最新2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(8)
宁夏2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
宁夏2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·西城期中) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·营口月考) 复数满足，则的虚部是（）A .B .C .D . -13. （2分） (2020高一上·衢州期末) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·深圳模拟) 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A . 4πB . πh2C . π（2﹣h）2D . π（4﹣h）25. （2分）(2017·陆川模拟) 下列命题中正确命题的个数是（）⑴对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；⑵命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；⑶回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 =1.23x+0.08；⑷m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．A . 1B . 3C . 2D . 46. （2分） (2018高一下·珠海月考) 如图是把二进制的数11111(2)化成十进制的数的程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A . i>5?B . i≤5?C . i>4?D . i≤4?7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2016高二下·桂林开学考) 若变量x，y满足，则x﹣2y的最小值为（）A . ﹣14B . ﹣4C .D .9. （2分） (2019高二上·武汉期中) 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点不重合），则的面积最大值是（）．A .B .C . 5D .10. （2分）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度11. （2分）(2020·江门模拟) 在平面直角坐标系中，、是双曲线的焦点，以为直径的圆与双曲线右支交于、两点．若是正三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .12. （2分）已知有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A . －1＜a＜2B . －3＜a＜6C . a＜－1或a＞2D . a＜－3或a＞6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·普兰店模拟) 的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________．14. （1分） (2017高二上·大连期末) 阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式sin ，若在两边同乘以，并令n→+∞，则左边=．因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果．则 =________．15. （1分）(2016·上海文) 如图，已知点O（0,0）,A（1．0）,B（0,−1）,P是曲线上一个动点，则的取值范围是________．16. （1分） (2019高一下·镇赉期中) 在中，，，内切圆的面积是，则外接圆的半径是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高三上·上高月考) 已知各项均为正数的数列的前项和为，， .（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和记为 ,证明： .18. （10分） (2018高二上·鄞州期中) 已知四棱锥的底面为直角梯形， ,底面且是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若，求二面角的余弦值.19. （10分） (2015高三上·太原期末) 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．20. （5分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为．（I）求椭圆的方程；（II）已知点C（m，0）是线段OF上异于O、F的一个定点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．21. （15分） (2020高三上·潍坊期中) 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：质量指标值利润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.22. （5分） (2018高二下·湛江期中) 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l和圆C相交于A,B两点，求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积．23. （10分）(2019·永州模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若，的最小值为，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高三下学期级适应性考试二(理科)数学试题
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高三下学期级适应性考试二（理科）数学试题一、单选题1．2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果每道选择题的答案是从A ，B ，C ，D 四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（ ） A ．AAAAAAAAAAAA B ．ABCDABCDABCD C ．CDABACADCBDBD ．DBCCCDCDBDBD2．在复数集中，我们把实部与实部相等，虚部与虚部互为相反数的一对具有孪生关系的复数记为z 和z ，他们也是实系数一元二次方程（0a ≠）在判别式小于0时的两个复数根，我们将这种关系定义为共（ ） A ．额B ．呃C ．扼D ．轭3．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．“实数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y ->B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y -<D ．ln ln 0x y +>7．今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首．某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座．已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有（ ） A ．48种B ． 84种C ．24种D ．12种8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10939．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．如图，已知12,F F 为双曲线22221x y a b-=的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线得渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±11．已知数列{}n a 满足1214a a ==，，n 2134n n a a a +++=，则下列是等比数列的是（ ）A ．{3}n a +B ．{3}n a -C ．{}n 1n a a ++D ．{}n 1n a a +-12．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题13．设,a b r r 为单位向量，且||1a b +=r r ，则||a b -=rr .14．tan20tan40tan40︒+︒︒︒= 15．若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则b =． 16．函数()log (1)x a f x a x a =->有两个零点,求a 的范围三、解答题17．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 出测得山顶P 得仰角为γ，(1)若15β︒=，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） (2)求证;山高sin sin()sin()a h αγβγα-=-18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元)，求X 的分布列．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点,5,6O AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5,4AE CF EF ==交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '（1）证明：D H '⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值.20．已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．21．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |：(2)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求分别以OA ，OB 为直径的圆的极坐标方程．23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．。
2023年高考数学模拟试卷
2023年高考数学模拟试卷班级姓名一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x | x² - 2x - 3≤0},B={x | x≤3,x∈N},则A∩B=A.[- 1,3)B. {- 1,0,1,2,3}C. {0,1,2,3} D,{1,2,3}2.已知函数f(x)=若f [ f ( 2 ) ] = 2 ,则a =A.0B.C.D.13.z(i-1),则复数z可能为A. 1+iB.1—iC.2+iD. 1+2i4.已知等差数列{a}的前n项和为S n,若S2=5,S₅=2,则S7=nA.7B.-7C.- 10D.105.若α∈A. B. C. D.16 已知 1 < m ≤ 3 , 则的取值范围为A. B. C. D.7.已,则A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a8.若双曲线C .上存在E 、F 、M 、N 四点，使得四边形EFMN 为正方形，且原点O 为正方形中心，A 为双曲线右顶点，M 在第一象限，2MA= 3OM,设双曲线的离心率为e,则e²= A.B.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列命题不正确的是 A. 若a >b ,则ac²>bc²B. 三个数a,b,c 成等比数列的充要条件是b²=acC. 向量a,b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λaD. 已知命题p:Vx>0时,则命题p 的否定为：∃x>0时，10.已 知 当x ∈( 0 , π)时 ，f ( x ) = c o s x ,并 且 满 足f ( 2 π十x ) = f ( 2 π - x ) , f ( π十x ) + f(π-x)=0,则下列关于函数f(x)说法正确的是A.B. 周期T=2πC . f(x)关于x=π对称 D.f(x)关于(一 π,0)对称11. 如图几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G 为A 2D 2的中点，下列说法正确的是 A.平面B 1GD 1⊥平面AA 2C 1 B. 三棱锥A 2-B ₁GD 1的体积为 241C. 该几何体外接球的体积为66πD. 若P 为动点，且B ₁P= 2,则P 点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π.12.星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，1y x3232=+便是它的一种表达式，下列有关说法正确的是A. 星形线关于y=x 对称B. 星形线图象围成的面积小于2C. 星形线上的点到x 轴，y 轴距离乘积的最大值D. 星形线上的点到原点距离的最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.毛泽东思想是党的重要思想，某学校在团员活动中将四卷不同的《毛泽东选集》分发给三名同 学，每个人至少分发一本， 一共有 种分发法. 14.已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ²),且P(X² -4X+3≤0)=0 .6827,则P(X<- 1)= . ( 附 ： 若X ～N ( u ,σ ² ) ,则P ( u - σ ≤ X ≤ u + σ ) = 0 . 6 8 2 7 ,P(u-2σ≤X≤u+2σ)=0.9545,P(u-3σ≤X≤u+3σ)=0.9973) 15.已 知 0是该函数的极值点，定义<x 〉表示超过实数z 的最小整数，则f(<x o 〉)的值为16.单位圆中，AB 为一条直径，C 、D 为圆上两点且弦CD 长为 3,则 AC ·BD 的取值范围是四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分) 已知在△ABC 中， D 在BC 边上， AD 平分∠BAC,AD=3,AB=5,AC=7 . (1)求cos ∠BAD; (2)求△ABC 的面积. 18. (本小题满分12分)已知{ax}为等差数列(1)求{an}的通项公式； (2)若T n 为b n 的前n 项和，求T n .19. (本小题满分12分)在斜三棱柱ABC -A ₁B ₁C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AB=BC,AC=32,平面ACC 1A 1⊥底面ABC,A 1B=AA ₁=2 .(1)证明： A 1B ⊥AC;(2)求二面角A 1-BC-C 1的正弦值.20. (本小题满分12分)已知椭圆L 1by a x 2222=+ （a ＞b ＞0） ,椭圆上的点到两焦点的距离和为52,在椭圆 L 上 . (1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点P(0,2)作直线L 交椭圆于A,B 两点，点E 为点P 关于x 轴的对称点，求△ABE 面积的最大值.21. (本小题满分12分)小明和小红进行比赛抛掷硬币，规定小明和小红每人抛6次，小明得分规则为每连续抛掷n (2≤n≤6)次结果相同则得1-n 2分(规定连续抛掷结果不同不得分，如正反正反正反不得分， 正正反正反反得4分),小红每抛掷一次正面结果则得2分，得分高者获胜. (1)求小红得8分的概率；(2)求小明得分的分布列和期望，并比较两人谁获胜的概率大? 22. (本小题满分12分) 已知f(x)=，3-3x alnae x ++2e 3x ln x f x g x+++=）（）（(a≠0). (1)当a=1时，求g(x)的单调性；(2)若f(x)恒大于0,求a 的取值范围.。
宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ2．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )A ．B ．C ．D ．3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( ) A．2 B．﹣2 C ．D ．﹣4．若实数x，y 满足，则z=x﹣2y的最大值是( )A．﹣3 B ．C ．D ．5．阅读下列算法：（1）输入x．（2）推断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．（3）输出y．当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )A．1 B ．C ．D ．7．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面对量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．48．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，外形及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( ) A．1 B．2 C．3 D．69．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个微小值，则ω的取值范围是( ) A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C 为抛物线上不同的三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=( )A．3 B．9 C．12 D．1811．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )A．8 B．16 C．32 D．6412．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线C1与C2的离心率互为倒数．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为__________．14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过的定点为（1.5，5），则mn=__________．x 0 1 n 3y 8 m 2 415．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x ）+f′（x）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是__________．16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a 1，b4=a1+a2+a3，设c n =，数列{c n}的前n项和为T n，则T10=__________．三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）估量这500件产品质量指标值的样本平均数．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似听从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估量得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且相互垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知曲线C ：=1，直线l ：（t为参数）（I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的一般方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（I）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，进行推断即可．解答：解：A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，则A∪B=[﹣1，2），故选：C．点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )A ．B ．C ．D ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．解答：解：∵（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，∴i﹣2a=1﹣bi，∴﹣2a=1，﹣b=1，解得a=﹣，b=﹣1，则|a+bi|=|﹣﹣i|==．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题．3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( ) A．2 B．﹣2 C ．D ．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．若实数x，y 满足，则z=x﹣2y的最大值是( )A．﹣3 B ．C ．D ．考点：简洁线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x ﹣，﹣相当于直线y=x ﹣的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x ﹣，﹣相当于直线y=x ﹣的纵截距，由解得，E （，﹣）；此时z=x﹣2y 有最大值+2×=；故选：C．点评：本题考查了简洁线性规划，作图要细致认真，同时留意几何意义的应用，属于中档题．5．阅读下列算法：（1）输入x．（2）推断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．（3）输出y．当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题；算法和程序框图．分析：确定分段函数，分别求y的取值范围，即可得出结论．解答：解：由题意，y=，x∈（2，7]，y=x∈（2，7]；x∈[0，2]，y=﹣2x+6∈[2，6]，∴输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是[2，7]，故选：A．点评：本题考查算法，考查函数表达式的确定于运用，比较基础．6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )A．1 B ．C ．D ．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：求出三封信件投入两个邮箱的全部种数，求出每个邮箱都有信件的种数，然后求解概率．解答：解：三封信件投入两个邮箱的全部种数：23=8．每个邮箱都有信件的种数：C32•A22=6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是：．故选：B．点评：本题考查古典概型的概率的求法，基本学问的考查．7．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面对量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：（1）依据特称命题的否定是全称命题来推断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期推断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）依据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来推断（4）是否正确．解答：解：（1）依据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax ，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B点评：本题借助考查命题的真假推断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．8．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，外形及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( )A．1 B．2 C．3 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：依据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，利用割补法，可求出三棱锥的体积．解答：解：依据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，如下：图中长方体的体积为：3×2×1=6，切去的四个角的体积为：4×=4，故几何体的体积V=6﹣4=2，故选：B．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个微小值，则ω的取值范围是( ) A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依据函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个微小值，可得T＜2π≤T，结合周期的求法，即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个微小值∴T＜2π≤T，∴×＜2π≤×，∴＜ω≤故选：A．点评：本题考查三角函数图象的性质，考查周期的求法，考查同学的计算力量，属于基础题．10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C 为抛物线上不同的三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=( )A．3 B．9 C．12 D．18考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面对量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由已知条件推导出x1+x2+x3=9，依据，得出点F（3，0）是△ABC重心，运用重心的坐标公式得出：x1+x2+x3=9，再依据抛物线的定义得出|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3，整体求解即可．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线y2=12x焦点坐标F（3，0），准线方程：x=﹣3，∵，∴点F（3，0）是△ABC重心，∴x1+x2+x3=9，y1+y2+y3=0，而||=x1﹣（﹣3）=x1+3，||=x2﹣（﹣3）=x2+3，||=x3﹣（﹣3）=x3+3，∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3=（x1+x2+x3）+9=9+9=18．故选：D．点评：本题考查抛物线的简洁性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，留意三角形重心性质的机敏运用11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )A．8 B．16 C．32 D．64考点：抽象函数及其应用；子集与真子集．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m的图象，确定集合A有6个元素，即可得出结论．解答：解：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m的图象如图，由于集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，如图可知，交点的个数有6种状况，所以集合A有6个元素，所以集合A的子集个数为64．故选：D．点评：本题考查函数的性质，考查集合的子集个数，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．12．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线C1与C2的离心率互为倒数．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个考点：命题的真假推断与应用；椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易规律．分析：依据题意，写出F′、F、B1各点坐标，通过联立椭圆与双曲线的方程及点P在第一象限，可得P （，），①通过计算、S△PFF′，可得①正确；②当a=b时，通过计算可得cos（∠PF′F﹣∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=0，故②正确；③举出反例，当a=b时不成立，故③不正确；④直接计算出曲线C1与C2的离心率即可④正确．解答：解：依据题意，得F′（，0），F （﹣，0），B1（0，b），联立椭圆与双曲线的方程，消去y ，得，又∵点P在第一象限，∴P （，），①=（﹣﹣，﹣）•（﹣，﹣）=2﹣（a2﹣b2）+=＞0，三角形PFF′的面积为=×＜b2，故①正确；②当a=b时，有a2=2b2，则F′（b，0），F（﹣b，0），，∴=（，），=（，），=（﹣2b，0），∴=，=，=2b，∴cos∠PF′F==，cos∠PFF′==，∴sin∠PF′F=，sin∠PFF′=或（舍），∵cos（∠PF′F﹣∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=×+×=0，∴∠PF′F﹣∠PFF′=，故②正确；③当a=b时，线段PF的中点为M （，），则OM=，MF=，OF=2b，∵MF﹣OF=﹣2b ＜=OM，故③不正确；④曲线C1与C2的离心率分别为：e1=，e2==，故④正确；综上所述，命题①②④正确，故选：B．点评：本题考查圆锥曲线的简洁性质，向量数量积运算，三角形面积计算公式，三角函数差角公式，中点坐标公式，圆与圆的位置关系，考查分析问题、解决问题的力量，考查计算力量，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面对量及应用．分析：把|+|=λ||平方代人已知数据可得λ的方程，解方程可得答案．解答：解：∵|+|=λ||，∴λ＞0，平方可得++2•=λ2，∵向量，的夹角为120°，且||=3，||=4，∴9+16+2×3×4×（）=9λ2，解得λ=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过的定点为（1.5，5），则mn=12．x 0 1 n 3y 8 m 2 4考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：利用回归直线方程经过中心点坐标，然后求出mn即可．解答：解：∵回归直线方程经过中心点坐标，∴==1.5；==5，解得m=6，n=2．mn=12．故答案为：12；点评：本题考查了线性回归方程的应用，在线性回归分析中样本中心点（，）在回归直线上的解题的关键．15．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x ）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是[1+ln2，+∞）．考点：利用导数争辩函数的极值；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，利用导数争辩函数的极值和最值即可得到结论．解答：解；函数的导数f′（x）=，函数的定义域为{x|x＞}，则由f（x）+f′（x）﹣3=a得ln（2x+1）+﹣3=a，设g（x）=ln（2x+1）++3﹣3=ln（2x+1）+，则函数的f（x）的导数g′（x）==，当x＞得函数的导数g′（x ）＞0，当﹣＜x＜，则函数的导数g′（x ）＜0，则函数g（x）的微小值同时也是最小值为g（）=1+ln2，故若方程f（x）+f′（x）﹣3=a有解，则a≥1+ln2，故答案为：[1+ln2，+∞）；点评：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数，利用导数争辩函数的极值和最值是解决本题的关键．16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b4=a1+a2+a3，设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，则T10=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），变形为S n+1=2（S n﹣1+1），利用等比数列的通项公式可得S n．再利用等差数列的通项公式可得b n，利用“裂项求和”可得T n．解答：解：∵S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），∴S n+1=2（S n﹣1+1），∴数列{S n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，∴S n+1=2n，∴﹣1．设等差数列{b n}的公差为d，∵b1=a1=1，b4=a1+a2+a3=S3﹣1=7，∴1+3d=7，解得d=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．设c n ===，∴数列{c n}的前n项和为T n =+…+==．∴T10=．故答案为：．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．考点：正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间，利用函数的图象平移变换求出函数的结果．（Ⅱ）利用函数的解析式，依据函数的定义域求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc，再利用三角形的面积公式求出结果．解答：解（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1=sin2x ﹣cos2x+cos2x=sin 2x+cos 2x =sin （），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z），把函数f（x）=sin （）的图象上的全部点的坐标向右平移个单位，就可得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）∵f（A）=，∴sin （）=．又0＜A＜π，∴＜2A+＜．∴2A+=，故A=．在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=，∴1=b2+c2﹣2bccos A，即1=4﹣3bc．∴bc=1．∴S△ABC =bcsin A=．点评：本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求三角函数的单调区间，正弦型函数的图象变换问题．利用函数的关系式求函数的值，余弦定理和三角形面积的应用，主要考查同学的应用力量．18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，先求出AB ，可得=，而，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求出平面ACD1的一个法向量，利用向量的夹角公式，求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）由题意，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）．从而=（﹣t，3，﹣3），=（t，1，0），=（﹣t，3，0）．由于AC⊥BD ，所以•=﹣t2+3+0=0．解得t=或t=﹣（舍去）．所以=，而，所以=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，3，3），=（，1，0），=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，则令x=1，则=（1，﹣，）．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==．即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求异面直线、直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、空间向量等学问，属于中档题．19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）估量这500件产品质量指标值的样本平均数．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似听从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估量得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）（i）由（1）知Z～N，从而求出P（187.8＜Z＜212.2），P=0.3413，即可得出结论；（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，求出E（Y），即可求得EX．解答：解：（1）取个区间中点值为区间代表计算得：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（2）（i）由（1）知Z～N，从而P（187.8＜Z＜212.2）=P=0.6826，所以P=0.3413，所以P（Z＜212.2）=0.8413（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，其分布列为Y 2 5 10P 0.1587 0.6826 0.1587E（Y）=2×0.1587+5×0.6826+10×0.1587=5.3174，E（x）=E（100Y）=100×5.3174=531.74．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算力量．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且相互垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C1的方程．（2）设A（x1，y2），B（x2，y2），P（x0，y0）．设直线l1的方程为y=kx﹣1．求出点O到直线l1的距离，然后利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理求出PD，表示出△ABD的面积为S，利用基本不等式求出最值，然后求解直线方程．．解答：解：（1）由题意点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，得∴椭圆C1的方程为．（2）设A（x1，y2），B（x2，y2），P（x0，y0）．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．故点O到直线l1的距离为，又圆C2：x2+y2=4，∴．又l1⊥l2，∴直线l2的方程为x+ky+k=0．由，消去y，整理得（4+k2）x2+8kx=0，故，代入l2的方程得．∴．设△ABD的面积为S ，则，∴．当且仅当，即时上式取等号．∴当时，△ABD 的面积取得最大值，此时直线l1的方程为．点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的力量．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种状况争辩即可；（III）通过变形，只需证明g（x）=e x﹣lnx﹣2＞0即可，由于g′（x）=，依据指数函数及幂函数的性质可知，依据函数的单调性及零点判定定理即得结论．解答：解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）∴f′（x）==（x＞0），∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，所以，b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负状况进行争辩：①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化状况如下表：0 （a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓↑由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x ）在（，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x ）的单调递增区间为（，+∞）；（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣e x，∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：e x﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=e x﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，由于g′（x）=，依据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，∵g（1）=e﹣1＞0，=，∴g（1），∴g（x ）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=，即（），由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，所以当x＞0时，，又，故等号不成立，∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．点评：本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，留意解题方法的积累，属于难题．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，依据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易依据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的学问点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中依据AB是圆O的直径，CE⊥AB 于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知曲线C ：=1，直线l ：（t为参数）（I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的一般方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用三角函数的平方关系式，推出曲线C的参数方程，消去参数t求解直线L的一般方程．（2）设曲线上任意一点P 的坐标为，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍，得到关系式，利用三角函数的有界性求出最值．得到点的坐标．解答：解：（1）曲线C ：=1，曲线C 的参数方程为：，直线l ：（t为参数），消去参数t，可得，直线L的一般方程为x+2y﹣6=0（2）设曲线上任意一点P 的坐标为，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍所以得，当时，|PA|有最大值，此时θ的一个值为：﹣．此时P的坐标为（﹣2，﹣3．．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程与一般方程的互化，考查计算力量．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（I）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；确定值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（I）分类争辩当x≥4时，当时，当时，求解原不等式的解集．（II）利用确定值三角不等式求出最值，可得m的范围，解答：解：（I）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}．…5分（II）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9．当，所以m＜9．…10分．点评：本题考查函数的最值，极大值不等式的解法以及转化思想的应用，考查计算力量．。
备战2024年高考数学模拟卷第一卷(新高考专用)共8套
（考试时间：120分钟试卷满分：150分备战2024年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷01）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{3,10},02xA yy x x B x x ⎧⎫==-<<=≥⎨⎬+⎩⎭∣，则U A B ð等于（）A ．()2,0-B ．[)2,0-C ．()3,2--D ．(]3,2--2．已知()iR 1im z m +=∈-，z =，则实数m 的值为（）A ．3±B ．3C．D3．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（）A ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（）A ．2()e ex xx f x -=+B ．()3e e x xf x x -+=C ．2()e e x xx f x -=-D ．()2e e x xf x x -+=5．在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A ．43B ．103C ．3D ．26．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A ．17B ．18C ．19D ．207．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线与C 的一个交点为P ，与C 的一条渐近线交于,Q O 为坐标原点，若1455OP OF OQ =+，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C ．53D ．548．对任意()0,2e ,ln e x x a x ∈-≤恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()e,2e B ．3e ,2e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()e2e ,2e ln 2e ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．()e 2e ,2e ln 2e ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(1) 含详细答案解析
）
）
1 C．
3
1 D．
4
A ．若￢（ p∧ q）为真命题，则 p， q 均为假命题
B ．命题“ ? x∈R ，ax+b≤ 0”的否定是“ ? x∈R ，ax+b≥ 0”
C．等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若“ a1＞ 0”则“ S2019＞S2018”的否命题为真命题
→→
→→
D ．“平面向量 ??与??的夹角为钝角”的充要条件是“ ?????＜0”
D．?
1-2??
2．（ 5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ?? = 1 + ?，? 则 |z|＝（
）
√5 A．
2 3．（ 5 分）已知椭圆
3 √2 B．
2
√10 C．
2
D． √3
??2 E：??2 +
??2 ??2 =
1(??＞??＞0)
过点
√2 ??( 2
，
√3 2)
，椭圆
E 的离心率为
2020 年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（ 1）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x|（ x﹣ 1）（x+1 ）＜ 0} ， B＝ { y|y＝ 2x， x∈R } ，则 A∩ B＝（
）
A ．（﹣ 1， 0]
B ．（﹣ 1， 1）
C．（ 0， 1）
19．（ 12 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的
用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了
9 个数据作为样本，
得到如图所示的茎叶图（单位：分钟） ．若用时不超过 40（分钟），则称这个工人为优秀 员工．
第04讲 基本不等式高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋
− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式
2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；
b a
2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；
当且仅当a＝b
2
a＋b
3ab≤
时等号成立
a，b∈R；
2
2
2
2
a ＋b
a＋b
4
a，b∈R.
≤
2
2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8
4
8
4
解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝
2023年宁夏中卫市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科）1. 设集合，，若，，则( )A. B. C. 1 D. 32. 若复数，则z的共轭复数( )A. B. C. D.3. 已知，，，则的值为( )A. B. C. D.4. 已知，，，则( )A. B. C. D.5. 《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊.”羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了斗.( )A. B. C. 3 D.6. 若x，y满足约束条件则的最小值是( )A. B. C. 0 D. 27. 如图是函数的图象的一部分，设函数，，则是( )A. B. C. D.8. 已知函数，则( )A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递增9. 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有( )A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足若为锐角三角形，且，则面积最大为( )A. B. C. D.11.设双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线交双曲线E的左支于点N，若，则点M与点N 的横坐标的绝对值之比为( )A. B. C. 4 D.12. 利用“”可得到许多与且有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 已知，平面向量，若，则实数m的值是______ .14.已知的展开式为，若，则______ .15. P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为______ .16. “蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”是最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似现在的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，且满足，，则该“鞠”的表面积为______ 17.已知数列的前n项和为，求的通项公式；若求数列的前n项和；18. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计为进一步提高服务质量在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望.附：，k19. 如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，侧面底面ABC，D为AC中点，求证：；再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：20. 在直角坐标系xOy中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大求动点M的轨迹方程；当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21. 已知函数讨论的单调性；若，求a的取值范围.22. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系求圆C及直线l的直角坐标方程；若射线分别与圆C和直线l交于P，Q两点，其中，求的最大值.23. 已知，，函数的最小值为求的值；求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，，，，，解得故选：利用子集、交集定义、集合中元素的性质直接求解．本题考查子集、交集定义、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，则故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用诱导公式求得，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．【解答】解：已知，，，，，则，故选：4.【答案】D【解析】解：，，故故选：先确定与中间量0的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小．本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】B【解析】解：由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2，设猪的主人赔偿的粟斗数为x，则，解得：，故马主人赔偿的粟斗数为，所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为故选：问题可转化为等比数列进行求解，设出未知数，列出方程，求出马主人比猪主人多赔偿了斗数．本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：作出x，y满足的可行域如下所示，联立，解得，，即，可化为，当直线经过点A时，有，所以，即z的最小值为故选：根据不等式组作出可行域，把目标函数转化为，再结合其几何意义，得解．本题考查线性规划，熟练掌握目标函数的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由于函数和都是奇函数，它们的图象关于原点对称，由的图象可得是奇函数，结合所给的选项，是偶函数，故排除A；是偶函数，故排除B，而，当且x趋于0时，函数的值趋于负无穷大，故排除C；是奇函数，故选：根据的图象可得是奇函数，根据在0点右侧的函数值，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性，奇函数与偶函数的图象特征，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，周期，的单调递减区间为，单调递增区间为，对于A，在上单调递增，故A错误，对于B，在上单调递增，在上单调递减，故B错误，对于C，在上单调递减，故C正确，对于D，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：利用二倍角公式化简得，周期，根据余弦函数的单调性可得的单调递减区间为，单调递增区间为，进而逐个判断各个选项的正误即可．本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；故选拔测试的安排方案有种．故选：根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数．本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：，，即，，，，又，，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，即面积最大为故选：根据已知条件结合正弦定理以及余弦定理，即可求解，结合A的范围可求A，结合正弦定理以及三角函数的恒等变换公式，三角形的面积公式即可求解．本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查转化能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如下图所示：根据题意可知，，，设，，由可知：，所以，即，所以，即，所以，联立，解得；所以，即，点M与点N的横坐标的绝对值之比为故选：根据题意可得，，A三点坐标，由可利用相似比得，代入M，N 两点坐标并联立，解之即可求得结果．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．12.【答案】C【解析】解：令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，，故，当且仅当时，等号成立，对于①，令，所以，故，其中，所以，故①正确；对于②，将中的x替换为，可得，，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故，其中所以，故②正确；对于③，将中的x替换为，显然，则，故，故，故③错误；对于④，将中的x替换为，其中，，则，则，故，当且仅当时，等号成立，则，故④正确．故选：先证明出，当且仅当时，等号成立，对于①，令，得到，累加后得到①正确；对于②，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到②正确；对于③，推导出，累加后得到③错误；对于④，将中的x替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到④正确．本题主要考查归纳推理，不等式的证明，导数的应用，考查逻辑推理能力，属于难题．13.【答案】2【解析】解：，平面向量，，，可得，解得舍，即实数m的值是故答案为：直接根据向量共线的性质即可求得结论．本题主要考查向量平行时的坐标关系，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，令，则，即，令，则，即，由题意可得，即，解得或，故答案为：或利用二项式定理即可得解．本题考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，则不妨设，，，，则A，B为椭圆的焦点，，又，则，且，在以C、D为焦点的椭圆上，且，解得，为椭圆上一点，联立，解得，则，故P到x轴的距离为，故答案为：首先表示出A，B，C，D的坐标，依题意得，即可得到P为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由已知得，均为等边三角形，如图所示，设球心为O，的中心为，取BD中点F，连接AF，CF ，OB，，AO，则，，而，平面ACF，且求得，而，，则，在平面AFC中，过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由平面ACF，得，故平面BCD，过点O作于点G，则四边形是矩形，而，，设球的半径为R，，则由，，得，，解得，，故三棱锥外接球的表面积为由题意画出图形，可得，均为等边三角形，设球心为O，的中心为，取BD中点F，连接AF，CF，OB，，AO，构造直角三角形，利用勾股定理求解棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：时，化为：时，，解得数列是等比数列，公比为数列的前n项和……，……，相减可得：……，解得【解析】时，，时，，解得利用等比数列的通项公式即可得出．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：有题可得对业务水平满意的有人，对服务水平满意的有人，得列联表对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数18080260对业务水平不满意人数202040合计200100300经计算得，所以没有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；的可能值为0，1，2，又，，，所以X的分布列如下：X012P则X的期望【解析】利用题意可完成列联表，然后根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；根据题意结合超几何分布求分布列和期望．本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．19.【答案】证明：因为，D为AC中点，所以，又因为面面ABC，面面，面ABC，所以平面，又平面，所以；解：选①，取的中点E，连接，CE，则且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，E为的中点，所以，又，，，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，因为，所以，如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，由，得，，则，，，，则，因为平面，所以即为平面的一条法向量，设平面的法向量为，则有，可取，则，由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为；选②，取的中点E，连接，CE，DE，则且，所以四边形为平行四边形，所以且，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为，所以，又，所以，则，在中，因为，所以，如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，下同选①的答案．【解析】根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；选①，取的中点E，连接，CE，证明，再以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；选②，取的中点E，连接，CE，DE，利用勾股定理证明，再以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：动点M到定点的距离比到y轴的距离大1，当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为，则，所以，所以，当时，满足条件．综上所述，轨迹方程为：时，；时，，；设直线PQ的方程为，，，联立方程，整理得：，，，，直线OP的方程为，同理：直线OQ的方程为，令得，，设AB中点T的坐标为，则，，所以，圆的半径为，所以AB为直径的圆的方程为，展开可得，令，可得，解得或所以以AB为直径的圆经过定点和【解析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案；设直线PQ的方程为，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算中点坐标为，半径为，得到圆方程为，取得到定点．本题主要考查了求动点轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：的定义域为当时，，则，当时，可知在上单调递增，当时，令，得，今，得因为，所以为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，；令，可得，令，则当时，，显然成立．当时，，在区间上单调递增，若，由，可得，有，与矛盾．当时，令，可得，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，可得若，则必有，可化为，令，由，可得，令，得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，则，可知综上，a的取值范围为【解析】求函数的导数，分或两种情况讨论；由，令，，分，或三种情况讨论．本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为，，所以由可得，，化为普通方程为，，即由可得，，由，，可得解：将代入圆C和直线l的极坐标方程可得：，，所以，则，，所以，因为，所以，当，即时，有最大值为【解析】直接利用转换关系式，把极坐标方程转换成直角坐标方程；将代入可得与表达式，得到，化简得到，根据的范围，即可得到最大值．本题考查极坐标与参数方程的应用，三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．23.【答案】解：，当且仅当，等号成立，又，，故，解得；证明：由可知，，，，则，当且仅当，，即，时，等号成立，故，所以，即，即【解析】根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解；根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．。
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。
2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(7)
2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（7）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知i 是虚数单位，则复数z =3+5ii的虛部是（ ） A ．﹣3B ．﹣3iC ．3D ．3i3．（5分）若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（ ） A ．√22B ．√5−12C ．12或√22D ．√22或√5−124．（5分）记等比数列{a n }满足2a 2﹣5a 3＝3a 4，则公比q ＝（ ） A ．13B ．13或﹣2C ．2D ．195．（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（ ） A ．9100B ．8800C ．8700D ．85006．（5分）函数f （x ）=√x +3+1x+1，的定义域为（ ） A ．{x |x ≥﹣3且x ≠﹣1} B ．{x |x ＞﹣3且x ≠﹣1} C ．{x |x ≥﹣1}D ．{x |x ≥﹣3}7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）已知向量a →，b →是两个夹角为π3的单位向量，且OA →=3a →+5b →，OB →=4a →+7b →，OC →=a →+m b →，若A ，B ，C 三点共线，则OA →•OC →=（ ） A ．12B ．14C ．16D ．189．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．√34D ．√2210．（5分）已知两个正方形ABCD 和CDEF 有一条公共边CD ，且△BCF 是等边三角形，则异面直线AC 和DF 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1211．（5分）已知双曲线E ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）与抛物线C ：y 2＝﹣16x 有相同的焦点F ，抛物线C ′：x 2＝12y 的焦点为F ′，点P 是双曲线E 右支上的动点，且△PFF ′的周长的最小值为14，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．√3B ．√2C ．3D ．212．（5分）若函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣2在区间（14，2）内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（−18，+∞）C ．（﹣8，+∞）D ．（﹣2，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ ． 14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ ．15．（5分）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S 1，S 2，则S 1﹣S 2＝ ．16．（5分）已知等差数列{a n }满足：a 2＝5，且数列{a n }前4项和S 4＝28．若b n ＝（﹣1）n a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝ ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在多而体ABCDE 中，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD ＝CD =√5，AE ＝2． （1）证明：平面EBD ⊥平面BCD ；（2）求平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．18．（12分）已知函数f(x)=sin(x +π6)−cosx ． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f(B)=12，且a ＝5，c ＝8，求b 的值．19．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门]制定了下列两种可供选择的方案． 方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次．方案二：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k 次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k 个人的血总共需要化验k +1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案二中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列（2）设p ＝0.1，试比较方案二中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）20．（12分）已知抛物线E ：y 2＝ax （a ＞0），过焦点F 的斜率存在的直线与抛物线交于C ，D ，且1|CF →|+1|DF →|=4．（1）求抛物线的方程；（2）已知y ＝x 与抛物线交于点P （异于原点），过点Q （0，12），作斜率小于0的直线l交抛物线于M ，N 两点（点M 在Q ，N 之间），过点M 作y 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B ，△PMA 与△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求S 2S 1的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝（log a x ）2+x ﹣lnx （a ＞1）． （1）求证：f （x ）在（1，+∞）上单调递增；（2）若关于x 的方程|f （x ）﹣t |＝1在区间（0，+∞）上有三个零点，求实数t 的值；（3）若对任意的x 1，x 2∈[a ﹣1，a ]，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ﹣1恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题） 23．（1）解不等式：x +|2x ﹣1|＜3 （2）求函数y ＝xlnx 的导数．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（7）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}． 故选：C ．2．（5分）已知i 是虚数单位，则复数z =3+5ii的虛部是（ ） A ．﹣3B ．﹣3iC ．3D ．3i【解答】解：复数z =3+5i i =−i(3+5i)−ii=5﹣3i 的虛部是﹣3． 故选：A ．3．（5分）若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（ ） A ．√22B ．√5−12C ．12或√22D ．√22或√5−12【解答】解：由菱形的对称性垂直可知，在椭圆的顶点与焦点中， 可以找出不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，有3种情况，如图：①图1中，顶点D 焦点B ，为菱形的顶点，C 为中心，则DC ⊥BC ， 由勾股定理可得（a 2+b 2）+a 2＝（a +c ）2，又a 2＝b 2+c 2， 化简可c 2+ac ﹣a 2＝0， 解e 2+e ﹣1＝0，得e =√5−12．②在图2中，以焦点AB 菱形的顶点，C 为中心，则AC ⊥BC ，所以∠OCB ＝45°，可得e =c a =√22； ③如图3，以B 为菱形的中心，C ，E 为菱形的顶点，则CD ⊥EB ， 可得 e =ca =√22． 故选：D ．4．（5分）记等比数列{a n }满足2a 2﹣5a 3＝3a 4，则公比q ＝（ ） A ．13B ．13或﹣2C ．2D ．19【解答】解：∵等比数列{a n }满足2a 2﹣5a 3＝3a 4， 依题意，2a 2−5a 2q =3a 2q 2，即3q 2+5q ﹣2＝0，故（3q ﹣1）（q +2）＝0， 解得q =13或q ＝﹣2， 故选：B ．5．（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（ ） A ．9100B ．8800C ．8700D ．8500【解答】解：另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元， 若不考虑这2人，中位数为8500+9100＝17600，17600÷2＝8800， 若这两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，则中位数不变， 若这两个人的工作位于8500与9100之间，且这两个数关于8800对称， 8500与9100也是关于8800对称，所以中位数也是8800， 此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：8800， 故选：B ．6．（5分）函数f （x ）=√x +3+1x+1，的定义域为（ ） A ．{x |x ≥﹣3且x ≠﹣1} B ．{x |x ＞﹣3且x ≠﹣1} C ．{x |x ≥﹣1}D ．{x |x ≥﹣3}【解答】解：要使f （x ）有意义，则：{x +3≥0x +1≠0；解得x ≥﹣3，且x ≠﹣1；∴f （x ）的定义域为：{x |x ≥﹣3，且x ≠﹣1}．故选：A ．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：模拟程序的运行，可得 a ＝3，b ＝1 n ＝1 a =92，b ＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．8．（5分）已知向量a →，b →是两个夹角为π3的单位向量，且OA →=3a →+5b →，OB →=4a →+7b →，OC →=a →+m b →，若A ，B ，C 三点共线，则OA →•OC →=（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【解答】解：由A ，B ，C 三点共线，得OC →=xOA →+(1−x)OB →=(4−x)a →+(7−2x)b →， 故{4−x =17−2x =m，解得m ＝1， ∴OA →⋅OC →=(3a →+5b →)⋅(a →+b →)=3a →2+8a →⋅b →+5b →2=12． 故选：A ．9．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．√34D ．√22【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）=sin 2x +(12sinx +√32cosx)2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin(2x −π6)+1， 当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f(x)min =1−12=12． 故选：A ．10．（5分）已知两个正方形ABCD 和CDEF 有一条公共边CD ，且△BCF 是等边三角形，则异面直线AC 和DF 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【解答】解：取CD 的中点M ，CF 的中点N ，连接MN ，则MN ∥DF ．延长BC 到P ，使CP =12BC ，连接MP ，NP ，则MP ∥AC ．令AB ＝2，则MP ＝MN =√2， 又△BCF 是等边三角形，NC ＝PC ＝1，由余弦定理可得：NP =√3， 异面直线AC 和DF 所成角为∠NMP ，∴cos ∠NMP =2×2×2=14．故选：B ．11．（5分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线C ：y 2＝﹣16x 有相同的焦点F ，抛物线C ′：x 2＝12y 的焦点为F ′，点P 是双曲线E 右支上的动点，且△PFF ′的周长的最小值为14，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．√3B ．√2C ．3D ．2【解答】解：由题意得抛物线C 的焦点为F （﹣4，0），抛物线C ′的焦点F ′（0，3）， 设双曲线的右焦点为F 0，则三角形PFF ′的周长L ＝|PF ′|+|PF |+|FF ′| ＝|PF ′|+|PF 0|+2a +5≥|F ′F 0|+2a +5＝10+2a ＝14，故a ＝2， 所以e =ca=2． 故选：D ．12．（5分）若函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣2在区间（14，2）内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（−18，+∞）C ．（﹣8，+∞）D ．（﹣2，+∞）【解答】解：f ′（x ）=1x +2ax ，若f （x ）在区间（14，2）内存在单调递增区间，则f ′（x ）＞0在x ∈（14，2）有解，故a ＞(−12x 2)min， 而g （x ）=−12x 2在（14，2）递增， g （x ）＞g （14）＝﹣8， 故a ＞﹣8， 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在（ax +1x ）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ 5 ． 【解答】解：∵（x 2﹣1）5的展开式的通项公式为T r +1＝C5r（x 2）5﹣r •（﹣1）r ＝（﹣1）r•C5r x10﹣2r，r ＝0，1，…，5， ∴（ax +1x ）（x 2﹣1）5的展开式中含x 3的系数为a ×（﹣1）4×C 54+C53•（﹣1）3＝5a ﹣10．又∵5a ﹣10＝15，∴a ＝5． 故答案为：5．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ＝x +ty 得y =−1t x +zt ， 平移直线y =−1tx +z t ，由图象知当直线y =−1tx +z t经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11， 由{y =2y =2(x −2)得A （3，2）， 则3+2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4， 故答案为：4．15．（5分）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S 1，S 2，则S 1﹣S 2＝ 8√5π ．【解答】解：由于圆锥体的底面半径为4，高为2， 则：V =13×π×42×2=32π3， 由于该锥体转换为球，设球的半径为r ， 则32π3=43×π×r 3，解得r ＝2．则：锥体的表面积为S 1=π×4×√42+22+π×42=8√5π+16π， 球的表面积为S 2=4×π×22=16π．则：S 1−S 2=8√5π， 故答案为：8√5π．16．（5分）已知等差数列{a n }满足：a 2＝5，且数列{a n }前4项和S 4＝28．若b n ＝（﹣1）na n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝ 4n ．【解答】解：根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1， 又由{a n }满足：a 2＝5，且数列{a n }前4项和S 4＝28， 则有{a 2=a 1+d =5s 4=2(5+5+d)=28，解可得a 1＝1，d ＝4， 则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝4n ﹣3； b n ＝（﹣1）n a n ＝（﹣1）n （4n ﹣3），T 2n ＝﹣1+5﹣9+13﹣17+…+（8n ﹣3）＝4×n ＝4n ； 故答案为：4n ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在多而体ABCDE 中，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD ＝CD =√5，AE ＝2． （1）证明：平面EBD ⊥平面BCD ；（2）求平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取BC 中点O ，连结AO ，DO ， ∵BD ＝CD =√5，∴DO ⊥BC ，DO =√CD 2−OC 2=2， ∵DO ⊂平面BCD ，平面DBC ∩平面ABC ＝BC ， 平面BCD ⊥平面ABC ， ∴DO ⊥平面ABC ，∵AE ⊥平面ABC ，∴AE ∥DO ，又DO ＝2＝AE ，∴四边形AODE 是平行四边形，∴ED ∥AO ，∵△ABC 是等边三角形，∴AO ⊥BC ，∵AO ⊂平面ABC ，平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，平面BCD ⊥平面ABC ， ∴AO ⊥平面BCD ，∴ED ⊥平面BCD ， ∵ED ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面BCD ． 解：（2）由（1）得AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥DO ， 又DO ⊥BC ，AO ⊥BC ，分别以OB ，AO ，OD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （0，−√3，0），B （1，0，0），D （0，0，2），E （0，−√3，2）， 平面ABC 的一个法向量为m →=（0，0，1）， 设平面BED 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， BD →=（﹣1，0，2），BE →=（﹣1，−√3，2），则{n →⋅BD →=−x +2z =0n →⋅BE →=−x −√3y +2z =0，取x ＝2，得n →=（2，0，1）， 设平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√5=√55．∴平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为√55．18．（12分）已知函数f(x)=sin(x+π6)−cosx．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)=12，且a＝5，c＝8，求b的值．【解答】解：（1）由于f(x)=sin(x+π6)−cosx=√32sin x+12cos x﹣cos x=√32sin x−12cos x=sin(x−π6)，令2kπ−π2≤x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，可得：−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z．（2）∵f(B)=1 2，∴可得sin（B−π6）=12，∵B∈（0，π），B−π6∈（−π6，5π6），∴B−π6=π6，可得B=π3，∵a＝5，c＝8，∴由余弦定理可得b=2+c2−2accosB=√25+64−2×5×8×12=7．19．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门]制定了下列两种可供选择的方案．方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次．方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列（2）设p＝0.1，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【解答】解：（1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阴性的概率q＝1﹣p，所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1﹣p）k，呈阳性反应的概率为1﹣（1﹣p）k，故X=1k，1+1k，P（X=1k）＝（1﹣p）k，P（X=1+1k）＝1﹣（1﹣p）k，故X的分布列为：X1k1+1kP（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k（2）根据（1）可得方案二的数学期望E（X）=1k⋅(1−p)k+(1+1k)[1−(1−p)k]=1+1k−(1−p)k，p＝0.1，当k ＝2时，E （X ）=1+12−0．92=0.69，此时669人需要化验总次数为462次； 当k ＝3时，E （X ）=1+13−0．93≈0.6043，此时669人需要化验总次数为404次； 当k ＝4时，E （X ）=1+14−0．94=0.5939，此时669人需要化验总次数为397次； 故k ＝4时，化验次数最少， 根据方案一，化验次数为669次，故当k ＝4时，化验次数最多可以平均减少669﹣397＝272次．20．（12分）已知抛物线E ：y 2＝ax （a ＞0），过焦点F 的斜率存在的直线与抛物线交于C ，D ，且1|CF →|+1|DF →|=4．（1）求抛物线的方程；（2）已知y ＝x 与抛物线交于点P （异于原点），过点Q （0，12），作斜率小于0的直线l交抛物线于M ，N 两点（点M 在Q ，N 之间），过点M 作y 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B ，△PMA 与△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求S 2S 1的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线方程得：焦点F （a4，0），由题意直线CD 的斜率不为0， 设直线CD 的方程为：x ＝my +a4， 设C （x ，y ），D （x '，y '），联立直线CD 与抛物线的方程整理得： y 2﹣4max −a 24=0，y +y '＝4ma ，yy '=−a 24，∴x +x '＝m （y +y '）+a 2=4m 2a +a 2，xx '=(yy′)2a 2=a 216，所以1|CF →|+1|DF →|=1x+a 4+1x′+a 4=x+x′+a 2xx′+a 4(x+x′)+a 216=4m 2a+aa 216+m 2a 2+a 28+a 216 =4m 2a+a a 4(4m 2a+a)=4a ， 所以4a=4，解得a ﹣＝1， 所以抛物线方程为：y 2＝x ；（2）由（1）得，y ＝x 代入抛物线中得y 2＝x ，解得：y ＝1， 所以可得P 的坐标为（1，1）， 设MN 的方程为：y ＝kx +12， 设M （x ，y ），B （x '，y '），联立直线MN 与抛物线的方程整理得：ky 2﹣y +12=0，则y +y '=1k，yy '=12k， 因为S △PMA =12•|MA |•（x P ﹣x M ）=12（y ﹣x ）（1﹣x ），S △OAB =12|AB |•（x A ﹣0）=12（x −x y′）x ，所以S △OABS △PMA =(x−xy′)x (y−x)(1−x)=(y 2−y 2y′2)y 2(y−y 2)(1−y 2)，因为y+y′yy′=2，y '=y2y−1，y 2y′=y 2y2y−1=y （2y ﹣1），所以S △OABS △PMA=y 21−y 2=11y 2−1， 因为y ∈（0，12），所以1y ∈（4，+∞），所以S △OABS △PMA∈（0，13）．21．（12分）已知函数f（x）＝（log a x）2+x﹣lnx（a＞1）．（1）求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）若关于x的方程|f（x）﹣t|＝1在区间（0，+∞）上有三个零点，求实数t的值；（3）若对任意的x1，x2∈[a﹣1，a]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′(x)=1−1x+2log a x⋅1xlna，∵a＞1，x＞1，∴f′(x)=1−1x+2log a x⋅1xlna＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）∵0＜x＜1，分别有1−1x＜0，2log ax⋅1xlna＜0，∴f′（x）＜0，结合（1）知，f（x）min＝f（1），∴t﹣1＝f（1）＝1，∴t＝2；（3）由（2）可知，f（x）在[a﹣1，1]单调递减，在[1，a]上单调递增，∴f(x)max=max{f(a−1)，f(a)}，且f（a）﹣f（a﹣1）＝a﹣a﹣1﹣2lna，令g（x）＝x﹣x﹣1﹣2lnx，则g′(x)=1+x−2−2x=(1x−1)2≥0，∴g（a）＞g（1）＝0，∴g（x）max＝f（a），∴任意的x1，x2∈[a﹣1，a]，|f（x1）﹣f（x2）|＝f（a）﹣f（1）＝a﹣lna，以下只需a﹣lna≤e﹣1，由h（x）＝x﹣lnx的单调性解得1＜a≤e．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =2=4√2． 五．解答题（共1小题） 23．（1）解不等式：x +|2x ﹣1|＜3 （2）求函数y ＝xlnx 的导数． 【解答】（1）∵x +|2x ﹣1|＜3， ∴|2x ﹣1|＜3﹣x ，∴{3−x ＞02x −1＜3−x 2x −1＞x −3解得，﹣2＜x ＜43故不等式解集为（﹣2，43），（2）y ′＝1+lnx ．。
2023年新高考一卷数学试卷真题(完整版)
2023年新高考一卷数学试卷真题（完整版）2023年新高考一卷数学试卷真题2023新高考一卷有哪些省份考？目前新高考使用全国一卷的省份达到了8个，分别是广东、福建、江苏、河北、山东、湖南，湖北和浙江。
浙江省是2023年新加入的使用全国一卷的省份，现在把浙江卷改成了全国一卷，全国卷最大的好处在于考试的公平性。
2023年新高考Ⅰ卷高考各科分数满分多少高考总分为750分,三门统一高考科目语文、数学、外语的卷面满分分值均为150分,三门总分450分;考生自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目,包括物理、化学、生物、政治、历史、地理,每科卷面满分分值均为100分,在等级赋分制度下按满分100分计入,等级考试科目总分300分。
新高考一卷二卷都是由教育部依据同一份考试大纲命制的，两份试卷的试题结构基本相同，区别不大。
只是一卷比二卷要难一点点。
其实大家都知道，试卷的难易程度是相对的，并非绝对的，高考试卷难度无法进行量化，只是因人而异，无论是全国甲卷、全国乙卷还是新高考一卷和新高考二卷都没有可比性。
2023年全国高考有几套试卷?2023年除了浙江省高考试卷有所调整外，其余各省市采用的试卷基本与2022保持一致，浙江省语数外三科由原来的自主命题变为采用新高考一卷。
这样新高考一卷就增加到了8个省份，试卷类型也由去年的8套试卷，变成了今年的七套试卷，详情如下：全国甲卷(5省区)：云南、四川、广西、贵州、西藏全国乙卷(12省区)：内蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安徽、江西、河南新高考全国一卷(8省)：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江新高考全国二卷(3省市)：辽宁、重庆、海南天津卷：天津市上海卷：上海市北京卷：北京市注：2023年实行新高考的14省市的物理、化学、生物、政治、历史、地理6科由本省市单独命卷。
其中，浙江还另有技术科(含通用技术和信息技术)。
具体以各省市发布官方信息为准。
高考数学模拟试卷的命制
高考数学模拟试卷的命制为了帮助学生更好地应对高考数学考试，模拟试卷成为了一种重要的辅助工具。
本文将探讨高考数学模拟试卷的命制，包括试卷结构、题型设计以及难度控制等方面。
一、试卷结构设计1.整体结构高考数学模拟试卷的整体结构应该与真实的高考数学试卷保持一致，包括选择题、填空题、解答题等部分。
这样可以更好地帮助考生熟悉真实考试情景，提高应考能力。
2.题目数量模拟试卷的题目数量应该与真实考试相当，例如选择题可以设置30道，填空题可以设置10道，解答题可以设置6道。
这样既能保证试卷的综合性，又不会给考生过大的压力。
3.难易程度分布模拟试卷的难易程度分布应该与真实考试相似，包括简单、中等和难题的比例。
这样可以更好地检测学生的数学水平，帮助他们合理安排备考时间，有针对性地提高自己的薄弱点。
二、题型设计1.选择题选择题是高考数学试卷的重要组成部分，涉及的知识点广泛。
在模拟试卷中，应该充分考察学生对考点的理解和应用能力。
可以设计一些综合性的选择题，考察学生对多个知识点的综合应用。
2.填空题填空题是考察学生计算和推理能力的重要题型。
在模拟试卷中，可以设置一些需要进行逻辑推理或者推算的填空题，加深学生对数学知识的理解和掌握程度。
3.解答题解答题是考察学生分析和解决问题能力的主要题型。
在模拟试卷中，可以设计一些与日常生活相关的问题，引导学生将数学知识运用到实际问题的解决中，培养他们的创新思维和实际应用能力。
三、难度控制在制定高考数学模拟试卷时，难度的控制非常重要。
试卷难度应该适中，既不宽松到失去参考价值，也不过于困难导致学生信心丧失。
可以参考历年的真题和模拟试卷，结合实际情况，合理设置试题难度。
四、试卷评分与解析高考数学模拟试卷的命制工作不仅仅包括试题的设计，还需要做好试卷的评分与解析工作。
评分应该遵循高考评分标准，确保评卷准确公正。
同时，提供试卷的详细解析，帮助学生理解和掌握知识点，查漏补缺。
结语高考数学模拟试卷的命制对学生备考有着重要的指导意义。
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(6)
里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：
① 甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；
② 乙不在原始森林，也不在远古村寨；
③ “丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；
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④ 丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．
若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（
）
A ．f（x）的图象关于 ??= - 1?2?对称
B ． f（ x）在 [0， π]上有 2 个零点
C． f（ x）在区间
(
?3?，
5?? 6)
上单调递减
11??
D ．函数 f（ x）图象向右平移
个单位，所得图象对应的函数为奇函数
6
8．（ 5 分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百
2
2
）
√5 A．
2
√5 B．- 2
√6 C．
2
√6 D．- 2
【解答】 解：因为 ??????-(?2???)= - 1，所以 ??????=2?-? 1 ，2?????????=??-??1?，??
2
2
2
所以（ sinα﹣ cosα）2＝ 1-2??????????=??32?，???
又 ??∈(- ?2?， 0) ，
所以外接球的表面积为： 4π×( √13) 2 = 52π．
故选： C．
6．（ 5 分）数列 { an} 是公差为 2 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，且 a1，a4，a13 成等比数列，
李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）
X 的分布列与期
望．
20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 P（ 1，0），若以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴相切．
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(5)
2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（5）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2]B ．（﹣1，3）C ．{1}D ．{1，2}2．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（5分）已知tan(α−π6)=2√3，则sinαsin(α+π3)=（ ） A ．52B ．72C ．−√32D ．3√324．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若a →，b →夹角为2π3，则|a →−b →|=（ ）A ．√7B ．√6C ．√5D ．√35．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π36．（5分）在等比数列{a n }中，若2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则公比q 为（ ） A ．1B ．2C ．1或12D ．127．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．若￢（p ∧q ）为真命题，则p ，q 均为假命题B ．命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b ≥0”C ．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若“a 1＞0”则“S 2019＞S 2018”的否命题为真命题D ．“平面向量a →与b →的夹角为钝角”的充要条件是“a →⋅b →＜0”8．（5分）标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的√1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A．1045a B．10910a C．10−45a D．10−910a9．（5分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2，x∈R）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（）A．[2+16k，10+16k]（k∈Z）B．[6+16k，14+16k]（k∈Z）C．[﹣2+16k，6+16k]（k∈Z）D．[﹣6+16k，2+16k]（k∈Z）10．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，若椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 12+e 22的最小值为（ ） A ．2+√32B ．4+2√3C ．2+√3D ．1+√312．（5分）已知不等式mx 3≥y 3﹣6x 2y 对于任意x ∈[2，3]，y ∈[3，6]恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．[9，+∞）B ．[﹣5，+∞）C ．[4√2，+∞)D ．[4√2，9]二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 232+⋯+a 202032020= ．14．（5分）已知关于x 的x 2﹣2ax +a +2＝0的两个实数根是α，β，且有1＜α＜2＜β＜3，则实数a 的取值范围是 ． 15．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，△POF 2为正三角形，则C 的离心率为 ．16．（5分）在△ABC 中，已知AB →⋅AC →=9，sinB =cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的一点，且CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB→|CB →|，则1x+1y的最小值为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设c n ＝b n b n +1，求数列{c n }的前n 项和S n ．18．（12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2√2，AD =√2，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为√55．19．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X 为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 20．（12分）已知点P （x ，y ）是平面内的动点，定点F （1，0），定直线l ：x ＝﹣1与x 轴交于点E ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，且满足EP →•EF →=FP →•FQ →． （1）求动点P 的轨迹t 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线l 和l ，分别交曲线t 于点AB ，和点C ，D ．设线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N ，记线段MN 的中点为K ，点O 为坐标原点，求直线OK 的斜率k 的取值范围．21．（12分）已知函数f(x)=a2x 2−x(lnx −b −1)，a ，b ∈R ． （1）当b ＝﹣1时，讨论函数f （x ）的零点个数；（2）若f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且c ≤e 2a +b ，求c 的最大值． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，0≤α＜π）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C ：ρ＝4cos θ． （1）当α=π4时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数t 1，t 2互为相反数，求|AB |的值． 五．解答题（共1小题）23．设函数f （x ）＝|x +a 2+3|+|x ﹣2a |．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＞3的解集； （2）证明：f （x ）≥2，并指出等号的成立条件．2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2]B ．（﹣1，3）C ．{1}D ．{1，2}【解答】解：∵集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜3}＝{0，1，2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：D ．2．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（5分）已知tan(α−π6)=2√3，则sinαsin(α+π3)=（ ） A ．52B ．72C ．−√32D ．3√32【解答】解：∵tan(α−π6)=2√3，∴tanα−tanπ61+tanαtanπ6=tanα−√331+√33tanα=2√3，解得tan α=−7√33， ∴sinαsin(α+π3)=sinαsinαcos π3+cosαsinπ3=12tanα+√32=72．故选：B ．4．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若a →，b →夹角为2π3，则|a →−b →|=（ ）A ．√7B ．√6C ．√5D ．√3【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，＜a →，b →＞=2π3，∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2×1×1×(−12)+1=3， ∴|a →−b →|=√3． 故选：D ．5．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π3【解答】解：如图，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的 垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心， 由AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A ﹣BCD 的外接球的半径R =√OG 2+BG 2=(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4π×(√512)2=5π3， 故选：A ．6．（5分）在等比数列{a n }中，若2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则公比q 为（ ） A ．1B ．2C ．1或12D ．12【解答】解：等比数列{a n }中，若2a 2，3a 3，4a 4成等差数列， 可得6a 3＝2a 2+4a 4， 即有3a 1q 2＝a 1q +2a 1q 3，即为2q 2﹣3q +1＝0， 解得q ＝1或12，故选：C ．7．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．若￢（p ∧q ）为真命题，则p ，q 均为假命题B ．命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b ≥0”C ．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若“a 1＞0”则“S 2019＞S 2018”的否命题为真命题D ．“平面向量a →与b →的夹角为钝角”的充要条件是“a →⋅b →＜0”【解答】解：在A 中：￢（p ∧q ）为真，则p ∧q 为假，即p ，q 至少有一个是假命题，可知A 错误；在B 中：原命题的否定为：∃x ∈R ，ax +b ＞0，可知B 错误；在C 中：若“a 1＞0”，则“S 2019＞S 2018”的逆命题为：若“S 2019＞S 2018”则“a 1＞0”， S 2019＝S 2018+a 2019＞S 2019，∴a 2019=a 1q 2018＞0， ∵q 2018＞0，∴a 1＞0，∴原命题的逆命题为真命题，又逆命题与否命题同真假，可知原命题的否命题为真命题，可知C 正确； 在D 中，当a →⋅b →＜0时，a →与b →夹角可能为π，不是钝角，可知D 错误． 故选：C ．8．（5分）标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的√1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．1045aB ．10910aC ．10−45aD ．10−910a【解答】解：由题意可得，假若视力4.9的视标边长为首项，则公比q =√1010，视力4.1的视标边长为a ， 故a ＝a 1q 8， 即a 1=a q 8=a (10110)8=10−45a ，故选：C ．9．（5分）已知函数y ＝A sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R ）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（ ）A ．[2+16k ，10+16k ]（k ∈Z ）B ．[6+16k ，14+16k ]（k ∈Z ）C ．[﹣2+16k ，6+16k ]（k ∈Z ）D ．[﹣6+16k ，2+16k ]（k ∈Z ）【解答】解：由图象知A ＝﹣4，T2=6﹣（﹣2）＝8，即T ＝16=2πω，则ω=π8，则y ＝﹣4sin （π8x +φ），由图象知（﹣2，0），（6，0）的中点为（2，0）， 当x ＝2时，y ＝﹣4， 即﹣4sin （π8×2+φ）＝﹣4，即sin （π4+φ）＝1，即π4+φ=π2+2k π， 即φ=π4+2k π， ∵|φ|＜π2，∴φ=π4， 则y ＝﹣4sin （π8x +π4），由2k π−π2≤π8x +π4≤2k π+π2，k ∈Z ， 即16k ﹣6≤x ≤16k +2，k ∈Z ，即函数的单调递减区间为[16k ﹣6，2+16k ]（k ∈Z ）， 故选：D ．10．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2，其定义域为{x |x ≠0}， 且f （﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2＝﹣（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A 、C ，又由x →0时，（3x ﹣3﹣x ）→0，则f （x ）→0，排除D ；故选：B ．11．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F 1，F 2，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，若椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 12+e 22的最小值为（ ） A ．2+√32B ．4+2√3C ．2+√3D ．1+√3【解答】解：不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线方程为x 2m 2−y 2n 2=1（m＞0，n ＞0）．再设|PF 1|＝s ，|PF 2|＝t ，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得s +t ＝2a ，s ﹣t ＝2m ， 解得s ＝a +m ，t ＝a ﹣m ，在三角形F 1PF 2中，∠F 1PF 2=π3，可得4c 2＝s 2+t 2﹣2st cos π3=a 2+m 2+2am +a 2+m 2﹣2am ﹣（a 2﹣m 2），即有a 2+3m 2＝4c 2， 可得a 2c 2+3m 2c 2=4， 即为1e 1+3e 2=4，则e 12+e 22=14(1e 12+3e 22)（e 12+e 22）=14（4+e 22e 12+3e 12e 22）≥14（4+2√3），当且仅当e 22e 12=3e 12e 22，即e 22=√3e 12，取得最小值1+√32．故选：A ．12．（5分）已知不等式mx 3≥y 3﹣6x 2y 对于任意x ∈[2，3]，y ∈[3，6]恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．[9，+∞）B ．[﹣5，+∞）C ．[4√2，+∞)D ．[4√2，9]【解答】解：不等式mx 3≥y 3﹣6x 2y 对于任意x ∈[2，3]，y ∈[3，6]恒成立，等价于m ≥y 3x 3−6x 2y x 3=y 3x3−6⋅yx 对于任意x ∈[2，3]，y ∈[3，6]恒成立，令t =yx，则1≤t ≤3，∴m ≥t 3﹣6t 在[1，3]上恒成立， 令f （t ）＝t 3﹣6t ，则m ≥f （t ）max ．∵f '（t ）＝3t 2﹣6，由f '（t ）＞0得√2＜t ≤3， f '（t ）＜0得1≤t ＜√2，∴f （t ）在[1，√2)上单调递减，[√2，3]上单调递增． ∵f （1）＝﹣5，f （3）＝9， ∴f （t ）max ＝9， ∴m ≥9，故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 23+⋯+a 20203=（43）2020﹣1 ．【解答】解：∵x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020， 令x ＝1得：a 0＝1； 令x =43得：（43）2020＝a 0+a 13+a 232+⋯+a202032020； ∴a 13+a 232+⋯+a 202032020=(43)2020−1；故答案为：(43)2020−114．（5分）已知关于x 的x 2﹣2ax +a +2＝0的两个实数根是α，β，且有1＜α＜2＜β＜3，则实数a 的取值范围是 (2，115) ． 【解答】解：设f （x ）＝x 2﹣2ax +a +2， ∵1＜α＜2＜β＜3，∴{f(1)＞0f(2)＜0f(3)＞0，即{1−2a +a +2=3−a ＞04−4a +a +2=6−3a ＜09−6a +a +2=11−5a ＞0，即{ a ＜3a ＞2a ＜115，即2＜a ＜115， 故答案为：(2，115)15．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，△POF 2为正三角形，则C 的离心率为 √3−1 ． 【解答】解：连接PF 1，由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中， ∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|=√3c ，于是2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝（√3+1）c ， 故曲线C 的离心率e =ca =√3−1． 故答案为：√3−1．16．（5分）在△ABC 中，已知AB →⋅AC →=9，sinB =cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的一点，且CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB→|CB →|，则1x+1y的最小值为712+√33． 【解答】解：△ABC 中设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ∵sin B ＝cos A •sin C ∴sin （A +C ）＝sin C cos nA 即sin A cos C +sin C cos A ＝sin C cos A∴sin A cos C ＝0∵sin A ≠0∴cos C ＝0 C ＝90° ∵AB →⋅AC →=9，S △ABC ＝6 ∴bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6∴tan A =43，根据直角三角形可得sin A =45，cos A =35，bc ＝15 ∴c ＝5，b ＝3，a ＝4以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C （0，0），A （3，0），B （0，4）P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得 CP →=λCA →+(1−λ)CB →=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1） 设CA →|CA →|=e 1→，CB →|CB →|=e 2→，则|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→=(1，0)，e 2→=(0，1)由CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB →|CB →|=（x ，0）+（0，y ）＝（x ，y ），∴x ＝3λ，y ＝4﹣4λ， 则4x +3y ＝12．（也可以直接利用P 为线段AB 上的一点，三点共线，可得：x3+y 4=1，）1x+1y=112(1x+1y )(4x +3y)=112（7+3y x +4x y ）≥712+√33 故所求的最小值为712+√33． 故答案为：712+√33． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设c n ＝b n b n +1，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）由题意，可知a 1b 2+b 2＝b 1， 即12a 1+12=1，解得a 1＝1．又∵数列{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n ＝1+n ﹣1＝n ．∴a n b n +1+b n +1＝（n +1）b n +1＝nb n ， ∴数列{nb n }是常数数列，即nb n ＝1•b 1＝1， ∴b n =1n ，n ∈N *．（2）由（1）知，c n ＝b n b n +1=1n(n+1)=1n −1n+1， 故S n ＝c 1+c 2+…+c n ＝1−12+12−13+⋯+1n−1n+1＝1−1n+1 =n n+1．18．（12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2√2，AD =√2，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为√55．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB ＝2√2，AD =√2，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，∴BM ⊥AM ．∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM ⊥平面ADM∵AD ⊂平面ADM ∴AD ⊥BM ；（2）建立如图所示的直角坐标系，设DE →=λDB →，则平面AMD 的一个法向量n →=（0，1，0），ME →=MD →+λDB →=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），AM →=（﹣2，0，0），设平面AME 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AM →=−2x =0m →⋅ME →=(1−λ)x +2λy +(1−λ)z =0， 取y ＝1，得x ＝0，z =2λ1−λ， 则m →=（0，1，2λ1−λ），∵cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√55，∴求得λ=12，故E 为BD 的中点．19．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X 为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）由题意可得第一次是红黄白中的一个，概率为34，不放回的第二次为黑球，是从剩余的3个球中摸出黑色的球，概率为13，所以1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为34⋅13=14；（2）顾客摸一次的奖金金额设为Y ，可能取值0，10，20，30，40，则P （Y ＝0）=14，P （Y ＝10）=A 21A 42=16，P （Y ＝20）=1A 42+A 22A 43=16，P （Y ＝30）=C 21⋅A 22A43=16，P （Y ＝40）=A 33A 44=14；所以1名5次摸奖X ＝5Y 的分布列为Y 0 10 20 30 40 X ＝5Y 050100150200P1416 1616 14所以随机变量X 的期望E （X ）＝0⋅14+50⋅16+100⋅16+150⋅16+200⋅14=100． 20．（12分）已知点P （x ，y ）是平面内的动点，定点F （1，0），定直线l ：x ＝﹣1与x 轴交于点E ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，且满足EP →•EF →=FP →•FQ →． （1）求动点P 的轨迹t 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线l 和l ，分别交曲线t 于点AB ，和点C ，D ．设线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N ，记线段MN 的中点为K ，点O 为坐标原点，求直线OK 的斜率k 的取值范围．【解答】解：（1）根据条件可知EP →=（x +1，y ），EF →=（2，0），FP →=（x ﹣1，y ），FQ →=（﹣2，y ），因为EP →•EF →=FP →•FQ →．所以2x +2＝﹣2x +2+y 2，即y 2＝4x ， 所以P 的轨迹方程为y 2＝4x ；（1）设直线AB ：x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y 2=4x x =my +1，整理得y 2﹣4my ﹣4＝0，且y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，△＝16（m 2+1），所以M （2m 2+1，2m ），同理，N （2m 2+1，−2m），所以K （m 2+1m2+1，m −1m ）， 所以当k =m−1mm 2+1m2+1=m−1m(m−1m )2+3=1m−1m +3m−1m， 令t ＝m −1m ≠0，则k =1t+3t， 当t ＜0时，t +3t =−（﹣t −3t ）≤﹣2√3，当且仅当t =−√3时取等号， 当t ＞0时，t +3t ≥2√3，当且仅当t =√3时取等号， 则k =1t+3t∈[−√36，0）∪（0，√36]．21．（12分）已知函数f(x)=a2x 2−x(lnx −b −1)，a ，b ∈R ． （1）当b ＝﹣1时，讨论函数f （x ）的零点个数；（2）若f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且c ≤e 2a +b ，求c 的最大值． 【解答】解：（1）当b ＝﹣1时，f(x)=a2x 2−xlnx ，定义域为（0，+∞）， 由f （x ）＝0可得a2=lnx x，令g(x)=lnxx ，则g ′(x)=1−lnxx 2， 由g '（x ）＞0，得0＜x ＜e ，由g '（x ）＜0，得x ＞e ，所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 则g （x ）的最大值为g(e)=1e ，且当x ＞e 时，0＜g(x)＜1e ，当0＜x ≤e 时，g(x)≤1e ， 由此作出函数g （x ）的大致图象，如图所示．由图可知，当0＜a ＜2e 时，直线y =a2和函数g （x ）的图象有两个交点，即函数f （x ）有两个零点；当a2=1e或a2≤0，即a =2e 或a ≤0时，直线y =a2和函数g （x ）的图象有一个交点，即函数f （x ）有一个零点；当a 2＞1e即a ＞2e 时，直线y =a 2与函数g （x ）的象没有交点，即函数f （x ）无零点．（2）f （x ）在（0，+∞）上单调递增，即f '（x ）＝ax +b ﹣lnx ≥0在（0，+∞）上恒成立． 设h （x ）＝ax +b ﹣lnx ，则ℎ′(x)=a −1x．①若a ＝0，则h '（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上单调递减，显然f '（x ）＝b ﹣lnx ≥0 在（0，+∞）上不恒成立，②若a ＜0，则h '（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上单调递减，当x ＞max|−ba ，1|时，ax +b ＜0，﹣lnx ＜0，故h （x ）＜0，f （x ）单调递减，不符合题意． ③若a ＞0，当0＜x ＜1a 时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减， 当x ＞1a 时，h '（x ）＞0，h （x ）单调递增， 所以ℎ(x)min =ℎ(1a )=1+b +lna ， 由h （x ）min ≥0，得2a +b ≥2a ﹣1﹣lna ，设m （x ）＝2x ﹣1﹣lnx ，x ＞0，则m ′(x)=2−1x， 当0＜x ＜12时，m '（x ）＜0，m （x ）单调递减， 当x ＞12时，m '（x ）＞0，m （x ）单调递增， 所以m(x)≥m(12)=ln2，所以2a +b ≥ln 2， 又c ≤e 2a +b ，所以c ≤2，即c 的最大值为2． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，0≤α＜π）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C ：ρ＝4cos θ． （1）当α=π4时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数t 1，t 2互为相反数，求|AB |的值． 【解答】解：（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R ）， 当ρ＞0时，联立{θ=π4ρ=4cosθ，解得交点(2√2，π4)，当ρ＝0时，经检验（0，0）满足两方程， 当ρ＜0时，无交点；综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为（0，0），(2√2，π4)．（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得t 2+2（sin α﹣cos α）t ﹣2＝0， 可知t 1+t 2＝0，t 1t 2＝﹣2，所以|AB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√2． 五．解答题（共1小题）23．设函数f （x ）＝|x +a 2+3|+|x ﹣2a |．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＞3的解集； （2）证明：f （x ）≥2，并指出等号的成立条件．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x +4|+|x +2|={2x +6，x ＞−22，−4≤x ≤−2−2x −6，x ＜−4，∵f （x ）＞3，∴{2x +6＞3x ＞−2或{−2x −6＞3x ＜−4，∴x ＞−32或x ＜−92，∴不等式的解集为{x |x ＞−32或x ＜−92}；（2）f （x ）＝|x +a 2+3|+|x ﹣2a |≥|（x +a 2+3）﹣（x ﹣2a ）|＝|a 2+2a +3|， ∵a 2+2a +3＝（a +1）2+2≥2，∴f （x ）≥2， 此时等号成立的条件是a ＝﹣1，﹣4≤x ≤﹣2．。
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(4)
2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（4）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（﹣2，2）D ．∅2．（5分）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则z1+i=（ ）A ．−32+32iB ．−32+12iC ．−12+32iD ．12+32i3．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数231063222设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则（ ） A ．m e ＝m 0＝x B ．m e ＝m 0＜x C ．m e ＜m 0＜x D ．m 0＜m e ＜x4．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ） A ．y =±12xB ．y =±√2xC ．y ＝±2xD ．y =±√3x5．（5分）已知a ，b ，c 是实数，且b ＜a ＜0，则下列命题正确的是（ ） A ．1a＞1bB ．ac 2＞bc 2C ．a b＞baD ．b 2＞ab ＞a 26．（5分）已知命题p ：x 2﹣2x ﹣3＜0，命题q ：x ＜a ，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣1）7．（5分）已知tan （α+π4）＝﹣2，则sin2α＝（ ） A ．310B ．35C ．−65D ．−1258．（5分）△ABC 是边长为4的等边三角形，AD →=13DC →，则BD →⋅BC →=（ ）A ．﹣2B ．10C ．12D ．149．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝3﹣2x ，则不等式f （x ）＞0的解集为（ ）A ．(−32，32)B ．(−∞，−32)∪(32，+∞) C ．(−∞，−32)∪(0，32)D ．(−32，0)∪(32，+∞)10．（5分）将函数y ＝cos （2x +φ）（−π2＜φ＜π2）的图象向右平移3π8个单位长度单位后得函数f （x ）图象，若f （x ）为偶函数，则（ ） A ．f （x ）在区间[−π4，π2]上单调递减B ．f （x ）在区间[−π4，π2]匀上单调递增C ．f （x ）在区间[π4，π2]上单调递减D ．f （x ）在区间[π4，π2]上单调递增11．（5分）在三棱锥A ﹣BCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 是边长为2的正三角形，若∠BDC =π4，三棱锥的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（ ） A ．52π3B ．3πC ．4πD ．28π312．（5分）设函数f （x ）={|lg(x −1)|，x ＞114x−1−12，x ≤1，若函数y ＝|3f （x ）﹣m |﹣4有5个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4，112) B ．[−52，+∞)C ．[−52，112) D ．[−52，4)二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ．14．（5分）在△ABC 中，已知AC =√7，∠ABC ＝60°，AB ＜BC ，且△ABC 的面积为3√32，则BC 边上的高等于 ．15．（5分）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，为半径的圆交1于B ，D 两点，若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4√2，则y 轴被圆F 所截得的弦长等于 ．16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax （a ＞0）的图象在x ＝0和x ＝1处的切线互相垂直，则a ＝ ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是2013﹣2017年全国快递业务量（x亿件：精确到0.1）及其增长速度（y%）的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知y与t具有线性相关关系，试建立y关于t的回归直线方程y=b x+a；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x18．（12分）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE 折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．19．（12分）S n为数列{a n}的前n项和．已知a1＝1，S n+1＝2S n+1．（1）证明{s n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}为等差数列，且b1＝a2，b7＝a4，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）讨论f （x ）的单调性并指出相应单调区间；（2）若g(x)=12x 2−x −1−f(x)，设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若a ≥32，且g （x 1）﹣g （x 2）≥k 恒成立，求实数k 的取值范围．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点(1，√32)． （1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆E ：x 24a 2+y 24b 2=1，P 为椭圆C 上一点，过点P 的直线y ＝kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）若P 为椭圆C 上任意一点，求|OQ||OP|的值；（ii ）若P 点坐标为（0，1），求△ABQ 面积的最大值． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线∁l 的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． （l ）写出C 1的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为（4，0），射线θ=α(0＜α＜π4)分别交C 1，C 2于A ，B 两点（异于极点），当∠AMB =π4时，求tan α． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f(x)=|x −m|+|x +1m |(m ＞1)． （Ⅰ）当m ＝2时，求不等式f （x ）＞3的解集； （Ⅱ）证明：f(x)+1m(m−1)≥3．2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．∅【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝（2，3）．故选：A．2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则z1+i=（）A．−32+32i B．−32+12i C．−12+32i D．12+32i【解答】解：由题意，z＝﹣1+2i，则z1+i =−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12+32i．故选：D．3．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则（）A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x【解答】解：由图知，众数是m0＝5；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，所以中位数是m e=5+62=5.5；平均数是x=130×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6；∴m0＜m e＜x．故选：D．4．（5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ） A ．y =±12x B ．y =±√2xC ．y ＝±2xD ．y =±√3x【解答】解：双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，可得a ＝2b ，它的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±12x ．故选：A ．5．（5分）已知a ，b ，c 是实数，且b ＜a ＜0，则下列命题正确的是（ ） A ．1a＞1bB ．ac 2＞bc 2C ．a b＞baD ．b 2＞ab ＞a 2【解答】解：∵b ＜a ＜0， ∴1a＜1b，ab＜1，b a＞1，a b＜ba，c ＝0时，ac 2＞bc 2不成立，b 2＞ab ，ab ＞a 2，b 2＞ab＞a 2． 故选：D ．6．（5分）已知命题p ：x 2﹣2x ﹣3＜0，命题q ：x ＜a ，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣1）【解答】解：由x 2﹣2x ﹣3＜0得﹣1＜x ＜3， ∵q 的一个充分不必要条件是p ， ∴a ≥3， 故选：A ．7．（5分）已知tan （α+π4）＝﹣2，则sin2α＝（ ） A ．310B ．35C ．−65D ．−125【解答】解：∵tan （α+π4）=tanα+11−tanα=−2，∴tan α＝3， 则sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=35， 故选：B ．8．（5分）△ABC 是边长为4的等边三角形，AD →=13DC →，则BD →⋅BC →=（ ） A ．﹣2B ．10C ．12D ．14【解答】解：如图所示，△ABC 是边长为4的等边三角形，AD →=13DC →， 所以CD →=34CA →=34（BA →−BC →），所以BD →⋅BC →=（BC →+CD →）•BC →=BC →2+34（BA →−BC →）•BC →＝16+34BA →•BC →−34BC →2＝16+34×4×4×cos60°−34×16 ＝10． 故选：B ．9．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝3﹣2x ，则不等式f （x ）＞0的解集为（ ） A ．(−32，32)B ．(−∞，−32)∪(32，+∞) C ．(−∞，−32)∪(0，32)D ．(−32，0)∪(32，+∞)【解答】解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝3﹣2x ， 则其图象如图：且f （32）＝f （−32）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，−32）∪（0，32）；故选：C ．10．（5分）将函数y ＝cos （2x +φ）（−π2＜φ＜π2）的图象向右平移3π8个单位长度单位后得函数f （x ）图象，若f （x ）为偶函数，则（ ）A ．f （x ）在区间[−π4，π2]上单调递减B ．f （x ）在区间[−π4，π2]匀上单调递增C ．f （x ）在区间[π4，π2]上单调递减D ．f （x ）在区间[π4，π2]上单调递增【解答】解：将函数y ＝cos （2x +φ）（−π2＜φ＜π2）的图象向右平移3π8个单位长度单位后得函数f （x ）图象，则f （x ）＝cos[2（x −3π8）+φ]＝cos （2x +φ−3π4）， 若f （x ）为偶函数，则φ−3π4=k π，k ∈Z ， 即φ=3π4+k π，k ∈Z ， ∵−π2＜φ＜π2，∴当k ＝﹣1时，φ=−π4， 即f （x ）＝cos （2x −π4−3π4）＝cos （2x ﹣π）＝﹣cos2x ， 当−π4≤x ≤π2时，−π2≤2x ≤π，此时f （x ）＝﹣cos2x 不具备单调性，故A ，B 错误， 当π4≤x ≤π2时，π2≤2x ≤π，此时f （x ）＝﹣cos2x 为增函数，故D 周期，故选：D ．11．（5分）在三棱锥A ﹣BCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 是边长为2的正三角形，若∠BDC =π4，三棱锥的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（ ） A ．52π3B ．3πC ．4πD ．28π3【解答】解：平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 是边长为2的正三角形，过A 做AF ⊥BC ，BC ＝ABC ∩BCD ，∴AF 为三棱锥的高h =√32AB =√3．过三角形ABC 外接圆的圆心O '做面ABC 的垂线，则O '在AF 上，且O 'F =13AF =√33，设三角形BCD 的外接圆的圆心为E ，过E 做面BDC 的垂线，两条垂线交于O ，则O 为外接球的球心，OB 为球的半径，设球的半径为R ，设底面三角形BCD 的外接圆的半径为r ，则由题意得：2r =BC sin∠BDC =2√22，∴r =√2，OE ＝O 'F ，所以R 2＝OE 2+r 2＝（√33）2+（√2）2=73， 所以外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3， 故选：D ．12．（5分）设函数f （x ）={|lg(x −1)|，x ＞114x−1−12，x ≤1，若函数y ＝|3f （x ）﹣m |﹣4有5个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4，112) B ．[−52，+∞)C ．[−52，112) D ．[−52，4)【解答】解：作出函数f （x ）的图象如右所示， 令|3f （x ）﹣m |﹣4＝0，解得f(x)=m±43，则{0＜m−43＜12m+43≥12，解得4＜m ＜112，故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为23．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n =C 32=3，甲被选中包含的基本事件个数m =C 11C 21=2，则甲被选中的概率为P =m n =23．故答案为：23．14．（5分）在△ABC 中，已知AC =√7，∠ABC ＝60°，AB ＜BC ，且△ABC 的面积为3√32，则BC 边上的高等于 √3 ．【解答】解：因为∠ABC ＝60°且△ABC 的面积为3√32， 所以12acsin60°=3√32，即ac ＝6……①又AC =√7，所以bb 2＝a 2+c 2﹣2ac cos60°＝7， 即a 2+c 2﹣ac ＝7……②联立①②结合a ＞c 解得：a ＝3，b ＝2． 设BC 边上的高为h ，所以12aℎ=12×3×ℎ=3√32． ∴ℎ=√3． 故答案为：√315．（5分）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，为半径的圆交1于B ，D 两点，若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4√2，则y 轴被圆F 所截得的弦长等于 2√7 ． 【解答】解：如图所示， 因为∠BFD ＝90°，所以圆的半径为|F A |＝|FB |=√2p ，|BD |＝2p ，由抛物线定义知，点A 到准线l 的距离为d ＝|F A |=√2p ， 所以△ABD 的面积为12|BD |•d =12•2p •√2p ＝4√2，解得p ＝2．根据弦长公式可得弦长等于2√8−1=2√7， 故答案为：2√7．16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax （a ＞0）的图象在x ＝0和x ＝1处的切线互相垂直，则a ＝√22． 【解答】解：∵f （x ）＝ax 3﹣ax （a ＞0），∴f ′（x ）＝a （3x 2﹣1）， 由f ′（0）•f ′（1）＝﹣1，得2a 2＝1，解得a =√22．故答案为：√22． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是2013﹣2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据． （Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程y =b x +a ； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量． 附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：b =∑ n i=1x i y i −nxy ∑ n i=1x i −nx2，a =y −b x【解答】解：（Ⅰ）设2012年的快递业务量为a ， 则92−a a=61%，解得a ≈57.1；即2012年的快递业务量为57.1亿件； （Ⅱ）由题意列表得， t 1 2 3 4 5 y6152485128计算t =15×（1+2+3+4+5）＝3，y =15×（61+52+48+51+28）＝48， b =∑ 5i=1ti y i−5ty∑ 5i=1t i2−5t 2=(1×61+2×52+3×48+4×51+5×28)−5×3×4812+22+32+42+52−5×32=−6.7，a =y −b t =48﹣（﹣6.7）×3＝68.1，所以y 关于t 的线性回归方程是y =−6.7t +68.1；（Ⅲ）令t ＝6，计算2018年比上半年增长率是y =−6.7×6+68.1＝27.9（%）； 所以2018年快递业务增长量为399.9×（1+27.9%）≈511.5（亿件）； 令t ＝7，计算2018年比上半年增长率是y =−6.7×7+68.1＝21.2（%）； 所以2019年快递业务增长量为511.5×（1+21.2%）≈619.9（亿件）．18．（12分）如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 为BC 的中点，现将△BAE 与△DCE 折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直．（1）求证：BC ∥平面ADE ； （2）求二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【解答】解：（1）证明：分别取AE ，DE 的中点M ，N ，连结BM ，CN ，MN ， 则BM ⊥AE ，CN ⊥DE ，∵平面BAE 与平面DEC 都与平面ADE 垂直， ∴BM ⊥平面ADE ，CN ⊥平面ADE ，由线面垂直的性质定理得BM ∥CN ，∵BM ＝CN ，∴四边形BCNM 是平行四边形，∴BC ∥MN ， ∵BC ⊄平面ADE ，∴BC ∥平面ADE ．（2）解：如图，以E 为原点，ED ，EA 为x ，y 正半轴，过E 作平面ADE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，√2，√2），C （√2，0，√2），平面ABE 的法向量n →=（1，0，0）， 设平面CBE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{EB →⋅m →=√2y +√2z =0EC →⋅m →=√2x +√2z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，﹣1）， 设二面角A ﹣BE ﹣C 的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cos θ=−|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=13=−√33．∴二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值为−√33．19．（12分）S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a 1＝1，S n +1＝2S n +1． （1）证明{s n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 2，b 7＝a 4，求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）证明：因为S n +1＝2S n +1，所以S n +1+1＝2（S n +1）．又S 1+1＝2≠0， 所以{s n +1}是以S 1+1＝2为首项，以2为公比的等比数列． ∵S n +1＝2n ，∴S n ＝2n ﹣1．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣2n ﹣1＝2n ﹣1；经检验，a 1＝1也符合．∴a n ＝2n ﹣1．（2）解：∵数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 2＝2，b 7＝a 4＝8，∴公差d =b 7−b17−1=1．∴b n ＝n +1．∵1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴T n ＝（12−13）+（13−14）+（14−15）+…+（1n+1−1n+2）=12−1n+2=n2n+4．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣lnx ﹣1（a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性并指出相应单调区间；（2）若g(x)=12x 2−x −1−f(x)，设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若a ≥32，且g （x 1）﹣g （x 2）≥k 恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）由f （x ）＝ax ﹣lnx ﹣1，x ∈（0，+∞），则f ′（x ）＝a −1x=ax−1x， 当a ≤0时，则f ′（x ）≤0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，令f ′（x ）＝0⇒x =1a ，所以f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增．综上所述：当a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，f （x ）在(0，1a)上单调递减，在(1a，+∞)上单调递增． （2）∵g （x ）＝lnx +12x 2−（a +1）x ，g '（x ）=1x +x −(a +1)=x 2−(a+1)x+1x， 由g '（x ）＝0得x 2﹣（a +1）x +1＝0， ∴x 1+x 2＝a +1，x 1x 2＝1，∴x 2=1x 1， ∵a ≥32，∴{x 1+1x 1≥520＜x 1＜1x 1，解得0＜x 1≤12，∴g （x 1）﹣g （x 2）＝lnx 1x 2+12(x 12−x 22)−(a +1)(x 1−x 2)=2lnx 1−12(x 12−1x 12)，设h （x ）＝2lnx −12(x 2−1x2)(0＜x ≤12)， 则h ′（x ）=2x −x −1x 3=−(x 2−1)2x 3＜0，∴h （x ）在(0，12]上单调递减；当x 1=12时，ℎ(x)min =ℎ(12)=158−2ln 2，∴k ≤158−2ln 2，即所求k 的取值范围为：（﹣∞，158−2ln2]．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点(1，√32)．（1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆E ：x 24a 2+y 24b 2=1，P 为椭圆C 上一点，过点P 的直线y ＝kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）若P 为椭圆C 上任意一点，求|OQ||OP|的值；（ii ）若P 点坐标为（0，1），求△ABQ 面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意可知，e =c a =√32， ∵a 2＝b 2+c 2，∴a =2b ，c =√3b ， 又椭圆过点(1，√32)，∴14b +34b =1，解得b 2＝1，∴a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）（i ）由（1）可知，椭圆E 的方程为x 216+y 24=1，设点P （x 0，y 0），∴射线PO 的方程为y =y 0x 0x(x ⋅x 0＜0)，代入x 216+y 24=1可得点Q （﹣2x 0，﹣2y 0），∴|OQ||OP|=√(−2x 0)2+(−2y 0)2√x 02+y 02=2．（ii ）∵P （0，1），∴过点P 的直线为y ＝kx +1，∵点Q 到直线AB 的距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍，∴d =√1+k，联立{y =kx +1x 216+y 24=1，得（1+4k 2）x 2+8kx ﹣12＝0，∴弦长|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=4√1+k 21+4k2√16k 2+3，∴△ABQ 面积S =12|AB|⋅d =6√16k 2+31+4k2，令t =√16k 2+3≥√3，则S =6t 1+t 24−3=24t 1+t 2=241t+t ≤6√3， 当且仅当t =√3时，等号成立． 故△ABQ 面积的最大值为6√3．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线∁l 的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． （l ）写出C 1的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为（4，0），射线θ=α(0＜α＜π4)分别交C 1，C 2于A ，B 两点（异于极点），当∠AMB =π4时，求tan α．【解答】解：（1）曲线∁l 的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ．转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4． 设点M 的极坐标为（4，0），射线θ=α(0＜α＜π4)分别交C 1，C 2于A ，B 两点（异于极点）， 如图所示：设射线OA 的方程为y ＝kx ， 则：{y =kx x 2−4x +y 2=0，解得A(41+k2，4k 1+k2)．同理B (4k 1+k 2，4k21+k2)．由于∠A =π2，∠AMB =π4时，所以BM 与AO 的夹角为π4，由于k MB =k2k−1−k2，k AO ＝k ，利用两直线的夹角公式的应用|k BM −kOA1+k BM k OA |=1， 整理得k−k 2k−1−k 21+k 3k−1−k 2=1或−1，即：2k 3﹣k 2+2k ﹣1＝0或k 2﹣2k +1＝0． 解得k =12或k ＝1．由于0＜α＜π4，所以k ＝1（舍去）． 故k =12． 所以tan α=12．五．解答题（共1小题）23．已知函数f(x)=|x −m|+|x +1m|(m ＞1)． （Ⅰ）当m ＝2时，求不等式f （x ）＞3的解集； （Ⅱ）证明：f(x)+1m(m−1)≥3．【解答】解：（Ⅰ）当m ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +12|；①当x ≤−12时，原不等式等价于（2﹣x ）﹣（x +12）＞3，解得x ＜−34； ②当−12＜x ＜2时，原不等式等价于52＞3，不等式无解；③当x ≥2时，原不等式等价于（x ﹣2）+（x +12）＞3，解得x ＞94， 综上，不等式f （x ）＞3的解集为（﹣∞，−34）∪（94，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f （x ）＝|x ﹣m |+|x +1m|， ∵m ＞0，∴|m +1m |＝m +1m ，所以f （x ）≥m +1m，当且仅当x ∈[−1m，m ]时等号成立， ∴f （x ）+1m(m−1)≥m +1m +1m(m−1)=m +1m−1=（m ﹣1）+1m−1+1，∵m ＞1，m ﹣1＞0，∴（m ﹣1）+1m−1+1≥2√(m −1)⋅1m−1+1＝3， ∴f （x ）+1m(m−1)≥3．当m ＝2，且x ∈[−12，2]时等号成立．。