高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.3知识点总结含同步练习及答案

例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值 范围． （1）l 1 与 l 2 相交； （2）l 1 与 l 2 平行； （3）l 1 与 l 2 重合； （4）l 1 与 l 2 垂直． 解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交． （2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
− − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −
− −− − − − − − − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − y = √[x − (−1)] 2 + [0 − (−1)] 2 + √(x − 3)2 + (0 − 2)2 ,
例题： 已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值． 解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有
− − −− − − − − − − − − − − − − − − −− − −− − |P A| = √(x + 1)2 + (0 − 2)2 = √x2 + 2x + 5 , − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − |P B| = √(x − 2)2 + (0 − √7 )2 = √x2 − 4x + 11
{
{
a(a − 1) − 2 = 0, 2(a2 − 1) − 6(a − 1) ≠ 0,
解得 a = −1 ，所以 a = −1 时，l 1 ∥ l 2 ． （3）因为 l 1 与 l 2 重合，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 = 0，即
{
a(a − 1) − 2 = 0, 2(a2 − 1) − 6(a − 1) = 0, 2 ． 3
高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式
一、学习任务 1. 2.
了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想，能用解方程组的方法求两直线的交点坐 标． 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用；会求两条平行直线间的距离．
7x − 24y + 6 −24x − 7y + 8 + − 4 = 0 ，整理得 2x + 11y + 16 = 0，即 25 25 2x + 11y + 16 = 0 为直线 b 的方程． 2×
四、课后作业
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1. 点 (1, −1) 到直线 x − y + 1 = 0 的距离是 ( A．
前者表示点 (x, 0) 到点 (−1, −1) 的距离，后者表示点 (x, 0) 到点 (3, 2) 的距离，代数式的几 何意义为 x 轴上的点 P (x, 0) 到点 A(−1, −1) 和点 B(3, 2) 的距离之和，结合图象可知代数
P (x, 0)
A(−1, −1)
式的最小值为 AB 两点之间距离，即 y min
二、知识清单
直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ；
B(3, 2) − − − − − − − − − − − − − − − = d(A, B) = √(3 + 1)2 + (2 + 1)2 = 5．
已知一直线经过点 (1, 2)，并且点 (2, 3) 和 (0, −5) 到该直线的距离相等，求此直线的方程． 解：假设所求直线的斜率存在，设其方程为 y − 2 = k(x − 1)，即 kx − y − k + 2 = 0． 由题意，得
由 |P A| = |P B|，得 x 2 − 4x + 11 = x2 + 2x + 5，解得 x = 1． 所以所求点 P 的坐标为 (1, 0)，则 |P A| = √(1 + 1)2 + (0 − 2)2 = 2√2 ． 求 y = √(x + 1)2 + 1 + √(x − 3)2 + 4 的最小值． 解：由题原式可整理得
求两平行线 l 1 ：3x + 4y = 2 和 l 2 ：6x + 8y = 15 间的距离． 解：法一：在直线 l 1 上任取一点 P (−1,
5 )． 4 5 则点 P (−1, ) 到直线 l 2 ：6x + 8y = 15 的距离即为两平行直线间的距离．因此， 4 5 ∣ ∣ ∣6 × (−1) + 8 × − 15∣ ∣ ∣ 11 4 d= = . − − − − − − 10 √6 2 + 8 2
0 + y0 2 + x0 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ x0 = 4 , ⎪x × +4× − 1 = 0, 2 2 5 解得 ⎨ ⎨ − 0 y 4 ⎪ ⎪ ⎩y = − 8 . ⎩ 0 ⎪ = , 0 3 5 x0 − 2
4 8 , − )，故由两点式得直线 b 的方程为 2x + 11y + 16 = 0． 5 5 方法二：设 b 上的动点 P (x, y) 关于 l ：3x + 4y − 1 = 0 的对称点为 Q(x0 , y 0 )，则有
− − − −− − − − − − − − − − − − − − −
− − − −− − O 与任一点P (x, y) 的距离|OP | = √x2 + y 2 ．
点到直线的距离
点P (x 0 , y 0 ) 到直线l ：Ax + By + C = 0(A 2 + B 2 ≠ 0) 的距离d =
所以 B (
⎧ ⎧ ⎪ 3 × x + x0 + 4 × y + y 0 − 1 = 0, ⎪ x0 = 7x − 24y + 6 , 2 25 解得 ⎨ ⎨ y − y2 4 −24 x − 7y + 8 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ y0 = = , . 3 x0 − x 25
因为 Q(x 0 , y 0 ) 在 a ：2x + y − 4 = 0 上，所以
解得 a = 2，所以 a = 2 时，l 1 和 l 2 重合． （4）因为 l 1 与 l 2 垂直，所以 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ，即 a + 2(a − 1) = 0 ，解得 a =
2.直线的相关计算 描述： 两条直线交点坐标 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解，若方程组有惟 一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时这两 条直线平行． 两点间距离公式 两点P1 (x 1 , y 1 )，P2 (x 2 , y 2 )间的距离公式|P1 P2 | = √(x2 − x1 )2 + (y 2 − y 1 )2 ，特别地，原点
⎧ ⎪ 1 ⋅ b − 2 = −1, 解得 { a = 1, ⎨ 2 a−2 a + 2 b + 2 b = 4. ⎪ ⎩2 ⋅ −4⋅ + 9 = 0, 2 2
所以所求的对称点坐标为 B(1, 4)． （4）由 { 2x + y − 4 = 0, 得交点 E(3, −2)，E 也在直线 b 上． 3x + 4y − 1 = 0, 方法一：在 a ：2x + y − 4 = 0 上取点 A(2, 0)，设 A 关于 l 的对称点为 B(x0 , y 0 ) ，则有
法二：将直线 l 2 的方程化为 3x + 4y − 由两平行直线间的距离公式得
15 = 0． 2
∣ 15 ∣ ∣ 11 ∣ )∣ ∣−2 − (− ∣ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ 2 ∣ 11 d= = = . − − − − − − 5 10 √3 2 + 4 2
求解下列问题： （1）求点 A(3, 2) 关于点 B(−3, 4) 的对称点 C 的坐标； （2）求直线 3x − y − 4 = 0 关于点 P (2, −1) 对称的直线 l 的方程； （3）求点 A(2, 2) 关于直线 2x − 4y + 9 = 0 的对称点的坐标． （4）求直线 a ：2x + y − 4 = 0 关于直线 l ：3x + 4y − 1 = 0 对称的直线 b 的方程． 解：（1）设 C (x, y) ，由中点坐标公式得
|2k − 3 − k + 2| |0 + 5 − k + 2| = − − − − − − − − − − ，即 |k − 1| = |k − 7|，解得 k = 4． √1 + k 2 √1 + k2 此时直线方程为 4x − y − 2 = 0． 当所求直线斜率不存在时，可知直线方程为 x = 1，此时，点 (2, 3) 和点 (0, −5) 到直线的距 离相等且为 1 ． 综上，所求直线方程为 4x − y − 2 = 0 或 x = 1．