西农大学物理第九章 静电场(作业)概要

dHale Waihona Puke Ro dE
x
sin dE x d 4 0 R
E dE x

0
sin q d 4 0 R 2 0 R 2 2 0 R 2
9.2 一长为L 均匀带电的细棒，带电总量为Q ，求证：在棒的垂 1 Q 直平分线上离棒为a处的场强为： E 2 0 a L2 4a 2 1 dx 解 dq dx dE 4 0 r 2 y dE 由对称性可知： dE y
q
C +q A -q B
q U0 0 4 0 AO 4 0 BO q q q q q UD 6 0 l 4 0 AD 4 0 BD 4 0 3l 4 0 l
将单位正电荷从O点沿弧OCD移 到D点，电场力对它作的功为 将单位负电荷从D点移到无穷 远处，电场力对它作的功为
S
0
E
4 0 r 2
q
R2
在Ⅰ区域 r R1
E 0
若
Q1＝－Q2
E 0
则电场 分布为
Q1 E 4 0 r 2
Q1 在Ⅱ区域 R1 r R2 E 4 0 r 2
在Ⅲ区域 r R2
Q1 Q2 E 4 0 r 2
E 0
解： 电场分布具有轴对称性，以直圆 筒轴线为轴，以任一r为半径，作 一高为l 的闭合圆柱面为高斯面， 由高斯定理有
9.1 如图所示，一均匀带电细棒弯成半径为R 的半圆，已知棒 上的总电量为q，求半圆圆心O 点处的电场强度. y
解： 如图建立坐标系。经对称性分析， Ey= 0 ，合场强沿 x 轴正向。
dq dl Rd dq Rd dE 2 4 0 R 4 0 R 2
场强沿 x 轴正向的分量大小：
U q 该点的电场强度 E U i i 2 2 x 4 0 x L


r
dr
q r13 q qr13 4 3 4 3 0 R 12 0 R 12 0 R R
r1 R
球外电势
U 2 E2 dl
r2


r2
q q dr 2 4 0 r2 4 0 r
r2 R
9.10 核技术应用中常用的盖革－米勒（G－M）计数管的外形 结构如图所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形 电容器．设导线（正极）半径为a，金属圆筒（负极）半径为R， 其间为真空．当两极加上电压U时，求正极附近的场强和金属 圆筒表面附近的场强． 解：设正极的线电荷密度为，作半径为 R r a r R 长度为L的圆柱高斯面， 2a 据高斯定理得距轴心为 r 处的场强 为： E
解
dq 2rdr
1 xdq x rdr dE 2 2 3/ 2 4 0 (r x ) 2 0 (r 2 x 2 )3 / 2
dE
P
x
x R rdr E dE 2 0 0 (r 2 x 2 )3 / 2
x [1 2 2 1/ 2 ] 2 0 (R x )
r
x E [1 2 2 1/ 2 ]i 2 0 (R x )
R
O
如图所示，一“无限长”的圆柱面，其电荷面密度为 cos ，式中 角为半径R与x轴之间的夹角，试求圆柱轴 y 线上一点的场强． 把无限长圆柱面看成一个个无限长带电 解： d 直线，线密度为： R 0cos d o 在圆心处产生的电场强度为： x


2
0
0 2 0
9.5 如图所示，在半径为R1和R2的两个同心球面上，分别均匀地 分布着电荷Q1和Q2，求：（1）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 区域内的场强分布； （2）若Q1=－Q2，情况如何？ 两个均匀带电的同心球面产生的电 解： 场强度分布，由高斯定理可知
Q1
Ⅲ Ⅱ Ⅰ R1
Q2
q 2 E dS E 4r
Ur U2
R2 r
E dl
R2
r
U1 U 2 U1 U 2 dr ln ( R2 r ) r ln R2 R1 ln( R2 R1 )
于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r处( R1 r R2 )的电势为 U1 U 2 Ur ln ( R2 r ) U 2 ln( R2 R1 ) 类似地，则两个圆柱体的空隙中离轴为r处( R1 r R2 )的电势与内 圆柱体之间的电势差为 R1 U U2 U r U1 E d l 1 ln ( R1 r ) r ln( R2 R1 )
2 0 r
R
两极间的电压为 U E dl a a
R
R dr ln 2 0 r 2 0 a
U a ln R a
E
U r ln R a
令r = a得正极附近的场强为 Er a
令r = R得圆筒表面附近的场强为 Er R
U R ln R a
9.11 如图所示，同轴传输线，是由两个很长且彼此绝缘的同轴金 属直圆柱体构成．设内圆柱体的电势为U1，半径为R1，外圆柱体 的电势为U2，内半径为R2．求其间离轴为r处（R1<r<R2）的电势． 解： 设正极的线电荷密度为，作半径为r R1 r R2 长度为l的圆 柱高斯面，据高斯定理得距轴心为 处的场强为： 两圆柱间电压为
l
SE dS E 2r l 0 E 0 1 R1 r R2 的区域 E dS E 2r l 1 l1 E S 0 20 r 1 1 2 r R2 的区域 E d S E 2 r l l ( ) 1 2 E S 0 20 r r R1 的区域 E 0
O
D
AOD q0 U O U D
q 6 0 l q 6 0 l
AD q0 U D U
9.9 一半径为R的带电球体，球体内电荷体密度分布为r＝qr R 4 求：（1）带电球体的总电量；（2）球体内外各点的电场强度； （3）球体内外各点的电势． 解： (1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳， r1 该壳内所包含的电荷为 r R dq = rdV = qr 4πr2dr/(π R4) = 4qr3dr/R4 dr 则球体所带的总电荷为 (2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有
U U1 U 2
R1
E 2 0 r
R2
r
R1
R2
R2 E dl ln 2 0 R1
R2 R1
l
U U1 U 2 rE ln
U1 U 2 E r ln( R2 R1 )
则两个圆柱体的空隙中离轴为r处( R1 r R2 )的电势与外圆柱体 之间的电势差为
E y dE y
y
dE y
dE
P
dEx

1 1
sin d 4 0a
1
r

a
O
2
cos1 2 0a
因为： Q
L
cos 1 L L 2 2 a ( ) 2
2
dq
x
得：
Ey
Q 20 a 4a 2 L2
9.3 如图所示，设有一均匀带电薄圆盘，半径为R，电荷面密度 为，求圆盘轴线上的场强分布函数.
4r E 2 q / 0 得 E 2 (r2>R) 2 4 r 0 2 E 2 方向沿半径向外．
2 2
q
r2
r1
R
(3) 球内电势
U1 E1 dl
r1 R R
qr 2 q d r dr E2 dl r 4 2 R 4 r 1 4 R 0 0 R
dq qdl dU P 4 0 x l 8 0 L x l
整个杆上电荷在P点产生的电势 L q L q dl q x L ln x l UP ln L 8 0 L L x l 8 0 L 8 0 L x L
Ex 0
P
dE y dE sin
由图上的几何关系
dEx
1
r

a
O
2
x acot
dq
x
dx a csc d
2
r a x a csc
2 2 2 2 2
1 dx 1 dE d 2 4 0 r 4 0 a
dE y sin d 4 0 a
9.4
0 cosd dE 2 0 R 2 0 0cos 2d 0cos sin d dE x dE y 2 0 2 0
Ex
2 0
2
dE
R
dE x
2
0
E y dE y 0
0
0cos 2d 0 sin 2 4 2 0 2 0 2 0 E i 2 0
9.8 如图所示，AB = 2l，OCD是以B点为圆心，l 为半径的半 圆．A点有正电荷+q，B点有负电荷-q .（1）将单位正电荷从O点 沿弧OCD移到D点，电场力对它作了多少功？（2）把单位负电荷 从D点沿AB的延长线移到无穷远去，电场力对它作了多少功？
电场力做功与路径无关，取决于始末位置 解： 的电势。以无穷远处为电势零点，则
Q rdV 4q / R
V

4
r dr q
r 3 0
4r12 E1
得
1
0

r1
0
4 qr qr 2 1 4 r d r R 4 0 R4
qr12 E 1 4 0 R 4
(r1≤R)
E1 方向沿半径向外
在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有