2018年高考数学复习培优练习理.

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2018版高考数学理江苏专用一轮复习练习 第三章 导数及

2018版高考数学理江苏专用一轮复习练习 第三章 导数及

第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1.设y=x2e x,则y′=________.解析y′=2x e x+x2e x=(2x+x2)e x.答案(2x+x2)e x2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2x·f′(1)+ln x,则f′(1)=________.解析由f(x)=2xf′(1)+ln x,得f′(x)=2f′(1)+1 x,∴f′(1)=2f′(1)+1,则f′(1)=-1.答案-13.曲线y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程是________.解析y′=cos x+e x,故切线斜率为k=2,切线方程为y=2x+1,即2x-y +1=0.答案2x-y+1=04.(2017·苏州调研)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为________.解析y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=1x,设切点为(x0,ln x0),则y′|x=x0=1x0,切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为1 e.答案1 e5.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=________.解析因为y′=2ax-1x,所以y′|x=1=2a-1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于x 轴,故其斜率为0,故2a -1=0,解得a =12. 答案 126.(2017·南师附中月考)如图,y =f (x )是可导函数,直线l :y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),其中g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)=________.解析 由图形可知:f (3)=1,f ′(3)=-13,∵g ′(x )=f (x )+xf ′(x ), ∴g ′(3)=f (3)+3f ′(3)=1-1=0. 答案 07.(2017·苏北四市模拟)设曲线y =1+cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,1处的切线与直线x -ay +1=0平行,则实数a =________. 解析 ∵y ′=-1-cos xsin 2 x ,∴由条件知1a =-1,∴a =-1. 答案 -18.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln(x+1)的切线,则b =________.解析 y =ln x +2的切线为:y =1x 1·x +ln x 1+1(设切点横坐标为x 1).y =ln(x +1)的切线为:y =1x 2+1x +ln(x 2+1)-x 2x 2+1(设切点横坐标为x 2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1=1x 2+1,ln x 1+1=ln (x 2+1)-x 2x 2+1,解得x 1=12,x 2=-12,∴b =ln x 1+1=1-ln 2. 答案 1-ln 2 二、解答题9.已知点M 是曲线y =13x 3-2x 2+3x +1上任意一点,曲线在M 处的切线为l ,求:(1)斜率最小的切线方程; (2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y ′=x 2-4x +3=(x -2)2-1≥-1, 所以当x =2时,y ′=-1,y =53,所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,53,斜率k =-1,所以切线方程为3x +3y -11=0. (2)由(1)得k ≥-1,所以tan α≥-1,所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π. 10.已知曲线y =x 3+x -2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x -y -1=0,且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标;(2)若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程. 解 (1)由y =x 3+x -2,得y ′=3x 2+1, 由已知令3x 2+1=4,解之得x =±1. 当x =1时,y =0;当x =-1时,y =-4.又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为(-1,-4). (2)∵直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4, ∴直线l 的斜率为-14.∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为(-1,-4), ∴直线l 的方程为y +4=-14(x +1), 即x +4y +17=0.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2016·山东卷改编)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数:①y=sin x;②y=ln x;③y=e x;④y=x3.其中具有T性质的是________(填序号).解析若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f′(x1)·f′(x2)=-1.对于①:y′=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则当x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于②:y′=1x,若有1x1·1x2=-1,即x1x2=-1,∵x1>0,x2>0,∴不存在x1,x2,使得x1x2=-1;对于③:y′=e x,若有e x1·e x2=-1,即e x1+x2=-1.显然不存在这样的x1,x2;对于④:y′=3x2,若有3x21·3x22=-1,即9x21x22=-1,显然不存在这样的x1,x2.答案①12.(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2-y-ln x=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为________.解析点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y=x-2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小,直线y=x-2的斜率为1,令y=x2-ln x,得y′=2x-1x=1,解得x=1或x=-12(舍去),故曲线y=x2-ln x上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),点(1,1)到直线y=x-2的距离等于2,∴点P到直线y=x-2的最小距离为 2.答案 213.若函数f(x)=12x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.解析∵f(x)=12x2-ax+ln x,∴f′(x)=x-a+1x(x>0).∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f′(x)存在零点,即x+1x-a=0有解,∴a=x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号).答案[2,+∞)14.已知函数f(x)=x-2x,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.解根据题意有f′(x)=1+2x2,g′(x)=-ax.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g′(1)=-a,所以f′(1)=g′(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1).所以y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),所以y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以,两条切线不是同一条直线.。

高三数学-2018年华南师大附中高三数学培优试题一 精品

高三数学-2018年华南师大附中高三数学培优试题一 精品

培优练习(1)2018-02-24 一、选择题: 1、已知函数)(1x fy -=的图象过(1,0),则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点( ) A .(1,2) B .(2,1) C .(0,2) D .(2,0)2、从P 点引三条射线PA ,PB ,PC ,每两条射线夹角为60°,则平面PAB 和平面PBC 所成二面角正弦值为 ( )A .322 B .36 C .33 D .23 3、已知x ,y 满足不等式组22224222+-++=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤y x y x t y y x xy 则的最小值为( )A .59 B .2 C .3D .24、在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,A 0,B 0,分别为侧棱AA 1,BB 1上的点,且知BB 0:B 0B 1=3:2,过A 0,B 0,C 1 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2:1,则 AA 0:A 0A 1= ( ) A .2:3 B .4:3 C .3:2 D .1:1 二、填空题:5、=-++∞→)(lim 2n n n n .6、某气象站天气预报准确率是80%,5次预报中至少有4次准确的概率是(精确到0.01). 7、设a ,b 都是正实数,且2a+b=1,设2242b a ab T --=则当a=______且b=_______时,T 的最大值为_______。

8、如图,矩形ABCD 中,3=DC ,AD=1,在DC 上截取DE=1,将△ADE 沿AE 翻折到 D ′点,当D ′在平面ABC 上的射影落在AE 上时,四棱锥D ′—ABCE 的体积是________;当D ′在平面ABC 上的射影落在AC 上时,二面角D ′—AE —B 的平面角的余弦值是_________。

三、解答题:(过程要完整、表述要规范) 9、(本小题满分12分)是否存在常数c ,使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y恒成立?证明你的结论.10、(本小题满分12分) 甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.11、(本小题满分14分)已知),2(|2|lg )1()(2R a a a x a x x f ∈-≠++++=(Ⅰ)若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和,求)(x g 和)(x h 的解析式;(Ⅱ)若)(x f 和)(x g 在区间])1(,(2+-∞a 上都是减函数,求a 的取值范 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,比较61)1(和f 的大小. 12、(本小题满分12分)已知定义域为[0,1]的函数f (x)同时满足: (1)对于任意x ∈[0,1],总有f (x)≥0; (2)f (1) =1;(3)若01≥x ,02≥x ,121≤+x x ,则有)()()(2121x f x f x x f +≥+。

2018高考数学(理)周末培优训练3(导数及其应用)含解析

2018高考数学(理)周末培优训练3(导数及其应用)含解析

1
.故
2
4.设函数 f x ax2 bx c a, b, c R ,若函数 y f x ex ( e 为自然对数的底数 ) 在
x 1 处取得极值,则下列图象不可能为 y f x 的图象的是
A 【答案】 D【解析B NhomakorabeaC
D


y f x ex ex ax2 bx c


y f x ex ex f x ex [ax2 b 2a x b c],当 x 1 时,函数 y f x ex
2018 高考数学(理)周末培优训练 3(导数及其应用)含解析 第 03 周 导数及其应用
(测试时间: 60 分钟,总分: 90 分) 班级:____________ 姓名: ____________ 座号: ____________ 得分:____________ 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
A. 27 2
C. 9 2
【答案】 C
B. 9
D. 27 4
3x2 ,则 k f 1
3 ,则倾斜角为 2 π.故本题答案为 3
D.
3.已知函数 f x 的导函数为 f x ,且满足 f x 3xf 1 lnx ,则 f 1
A. 1 2
C. 1
【答案】 A
1
B.
2 D. e
【解析】 对 x 求导可得 f x
本题答案为 A.
3f 1
1 ,则 f 1
x
3 f 1 1,解得 f 1
取 得 极 值 , 可 得 1 是 方 程 ax2 b 2a x b c 0 的 一 个 根 , 所 以
a b 2a b c 0, c a ,所以函数 f x ax2 bx a ,由此得函数相应方程

【高三数学试题精选】2018届高考数学培优辅导分类讨论思想复习试题(含答案)

【高三数学试题精选】2018届高考数学培优辅导分类讨论思想复习试题(含答案)

2018届高考数学培优辅导分类讨论思想复习试题(含答案)
5
分类讨论思想专题
【例1】问题中含参量或参数的要进行分类讨论
1函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数的取值范围为()
A B c D
2 设等比数列的比,前项和为.已知,求的通项式.
方法点拨
数学问题中含变量或参数,这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果,因而要对参数进行分类讨论。

一般地,含参数的不等式,含参数的函数的单调区间,含参数的函数的最值、定义域或恒成立问题等均要进行分类讨论。

分类讨论的原则是不重复、不遗漏,讨论的方法是逐类进行,还必须要注意综合讨论的结果,使解题步骤完整。

【例2】问题给出的条是分类给出的,要分类讨论
3已知函数 ,则的值域是()
(A) (B) (c) (D)
4 在等差数列中,,前项和满足条,
(Ⅰ)求数列的通项式;(Ⅱ)记,求数列的前项和。

方法点拨
运用的数学定理、式、或运算性质、法则是分类给出的,如绝对值的定义,对数函数、指数函数定义,等比数列的前n项和的式等,由于这些概念的定义都有范围或条的限制,当解题过程的变换需要突破这些限制条时常引起分类讨论。

一般地,与分段函数有关的不等式,通项是的数列之和,排列组合中含0的数字排列问题,含绝对值不。

2018版高考数学(理)(全国)一轮复习练习 第三章 导数及其应用 第3讲含答案

2018版高考数学(理)(全国)一轮复习练习 第三章 导数及其应用 第3讲含答案

基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017·西安调研)定积分错误!(2x+e x)d x的值为()A.e+2B.e+1 C。

e D。

e-1解析错误!(2x+e x)d x=(x2+e x)错误!)=1+e1-1=e。

故选C。

答案C2。

若错误!错误!d x=3+ln 2(a>1),则a的值是( )A.2 B。

3 C。

4 D.6解析错误!错误!d x=(x2+ln x)错误!=a2+ln a-1,∴a2+ln a-1=3+ln 2,则a=2。

答案A3.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为()A。

错误!g B。

g C。

错误!g D.2g解析 电视塔高h =⎠⎜⎜⎛12gt d t =错误!错误!1=错误!g 。

答案 C4.如图所示,曲线y =x 2-1,x =2,x =0,y =0围成的阴影部分的面积为( )A.错误!|x 2-1|d xB.错误!C 。

错误!(x 2-1)d xD 。

错误!(x 2-1)d x +错误!(1-x 2)d x解析 由曲线y =|x 2-1|的对称性知,所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等,即错误!|x 2-1|d x .答案 A5。

若S 1=错误!x 2d x ,S 2=错误!错误!d x ,S 3=错误!e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( )A 。

S 1〈S 2〈S 3B 。

S 2<S 1<S 3 C.S 2<S 3<S 1 D.S 3〈S 2<S 1解析S2=错误!错误!d x=ln 2,S3=错误!e x d x=e2-e,∵e2-e=e(e-1)>e>错误!>ln 2,∴S2<S1<S3。

答案B二、填空题6.已知t>0,若错误!(2x-2)d x=8,则t=________.解析由错误!(2x-2)d x=8得,(x2-2x)错误!=t2-2t =8,解得t=4或t=-2(舍去)。

2018年高考数学大一轮复习培优讲义全版 课标理科

2018年高考数学大一轮复习培优讲义全版 课标理科

录ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.第一章 集合与常用逻辑用语 ................................................................................................................................ 4 考纲链接 ........................................................................................................................................................... 4 1.1 集合及其运算 ....................................................................................................................................... 5 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件.............................................................................................. 11 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词...................................................................................... 17 单元测试卷 ..............................................................................................

【高考复习】2018年 高考数学(理数) 课后练习卷(含答案解析)

【高考复习】2018年 高考数学(理数) 课后练习卷(含答案解析)

导数在函数中的应用1.已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求实数a的取值范围.2.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e x(x∈R,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ln x +xm ,m ∈R .(1)当m=e(e 为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值; (2)讨论函数g(x)=f ′(x)-3x 零点的个数.4.函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解.5.设函数f(x)=e 2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数; (2)证明:当a >0时,f(x)≥2a +aln a2.6.已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1]使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3=5,S 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ,若q>0且b 3=a 5,T 3=13,求T n ; (3)设11+=n n n a a c ,求数列{c n }的前n 项和S n .8.设数列{a n}的前n项之积为T n,且2)1( log2-=n nTn,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=λa n-1(n∈N*),数列{b n}的前n项之和为S n.若对任意的n∈N*,总有S n+1>S n,求实数λ的取值范围.9.已知双曲线12222=-by ax (a >0,b >0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x -2)2+y 2=3相切,则双曲线的方程为( ) A.113922=-yxB.191322=-yx=1 C.1322=-yxD.1322=-yx10.已知椭圆12422=+yx的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ,B两点,以下结论:①△ABF 2的周长为8;②原点到l 的距离为1;③|AB|=38.其中正确结论的个数为( )A.3B.2C.1D.011.若点M(2,1),点C 是椭圆171622=+yx的右焦点,点A 是椭圆的动点,则|AM|+|AC|的最小值为________. 12.已知椭圆12222=+by ax (a >b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)有相同的焦点F ,P ,Q 是椭圆与抛物线的交点,若直线PQ 经过焦点F ,则椭圆12222=+by ax 1(a >b >0)的离心率为________.13.已知抛物线C :y 2=2px(p>0)的焦点F(1,0),O 为坐标原点,A ,B 是抛物线C 上异于O 的两点.(1)求抛物线C 的方程; (2)若直线OA ,OB 的斜率之积为-21,求证:直线AB 过x 轴上一定点.参考答案1.解:2.解:3.解:4.解:5.6.解:7.解:8.解:9.答案为:D ;10.答案为:A ;解析:①由椭圆的定义,得|AF 1|+|AF 2|=4,|BF 1|+|BF 2|=4,又|AF 1|+|BF 1|=|AB|,所以△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8,故①正确;②由条件,得F 1(-2,0), 因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1,所以直线l 的方程为y=x +2, 则原点到l 的距离d=22=1,故②正确;③设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124222yx x y , 得3x 2+42x=0,解得x 1=0,x 2=-324,所以|AB|=1+1·|x 1-x 2|=38,故③正确.11.答案为:8-26; 解析:设点B 为椭圆的左焦点,点M(2,1)在椭圆内,那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a , 所以|AM|+|AC|≥2a -|BM|,而a=4,|BM|=26,所以(|AM|+|AC|)最小=8-26.12.答案为:2-1;解析:因为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 为(2p ,0),设椭圆另一焦点为E.如图所示,将x=p 2代入抛物线方程得y=±p ,又因为PQ 经过焦点F ,所以P(2p ,2p)且PF ⊥OF.所以|PE|=2p ,|PF|=p ,|EF|=p.故2a=2p +p ,2c=p ,e=ac 22=2-1.13.(1)解:因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以2p =1,所以p=2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)证明:①当直线AB 的斜率不存在时,设A(42t,t),B(42t,-t).因为直线OA ,OB 的斜率之积为-21,所以214422-=-⋅tt tt ,化简得t 2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB 的方程为x=8.②当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=kx +b ,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),联立得⎩⎨⎧+==bkx y x y 42,化简得ky 2-4y +4b=0.根据根与系数的关系得y A y B =kb 4,因为直线OA ,OB 的斜率之积为-21,所以BB AA x y x y ⋅=-21,即x A x B +2y A y B =0.即4422B A y y ⋅+2y A y B =0,解得y A y B =0(舍去)或y A y B =-32.所以y A y B =4bk=-32,即b=-8k ,所以y=kx -8k ,即y=k(x -8).综上所述,直线AB 过定点(8,0).。

[精品]2018版高考数学人教A版理一轮复习真题集训第三章导数及其应用34和答案

[精品]2018版高考数学人教A版理一轮复习真题集训第三章导数及其应用34和答案

真题演练集训1.定积分⎠⎜⎛01(2x +e x )d x 的值为( ) A .e +2 B .e +1 C .e D .e -1答案:C解析:⎠⎜⎛01(2x +e x )d x =(x 2+e x ) 10=(1+e)-(0+e 0)=e ,故选C. 2.直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .2 2 B .4 2 C .2 D .4答案:D解析:由4x =x 3,解得x =0或x =2或x =-2(舍去),根据定积分的几何意义可知,直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎜⎛2(4x -x 3)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-14x 420=4. 3.曲线y =x 2与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为________. 答案:16解析:如图,阴影部分的面积即为所求.由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,y =x ,得A (1,1).故所求面积为S =⎠⎜⎛01(x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-13x 3|10=16. 4.⎠⎜⎛2(x -1)d x =________.答案:0解析:⎠⎜⎛2(x -1)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-x 20=(2-2)-0=0. 5.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.答案:1.2解析:建立如图所示的平面直角坐标系.由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y =225x 2-2,抛物线与x 轴围成的面积S 1=⎠⎛5-5⎝⎛⎭⎪⎫2-225x 2d x =403,梯形面积S 2=+2=16.最大流量比为S 2∶S 1=1.2.课外拓展阅读 探究定积分与不等式交汇问题如图,矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )=sin x ;x ∈(0,π)及直线x =a ,a ∈(0,π)与x 轴围成,向矩形OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为14,则a 的值是( )A.7π12 B .2π3C.3π4D .5π6先运用定积分求出阴影部分的面积,再利用几何概型概率计算公式求出概率.由已知S 矩形OABC =a ×6a=6,而阴影部分的面积为S =⎠⎜⎛0asin x d x =(-cos x ) a 0=1-cos a , 依题意有SS 矩形OABC =14,即1-cos a 6=14,解得cos a =-12,又a ∈(0,π),所以a =2π3.故选B. B 方法点睛定积分还可与其他知识交汇,如与二项式定理、数列等知识交汇.。

高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)

高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)
对数平均数:对于正数 a , b ,且 a b ,定义 a b 为 a , b 的对数平均数; ln a ln b
对数平均不等式:对于正数 a , b ,且 a b ,则有 ab a b a b ,即几何平均数<对 ln a ln b 2
数平均数<算术平均数,简记为 G a,b L a,b Aa,b .
(ⅱ)若 a 2 ,令 f (x) 0 得, x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
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当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时, f (x) 0 ;
2
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当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时, f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
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高考数学培优专题(1)
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ,其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点,且
x1 x2 . (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: f ( x1x2 ) 0 .
例 4(2011 年辽宁理科)已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x .
a2 4 ) , (a
a2 4 , ) 单调递
2
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减,在 (a
a2 4 a ,
a2 4 ) 单调递增.
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(2)由(1)知, f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 , x2 满足 x2 ax 1 0 ,所以 x1x2 1 ,不妨设 x1 x2 ,则 x2 1 . 由于
高考数学培优专题(1)
对数平均不等式的证明与应用

高考数学培优复习:第2讲 参数方程新题培优练

高考数学培优复习:第2讲 参数方程新题培优练

[基础题组练]1.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+t cos α,y =t sin α(t 为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小.解:(1)当α=π2时,直线l 的普通方程为x =-1; 当α≠π2时,直线l 的普通方程为y =(x +1)tan α. 由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,所以x 2+y 2=2x ,即为曲线C 的直角坐标方程.(2)把x =-1+t cos α,y =t sin α代入x 2+y 2=2x ,整理得t 2-4t cos α+3=0.由Δ=16cos 2α-12=0,得cos 2α=34, 所以cos α=32或cos α=-32, 故直线l 的倾斜角α为π6或5π6. 2.以极点为原点,以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ=10,曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+5cos α,y =-4+5sin α,(α为参数). (1)判断两曲线C 和C ′的位置关系;(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切,求直线l 的极坐标方程.解:(1)由ρ=10得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=100,由⎩⎪⎨⎪⎧x =3+5cos α,y =-4+5sin α得曲线C ′的普通方程为(x -3)2+(y +4)2=25. 曲线C 表示以(0,0)为圆心,10为半径的圆;曲线C ′表示以(3,-4)为圆心,5为半径的圆.因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差,所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切.(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=100,(x -3)2+(y +4)2=25,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =-8;可知两圆的切点坐标为(6,-8),且公切线的斜率为34, 所以直线l 的直角坐标方程为y +8=34(x -6), 即3x -4y -50=0,所以极坐标方程为3ρcos θ-4ρsin θ-50=0.3.(2019·湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中,倾斜角为α的直线l 过点M (-2,-4),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与C 交于A ,B 两点,且|MA |·|MB |=40,求倾斜角α的值.解:(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+t cos α,y =-4+t sin α(t 为参数), ρsin 2θ=2cos θ,即ρ2sin 2θ=2ρcos θ,将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ,得t 2sin 2α-(2cos α+8sin α)t +20=0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,由一元二次方程根与系数的关系得,t 1+t 2=2cos α+8sin αsin 2 α,t 1t 2=20sin 2α, 根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA |·|MB |=|t 1t 2|=20sin 2α=40,得α=π4或α=3π4. 又Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin 2α>0,所以α=π4. 4.(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α,y =sin α(α是参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4= 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程;(2)设P 为曲线C 1上的动点,求点P 到C 2的距离的最大值,并求此时点P 的坐标.解:(1)曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1, 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=2,得ρsin θ+ρcos θ=2,得曲线C 2的直角坐标方程为x +y -2=0. (2)设点P 的坐标为(3cos α,sin α),则点P 到C 2的距离为|3cos α+sin α-2|2=⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α+π3-22,当sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=-1,即α+π3=-π2+2k π(k ∈Z ),α=-5π6+2k π(k ∈Z )时,所求距离最大,最大值为22, 此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫-32,-12. [综合题组练]1.(2019·郑州市第一次质量测试)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是ρ=8cos θ1-cos 2θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若α=π4,设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△AOB 的面积. 解:(1)由题知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos α,y =t sin α(t 为参数). 因为ρ=8cos θ1-cos 2 θ,所以ρsin 2θ=8cos θ,所以ρ2sin 2θ=8ρcos θ,即y 2=8x . (2)法一:当α=π4时,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+22t ,y =22t(t 为参数), 代入y 2=8x 可得t 2-82t -16=0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=82,t 1·t 2=-16,所以|AB |=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=8 3.又点O 到直线AB 的距离d =1×sin π4=22, 所以S △AOB =12|AB |×d =12×83×22=2 6. 法二:当α=π4时,直线l 的方程为y =x -1, 设M (1,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=8x ,y =x -1,得y 2=8(y +1), 即y 2-8y -8=0,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=8,y 1y 2=-8, S △AOB =12|OM ||y 1-y 2|=12×1×(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12×82-4×(-8)=12×46=2 6.2.(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =sin θ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.解:(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1.当α=π2时,l 与⊙O 交于两点. 当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y =kx - 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21+k 2<1,解得k <-1或k >1,即α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π4. 综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4,3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =-2+t sin α(t 为参数,π4<α<3π4). 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B 2,且t A ,t B 满足t 2-22t sin α+1=0. 于是t A +t B =22sin α,t P =2sin α. 又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x =t P cos α,y =-2+t Psin α, 所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x =22sin 2α,y =-22-22cos 2α(α为参数,π4<α<3π4). 3.(2019·惠州市第二次调研)已知曲线C :⎩⎨⎧x =2cos α,y =3sin α(α为参数)和定点A (0,3),F 1,F 2是此曲线的左、右焦点,以原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF 2的极坐标方程;(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ,N 两点,求||MF 1|-|NF 1||的值.解:(1)曲线C :⎩⎨⎧x =2cos α,y =3sin α可化为x 24+y 23=1,故曲线C 为椭圆, 则焦点F 1(-1,0),F 2(1,0).所以经过点A (0,3)和F 2(1,0)的直线AF 2的方程为x +y 3=1,即3x +y -3=0, 所以直线AF 2的极坐标方程为3ρcos θ+ρsin θ= 3.(2)由(1)知,直线AF 2的斜率为-3,因为l ⊥AF 2,所以直线l 的斜率为33,即倾斜角为30°,所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =-1+32t ,y =12t(t 为参数), 代入椭圆C 的方程中,得13t 2-123t -36=0.因为点M ,N 在点F 1的两侧,所以||MF 1|-|NF 1||=|t 1+t 2|=12313. 4.(综合型)(2019·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1过点P (a ,1),其参数方程为⎩⎨⎧x =a +2t y =1+2t(t 为参数,a ∈R ).以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,且|P A |=2|PB |,求实数a 的值.解:(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =a +2t y =1+2t, 所以其普通方程为x -y -a +1=0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0,所以ρ2cos 2θ+4ρcos θ-ρ2=0,所以x 2+4x -x 2-y 2=0,即曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x .(2)设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,由⎩⎨⎧y 2=4x ,x =a +2t y =1+2t, 得2t 2-22t +1-4a =0.Δ=(22)2-4×2(1-4a )>0,即a >0,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t 1+t 2=2t 1t 2=1-4a 2. 根据参数方程的几何意义可知|P A |=2|t 1|,|PB |=2|t 2|,又|P A |=2|PB |可得2|t 1|=2×2|t 2|,即t 1=2t 2或t 1=-2t 2.所以当t 1=2t 2时,有⎩⎪⎨⎪⎧t 1+t 2=3t 2=2t 1t 2=2t 22=1-4a 2,解得a =136>0,符合题意. 当t 1=-2t 2时,有⎩⎪⎨⎪⎧t 1+t 2=-t 2=2t 1t 2=-2t 22=1-4a 2, 解得a =94>0,符合题意. 综上所述,实数a 的值为136或94.。

2018高考数学(理)周末培优训练22(高考仿真测试)含解析

2018高考数学(理)周末培优训练22(高考仿真测试)含解析

2018高考数学(理)周末培优训练22(高考仿真测试)含解析 第22周 高考仿真测试(测试时间:120分钟,总分:150分)班级:____________ 姓名:____________ 座号:____________ 得分:____________ 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1,2,3,4A =,{}2|, B x x n n A ==∈,则A B = A .{}1,2 B .{}1,4 C .{}2,3D .{}9,16【答案】B【解析】∵{}1,2,3,4A =,{}1,4,9,16B =,∴{}1,4A B = .故选B . 2.已知复数z 满足()()21i 1i z +=-,则z =A .2i -B .CD .1i --【答案】C【解析】()()()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 1i 2z ----===--+-,∴z=,故选C.3.如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为A .117B .217C .317D .417【答案】B【解析】直角三角形的较短边长为3,则较长边长为5,所以小正方形边长为2,面积为4,所以向大正方形内抛一枚幸运小花朵时,小花朵落在小正方形内的概率为423417=.本题选择B 选项.【名师点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式,在图形中画出事件A 发生的区域,据此求解几何概型即可.4.设e 是自然对数的底数,函数()f x 是周期为4的奇函数,且当02x <<时,()ln f x x =- A .35 B .34 C .43D .53【答案】D【解析】因为775554ln 33333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选D.5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若679218a a a +-=,则63S S -= A .18 B .27 C .36D .45【答案】B6.()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是A .56B .84C .112D .168【答案】D【解析】根据()81x +和()41y +的展开式的通项公式可得,22x y 的系数为2284C C 168=,故选D.7.设55log 4log 2a =-,2ln ln 33b =+,1lg5210c =,则的大小关系为 A .a b c << B . C .c a b <<D .【答案】A8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是A .2+B .52+C .3++D .72+ 【答案】D【解析】由三视图可知,几何体是由下面一个直三棱柱,上面一个三棱锥组成的. 三棱柱的底面面积为:111122⨯⨯=;112++=;三棱锥的侧面积为:2111111122⨯⨯+⨯⨯=+.所以该几何体的表面积是72.故选D. 【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图. 9.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是74,则整数a 的值为A .3a =B .4a =C .5a =D .6a =【答案】A10.已知()()()sin sin 2,f x x g x x π⎛⎫=+=π- ⎪⎝⎭,则下列结论中正确的是 A .函数()()y f x g x =⋅的周期为2π B .将的图象向左平移2π个单位后得到的图象C .函数()()y f x g x =⋅的最大值为D .的一个对称中心是304,π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D选项D :()()()sin sin sin cos 24f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=++π-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,根据正弦函数的对称性,令4,x k k π+=π∈Z ,得4,x k k π=π-∈Z ,当时,34x π=,故D 正确. 故选D.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,准线3:2l x =-,点在抛物线上,点在准线上,若,且直线的斜率,则△AFM 的面积为A .B .C .D .【答案】C【解析】设准线与轴交于点N ,所以,直线的斜率AF k =,所以,在直角三角形△ANF 中,,,根据抛物线定义知,,又30NAF ∠=︒,,所以,因此△AFM 是等边三角形,故,所以△AFM 的面积为11622S MA AN ==⨯⨯=,故选C.12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且15a =,()11622n n a a n -=-+≥,若对任意的*n ∈N , ()143n p S n ≤-≤恒成立,则实数p 的取值范围为A .(]2,3B .[]2,3C .(]2,4D .[]2,4【答案】B本题选择B 选项.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.设向量()()4,,1,2m ==-a b 且,⊥a b 则2+=a b __________.【答案】【解析】∵⊥a b ,∴⋅a b =4−2m =0,解得m =2,∴a =(4,2),∴a +2b =(6,−2),∴2+=ab.故答案为:.14.已知,x y 满足不等式组010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为__________.【答案】2【解析】作出不等式组010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图中阴影部分所示.由2z x y=+得y =−12x +12z , 平移直线y =−12x +12z ,由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时,直线y =−12x +12z的截距最大,此时z 最大,由0 10x x y =⎧⎨+-=⎩,得01x y =⎧⎨=⎩,即A (0,1),此时z =0+2=2,故答案为2.【名师点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是: (1)准确无误地作出可行域;(2)画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;(3)一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点,点M 在双曲线的右支上,O 是坐标原点,2△OMF 是以O 为顶点的等腰三角形,其面积是2,则双曲线C 的离心率是__________.1【解析】∵2△OMF 是以O 为顶点的等腰三角形,2||||OM OF c ∴==,又112|,|△OF c F MF =∴ 为直角三角形,设12,F M m F M n ==,则22244c a -=, 所以2222c e a ===,所以1c e a ===+,故答案为1.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况: ①直接求出,a c ,从而求出e ; ②构造,a c 的齐次式,求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; ④根据圆锥曲线的统一定义求解.本题中,根据题设条件结合双曲线的定义以及勾股定理找出,a c 之间的关系,求出离心率e .16.体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上,球心O在此三棱锥内部,且:2:3R BC =,点E 为线段BD 的中点,过点E 作球O 的截面,则所得截面圆面积的最小值是__________. 【答案】9π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos sin cos sin a A c A B a C B -=- sin sin a C c C -.(1)求B 的大小;(2)求cos cos A C +的最大值.【答案】(1(2【解析】(1)根据sin cos sin cos sin sin sin a A c A B a C B a C c C -=-- 可得()sin sin sin cos cos sin a A a C c C a C c A B ++=+, 即()22cos cos a ac c a C c A b ++=+,在△ABC 中,∵cos cos a C c A b +=, ∴222a ac c b ++=,∴2221cos 22a cb B ac +-==-,∵0B <<π,(2)由(1∴3cos cos 2A C <+≤,∴cos cos A C +.【名师点睛】(1)由条件结合正弦定理得:()sin sin sin cos cos sin a A a C c C a C c A B ++=+,又cos cos a C c A b +=,所以222a ac c b ++=,再利用余弦定理即可得到答案;(2)利用内角和定理,化简得到.(3)对于解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AC BD ⊥,AC BD O = ,PO AB ⊥,△POD 是以PD 为斜边的等腰直角三角形,且11123OB OC OD OA ====.(1)证明:平面PAC ⊥平面PBD ; (2)求二面角A PD B --的余弦值.【答案】(1)见解析;(2.(2)以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则()3,0,0A ,()0,2,0D -,()0,0,2P ,∴()3,2,0DA = ,()0,2,2DP =,设(),,x y z =n 是平面ADP 的法向量,则00DA DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即320220x y y z -=⎧⎨+=⎩, 令3y =,得平面ADP 的一个法向量()2,3,3=-n .由(1)知,平面PBD 的一个法向量为()1,0,0OC =-,由图可知,二面角的平面角为锐角, 故二面角A PD B --. 【名师点睛】证明面面垂直,先由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直;利用平面的法向量求二面角的大小时,二面角是锐角或钝角由图形决定.由图形知二面角是锐角时cos θ=1212⋅n n n n ;由图形知二面角是钝角时,cos θ=−1212⋅n nn n .当图形不能确定时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量12,n n 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部,另一个平面的法向量指向二面角的外部),还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部). 19.(本小题满分12分)为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度,需要抽检一批轮胎(共10个轮胎),已知这批轮胎宽度(单位:mm )的折线图如下图所示:(1)求这批轮胎宽度的平均值;(2)现将这批轮胎送去质检部进行抽检,抽检方案是:从这批轮胎中任取5个作检验,这5个轮胎的宽度都在[]194,196内,则称这批轮胎合格,如果抽检不合格,就要重新再抽检一次,若还是不合格,这批轮胎就认定不合格. ①求这批轮胎第一次抽检就合格的概率;②记X 为这批轮胎的抽检次数,求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)195(mm );(2)①142,②见解析. 【解析】(1)这批轮胎宽度的平均值为(2)①这批轮胎宽度都在[]194,196内的个数为6,②由题意得X 的可能取值为1,2, 则()01142P X P ===, ()0412142P X P ==-=. 所以X 的分布列为:故()1418312424242E X =⨯+⨯=. 【思路分析】(1(2)由频率估计概率,这批轮胎宽度都在[]194,196内的个数为6,总数为10,由古典概型可得560510C C P =.由题意可知X 的可能取值为1,2,易知()01142P X P ===,再由()1P X =+()2P X ==1,可算出()2P X =,从而写出分布列. 20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,上、下顶点分别为12,B B ,两个焦点分别为12,F F,12A B =四边形1122A B A B 的面积是四边形1122B F B F 的面积的2倍.(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,P Q 两点,,A B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的两点.若直线AB 过点()1,1-,且APQ BPQ ∠=∠,求直线AB 的方程.【答案】(1)2211612x y +=;(2)230x y --=.(2)由(1)易知点,P Q 的坐标分別为()()2,3,2,3-. 因为APQ BPQ ∠=∠,所以直线,PA PB 的斜率之和为0.设()()1122,,,A x y B x y ,直线PA 的斜率为k ,则直线PB 的斜率为k -, ∴直线PA 的方程为()32y k x -=-,可得()()()22234832432480k x k k x k ++-+--=,∴()12823234k k x k-+=+,同理直线PB 的方程为()32y k x -=--,∴2121222161248,3434k kx x x x k k--+=-=++, ∴()()121212122323AB k x k x y y k x x x x -++---==-- ()1212412k x x k x x +-==-,∴满足条件的直线AB 的方程为()1112y x +=-,即为230x y --=. 【思路分析】(1)由已知条件列出关于,,a b c 的方程组,即可得到椭圆C 的方程; (2)由APQ BPQ ∠=∠,结合图形可得直线,PA PB 的斜率之和为0,从而可设直线PA 的斜率为k ,则直线PB 的斜率为k -,联立方程利用根与系数的关系得到12AB k =,进而得到直线的方程. 21.(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x x a =-+的极小值为0. (1)求实数a 的值;(2)若不等式()()21f x b x <-对任意()1,x ∈+∞恒成立,求实数b 的取值范围.【答案】(1)1a =;(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】(1)由题得()ln f x x '=,令()0f x '=,解得1x =, ∴()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 故()f x 的极小值为()11f a =-+, 由题意有10a -+=,解得1a =.(2)由(1)知不等式()2ln 11x x x b x -+<-对任意()1,x ∈+∞恒成立,∵0x >,∴()211ln 0b x x x x-+--<在()1,+∞上恒成立,不妨设()()211ln b x x h x x x-+-=-,()1,x ∈+∞当0b ≤时,10bx b +-<,故()0h x '>,∴()h x 在()1,+∞上单调递增,从而()()10h x h >=, ∴()0h x <不成立. 当0b >11x b=-, 若111b ->,即102b <<,当11,1x b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0h x '>,()h x 在11,1b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数,故()()10h x h >=,不合题意; 若111b -≤,即12b ≥,当()1,x ∈+∞时, ()0h x '<, ()h x 在()1,+∞上为减函数,故()()10h x h <=,符合题意. 综上所述,b 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】本题考查导数在研究函数极值与最值的过程中的应用.对于恒成立求参的问题,解决方法有如下几种:第一,可以考虑参变分离,再转化为函数最值问题;第二,直接含参讨论,研究函数的单调性和最值.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2cos x y =⎧⎪⎨=⎪⎩θθ(θ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为ρ=2.(1)分别写出1C 的普通方程,2C 的直角坐标方程;(2)已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点,点P 为曲线2C 上任意一点,求PM PN +的最大值.(2)解法一:由曲线2C :224x y +=,可得其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩,所以可设P 点坐标为()2cos ,2sin αα,由题意可知((,0,M N .因此PM PN +==+所以()214PM PN+=+.所以当sin 0α=时,()2PM PN+有最大值28,因此PM PN +的最大值为.解法二:设P 点坐标为(),x y ,则224x y +=,由题意可知((,0,M N .因此PM PN +==+,所以()214PM PN+=+所以当0y =时,()2PM PN+有最大值28,因此PM PN +的最大值为.【名师点睛】在坐标系与参数方程的题目中运用参数方程和极坐标的基本性质,即可求出其直角坐标方程,在解答最值问题时可以运用三角函数来计算,也可以转化为直角坐标来求解,部分题目还是运用三角函数求值计算更简单. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()21f x x =-.(1)求不等式()3f x x ≤的解集;(2)若对任意x ∈R ,不等式()()2f x f x m ++≥恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭;(2)(],4-∞. 【解析】(1)不等式()3f x x ≤可化为213x x -≤,即32133213300x x x x x x x x -≤-≤-≤-≤⎧⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩15x ⇒≥,所以不等式的解集为15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【思路分析】(1)原不等式等价于321330x x xx -≤-≤⎧⎨≥⎩,解之即可;(2)利用绝对值三角不等式求出()()2f x f x ++的最小值,再由不等式()()2++≥恒成立,则m小于等于最小值求解即可.f x f x m第21页。

第2周周末培优-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习

第2周周末培优-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习

周末培优高考频度:★★★☆☆ 难易程度:★★★☆☆已知函数11()3(12)42x x f x x λ-=-+-≤≤. (1)若32λ=,求函数()f x 的值域; (2)若函数()f x 的最小值是1,求实数λ的值.【参考答案】(1)337[,]416;(2)2. 【试题解析】(1)21111()3()2()3(12)4222x x x x f x x λλ-=-+=-+-≤≤, 设1()2x t =,则21()23(2)4g t t t t λ=-+≤≤.当32λ=时,22331()33()(2)244g t t t t t =-+=-+≤≤. 故max min 13733()(),()()41624g t g g t g ====,则max min 373(),()164f x f x ==. 故函数()f x 的值域是337[,]416.学+【解题必备】求函数的值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,常用的方法有:观察法、图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、有界性法等.需要注意的是:“分离常数法”的目的是将“分式函数”变为“反比例函数”类,“换元法”的目的是将函数变为“二次函数”类.即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域.1.已知函数的值域是,则实数的取值范围是 A .B .C .D . 2.已知函数()12log ,2 23,2x x x f x a a x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩(其中0a >且1)a ≠的值域为R ,则实数a 的取值范围为_______.2.【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题意,分段函数的值域为R ,其在R 上是单调函数,由此可知01a <<, 根据图象可知: 212log 223a a ≥- ,解得12a ≥,综上,可得112a ≤<,即答案为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。

[精品]2018版高考数学人教A版理一轮复习真题集训第三章导数及其应用31和答案

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真题演练集训1.曲线y=x e x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2e B.eC.2 D.1答案:C解析:y′=e x-1+x e x-1=(x+1)e x-1,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x=1=2.2.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a =( )A.0 B.1C.2 D.3答案:D解析:y′=a-1x+1,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2,所以a =3.3.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.答案:y=-2x-1解析:由题意可得,当x>0时,f(x)=ln x-3x,则f′(x)=1x-3,f′(1)=-2,则在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.4.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x +1)的切线,则b=________.答案:1-ln 2解析:设y=kx+b与y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,ln x 1+2)和(x 2,ln(x 2+1)),则切线分别为y -ln x 1-2=1x 1(x -x 1),y -ln(x 2+1)=1x 2+1(x -x 2),化简得y =1x 1x +ln x 1+1,y =1x 2+1x -x 2x 2+1+ln(x 2+1),依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧1x1=1x 2+1,ln x 1+1=-x2x 2+1+x 2+,解得x 1=12,从而b =ln x 1+1=1-ln 2.5.设曲线y =e x在点(0,1)处的切线与曲线y =1x(x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________. 答案:(1,1)解析:y ′=e x ,曲线y =e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1,设P (m ,n ),y =1x (x >0)的导数为y ′=-1x 2(x >0),曲线y =1x(x >0)在点P 处的切线斜率k 2=-1m2(m >0).因为两切线垂直,所以k 1k 2=-1,所以m =1,n =1,则点P 的坐标为(1,1).课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一 公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法,其基本的解题步骤是:第一步,用公式,运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导;第二步,得结论; 第三步,解后反思.求函数y =sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的导数.解法一:y ′=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3′=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3′=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +2π3.解法二:设y =u 2,u =sin v ,v =2x +π3, 则y ′=y u ′·u v ′·v x ′ =2u ·cos v ·2 =4sin v cos v=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +2π3.温馨提示当函数中既有复合函数求导,又有函数的四则运算时,要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则,同时需要注意,复合函数的求导原则是从外层到内层进行,不要遗漏. 方法二 构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的,需要构造新的函数进行解决,这样的方法称为构造法,其基本的解题步骤是: 第一步,构造函数,对要求的函数进行变形,或构造一个新的函数; 第二步,运用公式,对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导; 第三步,得出结论.证明:当x >1时,有ln 2(x +1)>ln x · ln(x +2).构造辅助函数f (x )=x +ln x(x >1),于是有f ′(x )=x ln x -x +x +x x +2x.因为1<x <x +1, 所以0<ln x <ln(x +1), 即x ln x <(x +1)ln(x +1).则在(1,+∞)内恒有f ′(x )<0, 故f (x )在(1,+∞)内单调递减. 又1<x <x +1, 则f (x )>f (x +1), 即x +ln x>x +x +,所以ln 2(x +1)>ln x ·ln(x +2). 技巧点拨要证明f (x )>g (x ),x ∈(a ,b ),可以构造函数F (x )=f (x )-g (x ),如果F ′(x )>0,则F (x )在(a ,b )内是增函数,同时F (a )≥0,则有x ∈(a ,b )时,F (x )>0,即证明了f (x )>g (x ).同理可证明f (x )<g (x ).但要注意,此法中所构造的函数F (x )在给定区间内应是单调的.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+154x -9都相切,则a =( ) A .-1或-2564B .-1或214C .-74或-2564D .-74或7没有对点(1,0)是否为切点进行分析,误认为是切点而出错. 因为y =x 3,所以y ′=3x 2,设过点(1,0)的直线与y =x 3相切于点(x 0,x 30), 则在该点处的切线斜率为k =3x 20,所以切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0), 即y =3x 20x -2x 30.又点(1,0)在切线上,所以x 0=0或x 0=32.当x 0=0时,切线方程为y =0,由y =0与y =ax 2+154x -9相切可得a =-2564;当x 0=32时,切线方程为y =274x -274,由y =274x -274与y =ax 2+154x -9相切,可得a =-1.综上,a 的值为-1或-2564.A 易错提醒1.对于曲线切线方程问题的求解,对曲线的求导是一个关键点,因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点,应先确定其是否为曲线的切点,进而选择相应的方法求解.。

【高三数学试题精选】2018届高考数学培优辅导复习试题(有答案)

【高三数学试题精选】2018届高考数学培优辅导复习试题(有答案)

2018届高考数学培优辅导复习试题(有答案)
5 c 数形结合思想专题
【例1】运用数形结合解决集合问题
(1)
(2)已知, ,若,则的取值范围是。

【例2】运用数形结合解决函数问题
(1)(1,0)∪(1,+∞)时
当x∈(-∞,-1)∪(0,1)时
又x(x- )=(x- )2- ≥- >-1
∴ 成立,则必有0<x(x- )<1,
解之得<x<0或<x<
(3)分析
构造直线的截距的方法求之。

截距。

(3)变式分析由于等号右端根号内t同为一次,故作简单换元,无法转化出一元二次函数求最值,若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元
解设
有共点(如图),相切于第一象限时,取最大值。

(4)解析函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的。

2018高考数学(理)周末培优训练2(函数)含解析

2018高考数学(理)周末培优训练2(函数)含解析
【答案】 C
B. c a b D. b c a
【解析】∵ b
0.2
1
20.2 21.2 a, ∴ a b 1 . 又∵ c 2log52 log5 4 1 ,∴
2
c b a ,故本题选 C. 4.已知实数 a, b 满足 2a 3,3b 2 ,则函数 f x
ax x b 的零点所在的区间是
A. 2, 1
2.给定函数:① y
1
x 2 ,② y 1 ,③ y x
π
x 1 ,④ y cos
x ,其中既是奇函数
2
又在区间 0,1 上为增函数的是
A.① C.③ 【答案】 D
B.② D.④
3.已知 a 21.2 , b
0.2
1
, c 2log 5 2 ,则 a, b,c 的大小关系为
2
A. b a c C. c b a
一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A { x | 1 <2 x 2}, B { x | ln x 1
2
2
0} ,则 A eR B
A.
B. 1, 1
2
C.
1 ,1
2
【答案】 B
D. 1,1
【解析】 由题意得, A
{ x| 1
,则 A
eR B
2
2
1 1, ,
2
故选 B.
A.函数 f x g x 是奇函数
B.函数 f x g x 是奇函数
C.函数 f g x 是奇函数
【答案】 B
D. g f x 是奇函数
2018 高考数学(理)周末培优训练 2(函数)含解析 第 02 周 函数
(测试时间: 60 分钟,总分: 80 分) 班级:____________ 姓名: ____________ 座号: ____________ 得分:____________ 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有

2018届高考数学理科二轮总复习练习:二、数形结合思想

2018届高考数学理科二轮总复习练习:二、数形结合思想

二、数形结合思想典例1 设M ={(x ,y )|y =2a 2-x 2,a >0},N ={(x ,y )|(x -1)2+(y-3)2=a 2,a >0}且M ∩N ≠∅,求a 的最大值和最小值.分析 根据点集M ,N 中方程的特点,联想两个方程所表示的曲线,以形助数.解 如图,集合M 表示以O (0,0)为圆心,r 1=2a 为半径的上半圆,集合N 表示以O ′(1,3)为圆心,r 2=a 为半径的圆.∵M ∩N ≠∅,∴半圆O 和圆O ′有公共点.当半圆O 和圆O ′外切时,a 最小;内切时,a 最大. ∵OO ′=2,∴外切时,2a +a =2,a =22+1=22-2. 内切时,2a -a =2,a =22+2.∴a 的最大值为22+2,a 的最小值为22-2.点评 本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题,可谓是极具创新性的解题,避免常规方法中的繁杂与高难度,又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题,真正达到数形结合的最佳效果.典例2 已知向量a =(1,1),b =(-1,1),设向量c 满足(2a -c )·(3b -c )=0,则|c |的最大值为________.分析 建立坐标系,用轨迹法. 解析 设c =(x ,y ),则2a -c =(2-x,2-y ),3b -c =(-3-x,3-y ),由(2a -c )·(3b -c )=0,有 (2-x )(-3-x )+(2-y )(3-y )=0, 化简整理得⎝⎛⎭⎫x +122+⎝⎛⎭⎫y -522=132, 即向量c 的坐标(x ,y )在以M ⎝⎛⎭⎫-12,52为圆心,r =132为半径的圆上. 从而求|c |的最大值,即圆⎝⎛⎭⎫x +122+⎝⎛⎭⎫y -522=132上的点到坐标原点距离的最大值, 又坐标原点在此圆上,所以|c |的最大值为2r =26. 答案26点评 设点研究得出点的轨迹方程,从几何角度得到点在圆上,再寻找最值,体现了数形结合思想的典型运用.典例3 若方程x 2+(k -2)x +2k -1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围.分析 这个问题从表面上看是方程与不等式的问题,如果用求根公式得出小根在0和1之间,大根在1和2之间来解不等式组是很麻烦的,并且不易解出.如果我们根据题意,通过满足条件的函数图象,由根的分布情况分析函数值的大小问题,解不等式组得到相应的实数k 的取值范围.解 设函数f (x )=x 2+(k -2)x +2k -1,结合草图可知,函数f (x )=x 2+(k -2)x +2k -1的图象开口向上,零点x 1∈(0,1),x 2∈(1,2),那么⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0,f 1<0,f 2>0,即⎩⎪⎨⎪⎧2k -1>0,1+k -2+2k -1<0,4+2k -2+2k -1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k >12,k <23,k >14,即12<k <23,所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12,23. 点评 利用函数f (x )=x 2+(k -2)x +2k -1的图象来研究相应的方程与不等式的问题,可以化代数问题为几何问题,通过图形非常直观地处理相应的问题.思路清晰,简单易懂. 从上面的例题可以看出数形结合思想解题思路如下:1.“形”中觅“数”.以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合.2.“数”上构“形”.以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.3.用图形分析的方法解决问题,一方面要发挥图形的直观、形象地作用,另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致,并注意结合数学运算来完成. 跟踪演练1.(2017·江苏启东模拟)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图,则∑n =12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6=________.答案 1解析 由题意得T 4=2π4ω=5π12-π6⇒ω=2,又f ⎝⎛⎭⎫π6=1,所以sin ⎝⎛⎭⎫π3+φ=1,|φ|<π2⇒φ=π6, 所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫n π6=sin ⎝⎛⎭⎫n π3+π6,周期为6,一个周期的和为零,所以∑n =12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6=f (1)=sin π2=1. 2.(2017·江苏宿迁中学月考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos πx |,则函数h (x )=g (x )-f (x )在⎣⎡⎦⎤-12,32上的零点个数为________. 答案 6解析 根据题意,函数y =f (x )是周期为2的偶函数且当0≤x ≤1时,f (x )=x 3, 则当-1≤x ≤0时,f (x )=-x 3,且g (x )=|x cos πx |, 所以当x =0时,f (x )=g (x ).当x ≠0时,若0<x ≤12,则x 3=x cos πx ,即x 2=cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤-12,32上的图象,在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象如图所示,有5个交点.所以h (x )总共有6个零点.3.设关于θ的方程3cos θ+sin θ+a =0在区间(0,2π)内有两个不同的实根α,β. (1)求实数a 的取值范围; (2)求α+β的值.解 方法一 (1)设x =cos θ,y =sin θ,则由题设知,直线l :3x +y +a =0与圆x 2+y 2=1有两个不同的交点A (cos α,sin α)和B (cos β,sin β),所以原点到直线l 的距离小于半径1, 即d =|0+0+a | r(3 2+12)=|a |2<1,所以-2<a <2. 又因为α,β∈(0,2π),α≠β. 所以直线l 不过点(1,0), 即3+a ≠0,即a ≠-3, 即a ∈(-2,-3)∪(-3,2).(2)如图,不妨设∠xOA =α,∠xOB =β,作OH ⊥AB ,垂足为H ,则∠xOH =α+β2,因为OH ⊥AB , 所以k AB ·k OH =-1, 所以tanα+β2=33, 因为α+β2∈(0,2π),所以α+β=π3或α+β=7π3.方法二 (1)原方程可化为sin ⎝⎛⎭⎫θ+π3=-a 2, 作出函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3(x ∈(0,2π))的图象,由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是⎩⎨⎧-1<-a2<1,-a 2≠32,即-2<a <-3或-3<a <2.(2)由图知,当-3<a <2,即-a 2∈⎝⎛⎭⎫-1,32时,直线y =-a 2与y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象交于C ,D 两点,它们中点的横坐标为7π6,所以α+β2=7π6,所以α+β=7π3,当-2<a <-3,即-a 2∈⎝⎛⎭⎫32,1时,直线y =-a 2与y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象交于A ,B 两点, 由对称性知α+β2=π6,所以α+β=π3.综上所述,α+β=π3或α+β=7π3.4.已知f (x )=x 2+3x +1,g (x )=a -1x -1+x .(1)当a =2时,求y =f (x )和y =g (x )图象的公共点个数; (2)当a 为何值时,y =f (x )和y =g (x )的公共点个数恰为2.解 (1)当a =2时,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =f x ,y =g x ,得x 2+3x +1=1x -1+x ,整理得x 3+x 2-x -2=0(x ≠1),即联立⎩⎪⎨⎪⎧y =0,y =x 3+x 2-x -2 x ≠1 ,令y ′=3x 2+2x -1=0,得x 1=-1,x 2=13,得到极值点分别在-1和13处,且极大值、极小值都是负值,图象如图,故交点只有一个.即y =f (x )和y =g (x )图象的公共点个数为1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =f x ,y =gx ,得x 2+3x +1=a -1x -1+x ,整理得a =x 3+x 2-x (x ≠1),即联立⎩⎪⎨⎪⎧y =a ,y =hx =x 3+x 2-xx ≠1, 对h (x )求导可以得到极值点分别在-1和13处,h (-1)=1,h ⎝⎛⎭⎫13=-527, 画出草图如图.当a =h (-1)=1时,y =a 与y =h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y =h (x )曲线上),故当a =-527时恰有两个公共点.。

2018届高考数学理科人教B版全国通用一轮总复习题组训

2018届高考数学理科人教B版全国通用一轮总复习题组训

第十四章推理与证明考点一合情推理与演绎推理8.(2012湖南,16,5分)设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,x N依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…x N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…x N-1x2x4…x N,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到P2;当2≤i≤n-2时,将P i分成2i段,每段个数,并对每段作C变换,得到P i+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第个位置.答案(1)6 (2)3×2n-4+11解析(1)由已知可得P1=x1x3x5x7x9x11x13x15x2x4x6x8x10x12x14x16,P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,所以x7位于P2中第6个位置.(2)根据题意可知P4将这2n个数分成16段,每段有2n-4个数,每段数下标分别构成公差为16的等差数列,第1段的首项为1,其通项公式为16n-15,当16n-15=173时,n=∉N*;第2段的首项为9,其通项公式为16n-7,当16n-7=173时,n=∉N*;第3段的首项为5,其通项公式为16n-11,当16n-11=173时,n=∉N*;第4段的首项为13,其通项公式为16n-3,当16n-3=173时,n=11∈N*,故x173位于P4中第3×2n-4+11个位置上.评析本题主要考查了等差数列及归纳推理的方法和思想,要求学生能从所给的信息中总结出规律,考查学生分析问题、解决问题的能力.解题过程体现了由特殊到一般的思想.9.(2014北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键.10.(2012福建,17,13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解析解法一:(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.解法二:(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-·sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+·sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查特殊与一般思想、化归与转化思想.考点二直接证明与间接证明考点三数学归纳法5.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n(x)),n∈N+,求g n(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.解析由题设得,g(x)=(x≥0).(1)由已知得,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,……,可得g n(x)=.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=,结论成立.②假设n=k时结论成立,即g k(x)=.那么,当n=k+1时,g k+1(x)=g(g k(x))===,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),即φ'(x)=-=,当a≤1时,φ'(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥不恒成立,综上可知,a的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).证明如下:证法一:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则<ln.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,<ln2,结论成立.②假设当n=k时结论成立,即++…+<ln(k+1).那么,当n=k+1时,++…++<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.证法二:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则ln>.故有ln2-ln1>,ln3-ln2>,……ln(n+1)-ln n>,上述各式相加可得ln(n+1)>++…+.结论得证.证法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而++…+是图中所示各矩形的面积和,∴++…+>dx=dx=n-ln(n+1),结论得证.6.(2014江西,21,14分)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数.A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记ξ=a2-a1,η=b2-b1.(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由.解析(1)当n=3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有=20种,所以ξ的分布列为Eξ=2×+3×+4×+5×=.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,…,2n-2.又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有2种,所以当n=2时,P(C)==,(3)由(2)知当n=2时,P()=,因此P(C)>P(),而当n≥3时,P(C)<P().理由如下:①用数学归纳法来证明:1°当n=3时,①式左边=4×(2+)=4×(2+2)=16,①式右边==20,所以①式成立.那么,当n=m+1时,即当n=m+1时①式也成立.综合1°,2°得,对于n≥3的所有正整数,都有P(C)<P()成立.评析本题主要考查随机变量的分布列、数学期望及概率和数学归纳法,同时考查学生的逻辑推理能力及分析、解决问题的能力.属难题.7.(2012上海,23,18分)对于数集X={-1,x1,x2,…,x n},其中0<x1<x2<…<x n,n≥2,定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}.若对任意a1∈Y,存在a2∈Y,使得a1·a2=0,则称X具有性质P.例如{-1,1,2}具有性质P.(1)若x>2,且{-1,1,2,x}具有性质P,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1∈X,且当x n>1时,x1=1;(3)若X具有性质P,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,…,x n的通项公式.解析(1)选取a1=(x,2),Y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b).所以x=2b,从而x=4.(2)证明:取a1=(x1,x1)∈Y.设a2=(s,t)∈Y满足a1·a2=0.由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t异号.因为-1是X中唯一的负数,所以s,t之中一为-1,另一为1,故1∈X.假设x k=1,其中1<k<n,则0<x1<1<x n.选取a1=(x1,x n)∈Y,并设a2=(s,t)∈Y满足a1·a2=0,即sx1+tx n=0,则s,t异号,从而s,t之中恰有一个为-1.若s=-1,则x1=tx n>t≥x1,矛盾;若t=-1,则x n=sx1<s≤x n,矛盾.所以x1=1.(3)解法一:猜测x i=q i-1,i=1,2,…,n.记A k={-1,1,x2,…,x k},k=2,3,…,n.先证明:若A k+1具有性质P,则A k也具有性质P.任取a1=(s,t),s,t∈A k.当s,t中出现-1时,显然有a2满足a1·a2=0;当s≠-1且t≠-1时,则s,t≥1.因为A k+1具有性质P,所以有a2=(s1,t1),s1,t1∈A k+1,使得a1·a2=0,从而s1和t1中有一个是-1,不妨设s1=-1.假设t1∈A k+1且t1∉A k,则t1=x k+1.由(s,t)·(-1,x k+1)=0,得s=tx k+1≥x k+1,与s∈A k矛盾.所以t1∈A k,从而A k也具有性质P.现用数学归纳法证明:x i=q i-1,i=1,2,…,n.当n=2时,结论显然成立;假设n=k时,A k={-1,1,x2,…,x k}有性质P,则x i=q i-1,i=1,2,…,k;当n=k+1时,若A k+1={-1,1,x2,…,x k,x k+1}有性质P,则A k={-1,1,x2,…,x k}也有性质P,所以A k+1={-1,1,q,…,q k-1,x k+1}.取a1=(x k+1,q),并设a2=(s,t)满足a1·a2=0.由此可得s=-1或t=-1.若t=-1,则x k+1=≤q,不可能;所以s=-1,x k+1=qt=q i≤q k且x k+1>q k-1,所以x k+1=q k.综上所述,x i=q i-1,i=1,2,…,n.解法二:设a1=(s1,t1),a2=(s2,t2),则a1·a2=0等价于=-.记B=,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.注意到-1是X中的唯一负数,B∩(-∞,0)={-x2,-x3,…,-x n}共有n-1个数,所以B∩(0,+∞)也只有n-1个数.由于<<…<<,已有n-1个数,对以下三角数阵<<…<<<<…<……注意到>>…>,所以==…=,从而数列的通项公式为x k=x1=q k-1,k=1,2,…,n.评析本题属于信息给予题,考查学生探究、发现及推理证明能力.理解题目中的信息是解题关键.。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题解答题专项训练6含答案

2018版高考一轮总复习数学(理)习题解答题专项训练6含答案

解答题专项训练六1。

根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0。

3,0.7,0。

9,求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.解(1)由已知条件和概率的加法公式,有P(X<300)=0.3,P(300≤X〈700)=0.7-0。

3=0。

4,P(700≤X〈900)=0.9-0。

7=0.2,P(X≥900)=1-P(X〈900)=1-0.9=0.1。

所以Y的分布列为所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0。

1=3,D(Y)=(0-3)2×0。

3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0。

2+(10-3)2×0。

1=9.8。

故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8。

(2)由题可得P(X≥300)=1-P(X〈300)=0.7,又P(300≤X<900)=0.9-0.3=0.6。

由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=错误!=错误!=错误!.故在降水量至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是错误!。

2.已知某班n名同学的数学测试成绩(单位:分,满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中a,b,c成等差数列,且成绩在内的有6人.(1)求n的值;(2)若成绩在内的有6人,所以n=错误!=60。

(2)由错误!⇒错误!于是成绩在某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷调查,结果如下表:(1)能否在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业规模有关"?(2)从180家支持节能降耗改造的企业中按分层抽样的方法抽出12家,然后从这12家中选出9家进行奖励,分别奖励中、小型企业每家50万元、10万元,记9家企业所获奖励总数为X万元,求X的分布列和数学期望.附:K2=错误!,n=a+b+c+d解(1)K2=错误!≈3。

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培优练习
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(2017年高考新课标Ⅲ卷)已知椭圆C :22
220)1(x y a b
a b +=>>的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为
A B
C D .
13 【参考答案】A
【解题必备】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)常见的有两种方法:
①求出a ,c ,代入公式e =c a
; ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合222b a c =-转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不
等式)两边分别除以a 或a 2
转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 学霸推荐
1.已知椭圆22
198
x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 是椭圆上一点,且1220F F PF ⋅= ,则1PF 等于
A .103
B .53
C .72
D .52
2.分别过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点F 1、F 2所作的两条互相垂直的直线l 1、l 2的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是
A .(0,1)
B .)2
2,0(
C .[2
D .]2
2,0(
【名师点睛】解答本题的关键是搞清楚焦点三角形是直角三角形,求解时充分借助题设条件,先运用勾股定理建立方程2212||4PF PF -=,再运用椭圆的定义建立方程126PF PF +=,然后再联立这两个方程求得1103
PF =
,从而使得问题获解. 2.【答案】C 【解析】设两直线的交点为M ,令12,MF x MF y ==.由椭圆的定义可得2x y a +=,因为12MF MF ⊥,所以222
4x y c +=. ()()2
222222x y x y xy x y +=++≤+ ,当且仅当x y a ==时取等号,
∴()22424a c ≤,即a ≤,2c a ∴≥,即2e ≥.1e < ,12
e ∴≤<. 故C 正确.。

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