江苏省镇江八校2020届高三数学上学期第二次大联考试题(含解析)

江苏省镇江八校2020届高三数学上学期第二次大联考试题（含解析）一、填空题：1.已知集合A ={1，3}，B ={2，3}，则A ∪B =_____________.【答案】{1，2，3}【解析】【分析】根据并集的定义即可得出答案.【详解】A ={1，3}，B ={2，3}，A ∪B ={1，2，3}.故答案为: {1，2，3}【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2.设复数z 是纯虚数，且满足2a iz i +=-(其中i 为虚数单位)，则实数a =____________. 【答案】12【解析】【分析】复数z 实数化，实部为零，虚部不为零，即可求出实数a 的值. 【详解】()(2)21(2)2(2)(2)5a i a i i a a iz i i i +++-++===--+,因为复数z 是纯虚数，所以21020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =.故答案为:12【点睛】本题考查复数的分类，注意纯虚数虚部不为零，属于基础题.3.根据如图所示的伪代码，当输出的y 值为3时，实数a 的值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据条件语句，对a 分类讨论.【详解】若21,23,log 31a a y a <===>，舍去，若1,13,2a y a a ≥=+==.故答案为:2【点睛】本题考查条件语句的应用，属于基础题.4.已知射击运动员甲、乙在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环与10，x ，9，9环的成绩，若运动员甲所打的四次环数的平均数为9，那么运动员乙所打四次环数的方差是________.【答案】12【解析】【分析】由运动员甲所打的四次环数的平均数为9，求出x 的值，再求出乙所打的四次环数的平均数，即可求出乙所打四次环数的方差.【详解】甲所打的四次环数的平均数为9，2836x +=，8x ∴=，则乙所打的四次环数的平均数9， 乙所打四次环数的方差为222211[(109)(89)(99)(99)]42-+-+-+-=. 故答案为:12【点睛】本题考查平均数、方差的计算，属于基础题.5.在编号为1，2，3，4且大小和形状均相同的四张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为_________. 【答案】13【解析】【分析】列出一次随机抽取其中的两张所有情况，找出两张卡片编号之和是偶数，根据古典概型计算公式，即可得出结果.【详解】一次随机抽取其中的两张，由以下情况：{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}共有6种抽取方法，其中抽取的两张卡片编号之和是偶数有2种抽取方法， 其概率为13. 故答案为:13 【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.6.设双曲线2221y x a-=(0a ＞)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________.【答案】2【解析】【分析】由渐近线的倾斜角，求出斜率，再求出a ，即可求出离心率. 【详解】双曲线2221y x a-=(0a ＞)的一条渐近线的倾斜角为30°,所以0tan 30,23a e ====. 故答案为:2【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，注意双曲线焦点的位置，属于基本题.7.已知圆锥的侧面积为8π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为_______.【解析】【分析】侧面展开图半径为圆锥的母线，由已知条件求出圆锥的母线，再求出底面半径，即可求出圆锥的体积.【详解】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，依题意，218,42l l ππ=∴=， 侧面展开图的弧长为24,2l r r πππ==∴=，∴圆锥的体积为2133r l π=. 故答案为【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的结构特征，求圆锥的体积，属于基础题.8.已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________. 【答案】17【解析】【分析】根据已知条件，求出等比数列{}n a 的公比，利用等比数列片段和的关系，即可求出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意， 2424351120a a a q a q q q +=+=+=，解得24q =，或25q =-（舍去），48444(1)17S q S S S +==.故答案为：17【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，以及前n 项和的性质，属于基础题.9.如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且1DN ME ⋅=-，则cosA =__________.【答案】35【解析】【分析】以,AB AC 为基底，分别把,DN ME 表示出来，然后根据已知条件即可求出cos A .【详解】2133DN AN AD AC AB =-=-， 2133ME AE AM AB AC =-=-，2121()()3333DN ME AC AB AB AC ⋅=-⋅- =22252999AB AC AB AB --⋅- =54||||cos 45cos 19AC AB A A --=--=-，3cos 5A ∴=.故答案为:35【点睛】本题考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，属于基础题.10.已知函数21()121x x f x ，若2(21)(4)2f m f m -+-＞，则实数m 的取值范围是__________.【答案】(-1，3)【解析】【分析】先证()()2f x f x +-=，原不等式转化为2(21)(4)f m f m ->-，再利用()f x 在R 是单调递增，不等式再转化为 2214m m ->-，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】21212112()()22221212121x x x x x x x x f x f x , 222(4)(4)f m f m --=-，22(21)(4)2(21)(4)f m f m f m f m -+-⇔->-＞，212122()112212121x x x x x f x ， ()f x ∴在R 上是单调递增，∴原不等式等价于2214m m ->-，即2230m m --<，解得13m -<<.故答案为:(1,3)-【点睛】本题考查利用函数对称性和单调性解不等式，难点在于要看出函数的对称性，属于中档题.11.已知锐角ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos b a a C -=，则2cos cos()A C A -的取值范围是__________.【答案】2⎛ ⎝⎭【解析】【分析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角A ，求出A 的范围，即可求得结论.【详解】sin sin 2sin cos sin()sin B A A C C A A -=⇒-=，,0,,2222C A A C A A C A πππ-<-<<<∴-==，22(,)6432C A A B A πππππ⎧=⎪⎪⇒∈⎨⎪=-⎪⎩＜＜， 2cos cos()A C A-cos A =∈⎝⎭. 故答案为:,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.12.已知A ，B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上两个动点，且AB =2，直线l :(5)y k x =-，若线段AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，若直线l 上任一点P ，都有1PD '≥，则实数k 的取值范围是__________.【答案】4462(,[)77-+-∞+∞ 【解析】【分析】根据对称关系，D 为已知圆关于原点对称圆C ′弦长为2弦的中点，转为圆C ′的圆心与直线l 的距离关系，即可得结论.【详解】设圆C 关于原点对称的圆为圆C ′:22(1)(1)5x y -++=，则A ，B 关于原点对称的点,A B ''在圆C '上，A B ''的中点为AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，2AB A B C D ''''∴===，设C ′到直线l 的距离为d .则213d d -≥⇒≥，23,7880k k ≥--≥，解得47k -≤或47k +≥k ∴的取值范围是4462(,][)77-+-∞+∞ 【点睛】本题考查图形的对称关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题.13.已知正数a ，b 满足2(2)4a b a b +=，则+a b 的最小值为__________. 【答案】2【解析】【分析】由条件等式，将b 用a 表示，+ab 转为关于a 的函数，然后用基本不等式求最值.【详解】2232402a b a b b a a a b +-=⇒=-+∴+=≥ 当且仅当44a =，即a =. 故答案为:2【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，解题的关键要灵活应用条件等式，转化为基本不等式求最值，属于中档题.14.已知函数64,2()25,02x x f x x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-+⎩＜＜，若方程()f x a =恰有两个实数解12,x x ()12x x ＜，且126x x ⋅＞，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(1，3)【解析】【分析】利用数形结合方法，转化为函数25(02)y x x =-+<<图像、函数64y x x=+-图像以及y a =的交点关系.【详解】令64x a x +-=， 化简2(4)60x a x -++=，设方程两根为12,x x '，此时126x x '⋅=，不合题意， 因为126x x ⋅＞，所以11x x '＞’， 故1x 为25(02)y x x =-+<<与y a =的交点横坐标，由图可知a ∈(1，3).故答案为: (1，3)【点睛】本题考查方程的零点，转化为函数图像交点的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题.二、解答题.15.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别为,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ．试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点，所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点，所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ， 故PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB ∠=，因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ．16.设向量(2,sin )a θ=，(1,cos )b θ=，θ为锐角．（Ⅰ）若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值； （Ⅱ）若//a b ,求sin(2)3πθ+的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）本题以向量为背景，实际考察三角函数及三角恒等变换，将向量数量积用坐标表示，求出的值，然后根据，求出的值，从而根据θ为锐角求出sin cos θθ+的值；（Ⅱ）根据//a b 的坐标表示，可以求出tan 2θ=，可以根据同角三角函数基本关系式求出的值，再利用二倍角公式，求出的值，再将按两角和正弦公式展开，即可而求sin(2)3πθ+的值．另外，也可以根据齐次式求出的值，再将按两角和正弦公式展开，从而求sin(2)3πθ+的值．注意公式的准确使用．试题解析：（Ⅰ）∵132sin cos 6a b θθ⋅=+=， ∴．∴24(sin cos )12sin cos 3θθθθ+=+= 又∵θ为锐角，∴23sin cos θθ+=． （Ⅱ）法一：∵//a b ，∴tan 2θ=． ∴222224sin 22sin cos 15sin cos tan sin cos tan θθθθθθθθθ==＝＝＋＋， 2222222213cos?2cos sin 15cos sin tan sin cos tan θθθθθθθθθ－－＝－＝＝＝－＋＋． ∴131433433sin 2sin?2232255πθθθ-⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝＋＝＋－＝ 法二 ∵//a b ，∴sin 2cos θθ=． 易得25sin θ=，5cos θ= ∴4sin 22sin cos 5θθθ=＝，223cos?2cos sin 5θθθ＝－＝－．∴131433433sin 2sin?2232255πθθθ-⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝＋＝＋－＝考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．17.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且过点(1，32)，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=＞.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)若22t =，求直线AB 的方程. 【答案】(1) 22143x y +=；(2) 31)y x =-.【解析】 【分析】（1）3(1,)2代入椭圆方程，结合,,a b c 关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线l 方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出,A B 两点的坐标关系，进而求出P 点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线l 方程. 【详解】(1)由题意可知，c =1，且221914a b += 又因为222a b c =+， 解得2a =，3b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)若直线AB 的斜率不存在，则易得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()22,0OA OB OP +==，得P (0)， 显然点P 不在椭圆上，舍去；因此设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834kx x k +=+，则由()12122,(2)2OA OB xx k x x OP +=++-= 得()12122)P x x x x ++- 將P 点坐示代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=(*)；将2122834k x xk +=+代入等式(*)得234k =∴k =±因此所求直线AB 的方程为1)2y x =±-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.18.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD ⊥AB ，∠DCE =23π，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN =3π.已知CD =4m ，CE =2m .(1)当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； (2)求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值. 【答案】(1) 32m ；103. 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求出,DE CDE ，进而求出EMN ∠，结合已知条件，求出sin ENM ，用正弦定理求出MN ；（2）由面积公式，余弦定理结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】(1)当M ，D 重合时， 由余弦定理知，222cos 27ME DE CD CE CD CE DCE ==+-⋅∠=∴22257cos 214CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅ ∵2CDE EMN π∠+∠=∴57sin cos 14EMN CDE ∠=∠=， ∵0EMN ∠＞∴221cos 1sin EMN EMN ∠=-∠= ∵3MEN π∠=2sin sin 322sincos cos sin 33ENM EMN EMN EMN πππ⎛⎫∴∠=-∠ ⎪⎝⎭=∠-∠=∴在ΔEMN 中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM=∠∠解得MN =； (2)易知E 到地面的距离242sin 32h ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=5m 由三角形面积公式可知，115sin 223EMN S MN EM EN π∆=⋅⋅=⋅⋅MN EM EN =⋅，又由余弦定理可知，2222cos3MN EM EN EM EN EM EN π=+-⋅≥⋅，当且仅当EM =EN 时，等号成立，∴2MN ≥，解得MN ≥ 答:(1)m ； (2)照明宽度MV. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式，是一道综合题.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1333,244n n n S a n N -*=--∈.(1)证明数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.(2)若不等式223(5)n n n a λ---＜，对任意n *∈N 恒成立，求λ的取值范围.(3)记数列3(1)n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，n 使得1331mn m n T m T m +-≤-+成立，若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m ，n )；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，133nn n a a -=+；(2) 449λ＜；(3) 存在， (1，1)，(1，2). 【解析】 【分析】（1）由n S 与n a 关系，得出{}n a 的递推关系，再用等差数列的定义，证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求出其通项，即可求得{}n a 的通项公式；（2）不等式223(5)n n n a λ---＜，对任意n *∈N 恒成立，分离参数转为23(5)3nn λ--＞对任意n *∈N 恒成立，转为求数列23{}3n n -的最大值，即可求出结果； （3）求出3(1)n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭通项公式，以及前n 项和为n T ，代入1331mn m n T m T m +-≤-+化简，转化为关于,m n 的不等式，结合,m n 为正整数，可求出,m n 的值. 【详解】(1)当n =1时，111393244S a a ==--，得16a =， 当2n ≥时，1333244n n n S a +=--，1333244n n n S a -=--，两式相减得：133nn n a a -=+，∴111211333n n n n n n a a a ---=+=+，即11133n n n n a a ---=， 又1123a =， ∴数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知13n na n =+，即(1)3nn a n =+⋅ ∵0n a ＞∴不等式223(5)n n n a λ---＜，对任意n *∈N 恒成立，等价于23(5)3nn λ--＞对任意n *∈N 恒成立， 记233n nn b -=法一：则2n ≥时，112325124333n n n n nn n nb b ------=-= ∴3n ≤时，10n n b b --＞；4n ≥时，10n n b b --＜.或(法二)：2n ≥时，112121323693n n n n n b n n b n -+--==-- ∴当3n ≥时，11n nb b +＜， ∴2n =或3n =时，n b 取最大值为19， ∴159λ-＞，即449λ＜∴入的取值范围是:449λ＜.(3)由(1)3nn a n =+⋅得13(1)13n n n a -+= ∴数列3(1)n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为113113nn T ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，则11112211333311212113333n nn n n n m T m T m m m+++⎛⎫⎛⎫--⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122112231331133n n n m m +++=-=-⎛⎫--⋅-- ⎪⎝⎭∵13113131m n m m n T m T m +-≤=--++，得1212313113m n m +≥+⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴1231103n m +⎛⎫--⎪⎝⎭＞ ∴2103m ⎛⎫-⎪⎝⎭＞ ∵m 是正整数，∴1m =当1m =时12114313n +≥⋅-，即39n ≤ 解得1n =，2n =.综上存在所有符合条件的有序实数对(m ，n )为:(1，1)，(1，2).【点睛】本题考查已知前n 项和求通项，等差数列的定义、通项公式，等比数列的前n 项和，数列的单调性，以及解不等式，是一道难度较大的综合题. 20.已知函数2()ln f x x x ax =-+. (1)当1a =时，求函数()f x 的极值； (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点(0x ，0()f x )构成曲线M .证明:任意过原点的直线y kx =，与曲线M 均仅有一个公共点.【答案】(1) ()f x 的极大值为(1)0f =，无极小值；(2) 1a ≤；(3) 证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出单调区间，即可求出极值；（2）()0f x ≤恒成立，两种解法：①分离参数，构造新函数，转化为a 与新函数的最值关系；②转化为max ()0f x ≤，对a 分类讨论求出max ()f x ，转化为解关于a 的不等式；（3）先确定出点(0x ，0()f x )构成曲线M ，直线y kx =与曲线M 均仅有一个公共点转化为函数的零点，对k 分类讨论，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可得证. 【详解】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =-+， 则1(21)(1)()212x x f x x x +-+'=-+=当1x ＞时，()0f x '＜，()f x 单调递减； 当01x ＜＜时，()0f x '＞，()f x 单调递增；所以当1x =时，()f x 的极大值为(1)0f =，无极小值； (2)(法一)∵0x ＞，∴由()0f x ≤恒成立，得ln xa x x≤-恒成立， 令ln ()x g x x x =-则221ln ()x xg x x-+'=， 令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， ∵0x ＞，故()0h x '＞221ln ()x xg x x-+'= ∴2()1ln h x x x =-+在(0，+∞)单增，又(1)0h =，∴()0,1x ∈，()0h x ＜，()1,x ∈+∞，()0h x ＞ 即()0,1x ∈，()0g x '＜，()1,x ∈+∞，()0g x '＞， ∴()0,1x ∈，()g x 单减，()1,x ∈+∞)，()g x 单增， ∴1x =时，()g x 取极小值即最小值(1)1g =， ∴1a ≤；法二：2121()22x ax f x x a x -++'=-+=由二次函数性质可知，存在()00x ∈+∞,，使得0()0f x '=， 即2210x ax -++=，且当()00,x x ∈时，0()0f x '＞， 当()0,x x ∈+∞时，0()0f x '＜，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，∴22000000()()ln ln 1f x f x x x ax x x ==-+=+-，由题意可知，2max 000()()ln 10f x f x x x ==+-≤，设2()ln 1g x x x =+-，则1()20g x x x'=+＞，即()g x 单调递增. ∴()0g x ≤的解集为(0，1]，即(]00,1x ∈， ∴(]0012,1a x x =-∈-∞； (3)由(2)可知200()ln 1f x x x =+-，则曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-， 由题意可知.对任意k ∈R ，证明：方程2ln 1x x kx +-=均有唯一解， 设2()ln 1h x x x kx =+--，则2121()2x kx h x x k x x-+'=+-=①当0k ≤时，()0h x '＞恒成立， 所以()h x 在()0,∞+上单调递增， ∵(1)0h k =-≥，22()1(1)10k k k k k f e k e ke k e e =+--=-+-≤所以存在0x 满足201kex ≤≤时，使得0()0h x =，又因为()h x 单调递增.所以0x x =为唯一解； ②当0k ＞且280k ∆=-≤，即0k ≤＜()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，∵(1)0h k =-＜，(()236333()310f e e ke e k e =+--=+＞，∴存在()301,x e∈使得0()0h x =，又∵()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解；③当k ＞()0h x =有两解12,x x x =，不妨设12x x ＜，因为1212x x ⋅=，所以122x x ，列表如下:由表可知，当1x x =时，()h x 的极大值为21111()ln 1h x x x kx =+--，∵211210x kx -+=，所以2111()ln 20h x x x =--＜.∴21()()0h x h x ＜＜，22222222()1()10k k k k k h e k e ke e k e k =+--=-+-＞∴存在()202,k x x e∈，使得0()0h x =，又因为()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解: 综上，原命题得证.【点睛】本题考查函数的极值，恒成立问题，并利用导数方法证明函数零点的存在，是一道综合题. 附加部分选修4-2:矩阵与变换 21.已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α. 【答案】307275⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先求出矩阵A 的特征值以及特征向量，向量α用特征向量表示，按求矩阵指数幂运算法则即可求出结论.【详解】因为212()5614f λλλλλ--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦，由()0f λ= 得2λ=或3λ=.当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设321211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩所以55551212()A A A A ααααα=+=+5521307121311275⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【点睛】本题考查矩阵的特征值，特征向量，考查矩阵指数运算，属于基础题. 选修4--4:坐标系与参数方程 22.在极坐标系中，圆C方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被⊙C 截得的弦AB 的长度．【答案】【解析】 【分析】先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的方程，可得圆心和半径，再将直线的参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下点到直线的距离公式求解即得．【详解】⊙C 的方程化为ρ＝4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ 由ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， 得x 2+y 2﹣4x ﹣4y ＝0，其圆心C 坐标为（2，2），半径r = 又直线l 的普通方程为x ﹣y ﹣2＝0，∴圆心C 到直线l 的距离d ==∴弦长AB ==.【点睛】本题考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，考查了圆中的弦长问题，属于中等题． 选修4-5：不等式选讲 23.设,,0x y z ＞，证明：222111x y z y z x x y z++≥++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】依据柯西不等式，不等式左边乘以111x y z++，即可得证. 【详解】证明：由柯西不等式，得2222111x y z x y z yz x ⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 即2222111111x y z x y z yz x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴222111x y z y z x x y z++≥++. 当且仅当x y z ==时等号成立.【点睛】本题考查柯西不等式应用，属于基础题.24.如图，在三棱锥P -ABC 中，AC ⊥BC ，且，AC =BC =2，D ，E 分别为AB ，PB 中点，PD ⊥平面ABC ，PD =3.(1)求直线CE 与直线PA 夹角的余弦值； (2)求直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值. 【答案】209；(2)3211.【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出,CE PA 夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC 的法向量，其PC 与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C (0，0，0)，A(2，0，0)，D (1，1，0)，E (12，32，32)，P (1，1，3)， ()1331,1,3,,,222PA CE ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭设直线CE 与直线PA 夹角为θ，则222222139222cos 1331(1)(3)222PA CE PA CEθ--⋅==⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得209cos 19θ=； ∴直线CE 与直线PA 夹角的余弦值20919；(2)设直线PC 与平面DEC 夹角为0θ， 设平面DEC的法向量为(,,)m x y z =， 因为()1,1,0CD =，133,,222CE ⎛⎫=⎪⎝⎭所以有01330222x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取1x =，解得1y =-，23z =， 即面DEC 的一个法向量为2(1,1,)3m =-，()1,1,3CP =，()022222211232sin 112113113CP m CP mθ⋅-+∴===⋅⎛⎫++⋅+-+ ⎪⎝⎭.∴直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值为3211.【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.25.已知1()1,nf x x n N x *⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. (1)记其展开式中常数项为m ，当4n =时.求m 的值；(2)证明:在()f x 的展开式中，对任意()1t n t N *≤≤∈，t x 与1tx 的系数相同. 【答案】(1)19；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据展开式的通项公式，求出常数项，即可求得结果； （1）先由展开式写出通项，分类讨论t x 与1t x存在，再证明系数相等. 【详解】(1)22211444341119m C x C C x C x x ⎛⎫=+⋅⋅+= ⎪⎝⎭；(2)由项式定理可知，01()imi m i f x C x x =⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑ 对任意给定的1t n ≤≤，当1i t ≤≤时，1ix x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中无tx 与1t x 项； 当i t ≥时，20011it ti i k i k ik i k m m i m i kk k C x C C x C C x x x --==⎛⎫⋅+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭∑∑ 若i t -为奇数，则2i k t -≠±，即1ix x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中无t x 与1t x 项；若i t -为偶数，设2i k t =+，则1ttnC x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，t x 的系数为i k n i C C ⋅ 1t x 的系数为i i k n iC C -⋅，即t x 与1tx 项的系数相同， 即当i t ≥且i t -为偶数时，在1tt n C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，t x 与1tx 项的系数均相同， 所以在()f x 的展开式中，t x 与1tx 项的系数相同，原命题得证. 【点睛】本题考查二项展开式定理，解题的关键是掌握二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于中档题.。