第3章静定结构受力分析三铰拱

将以上两式代入上方程得 :
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy

1 [q R 2R
R 2

FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy

1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
2 在有竖向集中力作用点两侧截 面，轴力图和剪力图都有突变， 突变值等于相应简支梁的剪力 分别在拱的轴力和剪力方向上 的投影。
M K1
1.33x1 5.33 y1 q
y12 2
3.80kN m
式中：
y1 R cos x1 R(1 sin )
3) 求K2截面内力
因截面K2上作用有竖向集中 力FP，所以在该截面两侧的 轴力和剪力都将有突变。K2 截面的内力要区分截面左、 右两个截面分别考虑。
K2截面以右——取K2R以右部分： （隔离体上无集中力所用）
FNK 2R 11.33 cos 2.67 sin 11.15kN
FQK2R 11.33 sin 2.67 cos 3.35kN
M K 2R 11.33x2 2.67 y2 0.73kN m
FN (FAy FP1 ) sin FH cos
FQ (FAy FP1 ) cos FH sin (a)
M FAy x FP1 (x a1 ) FH y
可以看出，拱的内力计算的 基本方法与前述相同。拱的 内力计算的特点是，随着截 面位置的变化，截面的法向 不断的有相应的变换。
一、概述
3.8 三铰拱
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状， 并且在竖向荷载作用下会产生 水平支座反力的结构。
静定拱分类： 1 三铰拱
2 带拉杆三铰拱
f（拱高)
静定拱的各部名称见图
拱轴 (底铰)
(a)三铰拱 (b)带拉杆三铰拱
二、三铰拱的内力计算
1.三铰拱的支座反力
当三铰拱的两个底铰在一条水平 线上，且只有竖向荷载作用时， 三铰拱的竖向支座反力与相应简 支梁的竖向支座反力相等；拱自 身的两个水平支座反力互等。
FH =20kN (FBx)
FBy =30kN x(源自)2)求合理拱轴方程：即利用式 ： y M 0
FH
分AD、DC、CB三段写出各段的 拱轴方程
AD段(0,2)：
y1

30x 20

3 2
x
DC段(2,4)：
y2

30x 20(x 2) 20

1 2
x2
CB段(4,8)：
y3

30 x
(a)
2m 2m
解
1)求支座反力
析 因拱的两个底铰不在一条 直线上，须先建立关于同 一个铰的两个约束力的平 衡方程，联立求解，即：
先考虑支座B的约束力。以A 点为矩心，建立拱整体的力 矩平衡方程：
M A 0 8FBy 2FH 2FP q 4 6 0
再取铰C以右部分为隔离体， 写C端弯矩为零的方程：
3 有集中力偶作用点两侧截面， 弯矩图有突变，突变值仍等 于所作用的集中力偶。
拱的内力图制作分3步：
1 沿拱的跨度方向将拱轴分为若 干等分；
2 计算各等分点截面上的内力值 及截面内力有突变的内力值；
3 将已得各截面内力值用曲线 光滑连接，即得拱的内力图。
公式法 计算拱的内力用于 内力图制作时较有利。

20 ( x

2) 10(x 20

4) 2
/2


1 4
x2

5 2
x

2
由各段的拱轴方程，可绘 出该拱的合理拱轴。
三、拱的合理轴线
概念
拱的所有截面上都处于无弯矩状 态时的拱轴线叫合理拱轴。换句 话说，即，具有合理拱轴的拱的 所有截面上都只有轴向压力。
竖向荷载作用下合理拱轴的确定
只有竖向荷载作用时，其合 理拱轴可由数解方法确定。
由式(2)第三式
M M 0 FH y
令其等于 y M 0
(3)
零，得：
FBx FBy
2）求K1截面内力 取截面K1左侧，见图(c)。
Mk1 FNK1
FQK1
4m
5.33kN 1.33kN
(c)
建立截面上轴力、剪力方向 上的投影方程及截面形心为 矩心的力矩方程
FNK1 1.33 sin (5.33 q y1 ) cos 0.72kN
FQK1 1.33 cos (5.33 q y1 ) sin 1.95kN
求解图示三铰刚架支座反力
FH F Ay
FH
F By FN0
分析
FAY FA
FBY FB
FH

1 f
[FAy

L1

FP1

(x

a1
)]

M C0 f
式中： M C0 —相应简支梁在对应于 拱顶铰位置处的弯矩值
支座反力图
0 FB
(b)
2.拱的内力计算
1）基本方法—截面法 注： 拱的内力正负号的规定：剪
K2截面以左——取K2L以右部分： （隔离体上有集中力所用）
FNK 2L FNK 2R FP cos 2.49kN
FQK 2L FQK 2R FP sin 1.65kN
M K2L M K2R
式中
x2 R(1 cos )
y2 R sin
小 结
带拉杆三铰拱在竖向荷载作用 下水平反力为零。其拱结构由 支座提供的在拱铰处的水平力，
R 2

FP (R
R cos )]
1.33kN()
MCL 0
水
1
R
平 FAx

R
(FAy
R
q
R
) 2

5.33kN()
支 MCR 0
座 反 FBx

1 R
(FBy

R
q
R cos )

2.67kN()
力
支座反力图
R=4m
FAx FAy
(b)
FP=10kN
M C 0 4FBy 2FH q 4 2 0
联立以上两式， 解得：
FBy 30kN()
FH 20kN()
(a) (b)
由拱整体的平衡方程： FY 0
得
FAy 30kN() (c)
A支座竖向反力
支座反力结果图：
y
FH (FA )x FAy =30kN
被结构内部的拉杆的拉力替代。
因曲杆的受力与前述三铰拱完
全相同，因此称其为带拉杆的
三铰拱。
拱的内力求解另一 种方法 ：公式法
现在考虑相应简支梁的K截面上 的内力，见图(b)。 FCy
FCx
FAx=0
(b)
a FAy
f FNAB
由(b)容易得出：
FQ0 FA FP1 FAy FP1
M 0 FA x FP1 (x a1 ) FAy FP1 (x a1 )
FH
小结
合理拱轴的纵坐标与相应简支梁 的弯矩纵坐标成正比。也可以说， 合理拱轴的形状应与相应简支梁 的弯矩图形状相似。由此推出， 拱在均布荷载作用下的合理拱轴 是抛物线形状；在集中荷载作用 下的合理拱轴是折线图形。
例1试设计一个三铰拱的轴线。 其拱上作用荷载与拱的三个铰 相对位置已定，如图(a)示。