个不同的实根，则m 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛+23132,31eB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+32,313222e eC ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+1,31322eD ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-32,312e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(A卷) (含答案解析)
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(A卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2.i是虚数单位，若1+7i2−i=z，则z−等于()A. 3i−1B. 3i+1C. 1−3iD. −1−3i3.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=4，且a⃗⋅b⃗ =−2，则a⃗与b⃗ 所成的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.设y1=0.423，y2=0.523，y3=0.623，则()A. y3<y2<y1B. y1<y2<y3C. y2<y3<y1D. y1<y3<y25.下列命题错误的是()A. 命题“若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线平行于该平面；”的逆否命题为假命题B. “x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件C. 已知直线l1：ax+3y−1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是ab=−3D. 若p∧q为假命题，则p与q中至少有一个为假命题6.已知抛物线C的顶点在坐标原点焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是()A. y2=8xB. y2=4xC. y2=2xD. y2=x7.佳佳同学在8次测试中，数学成绩的茎叶图如图，则这8次成绩的中位数是()A. 86B. 87C. 87.5D. 88.58.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，将其图象向右平移π3个单位后所得图象对应的解析式为()A. y=sin(2x−π6) B. y=−cos2xC. y=sin x2D. y=cos2x9.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不得超过0.1%.若初始含杂质1%，每过滤一次可使杂质含量减少13.为了达到市场要求，至少过滤的次数为()A. 5B. 6C. 7D. 810.函数y=2sin(π3−x)−cos(x+π6)(x∈R)的最小值为()A. −3B. −2C. −1D. −√511.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=()A. √2+1B. 2√2+1C. √5+2√2D. √5−2√212.已知实数x、y满足xy=1，则x2+y2的最小值为()A. 1B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是34，四个全等直角三角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为______．14.若函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+x，则f(−3)的值为__________．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，a2+bc=c2+ac，则cbsinB的值为__________．16.已知三棱锥P−ABC的体积为4√33，，，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点(1)求证：DE//平面ABC；(2)求三棱锥E−BCD的体积．18.为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生．(1)完成下列2×2列联表：(2)能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”．其中n=a+b+c+d附：(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且 S 4=−62，S 6=−75，求：(1){a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|.20. 已知F 1,F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，上顶点为M ，且ΔF 1MF 2的周长为4+2√3，且长轴长为4． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知P(0,3)，若直线y =2x −2与椭圆C 交于A,B 两点，求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 已知函数f(x)=lnx −(1+a)x 2−x ．(1)讨论函数f(x)的单调性．(2)当a<1时，证明：对任意的x∈(0,+∞)，有f(x)<−lnxx−(1+a)x2−a+1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|3x+1|−|3x−4|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：D解析：解：由1+7i2−i=z，得z=1+7i2−i =(1+7i)(2+i) (2−i)(2+i)=−5+15i5=−1+3i，∴z−=−1−3i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数，是基础题．3.答案：C解析：解：设a⃗与b⃗ 所成的夹角为θ，θ∈[0,π]，则由cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=−21×4=−12，可得θ=2π3，故选：C．设a⃗与b⃗ 所成的夹角为θ，θ∈[0,π]，则由cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|的值，求得θ的值．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查比较大小，幂函数的单调性等，属于基础题．根据幂函数y=x23在R上为增函数，利用函数的单调性进行比较即可．解：因为y=x23在R上为增函数，且0.4<0.5<0.6，所以y1<y2<y3.故选：B．5.答案：C解析：解：对于A，∵平面外两点到平面的距离相等，过这两点的直线平行于该平面或与平面相交，∴命题“若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线平行于该平面；”是假命题，它的逆否命题也是假命题；∴A正确．对于B，当x=1时，x2−3x+2=1−3+2=0，充分性成立，当x2−3x+2=0时，x=1或x=2，∴必要性不成立；∴“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件；∴B正确．对于C，∵直线l1：ax+3y−1=0，l2：x+by+1=0；当l1⊥l2时，a+3b=0，即a=−3b，b∈R；∴l1⊥l2的充要条件是a=−3b；∴C错误．对于D，当p∧q为假命题时，p是假命题，或q是假命题，或p、q都是假命题，∴p与q中至少有一个为假命题；∴D正确．所以，以上命题错误的是C．故答案为：C．A中，由平面外两点到平面的距离相等，得出过这两点的直线平行于该平面或与平面相交，能判定它的逆否命题是假命题；B中，由x=1时，得出x2−3x+2=0，判定充分性成立，x2−3x+2=0时，x=1或x=2，判定必要性不成立；C中，直线l1：ax+3y−1=0，l2：x+by+1=0垂直的充要条件是a+3b=0，判定命题C是否正确；D中，p∧q为假命题时，有p是假命题，或q是假命题，或p、q都是假命题，判定命题D是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了空间中直线与平面的位置关系，充分与必要条件，以及复合命题真假的判定问题，解题时应对每一个选项仔细分析，以便选出正确的答案．6.答案：B解析：解：由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，可得抛物线的准线方程为x=−p，2由抛物线的定义可得抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，=5，即为4+p2解得p=2，则抛物线的方程为y2=4x．故选：B．由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，求得准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，解方程即可得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意定义法的运用，以及待定系数法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由茎叶图得到8个数的大小顺序依次是78，79，83，85，87，88，89，96，中间的两个=86；数为85，87，所以中位数为85+872故选A．根据中位数的定义，8个数则是中间两个数的平均数．本题考查了中位数；明确中位数的定义是解答关键．8.答案：B解析：本题考查三角恒等变换及诱导公式，过程简单，属于基础题．根据f(x)的最小正周期为π，求得ω，将x 代换成x −π3，利用诱导公式化简得到答案． 解：由T =2πω=π，ω=2，f(x)=sin(2x +π6)，将其图象向右平移π3个单位后，f(x)=sin[2(x −π3)+π6]=sin(2x −π2)， ∴f(x)=−cos2x ， 故选B ．9.答案：B解析：本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件合理建立方程．设过滤n 次，则1100(23)n≤11000，由此能求出至少要过滤6次才能达到市场要求．解：设过滤n 次，则1100(23)n≤11000， 即 (23)n≤110，∴n ≥lg110lg 23=−1lg2−lg3≈5.68．又∵n ∈N ，∴n ≥6．即至少要过滤6次才能达到市场要求． 故选：B ．10.答案：C解析：本题考查诱导公式及正弦函数的图象与性质，根据题意可得cos (x +π6)=sin (π3−x)，进而利用正弦函数的性质即可求得结果． 解：cos (x +π6)=sin (π3−x)，因此y =2sin (π3−x)−cos (x +π6)=2sin (π3−x)−sin (π3−x)=sin (π3−x)=−sin (x −π3)，所以函数的最小值为−1．故选C．11.答案：D解析：【试题解析】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√22∴e=√5−2√2．故选：D．由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√2，即可求出双曲线的离心率．2本题考查双曲线的离心率，考查余弦定理的运用，属于中档题．12.答案：B解析：【试题解析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．由已知结合基本不等式即可直接求解．解：∵x、y满足xy=1，则x2+y2≥2xy=2，当且仅当x=y=1或x=y=−1时取等号，故选：B．13.答案：217解析：解：根据题意，大正方形的面积是34，则大正方形的边长是√34，又直角三角形的较短边长为3，得出四个全等的直角三角直角边分别是√34−9=5和3，则小正方形的边长为2，面积为4；又∵大正方形的面积为34；故绿豆在小正方形内的概率为434=217，故答案为：217．根据几何概型概率的求法，绿豆在小正方形内的概率为小正方形内与大正方形的面积比，根据题意，可得小正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；难点是得到正方形的边长．属于基础题．14.答案：−12解析：函数f(x)为奇函数，∴f(−3)=−f(3)=−(32+3)=−12．15.答案：2√33解析：本题考查余弦定理和正弦定理的应用，属于中档题．直接利用余弦定理求出A=60°，再利用正弦定理求出结果．解：由b2=ac及a2+bc=c2+ac，得b2+c2−a2=bc．在△ABC中，cos A=b2+c2−a22bc =12．∵0°<A<180°，∴A=60°．在△ABC中，由正弦定理得sin B=bsin Aa．又∵b2=ac，A=60°，∴cbsinB =acb sinA=1sin60°=2√33．故答案为2√33．16.答案：解析：本题主要考查了三棱锥P−ABC外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键，属于中档题．利用等体积转换，设PC=2a，求出a，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，可得球的半径，即可求出三棱锥P−ABC外接球的表面积．解：设PC=2a，因为，，所以△APC为等腰直角三角形，PC边上的高为a，作AD⊥PC，垂足为D，因为平面平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AD⊂平面PAC，所以AD⊥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离为a，因为，，所以PB=a，BC=√3a，S△PBC=12a⋅√3a=√32a2，所以V P−ABC=V A−PBC=13×√32a2⋅a=4√33，解得a=2，因为，，所以PC的中点为外接球的球心，外接球的半径为2，所以三棱锥P−ABC外接球的表面积为4π×22=16π．故答案为．17.答案：解：(1)证明：取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG//BB1，且EG=12BB1．由直棱柱知，AA1//BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，所以EG//AD，EG=AD所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED//AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC所以DE //平面ABC.(2)解：因为AD //BB 1，所以AD //平面BCE ， 所以V E−BCD =V D−BCE =V A−BCE =V E−ABC ， 由(1)知，DE //平面ABC ，所以V E−ABC =V D−ABC =13AD ⋅12BC ⋅AG =16×3×6×4=12．解析： 解析：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力． (1)取BC 中点G ，连接AG ，EG ，通过证明四边形EGAD 是平行四边形，推出ED //AG ，然后证明DE//平面ABC ．(2)证明AD //平面BCE ，利用V E−BCD =V D−BCE =V A−BCE =V E−ABC ，然后求解几何体的体积．18.答案：解：(1)由题意填写2×2列联表如下；(2)根据列联表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(35×25−25×15)250×50×60×40≈4.167<5.024，对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． (1)由题意填写列联表即可；(2)根据列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．19.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75， 解得a 1=−20，得d =3.∴a n =−20+(n −1)×3=3n −23； S n =(−20+3n−23)n2=32n 2−432n.(2)∵a n =3n −23， ∴由a n <0得n <8，∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=−a 1−a 2−⋯−a 7+a 8+⋯+a 14 =S 14−2S 7=32×142−432×14−2(32×72−432×7)=7×(42−43−21+43) =7 ×21 =147．解析：(1)由S 4=−62，S 6=−75，可得到等差数列{a n }的首项a 1与公差d 的方程组，解之即可求得{a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ；(2)由(1)可知a n ，由a n <0得n <8，从而|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=S 14−2S 7，计算即可． 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查解方程组的能力，求得a n 是关键，属于中档题．20.答案：解：(1)由题可知，2a +2c =4+2√3，2a =4，得a =2,c =√3，又a 2=b 2+c 2，解得b =1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)由{y =2x −2x 24+y 2=1，得17x 2−32x +12=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=3217，x 1x 2=1217，∵P(0,3)，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−3)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−3)(y 2−3)=x 1x 2+(2x 1−5)(2x 2−5)=5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25． 将x 1+x 2=3217，x 1x 2=1217代入，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5×1217−10×3217+25=16517．解析：(1)由已知可得a 与c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)联立直线方程与椭圆方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用根与系数的关系及数量积公式可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21.答案：解：(1)由题意得f ′(x)=−2(1+a)x 2−x+1x(x >0)，①当a =−1时，，当x >1时，当0<x <1时，，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；②当a ≠−1时，由f′(x)=0得：2(1+a)x 2+x −1=0，且Δ=9+8a ， 当Δ>0，即a >−98时，有x 1=−1−√9+8a 4(1+a)，x 2=−1+√9+8a 4(1+a)，当a >−1时，f(x)在(0,x 2)上单调递增，在(x 2,+∞)上单调递减； 当a ≤−98时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当−98<a <−1时，f(x)在(0,x 2)和(x 1,+∞)上单调递增，在(x 2,x 1)上单调递减； (2)当a <1时，要证f(x)<−lnx x−(1+a)x 2−a +1在(0,+∞)上恒成立，只需证lnx −x <−lnx x−a +1在(0,+∞)上恒成立， 令F(x)=lnx −x ，g(x)=−lnx x −a +1，因为F ′(x)=1x −1，易得F(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 故F (x)≤F(1)=−1， 由g(x)=−lnx x−a +1，得g ′(x)=−1−lnx x 2=lnx−1x 2(x >0)，当0<x <e 时，g′(x)<0；当x >e 时，g′(x)>0， 所以g(x)≥g(e)=−1e +1−a ，又a <1，所以−1e +1−a >−1e >−1，即F(x)max <g(x)min ， 所以lnx −x <−lnx x−a +1在(0,+∞)上恒成立，故当a <1时，对任意的x ∈(0,+∞)，f(x)<−lnx x−(1+a)x 2−a +1恒成立．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查分类讨论的数学思想，有一定难度 ． (1)由题意得f ′(x)=−2(1+a)x 2−x+1x(x >0)，就a 的取值分类讨论研究函数的单调性．(2)当a <1时，要证f(x)<−lnx x−(1+a)x 2−a +1在(0,+∞)上恒成立，只需证lnx −x <−lnx x−a +1在(0,+∞)上恒成立，令F(x)=lnx −x ，g(x)=−lnx x−a +1，证明F(x)max <g(x)min ，从而完成证明．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)，消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0．所以C 的极坐标方程为ρ2=√32ρsinθ+12ρcosθ，即ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6).(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=(√32sinθ+12cosθ)cosθ =√32sinθcosθ+12cos 2θ=√34sin2θ+1+cos2θ4=12sin(2θ+π6)+14．当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f (x )=|3x +1|−|3x −4|={−5,x ≤−136x −3,−13<x <435,x ≥43当x ⩽−13时，f(x)≤3恒成立，当−13<x<43时，解6x−3≤3，得−13<x≤1，∴f(x)≤3的解集为{x|x≤1}；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|(3x−4)−(3x+a)|=|−4−a|，得：|−4−a|≥4，解得：a≥0或a≤−8，故实数a的取值范围为(−∞,−8]∪[0,+∞)．解析：本题考查了绝对值的意义及绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属中档题．(Ⅰ)不等式即为f(x)≤3，通过讨论x的范围，从而求得不等式的解集；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|−4−a|，得|−4−a|≥4，求a的范围即可．。
2020年山西省晋中市风居中学高三数学文模拟试题含解析
2020年山西省晋中市风居中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，现有质地均匀的粒子散落在正方形ABCD内，则粒子落在△PBC内的概率等于（）A. B. C. D.参考答案：A根据几何概型可知粒子落在△PBC内的概率等于，选A.2. 为假命题,则的取值范围为（）A． B. C. D.参考答案：A3. 函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．无数参考答案：B【考点】奇偶函数图象的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质．【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（﹣x）=﹣f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=﹣cos，x＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=﹣cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．4. 为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（）A. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛参考答案：B【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.【详解】由题得，，所以.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，所以要派甲参加.故选：B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是A． B． C．D．参考答案：A由题意知设与的夹角为，则故选A，.6. 已知随机变量服从正态分布，如果，则（）A．0.3413 B．0.6826 C. 0.1587 D．0.0794参考答案：A依题意得：，．选A．7. 若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为A. B． C．2 D．参考答案：D8. 设（），且满足。
山西省晋中市2020届高三下学期一模(普通招生考试模拟)数学(文)试题
2020年普通高等学校招生统一模拟考试数学（文科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）参考公式： 锥体的体积公式：13VSh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2|20A x xx =+-<，{|B x y ==，则A B =I （ ）A.[0,2) B ．(1,)+∞ C ．[0,1) D ．(2,1)- 2．若复数(2)zi i =-（i 为虚数单位），则z 的值为（ ）A ．2i +B ．12i -+C ．12i +D ．12i -3．若||2a =r ，||1b =r ，且(4)a a b ⊥-r r r ，则向量,a b r r的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒- 4．若x y >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．11x y< B ．tan tan x y > C ．ln()0x y -> D ．1133x y >5．给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 6．已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则||OP 等于（ ）A ．B ．C ．4D ．7．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则该同学10次测评的平均成绩为（ ）A ．12B ．11.4C ．11.3D ．11 8．已知函数21()sin (0)2f x wx ω=->的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位，所得图象关于3xπ=对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．4πB ．3πC ．34π D ．π9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20,80)mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ） A ．2小时 B ．4小时 C ．6小时 D ．8小时 10．已知a 为正整数，tan 1lg a α=+，tan lg a β=，且4παβ=+，则当函数()sin ([0,])f x a θθθπ=-∈取得最大值时，θ=（ ）A ．2π B ．23π C ．56π D ．43π 1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点F 是双曲线C 的左焦点，过原点的直线交双曲线C 于,A B 两点，且3AF BF =，AB BF ⊥，如图所示，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B C ．2 D 12．函数22221()1x x h x x x ++=++，若存在正实数12,,,n x x x L ，其中*n N ∈且2n ≥，使得()()()()121n n h x h x h x h x -=++⋯+，则n 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为_______．14．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），且()0.5log 162f =-，则a =______．15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin2sin 0a B b A +=，若ABC V 的面积S =，则ABC V 面积的最小值为______．16．现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB 重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知三棱锥P ABC -中，ABC V 为等腰直角三角形，90BAC︒∠=，PB ⊥平面ABC ，且4PB AB ==，//EC PB 且12EC PB =，D 为PA 的中点．（1）求证：直线//DE 平面ABC ； （2）求锐二面角A BCEP -的余弦值．18．（12分）2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？ （2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率． 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，59a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）设(1)n nn b S =-，求{}n b 前2n 项和2n T ．20．（12分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于,A B 两点（,A B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD OA OC =+u u u r u u u r u u u r，求四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）已知函数ln 1()a x a f x x+-=．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明： （i ）()1xf x x -„；（ii ）证明：(2)(3)()13232224f f f n n n n ++⋯+<+-+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=，点A 是曲线2C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于极点O ，求||AB 的值．23．【选修4—5：不等式选讲】（10分） 已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -„成立，求实数a 的取值范围；（2）若()|3|f x x +„的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．2020年普通高等学校招生统一模拟考试数学（理科）答案1．解析：因为集合{}2|20{|21}A x x x x x =+-<=-<<，集合{|{|0}B x y x x ===…，所以[0,1)A B =I ．故本题正确答案为C ．答案：C 2．解析：(2)12z i i i =-=+，所以12z i =-．故选D ．答案：D3．解析：根据题意，由于向量||2a =r ，||1b =r ，且(4)a a b ⊥-r r r ，2(4)040a a b a ab ∴⋅-=⇔-=r r r r r r ，1a b ∴⋅=r r，故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r rr ，故可知向量,a b r r 的夹角为60︒，故选B ． 答案：B4．解析：若0x y >>，则11x y >，所以A 错误；若x y >，取34xπ=，4y π=，tan tan x y <，所以B 错误；对于C 选项，由于对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，x y >Q ，当01x y <-<时，ln()ln10x y -<=，C 选项中的不等式不恒成立；若x y >，且幂函数13y x =在(,)-∞+∞上单调递增，所以1133x y >，所以D 对．故选D ．答案：D5．解析：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，所以A 错误；若一个平面内的两条直线平行，两平面可以相交，B 错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C 错误．所以答案选D ． 答案：D6．解析：由抛物线定义知，232p+=，所以2p =，抛物线方程为24x y =，因为点()0,2P x 在此抛物线上，所以28x =，于是||OP ==B ．答案：B7．解析：因为中位数为12，所以22x y+=，4x y +=．所以该组数据的平均数为：1(2234101019192021)11.410x y ⨯+++++++++++=，故选B ． 答案：B8．解析：由函数211()sin cos222f x x x ωω=-=-的周期为22ππω=，可得1ω=，故1()cos22f x x =-．将其图象向右平移a 个单位可得1cos[2()]2y x a =--的图象，根据共图象关于3x π=对称，可得223a k ππ-=，k Z ∈，则32k a ππ=-，k Z ∈，所以实数a 的最小值为3π．故选B ． 答案：B9．解析：1.6100160mg ⨯=，则160(10.3)20n⨯-<，即10.78n<，因为210.70.492=<，31182⎛⎫= ⎪⎝⎭，610.78<，510.78>，所以6n …，故选C ．答案：C10．解析：由条件知4παβ-=，则由tan()1αβ-=，得tan tan (1lg )lg tan()11tan tan 1(1lg )lg a aa a αβαβαβ-+--===+++，即(1lg )lg 0a a +=，解得1a =或110a=（舍去），则()sin 2sin 3f x πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．因为[0,]θπ∈，所以2,333πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．则当32ππθ-=，即56πθ=时，函数()f x 取得最大值，故选C ．答案：C11．解析：设双曲线的右焦点为2F ，根据对称性知2AFBF 是平行四边形，所以有2||AF BF =，又点A 在双曲线上，所以2||2AF AF a -=，因为||3||AF BF =，所以2||3||||2||2AF AF BF BF BF a -=-==，即||BF a =，而在三角形OFB 中，90OBF ︒∠=，||FB a =，||OF c =，||OB b =，在三角形AFB 中，||3AFa =，||BF a =，||2ABb =，90ABF ︒∠=，所以22294a a b =+，即222a b =，所以双曲线的离心率e ==B ．答案：B12．解析：2222212121()11(0)1111x x x h x x x x x x x x++==+=+>++++++， 当0x >时，12x x +…，113x x ++…，210711x x <≤++，2111811x x<+≤++， 即1()8h x <„，所以()18n h x <„，()()()12118(1)n n h x h x h x n --<+++-L „，由()()()()121n n h x h x h x h x -=+++L知，集合(1,8](1,8(1)]n n --≠∅I ，因为*n N ∈且2n …，所以11n -…，8(1)8n -…， 所以118n -<„，即29n <„，又*n N ∈，所以n 的最大值为8，故选C ． 答案：C13．解析：由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的13，设阴影部分能栽种x 株，则有19003x =，解得300x =．答案：300 14．解析：函数()f x 是奇函数，当0x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），且()0.5log 162f =-，因为0.5log 1640=-<，2log 1640=>，且函数()f x 是奇函数，所以()()()20.50.5(4)log 16log 16log 162f f f f ==-=-=，即log (41)2a -=，23a =，因为0a >且1a ≠，所以a =．答案：15．解析：由sin2sin 0a B b A +=，得2sin cos sin 0a B B b A +=，由正弦定理得2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=，所以1cos 2B =-，23B π=，则1sin 2S ac B ===，所以4ac b =，由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++…，21()316ac ac …，所以48ac …，当且仅当a c =时等号成立，故S =…，所以ABC V 面积的最小值为答案：16．解析：因为90ADB ACB ︒∠=∠=，10AB =，所以AD =5BD =，AC BC == 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以三棱锥A BCD -的外接球的直径为AB ，所以球的半径5R =，故球的表面积为100π． 当点C 到平面ABD 距离最大时三棱锥A BCD -的体积最大，此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离5d =，所以11155332A BCDCABD ABD V V S d -==⋅=⨯⨯⨯=．答案：100π17．解：（1）设AB 的中点为G ，连接,DG CG ，则//DG PB ，12DG PB =， 又//EC PB 且12EC PB =， 所以//EC DG 且EC DG =，所以四边形DGCE 为平行四边形， 所以//DE GC ，又因为DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ， 所以//DE 平面ABC ．（2）取BC 中点F ，连接AF .因为//EC PB ，所以PBCE 在同一平面上， 所以多面体ABCEP 是四棱锥A BCEP -， 因为PB ⊥平面ABC ，AF⊂平面ABC ，所以PB AF ⊥，又ABC V 为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥，所以AF⊥平面PBCE ，即AF 是四棱锥A PBCE -的高，已知P 4PB AB ==，所以AF =2EC =，BC =所以111(24)16332A BCEPA PBCE PBCE V V S AF --==⨯⨯=⨯⨯+⨯=．18．解：（1）补充完整的列联表如下：计算得2K 的观测值为2100(20104030)16.6710.82860405050k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生2人，女生4人，设抽取的男生为12,A A ，女生为1234,,,B B B B ，选出的两人均为女生为事件A ，则基本事件空间{121112131421222324121314,,,,,,,,,,,,A A AB AB AB AB A B A B A B A B B B B B B B Ω=}232434,,B B B B B B ，15n =．事件{}121314232434,,,,,A B B B B B B B B B B B B =，6m =，62()155m P A n ===，故选出的两人均为女生的概率为25． 19．解：（1）由53525S a ==得35a =．又因为59a =，所以2d =， 所以21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==．（2）2(1)n nb n =-．()()()21234212n n n T b b b b b b -=++++++L()()2222221234(21)(2)n n ⎡⎤=-++-+++--+⎣⎦L[(21)(21)][(43)(43)][2(21)][2(21)]n n n n =-⨯++-⨯+++--⨯+-L21234(21)22n n n n =+++++-+=+L ．20．解：（1）由题意可得2,2,31a a b a c c ==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩22143x y +=． （2）由（1）知(1,0)F ，设直线AC 的方程为1x my =+， 联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=． 设()11,A x y ，()22,C x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+． 因为122133||234ABCD AOCS S OF y y m ==⨯⨯⨯-==+．设t =，1t …，则218181313ABCD t S t t t==++，在[1,)t ∈+∞上单调递减， 所以当1t =，即0m =时，四边形ABCD 的面积取得最大值92． 21．解：（1）22ln 11ln ()(0)a a x a a x f x x x x '--+-==>, 令()1ln g x a x =-，①0a =时，()10g x =>，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②a 0a >时，10,a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，()f x 单调递增；1,a x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x <，()f x 单调递减；③0a <，10,a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x <，()f x 单调递减；1,a x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >，()f x 单调递增．综上，0a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；0a >时，()f x 在10,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上调递增，在1,a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；0a <时，()f x 在10,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）（i ）1a =时，ln ()x f x x=，所以()ln xf x x =， 令()ln 1h x x x =-+，则11()1(0)x h x x x x'-=-=>， (0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减． max ()(1)ln10h x h ===，即ln 1x x -„，即()1xf x x -„．（ii ）1a =时，ln ()x f x x =，2()ln f n n n n=． 由（i ）知ln 1x x -„，即ln 11x x x ≤-． 令2x n =得222ln 11n n n -„，即222ln 11n n n ≤-，所以22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭， 222222(2)(3)()ln 2ln 3ln 11111112323223f f f n n n n n ⎛⎫++⋯+=++⋯+-+-++-= ⎪⎝⎭L „2221111111111(1)(1)(1)22322334(1)22n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎛⎫⎛--+++<--+++=-- ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⨯⨯⨯+⎝⎭⎝⎣⎦⎣⎝⎭⎣⎦L L 1111111113(1)33412212224n n n n n n ⎤⎡⎤⎫⎛⎫-+-++-=---=+-⎪ ⎪⎥⎢⎥+++⎭⎝⎭⎦⎣⎦L ．22．解：（1）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． 转换为普通方程为22(2)4x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为6πθ=．转换为直角坐标方程为：(0)3y x x =…． （2）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． 转换为极坐标方程为：4sin ρθ=． 所以4cos ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩4sin ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1ρ=22ρ=．整理得12||2AB ρρ=-=．23．解：（1）对x R ∈，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+…， 当且仅当(1)()0x x a +-„时，等号成立，故原条件等价于|1|31a a +-„， 即31131a a a -++-剟，解得1a …，故实数a 的取值范围是[1,)+∞．（2）当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+„， 所以||2x a -≤，即22x a --剟，则22x a x -+剟， 又()|3|f x x +„的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以()|3|f x x +„在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，max min (2)(2)x a x -+剟， 因为max (2)0x -=，min 3(2)2x +=， 因此a 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
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16.解：依题意， nan1
n
1an
1 2
0 ，则 (n
1)an2
n
2 an1
1 2
0 ，两式相减，可得
an2
2an1
an
0 ，所以 an为等差数列，由
nan1
n
1an
1 2
0 ，得 a2
2a1
1 2
0 ，又
a1
3 2
，解得
a2
5 2
，所以
an
n
1 2
，则
Sn 2n
n
2 2n 2 n1
，令
bn
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 yˆ 40x 270 ………………………………（6 分） （2）令 x 12 ，得 2019 年 12 月该家庭人均月纯收入预估值为 40 12 270 750 元 故，2020 年 3 月份该家庭的人均月纯收入为 750 2 500 元.…………………………（8 分）
2 ，e
5，
选 D.
12.解：由题意知函数 f x 的定义域为 0, ，
f
x
x 1ex
x2
t
1 x
2
3 x2
x 1 ex t2x 3
x2
x
12x
3
2
ex x
3
t
x2
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文科数学 第 2页 (共 9 页)
因为函数恰有一个极值点 1，所以 ex t 0 无解，令 gx ex x 0，则，
y k x 2.
………………………………（6 分）
12k 2 2 4 12k 2 6 3k 2 1 24 k 2 1 0 ,
设
P x1,
y1 、 Q x2,
y2 ，故
x1
x2
12k 2 3k 2 1
，
y1
y2
k (x1
x2 )
4k
4k 3k 2 1
,
设
PQ
的中点为
N
，则
N
(
SPCB 4 , SPCD 4 , SPAB 2
2
, SPAD
1 2
2
22
32
6 ,所以该几何体
的表面中的面积最小值为 2 2
以落在白色区域的细小颗粒物约有 512
1
3
3
512
37
296
(粒).故选
C
4
64
7.解:由已知中的程序框图可知:该程序的循环变量 n 的初值为 1,终值为 2021，步长为 2,故循环共执行
8
8
13.【解析】第一行成等差数列，所以前 5 项为 2，3，4，5，6，第二行成等差数列，所以 5 项为 1，
1．5，2，2．5，3，第三列成等比数列，所以 x 1 ，第 四列成等比数列，所以 y 5 ， 8
答案： x y 25 . 8
14.解：
y
cos(2x
4
)
sin
2
2x
4
Sn 2n
，bn1 bn
3 n2 2n2
，当 n 2
时， bn1
bn
0 ，数列 bn单调递减，而 b1
3 4
， b2
1， b3
15 16
，故 m
1.
三、解答题：
17．解：（1）因为 2a c 2b cos C ，所以 2 sin A sin C 2 sin B cos C …………………（1 分） 所以 2 sin（B C) sin C 2 sin B cos C ,整理得 sin C 2 cos B sin C ，………………（3 分）
为 d 2 1 ，…………………………（1 分） 1 3
直线 x 3y 2 0 被圆截的弦长为 2 r 2 d 2 2 a2 1 2 5 ，解得 a 6 ，………（2 分）
又椭圆的离心率为 6 ，所以 c 2 ， b a2 c2 6 4 2 …………………………（3 分） 3
2x 3
2x 3
gx
ex (2x (2x
1) 3)2
0
所以
gx
在 0, 上单调递增，从而
gx
g0
1 3
，所以
t
1 3
时，
ex 2x 3
t
0 无解，
f
x
ex x
t ln
x 2x
3 恰有一个极值点 x
1，所以 t
的取值范围是
,
1 3
二、填空题：
25 13.
14.
15.1
16. m 1
1
x0
k
1
.
解得
x0
4k 2 3k 2 1
4
3
1 k2
.
因为 k 2
0, 所以 3
1 k2
3，0
4
3
1 k2
4 3
，即
x0
(0,
4 3
)
.…………………（11
分）
综上，
x0
的取值范围为
[0,
4 3
)
.
………………………………（12 分）
21．解：（1）
f
x 的定义域为 0, ，且
f
x
1
x
x
的外心连线上，记△ABP 的外心为 E，由△ABD 为等边三角形，可得 BE=1.又
OE= BC 3 ，故在 R△OBE 中，OB= 2 此即为外接球半径，从而外接球表面 2
积为16
10.解：
g
x
x2 4x
4x x2
(x (
2)2 4 x 2)2
4
x0
，
x0
由 g x 的解析式可知， g x 在 , 上是奇函数且单调递增， f x xgx为偶函数，
6k 3k 2
2
1
,
2k 3k 2
) 1
.………………………………（8
分）
因为线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M (x0,0) ，
① 当 k 0 时，那么 x0 0 ；………………………………（9 分）
文科数学 第 6页 (共 9 页)
2k
②
当
k
0
时，
kMN
k
1 ，即
3k 2 1
6k 2 3k 2
当 x 0 时，有 g(x) g(0) ，
任取 x1 x2 0 ，则 g x1 g x2 0 ，由不等式的性质可得 x1g x1 x2g x2 0 ，
所以， c
log
2
cos
2 7
0 ，故选
B.
5.解：当 OP MN 时， OP 最小，这时 NP 4 NM ，故选 C. 5
4
4
4
即 f x1 f x2 0 ，所以，函数 f (x) 在 (0， ) 上递增
再由 f 2 a f 2a ，得， f | 2 a | f 2 | a | 得 2 a 2 a
即
3a2
4a
4
0
，解得
2
a
2 3
.
11.解：满足三视图的几何体为四棱锥 P ABCD ,如图所示：则 S ABCD 4 2 ,
文科数学 第 3页 (共 8 页)
因为 sin C 0 ，所以 cos B 1 ,…………………………（4 分） 2
因为 0 B ，所以 sin B 3 .………………………………（5 分） 2
（2）由（1） sin B
3
a
，所以
c
b
2 ，从而 a 2 sin A, c 2 sin C
所以椭圆的方程为 x2 y2 1 ………………………………（4 分） 62
（2）依题意， F(2,0), 直线 PQ 的方程为 y k x 2 .…………………………（5 分）
联立方程组
x2 6
y2 2
1,
消去 y 并整理得
3k 2 1
x2 12k 2 x 12k 2 6 0 .
又 OD 平面 A1BD ， B1C 平面 A1BD ,
所以 B1C // 平面 A1BD .
………………………………（4 分）
（2） AC 2, AB 3, ACB 60 ,
AB2 AC2 BC2 2AC BC COSACB 3,
即 3 4 BC 2 2 2 BC COS 600
6
6 xi2 i1
6
91 , xi yi
i 1
9310 ，所以 b
xi yi 6xy
i 1
6
xi 2 6x 2
9310 8610 91 6 3.52
40 ，
i 1
…………………………（4 分）
aˆ y bx 410 40 3.5 270 …………………………（5 分）
BC 1 , …………………………（6 分）
AC 2 AB 2 BC 2 , AB BC.
又平面 AA1B1B 平面 ABC，平面 AA1B1B 平面 ABC AB ,
BC 平面 AA1B1B ，
………………………………（8 分）
A1AB 60 , AB BB1 3. BC B1C1 1 ，
1 ，…………………………（1
分）
x
x
当 x 0,1时 f x 0 ， f x 单调递增；当 x 1, 时 f x 0 ， f x 单调递减；
…………………………（2 分）
所以 f x 在 x 1 取得极大值也是最大值.即 f xmax f 1 0 ，…………………………（3 分）
1
3
6.解：不妨设原三角形面积为 1,第一次挖去三角形的面积为 ,剩余面积为 ,接下来每挖一次， 对每