山东省师大附中2017届高三第八次模拟考试数学(文)试题
【Word版解析】山东省师大附中2013届高三上学期期中考试 数学文试题
(山东师大附中2010级高三模拟考试)数学（文史类）2012.11.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目盯求的.1.设集合{}{}()2,1,0,1,2,1,2,{212},U U A B A C B =--==--⋃，，则等于 A.{}1 B.{}1,2 C.{}2 D.{}0,1,2【答案】D【解析】()={0,1}U C B ，()={0,1,2}U A C B ⋃，选D. 2.命题“,xx R e x ∃∈<”的否定是 A.,xx R e x ∃∈>B.,xx R e x ∀∈≥C.,xx R e x ∃∈≥D.,xx R e x ∀∈>【答案】B【解析】特称命题的否定为全称命题，所以B 正确.3.“1a =”是“函数()243f x x ax =-+在区间[)2,+∞上为增函数”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】函数()243f x x ax =-+在区间[)2,+∞上为增函数,则满足对称轴4222a a --=≤，即1a ≤，所以“1a =”是“函数()243f x x ax =-+在区间[)2,+∞上为增函数”的充分不必要条件，选B. 4.函数()()112122x x f x ⎡⎤=+--⎣⎦的图象大致为【答案】A【解析】()()2,211121221,21x x x xxf x ⎧<⎪⎡⎤=+--=⎨⎣⎦>⎪⎩，即()2,01,0x x f x x ⎧<=⎨>⎩，选A.5.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A.0B.BEC.ADD.CF【答案】D【解析】因为BA DE =,所以BA CD EF CD DE EF CF ++=++= ,选D.6.已知()cos tan 2,cos 2πααπα+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭则的值为A.12-B.2-C.12D.2【答案】C 【解析】()cos cos 11sin tan 2cos 2πααπααα+-===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，选C.7.为得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A.向左平移2π个长度单位 B.向右平移2π个长度单位 C.向左平移4π个长度单位D.向右平移4π个长度单位【答案】C【解析】因为sin 2cos(2)cos(2)cos 2()224y x x x x πππ==-=-=-，所以为了得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，选C. 8.在ABC ∆中，cos cos cos sin sin cos sin sin 2A B A B A B A B ⋅+⋅++⋅=，则ABC∆是A.等边三角形B.等腰非等边的锐角三角形C.非等腰的直角三角形D.等腰直角三角形 【答案】D【解析】由cos cos cos sin sin cos sin sin 2A B A B A B A B ⋅+⋅++⋅=得cos()sin()2A B A B -++=,因为1cos()1,1sin()1A B A B -≤-≤-≤+≤，所以必有cos()1A B -=且sin()1A B +=，所以A B =且2A B π+=,所以2C π=,即ABC ∆是等腰直角三角形，选D.9.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()()[]1,1,0f x f x f x +=--若在上是增函数，那么()[]1,3f x 在上是 A.增函数 B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数【答案】C【解析】由()()1,f x f x +=-得()()2,f x f x +=即函数()f x 的周期为2，因为()f x 是偶函数，且在[1,0]-上是增函数，所以在[0,1]是减函数，所以()[]1,2f x 在上递增，在[2,3]上递减，选C.10.首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A.209d >B.52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 【答案】C【解析】由题意知数列{}n a 满足10900a a >⎧⎨≤⎩，即20902080d d -+>⎧⎨-+≤⎩，所以20952d d ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即20592d <≤，选C. 11.在等比数列{}375,2,8,n a a a a ===则 A.4± B.4 C.4-D.5【答案】B【解析】因为，因为225320a a q q ==>，又253716a a a ==，所以54a =，选B. 12.方程3269100x x x -+-=的实根个数是 A.3 B.2 C.1D.0【答案】C【解析】设32()6910f x x x x =-+-，2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--，由此可知函数的极大值为(1)60f =-<，极小值为(3)100f =-<，所以方程3269100x x x -+-=的实根个数为1个.选C.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题横线上. 13.sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间为____________________. 【答案】37[,]()88k k k Z ππππ++∈ 【解析】由3222242k x k πππππ+≤-≤+，得3788k x k ππππ+≤≤+，即函数的单调减区间为37[,]()88k k k Z ππππ++∈.14.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC AE AF λμ=+，其中,,R λμλμ∈+=则____________. 【答案】43【解析】因为E和F分别是边CD和BC的中点，所以11(),()22AE AD AC AF AB AC =+=+ ,又AC AE AFλμ=+，所用111()()(2)222AE AF AD AC AB AC AC AD AB +=+++=++,又AD AB AC += ,所以32AE AF AC += ，即2233AC AE AF =+ ，所以23λμ==，所以43λμ+=.15.与向量()3,4a =垂直的单位向量的坐标是___________.【答案】 43(,)55-或43(,)55-【解析】设向量坐标为(,)x y ，则满足223401x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即所求向量坐标为43(,)55-或43(,)55- 16.下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点； ④若()1cos 2226k k Z πααπ==±∈则； ⑤函数()sin 0,2y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭在上是减函数. 其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的编号） 【答案】 ①【解析】442222sin cos (sin cos )(sin cos )y x x x x x x =-=-+22(sin cos )cos 2x x x =-=-，周期为π，所以①正确；②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，错误；③错误；④由()1cos 2226k k Z πααπ==±∈则2，即()12k k Z παπ=±∈，错误；⑤sin()cos 2y x x π=-=-，在(0,)π上单调递增，所以⑤错误，综上真命题的序号为①，三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列 （1）求{}n a 的公比q ； （2）求133,n a a S -=求.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}1236810,27,63n a a a a a a a ++=++=中 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n an b =，求数列{}n b 的前n 项的和S n .19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin2A =b 和c 的等比中项.（1）求ABC ∆的面积； （2）若c=2，求a 的值.20.（本小题满分12分）锐角ABC ∆中，已知A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且)t a n t a n 1t a n t a n3A B A B -=+ （1）若222c a b ab =+-，求A 、B 、C 的大小；（2）已知向量()()sin ,cos ,cos ,sin ,32m A A n B B m n ==-求的取值范围.21.（本小题满分12分）设函数()32221f x x mx m x m =---+-（其中2m >-）的图象在2x =处的切线与直线512y x =-+平行. （1）求m 的值和该切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.22.（本小题满分14分） 设()1xf x e ax =--（1）若()f x 在[],0-∞上单调递减，在[]0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）设()222g x x x =-+-，在（1）的条件下，求证：()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.。
山东师大附中2017-2018学年高三上学期第三次模拟数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：q：若函数f （x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列为真的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．67．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．设=（）A．B．C．D．210．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．13．设=．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．2015-2016学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【解答】解：∵A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，∴a=4或a2=4，即a=2或﹣2，当a=2时，A={2，4，﹣2}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=﹣2时，A={﹣2，4，﹣2}，与集合互异性矛盾，舍去，则a=4，故选：C．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，得到复数z对应点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴复数z=（1+2i）2对应的点的坐标为（﹣3，4），位于第二象限．故选：B．3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若=，则•（﹣）=0成立，必要性成立，若•（﹣）=0得•=•，则=不一定成立，充分性不成立．故“•（﹣）=0”是“=”的必要而不充分条件，故选：B．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：q：若函数f （x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列为真的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q【考点】复合的真假．【分析】复合的真假判定，解决的办法是先判断组成复合的简单的真假，再进一步进行判断，则答案可求．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），∴函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，∴p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f （x﹣1）向左平移了1各单位，∴f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，∴q假，则￢q真．综上可知，￢p∧￢q为真．故选：B．6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．6【考点】简单线性规划．【分析】设z=•=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D7．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．9．设=（）A．B．C．D．2【考点】数列与向量的综合．【分析】运用三角函数的诱导公式，化简向量，，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：=（cos，sin+cos）=（cos，﹣sin+cos）=（，），=（cos，sin+cos）=（cos0，sin0+cos0）=（1，1），即有•=×1+×1=﹣．故选：B．10．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，由ax+2a﹣f（x）=0等价为f（x）=a（x+2），利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价为f（x）=a（x+2）有四个不相等的实数根，即函数y=f（x）和g（x）=a（x+2），有四个不相同的交点，∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=﹣2x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=﹣2x=f（x），即f（x）=﹣2x，﹣1≤x≤0，作出函数f（x）和g（x）的图象，当g（x）经过A（1，2）时，两个图象有3个交点，此时g（1）=3a=，解得a=当g（x）经过B（3，2）时，两个图象有5个交点，此时g（3）=5a=2，解得a=，要使在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则，故选：A二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的性质列出方程组，求出首项和公比，即可求出S5的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，前n项和为S n，a5=，a6+a7=3，∴，解得q=2，a1=，∴S5===．故答案为：．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π13．设=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】由三角函数公式化简可得sin（α﹣β）=sin（﹣α），由角的范围和正弦函数的单调性可得．【解答】解：∵α，β∈（0，），且tanα=，∴=，∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=cosα，∴sin（α﹣β）=cosα=sin（﹣α），∵α，β∈（0，），∴α﹣β∈（﹣，），∴﹣α∈（0，），∵函数y=sinx在x∈（﹣，）单调递增，∴由sin（α﹣β）=sin（﹣α）可得α﹣β=﹣α，变形可得2α﹣β=故答案为：．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【考点】余弦定理的应用．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为5．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据条件可以求出，可分别以线段AB，AC所在直线为λ轴，μ轴，建立坐标系，然后以向量为一组基底，可得到P（λ，μ），根据条件λ，μ≥0时便有0≤λ+μ≤1，这样便可得到对应的P点所在区域为△ABC及其内部，并可求出S△AB C，而λ，μ≤0，﹣1≤λ+μ≤0时便可得到对应的点P所在区域面积等于S△AB C，这样即可求出点P 所在平面区域的面积．【解答】解：，；∴；∴；如图，分别以边AB，AC所在的直线为λ轴，μ轴建立如图所示坐标系：以向量为一组基底，则P点的坐标为P（λ，μ）；若λ≥0，μ≥0，则0≤λ+μ≤1，对应的P点所在区域为图中阴影部分所示；；同理，λ≤0，μ≤0时，﹣1≤λ+μ≤0，此时点P所在区域面积应等于；∴点P所在平面区域的面积为5．故答案为：5．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用二倍角公式化简得f（x）=sin（2x+）+，结合正弦函数的单调区间列出不等式解出；（2）根据f（A）=1解出A，代入向量的数量积公式解出AB•AC，代入面积公式．【解答】解：（1）=，令∴f（x）的单调增区间为．（2），，∴．∵=AB•AC•cosA=4，∴AB•AC=8，∴．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=．当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．所以﹣3≤f（x）≤3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PAC⊥平面PDE．（2）求出平面PDE的法向量，利用向师法能求出直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，建立空间直角坐标系，则，，，∴DE⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，∴DE⊥平面PAC，DE⊂平面PDE，∴平面PAC⊥平面PDE．解：（2）设平面PDE的法向量为，，则，设直线PC与平面PDE所成角为θ，，∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{a n+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求S n=b1+b2+…+b n，然后放缩得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=2a n+2，得a n+1+2=2（a n+2），∵a1+2=5≠0，∴，∴{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，则，∴；（Ⅱ）解：，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得：．∴；∵，∴{S n}单调递增，则，∴．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）通过x≥1与0＜x＜1，化简函数的表达式，求出函数的导数，判断导数的符号，推出函数的单调性．（II）利用x≥1，转化f（x）≥a（x﹣1）为（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0，构造函数g（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），求出函数的导数，利用（I）的结果，推出a的范围．【解答】解：（I）当，f（x）在（1，+∞）上递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，，f′（x）在（0，1）递增，f′（x）＜f′（1）=﹣2＜0，f（x）在（0，1）上递减所以f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）x≥1，f（x）=（x+1）lnx，f（x）≥a（x﹣1）⇔（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0设由（I）知，g′（x）在（1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=2﹣a若2﹣a≥0，即a≤2，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上递增，∴g（x）≥g（1）=0，所以不等式成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞2，存在x0∈（1，+∞），使得g′（x0）=0，当x∈[1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，∴g（x）＜g（1）=0，这与题设矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，a≤2．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明；比较法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知≤，令x=n可得＜，即为＜=﹣，运用累加法，即可得证；（Ⅲ）由题意可得f（b）﹣mb＜f（a）﹣ma，即有函数上是减函数，求出导数h′（x）≤0在（﹣1，0）恒成立，求出导数，可得最大值，即可得到所求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为，当x＜0，f'（x）＞0，f（x）递增；x＞0，f'（x）＜0，f（x）递减．即有x=0处取得最大值，即f（x）≤f（0）=1，∴f（x）ma x=1；（Ⅱ）证明：由（1）知，，，则；（Ⅲ）当，即函数上是减函数，，，当x∈（﹣1，1），u′（x）＜0，u（x）递减；x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）递增．则，u（x）＜u（﹣1）=e，所以m≥e，即m的最小值为e．2016年7月3日。
山东省师大附中2017-2018学年高二下学期第八次学分认定(期末)考试数学(理)试题含答案
山东师大附中2016级第一次模拟考试数学试题（理科）命题人孙宁审核人王秀梅本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则A．B．C．D．2．已知集合，，则A．B．C．D．3．已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数4．设满足约束条件则目标函数的最小值是A．B．C．D．5．函数的最小正周期为A．B．C．D．6．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，记下所抽取数字后放回，再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的概率为A．B．C．D．8．展开式中的系数为A．15 B．20C．30 D．359．执行下面的程序框图，为使其输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5 B．4C．3 D．210．记为等差数列的前项和．若，，则数列的公差为A．1 B．2 C．4 D．811．已知双曲线（）的离心率为，则点到的渐近线的距离为A．B．C． D．12．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最大值为___________.14．设等比数列满足a1 –a3 = –3，则前4项的和= ___________. 15．已知函数，曲线在点处的切线方程为___________. 16．正方体的棱长为1, 若的平面截正方体得到的截面是六边形，则这个六边形的的周长为___________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必做题60分17．（本题满分12分）△的内角的对边分别为，已知，，求△的面积．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.19．（本题满分12分）已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.20．（本题满分12分）近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60,商品和快递都满意的交易为80（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有99%认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.附：，21．（本题满分12分）设函数（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）恒成立，求实数的范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数，.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.山东师大附中2016级第一次模拟考试数学试题（理科）命题人孙宁审核人王秀梅本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
山东省山东师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期第三次模拟考试文数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈，则集合M N ⋂=（ ） A. {}0B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,2【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得{0,2,4}N =，所以{0,2}M N = ，故选D ． 考点：集合的交集运算．2.若,a b c >∈R ，则下列中成立的是（ ） A. 22ac bc ≥ B.1ab> C.11a b< D. ac bc >【答案】A考点：不等式的性质．3.在等比数列{}n a 中，若2345894,16,a a a a a a +=+=+=则（ ） A.128B. 128-C.256D. 256-【答案】C 【解析】试题分析：因为2245232323()4a a q a a q a a a a ++===++，所以48945()1616256a a q a a +=+=⨯=，故选C ．考点：等比数列的通项公式．【一题多解】由题意，得2113411416a q a q a q a q ⎧+⎪⎨+⎪⎩==，解得1232a q ⎧⎪⎨⎪⎩==或122a q ⎧⎨⎩==-，所以7891(1)256a a a q q +=+=．4.已知()21tan ,tan tan 5444ππαββα⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么等于（ ）A.1318B.1322C.322D.16【答案】C 【解析】 试题分析：()()()21tan tan()3544tan()tan[()]2144221tan tan()1454παββππααββπαββ-+--+=+--===++-+⨯，故选C ．考点：两角和与差的正切．5.已知某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过（ ） A. ()5,36 B. ()5,35C. ()5,30D. ()4,30【答案】A考点：回归直线方程． 6.若()()121log 21f x x =+，则()f x 的定义域为（ ）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. ()1,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得211210x x +≠⎧⎨+>⎩，解得12x >-且0x ≠，故选C ．考点：函数的定义域．7.函数()3cos391x x xf x ⋅=-的图象大致为（ ）【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又()3cos(3)3cos3()9191x x x x x xf x f x --⋅-⋅-===---，所以()f x 为奇函数，排除A ；由于cos3x 的符号呈周期性变化，所以函数的符号也呈周期性变化，排除C ；当(0,)6x π∈时，()0f x >，排除C ，故选D ．考点：1、函数的图象；2、函数的单调性；3、函数的周期性．【方法点睛】求关于函数图象的问题常用方法有：第一，利用函数奇偶性进行排除(即看函数图象有无对称性)；第二，利用函数的单调性；第三，排除法即用特殊值代入检验；第四，极限思想等，可谓是解决函数图象题的4件法宝． 8.已知()3sin f x x x π=-，():0,,02p x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则（ ） A.p 是真：():0,,02p x f x π⎛⎫⌝∀∈> ⎪⎝⎭ B. p 是真：()00:0,,02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C. p 是假：():0,,02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D. p 是假：()00:0,,02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】B考点：1、真假的判定；2、全称例题的否定；9.设,x y 满足约束条件231,1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 3x ≥B. 4y ≥C. 280x y +-≥D. 210x y -+≥【答案】C 【解析】试题分析：,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≤⎨⎪≥+⎩的区域如图所示，整个区域在直线280x y +-=的上方，所以选C ．考点：简单的线性规划问题．10.如图所示，两个不共线向量,OA OB u u r u u u r的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(),OC xOA yOB x y =+∈R uuu r uu r uu u r，则22x y +的最小值为（ ）B.18D.12【答案】B考点：1、平面向量的加减运算；2、向量共线．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.【答案】80考点：1、空间几何体的三视图；2、棱锥与正方体的体积．【方法点睛】根据三视图求几何体的体积分两种情况：（1）如果三视图表示的几何体为简单的几何体，那么只须确定出底面积和高即可；（2）如果三视图表示的几何体为组合体，那么要明确组合体是如何由简单几何体构成的（左右、上下、前后型，还是嵌入型等），然后分别根据三视图提供的数据计算出各个几何体的体积，再利用加减可求得组合体的体积． 12.设()()00ln ,2,f x x x f x x '===若则_______. 【答案】e 【解析】试题分析：因为()ln 1f x x '=+，所以00()ln 12f x x '=+=，解得0x e =． 考点：导数的运算．13.已知长方形ABCD 中，4,1,AB BC M AB ==为的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为_________.【答案】8π 【解析】试题分析：以M 点为圆心，以1为半径在长方形ABCD 中作半圆，则该半圆内的任一点与M的距离小于1，所以所求概率为2112418P ππ⨯⨯==⨯．考点：几何概型．14.已知整数的数对排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对是________. 【答案】（5，7）考点：归纳推理．15.已知定义在R 上的函数()f x 满足：①图象关于()1,0点对称； ②()()11f x f x -+=--；③当[]1,1x ∈-时，()[](]21,1,0,c o s ,0,1,2x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩则函数()[]1332xy f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间，上的零点个数为__________.【答案】5个 【解析】试题分析：因为(1)(1)f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线1x =-对称．又()f x 图象关于点(1,0)对称，作出函数()f x 与||1()()2x g x =在[3,3]-上的图象，如图所示，由图可知，零点个数为5个．考点：1、函数的零点；2、函数的图象．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量()()c o s ,c o s ,,2m A B n a c b ==-u r r ，且//m n u r r .（I ）求角A 的大小；（II ）若4a ABC =∆，求面积的最大值． 【答案】（I ）3A π=；（II ）34（II ）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34． 考点：1、正余弦定理；2、三角形的面积公式；3、基本不等式；4、平面向量平行的充要条件；5、两角和与差的正弦．【技巧点睛】(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；(2)在三角形中，注意隐含条件π=++C B A ；（3）选择面积公式时一定选择与已知条件或所求问题中的相关边或角紧密联系的面积公式．17.（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下： 男生:女生:6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；（II ）完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？()()()()()22=n ad bc x n a b c d a b c d a c b d ⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪++++⎝⎭，其中 【答案】（Ⅰ）35；（Ⅱ）没有把握.（Ⅱ）220(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”． 考点：1、古典概型；2、回归分析．【方法点睛】解答古典概型的概率问题一般要做好三个方面：一是明确分辨问题性质，即是不是古典概型问题，如果是，又是哪一类的古典概型问题；二是古典概型的计算公式，一定要掌握公式()P A ＝A kS n=包含的基本事件数中基本事件总数；三是根据公式要求确定n 和k ，找出解题的主要数据．18.（本小题满分12分）已知三棱柱1111ABC A B C CC -⊥中，底面,ABC AB AC =，,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点.（I ）求证：DE 平面ABC ；（II ）求证：平面AEF ⊥平面11BCC B ． 【答案】（1）见解析：（2）见解析．考点：1．证明线面平行；2．证明面面垂直．【方法点睛】证明平行或垂直问题时，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证，而增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂直足等特殊点，利用中位线、高线转化，有面面垂直的条件，则作交线的垂线等等．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD AC BD O ∠=⋂=o，.将菱形A B C D 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，DM =（I ）求证：OD ⊥面ABC ； （II ）求M 到平面ABD 的距离. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）7213．ABM ∆的面积为239233621120sin 21=⨯⨯⨯=︒⨯⨯=∆BM BA S ABM ． 又∵在BOD Rt ∆中3==OD OB 得23=BD 错误！未找到引用源。
【全国百强校】山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试理数(原卷版)
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2zi i =-，i 为虚数单位，则z =（ ）A ． 2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --2.已知集合1{|()1}2x A x =≤，2{|280}B x x x =--≤，则A B = （ ）A ．{|20}x x -≤≤B ．{|24}x x ≤≤C ．{|04}x x ≤≤D ．{|2}x x ≤-3.直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（ ）A ．272B ． 9C ． 92D ．2744.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于直线12x π=对称C. 关于点5(,0)12π对称 D ．关于直线512x π=对称 5.下列说法错误的是（ ） A ．对于命题2:,10p x R x x ∀∈++>，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤ B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a c C. ,c b D ．,b d7.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线段的中点的轨迹方程是（ ）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C. 22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ． 29 B ． 31 C. 33 D ．36 9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N ，12||2||PF PF =，且260MF N ∠= ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B D 10.已知函数()f x 满足1()()f x f x =，且当1[,1]x π∈时，()ln f x x =，若当1[,]x ππ∈时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln [,0]ππ- B ．1[,]2ππ-- C. 1ln [,]πππ- D ．[ln ,0]ππ-第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知实数,x y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则3y x -的最小值为 ． 12.若经过抛物线24y x =焦点的直线l 与圆22(4)4x y -+=相切，则直线l 的斜率为 ．13.已知1sin()cos 63παα--=，则cos(2)3πα+= ． 14.函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则5[()]2f f = ． 15.在ABC ∆中，点D 满足34BD BC = ，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+ ，则1λμ+的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（1）求角C ；（2）若c =ABC ∆ABC ∆的周长． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，14CC AB AC BC ====，D 为线段AC 的中点．（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1D C CB -的体积．18. 已知正项数列{}n a 满足11a =，且*1()21n n n a a n N a +=∈+． （1）证明数列1{}na 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n nb n a a +=- ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠= ，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --大小为30 ，求线段QM 的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点(-在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB =- 恒成立，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数2()2ln f x m x x =-，()2ln x g x e m x =-，()m R ∈，ln 20.693=．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：2e m >．。
山东师大附中2017届高三上学期第二次模拟数学试卷(文
2016-2017学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅2．函数的定义域为（）A．[0，1]B．（0，1） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．B． C．D．4．“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（）A．充分必要条件B．既不充分又不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件5．若函数f（x）=log a（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠07．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（）A．B．C．D．8．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜010．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分11．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{a n}的通项公式为．12．设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为．13．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．14．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．15．直线y=m（m＞0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2），下列结论正确的是（填序号）①0＜x1＜1＜x2；②x1x2=1；③2+2＜4；④2+2＞4．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求sin2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）求证：平面AEF⊥平面BCC1B1．19．用部分自然构造如图的数表：用a ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N+），使得a i1=a ii=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．设第n（n ∈N）行的第二个数为b n（n≥2）．+与b n的关系，并求b n（n≥2）；（1）写出b n+1（2）设数列{c n}前n项和为T n，且满足，求证：T n ＜3．20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣1，2]，且函数f（x）在x=1和x=﹣处都取得极值．（I）求实数a与b的值；（II）对任意x∈[﹣1，2]，方程f（x）=2c存在三个实数根，求实数c的取值范围．21．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2016-2017学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．函数的定义域为（）A．[0，1]B．（0，1） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数的真数大于零列出不等式，由一元二次不等式的解法求出解集，可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，解得x＜0或x＞1，所以函数的定义域是（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选D．3．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．B． C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（）=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=f（）==．故选：A．4．“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（）A．充分必要条件B．既不充分又不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3≤3m，解得m即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3≤3m，解得m≥1．∴“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件．故选：C．5．若函数f（x）=log a（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象变换．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=a x+b的图象即可．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a x+b的大致图象是D故选D6．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴∀x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，7．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．【解答】解：∵，∴由，∴，令．故选：C．8．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解答】解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分11．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{a n}的通项公式为a n=2n．【考点】等差数列的通项公式．【分析】数列{a n}是公差d≠0的等差数列，由a2，a4，a8成等比数列，可得=a2a8，利用等差数列通项公式代入解出d即可得出．【解答】解：数列{a n}是公差d≠0的等差数列，∵a2，a4，a8成等比数列，∴=a2a8，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），化为2d2﹣4d=0，解得d=2或d=0（舍）．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．故答案为：a n=2n．12．设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为3．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用条件先求当x≤0时的函数解析式，再求x≤0时f（x）=x的解的个数；最后求当x＞0时方程f（x）=x的解为2．从而得关于x的方程f（x）=x的解的个数为3．【解答】解：当x≤0时f（x）=x2+bx+c，因为f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，所以，得：b=4，c=2，所以当x≤0时f（x）=x2+4x+2，方程f（x）=x，即x2+3x+2=0，解得两根为：﹣1，﹣2．当x＞0时方程f（x）=x，即x=2．则关于x的方程f（x）=x的解的个数为3．故答案为：3．13．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P 到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p====．故答案为：．14．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π15．直线y=m（m＞0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2），下列结论正确的是①②④（填序号）①0＜x1＜1＜x2；②x1x2=1；③2+2＜4；④2+2＞4．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】分别画出两函数的图象，根据图象的性质和基本不等式解题．【解答】解：画出f（x）的图象，该函数先减后增，在x=1处取得最小值0，再画出直线y=m，两图象交于A，B，如右图（A在B左边），此时，A（x1，y1），B（x2，y2），由图可知，0＜x1＜1＜x2，因为y1=y2，所以，﹣log2x1=log2x2，解得x1x2=1，所以x1+x2≥2，根据基本不等式：≥2≥2=4，且x1≠x2，所以，＞4，综合以上分析：①正确；②正确；③错误，④正确；故填：①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据已知求出：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（I）甲班的大众评审的支持票数：62，66，67，67，68，69，72，72，72，76，77，78，81，81，82，85，85，86，88，90．72出现了3次，出现的次数最多，故众数是72，从小到大排列最中间的两个数是76，77，则中位数是76.5．最大数为90，最小值为62，故极差为28，乙班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，73，74，76，78，81，82，84，86，87，88，89，90，91，95，95，98．95出现了2次，出现的次数最多，故众数是95，从小到大排列最中间的数是82，84，则中位数是83．最大数为98，最小值为65，故极差为33，（II）共有6名选手进入决赛，其中有3名拥有“优先挑战权”．所有的基本事件共=20种，符合题意的基本事件有=9种，故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P=17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求sin2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，把cosB的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式求出面积的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理可知，a 2+c 2﹣b 2=2accosB ，由题意知a 2+c 2﹣b 2=ac ，∴cosB=，又在△ABC 中，A +B +C=π，∴sin =cos ，则原式=cos 2+cos2B=+2cos 2B ﹣1=2cos 2B +cosB ﹣=+﹣=﹣；（Ⅱ）∵b=2，sinB=，∴由a 2+c 2﹣b 2=ac 得：a 2+c 2﹣4=ac ，即a 2+c 2=ac +4≥2ac ，整理得：ac ≤，∴S △ABC =acsinB ≤sinB=，则△ABC 面积的最大值为．18．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AB=AC ，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．（I ）求证：DE ∥平面ABC ；（II ）求证：平面AEF ⊥平面BCC 1B 1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I ）要证DE ∥平面ABC ，只需证明DE 平行平面ABC 内的直线DG （设G 是AB 的中点，连接DG ）；（II ）欲证平面AEF ⊥平面BCC 1B 1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF ⊥平面BCC 1B 1即可．【解答】证明：（I ）设G 是AB 的中点，连接DG ，FG则DG EC ，所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，从而DE∥平面ABC．（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AF⊥CC1，∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC又BC∩CC1=C，∴AF⊥平面BCC1B1，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCC1B1．19．用部分自然构造如图的数表：用a ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N+），使得a i1=a ii=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．设第n（n ）行的第二个数为b n（n≥2）．∈N+（1）写出b n与b n的关系，并求b n（n≥2）；+1（2）设数列{c n}前n项和为T n，且满足，求证：T n ＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．=b n+n，n≥2，运用累加法，即可得到b n；【分析】（1）由题意可得b n+1（2）求得n≥2时，c n==2（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和，由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）由已知得b2=2，b n+1=b n+n，n≥2，当n≥2时，b3﹣b2=2，b4﹣b3=3，…，b n﹣b n﹣1=n﹣1，累加得b n﹣b2=2+3+…+n﹣1=（n﹣2）（n+1），则b n=1+n（n﹣1）（n≥2）；（2）证明：由，由（1）可得n≥2时，c n==2（﹣），前n项和为T n=1+2（1﹣+﹣+…+﹣）=1+2（1﹣）=3﹣＜3．20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣1，2]，且函数f（x）在x=1和x=﹣处都取得极值．（I）求实数a与b的值；（II）对任意x∈[﹣1，2]，方程f（x）=2c存在三个实数根，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出f'（x），由题意函数f（x）在x=1和x=﹣处都取得极值．列出方程求解即可．（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，求出f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），求出极值，列出不等式求解即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b…由题意可知，…解得…经检验，适合条件，所以…（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，…由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），…，令（3x+2）（x﹣1）=0，可得x=﹣，x=1；x∈[﹣1，2]，当x∈（﹣1，﹣），x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数是增函数，x∈（﹣，1）时，函数是减函数，函数的极大值为：f（﹣）=c+，f（2）=2+c＞c+极小值为：f（1）=﹣+c，f（﹣1）=＞…∴x∈[﹣1，2]时，可得，∴…21．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a ﹣ae．2017年4月20日。
2024-2025学年山东省济南市山东师大附中高三(上)期中数学模拟试卷(含答案)
2024-2025学年山东师大附中高三（上）期中数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|log 3x <2}，B ={y|y = x }，则(∁R A)∩B =( )A. (0,9)B. [9,+∞)C. {0}∪[9,+∞)D. [0,9)2.若“sinθ=−22”是“tanθ=1”的充分条件，则θ是( )A. 第四象限角 B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角3.已知正数x ，y 满足 9x 2−1+ 9y 2−1=9xy ，则4x 2+y 2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 为△ABC 内的一点，AP =xAB +yAC ，则下列说法错误的是( )A. 若P 为△ABC 的重心，则2x +y =1B. 若P 为△ABC 的外心，则PB ⋅BC =18C. 若P 为△ABC 的垂心，则x +y =716D. 若P 为△ABC 的内心，则x +y =585.数列{a n }满足a 1=1，a n +1+a n =2n +1，若数列{a n +1+1a n ⋅a n +1⋅2a n }的前n 项的和为T n ，则T n >20232024的n 的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 96.已知f(x)=−x 2+2|x|，若关于x 的方程[f(x)]2+mf(x)+n =0(m,n ∈R)恰好有三个互不相等的实根，则实数m 的取值范围为( )A. m <−1B. m ≤0C. m <−1或m >0D. m =0或m <−17.设a =ln 54,b =sin 14,c =0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. c >b >a8.f(x)是定义在[a,b]上的函数，f′(x)为f(x)的导函数，若方程f(x)=f′(x)在[a,b]上至少有3个不同的解，则称f(x)为[a,b]上的“波浪函数”.已知定义在[−4,3]上的函数f(x)=x 3+2x 2+mx +8为“波浪函数”，则实数m 的取值范围是( )A. −565⩽m <−7B. −565⩽m <−4C. −4⩽m <565D. −7⩽m <−4二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东师大附中2014届高三11月期中学分认定考试(数学文)
2013—2014学年第一学期期中学分认定考试（2011级）数学试题（文科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页，考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将所有解答做在答题卡上。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）山东中学联盟1.已知全集{},5,4,3,2,1=U 集合{},2,1=A {},4,3,2=B 则=B A C U )(（ ）A. {}2B. {}4,3C. {}5,4,1D. {}5,4,3,22.“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)+∞,1上为增函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 下列命题中是真命题的个数是（ ）①βαβαβαsin sin )sin(,,+≠+∈∀R②命题01,:2=++∈∃x x R x p ，则命题01,:2≠++∈∀⌝x x R x p ；③R ∈∀ϕ，函数)2sin()(ϕ+=x x f 都不是偶函数④1,0≠>∃a a ，函数x x f a log )(=与x a y =的图像有三个交点A.1B.2C.3D.4 4.设,6.0,7.0,6.01.52.42.4===c b a 则a,b,c 大小关系正确的是（ ）A. c b a >>B. c a b >>C. a c b >>D. a b c >>5. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0( 3)0(log )(2x x x x f x ，则)]41([f f 的值是（ ） A.9 B.91 C.－9 D.－91 6.函数x x n x f +-=221)(的图像关于（ ）对称 A.x 轴 B.y 轴C.原点D.y=x 7.已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. 21<<-aB. 63<<-aC. 63>-<a a 或D. 21>-<a a 或8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A c C a B b cos cos cos 2+=，则角B 等于（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 32π 9.若函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，为了得到函数)(x f 的图象，只要将x y 2sin =的图象是（ ）A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度 10.已知),33(),1,0(x ==，向量与的夹角为3π，则x 的值为（ ） A. 3± B. 3±C.9D.3 11.直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点A （1，3），则2a+b 的值为（ ）A.2B.-1C.1D.-212.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(e2 )0(142)(x 2x x x x x f 的图像上关于原点对称的点有（ ）对 A.0B.2C.3D.无数个卷II （满分90分）二、填空题（每题4分，满分16分）中学联盟网13.若变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤112y y x x y ，则y x 2+的最大值是 。
2017年山东师大附中高考数学模拟试卷(文科)(8)(解析版)
2017年山东师大附中高考数学模拟试卷（文科）（8）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪（）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．设不等式组所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．[5，7]B．（5，7） C．（5，7]D．[5，7）4．已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A．12m3B．C．4m3 D．8m36．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．B．C． D．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于（）A．B．C．D．8．已知向量=（x﹣1，2），=（y，﹣4），若∥，则4x+2y的最小值为（）A．4 B．2 C．2 D．9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日D．12日10．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．第十届中国艺术节在山东济南胜利闭幕，山东省京剧院的京剧《瑞蚨祥》获得“第十四届文华奖﹣﹣文华大奖”，评委给她的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为．12．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=．13．花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为．15．已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设函数f（x）=sin（﹣）﹣2cos2+1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小正周期，并求出函数y=f（x）对称中心的坐标；（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[，2]时的最大值．17．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩小于14秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数；（Ⅱ）请估计本年级这800人中第三组的人数；（Ⅲ）若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取一名学生组成一个实验组，求在被抽出的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率．18．等差数列{a n}中，a2+a3+a4=15，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{×b n}的前n项和S n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（3）求三棱锥P﹣AEF体积的最大值．20．已知椭圆C： +y2=1（常数a＞1）的离心率为，M、N是椭圆C上的两个不同动点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（a，1），B（﹣a，1），满足k OM•k ON=k OA•k OB（k OM表示直线OM的斜率），求|MN|取值范围．21．已知函数f（x）=﹣lnx，m，n∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，求实数n的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间[1，+∞）上最大值；（Ⅲ）若n=1时，函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞2．2017年山东师大附中高考数学模拟试卷（文科）（8）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪（）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，∴﹣1+3i===1+2i，∴=2﹣i，∴z=2+i，∴z的虚部为1，故选：A．3．设不等式组所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．[5，7]B．（5，7） C．（5，7]D．[5，7）【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5≤a＜7故选D．4．已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的定义域为R可知函数y=f（x）的导函数是常数函数，函数y=f（x）不一定是一次函数．【解答】解：“函数y=f（x）是一次函数”⇒“函数y=f（x）的导函数是常数函数”，反之取f（x）=2x，（x＞0），f′（x）=2为常数函数，但是f（x）不是一次函数．5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A．12m3B．C．4m3 D．8m3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，根据底面积乘高再乘，即可得到该几何体的体积．【解答】解：根据三视图得三棱锥，底面为等腰三角形，高为：2．底面积为：（3+1）×3=6，∴体积：6×2=4故选：C6．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．B．C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数式f（x）=sin2x+cos2x化积为f（x）=sin（2x+），然后利用三角函数的图象平移得到y=sin（2x+﹣2φ）．结合该函数为偶函数求得φ的最小正值．【解答】解：∵由f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）．∵所得图象关于原点对称，则﹣2φ=kπ，k∈Z．∴当k=0时，φ有最小正值是．故选：A．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，当k=0时，不满足退出循环的条件，S=，k=1；当k=1时，不满足退出循环的条件，S=，k=2；当k=2时，不满足退出循环的条件，S=，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，S=，k=4；当k=4时，满足退出循环的条件，故输出的S值为，故选：C8．已知向量=（x﹣1，2），=（y，﹣4），若∥，则4x+2y的最小值为（）A．4 B．2 C．2 D．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理及∥，可得x，y的关系式，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵=（x﹣1，2），=（y，﹣4），∥，∴﹣4（x﹣1）=2y，∴2x+y=2，∴2=2x+y，∴4x+2y≥2=2=2=4，当且仅当x=，y=1时取等号，∴则4x+2y的最小值为4，故选：A．9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日D．12日【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．10．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c=a，∴e==．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．第十届中国艺术节在山东济南胜利闭幕，山东省京剧院的京剧《瑞蚨祥》获得“第十四届文华奖﹣﹣文华大奖”，评委给她的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据数据的平均数求出x的值，再利用方差的定义求出方差．【解答】解：由题意知去掉一个最高分99和一个最低分87后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=×（87+94+90+91+90+90+x+91）=91，解得x=4；∴这组数据的方差是：s2=×[（87﹣91）2+（94﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（90﹣91）2+（94﹣91）2+（91﹣91）2]=．故答案为：．12．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）•（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=•=，可得（+）•（+）=2••2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．13．花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是1﹣．【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，记“小花猫距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小花猫与三角形的三个顶点的距离不超过2”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件构成的区域面积，由几何概型可得P（），进而由对立事件的概率性质，可得答案【解答】解：记“小花猫距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小花猫与三角形的三个顶点的距离不超过2”，三边长分别为5m、5m、6m的三角形的面积为S=×6×4=12，则事件构成的区域可组合成一个半圆，其面积为S（）=π×22=2π，由几何概型的概率公式得P（）=；P（A）=1﹣P（）=1﹣；故答案为：1﹣14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为217．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52）=217．可求得100的所有正约数之和为217．故答案为：217．15．已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，则a的取值范围为（﹣∞，0]∪[1，+∞）．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）⇔|f（x）|≤|a2﹣a+2|对x∈[2﹣，2+3]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a2﹣a+2|的最小值，然后解出即可【解答】解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），∵关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+2|对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，故只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|，∵对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x，∴设x∈[﹣，0]，则+x∈[0，]，故f（+x）=∴f（x）=﹣f（+x）=∴当x∈[﹣，0]时，，令f'（x）=0，得，或（舍去）∴f（x）在上单调递增，则[，0]上单调递减，，当x时，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f'（x）=0，得x=1∴f（x）在[0，1]单调递减，在[1，]单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣2，∵对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x），∴，即f（x）为周期函数且周期为T=，∴x∈[2﹣3，2+3]时，f（x）max=2，∴|a2﹣a+2|≥2，解得a≤0，或a≥1故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设函数f（x）=sin（﹣）﹣2cos2+1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小正周期，并求出函数y=f（x）对称中心的坐标；（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[，2]时的最大值．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】（I）根据三角恒等变换化简f（x），利用正弦函数的性质求出周期和对称中心；（II）根据x的范围求出x﹣的范围，利用正弦函数的单调性得出最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin x﹣cos x﹣cos x=sin x﹣cos x=sin（x﹣），故f（x）的最小正周期为T==8，令x﹣=kπ，解得x=+4k，k∈Z，所以函数的对称中心为（+4k，0），k∈Z．（Ⅱ）当x∈[，2]时，x﹣∈[﹣，]，∴当x﹣=时，f（x）取得最大值=．17．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩小于14秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数；（Ⅱ）请估计本年级这800人中第三组的人数；（Ⅲ）若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取一名学生组成一个实验组，求在被抽出的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图先求出成绩小于14秒的频率，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）先求出样本成绩属于第三组的频率，由此能求出本年级800名学生中成绩属于第三组的人数．（3）由题可知第一组中有一女二男，第五组一男三女，利用列举法能求出在被抽出的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】（本题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知成绩小于14秒的频率为0.06所以该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为50×0.06=3（人）．…（2）样本成绩属于第三组的频率为0.38，故本年级800名学生中成绩属于第三组的人数为800×0.38=304（人）．…（3）由题可知第一组中有一女二男，第五组一男三女，设第一组学生为x，1，2，第五组学生为a，b，c，3，（用字母表示女生，用数字表示男生），则所有的抽取结果为：xa，xb，xc，x3，1a，1b，1c，13，2a，2b，2c，23共12种，其中仅有x3，1a，1b，1c，2a，2b，2c表示一男一女共7种．所以所求事件的概率为．…18．等差数列{a n}中，a2+a3+a4=15，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{×b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）先设出公差为d首项为a1，根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，再解方程组；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a n代入b n求出b n，再求出的表达式，根据式子的特点，利用错位相减法求出此数列的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d首项为a1，由题意得，，即，解得a1=1，d=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=3n，∴=n3n，∴S n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①3S n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，②①﹣②得，﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴S n=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（3）求三棱锥P﹣AEF体积的最大值．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）当E 为BC 中点时，由中位线定理可得EF ∥PC ，故EF ∥平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABCD 得PA ⊥BC ，又AB ⊥BC 得BC ⊥平面PAB ，故BC ⊥AF ，由PA=AB 得AF ⊥PB ，故而AF ⊥平面PBC ，于是AF ⊥PE ；（3）当E 与C 重合时，三棱锥E ﹣PAB 的体积最大，即P ﹣AEF 体积最大． 【解答】解：（1）当点E 为BC 的中点时，EF ∥平面PAC ． ∵E ，F 分别是BC ，PB 的中点，∴EF ∥PC ，又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴EF ∥平面PAC ．（2）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ，又PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA ∩AB=B ， ∴BC ⊥平面PAB ，∵AF ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥AF ，∵PA=AB ，F 是PB 的中点， ∴AF ⊥PB ．又PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，PB ∩BC=B ， ∴AF ⊥平面PBC ．∵PE ⊂平面PBC ， ∴AF ⊥PE ．（3）V P ﹣AEF =V E ﹣PAF ===．∴当EB=EC=AD=时，三棱锥P ﹣AEF 的体积取得最大值．20．已知椭圆C ：+y 2=1（常数a ＞1）的离心率为，M 、N 是椭圆C 上的两个不同动点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（a，1），B（﹣a，1），满足k OM•k ON=k OA•k OB（k OM表示直线OM的斜率），求|MN|取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +y2=1（常数a＞1）的离心率为，求出a，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，由条件得：=﹣，x1x2+y1y2=﹣2+1=﹣1，由此能求出|MN|．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +y2=1（常数a＞1）的离心率为，∴=，解得a=，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）∵M、N是椭圆C上的两个不同动点，O为坐标原点，A（a，1），B（﹣a，1），满足k OM•k ON=k OA•k OB，∴A（，1），B（﹣，1），设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，x1x2+y1y2=．平方得：x12x22=4y12y22=（2﹣x12）（2﹣x22），即x12+x22=2﹣x12x22，∴=2﹣=1+，∴|MN|=====．∴|MN|取值范围是[，]．21．已知函数f（x）=﹣lnx，m，n∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，求实数n的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间[1，+∞）上最大值；（Ⅲ）若n=1时，函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞2．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）=1，求出n的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论n的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可；（Ⅲ）求出m=+lnx1=+lnx2，得到=ln，设t=＞1，得到故x1+x2=x1（t+1）=，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=，f′（2）=，由于函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，故=1，解得n=6．（Ⅱ）f′（x）=，（x＞0），由f′（x）＜0时，x＞n；f′（x）＞0时，x＜n，所以①当n≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=m﹣n；②当n＞1，f（x）在[1，n）上单调递增，在（n，+∞）上单调递减，故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（n）=m﹣1﹣lnn；（Ⅲ）证明：n=1时，f（x）恰有两个零点x1，x2，（0＜x1＜x2），由f（x1）=﹣lnx1=0，f（x2）=﹣lnx2=0，得m=+lnx1=+lnx2，故=ln，设t=＞1，lnt=，x1=，故x1+x2=x1（t+1）=，∴x1+x2﹣2=，记函数h（t）=﹣lnt，因h′（t）=＞0，∴h（t）在（1，+∞）递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，又t=＞1，lnt＞0，故x1+x2＞2成立．2017年6月1日。
山东省师大附中2018届高三下学期第八次模拟考试数学(文)试卷(含答案)
山东师大附中2015级第八次模拟考试数 学 试 卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分．考试用时120分钟. 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知全集}4,3,2,1,0{=U ,集合}3,2,1{=A ,}4,2{=B ,则=B A C U)( ( )A ．}4,2,0{B ．}4,3,2{C ．}4,2,1{D ．}4,3,2,0{2、设i 是虚数单位,如果复数i ia ++2的实部与虚部是互为相反数,那么实数a 的值为 ( )A ．31B ．31-C ．3D ．3-3、若)//()2(),2,1(),1,2(b m a b a b a-+-==,则=m ( )A ．12-B ． 12 C ．2 D ．2-4、已知}{n a 是等比数列,若2518,2a a a ==,数列}{n a 的前n 项和为n S ,则n S 为 ( )A ．22-nB ．121-+n C ．221-+n D ．12-n5、已知定义在区间]4,4[-上的函数m x f x+=2)(满足6)2(=f ,在]4,4[-上随机取一个实数x ,则使得)(x f 的值不小于4的概率为 ( )A ．43B ．21C ．83D ．816、将函数3cos sin 2cos 32)(2--=x x x x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值为 ( )A ．125πB ．6πC ．3πD ．32π7、函数x x f xxcos 2121)(⋅+-=的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ． 8、已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形,俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的表面积为（ ） A.73+ B. 731++C. 7321++D. 7231++9、已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两焦点,以线段12F F 为边作正三角形12MF F ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 ( )A. 4+B.C.D.110、右图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图,它输 出的结果S 表示（ ）A ．3210a a a a +++的值 B. 300201023x a x a x a a +++的值 C.303202010x a x a x a a +++的值 D. 以上都不对11、在三棱锥ABC P -中,三条侧棱PC PB PA ,,两两互相垂直,且PBC PAC PAB ∆∆∆,,的面积依次为2,1,1,则三棱锥ABC P -的外接球的半径为 ( )A ． 23B ．3C ．4D ．212、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且)2()2(x f x f -=+,当]0,2[-∈x 时,1)22()(-=xx f ,若在区间)6,2(-内关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a (0>a 且1≠a )有且只有4个不同的根,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．)1,41( B ．)4,1( C ．)8,1( D ．),8(+∞第Ⅱ卷二、填空题 ：本题共4小题,每小题5分,共20分.13、若数列}{n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,且3231-=a a ,则=9S ________.14、曲线x x x y 2ln +=在点)2,1(处的切线方程为 .15、设R ,∈y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-030301x y x y x ,则y x z 3-=的最小值为________．16、已知过点)0,2(p M 的直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于B A ,两点,O 为坐标原点,且满足3-=⋅,则当BM AM 4+最小时,则=AB ________．三、解答题：本题有6小题,共70分. 解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17、(本题满分12分)已知ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为，c b a ,,且.0222=--b ab a 若6π=B ,求角C ；若14,32==c C π,求ABC ∆的面积.18、（本题满分12分）如图,在底面是正三角形的直三棱柱111C B A ABC -中,21==AB AA ,D 是BC 的中点．(1)求证：//1C A 平面D AB 1； (2)求三棱锥D AB A 11-的体积．19、（本题满分12分）某校高三某班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏,但可见部分如图,据此解答如下问题：(1)求分数在)80,70[之间的频数,并计算频率分布直方图中)80,70[间的矩形的高；(2)根据频率分布直方图估计该班学生在这次考试中的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)若要从分数在)70,50[之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份在)60,50[之间的概率．20、（本题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22,且过点)1,2(.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过点P 作斜率为22的直线l 交椭圆C 于B A ,两点,求证：22PBPA +为定值．21、（本题满分12分）设函数22)1()(xk e x x f x --=（其中R ∈k ）.(1)当2=k 时,求函数)(x f 的单调区间和极值； (2)当0>k 时,讨论函数)(x f 的零点个数.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,直线2:1-=x l ,曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:y x C （θ为参数）,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线1l 及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线2l 的极坐标方程为)R (4∈=ρπθ,设2l 与曲线C 的交点为N M ,,曲线C 的对称中心为C ,求CMN ∆的面积及1l 与2l 交点的极坐标. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 设不等式2120<--+<x x 的解集为M ,M ,∈b a .(1)求解集M ； (2)比较14-ab 与ab -2的大小,并说明理由.山东师大附中2015级第八次模拟考试答案 数 学 试 卷（文科）填空题（13）27； （14）3+-=x y 03=-+y x ； （15）9-； （16）29.解答题17.【解析】（1）由已知0)2)((=-+b a b a 又因为0>+b a ，所以b a 2=由正弦定理1sin ,21sin 2,sin sin ===A bA bB b A a ，因为π<<A 0，所以2π=A 。
山东省师大附中2017-2018学年高二下学期第八次学分认定(期末)考试数学(文)试题-含答案
绝密 ★ 启用前 试卷类型A山东师大附中2016级第八次学分认定考试文 科 数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔.第I 卷（客观题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合{1,2,3},{2,3,4,5}A B ==则A B = （ ）A.{}123,4,5，， B. {}123，， C. {}23， D.{}1,3,42.已知集合{}|4 3 A x x =-<-≤，()(){}250B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．()5,4- B ．()3,2-C ．()2,4 D ．[)3,2-3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37a =，312S =，则10a =（ ）A ．10B ．28C ．30D ．1454.设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知0.8221log ,log 4.1,25a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<6.已知各项均为正数的等比数列{}n a ,满足11a =,且123112a a a -=，则公比q =（ ）A.2B.1C.2-1或D. 127.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=,当(1,0)x ∈-时, ()xf x e -=,则9()2fA.B.C.D. 8.函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D. (3,4) 9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且2(1)1()log 01f x x f x x x ->⎧=⎨<≤⎩，，，，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭= （ ）A.12B.12-C.1D. 1-10..已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则不等式()213f x -<的解集为（ ） A ．()1-∞， B ．()2-∞， C ．()22-， D ．()12-，11..函数3y =）A ．B ．C ．D ．12.已知对任意21e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式2e x a x >恒成立(其中e 271828=⋅⋅⋅．是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()0e ，C ．()2e -∞-，D ．24e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，第II 卷（主观题）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题纸的指定位置）13.已知函数()ln ,()xf x e x f x '=是()f x 的导函数，则(1)f '= . 2()ln(28)f x x x =--函数的单调递增区间为 .15.函数32()(6)1f x x mx m x =++++有极值点，则实数m 的取值范围为 . 16.设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.三、解答题（本题共6个小题，满分70分） 17.（本小题满分10分） 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，且562S =求{}n a 的通项公式；求数列{}n a 的前n 项和为n S .18.（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知2n S n =.（1）求{}n a 的通项公式（2）已知11+⋅=n n n a a b ，求{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）设函数2ln )(bx x a x f -=，若函数)(x f 的图像在1=x 处与直线21-=y 相切.（1）求实数b a ,的值；（2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值.20.（本小题满分12分） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1n a +为等比数列；（2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？21.（本小题满分12分） 已知函数()21x f x e x =--．（1）求曲线在()()00f ，处的切线方程；（2）设()()()1e x g x af x a =+-，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围．22.（本小题满分12分） 已知函数()()()2e e 2x f x ax a =---．（1）若1x =为()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围．．【答案】 1-5ADBBC 6-10ABCCA; 11.A 12.A 13.e 14.(4,)+∞(),3(6,)-∞-+∞1(,)4-+∞(1)2n na =(2)122n n S +=- 18.(1)21n a n =-(2)21n T nn =+19.（1）()2abx x f x '-=因为函数)(x f 的图像在1=x 处与直线21-=y 相切所以()201f a b -'==；()112b f -=-=解得11,2a b ==（2）由（1）得()21ln 2x xf x -=，()2110x x x x x f --='==，解得121,1x x ==-（舍）x1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ 1 ()1,e()f x '+0 -()f x增极大减()max 1(1)2f f x ==-20.(1)∵37a =，3232a a =-，∴23a =，∴121n n a a -=+，∴11a =，()1111222211n n n n a a n a a -+-++==≥++，又112a +=，214a +=， ∴{}1n a +是首项为2公比为2的等比数列．（2）解：由（1）知，12n n a +=，∴21nn a =-， ∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列． 21.（1）由题易知()e 2x f x '=-，()0121k f ==-=-'，()00e 2010f =-⨯-=，()f x ∴在()()00f ，处的切线方程为y x =-．（2）由题易知()e 2x g x ax a=--，()e 2x g x a='-．当0a ≤时，()0g x '>，()g x ∴在R 上单调递增，不符合题意．当0a >时，令()0g x '=，得l n 2x a =，在()l n 2a -∞，上，()0g x '<，在()l n 2a +∞，上，()0g x '>，()g x ∴在()ln 2a -∞，上单调递减，在()ln 2a +∞，上单调递增，()()ln 222ln 22ln 2g x g a a a a a a a a∴==--=-极小值．()g x 有两个零点，()0g x ∴<极小值，即2ln20a a a -<，∵0a >，∴1ln 22a >，解得a >， ∴实数a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 22.（1）()()2e xf x ax a '=-+，因为1x =为()f x 的极值点，所以()()12e =0f a a '=-+所以1a =，()()1e x f x x '=-．令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >．∴()f x 的单调递减区间为()1-∞，，单调递增区间为()1+∞，．（2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意．当0a <时，()()()()222222e e 22e e 2e 2e 0f a a a =---=--+<，不合题意．当1a ≥时，()()2e 0x f x ax a '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意．当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意．。
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山东师大附中2014级高三第八次模拟考试
数学（文史类）试题
命题人：文科数学组
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号和科类填写在答题
卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．已知（其中是虚数单位），则的虚部为（）
A ．1 B．﹣1 C．D．
3．设不等式组所表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）A．B．C．D．
4．已知语句函数的导函数是常数函数；语句函数是一次函数，则语句
是语句的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该
几何体的体积为（）
A．B．C．D．
6. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对
称，则的最小值为（）
A．B．C．D．
7．某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于（）.
A. B. C. D.
8．已知向量，若//，则4x+2y
的最小值为（）
A. 4
B.
C.2
D.
9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙
述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十
五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行
九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相
逢，问：几日相逢？
A．12日B．16日C．8日D．9日
10.已知双曲线的左、右焦
点
分别为F1，F2，为坐标原点，是双曲线在第一象限上
的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，且，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11．第十届中国艺术节在山东济南胜利闭幕，山东省京剧院的京剧《瑞蚨祥》获得“第十四届文华奖——文华大奖”，评委给她的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示:
则7个剩余分数的方差为．
12.已知点是边长为的等边三角形的中心，则．
13．花园小区内有一块三边长分别是5 m，5 m，6 m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m的概率是______.
14. 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为,所以的所有正约数之和为
,参照上述方法, 可求得的所有正约数之和为．
15.已知上的连续函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有
.又函数满足：对任意的，都有成立，当
时，.若关于的不等式，对于恒成立，则的取值范围为____________.
三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期，并求出函数对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数在时的最大值．
17.（本小题满分12分）
某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组；第二组…；第五组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）若成绩小于14秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数；
（Ⅱ）请估计本年级这800人中第三组的人数；
（Ⅲ）若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各组取一名学生组成一个实验组，求在被抽取的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率.
18.（本小题满分12分）
等差数列中，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，点是的中点，点在边上移动．
（Ⅰ）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点在边的何处，都有.
20.（本小题满分13分）
已知椭圆（常数）的离心率为，是椭圆上的两个不同动点，
为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，满足（表示直线的斜率），求取值的范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数，.
（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）试讨论函数在区间上最大值；
（Ⅲ）若时，函数恰有两个零点，求证：.。