高考数学试题-南京市江宁高级中学四模 最新

南京市江宁高级中学2018届高三第四次模拟考试数学试卷2018.6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1、已知i 是虚数单位， 复数411i z i i+=+-的共轭复数z 在复平面内对应点落在第 四 象限． 2、已知集合{|{|12}M x y N x x ==+≤，且M 、都是全集I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为{|3z z -<≤ ；3、设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则2a = 2008- ；4、已知向量,m n 的夹角为6π，且||3m =，||2n =，在∆ABC 中，,3AB m n AC m n =+=-，D 为BC 边的中点，则||AD = 1 ；5、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2018年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为_____4320_________．6、函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 42y x =- .7、执行右边的程序框图，若9p =，则输出的S=52. 8、已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ的最大值为 0.6 ；9、设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ④ .10、已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l 的斜率的取值范围是)+∞ ；11、从集合{}1,2,3,0,1,2,3,4---中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为 ____358___． 12、定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ 56π . 13、已知函数bx ax x x f -+=2331)(（R b a ∈,），若)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数，则b a +的最小值为 23.14、把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2011n a =，则n =______1028________．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题14分）已知函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图像如图所示，直线37,88x x ππ==是其两条对称轴。

⑴求函数()f x 的解析式并写出函数的单调增区间；⑵若6()5f α=，且388ππα<<，求()8f πα+的值。

解：⑴由题意，732882T πππ=-=，∴T π=， 又0ω>，故2ω=，∴()2sin(2)f x x ϕ=+， ……………………2分 由33()2sin()284f ππϕ=+=，解得2()4k k Z πϕπ=-∈， 又22ππϕ-<<，∴4πϕ=-，∴()2sin(2)4f x x π=-。

………………5分由222()242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈知，3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈。

………………7分⑵解法1：依题意得：62sin(2)45πα-=，即3sin(2)45πα-=， ………………8分∵388ππα<<， ∴0242ππα<-<，∴4cos(2)45πα-==， ……………10分 ()2sin[(2)]844f πππαα+=-+∵34sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin ()44444425510ππππππααα-+=-+-=+=∴()45f πα+=。

……………14分解法2：依题意得： 3sin(2)45πα-=，得sin 2cos 25αα-=，① ……………9分 ∵388ππα<<， ∴0242ππα<-<，∴cos()4πα-45==， ……………………11分由4cos(2)45πα-=得sin 2cos 25αα+=②①+②得2sin 2α=∴()8f πα+=……………………14分解法3：由3sin(2)45πα-=得sin 2cos 25αα-= ……………………9分 两边平方得181sin 425α-=，7sin 425α=， ∵388ππα<<∴3422ππα<<，∴24cos 425α==-， ……………………11分∴21cos 449sin 2250αα-==，又3244ππα<<，∴sin 210α=，∴()85f πα+=。

……………………14分 16、（本小题满分14分）如图，棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC（1）证明：BD ⊥AA 1；（2）证明：平面AB 1C//平面DA 1C 1（3）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP//平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．证明：⑴连BD ，∵ 面ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 则BD ⊥平面AA 1C 1C 故：BD ⊥AA 1 ⑵连AB 1，B 1C ，由棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的性质知 AB 1//DC 1，AD//B 1C ，AB 1∩B 1C=B 1,A 1D ∩DC 1=D 由面面平行的判定定理知：平面AB 1C//平面DA 1C 1 ⑶存在这样的点P 因为A 1B 1∥AB ∥DC ，∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形． ∴A 1D//B 1C 在C 1C 的延长线上取点P ，使C 1C=CP ，连接BP ， 因B 1B ∥CC 1，∴BB 1∥CP ，∴四边形BB 1CP 为平行四边形 则BP//B 1C ，∴BP//A 1D ∴BP//平面DA 1C 117、（本小题满分15分）设定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++，当x ＝－22时，f （x ）取得极大值23，并且函数'()y f x =的图象关于y 轴对称． （Ⅰ）求f （x ）的表达式；（Ⅱ）若曲线C 对应的解析式为114()()223g x f x x =++，求曲线过点(2,4)P 的切线方程．解：（1）∵2'()32f x ax bx c =++为偶函数，∴ f （ x ） = f （x ），∴3ax2 2bx ＋ c= 3ax2 ＋2bx ＋ c ，∴2bx =0对一切x R 恒成立，∴ b ＝0， （2分）∴f （x ）＝ax3＋cx 又当x ＝－22时，f （x ）取得极大值23∴⎩⎨⎧f(－ 22)＝23，f (－ 22 )＝0， 解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴f （x ）＝23x3－x ，f （x ）＝2x2－1 （6分）（2）311414()()22333g x f x x x =++=+， 设切点为00(,)x y ，则0320014,'()|33x x y x k g x x ==+==切线方程为：3200014()()33y x x x x -+=-，（8分）代入点(2,4)P 化简得：3200340x x -+=，解得01,2x =-，（10分）所以切线方程为：20x y -+=和440x y --=．（12分）18、（本小题满分15分）为赢得2018年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格x （3054x -≤≤）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值||x 的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格x 成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费． （Ⅰ）试将每天的销售利润y 表示为价格变化值x 的函数； （Ⅱ）试问如何定价才能使产品销售利润最大？解：（1）当降价||x 时，则多卖产品2kx ，由已知得：22446kx k k ==⇒=， 所以232()(309)(4326)6(21721512)f x x x x x x =+-+=+++ （3分）当提价x 时，2()(3010)(4328)82728640f x x x x x =+--=-++， （2分）所以3226(21721512)(300)()(054)82728640x x x x f x x x x ⎧+++-⎪=⎨<-++⎪⎩≤≤≤ （6分） （2）当降价销售时，32()6(21721512)f x x x x =+++， 2'()18(1424)18(12)(2)0f x x x x x =++=++=1212,2x x ⇒=-=-，所以有即()f x 在12x =-处取得唯一极大值(12)11664f -=， ∴max ()11664f x =， （9分） 当提价销售时，2()82728640f x x x =-++228(34)86408[(17)]109521095211664x x x =--+=--+<≤ （11分）所以当定价18元时，销售额最大． （12分）19、（本小题满分16分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（Ⅰ）（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； （Ⅱ）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=，∴b c =，∴2222b ac c =-=，∴222a c =，∴2e =． （ 3分 ） （ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得OP =，∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥1e <． （8分） （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则011011y y xx x y -=--整理得22010111x x y y x y +=+22211x y b +=， ∴PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．PA 、PB 都过点()00,P x y ，∴21010x x y y b +=且22020x x y y b +=直线AB 方程为 200x x y y b +=．令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，∴2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM ++===，∴2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ． （13分） 20、（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点(,)nS n n都在函数()2na f x x x=+的图象上． （Ⅰ）求123,,a a a 及数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ） 将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），（14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；（Ⅲ）令2()(1)nng n a =+（*n N ∈），求证：2()3g n <≤． 解：（1）因为点(,)n S n n 在函数()2n af x x x=+的图象上，故2n n S a n n n =+，所以212n n S n a =+．令1n =，得11112a a =+，所以12a =；令2n =，得122142a a a +=+， 24a =；令3n =，得1233192a a a a ++=+，36a =．由此猜想：2n a n =．用数学归纳法证明如下：① 当1n =时，有上面的求解知，猜想成立．② 假设 (1,)n k k k N *=∈≥时猜想成立，即2k a k =成立，则当1n k =+时，注意到212n n S n a =+*(N )n ∈， 故2111(1)2k k S k a ++=++，212k k S k a =+．两式相减，得11112122k k k a k a a ++=++-，所以142k k a k a +=+-．由归纳假设得，2k a k =，故1424222(1)k k a k a k k k +=+-=+-=+． 这说明1n k =+时，猜想也成立．由①②知，对一切*N n ∈，2n a n =成立 ． （4分）另解：因为点(,)n S n n 在函数()2n af x x x=+的图象上， 故2n n S a n n n =+，所以212n n S n a =+ ①．令1n =，得11112a a =+，所以12a =；2n ≥时2111(1)2n n S n a --=-+ ②2n ≥时①－②得142n n a a n -=-+-令1(1)()n n a A n B a An B --+-=---，即122n n a a An A B -=-+++与142n n a a n -=-+-比较可得24,22A A B =+=-，解得2,2A B ==-．因此12(1)2(22)n n a n a n --++=--+又12(11)20a -++=，所以2(1)20n a n -++=，从而2n a n =．（4分）（2）因为2n a n =（*N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2018 （9分）（3）有（1）中知2n a n =，∴21()(1)(1)n n n g n a n=+=+，当1n =时，(1)2[2,3)f =∈；当2n ≥时，00112211111(1)()()()()n n nn n n n C C C C n n nnn+=+++显然00112200111111111(1)()()()()()()2n n n n n n n n n C C C C C C n n n nn n n +=+++≥+=而1(1)(2)(1)11111()!!(1)(1)kkn k n n n n k C nn k k k k k k---+=<≤=---（2k ≥）00112211111(1)()()()()n n n n n n n C C C C n n n n n+=+++11111111(1)()()332231n n n<++-+-++-=-<-．第二部分（加试部分） （总分40分，加试时间30分钟）21、[选做题]B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα． 解：矩阵A 的特征多项式为 ()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+ ……………………………2分 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-． ………………4分 当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,， ∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ； ……………………7分当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,， 取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦……………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin()33πρθ-=，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．解：1sin 32πρθρθθ由sin(-)=3得:()=3660y y ∴=-+= ……………………3分 由2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩得224x y += ……………………6分 ∴圆心到直线l 的距离632d == ……………………8分 所以，P 到直线l 的距离的最大值为5d r += ……………………10分D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x由柯西不等式，()f x =≤==．1=即76x =时，()f x ． [必做题]22、某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分）。