2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题1 第5讲 函数、导数及不等式的综合应用

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由已知得： ＝ 【解答】 (1)由已知得：f(x)＝2f(x＋2)＝4f(x＋4)，∵x∈(0,2)时 f(x) 解答】 由已知得 ＋ ＝ ＋ ， ∈ 时 1 a＜－ ，设 x∈(－4，－ ，则 x＋4∈(0,2)，∴f(x＋4)＝ln(x ＜－ ，－2)， ＝lnx＋ax ＋ ∈ － ，－ ＋ ∈ ， ＋ ＝ 2 ，－2)时 ＋4)＋a(x＋4)，∴x∈(－4，－ 时， f(x)＝4f(x＋4)＝4ln(x＋4)＋4a(x＋ ＋ ＋ ， ∈ － ，－ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ 1 x＋4＋a ＋ ＋ 4 1 1 4)， f′(x)＝ ＜－2， ， ′ ＝ ∴ ＋4a＝4a· ＝ ， a＜－2， －4＜－a－4＜－ ， ∵ ＜－ ∴ ＜－ ＜－ x＋4 x＋4 ＋ ＋ 1 1 ，－2 ，－ f′ ＞ ， 为增函数， ∈ f(x)为增函数 当 ，－ ∴当 x∈－4，－a－4时，′(x)＞0， 为增函数， x∈－a－4，－ ∈ 1 1 1 时，′(x)＜0， 为减函数， f(x)max＝f －a－4＝4ln－a＋4a－a＝ f′ ＜ ， 为减函数， f(x)为减函数 ∴ ＝－1.即当 ∈ －4，∴a＝－ 即当 x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－x. ， ＝－ 时 ＝ －
(1)求 x∈(0,2)时函数 f(x)的解析式； 求 ∈ 的解析式； 时函数 的解析式 x－b － (2)是否存在实数 b 使得不等式 是否存在实数 ＞ x对于 x∈(0,1)∪(1,2)恒 对于 ∈ ∪ 恒 f(x)＋x ( ) 成立？若存在， 的取值集合，若不存在，说明理由 理由． 成立？若存在，求出实数 b 的取值集合，若不存在，说明理由．
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【分析】 (1)两个函数在同一个区间上单调性一致，可以 分别求得两个函数的导数，判断其符号同时同号即可得 b 的取 值范围；(2)首先排除 b＞0 的情形，然后根据两个函数的单调区 间将区间(a，b)的两个端点与极值点进行比较，便可得出 a 与 b 的取值范围，从而得出最大值，最后检验所得结果即可．
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要点热点探究 ► 探究点一 函数与导数的综合
江苏卷] 例 1 [2011·江苏卷 已知 a，b 是实数，函数 f(x)＝x3＋ 江苏卷 ， 是实数， ＝ ax， ＝x2＋bx, f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数， ， g(x)＝ 的导函数， ′ 和 ′ 分别是 和 的导函数 上恒成立， 若 f′(x)g′(x)≥0 在区间 I 上恒成立，则称 f(x)和 g(x)在区 ′ ′ ≥ 和 在区 上单调性一致． 间 I 上单调性一致． (1)设 a>0，若 f(x)和 g(x)在区间 －1，＋∞)上单调性一 在区间[－ ，＋ 上单调性一 ，＋∞ 设 ， 和 在区间 的取值范围； 致，求 b 的取值范围； (2)设 a<0 且 a≠b，若 f(x)和 g(x)在以 a，b 为端点的开 设 ≠ ， 和 在以 ， 区间上单调性一致， 的最大值． 区间上单调性一致，求|a－b|的最大值． － 的最大值
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x－b － ②当 x∈(1,2)时，lnx ＞ x⇒b＜x－ xlnx， g(x)＝x－ xlnx， ∈ 时 ⇒ ＜ － ， 令 ＝ － ， x∈(1,2)， ∈ ， － － lnx 1 2 x－lnx－2 则 g′(x)＝1－ ′ ＝ － － ＝ ， 2 x x 2 x 1 1 令 h(x)＝ 2 x－ lnx－ 2，则当 x∈ (1,2)时 ， h′(x)＝ － x ＝ ＝ － － ， ∈ 时 ′ ＝ x x－1 － 上单调递增， ， 在 上单调递增 x ＞0，h(x)在(1,2)上单调递增， h(x) ( ) 上单调递增， ∴h(x)＞h(1)＝0，∴g′(x)＝ ＞ ＝ ， ′ ＝ ＞0, g(x)在(1,2)上单调递增， 在 上单调递增 2 x ∴g(x)＞g(1)＝1，故此时只需 b≤1 即可． ＞ ＝ ， ≤ 即可． 综上所述： ＝ ， 的取值集合为{1}． 综上所述：b＝1，因此满足题中条件的 b 的取值集合为 ．
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x－b － x－b － (2)由(1)可得： ∈(0,1)∪(1,2)时， 可得： 恒成立， 由 可得 x∈ ∪ 时 不等式 ＞ x恒成立， lnx ＞ 恒成立 即 f(x)＋x ( ) x恒成立， 恒成立， 恒成立 x－b － ①当 x∈(0,1)时， lnx ＞ x⇒b＞x－ xlnx，令 g(x)＝x－ xlnx，x∈ ∈ 时 ⇒ ＞ － ， ＝ － ， ∈ (0,1)， ， － － lnx 1 2 x－lnx－2 则 g′(x)＝1－ ′ ＝ － － ＝ ， 2 x x 2 x x－1 － 1 1 令 h(x)＝2 x－lnx－2， ＝ － － ， 则当 x∈(0,1)时， ′(x)＝ －x＝ x ＜0， ∈ 时 h′ ＝ ， x h(x)在(0,1)上单调递减， 上单调递减， 在 上单调递减 h(x) ( ) 上单调递增， ∴h(x)＞h(1)＝0，∴g′(x)＝ ＞ ＝ ， ′ ＝ ＞0, g(x)在(0,1)上单调递增， 在 上单调递增 2 x ∴g(x)＜g(1)＝1，故此时只需 b≥1 即可； ＜ ＝ ， ≥ 即可；
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► 探究点二 函数与不等式的综合
例 2 已知函数 f(x)满足 2f(x＋2)＝f(x)， x∈(0,2)时 f(x)＝lnx＋ 满足 ＋ ＝ ， 当 ∈ 时 ＝ ＋
1 ＜－ axa＜－2，当
x∈(－4，－ 时 f(x)的最大值为－4. ∈ － ，－ ，－2)时 的最大值为－ 的最大值为
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(3)证明不等式： 证明不等式： 证明不等式 对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数 对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数 然后利用函数的单调性和极值解决． 然后利用函数的单调性和极值解决． 3．利用导数研究实际生活问题 ． (1)用导数解决实际问题的一般步骤： 建立函数关系式； 利用导 用导数解决实际问题的一般步骤： 用导数解决实际问题的一般步骤 ①建立函数关系式； ② 数求函数的最值； 根据求解结果对实际问题作出解释． 即建模、 解模、 数求函数的最值； 根据求解结果对实际问题作出解释． ③ 即建模、 解模、 解释实际问题． 解释实际问题． (2)有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也 有关函数最大值、 有关函数最大值 最小值的实际问题，一般指的是单峰函数， 就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点， 就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不 与端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小 值点 值点． 与端点比较，就可以知道这个极值点就是最大 小)值点．
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2．利用导数解决不等式问题 ． (1)不等式恒成立：不等式恒成立问题中蕴含着转化、数形结合、分 不等式恒成立： 不等式恒成立 不等式恒成立问题中蕴含着转化、数形结合、 类讨论、函数与方程、有限与无限等丰富的数学思想方法，越来越受到 类讨论、函数与方程、有限与无限等丰富的数学思想方法， 高考命题者的青睐，这从近年来的高考试题中不难看出． 高考命题者的青睐，这从近年来的高考试题中不难看出．不等式恒成立 问题的基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题， 问题的基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题， 导 数正是研究这个问题的有力工具． 数正是研究这个问题的有力工具． (2)比较两个函数的大小： 比较两个函数的大小： 比较两个函数的大小 这类问题开始时并不知道两个函数之间的 大小关系，一般思路是用作差比较的方法解决， 大小关系，一般思路是用作差比较的方法解决，两个函数作差后还是一 个函数， 个函数， 通过研究这个函数值域与零的大小确定所比较的两个函数的大 小．
第5 讲
函数、 函数、导数及不等式的综合应用
第5讲 函数、导数及 函数、 不等式的综合应用
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主干知识整合
1．利用导数研究函数问题 ． (1)利用导数求函数单调性的步骤： 求 f′(x)； 求方程 f′(x) 利用导数求函数单调性的步骤 ① 利用导数求函数单调性的步骤： ′ ； ② ′ 的根， ＝0 的根，设根为 x1，x2，…，xn；③x1，x2，…，xn 将给定的区间 的符号， 分成 n＋1 个子区间，再在每一个子区间内判断 f′(x)的符号，由此 ＋ 个子区间， ′ 的符号 确定每一个子区间的单调性． 确定每一个子区间的单调性． (2)利用导数研究函数的极值时，一般应先考虑函数的定义域， 利用导数研究函数的极值时， 利用导数研究函数的极值时 一般应先考虑函数的定义域， 然后求出函数的导数，得到导数为零的点， 然后求出函数的导数，得到导数为零的点，这些点将整个定义域分 为若干个区间， 为若干个区间，然后将 x、f′(x)、f(x)在每个区间内的变化情况列 、′ 、 在每个区间内的变化情况列 在一个表格中，通过表格可以清楚地判断出在哪个点处是极值， 在一个表格中，通过表格可以清楚地判断出在哪个点处是极值，是 极大值还是极小值． 极大值还是极小值．
【解答】 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b. 解答】 ′ ＝ ， ′ ＝ ＋ (1)由题意知 f′(x)g′(x)≥0 在[－1， ∞)上恒成立． ＋∞ 上恒成立． 由题意知 ′ ′ ≥ － ， ＋ 上恒成立 因为 a>0， 3x2＋a>0， ， 故 ， 进而 2x＋b≥0， ＋ ≥ ， 在区间[－ ，＋ 上恒成立 ，＋∞ 上恒成立， ，＋∞ 即 b≥－2x 在区间 －1，＋∞)上恒成立，所以 b≥2.因此 b 的取值范围是 ，＋∞)． ≥ ≥ 因此 的取值范围是[2，＋ ． a (2)令 f′(x)＝0， b)． 令 ′ ＝ ， 解得 x＝± －3. 若 b>0， a<0 得 0∈(a， ． ＝ ， 由 ∈ ， 又因为 f′(0)g′(0)＝ab<0， ′ ′ ＝ ， b)上不是单调性一致的 因此 b≤0. 现设 b≤0.当 x∈(－∞， 时，′(x)<0 0)时 g′ 所以函数 f(x)和 g(x)在(a， 上不是单调性一致的． 和 在 ， 上不是单调性一致的． ≤ ≤ 当 ∈－ a a f′ f′ 当 x∈－∞，－ － 时，′(x)>0.因此当 x∈－∞，－ － 时，′(x)g′(x)<0.故由题设得 a≥ ∈ 因此当 ∈ ′ 故由题设得 ≥ 3 3 1 1 1 1 a a － －3且 b≥－ －3，从而－3≤a<0，于是－3≤b≤0，因此 －b|≤3，且当 a＝－3，b＝0 时 ≥ ，于是－ ≤ ，因此|a－ ≤ ＝－ ＝ 等号成立． 等号成立．