高中数学 第2章 2.3数学归纳法课件 新人教B版选修2-2

这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你 知道其中蕴含的数学原理吗？
1.我们在玩多米诺骨牌游戏时，只要任意相邻的两块骨牌 之间的距离保持适中，即前一块骨牌倒下时能砸倒后一块，那 么在推倒第一块骨牌后，会出现怎样的情形？
2．什么叫归纳法？ 答 案 ： 1. 在 推 倒 第 一 块 骨 牌 后 ， 就 会 导 致 第 二 块 骨 牌 倒 下，而第二块倒下，又导致第三块倒下，以此类推，直到全部 倒下． 2．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法， 通常叫归纳法．根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分 为：完全归纳法和不完全归纳法.
5．证明数列问题 数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列 是定义在 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，这与 数学归纳法运用的范围是一样的，并且数列的递推公式与归纳 原理实质上也是一致的．为此数列中有不少问题都可用数学归 纳法予以证明，诸如数列的通项，前 n 项和 Sn 的增减性、有界 性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式， 有一定的综合性，是最近几年高考的热点问题之一，证明时要 灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用， 不利用假设而进行的证明不是数学归纳法．
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命 题成立的参数值是否存在；
③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意 自然数 n 都成立的一般性命题．
这类问题涉及的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面几节 所讲述的所有内容：代数、三角恒等式、不等式、数列、几何 问题、整除性问题等．解题一般分三步进行：
一、数学归纳法 1．定义： 一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一个值 n0 时命 题成立；(2)在假设 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)时命题成立的前提下， 推出当 n＝k＋1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立。
2．证题时的具体步骤 第一步，证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1 或 2 时结论正 确)； 第二步，假设当 n＝k(k∈N＋且 k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1 时结论也正确． 在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从 n0 开始 的所有正整数 n 都正确，
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路.3 数学归纳法 第二章
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟 对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他 们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟 在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟 为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画 出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半 截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定 为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！
注意：(1)第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命 题递推的依据，这两个步骤缺一不可．
(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n＝k ＋1时为什么成立？n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根 据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1 时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题 并没有得到证明．
(3)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题，的证 明，如与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问 题、探求数列的通项和前n项和等问题．
用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cosα＋cos3α＋…
＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证 n＝1 时，左边所
得的代数式为( )
3．证明整除问题 证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项 和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将 n ＝k 时的项从 n＝k＋1 时的项中“硬提出来”，构成 n＝k 的项， 后面的式子相对变形，使之与 n＝k＋1 时的项相同，从而达到 利用假设的目的． 4．证明几何问题 此类问题证明的关键是要弄清楚当由 n＝k 推导 n＝k＋1 的 情形时，几何图形的变化规律．
1 A.2
B.12＋cosα
C.12＋cosα＋cos3α
D.12＋cosα＋cos3α＋cos5α
[答案] B
[解析] 令 n＝1，左式＝12＋cosα.故选 B.
二、数学归纳法的应用 数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题，具有广泛的 应用． 1．证明等式 证明这类命题是“一凑一变”，突出“变”字，“凑”是 指由n＝k＋1的左端凑出n＝k的左端，或由n＝k的左瑞凑出n＝k ＋1的左端；“变”是指把拼凑的式子变为n＝k＋1的右端． 2．证明不等式 证明这类题的关键是“一凑一证”，常结合其他方法(如 放缩法等)完成“一证”．
已知数列{an}的通项公式 an＝2n－4 12，数列{bn}的通项满 足 bn＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试证明：bn＝21n－＋21n.
[证明] (1)当 n＝1 时，a1＝4，b1＝1－4＝－3，b1＝21× －12＋ ×11 ＝－3，等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 bk＝21k－＋21k， 那么 n＝k＋1 时，有 bk＋1＝(1－a1)(1－a2)…(1－ak)(1－ak＋ 1)＝bk(1－ak＋1)＝21k－＋21k·[1－2k＋4 12]＝21－k＋21k＋＋11， 也就是说 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任何正整数 n 都成立．
三、数学归纳法与“观察—归纳—猜想—证明” 近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成 的结论，而且加强了对归纳推理的考查，既要求归纳、发现结 论，又要求能证明结论的正确性，形成了“观察—归纳—猜想 —证明”的思维模式，它是数学归纳法的重点题型，也是近几 年高考的热点． 在中学阶段，这方面的题型主要有以下几方面： ①已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和；