江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五函数的单调性与最值理
(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第5课 函数的单调性与最值教师用书
第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]． 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
2020年高考数学一轮复习(新课改)第1课时系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
第二节函数的性质第1课时系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y= f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y= f(x)的单调区间.［点拨］(1)函数单调性定义中的X i , X2具有以下三个特征：一是任意性，即任意两数X i, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即X i VX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可.⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量X1, X2的值, 都有fXL二竺或fXk 4竺<。
.X1 —X2 X1—X2 /(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质.［谨记常用结论］(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.1⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x) •(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.［小题练通］1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2—2x的单调递增区间是______ .答案：［1 ,+^ )2. ［教材改编题］如果二次函数f(x)= x2—(a—1)x + 5在区间2, 1上是增函数，则实数a的取值范围为_________ .解析：T函数f(x) = x2—(a —1)x+ 5的对称轴为x =旦^1且在区间2，1上是增函数，a —1答案：(—R, 2］3. ［教材改编题］函数f(x)= log1 (x2—4)的单调递增区间为________ .2解析：由x2—4>0得x<—2或x>2.又u = x2—4在(一a,—2)上为减函数，在(2, + a)上为增函数，y= log 1 u为减函数，2故f(x)的单调递增区间为(一a,—2).答案：(一a,—2)4. ［易错题］设定义在［—1,7］上的函数y= f(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的增区间为________ .答案：［—1,1］, ［5,7］2x + k5.若函数y= 与y= log3(x—2)在(3, +a )上具有相同的单调性，贝U实数k的取值x—2范围是_________ .解析：由于y= lOg3(x—2)的定义域为(2 , + a ), 且为增函数，故函数y=空土^ = 2x —2+ 4+ k= 2 + 也在(3, + a)上也是增函数，则有4+ k v 0, x —2 x —2 x —2得k v — 4.f(X)Vf —的实数x的取值范答案：(—a, —4)6•已知函数f(x)为定义在区间［—1,1］上的增函数，则满足围为________ .—1W x W1,解析：由题设得1x<2解得—1W x<1.答案：—1,—前提设函数f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足条件对于任意x€ I，都有f(x)W M ;存在X o€ I，使得f(X o)= M对于任意x € I，都有f(x)》M ;存在x°€ I，使得f(x^)= M结论M为最大值M为最小值1.函数的最值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值•当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.［点拨］(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；(2) 对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；(3) 一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法•注意以下关系：f(x)> a恒成立？f(x)min> a ；f(x) W a恒成立？f(x)max <乱解题时，要务必注意“=”的取舍.［小题练通］21. __________________________________________________________ ［人教A版教材P31例4］函数f(x)=二二在［2,6］上的最大值是___________________________ •答案：22. ［教材改编题］设函数f(x)= 2~在区间［3,4］上的最大值和最小值分别为M ,m,则晋=x—2 M 解析：易知f(x)= x—2 = 2+七，所以f(x)在区间［3,4］上单调递减,4所以M = f(3) = 2 + ---- =6,3 —2 所以m!_ 16_ 8M —6 —3.答案:3.［教材改编题喏函数f(x)=—；+ b(a>0)在；，2上的值域为••• f(X )min = f 2 = 2 , f(x)max = f(2) = 2.1—2a 十 b = 1, 即 -1+b = 2,答案：1 54.［易错题］函数y =~22 i解析：由 y = X ^ ，可得 x 2 = —-^.由 x 2>0,知—0，解得—1 w y<1,x 十 1 1 — y 1 — y故所求函数的值域为［—1,1). 答案：［—1,1) 5.函数f(x) = x ，x> 1，的最大值为x 2 + 2, x<11解析：当x > 1时，函数f(x)= -为减函数，所以f(x)在x = 1处取得最大值，为 f(1) = 1； 当x<1时，易知函数f(x) = — x 2+ 2在x = 0处取得最大值，为 f(0) = 2.故函数f(x)的最大值 为2.答案：26.已知函数 f(x)=— x 2 + 4x 十a , x € ［0,1］，若f(x)有最小值一2,贝V f(x)的最大值为解析：函数 f(x)=— x 2 + 4x 十 a =— (x — 2)2+ 4+ a , x € [0,1]，且函数 f(x)有最小值—2. 故当x = 0时，函数f(x)有最小值，当 x = 1时，函数f(x)有最大值•当 x = 0时，f(0) = a =—2,.・. f(x)=— x 2+ 4x — 2, •当 x = 1 时,f(x)max = f(1)=—十十 4X 1 — 2 = 1.答案：1［谨记常用结论］1. 函数奇偶性的几个重要结论-1解析：•/ f(x)=-三+ b(a>0)在 1，2 是增函数,a = 1, 解得 5b = 5.⑴如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0) = 0.⑵如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) = f(|x|).(3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)= 0, x€ D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2. 有关对称性的结论(1) 若函数y= f(x + a)为偶函数，则函数y= f(x)关于x = a对称.若函数y= f(x+ a)为奇函数，则函数y= f(x)关于点(a,0)对称.(2) 若f(x)= f(2a—x),则函数f(x)关于x = a 对称；若f(x) + f(2a—x) = 2b,则函数f(x) 关于点(a, b)对称.［小题练通］1. ________________ ［人教A版教材P39A组T6］已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x(1 + x),贝U f( —1) = .答案：—22. ［教材改编题］设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = x1 2 3+ 1,则f( —2)+ f(0)解析：由题意知f( —2) =—f(2) = —(22+ 1) =—5, f(0) = 0,••• f(—2) + f(0) = — 5.答案：—53. ［教材改编题］已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)= x + 1,则当x>0时，f(x)=解析：当x>0 时，一xv0,「. f(—x)=—x + 1,又f(x)为偶函数，• f(x)=—x+ 1.答案：—x+ 14. ［易错题］已知f(x) = ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，那么 a + b的值是2 1解析：T f(x)= ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，• a—1 + 2a = 0,二a=；. 31又f( —x)= f(x) ,• b= 0,二a+ b= 3.3答案:5.在函数y= xcosx, y= e x+ x2, y= lg . x2—2, y= xsin x 中，偶函数的个数是___________ 解析：y= xcos x是奇函数，y= lg x2—2和y= xsin x是偶函数，y= e x+ x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是 2.答案：26.已知函数 f(x)= asin x + bln*^ +1，若 f 1 + f — 2 =6，则实数 t=________________ ，解析：令g(x)= asin x + bln 齐，则易知g(x)为奇函数，所以gg g J — 2戶0,则由 f(x)= g(x)+1,得 f 1 + f —1 = g 1 + g —1 + 2t = 2t = 6,解得 t = 3.答案：31. 周期函数对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x + T) = f(x)，那么就称函数 y = f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期.2. 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.［谨记常用结论］定义式f(x + T)= f(x)对定义域内的x 是恒成立的.(1)若 f(x + a) = f(x + b),则函数 f(x)的周期为 T = |a — b|; 1 1f(x + a) = — f(x), f(x + a)=，f(x + a)=—匚何>0),则 f(x)为周期函数，且T = 2a 为它的一个周期.［小题练通］1.［教材改编题］设f(x)是定义在 R 上的周期为 2的函数，当 x € (— 1,1)时，f(x)= 「4x + 2,—1<x <0，则虑 L __________________ .x , 0< x<1, 2答案：12.［教材改编题］若f(x)是R 上周期为2的函数，且满足 f(1) = 1, f(2) = 2,贝U f(3) — f(4)解析：由 f(x)是 R 上周期为 2 的函数知，f(3) = f(1) = 1, f(4) = f(2) = 2,••• f(3) — f(4) =— 1.答案：—1=x ,贝y f(2 019) = __________(2)若在定义域内满足3.［教材改编题］已知f(x)是定义在R 上的函数，并且 1f(x + 2)= f x ,f(x)1 1解析：由已知，可得f(x + 4) = f[(x + 2) + 2]= —— =-—=f(x),故函数f(x)的周期为f (X + 2)4.A f(2 019) = f(4X 504+ 3) = f(3)= 3.答案：34. [易错题]函数f(x)的周期为4,且x€ (-2,2], f(x) = 2x- x2,则f(2 018) + f(2 019) + f(2 020)的值为________ .解析：由f(x)= 2x-x2, x€ (-2,2],知f(- 1)=- 3, f(0)= 0, f(2) = 0，又f(x)的周期为4,所以f(2 018) + f(2 019) + f(2 020) = f(2) + f( - 1)+ f(0) = 0 - 3+ 0=- 3.答案：—35. 已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x€ R都有f(x+ 6)= f(x) + f(3)成立，则f(2 019)解析：•/ f(x)是R上的奇函数，••• f(0) = 0,又对任意x€ R都有f(x + 6) = f(x) + f(3),二当x=- 3 时，有f(3) = f( - 3) + f(3) = 0, • f( - 3) = 0 , f(3) = 0 , • f(x+ 6) = f(x)，周期为6. 故f(2 019) = f(3) = 0.答案：06.偶函数y= f(x)的图象关于直线x= 2对称，f(3) = 3,则f( - 1) = __________ .解析：因为f(x)的图象关于直线x= 2对称，所以f(x) = f(4- x) , f( - x) = f(4 + x),又f(- x) = f(x),所以f(x) = f(4 + x),则f( - 1) = f(4 - 1) = f(3) = 3.答案：3。
2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题五 函数与方程
专题五函数与方程一、填空题考向一零点个数问题1.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数为.2.(2017·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则实数a=.3.(2018·南通模拟)已知定义在R上的函数f(x)=则方程f(x)+1=log6(|x|+1)的实数解的个数为.考向二根据零点情况确定参数范围问题4.(2017·扬州上学期期中)已知函数f(x)=-kx无零点,则实数k的取值范围是.5.(2018·南通模拟)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.6.(2017·苏北四市一模)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有3个不同的公共点,则实数a的取值集合为.7.(2016·镇江期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.8.(2018·南通模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是.9.(2017·浙江二模改编)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x)-a)有6个零点,则实数a的取值范围是.考向三有关零点的综合问题10.(2018·启东中学月考)若方程2sin2x+sin x-m=0在[0,2π)上有且只有两解,则实数m的取值范围为.11.(2017·如皋一模)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围为.12.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)=(f'(x)为f(x)的导函数).若方程g(f(x))=0有四个不相等的实数根,则a的取值范围是.13.(2016·苏州期末)已知函数f(x)=|sin x|-kx(x≥0,k∈R)有且只有三个零点,若这三个零点中的最大值为x0,则=.14.(2017·江苏押题卷)对于实数a,b,定义运算“□”:a□b=设f(x)=(x-4)□,若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.二、解答题15.(2016·苏州中学)已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的取值范围是[3m,3n].16.(2016·北京卷改编)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.17.(2018·启东中学月考改编)已知函数f(x)=a(2-x)e x,g(x)=(x-1)2.(1)若曲线y=g(x)的一条切线经过点M(0,-3),求这条切线的方程.(2)若关于x的方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根x1,x2,求实数a的取值范围.18.(2018·苏州调研改编)已知函数f(x)=(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(-x)+f(x)=e x-3在区间(0,+∞)上有实数解,求实数a的取值范围.19.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f(x)=(x+k+1)·,g(x)=,其中k是实数.(1)若k=0,求不等式·f(x)≥·g(x)的解集;(2)若k≥0,求关于x的方程f(x)=x·g(x)的实数根的个数.20.(2017·海门中学第二学期调研)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知函数f(x)=ax3+3x ln x-a(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在x∈上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.专题五函数与方程1. 7【解析】作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数即为f(x)的图象与直线y=1在[-2,4]上的交点的个数.由图象知,交点个数为7,即函数y=f(x)-1在[-2,4]上有7个零点.(第1题)2.【解析】因为f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)的图象的对称轴.由题意知f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x=1,所以f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.3. 7【解析】根据题意,作出函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的部分图象如图所示,由图象知,函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的图象有7个不同的交点,所以原方程有7个不同的解.(第3题)(第4题)4.[-2,0)【解析】因为函数f(x)=-kx无零点,所以y=与y=kx没有交点,在同一平面直角坐标系中画出函数y=与y=kx的图象如图所示,由图象可知k∈[-2,0).5.【解析】易知函数f(x)在(-∞,0]上有一个零点,所以由题意得方程ax-ln x=0在(0,+∞)上恰有一解,即a=在(0,+∞)上恰有一解.令g(x)=,由g'(x)==0得x=e,当x∈(0,e)时,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g(x)单调递减,所以a=g(e)=.6.{-20,-16}【解析】直线y=x与正弦曲线y=sin x恰有一个公共点,即原点O.依题意,只要y=x 与y=f(x)(x≥1)的图象有两个不同的公共点.令g(x)=f(x)-x=x3-9x2+24x+a,由g'(x)=3x2-18x+24=0,得x=2或4,所以易知g(x)在区间[1,2]上单调递增,在区间[2,4]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,依题意,当g(2)=0时,a=-20,此时两个公共点是(2,0)和(5,0);当g(4)=0时,a=-16,此时两个公共点是(1,0)和(4,0).其余情况均不符合题意.所以实数a的取值集合是{-20,-16}.7.∪(1,+∞)【解析】作出函数f(x)和直线y=kx-k的图象如图所示,且直线y=kx-k过定点(1,0),当直线y=kx-k过点时,直线的斜率最小,即k=-.当直线y=kx-k与函数f(x)=x2-x(x>0)的图象相切时有且仅有一个交点,交点即为切点(1,0),k=y'=1,故函数f(x)与直线y=kx-k至少有两个不同的交点时,k的取值范围为∪(1,+∞),即关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围为∪(1,+∞).(第7题)8.(1,2]【解析】由题设知f(f(x))=作出函数f(f(x))的图象可知,当1<k≤2时,函数y=f(f(x))-k 有3个不同的零点.9.[-4,-1]【解析】由题可知,函数f(x)的图象如图所示,令f(x)-a=t,若要使y=f(f(x)-a)有6个零点,则由f(t)=0,解得t=0,1,5,所以有f(x)=a或f(x)=a+1或f(x)=a+5(a<a+1<a+5).对于上述方程,要满足条件,则其零点个数的可能性为2,2,2或1,2,3或3,3,0三种可能.若零点个数分别为2,2,2,则有-5<a<a+1<a+5<0或-5<a<a+1<0,1≤a+5<4,解得-4≤a<-1;若零点个数分别为1,2,3,由图知,若a+5=4,则a=-1,所以a+1=0,满足条件,所以a=-1;若a<-5,-5<a+1<0,0≤a+5<1,无解;若零点个数分别为3,3,0,则有0≤a<a+1<1,a+5>4,无解.综上可知,满足条件的实数a的取值范围是[-4,-1].(第9题)10.(1,3)∪【解析】根据题意,令m=2t2+t=2-,t=sin x∈[-1,1],作出函数m=2-的图象如图所示.所以当m=-或m∈(1,3]时,直线y=m与曲线y=2t2+t只有一个交点.当m=3时,t=1,方程2sin2x+sin x-m=0只有一解,所以要使方程2sin2x+sin-m=0在[0,2π)上有且只有两解,实数m的取值范围(1,3)∪.(第10题)11.【解析】已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,可得f'(x)=x(e x-2a),令x(e x-2a)=0,可得x=0或e x=2a,当a≤0时,函数f'(x)只有一个零点,并且x=0是函数f(x)的一个极小值点,并且f(0)=-1<0.若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,也就是y=f(x)在x∈[-1,1]上有且仅有两个不同的零点,所以即可得a≤-.当a>0时,函数f(x)的两个极值点为x=0,x=ln2a,如果ln2a<0,因为f(0)<0,可知不满足题意;如果ln2a>0,则即解得a≤-,与a>0矛盾.综上,a≤-.12.(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】由题意知g(x)=①若a=0,则g(x)=方程g(t)=0只有唯一的根t=0,令f(x)=0,得x=0,此时不满足有四个根的条件;②若a<0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-a.分别令f(x)=0和f(x)=-a,解得x1=0,x2=-a和x3=,x4=,且x1≠x2≠x3≠x4,满足题意;③若a>0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-.对于方程f(x)=t1=0,可解得存在两个根x1=0和x2=-a.欲使g(f(x))=0有四个根,则需方程f(x)=-有两个根,所以Δ=a2-4×=a2-2a>0,解得a>2,且此时x3≠x4≠x1≠x2,满足题意.综上可知,a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).13.【解析】令f(x)=0,得|sin x|=kx.当x≥0时,如图,作出函数y1=|sin x|和y2=kx的图象.若函数f(x)有且只有三个零点,则当x∈(π,2π)时,y2=kx与y1=-sin x相切,且x0为切点的横坐标,即(-sin x)'=,所以tan x0=x0,所以===.(第13题)(第14题)14.(-1,1)∪(2,4)【解析】由题意得f(x)=(x-4)□=画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有4个不同的交点,则或或得2<m<4或-1<m<1.15.(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象的对称轴方程是x=1,所以-=1,即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点,即ax2-(2a+1)x=0有两个相等的实数根,所以Δ=(2a+1)2=0,即a=-,b=1,所以f(x)=-+x.(2)①当m<n<1时,f(x)在[m,n]上单调递增,f(m)=3m,f(n)=3n,所以m,n是-+x=3x的两根,解得m=-4,n=0.②当m≤1≤n时,3n=,解得n=,不符合题意.③当1<m<n时,f(x)在[m,n]上单调递减,所以f(m)=3n,f(n)=3m,即-m2+m=3n,-n2+n=3m,两式相减得-(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).因为m≠n,所以-(m+n)+1=-3,所以m+n=8.将n=8-m代入-m2+m=3n,得-m2+m=3(8-m),此方程无解.所以m=-4,n=0时,f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n].16.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f'(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f'(x)=3x2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.当x变化时,f(x)与所以当c>0且c-<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.17.(1)方法一:设经过点M(0,-3)的切线与曲线y=g(x)相切于点Q(t,(t-1)2),由g(x)=(x-1)2得g'(x)=2(x-1),所以该切线方程为y-(t-1)2=2(t-1)(x-t).因为该切线经过M(0,-3),所以-3-(t-1)2=2(t-1)(-t),解得t=±2,所以切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0.方法二:由题意得曲线y=g(x)的切线的斜率一定存在,设所求的切线方程为y=kx-3,由得x2-(2+k)x+4=0,因为切线与抛物线相切,所以Δ=(2+k)2-16=0,解得k=2或k=-6,所以所求的切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0. (2)由f(x)=g(x)得g(x)-f(x)=0.设h(x)=g(x)-f(x)=a(x-2)e x+(x-1)2,则h'(x)=a(x-1)e x+2(x-1)=(x-1)(a e x+2),由题意得函数h(x)恰好有两个零点.①当a=0,则h(x)=(x-1)2,h(x)只有一个零点1.②当a>0时,由h'(x)<0得x<1,由h'(x)>0得x>1,即h(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,而h(1)=-a e<0,h(2)=1,所以h(x)在(1,+∞)上有唯一零点,且该零点在(1,2)上.取b<0,且b<ln,则h(b)>(b-2)+(b-1)2=b>0,所以h(x)在(-∞,1)上有唯一零点,且该零点在(b,1)上,所以a>0时,h(x)恰好有两个零点.③当a<0时,由h'(x)=0得x=1或x=ln,若a=-,h'(x)=-(x-1)(e x-e)≤0,所以h(x)在R上至多有一个零点,且在(1,+∞)上.若a<-,则ln<1,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上单调递减.又h(1)=-a e>0,所以h(x)在(1,+∞)上至多有一个零点.当x∈(-∞,1)时,h(x)在上单调递增,在上单调递减,又h=-2+=+1>0,所以h(x)在上无零点.若a>-,则ln>1,又当x≤1时,h(x)≥h(1)=-a e>0,所以h(x)在(-∞,1)上无零点.当x∈时,h'(x)>0;当x∈时,h'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.又h=-2+=+1>0.所以h(x)在上无零点,在上至多有一个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).18.(1)当a=2时,f(x)=当x<0时,f(x)=-x3+x2,则f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=(舍去),所以x<0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.当x≥0时,f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2,令f'(x)=0,解得x=ln2,当0<x<ln2时,f'(x)<0;当x>ln2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,且f(0)=1>0.综上,函数f(x)的减区间为(-∞,0)和(0,ln2),增区间为(ln2,+∞).(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)+f(x)=x3+x2+e x-ax,由题意知x3+x2+e x-ax=e x-3在(0,+∞)上有解,等价于a=x2+x+在(0,+∞)上有解.记g(x)=x2+x+(x>0),则g'(x)=2x+1-==.令g'(x)=0,因为x>0,所以2x2+3x+3>0,故解得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数g(x)在x=1处取得极小值也是最小值g(1)=5.要使方程a=g(x)在(0,+∞)上有解,当且仅当a≥g(x)min=g(1)=5.综上,满足题意的实数a的取值范围为[5,+∞).19.(1)当k=0时,f(x)=(x+1),g(x)=.由得x≥0.此时,原不等式为(x+1)x≥(x+3),即2x2+x-3≥0,解得x≤-或x≥1,所以原不等式的解集为[1,+∞).(2)由方程f(x)=x·g(x),得(x+k+1)=x.①由得x≥k,所以x≥0,x-k+1>0.方程①两边平方,整理得(2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(x≥k).②当k=时,由②得x=,所以原方程有唯一解.当k≠时,由②得判别式Δ=(k+1)2(3k-1)2,(i)当k=时,Δ=0,方程②有两个相等的实数根x=>,所以原方程有唯一的解.(ii)当0≤k<且k≠时,方程②整理为[(2k-1)x+k(k+1)]·(x-k-1)=0,解得x1=,x2=k+1.由于Δ>0,所以x1≠x2,其中x2=k+1>k,x1-k=≥0,即x1≥k.故原方程有两个解.(iii)当k>时,由(ii)知x1-k=<0,即x1<k,故x1不是原方程的解.又x2=k+1>k,故原方程有唯一解.综上所述,当k≥或k=时,原方程有唯一解;当0≤k<且k≠时,原方程有两个解.注:(ii)中,另解:故方程②的两个实数根均大于k,所以原方程有两个解.20.(1)当a=0时,f(x)=3x ln x,所以f'(x)=3(ln x+1).令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值f=-.(2)方法一:设g(x)=f'(x)=3(ax2+1+ln x),D=.由题意,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.①当a≥0时,g(x)在D上单调递增,且g(x)>g≥0,所以g(x)在D上无零点.②当a<0时,在(0,+∞)上考察g(x).g'(x)=,令g'(x)=0,得x1=.所以g(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减.(i)当g(e)·g<0,即(a e2+2)·<0,即-<a<0时,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且在x0两侧异号.(ii)令g=0,得=0,不成立.(iii)令g(e)=0,得a=-,所以=∈D,g=g=3=3>0,又因为g=<0,所以g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.综上所述,实数a的取值范围是.方法二:令f'(x)=3(ax2+1+ln x)=0,得-a=.设h(x)=,由h'(x)=-,令h'(x)=0,得x0=∈,当x∈(x0,e)时,h'(x)<0,所以h(x)在(x0,e)上为减函数;当x∈时,h'(x)>0,所以h(x)在上为增函数,所以x0为h(x)的极大值点.又h=0,h(e)=,h(x0)=e,所以0<-a≤或-a=e,即-≤a<0或a=-e.当a=-e时,f'(x)=3.设m(x)=-e x2+1+ln x,则m'(x)=-e x+==,令m'(x)=0,得x=.当x∈时,m'(x)>0,所以m(x)在上为增函数;当x∈(,e)时,m'(x)<0,所以m(x)在(,e)上为减函数.所以m(x)≤m()=0,即f'(x)≤0在上恒成立,所以f(x)在上单调递减.所以当a=-e时,f(x)在上不存在极值点.所以实数a的取值范围是.。
2020届高考高中理科数学一轮专题复习第二章 2.2函数的单调性与最值
§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间.提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编2.函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是 . 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是 .答案 24.若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠5.函数y ＝12log (x 2－4)的递减区间为 .答案 (2，＋∞)6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 .答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，138 解析 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 7.函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是 . 答案 [－1,1)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为 .答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的递增区间为(1，＋∞). 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为(1，＋∞).(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数图像如图所示，其递减区间是[0,1).命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上是增加的.证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3， 所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的. 引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3， 所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增加的.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上是减少的，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数.(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上是增加的，则函数g (x )＝a |x －2|的递减区间是 .答案 (－∞，2]解析 因为f (x )在R 上是增加的，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的递减区间就是y ＝|x －2|的递减区间(－∞，2].(3)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是 . 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图像，由图知f (x )的递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值1.函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为 .答案 [－1,1)解析 由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1).2.函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为 . 答案2解析 由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[0，π]， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3.函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为 . 答案 [3，＋∞)解析 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图像如图所示.根据图像可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞). 4.当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为 .答案 85解析 由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3.∴所求函数的最小值为85. 5.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为 . 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定.随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图像左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是 . 答案 (－5，－2)∪(2，5)解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上是增加的，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是增加的， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是减少的， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0恒成立.当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图像的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上是增加的，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图像的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )f x >0的解集为 . 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也是增加的.∴19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x >12或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝⎝⎛⎭⎫12xD.y ＝x ＋1x答案 A解析 函数y ＝ln(x ＋2)的递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数. 2.函数y ＝12log (－x 2＋x ＋6)的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A. 3.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A.f (π)>f (－3)>f (－2) B.f (π)>f (－2)>f (－3) C.f (π)<f (－3)<f (－2) D.f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2).又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)>f (3)>f (2)， 即f (π)>f (－3)>f (－2).4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析 当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是减少的，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B.(－∞，－3) C.(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 答案 D解析 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a >134，故选D. 7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是增加的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 .答案 6解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4. 11.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围. (1)证明 当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的. (2)解 设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 由g (x )在[－2,2]上是单调函数， 知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1) 答案 D解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上是减少的， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上是减少的， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上是增加的，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2). (2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五函数及其表示含解析
课时跟踪检测(五) 函数及其表示．(·重庆调研)函数＝(－)＋的定义域是( )．() ．(，＋∞)．(，＋∞) ．()∪(，＋∞)解析：选由题意，得(\\(－>，－≠，))解得>且≠，所以函数＝(－)＋的定义域为()∪(，＋∞)，故选.．(·合肥质量检测)已知函数()＝(\\(＋(－)，>，＋，≤，))则(())＝( )．－．．．解析：选∵()＝＋＝，∴(())＝()＝＋＝.故选.．已知函数()＝，()＝－(∈)．若(())＝，则＝( )．．．．－解析：选由已知条件可知(())＝(－)＝－＝，∴－＝，得＝.故选.．(·荆州联考)若函数()的定义域是[ ]，则函数()＝的定义域是( )．[ ] ．[)∪( ]．( ] ．[－)∪( ]解析：选由题知，≤＋≤ ，解得≤≤ ，又≠，所以函数()＝的定义域是[)∪(， ]．．已知＝－，且()＝，则等于( )．－．－解析：选令＝－，则＝＋，()＝(＋)－＝－，故()＝－，则()＝－＝，解得＝.．(·石家庄模拟)已知()＝(\\(，>，＋，≤))(<<)，且(－)＝，(－)＝，则((－))＝( )．－．．．－解析：选由题意得，(－)＝－＋＝，①(－)＝－＋＝，②联立①②，结合<<，得＝，＝，所以()＝错误!则(－)＝－＋＝，((－))＝()＝＝.．(·福州二模)已知函数()＝(\\(＋，>，－－，≤.))若()＝，则(－)＝( ) ．－．．－或．－或解析：选当>时，若()＝，则＋＝，解得＝(满足>)；当≤时，若()＝，则－－＝，解得＝，不满足≤，舍去．于是，可得＝.故(－)＝()＝－－＝－.故选.．(·合肥质检)已知函数()满足()＝()，且当≤<时，()＝，则()＝( )．解析：选∵()＝()，且当≤<时，()＝，∴()＝＝×＝.．(·合肥模拟)已知()的定义域为{≠}，且()＋＝＋，则函数()的解析式为．解析：用代替()＋＝＋中的，得＋()＝＋，∴错误!①×－②×得()＝－＋(≠)．答案：()＝－＋(≠)．设函数()＝(\\(－，<，,－，>，))若()>(－)，则实数的取值范围是．解析：函数()＝(\\(－，<，,－，>，))当>时，()>(－)，即－ > ，即 <，解得<<；当<时，()>(－)，即(－)>－(－)，即(－)>，解得<－.综上可得，<－或<<.答案：(－∞，－)∪()二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分．若函数＝(＋)的值域为[－]，则函数＝(＋)的值域为( )．[－]．[－]．[]．[]解析：选函数＝(＋)的值域为[－]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－]，故函数＝(＋)的值域为[－]．故选.．(·山西名校联考)设函数()＝(－)，则函数[()]的定义域为( )．(－)．(－，＋∞)．[－，＋∞)．[－)解析：选[()]＝[(－)]＝[－(－)]，其定义域为(\\(－>，－－))的解集，解得－<<，所以[()]的定义域为(－)．故选.．(·安阳三校联考)若函数()＝的定义域为一切实数，则实数的取值范围是( )．()．[)．[]．[，＋∞)解析：选由题意可得＋＋≥恒成立．当＝时，≥恒成立；当≠时，则(\\(>，－≤，))解得<≤.综上可得，≤≤.．(·珠海质检)已知函数()＝(\\(－＋，<，，≥))的值域为，则实数的取值范围是( )．(－∞，－]解析：选由题意知＝(≥)的值域为[，＋∞)，故要使()的值域为，则必有＝(－)＋为增函数，且－＋≥，所以－>，且≥－，解得－≤<.．(·合肥质检)已知函数()＝的值域是[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当＝时，函数()＝的值域是[，＋∞)，显然成立；当>时，Δ＝(－)－≥，解得<≤或≥.显然<时不合题意．综上可知，实数的取值范围是[]∪[，＋∞)．答案：[]∪[，＋∞)(二)技法专练——活用快得分．[排除法]设∈，定义符号函数＝(\\(，>，，＝，,－，<，))则( )．＝．＝．＝．＝解析：选当<时，＝－，＝，＝，＝(－)·(－)＝，排除、、，故选.．[特殊值法]函数＝(>，≠)的定义域和值域都是[]，则＋＝( )．．．．解析：选当＝时，＝，则函数＝在[]上为减函数，故>.∴当＝时，＝，则＝，∴＝.∴＋＝＝＝.．[数形结合法]设函数()＝(\\(＋，≤，，>，))则满足()＋(－)>的的取值范围是．解析：画出函数()的大致图象如图，易知函数()在(－∞，＋∞)上单调递增．又因为>－，且－(－)＝，()＝，所以要使()＋(－)>成立，则结合函数()的图象知只需－>－，解得>.故所求的取值范围是(，＋∞)．答案：(，＋∞)(三)素养专练——学会更学通．[逻辑推理]具有性质＝－()的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①()＝－；②()＝＋；③()＝(\\(，<<，，＝，,－()，>.))其中满足“倒负”变换的函数是( )．②③．①③．①②．①②③解析：选对于①，＝－＝－()，满足题意；对于②，＝＋＝()，不满足题意；对于③，＝(\\(()，<()<，，()＝，,－，()>，))即＝(\\(()，>，，＝，,－，<<，))故＝－()，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选.．[数学运算]已知函数()＝(\\(－，≤，－，>，))()＝－，则(())＝，(())的值域为．解析：()＝－＝，∴(())＝()＝.易得()的值域为(－，＋∞)，∴若－<()≤，(())＝[()]－∈[－)；若()>，(())＝()－∈(－，＋∞)，∴(())的值域是[－，＋∞)．答案：[－，＋∞)．[数学抽象]设函数：→，满足()＝，且对任意，∈都有(＋)＝()()－()－＋，则( )＝.解析：令＝＝，则()＝()·()－()－＋＝×－－＋＝.令＝，则()＝()()－()－＋，将()＝，()＝代入，可得()＝＋，所以( )＝ .答案：。
高三江苏专版数学一轮复习课时作业(5)函数的单调性与最值.pdf
机械能与内能的相互转化 教学目标： 知识与技能： （1）通过活动，认识到做功是改变物体内能的一种方式，是机械能能向内能的转化过程。
（2）通过观察、分析内能转化为机械能的过程，知道热机的工作原理。
（3）借助模型或多媒体，了解四冲程汽油机的基本结构及其工作过程。
方法与过程： （1）通过观察和分析，知道做功是改变内能的方式之一。
（2）通过观察演示，认识汽油机，了解汽油机的四个冲程及能量的转化情况。
（3）体验用类比方法，加深对物理概念理解的过程，学会迁移学习。
（4）通过阅读“化石燃料的燃烧和环境保护”一文，认识燃烧排放物对环境的影响。
情感、态度、价值观： （1）有应用科学原理解决实际问题的意识和积极性。
（2）通过探究或体验探究的过程，激发主动学习的兴趣。
（3）通过汽油机的学习以及阅读“热机的发展历程”，了解内能的利用在人类社会发展史上的重要意义。
（4）通过阅读“化石燃料的燃烧和环境保护”，初步认识能源与人类生存和社会发展的关系。
教学设计思路： 本节教材主要介绍了：做功可以改变内能，机械能与内能的相互转化，热机的一般工作原理，热值。
就课堂教学而言，主要分为五个活动组成，分两课时进行： 活动一:研究做功能否改变物体的内能； 活动二:演示点火爆炸----将内能转化为机械能； 活动三:热机——介绍汽油机的结构、汽油机的一个工作循环、能量转化情况； 活动四：“生活·物理·社会”——热机的发展历程。
活动五：比较质量相同的不同燃料充分燃烧时放出的热量 教材首先从功能改变物体的内能入手，与上一节若传递改变物体内能的内容相呼应，有助于学生认识这两种改变物体内能方式之间的异同。
接着介绍了内能转化为机械能，为下面进行热机的教学进行了铺垫。
本节重点介绍了四冲程汽油机的构造和工作过程，而对柴油机和蒸气机则在“信息库”中予以介绍，这样做既能突出重点又能扩大学生的知识面。
通过“热机的发展历程”一文，展示热机的发展对人类社会文明的进程所起的积极作用，使学生了解内能的利用在人类社会发展史上的重要意义。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值教案文(含解析)苏教版
第二节 函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值[小题体验]1．(2019·常州一中月考)f (x )＝|x ＋2|的单调递增区间为________．答案：[－2，＋∞)2．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，因为[2，a ]⊆(0，＋∞)， 所以f (x )＝1x在[2，a ]上也是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a， 所以12＋1a ＝34，所以a ＝4. 答案：43．函数f (x )是在区间(－2,3)上的增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是________． 解析：由－2＜x ＋5＜3，得－7＜x ＜－2，故y ＝f (x ＋5)的递增区间为(－7，－2)． 答案：(－7，－2)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x. 3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏] 1．(2019·海安期中)函数f (x )＝x ＋12x ＋1的单调递减区间为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 2．已知函数f (x )＝log 5(x 2－3x －4)，则该函数的单调递增区间为________．解析：由题意知x 2－3x －4＞0，则x ＞4或x ＜－1，令y ＝x 2－3x －4，则其图象的对称轴为x ＝32， 所以y ＝x 2－3x －4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞)考点一 函数单调性的判断 基础送分型考点——自主练透[题组练透]。
高考数学一轮复习课时跟踪检测(五)函数的单调性与最值理(普通高中)
课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )2)＋x ln(＝y ．Ax ＋1＝－y ．Bx⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝y ．C1x＋x ＝y ．D 解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．的取值范a 上是单调递增的，则实数)4，∞－(在区间3－x 2＋2ax ＝)x (f ．如果函数2围是( )⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0D. 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；，1a＝－x 的对称轴为)x (f 时，二次函数≠0a 当 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， <0.a ≤14，解得－≥41a ，且－<0a 所以 .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0的取值范围是a 综上，实数 3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足) (的取值范围是x 的⎝ ⎛⎭⎪⎫13f ＜1)－x (2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D. 解析：选 D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜.⎝ ⎛⎭⎪⎫13f .23＜x ≤12，解得13＜1－x 0≤2所以 4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )0) ，∞－(．A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B. ∞)，＋[0．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D. 解析：选B y ＝|x |(1－x )⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，x≥0，－x 1－x ，x<0，＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x≥0，x2－x ，x<0，＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x<0.＝ 画出函数的大致图象如图所示．上单调递增．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12由图易知原函数在 5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2) B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3) C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2) D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3) 解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)．) (，则∞)，＋(2∈2x ，(1,2)∈1x ，若11－x＋x 2log ＝)x (f ．已知函数6 )<0 2x (f ，)<01x (f ．A )>02x (f ，)<01x (f ．B )<02x (f ，)>01x (f ．C)>02x (f ，)>01x (f ．D 1x 当∴，0＝(2)f 上为增函数，且∞)，＋(1在11－x ＋x 2log ＝)x (f 函数∵ B 解析：选)>0.2x (f ，)<01x (f ，即0＝(2)f )>2x (f 时，∞)，＋(2∈2x ；当0＝(2)f )<1x (f 时，(1,2)∈．________的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧1x，x≥1，－x2＋2，x<1＝)x (f ．函数7 (1)f 处取得最大值，为1＝x 在)x (f 为减函数，所以1x ＝)x (f 时，函数≥1x 解析：当)x (f 故函数2.＝(0)f 处取得最大值，为0＝x 在2＋2x ＝－)x (f ，易知函数时<1x ；当1＝的最大值为2. 答案：2．________，则该函数的单调递增区间为x2－2x －3＝)x (f ．已知函数8 ，所以函数≥3x 或1－≤x ，解得3≥0－x 2－2x ，即≥0t ，由3－x 2－2x ＝t 解析：设＝x 的图象的对称轴为3－x 2－2x ＝t ．因为函数)∞，＋[3∪1]，－∞－(的定义域为)x (f 1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)________.＝a ，则34上的最大值与最小值的和为]a ，[2在区间1x ＝)x (f ．若函数9 ，＋(0⊆]a ，[2∵上是减函数，∞)，＋(0在1x＝)x (f 的图象知，1x ＝)x (f 解析：由∞)，上也是减函数，]a ，[2在1x ＝)x (f ∴ ，1a＝)a (f ＝min )x (f ，12＝(2)f ＝max )x (f ∴ 4.＝a ∴，34＝1a ＋12∴ 答案：4，其中在区间1＋x 2＝y ④；1|－x |＝y ③；1)＋x (12log ＝y ②；12x ＝y ①．给定函数：10(0,1)上单调递减的函数序号是________．＝y ，故1＜12＜0上递增，且(0,1)在1＋x ＝t 因为②上递增；(0,1)在12x ＝y ①解析：x ＝u 因为④上递减；(0,1)在1|－x |＝y 结合函数图象可知③上递减；(0,1)在1)＋x (12log 上单调递减的函(0,1)上递增，故在区间(0,1)在1＋x 2＝y ，故1＞2上递增，且(0,1)在1＋数序号是②③. 答案：②③B 级——中档题目练通抓牢上均为增函数，1]，－2－[和)∞，＋[3在区间R ∈x ，2＋|x |a ＋2x ＝)x (f ．若函数1则实数a 的取值范围是( )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3A. 4]，－6－[．B[]－3，－22C.[]－4，－3D. 解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单∈a2上为减函数，故－[1,2]上为增函数，在)∞，＋[3在)x (f 调性即可．由题意知函数[2,3]，即a ∈[－6，－4]．2．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．3．(2018·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相＝c ，f 0.320.32＝b ，f 30.230.2＝a ，记>0x2f x1－x1f x2x1－x2，都有2x ，1x 等的正数)(的大小关系为c ，b ，a ，则f log25log25A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a ，2x >1x ，不妨设2x ，1x 对任意两个不相等的正数 B 解析：选 ，>0x2fx1－x1f x2x1－x2∵，)>02x (f 1x －)1x (f 2x ∴ ，>0f x2x2－f x1x1＝x2fx1－x1f x2x1x2∴，f x2x2>f x1x1即上的增函数．∞)，＋(0是f xx∴，5>22log ，<12<2,0<0.30.5<30.21<3∵，52<log 0.2<320.3∴ ∴b <a <c .的递减区间是)x (g ，则函数1)－x (f 2x ＝)x (g ⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，＝)x (f ．设函数4________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ＞1，0，x ＝1，－x2，x ＜1.＝)x (g 由题意知 作出函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)的k 上具有相同的单调性，则实数∞)，＋(3在2)－x (3log ＝y 与2x ＋kx －2＝y ．若函数5取值范围是____________．＝2x ＋kx －2＝y 上为增函数，故函数∞)，＋(3在2)－x (3log ＝y 解析：由于 4.＜－k ，得0＜k ＋4上也是增函数，则有∞)，＋(3在4＋kx －2＋2＝2x －2＋4＋k x －2 答案：(－∞，－4)．0)＞x ，0＞a (1x －1a ＝)x (f ．已知函数6 (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；的值．a ，求⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2在)x (f 若(2) ，0＞2x ＞1x 证明：任取(1)解： ，x1－x2x1x2＝1x2＋1a －1x1－1a ＝)2x (f －)1x (f 则 ，0＞2x ＞1x ∵ ，0＞2x 1x ，0＞2x －1x ∴ ，0＞)2x (f －)1x (f ∴ ，)2x (f ＞)1x (f 即∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．上为增函数，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2在)x (f 可知，(1)由(2) ，12＝2－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ∴ ，2＝12－1a ＝(2)f .25＝a 解得 ．)a ≠x (xx －a＝)x (f ．已知7 (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．.xx ＋2＝)x (f 时，2＝－a 证明：当(1)解： ，2x ＜1x ，且2)，－∞－(∈2x ，1x 任取 .2x1－x2x1＋2x2＋2＝x2x2＋2－x1x1＋2＝)2x (f －)1x (f 则 ，0＜2x －1x ，0＞2)＋2x 2)(＋1x (因为 ，)2x (f ＜)1x (f ，即0＜)2x (f －)1x (f 所以 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． ，2x ＜1x ，且∞)，＋(1∈2x ，1x 任取(2) .a x2－x1x1－a x2－a ＝x2x2－a －x1x1－a ＝)2x (f －)1x (f 则 ，0＞)2x (f －)1x (f ，又由题意知0＞1x －2x ，0＞a 因为 ≤1.a 恒成立，所以0＞)a －2x )(a －1x (所以 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． C 级——重难题目自主选做的取值范围x ，则实数)x (f )>2x －(2f 若⎩⎪⎨⎪⎧x3，x≤0，ln x ＋1，x>0，＝)x (f ．已知函数1是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连也是增1)＋x ln(＝)x (f 时，>0x 为增函数，当3x ＝)x (f 时，函数≤0x 当∵续的曲线．又，x >2x －2等价于)x (f )>2x －(2f 上的增函数．因此，不等式R 是定义在)x (f 函数∴函数，<1.x 2<，解得－2<0－x ＋2x 即 上是减函数，I 在区间f xx ＝y 上是增函数，且函数I 在区间)x (f ＝y ．如果函数2那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x ))(为I ”缓增区间“，则”缓增函数“上的I 是区间32＋x －2x 12＝ ∞)，＋[1．A ] 3，[0．B [0,1]．C] 3，[1．D 在区间)x (f ＝y ，所以函数1＝x 的对称轴为32＋x －2x 12＝)x (f 因为函数 D 解析：选，≥1)x 1(－32x＋x 12＝)x (g ，令1－32x ＋x 12＝fx x 时，≥1x 上是增函数，又当∞)，＋[1在区32x＋1－x 12＝f x x ，即函数3≤x 1≤，得)≤0x ′(g ，由x2－32x2＝32x2－12＝)x ′(g 则．] 3，[1为I ”缓增区间“上单调递减，故] 3，[1间。
(江苏专版)2020版高考数学(理)一轮复习：课时跟踪检测(12套,含答案)
( )5 25
25
则 g(t)max＝g 2 ＝ 8 ，所以 a≥ 8 ；
( ) 1 5 1 5 25 t＋ 记 h(t)＝2t2＋2t＝2 2 2－ 8 ，
则 h(t)min＝h(2)＝7，所以 a≤7， 25
综上所述， 8 ≤a≤7.
[ ] 25 ，7 所以实数 a 的取值范围是 8 .
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
3 k＋α＝2.
3 答案：2
2．(2019·连云港调研)若函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
则 a 的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 的对称轴为 x＝a－1，
f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
＝2x＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则 b 的取值范围是________．
1 解析：由题意设 m(x)＝f(x)－g(x)＝3x3－x2－3x－b， 则 m′(x)＝x2－2x－3，
由 m′(x)＝0，得 m＝－1 或 m＝3.
∵f(x)与 g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，
∴x＝－1 是函数 m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．
________．
解析：不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max， 令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)＜f(4)＝－2，所以 a＜－2.
答案：(－∞，－2)
4．(2018·泰州中学调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f(x)
1．(2019·金陵中学期中)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若
高考数学一轮复习课时跟踪检测五函数的单调性与最值理含解析
课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(·如皋中学月考)函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是________． 解析：因为函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|＝|(x －1)2＋1|＝(x －1)2＋1， 所以函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)2．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：143．(·徐州质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x －log 2(x ＋2)是在区间[－1,1]上的减函数，所以最大值为f (－1)＝3.答案：34．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (2x －1)＜f (5)的x 的取值范围是________．解析：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，且f (2x －1)＜f (5)，所以|2x －1|＞5，即x ＜－2或x ＞3.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，所以a ≤1. 又g (x )＝(a ＋1)1－x在[1,2]上是减函数．所以a ＋1＞1，所以a ＞0.综上可知0＜a ≤1. 答案：(0,1]6．(·海门中学高三检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x ＜1，a x，x ≥1，满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立， ∴函数f (x )在定义域上是增函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，a ＞1，a ≥32，解得32≤a ＜2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 二保高考，全练题型做到高考达标 1．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(·江阴高三检测)设a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,5]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为______________．解析：∵a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |＝log a |x ·(ax －1)|在[3,5]上是单调增函数，∴当a ＞1时，y ＝x ·(ax －1)在[3,5]上是单调增函数，且y ＞0，满足f (x )是增函数；当0＜a ＜1时，要使f (x )在[3,5]上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3≥12a ，5＜1a ，解得16≤a＜15. 综上可得，a ＞1或16≤a ＜15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，15∪(1，＋∞) 3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝－x ＋3是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：14．(·徐州一模)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1,2]为函数f (x )＝|2x－t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x－t |.因为区间[1,2]为函数f (x )＝|2x－t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数g (x )＝|2－x－t |在[1,2]上单调性相同， 因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x－t 的单调性相反， 所以(2x－t )(2－x－t )≤0在[1,2]上恒成立， 即2－x ≤t ≤2x在[1,2]上恒成立，解得12≤t ≤2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 5．(·金陵中学月考)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，所以0≤a ＜1.答案：[0,1)6．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系为____________(用“＜”表示)．解析：因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)＞f (3)＞f (2)，所以f (－2)＜f (－3)＜f (π)． 答案：f (－2)＜f (－3)＜f (π)7．(·苏州高三暑假测试)已知函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)，当x ∈[1,3]时，函数f (x )的值域为A ，若A ⊆[8,16]，则a 的值等于________．解析：因为A ⊆[8,16]，所以8≤f (x )≤16对任意的x ∈[1,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤16x －x 2，a ≥8x －x2对任意的x ∈[1,3]恒成立，当x ∈[1,3]时，函数y ＝16x －x 2在[1,3]上单调递增，所以16x －x 2∈[15,39]，函数y ＝8x －x 2在[1,3]上也单调递增，所以8x －x 2∈[7,15]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤15，a ≥15，即a 的值等于15.答案：158．若函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0，所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 10．(·江阴期中)设函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝310.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)． 解：(1)因为f (x )＝ax ＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (0)＝b ＝0，所以f (x )＝ax1＋x 2，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13a 1＋19＝310， 解得a ＝1，所以f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－1,1)．(2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22. 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，又因为x 1，x 2∈(－1,1)，所以1－x 1x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由题意，不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)可化为f (|t |－1)＋f (t 2)＜0，即f (t 2)＜－f (|t |－1)，因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (t 2)＜f (1－|t |)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t 2＜1，－1＜1－|t |＜1，t 2＜1－|t |，解得1－52＜t ＜5－12且t ≠0，所以该不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是____________．解析：因为f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，所以由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －8≤9，解得8＜x ≤9.答案：(8,9]2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2， 则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0， 因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
江苏专用2020年高考数学一轮复习考点05函数的单调性与最值必刷题含解析
考点05 函数的单调性与最值1．函数在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设，则，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又排除选项D ；，排除选项A ，故选B ．2．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，．，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C ．3．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足.若(3)1f =,则不等式的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．D ．【答案】A【解析】因为对121x x ∀<≤,满足，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，当2log 1x >时，即当2x >时，，综上所述：不等式的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A. 4．函数的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A 【解析】函数,所以或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
5．已知函数，则的小关系是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】函数为偶函数，，，当时，，函数在上递增，，即，故选：． 6．记设，则（ ） A ．存在 B ．存在C ．存在D ．存在【答案】C【解析】解：x2﹣x3＝x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|＝|t2+（﹣t）3|＝|t2﹣t3|＝t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t2+t3|＝t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t2﹣（﹣t）3＝t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|＝|t3+（﹣t）3|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t3+t3|＝2t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t3﹣（﹣t）3＝2t3，当t＝1时，|f（t）+f（﹣t）|＝|1+（﹣1）|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，f（t）﹣f（﹣t）＝1﹣（﹣1）＝2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|＝f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）＝f（1+t）+f（1﹣t）＝（1+t）2+（1﹣t）3＝﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）＝﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）＝0得﹣3t2+8t﹣1＝0，∴△＝64﹣12＝52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）＝（1+t）﹣f（1﹣t）＝（1+t）2﹣（1﹣t）3＝t3﹣2t2+5t，则h′（t）＝3t2﹣4t+5＝3（t）20，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）＝0，∴|h（t）|＝h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＝f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选：C．7．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】当时，,,函数是定义域为的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要.故答案为：A.8．在平面直角坐标系xoy 中，对于点(),A a b ，若函数()y f x =满足：，都有，就称这个函数是点A 的“限定函数”．以下函数：①12y x =，②221y x =+，③sin y x =，④，其中是原点O 的“限定函数”的序号是______．已知点(),A a b 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是______．【答案】①③ (,0]-∞ 【解析】要判断是否是原点O 的“限定函数”只要判断：[1,1]x ∀∈-，都有[1,1]y ∈-，对于①12y x =，由[1,1]x ∈-可得，则①是原点O 的“限定函数”；对于②221y x =+，由[1,1]x ∈-可得，则②不是原点O 的“限定函数”对于③sin y x = ，由[1,1]x ∈-可得，则③是原点O 的“限定函数”对于④，由[1,1]x ∈-可得[0,ln 3]y ∈⊄[1,1]-，则④不是原点O 的“限定函数”点A(a, b)在函数2xy =的图像上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，可得2a b =，由，即，即，可得，可得1a ≤，且0a ≤，即0,a a ≤的范围是(,0]-∞， 故答案为：①③；(,0]-∞. 9．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为____． 【答案】【解析】函数是定义域为的偶函数，可转化为，又在上单调递增，，两边平方解得：，故的解集为.10．函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】【解析】 解：f （x ）＝x 3+2019x ﹣2019﹣x+1，可得f （x ）＝﹣x 3+2019﹣x ﹣2019x +1， 则f （x ）+f （x ）＝2，f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜2，即为f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜2＝f （x ）+f （x ），f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜2对∀θ∈R 恒成立，可令x ＝sin θ+cos θ，则f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜f （sin θ+cos θ）+f （1﹣sin θ﹣cos θ），可得f （sin2θ﹣t ）＜f （1﹣sin θ﹣cos θ）恒成立， 由于f （x）在R 上递增，f （x）的图象向右平移个单位可得f （x ）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m sin（θ），则m，则g（m）＝m2+m﹣2，其对称轴m，故当m时，g（m）取的最大值，最大值为22．则t，故答案为：（，+∞）.11．已知函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数．若，则满足的x的取值范围是______．【答案】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数，则在在上也是增函数，故函数在R上也是增函数；又由，则，则解可得，即不等式的解集为故答案为：.12．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】令，则，∵，∴，函数在递减，∴，∴，，∴，即，故，解得：，∴.故答案为：13．若实数,x y 满足.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵，∴10x y -+＞，,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号，当且仅当时取等号∴且，即，因此（当且仅当0k =时取等号），从而xy 的最小值为1.414．设曲线在点()01,A x y 处的切线为1l ，在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______.【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】，，存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得，即,,，令，,，∴312y ≤≤， 故312a ≤≤，∴答案为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 15．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____． 【答案】【解析】 不等式可化为：若对任意，总存在，使得成立，则：当时，的最大值为：当时，的最大值为：最小值为：所以可化为：，解得：.故：16．己知实数x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_______．【答案】4－2【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故，，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以.17．设函数（）．若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】存在, 使，，当时, ,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1) 若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.18．已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此19．已知函数，，则最大值是______．【答案】【解析】分析：分x=0和x≠0两种情况讨论．当x≠0时，利用换元法将问题转化为求函数在区间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值．详解：①当x=0时，；②当x≠0时，由，令，由得，则，由于在上单调递减，所以，此时x＝，所以f(x)≤．故f(x)的最大值为．20．选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围. 【答案】(I) 最大值为1. (Ⅱ)【解析】解：（Ⅰ）函数可化为，由，即时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数在上单调递增，∵，，，∴，即，所以，∴.即实数的取值范围是.21．已知函数（且）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，讨论函数在区间上的最值.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）函数的定义域是..当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.①当，即时，函数在区间上单调递减，所以函数在上的最大值为，最小值为；②当，即时，函数在区间上单调递增，所以函数在上的最大值为，最小值为；③当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在上的最小值为.最大值为与中的较大者.下面比较与的大小：因为，令，得，化简得，解得.因为，且，所以.所以当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为.综上，当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为；最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为.22．选修4-5：不等式选讲设的最小值为k .（1）求实数k 的值； （2）设m ，n ∈R ，，求证：.【答案】（1）2k =；（2）见详解. 【解析】（1）当1x =时，()f x 取得最小值，即.（2）证明：依题意，，则.所以22111m n ++，当且仅当，即22m =，20n =时，等号成立.所以.23．已知函数()f x 的图像在[]a b ，上连续不断，定义：（[]x a b ∈，），（[]x a b ∈，），其中表示函数()f x 在D 上的最小值，表示函数()f x 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得对任意的[]x a b ∈，成立，则称函数()f x 为[]a b，上的“k 阶收缩函数”.（1）若， []0x π∈，，试写出()1f x ， ()2f x 的表达式；（2）已知函数()2f x x =， []14x ∈-，，判断()f x 是否为[]14-，上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由； （3）已知0b >，函数，是[]0b ，上的2阶收缩函数，求b 的取值范围.数学附加题 【答案】(1)， []0x π∈，， ()21f x =， []0x π∈，.(2) 163k ≥ .即存在4k =，使得()f x 是[]1,4- 上的“4阶收缩函数”. (3)【解析】试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出()1f x ， ()2f x 的解析式；（2）根据函数()2f x x =，[]14x ∈-，上的值域，先求出()1f x ， ()2f x 的解析式，再根据求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调性，进而写出()1f x ， ()2f x 的解析式，然后再由求出k 的取值范围.试题解析： （1）由题意可得：， []0x π∈，， ()21f x =， []0x π∈，.（2），，当[]10x ∈-，时，，∴1k x ≥-， 2k ≥；当()01x ∈，时， ()11k x ≤+，∴11k x ≥+，∴1k ≥； 当[]14x ∈，时，，∴21x k x ≥+， 165k ≥综上所述， 165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，上的“4阶收缩函数”. （3），令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时， ()f x 在[]0b ，上单调递增，因此，，.因为是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以，①，对[]0x b ∈，恒成立；②存在[]0x b ∈，，使得成立.①即：对[]0x b ∈，恒成立，由解得01x ≤≤或2x ≥.要使对[]0x b ∈，恒成立，需且只需01b <≤.②即：存在[]0x b ∈，，使得成立.由解得0x <或.所以，只需b >. 综合①②可得（2）当23b <≤时， ()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，，，， 0x x -=，显然当0x =时，不成立，（3）当3b >时， ()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，，，， 0x x -=，显然当0x =时，不成立.综合（1）（2）（3）可得：.24．已知f(x)＝，x ∈[1，＋∞)。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五函数及其表示含解析.pdf
课时跟踪检测(五) 函数及其表示1．(2019·重庆调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋的定义域是( )1x －3A ．(2,3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得Error!解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋的定1x －3义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.2．(2018·合肥质量检测)已知函数f (x )＝Error!则f (f (1))＝( )A ．－B ．212C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋＝4.故选C.13－23．已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f (g (1))＝1，则a ＝( )A ．1 B ．2C ．3D ．－1解析：选A 由已知条件可知f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.4．(2018·荆州联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝的定f x ＋1x －1义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，又x ≠1，所以函数g (x )＝的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．f x ＋1x －15．已知f ＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )(12x －1)A. B ．－7474C. D ．－4343解析：选A 令t ＝x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，故f (x )＝4x －1，12则f (a )＝4a －1＝6，解得a ＝.746．(2019·石家庄模拟)已知f (x )＝Error!(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝，b ＝1，12所以f (x )＝Error!则f (－3)＝－3＋1＝9，(12)f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.7．(2018·福州二模)已知函数f (x )＝Error!若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－ B ．31516C ．－或3 D ．－或363641516解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－.故选A.15168．(2019·合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( )A. B.9894C. D ．992解析：选C ∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝2f＝2×2＝.(32)(32)929．(2019·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且3f (x )＋5f ＝＋1，则函数f (x )(1x )3x的解析式为________________________．解析：用代替3f (x )＋5f ＝＋1中的x ，得3f ＋5f (x )＝3x ＋1，1x(1x )3x(1x )∴Error!①×3－②×5得f (x )＝x －＋(x ≠0)．1516916x 18答案：f (x )＝x －＋(x ≠0)1516916x 1810．设函数f(x)＝Error!若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝Error!当m>0时，f(m)>f(－m)，即－ln m>ln m，即ln m<0，解得0<m<1；当m<0时，f(m)>f(－m)，即ln(－m)>－ln(－m)，即ln(－m)>0，解得m<－1.综上可得，m<－1或0<m<1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若函数y＝f(x＋1)的值域为[－1,1]，则函数y＝f(3x＋2)的值域为( )A．[－1,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[2,8]解析：选A 函数y＝f(x＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y＝f(3x＋2)的值域为[－1,1]．故选A.2．(2018·山西名校联考)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为( ) A．(－9，＋∞)B．(－9,1)C．[－9，＋∞)D．[－9,1)解析：选B f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，其定义域为Error!的解集，解得－9<x<1，所以f[f(x)]的定义域为(－9,1)．故选B.mx2＋mx＋13．(2018·安阳三校联考)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A．[0,4) B．(0,4)C．[4，＋∞) D．[0,4]解析：选D 由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则Error!解得0<m≤4.综上可得，0≤m≤4.4．(2019·珠海质检)已知函数f(x)＝Error!的值域为R，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B.(－1，12)[－1，12)(0，12)C. D.解析：选C 由题意知y＝ln x(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a >0，且a ≥－1，解得－1≤a <.125．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝的值域是[0，＋∞)，则实mx 2＋ m －3 x ＋1数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m >0时，Δ＝(m －－3x ＋13)2－4m ≥0，解得0<m ≤1或m ≥9.显然m <0时不合题意．综上可知，实数m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)(二)技法专练——活用快得分6．[排除法]设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝Error!则( )A ．|x |＝x |sgn x | B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A 、B 、C ，故选D.7．[特殊值法]函数y ＝(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a ＋log a ＝a －a x 56485( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＝1时，y ＝0，则函数y ＝在[0,1]上为减函数，故a >1.∴当x ＝0a －a x 时，y ＝1，则＝1，∴a ＝2.∴log 2＋log 2＝log 2＝log 28＝3.a －156485(56×485)8．[数形结合法]设函数f (x )＝Error!则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的大致图象如图，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又因为x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，则结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)(三)素养专练——学会更学通9．[逻辑推理]具有性质f＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给(1x )出下列函数：①f (x )＝x －；②f (x )＝x ＋；③f (x )＝Error!其中满足“倒负”变换的函数1x 1x是( )A．①③B．②③C．①②③D．①②(1x)1x(1x)1x 解析：选A 对于①，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不(1x)(1x)(1x)满足题意；对于③，f＝Error!即f＝Error!故f＝－f(x)，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.10．[数学运算]已知函数f(x)＝Error!g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝__________，f(g(x))的值域为________．解析：g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2.易得g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－1<g(x)≤0，f(g(x))＝[g(x)]2－1∈[－1,0)；若g(x)>0，f(g(x))＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f(g(x))的值域是[－1，＋∞)．答案：2 [－1，＋∞)11．[数学抽象]设函数f：R→R，满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 018)＝________.解析：令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)·f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 018)＝2 019.答案：2 019。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(五) 函数的单调性与最值 Word版含解析
课时跟踪检测() 函数的单调性与最值五一、题点全面练1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝B ．y ＝cos x11－x C ．y ＝ln(x ＋1) D ．y ＝2－x解析：选D 函数y ＝2－x ＝x 在(－1,1)上为减函数．(12)2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选B 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.故选B.4．函数f (x )＝的单调递增区间是( )x 1－x A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选C 因为f (x )＝＝－1＋，－(1－x )＋11－x11－x 所以f (x )的图象是由y ＝－的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个1x单位得到，而y ＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；1x所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.5．(2019·赣州模拟)设函数f (x )＝Error!g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析：选B 由题知，g (x )＝Error!可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1)．6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A. B ．[－6，－4][－113，－3]C. D.[－3，－22][－4，－3]解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a ∈[－6，－a 24]．7．函数y ＝，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )2－x x ＋1A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)解析：选D 函数y ＝＝＝－1，2－x x ＋13－x －1x ＋13x ＋1且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0，所以－1≤m ＜2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝在区间(1，＋f (x )x∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋－2a 在[，＋∞)上为增函数，故选D.a x|a |9．(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝Error!又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴Error!∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为，则函数g (x )＝f (x )＋的值域为________．[38，49]1－2f (x )解析：∵≤f (x )≤，∴≤≤.3849131－2f (x )12令t ＝，1－2f (x )则f (x )＝(1－t 2)，12(13≤t ≤12)令y ＝g (x )，则y ＝(1－t 2)＋t ，12即y ＝－(t －1)2＋1.12(13≤t ≤12)∴当t ＝时，y 有最小值；1379当t ＝时，y 有最大值.1278∴g (x )的值域为.[79，78]答案：[79，78]二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．函数y ＝log (－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是( )13A ．(－1,1]B ．(－∞，1)C ．[1,3)D ．(1，＋∞)解析：选C 令t ＝－x 2＋2x ＋3，由－x 2＋2x ＋3>0，得－1＜x ＜3.函数t ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴方程为x ＝1，则函数t ＝－x 2＋2x ＋3在[1,3)上为减函数，而函数y ＝log t 为定义域内的减函数，13所以函数y ＝log (－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是[1,3)．132．(2019·西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C.3．已知函数f (x )＝Error!是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. B.[14，12)[14，12]C. D.(0，12][12，1)解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，则二次函数y ＝ax 2－x －的图象开口向上，14所以函数f (x )在R 上单调递减，故有Error!即Error!所以a ∈.[14，12]4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得Error!解得－3＜a ＜－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)(二)技法专练——活用快得分5．[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n >0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n >0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x )，由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数，∴F (x )是R 上的减函数，∴当m ＜n 时，有F (m )>F (n )，即f (m )－f (－m )>f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A.6．[三角换元法]函数y ＝x ＋的最小值为________．－x 2＋10x －23解析：原函数可化为：y ＝x ＋.2－(x －5)2由2－(x －5)2≥0⇒|x －5|≤，2令x －5＝cos α，2那么|cos α|≤⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π，22。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(五)函数的单调性与最值
根据题意x∈(m，n]时，ymin＝0.
所以m的取值范围是－1＜m＜2.
★答案★：B
5．设函数f(x)＝ 若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，1]B．(－∞，2]
C．[2，6]D．[2，＋∞)
解析：易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数．
所以f ＝ ，f(2)＝2，易知a＝ .
10．函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)．
(1)求方程f(x)＝0的解；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值．
解：(1)由 得－3<x<1.
所以f(x)的定义域为(－3，1)．
f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)．
因为函数f(x)的最小值为－1，所以loga4＝－1，解得a＝ ，
所以实数a的值为 .
B组 素养提升
11．(2019·安阳一模)已知函数f(x)满足：①对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都有 >0；②对定义域内的任意x，都有f(x)＝f(－x)，则符合上述条件的函数是()
A．f(x)＝x2＋|x|＋1B．f(x)＝ －x
★答案★：3
7．设函数f(x)＝ 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
解析：f(x)＝ ＝a－ ，
因为函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，
所以 即 即a≥1.
★答案★：[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是________．
因为f(a＋1)≥f(2a－1)，
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五函数的单调性与最值理含解析
课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如皋中学月考)函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是________． 解析：因为函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|＝|(x －1)2＋1|＝(x －1)2＋1， 所以函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)2．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：143．(2018·徐州质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x－log 2(x＋2)是在区间[－1,1]上的减函数，所以最大值为f (－1)＝3.答案：34．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (2x －1)＜f (5)的x 的取值范围是________．解析：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，且f (2x －1)＜f (5)，所以|2x －1|＞5，即x ＜－2或x ＞3.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，所以a ≤1. 又g (x )＝(a ＋1)1－x在[1,2]上是减函数．所以a ＋1＞1，所以a ＞0.综上可知0＜a ≤1. 答案：(0,1]6．(2019·海门中学高三检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x ＋1，x ＜1，a x，x ≥1，满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，∴函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，a ＞1，a ≥32，解得32≤a ＜2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 二保高考，全练题型做到高考达标 1．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(2019·江阴高三检测)设a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,5]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为______________．解析：∵a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |＝log a |x ·(ax －1)|在[3,5]上是单调增函数，∴当a ＞1时，y ＝x ·(ax －1)在[3,5]上是单调增函数，且y ＞0，满足f (x )是增函数；当0＜a ＜1时，要使f (x )在[3,5]上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3≥12a ，5＜1a ，解得16≤a＜15. 综上可得，a ＞1或16≤a ＜15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，15∪(1，＋∞) 3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝－x ＋3是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：14．(2018·徐州一模)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1,2]为函数f (x )＝|2x－t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x－t |.因为区间[1,2]为函数f (x )＝|2x－t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数g (x )＝|2－x－t |在[1,2]上单调性相同， 因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x－t 的单调性相反， 所以(2x－t )(2－x－t )≤0在[1,2]上恒成立， 即2－x ≤t ≤2x在[1,2]上恒成立，解得12≤t ≤2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 5．(2018·金陵中学月考)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，所以0≤a ＜1.答案：[0,1)6．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系为____________(用“＜”表示)．解析：因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)＞f (3)＞f (2)，所以f (－2)＜f (－3)＜f (π)．答案：f (－2)＜f (－3)＜f (π)7．(2018·苏州高三暑假测试)已知函数f (x )＝x ＋ax(a ＞0)，当x ∈[1,3]时，函数f (x )的值域为A ，若A ⊆[8,16]，则a 的值等于________．解析：因为A ⊆[8,16]，所以8≤f (x )≤16对任意的x ∈[1,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤16x －x 2，a ≥8x －x 2对任意的x ∈[1,3]恒成立，当x ∈[1,3]时，函数y ＝16x －x 2在[1,3]上单调递增，所以16x －x 2∈[15,39]，函数y ＝8x －x 2在[1,3]上也单调递增，所以8x －x 2∈[7,15]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤15，a ≥15，即a 的值等于15.答案：158．若函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a＝14. 答案：149．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0，所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 10．(2019·江阴期中)设函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝310. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)． 解：(1)因为f (x )＝ax ＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (0)＝b ＝0，所以f (x )＝ax1＋x 2，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13a 1＋19＝310， 解得a ＝1，所以f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－1,1)．(2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 2－x 1x 2＋x 21＋x 22. 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，又因为x 1，x 2∈(－1,1)，所以1－x 1x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由题意，不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)可化为f (|t |－1)＋f (t 2)＜0，即f (t 2)＜－f (|t |－1)，因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (t 2)＜f (1－|t |)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t 2＜1，－1＜1－|t |＜1，t 2＜1－|t |，解得1－52＜t ＜5－12且t ≠0，所以该不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是____________．解析：因为f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，所以由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －，解得8＜x ≤9.答案：(8,9]2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2， 则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0， 因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十四导数与函数的单调性理
xa 9．已知函数 f(x)＝4＋x－ln
1 切线垂直于直线 y＝2x.
3 x－2，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
解：(1)对 f(x)求导得
1a1 f′(x)＝4－x2－x，
1
3
由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝2x 知 f′(1)＝－4－a＝－2，解得 a＝
( )1
即 f(3)＜f(0)＜f 2 ，c＜a＜b.
答案：c＜a＜b
6．(2018·东台中学期末)已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f′(x)是 f(x)的导函数，
若 f′(x)＋f(x)＞0，且 f(0)＝1，则不等式 f(x)＜e－x 的解集为________．
解析：令 g(x)＝exf(x)，则 g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]＞0，
所以 g(x)在 R 上单调递增，而 f(0)＝1，故 g(0)＝1.
f(x)＜e－x 等价于 exf(x)＜1，
则 g(x)＜g(0)，解得 x＜0.
答案：(－∞，0)
7．已知定义在 R 上的可导函数 f(x)满足 f′(x)＜1，若 f(2－m)－f(m)＜2－2m，则
实数 m 的取值范围是________．
x2 1
2 ＋2的解集为________．
1
1
1
解析：设 F(x)＝f(x)－2x，所以 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＜2，所以 F′(x)
1
x2 1
x2
＝f′(x)－2＜0，即函数 F(x)在 R 上单调递减．因为 f(x2)＜ 2 ＋2，所以 f(x2)－ 2 ＜f(1)
2020年高考数学一轮复习(新课改)课时跟踪检测(六)系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
课时跟踪检测(六) 系统知识一一函数的单调性与最值、 奇偶性、周期性1下列函数为奇函数的是 ( )A . y = xB . y = |sin x|C . y = cosxD . y = e x - e x解析：选D 因为函数y =・｛的定义域为[0, +R ),不关于原点对称， 所以函数y = x为非奇非偶函数，排除 A ;因为y = |sin x|为偶函数，所以排除B ；因为y = cosx 为偶函数，所以排除 C ;因为 y = f(x)= e x — e x , f( — x)= e x 一 e x =— (e x — e x )=_ f (x )，所以函数 y = e —e —x为奇函数，故选D.2. (2019南昌调研)已知函数f(x)= x 2— 2x — 3,则该函数的单调递增区间为 ( )A .(―汽 1]B . [3,+^ )C . ( — m,— 1]D . [1 ,+^ )解析：选B 设t = x 2— 2x — 3,由t >0，得x 2— 2x — 3> 0，解得x < — 1或x > 3.所以函 数f(x)的定义域为(一m, — 1] U [3 ,+m ).因为函数t = x 2— 2x — 3的图象的对称轴为 x = 1 , 所以函数t 在(—m,— 1]上单调递减，在[3,+m )上单调递增.所以函数 f(x)的单调递增 区间为[3 , + m ).3.设f(x)— x 2= g(x), x € R ,若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()3A. g(x) = x B . g(x) = cosxxC . g(x) = 1+ xD . g(x) = xe解析：选B 因为f(x) = x 2 + g(x),且函数f(x)为偶函数，所以有(—x)2 + g( — x)= x 2+ g(x), 即g(— x)= g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项 B 中的函数为偶函数，故选B.4. f(x)=((2019三明模拟)函数y = f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0时，f(x)= 2x ,则当x>0时, ) —2x—x—2B . 2— xD . 2x C .解析：选 C x>0,— x<0. •••当 x<0 时，f(x)= 2x ,A 当 x>0 时，f(— x)= 2— x .••• f(x)是 R 上的奇函数，.••当 x>0 时，f(x) =— f( — x) = — 2—x .故选 C. 5 .函数f(x)=的图象关于()B .原点对称 D .直线y = x 对称解析：选B f(x)的定义域为[—3,0) U (0,3]关于原点对称，且f(— x) = — f(x),A . x 轴对称 C . y 轴对称• f(x)是奇函数，图象关于原点对称.0,若f(x — 1)>0，贝U x 的取值范围为(C . f(x) •— x) w 0 解析：选 C f(— x)=— f(x),6. (2019石家庄高三一检)已知函数 f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)=A . {x|0<x<1 或 x>2}B . {x|x<0 或 x>2}C. {x|x<0 或 x>3}{x|x<— 1 或 x>1}解析：选A 由于函数f(x)是奇函数，且当 x>0时，f(x)单调递增，f(1) = 0,故由f(x—1)>0，得—1<x — 1<0 或 x —1>1，所以 0<x<1 或 x>2，故选 A. 7. (2019天津模拟)若函数f(x)满足 "对任意 X 1, (0,+° )，当X 1VX 2时，都有f(X 1)>f(X 2)”，则f(x)的解析式可以是(2A . f(x)= (x — 1) xB . f(x) = e 1C . f(x)=D . f(x) = ln(x + 1)+ °)上单调递减.解析：选C 根据条件知，f(x)在(0, f(x)= (x — 1)2在(1, + °)上单调递增，排除 A ;对于对于 B , f(x) = e x 在(0,+°)上单调递增，排除 B ;对于 f(x)= ln(x + 1)在(0,+°)上单调递增，排除 D ;对于1f(x) = -在(0, + °)上单调递减，故选 C.8.函数 6 x € [12]f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( )IX + 7, x € [ — 1, 1》A . 10,6B . 10,8C . 8,6D .以上都不对解析：选 A 当 K x w 2 时，8< 2x + 6W 10,当—K x<1 时，6< x + 7<8. •- f(x)min = f( — 1) = 6, f(x)max = f(2) = 10.9.当0w x w 2时，a< — x 2 + 2x 恒成立，则实数 a 的取值范围是(A .(―汽 1]B . (— °°, 0]C . ( —°, 0)1(0w x w 2)，函数图象如图所示：••• f(x)最小值为 f(0) = f(2) = 0.而 a< — x 2 + 2x 恒成立,/• a<0. 10.对于定义域为 R 的奇函数f(x)，下列结论成立的是( A . f(x)— f(— x)>0B . f(x) — f(— x) w 0D f ( — x)>0则 f(x) •(— x)=— f 2(x )w 0. 11.已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x + 4) = f(x),当 x € (0,2)时，f(x) = 2x 2,则 f(7) =( )A . — 2B . 2C . — 98D . 98解析：选 A 由 f(x + 4) = f(x),得 f(7) = f(3) = f(— 1).又T f(x)为奇函数， ••• f (— 1)=— f(1), f(1) = 2X 12= 2.A f(7) =— 2.故选 A. 12.若函数f(x)为偶函数，且在(0,+s )上是减函数，又 f(3) = 0，则f % — % <0的解集为()A .(—3,3) B .( — 3 — 3)U (3,+^ )C . (— 3,0)U (3, +3 ) D . ( — 3,— 3) U (0,3)解析：选CT f(x)为偶函数，f(— x)= f(x),故可化为佢<0,2x x '而f(x)在(0, +3)上是减函数，且 f(3) = 0, 故当 x>3 时，f(x)<0，当一3VXV0 时，f(x)>0 , 故 f xx<0 的解集为(—3,0) U (3, +3).2凶+1+ x 3+ 213 .已知函数f(x) =2|xi+ 1一的最大值为 M ，最小值为 m ，则M + m 等于()A . 0B . 2C . 4D . 8 解析：2 f 2|x|+1 + x 3x 3x3选 C f(x)=2ixi+ 1— 2+ 2ixi + 1，设 g(x) — 2m +〔，则 g( — x)=— g(x)(xR) , • g(x)为奇函数，• g(x)max+g(x)min= 0・ T M= f(x)max= 2+ g (x)max, m = f(x)min= 2+ g(x)min ， •-M + m=2+ g(x)max+ 2+ g(x)min=4,故选 C ・14.若函数f(x)= 3在区间［2 , a ］上的最大值与最小值的和为 3,则a= _________ .x 4解析：由f(x)= 一的图象知，f(x) = -在(0, + 3)上是减函数，T [2 , a ]? (0,+ 3), 3 1• f(x)=1在[2 , a]上也是减函数,1 1MX)” f(2)= 2, f(x)min = f(a) = a ,答案：41, x>0,15. (2019郑州模拟)设函数f(x)= 0, x = 0,g(x) = x 2f(x — 1)，则函数 g(x)的递减{- 1, x<0, 区间是 _________2x , x>1,解析：由题意知g(x) = 0, x = 1,函数的图象为如图所示的实— X 2, x<1，16.设定义在 R 上的函数f(x)同时满足以下条件：① f(x) + f( — x) = 0:②f(x) = f(x + 2); ③当 0W x<1 时,f(x) = 2x — 1,则 f 2 + f(1) + f 2 + f(2) + f 5 = _______________________ .解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2,贝U f(1) + f( — 1)= 0, f(— 1) = f(1),即卩 f(1) = 0. •-f 2 + f(1)+f 3 + f(2)+f 5 =f (2»0+f (- 缺 f (°)+唱) =-+ 佝 + f i=f 1 + f(0)=21 — 1 + 20 — 1 2 = '•：;： 2— 1. 答案：2— 1线部分，根据图象，知答案：［0,1)g(x)的递减区间是［0,1).。
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Earlybird课时跟踪检测（五）函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如皋中学月考)函数f(x)＝|x2－2x＋2|的增区间是________．解析：因为函数f(x)＝|x2－2x＋2|＝|(x－1)2＋1|＝(x－1)2＋1，所以函数f(x)＝|x2－2x＋2|的增区间是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)2．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．1 1解析：令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－(t－2 )2＋，41 1 1结合图象知，当t＝，即x＝时，y max＝.2 4 41答案：41x－log(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为2(3 )3．(2018·徐州质检)函数f(x)＝________．1 1x和y＝－log(x＋2)都是[－1,1]上的减函数，所以y＝2(3 )(解析：因为y＝3 ) x－log(x＋2)是在区间[－1,1]上的减函数，所以最大值为f(－1)＝3.2答案：34．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)＜f(5)的x的取值范围是________．解析：因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且f(2x－1)＜f(5)，所以|2x－1|＞5，即x＜－2或x＞3.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，所以a≤1.又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．所以a＋1＞1，所以a＞0.综上可知0＜a≤1.答案：(0,1]6．(2019·海门中学高三检测)已知函数f(x)＝Error!满足对任意x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立，那么实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)满足对任意x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立，∴函数f(x)在定义域上是增函数，Earlybird3 则满足Error!即Error!解得 ≤a ＜2.23答案：[，2)2二保高考，全练题型做到高考达标ax ＋11． 设 函 数 f (x )＝ 在 区 间 (－ 2， ＋ ∞) 上 是 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 x ＋2a ________．ax ＋2a 2－2a 2＋12a 2－1解析：f (x )＝ ＝a －，x ＋2a x ＋2a因为函数 f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数． 所以Error!解得 a ≥1. 答案：[1，＋∞)2．(2019·江阴高三检测)设 a ＞0且 a ≠1，函数 f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,5]上是单调 增函数，则实数 a 的取值范围为______________．解析：∵a ＞0且 a ≠1，函数 f (x )＝log a |ax 2－x |＝log a |x ·(ax －1)|在[3,5]上是单调 增函数，∴当 a ＞1时，y ＝x ·(ax －1)在[3,5]上是单调增函数，且 y ＞0，满足 f (x )是增函数； 1 1 当 0＜a ＜1时，要使 f (x )在[3,5]上是单调增函数，只需Error!解得 ≤a ＜ .6 5 1 1 综上可得，a ＞1或 ≤a ＜ .651 1答案：[∪(1，＋∞)，5)63．对于任意实数 a ，b ，定义 min{a ，b }＝Error!设函数 f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ， 则函数 h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝Error!当 0＜x ≤2 时 ，h (x )＝log 2x 是增函数，当 x ＞2时，h (x )＝－x ＋3是减函数，所以 h (x )在 x ＝2时，取得最大值 h (2)＝1.答案：14．(2018·徐州一模)已知函数 y ＝f (x )和 y ＝g (x )的图象关于 y 轴对称，当函数 y ＝f (x ) 和 y ＝g (x )在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数 y ＝f (x )的“不 动区间”，若区间[1,2]为函数 f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，则实数 t 的取值范围是 ________．解析：因为函数 y ＝f (x )与 y ＝g (x )的图象关于 y 轴对称，所以 g (x )＝f (－x )＝|2－x －t |.因为区间[1,2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，所以函数f(x)＝|2x－t|和函数g(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同，Earlybird因为 y ＝2x －t 和函数 y ＝2－x －t 的单调性相反， 所以(2x －t )(2－x －t )≤0 在[1,2]上恒成立， 1 即 2－x ≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立，解得≤t ≤2. 21答案：[，2]25．(2018·金陵中学月考)定义在[－2,2]上的函数 f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞ 0，x 1≠x 2，且 f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数 a 的取值范围为________．解析：函数 f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调 递增，所以Error!所以Error!所以 0≤a ＜1. 答案：[0,1)6．设偶函数 f (x )的定义域为 R ，当 x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则 f (－2)，f (π)， f (－3)的大小关系为____________(用“＜”表示)．解析：因为 f (x )是偶函数， 所以 f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数 f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以 f (π)＞f (3)＞f (2)，所以 f (－2)＜f (－3)＜f (π)． 答案：f (－2)＜f (－3)＜f (π)a7．(2018·苏州高三暑假测试)已知函数 f (x )＝x ＋ (a ＞0)，当 x ∈[1,3]时，函数 f (x )x的值域为 A ，若 A ⊆[8,16]，则 a 的值等于________．解析：因为 A ⊆[8,16]，所以 8≤f (x )≤16 对任意的 x ∈[1,3]恒成立，所以Error!对任 意的 x ∈[1,3]恒成立，当 x ∈[1,3]时，函数 y ＝16x －x 2在[1,3]上单调递增，所以 16x －x 2 ∈[15,39]，函数 y ＝8x －x 2在[1,3]上也单调递增，所以 8x －x 2∈[7,15]，所以Error!即 a 的值等于 15.答案：158．若函数 f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为 4，最小值为 m ，且函数 g (x )＝ (1－4m ) x 在[0，＋∞)上是增函数，则 a ＝________.1解析：函数 g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则 1－4m ＞0，即 m ＜ .若 a ＞1，则函数 f (x )4 1 1 1 在[－1,2]上的最小值为 ＝m ，最大值为 a 2＝4，解得 a ＝2， ＝m ，与 m ＜ 矛 盾；当 0＜a ＜a241 1 1时，函数 f (x )在[－1,2]上的最小值为 a 2＝m ，最大值为 a －1＝4，解得 a ＝ ，m ＝ .所以 4161a ＝ .4Earlybird1答案：419．已知函数f(x)＝a－.|x|(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．1解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，x设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2－x1＞0，1 1 1 1 x2－x1f(x2)－f(x1)＝(a－x2)－(a－x1)＝－＝＞0，x1 x2 x1x2所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．1(2)由题意a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立，x1设h(x)＝2x＋，x则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1＜x2，1h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)(2－x1x2).1 因为1＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，所以2－＞0，x1x2所以h(x1)＜h(x2)，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3，所以实数a的取值范围是(－∞，3]．ax＋b 1 10．(2019·江阴期中)设函数f(x)＝1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(3 )＝3.10(1)求函数f(x)的解析式；(2)用单调性定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(|t|－1)＋f(t2)＜f(0)．ax＋b解：(1)因为f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，1＋x2ax 所以f(0)＝b＝0，所以f(x)＝，1＋x2Earlybird1a133而 f(3 )＝＝ ， 1 10 1＋ 9解得 a ＝1，x所以 f (x )＝ ，x ∈(－1,1)． 1＋x 2(2)证明：任取 x 1，x 2∈(－1,1)且 x 1＜x 2， x 1 x 2x 1－x 21－x 1x 2则 f (x 1)－f (x 2)＝－ ＝. 1＋x 21 1＋x 1＋x 211＋x 22因为 x 1＜x 2，所以 x 1－x 2＜0，又因为 x 1，x 2∈(－1,1)，所以 1－x 1x 2＞0， 所以 f (x 1)－f (x 2)＜0，即 f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数 f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由题意，不等式 f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)可化为 f (|t |－1)＋f (t 2)＜0，即 f (t 2)＜－f (|t |－1)，因为 f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以 f (t 2)＜f (1－|t |)， 所以Error!1－ 55－1解得＜t ＜ 且 t ≠0，221－ 55－1所以该不等式的解集为(，0)∪(0， 2 ).2三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足 f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当 f (x ) ＋f (x －8)≤2 时，x 的取值范围是____________．解 析 ： 因 为 f (9)＝ f (3)＋ f (3)＝ 2， 所 以 由 f (x )＋ f (x － 8)≤2 ， 可 得 f [x (x － 8)]≤f (9)，因为 f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有Error!解得 8＜x ≤9. 答案：(8,9]x 12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f (x )满足 f (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当 x ＞1时，f (x )＜0.(1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若 f (3)＝－1，求 f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，Earlybirdx1则＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，x2x1(x2 )＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，所以f因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．x1(x2 )＝f(x1)－f(x2)得，由f9f(3 )＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.所以f(x)在[2,9]上的最小值为－2.。