一元二次不等式及其解法练习题

1．(2012·南京二模)已知集合A ＝{x |x 2
－2x ≤0，x ∈R }，B ＝{x |x ≥a }，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意知，A ＝{x |x 2
－2x ≤0，x ∈R }＝{x |0≤x ≤2}． 又∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，
∴实数a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：(－∞，0]
2．设函数
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1
2
，x ≤－1，
2x ＋1，－1<x <1，
1x －1，x ≥1，
已知f (a )>1，则a 的取值范围是
________．
解析：a ≤－1时，(a ＋1)2
>1，∴a <－2或a >0，故a <－2； －1<a <1时，2(a ＋1)>1，∴a >－12，故－1
2
<a <1；
'
a ≥1时， 1
a
－1>1无解．
综上，a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 答案：(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
，x <0，
x ＋1，x ≥0，
则不等式f (x )>4的解集为________．
解析：x <0时，x 2
>4，∴x <－2；x ≥0时，x ＋1>4，∴x >3.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
4．若不等式4－x 2
≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝1，则k ＝________.
解析：画⎩⎨
⎧
y ＝4－x 2
y ＝k x ＋1
的图象如图，
，
由图可知只有当直线过(－1,0)，(1，3)时，b ＝2，a ＝1，满足
b －a ＝1.
此时k ＝3－01＋1＝3
2
. 答案：
32
5．(2013·苏州期中)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2
＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2
＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于________．
解析：由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2.
答案：－3
6．(2012·山东高考)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2可得2≤kx ≤6，所以1≤k 2x ≤3，所以k
2
＝1，故k ＝2.
-
答案：2
7．不等式x 2
－2x ＋3 ≤a 2
－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 解析：原不等式即x 2
－2x －a 2
＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅， ∴Δ＝4－4(－a 2
＋2a ＋4)＜0， 即a 2
－2a －3＜0， 解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)
8．(2012·苏中三市联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
－x 2
＋ax ，x <0
是奇函数，则满足f (x )>a
的x 的取值范围是________．
、
解析：∵f (x )是奇函数，
∴f (1)＋f (－1)＝0，即－1＋(－1－a )＝0，∴a ＝－2. ∴f (x )>－2， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ≥0，x 2
－2x >－2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x <0，－x 2
－2x >－2，
解得x >－1－ 3.
答案：(－1－3，＋∞)
9．(2013·湖州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．
解析：∵f (x )＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1，
Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，
,
∴函数f (x )＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，
又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－5
6.
又a ∈Z ，∴a ＝－1.
不等式f (x )＞1，即－x 2
－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 答案：(－1,0) 10．解下列不等式： (1)8x －1≤16x 2
；
…
(2)x 2
－2ax －3a 2
＜0(a ＜0)．
解：(1)原不等式转化为16x 2
－8x ＋1≥0， 即(4x －1)2
≥0，则x ∈R ， 故原不等式的解集为R .
(2)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )＜0， ∵a ＜0，
∴3a ＜－a ，得3a ＜x ＜－a .
故原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }． 。

11．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，
生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．
(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少 解：(1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2
＋130x －500.
由月利润不少于1 300元，得－2x 2
＋130x －500≥1 300. 即x 2
－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.
#
故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2
＋130x －500
＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫x －6522＋
3 2252， 由题意知，x 为正整数．
故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.
所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．
12．(2013·西安模拟)设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．
(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；
{
(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1
a
，比较f (x )与m 的大小．
解：由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.
当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，
，
∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1
a
，
∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .
1．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *
在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实
数λ的取值范围是________．
解析：由题意得x 2
＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，
解得x ≥1
2
或x ≤－1.
又x ∈(－∞，λ]，所以λ的取值范围是(－∞，－1]．
-
答案：(－∞，－1]
2．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于
x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2
＝4b ，所以x 2
＋ax ＋a 2
4－c ＜0
的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2
＋ax ＋a 2
4－c ＝0的两根，由一元二次方程根与
系数的关系得⎩
⎪⎨⎪
⎧
2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 2
4－c ，解得c ＝9.
答案：9
3.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，其种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝
nv
100
＋
v 2
400
(n 为常数，且n ∈N )，现做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中
⎩
⎪⎨
⎪⎧
6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.
(1)求n 的值；
(2)要使刹车距离不超过 m ，则行驶的最大速度是多少 解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
6＜40n 100＋1 600
400＜8，
14＜70n 100＋4 900
400＜17，
{
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
5＜n ＜10，52
＜n ＜95
14.又n ∈N ，所以n ＝6.
(2)s ＝3v 50＋v 2
400≤⇒v 2
＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60.因为v ≥0，所以0≤v ≤60，
即行驶的最大速度为60 km/h.
1．(2012·泰州中学调研)已知命题：“∀x ∈[1,2]，x 2
＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．
解析：由题意知，对∀x ∈[1,2]，a ≥－x 2
－2x 恒成立， ∴a ≥(－x 2
－2x )max ，
而－x 2
－2x ＝－(x ＋1)2
＋1在[1,2]上递减，∴(－x 2
－2x )max ＝－12
－2×1＝－3，∴a ≥－3.
答案：[－3，＋∞)
2．(2012·江西高考)不等式x 2－9
x －2
>0的解集是________．
解析：由x 2－9
x －2
>0，得(x ＋3)(x －3)(x －2)>0，利用数轴穿根法易得－3<x <2或x >3.
答案：{x |－3<x <2，或x >3}
3．若圆x 2
＋y 2
－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是________．
解析：依题意，令x ＝0得关于y 的方程y 2
＋2my ＋m ＋6＝0有两个不相等且同号(均不
等于零)的实根，于是有⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝2m 2
－4
m ＋6＞0，
m ＋6＞0， 由此解得m ＞3或－6＜m ＜－2.
答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)。