两条异面直线所成的角
2020年新高考数学核心知识点25.1 空间向量方法--空间的角(精讲精析篇)(学生版)
专题25.1 空间向量方法--空间的角（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,2π．③向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos|cos|||||||a ba bθϕ⋅==⋅r rr r.【典例1】（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCD A B C D-中,1AB BC==,13AA则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )A．15B5C5D2【典例2】（2019·广西高考模拟（理））在直三棱柱111ABC A B C-中,3,3,32AC BC AB===14AA=,则异面直线1A C与1BC所成角的余弦值为__________．【总结提升】向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1,v2；(3)代入公式|cos 〈v 1,v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解．提醒：两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是两异面直线所成的角．热门考点02 直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,两向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.【典例3】（2018·江苏高考真题）如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【典例4】（2020·天水市第一中学高三月考（理））如图,在三棱柱ABC A B C '''-中,已知CC '⊥平面ABC ,90ACB ∠=o ,3BC =,4AC CC ='=.(1) 求证：AC A B '⊥'；(2) 求直线CC '与平面ABC '所成角的正弦值. 【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角．热门考点03 二面角1．求二面角的大小(1)如图1,AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈AB u u u r ,CD u u ur 〉．(2)如图2、3,12,n n u r u u r分别是二面角α－l －β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例5】（2019年高考全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.（1）证明：图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【典例6】（2017·北京高考真题（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD P 平面MAC ,6PA PD ==4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．热门考点04 空间角有关的探索性问题【典例7】（2019·浙江高二期中）如图所示的几何体中,PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面,,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点,12,12PD AB AD CD ====,四边形PDCE 为矩形,线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ,使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在,求出FQ 的长；若不存在,请说明理由.【典例8】(2019·河北名校联盟模拟)如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝120°,四边形BFED 是以BD 为直角腰的直角梯形,DE ＝2BF ＝2,平面BFED ⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥平面BFED.(2)在线段EF上是否存在一点P,使得平面P AB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为5728？若存在,求出点P的位置；若不存在,说明理由．【总结提升】与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题,常利用空间向量法求解．求解时,一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系,设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量,利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．热门考点05 利用向量求空间距离1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则①a±b＝(a1±b1,a2±b2,a3±b3)；②λa＝(λa1,λa2,λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3(λ∈R),a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a,b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23,cos 〈a ,b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1,b 1,c 1),B (a 2,b 2,c 2), 则222212121||()()()ABd AB a a b b c c ==-+-+-u u u r.2. 点面距的求法如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.【典例9】（2019·安徽高考模拟（理））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF的距离为（ ）A.3λB.2C.2λ D.5 【典例10】设正方体的棱长为2,则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D.【典例11】（2018·四川省广安石笋中学校高考模拟（理））如图,在棱长为2的正方体中,M是线段AB 上的动点．证明：平面；若点M 是AB 中点,求二面角的余弦值；判断点M 到平面的距离是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．【总结提升】1.点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它的理论基础仍出于几何法,如本题,事实上,作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →,得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |,所以|BH →|＝|n ·BM →||n |,即d ＝|n ·BM →||n |.2.利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题,关键在于“四破”：①破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”,求出平面的法向量；④破“应用公式关”．巩固提升1．（2019·四川高二期中（文））已知正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE ,1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．45B ．35C ．23D ．572.（2019·福建高二月考）设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,记11D PD B＝λ.当∠APC 为钝角时,λ的取值范围是________．3.（2019·浙江高三期中）如图,已知三棱台111ABC A B C -,平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=o ,30BAC ∠=o ,11114AA CC BC AC ====,,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.4.（2018·全国高考真题（理））如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.5．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD BC ∥,AD AB ⊥,且3PB AB AD ===,1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =,证明：CF P 平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小.6．（2018·北京高考真题（理））如图,在三棱柱ABC −111A B C 中,1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11A C ,1BB 的中点,AB=BC =5,AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B −CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．7.（2020·江苏淮阴中学高三期中）直三棱柱111ABC A B C -中, AB AC ⊥, 2AB =, 4AC =,12AA =, BD DC λ=u u u r u u u r .（1）若1λ=,求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）若二面角111B AC D --的大小为60︒,求实数λ的值.8．（2017·江苏高考真题） 如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,且AB ＝AD ＝2,AA 1＝3,∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．9. （2019·江苏高三期中）如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,点E 、F 分别在棱1AA 、1BB 上移动,且1AE AA λ=u u u r u u u r ,1(1)BF BB λ=-u u u r u u u r .（1）若12λ=,求异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值； （2）若二面角A EF C --的大小为θ,且25sin θ=,求λ的值. 10.（2019·福建高二月考）如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,棱长为2,M ,N 分别为A 1B ,AC 的中点．（1）证明：MN //B 1C ；（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．11.（2019·天津高考真题（理））如图,AE ⊥平面ABCD ,,CF AE AD BC ∥∥,,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长. 12．（2018·上海交大附中高二月考）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AAC C 边长为8的正方形,6AB =,110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1BD BC 的值. 13．（2019·湖北高三期中（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AB AD ⊥,222AD AB BC ===,2PA =,点M 满足2MD PM =u u u u r u u u u r.（1）求证：//PB 平面MAC ；（2）求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值.14．（2019·河北唐山一中高三期中（理））如图,在三棱柱111ABC A B C -中,122AA AB ==,13BAA π∠=,D 为1AA 的中点,点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.(1)求证：1B D ⊥平面CBD ；(2)若BCD ∆是正三角形,求二面角1C BD C --的余弦值.15.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））如图,在四棱锥S ABCD -中,侧棱SA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB AD ⊥,且2SA AB BC ===,1AD =,M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点,MN 与平面SAB 所成的角为θ,求sin θ的最大值．16.（2019·安徽高三期末（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,AC BD ⊥交于点O ,ABC 90=o V ,AD CD =,PO ⊥底面ABCD ．()1求证：AC⊥底面PBD；()2若PBCV是边长为2的等边三角形,求O点到平面PBC的距离．。
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
两条异面直线所成的角
向量法求空间角求空间角的大小，是立体几何的重点、难点，也是高考中的热点。
运用向量解决这类问题，可以把几何关系转化为向量问题，从而求出角的大小。
向量法的最大优点是思路清晰，过程简捷，可以不去直接做出角，从而降低了对空间想象能力和逻辑思维能力的要求。
下面对用向量求空间角分类例说。
一、两条异面直线所成的角 1、 求角的方法：设两条异面直线为L 1、L 2所成的角为θ。
向量a ρ，b ρ分别21l l 、的方向向量。
因为两条异面直线所成的角θ∈（0，2π]，所以cos θ>0。
又因为向量a ρ，b ρ的夹角，<a ρ，b ρ>∈[]π，0， cos<a ρ，b ρ>的值的符号不定，所以cos θ=><b a ρρ,cos =ba ba ρρρρ⋅2、例题例1、（09福建 17）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值解析：如图以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。
10cos ,10||||NE AM NE AM NE AM <>==-⨯u u u v u u u u vu u u v u u u u v g u u u uv u u u u v Q ， 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010评析：此题中利用向量的坐标法求出两向量的夹角的余弦值为负值，但两条异面直线所成的角的余弦值却为正值。
二、直线和平面所成的角 1、求角的方法：直线与平面所成的角为θ，a ρ是直线l 的方向向量，b ρ是平面α的一个法向量，则sin θ=><b a ρρ，cos =ba ba ρρρρ⋅说明：两种情况都成立，所以在做题时无需考虑斜线的方向向量和平面的法向量的方向 2、例题例2、(09辽宁18) （本小题满分12分）BANM如图，己知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内， M ，N 分别为AB , DF 的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF 求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；解：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.设直线MN 与平面DCEF 所成角为θ。
两条异面直线所成的角
异面直线的关系
平行关系
如果两条异面直线分别平行于第三条直线，则这两条异面直 线平行。
垂直关系
如果两条异面直线分别垂直于第三条直线，则这两条异面直 线垂直。
异面直线的性质
唯一性
对于任意两条异面直线，都存在一个 唯一的平面，使得该平面同时与这两 条直线平行。
互补角
两条异面直线所成的角是互补角，即 它们的角度之和为180度。
性质：坐标法适用于已知异面直线在空间中的位置关系 的情况。
1. 建立空间直角坐标系，并确定两条异面直线的方程 。
3. 利用向量的数量积公式计算夹角的余弦值。
04
两条异面直线所成角的应用
在几何图形中的应用
确定几何图形的形状和大小
通过两条异面直线所成的角，可以确定几何图形的形状和大小，例如在四面体、六面体等复杂几何图形中。
在此添加您的文本16字
2. 通过公共点作一条直线与两条异面直线分别平行，从 而形成一个平面。
在此添加您的文本16字
3. 在该平面上，找到两条平行线所成的角，即为两条异 面直线所成的角。
向量法
定义：利用向量的数量积来计算两条 异面直线所成的角。
性质：当两向量的夹角为锐角或直角 时，数量积为正；当夹角为钝角时，
数量积为负。
计算步骤
1. 找到两条异面直线的方向向量。
2. 计算两个方向向量的数量积。
3. 根据数量积的正负判断两直线的夹 角是锐角还是钝角，并求出夹角的余 弦值。
坐标法
定义：通过建立空间直角坐标系，将异面直线的方程分 别表示为向量形式，然后利用向量的数量积来计算夹角 。 计算步骤
2. 将异面直线的方程转化为向量形式。
02
两条异面直线所成的角
高考数学复习8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
又∵β∈[0°，90°]，∴β＝30°，故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.(2016·广州模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个
二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，
CD＝2 17 ，则该二面角的大小为 答案 解析
4.(2016·长春模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线
PA与平面DEF所成角的正弦值为 答案 解析
1 A.5
25 B. 5
√C. 55
2 D.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
范围 求法
l1与l2所成的角θ π
(0， 2 ]
|a·b| cos θ＝ |a||b|
a与b的夹角β [0，π] a·b cos β＝|a||b|
9.(2016·石家庄模拟)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱 BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的
2 二面角的正切值为___3_____. 答案 解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10.(2016·南昌模拟)如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°， 点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到 △PEF，连接PA，PB，PD，得到如图(2)的五棱锥P－ABFED，且PB ＝ 10 . (1)求证：BD⊥平面POA； 证明
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成角定义
异面直线所成角定义1. 什么是异面直线？异面直线是在三维空间中的直线，它们既不共面也不互相平行。
2. 异面直线的性质异面直线上的任意两条线段，它们之间的夹角都是锐角、直角或钝角。
我们可以利用向量和点的坐标进行计算，来确定异面直线所成的角的类型。
2.1 向量判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s其中(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)为两条直线的方向向量。
两条异面直线不共面，即方向向量(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)不互相平行。
2.2 利用点坐标判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s设点P1(x1, y1, z1)为直线L1上的一点，点P2(x2, y2, z2)为直线L2上的一点。
若点P1和点P2不在一条直线上，则直线L1和直线L2异面。
3. 异面直线所成的角的定义异面直线L1和L2上的点A和B，它们与两条直线的交点分别为C和D，连接线段AD和BC。
定义：异面直线L1和L2所成的角是线段AD和BC之间的夹角。
4. 异面直线所成角的计算方法异面直线L1和L2所成的角，可以通过两条直线的方向向量来计算。
设L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。
计算方式：cosθ = |a1a2 + b1b2 + c1c2| / √(a1^2 + b1^2 + c1^2) *√(a2^2 + b2^2 + c2^2)其中，|a1a2 + b1b2 + c1c2|表示两个向量的点积的绝对值。
通过求解得到的角的余弦值，我们可以判断异面直线所成的角是锐角、直角还是钝角。
两条异面直线所成的角
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQBN BQNQBN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
异面直线所成角余弦值公式
异面直线所成角余弦值公式
异面直线所成角余弦值公式是一个计算数学里所谓异面直线所成角余弦值的公式，这个公式也叫作“余弦定理”，余弦定理可以用来解决一些复杂的三角形问题，它是三角函数的重要应用。
余弦定理的基本公式是：a2 = b2 + c2 - 2bc·cosA，其中a，b和c 是三角形的三边的长度，A是三角形的内角，cosA是内角A的余弦值。
余弦定理可以用来计算三角形的边长，即可以根据两边的长度和内角的余弦值来求得三角形的第三边的长度。
余弦定理也可以用来计算异面直线所成角的余弦值，其公式为：cosA = (a2 + b2 - c2)/2ab，其中a和b是两条异面直线的长度，c 是两条异面直线之间的距离，A是两条异面直线所成的角。
余弦定理可以用来解决一些有关三角形和异面直线所成角余弦值的问题，这是一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们节省许多时间和精力，更快更准确地解决问题。
两异面直线所成的角 题目解法大全
两异面直线所成的角题目解法大全（配有高考真题练习题）异面直线所成角的求法例一、已知正四棱锥P—ABCD侧棱长与底面边长相等，E、F分别为PC、PD的中点，求异面直线BE与CF所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE不动，在面PDC内过点E平移CF；法二、CF不动，过F平移EB，其中是以平行四边形BEFH为依托；法三、利用空间向量知识来求解.解法一：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC内过E作EG平行于∠或其补角为BE与CF所成角. BD=22,又PB=PD=2, CF，交PD于G，连结BG. 则BEG所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG∆中,cos BEG ∠=EG BE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FH CF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61.解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则= (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 例题1：如图：表示正方体1111D C B A ABCD -，求异面直线11CC BA 和所成的角。
例2．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角。
2.5两条异面直线所成的角与它们的距离
两条异面直线的距离
正方体的棱A A 和BC所在的直线是异面直线 ， 直线AB和它们都垂直相交，和两条异面直线都垂 直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线。两条 异面直线的公垂线上，垂足间的线段长度叫做两条 异面直线的距离 D C
A
B
D
A B
C
例 如图所示的是正方体 ABCD－ABCD， (1) 哪些棱所在的直线与直线 BA 是异面直线？
(2) 求直线BA 与 CC 所成的角的度数；
(3) 哪些棱所在的直线与直线 AA 垂直． D 解： (3) 直线 AB，BC，CD， DA，AB，BC，CD，DA 都与直线 AA 垂直． A D B A B
C
C
一．判断题：
1．若直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，
立体几何 立 立体几何 体 立体几何 几 何 2.5两条异面直线所的角与它们 的距离
如果没有特别说明，一般我们说两条直线是指不重合
的两条直线．
平面内两条直线的位置关系有哪几种？
平行和相交两种
观察正方体 ABCD－ABCD， 棱 AA 与 BC 所在的两条直线 A
D B D A
ห้องสมุดไป่ตู้
C
是否相交？
B
A
l
三．异面直线夹角．
我们把 a 和 b 所成的锐角(或直角)叫做直线 a，b 所 成的角或夹角． b b' a O a' b
O
a' a
为了简便，点 O 常取在两条异面直线中的一条上．
如果两条直线平行，
我们说它们所成的角或夹角为 0 ．
如果两条异面直线所成的角是直角，
我们就说两条异面直线互相垂直． 两条互相垂直的异面直线 a，b， 记作 a b ．
异面直线所成的角定义
异面直线所成的角定义好吧，今天咱们聊聊“异面直线所成的角”这个概念。
说实话，听到这个词，很多人可能就感觉像吃了几斤榴莲一样，心里一阵发毛，觉得这东西又深奥又复杂。
别紧张，咱们可以把它捋得简单点。
想象一下，咱们生活中处处都有线条，无论是路上的马路、楼房的墙壁，还是你家里的书架。
都是由一根根直线构成的。
而这些直线之间的关系，往往就像朋友之间的关系一样，有的亲密无间，有的则是有些疏远。
那什么是异面直线呢？简单说，就是在三维空间中，根本不在同一平面上的两条直线。
就好像两个人在不同的楼层聊天，一个在二楼，一个在三楼，这两条直线在空间中就找不到交点，绝对没戏。
再来谈谈它们成的角，听着就觉得很神秘。
异面直线之间的角就像人际关系里的“默契度”，虽然看不见，但却能感受到。
你想啊，两个好朋友，他们的相处方式，就好像两条直线，虽然不在同一个平面上，却能找到一个合适的角度，形成一种独特的交流。
你在和朋友打游戏的时候，可能会发现，你们的思维方式有时候就像是两条异面直线，表面上没有交集，但却能找到彼此心灵的共鸣。
这个角度，不好形容，只有在心里才能理解。
说到这里，可能有人会问，怎么能量化这种“角度”呢？这时候，就得借助一些数学工具了。
我们可以用一些公式来计算出这两个直线之间的夹角，像是用向量去描述它们的方向。
这就好比你用GPS定位，想知道两个地方之间的距离和方位，虽然复杂，但其实就是在找一种“关系”。
想象一下，你在跟朋友聊电影，一开始你们各说各的，但最后慢慢地，你们的讨论又找到了一种共同的理解，形成了一个奇妙的角度。
而这个角度，虽然在数学上可能看起来很枯燥，但在生活中却充满了戏剧性。
比如说，两条异面直线在空间里，可能有着某种奇妙的连结，这种连结就像人们的命运。
有时候你觉得两个人完全不可能在一起，但他们却能在某个瞬间找到共鸣。
这就是人生的奇妙之处，不是吗？异面直线的角度也提醒我们，生活中不要只看表面。
就像朋友之间，有时候一个小小的误会就可能造成很大的隔阂。
人教A版高中数学必修2：异面直线所成的角
b
b′
α
a
O a′
(1)两异面直线所成的角 θ 的范围是多少？ (0°, 90°]
(2)在定义中，空间一点 O 是任意取的． (3)在操作中，点 O 常取在两异面直线的一条上．
例题选讲
【例 1】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点，
D A
C１ B１
C B
小结：
1、求异面直线所成角的一般步骤： 一作二证三求角 2、作异面直线所成角常用方法： （1）平移法 （2）补形法
3、初步体验把空间问题转化为平面问题 的思想方法
Ａ
E
D
F
Ｂ
G
C
例题选讲
【例4】已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧面均是正方形，各 棱长为a，求AC1与A1B所成的角的余弦。
C2
补
A2
B2
形
法
C1
A1
B1
C
A
B
练习3：
如图．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=c, AB=a, AD=b, 且a>b.求AC1与BD所成角的余弦值。
D１ A１
第一步作图：确定平移点，做出平行线，构建三角形; 第二步证明：证明作出的角即为异面直线所成角或其补角; 第三步计算：计算作出角的大小（求余弦），并判断角的大小.
作图
证明
计算
结论
例题选讲
【例 3】、如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别 是 BC、AD 上的中点，AB＝4，CD＝10，EF＝6。求异面直 线 AB、CD 所成的角。
(1) 求直线 A1C 与直线 BD 所成的角；
(2) 求直线 A1E 与直线 BF 所成角的余弦值．
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法宇文皓月异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两正面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
（作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，B ACD F EB 1A 1 D 1C 1G HSRPQ连QH ，可知△GQH 为直角三角形），（连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），（作直线GP 交BC 于点P为直角梯形）。
∴Cos ∠所以直线A 1E 与直线B 1F 解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标暗示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
则点A 1的坐标为（0，2，2），点E 的坐标为（1，0，1）， 点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为（2，1，1）；-1，2，1（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ满足1cosθ所以直线A1E与直线B1F小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。
异面直线所成的角的余弦值
异面直线所成的角的余弦值让我们了解什么是异面直线。
异面直线是指不在同一个平面内的两条直线。
在三维空间中，我们可以想象两条异面直线相交，形成一个角。
这个角的大小可以通过余弦值来描述。
余弦值是三角函数中的一个重要概念，代表了两条直线之间的夹角大小。
余弦值的取值范围在-1到1之间，其中1表示两条直线重合，0表示两条直线垂直，-1表示两条直线平行但方向相反。
那么，如何计算异面直线所成角的余弦值呢？我们可以利用向量的内积来求解。
假设有两条异面直线分别由向量a和向量b来表示，那么这两条直线所成的角的余弦值可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的内积，|a|和|b|分别表示向量a 和向量b的模。
通过这个公式，我们可以计算出两条异面直线所成角的余弦值。
接下来，让我们通过一个例子来进一步理解这个概念。
假设有两条异面直线L1和L2，我们可以用向量来表示它们。
假设L1由向量a = (1, 2, 3)表示，L2由向量b = (4, 5, 6)表示。
我们可以计算出向量a和向量b的内积和模，然后带入公式计算余弦值：a·b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) = √(16 + 25 + 36) = √77将这些值带入公式，我们可以得到余弦值：cosθ = 32 / (√14 * √77) ≈ 0.816这个结果告诉我们，两条异面直线L1和L2所成角的余弦值约为0.816。
通过这个例子，我们可以看到，余弦值可以帮助我们描述异面直线所成角的大小。
不同的余弦值代表了不同的角度关系，从而帮助我们更好地理解空间中的几何关系。
在实际应用中，余弦值和异面直线的角度关系有着广泛的应用。
异面直线夹角取值范围
异面直线夹角取值范围
异面直线所成的角的范围是θ∈（0°,90°]。
过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。
角的范围是θ∈（0°,90°]；直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。
，异面直线所成角的计算如下：
（1）平移其中一条或两条使其相交。
（2）连接端点，使角在一个三角形中。
（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中）
（3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。
（4）若余弦值为负，则取其相反数。
扩展资料：
一、坐标法
选取空间坐标原点，建立空间坐标系并将两条直线上任意两点的坐标读出，并计算出两直线的向量，比较其是否为平行向量若是则两直线不异面。
并用具体条件证明其不相交即可证明两直线为异面直线。
二、判定定理
平面内一点和平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线互为异面直线。
例如平面ABC,D在面ABC外，那么AB和CD互为异面直线。
（AD和BC,BD和AC也都互为异面直线）。
异面直线所成的角的余弦值
异面直线所成的角的余弦值异面直线是指不在同一个平面内的两条直线。
当两条异面直线相交时，它们所形成的角被称为异面角。
现在我们来研究一下这些异面角的余弦值。
在研究异面角的余弦值之前，我们先来回顾一下余弦函数的定义。
余弦函数是三角函数中的一种，它用来表示一个角的邻边与斜边之比。
在直角三角形中，余弦函数的定义如下：$$\cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$其中，$\theta$代表角的大小，adjacent代表角的邻边的长度，hypotenuse代表角的斜边的长度。
现在我们将这个概念扩展到异面角上。
考虑两条异面直线相交所形成的角，我们可以将这个角投影到一个平面上，然后计算投影后的角的余弦值。
这样做的原因是，我们只能在同一个平面内进行角的计算。
假设我们有两条异面直线L1和L2，它们相交于点P。
我们可以在与L1和L2不相交的另一个平面上选择一个点O，然后过点O分别作一条与L1和L2平行的直线L1'和L2'。
这样，我们就将问题转化为在平面O-L1'-L2'上求角O'的余弦值。
由于L1'和L2'是平行的，所以角O'是一个直角。
根据余弦函数的定义，我们可以得到：$$\cos(O') = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$在这里，adjacent代表角O'的邻边的长度，hypotenuse代表角O'的斜边的长度。
由于角O'是一个直角，我们可以将其斜边的长度定义为1，邻边的长度定义为cos(O')。
现在我们已经得到了角O'的余弦值，但是我们实际上想要求的是两条异面直线相交所形成的角的余弦值。
由于角O'与这个角是相等的，所以它们的余弦值也是相等的。
我们可以得到两条异面直线相交所形成的角的余弦值等于角O'的余弦值。
通过计算角O'的余弦值，我们就可以得到两条异面直线相交所形成的角的余弦值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量法求空间角
求空间角的大小，是立体几何的重点、难点，也是高考中的热点。
运用向量解决这类问题，可以把几何关系转化为向量问题，从而求出角的大小。
向量法的最大优点是思路清晰，过程简捷，可以不去直接做出角，从而降低了对空间想象能力和逻辑思维能力的要求。
下面对用向量求空间角分类例说。
一、两条异面直线所成的角 1、 求角的方法：
设两条异面直线为L 1、L 2所成的角为θ。
向量a ，b
分别21l l 、的方向向量。
因为两条异
面直线所成的角θ∈（0，2
π]，所以cos θ>0。
又因为向量a ，b 的夹角，<a ，b
>∈[]π，0，
cos<a ，b
>的值的符号不定，所以cos θ=><b a ,cos =b
a b
a ⋅
2、例题 例1、（09福建 17）
如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，
NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点
求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值
解析：如图以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -
依题意，得1
(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2
D A M C B N
E 。
1
(,0,1),(1,0,1)2
NE AM ∴=--=-
10
cos ,10||||
NE AM NE AM NE AM <>==-⨯
， 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为
1010
评析：此题中利用向量的坐标法求出两向量的夹角的余弦值为负值，但两条异面直线所成的角的余弦值却为正值。
二、直线和平面所成的角 1、求角的方法：
直线与平面所成的角为θ，a
是直线l 的方向向量，b 是平面α的一个法向量，
则sin θ=><b a
，cos =b
a b
a ⋅
说明：两种情况都成立，所以在做题时无需考虑斜线的方向向量和平面的法向量的方向 2、例题
例2、(09辽宁18) （本小题满分12分） 如图，己知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，
M ，N 分别为AB , DF 的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF
求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；
解：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.设直线MN 与平面DCEF 所成角为θ。
则M(1，0，2)，N （0，1，0），可得(1,1,2)MN =--
， 又(0,0,2)DA =
为平面DCEF 的法向量， 可得6
cos ,3||||
MN DA MN DA MN DA <>==-
所以sin θ=
DA
MN DA
MN ⋅=
3
6
所以MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值为63
.
B A
N D C E F
M
G
B
A
N
D
C
E
F
M
x
y
z
三、二面角的平面角
1、求角的方法：
方法一：
根据二面角平面角的定义，（1）中向量AM与AN夹角的大小就是二面角平面角的大小。
（2）中向量AM与BN夹角的大小也是二面角平面角的大小
因此在解题中只需在两个半平面内与二面角的棱垂直的两个向量，求它们的夹角即可。
方法二：
利用平面向量的法向量来解决
在以上四种情况中（1）（4）两种情况向量的夹角与二面角的平面角互补，（2）（3）两种情况向量的夹角与二面角的平面角相等。
在解题时判断好法向量的方向，是以上四种中的哪一种，从而确定二面角的大小。
不用判断二面角的平面角是锐角还是钝角。
（二面角的平面角是锐角还是钝角，大部分看图就能直接看出来）
2、例题
例3：（09山东18）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,
AA
1=2, E、E
1
、F分别是棱AD、AA
1
、AB的中点。
（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
（1）证明略 （2）解：解法一
过B 点做1FC 的垂线垂足为P 点，过C 点做1FC 的垂线 垂足为Q 点。
则<PB ，QC >的值即为二面角B-FC 1-C 的 平面角的值。
因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,
以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系 则F(3，1，0)，B(3,3,0),C(0,2,0),1C (0,2,2)
1FC =(3-,1,2)
设FP =1FC λ=(-λ3,λ,λ2)则P(-λ3,λ+1,λ2),PB =(λ3,2-λ,-2λ)
∴1FC ⋅PB =-3λ+2-λ-4λ=0 ∴λ=41 ∴PB =(
43,47,-21)，PB =2
14
同理可得QC =（-
2
3，21
，-1）， QC =2, PB ⋅QC =1 ， cos<PB ,QC >=
QC
PB QC PB ⋅=
7
7
所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为7
7
（不用判断二面角是锐角还是钝角，但此种方法需有二面角的棱）
E
A B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1 D
解法二：
因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,
以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系, 则D （0,0,0）,F （3,1,0）,C （0,2,0）,1C (0,2,2)
所以(3,1,0)CF =-
,1(0,0,2)CC = 1(3,1,2)FC =-
设平面CC 1F 的法向量为(,,)n x y z = 则10
n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
所以300x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取(1,3,0)n = (0,2,0)FB = ,设平面BFC 1的法向量为1111(,,)n x y z = ,则1110
n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
所以11110320y x y z =⎧⎪
⎨
-++=⎪⎩,取1(2,0,3)n = ,则12130032n n ⋅=⨯-⨯+⨯= , 2
||1(3)2n =+= ,221||20(3)7n =++= , 所以11127
cos ,7||||27
n n n n n n ⋅〈〉===
⨯
由图可知二面角B-FC 1-C 为锐角,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为77
. （n 和1n 属于方二中四种情况中的第一种）
E
A B
C
F E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
x y
z M。