江西省高安市第二中学年高一数学下学期期末考试试题

高安二中2015-2016学年度（下）高一期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）1. 已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα+=（ ） A ．7 B ．-7 C ．17- D ．172. 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r,则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．103.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a =+,72a =，则5a =（ ）A.12B.12-C.2D.2-4. 设12e e ⋅u r u u r不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（ ） A.12e e +u r u u r 与12e e -u r u u rB. 1232e e -u r u u r 与2146e e -u u r u rC. 122e e +u r u u r 与212e e +u u r u rD. 2e u u r 和12e e +u r u u r5.若()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0)ω>的最小正周期为π，(0)2f =，则（ ） A. ()f x 在(,)44ππ-单调递增 B. ()f x 在(,)44ππ-单调递减C.()f x 在(0,)2π单调递增D. ()f x 在(0,)2π单调递减6.若x 、y 满足约束条件22121x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩且向量(3,2)a =r ，(,)b x y =r ，则a b ⋅r r 的取值范围是（ ）A.[54,4]B.[72,5]C.[54,5]D.[72,4] 7..函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是( ) A.24πB.12π C. 8πD.1124π8. 若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ） A ．33 B ．33- C ．539 D ．69-图 3ECBDA9. 在等比数列{}n a 中，若123423159,,88a a a a a a +++==-则12341111a a a a +++= ( )A ．53 B ．53- C ．35 D ．35- 10. 设二元一次不等式组8021402190x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为M ，使函数2y ax =的图像过区域M 的a 的取值范围是 （ ）A ．85[,]92 B ．5[,9]2 C ．-9∞（，）D ．8[,9]911. 等差数列{}n a 的前n 项和是n S .若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥),则必定有 （ ）A ．0m S >,且10m S +<B ．0m S <,且10m S +>C ．0m S >,且10m S +>D ．0m S <,且10m S +<12. 已知数列{}n a 满足：())2(log 1+=+n a n n 定义使12k a a a ⋅⋅⋅L 为整数的数()*∈N k k 叫做希望数，则区间[]2012,1内所有希望数的和M= （ ）A ．2026B ．2036C ． 2046D ．2048二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13. 已知向量(1,3)a =r ,(3,)b y =r ，若向量,a b r r 的夹角为6π，则b r 在a r 方向上的投影是______.14. 如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = .15. 已知函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 且的图象恒过定点,A 若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 16. 设数列{}),1(,N n n a n ∈≥满足,6,221==a a 且()2)(112=---+++n n n n a a a a ,若[]表示不超过x 的最大整数，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++201621201620162016a a a Λ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17. 设函数αααcos 3sin )(+=f ，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点),(y x P ，且πα≤≤0. （1）若P 点的坐标为)1,3(，求)(αf 的值；（2）若点),(y x P 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥+11y x y y x 上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数)(αf 的最小值和最大值.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23C π=,且22()(23)a b c bc --=-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1cos21a B ⋅=，且248,,a a a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19.如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，3AC DC =．（Ⅰ）若30DAC ∠=o ，求角B 的大小；（Ⅱ）若2BD DC =，且22AD =，求DC 的长．20. 数列{}n a 前n 项和为n S ，114,224n n a a S n +==-+． （1）求证：数列{}1n a -为等比数列； （2）设11n n n n a b a a +-=，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：81n T <．21. 某个公园有个池塘，其形状为直角百米百米，12,90,===∠∆︒BC AB C ABC (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在CA BC AB ,,上取点,,,F E D 如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在DEF ∆喂食，求DEF S ∆的最大值；22.在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(,)a b ，点B 的坐标为(cos ,sin )x x ωω，其中0ω>.设()f x OA OB =⋅u u u r u u u r .(Ⅰ)记函数()y f x =的正的零点从小到大构成数列{}()n a n N *∈，当3,1,2a b ω===时，求{}n a 的通项公式与前n 项和n S ；(Ⅱ)令1ω=，22,(1)a t b t ==-，若不等式()0f ab θ->对任意的[]0,1t ∈恒成立，求θ的取值范围.高安二中2015-2016学年度（下）高一期末考试数学试卷答案命题人: 徐节槟一、选择题1-5:DCABD 6-10: CACBD 11—12 AA二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13． 3 14.221, 15. 8 16 ，2015 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17. 【答案】（1）由三角函数的定义，得21sin =α，23cos =α，故223321cos 3sin )(=⨯+=+=αααf . （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示，其中)1,0(A ，)21,21(B ，)1,1(C ，于是24παπ≤≤.又)3sin(2cos 3sin )(παααα+=+=f ，且653127ππαπ≤+≤, 故当653ππα=+，即2πα=时，)(αf 取得最小值，且最小值为1．当1273ππα=+，即4πα=时，)(αf 取得最大值，且最大值为262+.18. 【解析】（Ⅰ）由22()(23)a b c bc --=-得2223a b c bc --=-，所以2223cos 2b c a A bc +-==，………………………………3分 6A π∴=,由23C π=,得6B π=………………………………6分 （Ⅱ）设{}n a 的公差为d ，由(I)得112cos3a π==，且2428a a a =,2111(3)()(7)a d a d a d ∴+=++，又0d ≠,2d ∴=,2n a n ∴=…………9分14n n a a +∴111n n =-+11111122311n nS n n n ∴=-+-+⋅⋅⋅+-=++……………………12分 19．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，根据正弦定理，有sin sin AC DCADC DAC=∠∠. 因为3AC DC =，所以3sin 3sin ADC DAC ∠=∠=………………3分 又οο6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ，所以120ADC ∠=° 于是οοοο3030120180=--=∠C ，所以60B ∠=°………………6分 （Ⅱ）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，3AC x =于是3sin AC B BC ==，6cos B =，6AB x =………………9分 在ABD ∆中，由余弦定理，得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，即22226(22)6426223x x x x x =+-⨯⨯⨯=，得2x = 故2DC =………………12分20．【答案】解：（1）11224,2:22(1)4n n n n a S n n a S n +-=-+∴≥=--+Q12:32n n n a a +∴≥=- 又2122410a S =-+=11:32n n n a a +∴≥=-111130,10,31n n n a a a a +--=≠∴-≠∴=-Q故数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列（2）由（1）13,31,nnn n a a -=∴=+ 113111()(31)(31)23131n n nn n n b ++∴==-++++ 122311111111()2313131313131n n n T +∴=-+-++-++++++L ＝1111()2431n +-+ 1,818n n T T ∴<∴<21.22. 【答案】(Ⅰ)由题得()cos sin f x OA OB a x b x ωω=⋅=+u u u r u u u r3cos 2sin 2x x =+2sin(2)3x π=+.由2sin(2)02,3362k k x x k x k Z πππππ+=⇒+=⇒=-+∈. 当1k =时10623x πππ=-+=>，且12k k x x π+-=（常数），∴{}n a 为首项是13a π=，公差为2π的等差数列. ∴,62n n a n N ππ*=-+∈. ∴21()()362(),22124412n n n na a n n S n n n n N πππππππ*-++===+=+∈.2由题得()f ab θ-=22cos (1)sin (1)t t t t θθ+---2(1sin cos )(2sin 1)sin t t θθθθ=++-++∴题意等价于2(1sin cos )(2sin 1)sin 0t t θθθθ++-++>对任意的[]0,1t ∈恒成立.令0,1t t ==，得sin 0,cos 0θθ>>.12sin 22sin 2cos θθθ+<++Q ，∴对称轴12sin 122sin 2cos t θθθ+=<++恒成立.∴对称轴落在区间(0,1)内.∴题意等价于2sin 0cos 0,(2sin 1)4(1sin cos )sin 0θθθθθθ⎧>⎪>⎨⎪∆=+-++<⎩得sin 0cos 01sin 22θθθ⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪>⎩. 11122233322,22,225,1212k k k z k k k z k k k z πθπππππθππππθπ⎧⎪<<+∈⎪⎪⇒-+<<+∈⎨⎪⎪+<<+∈⎪⎩333522,1212k k k z πππθπ⇒+<<+∈. ∴θ的取值范围是52,2,1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。