3.2任意角的三角函数
每一个角度的三角函数值表
（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0. 二分之根号3cos45=0. 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0. 三分之根号3tan45=1tan60=1. 根号3tan90=无cot0=无cot30=1. 根号3cot45=1cot60=0. 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0.41253 sin5=0. sin6=0.sin7=0. sin8=0. sin9=0.sin10=0. sin11=0.65448 sin12=0.sin13=0. sin14=0. sin15=0.sin16=0. sin17=0.27367 sin18=0.49474sin19=0.71567 sin20=0.56687 sin21=0.sin22=0.5912 sin23=0.92737 sin24=0.sin25=0. sin26=0.90774 sin27=0.sin28=0.58908 sin29=0. sin30=0.sin31=0.00542 sin32=0.32049 sin33=0.5027 sin34=0.07468 sin35=0.1046 sin36=0.24731 sin37=0.20483 sin38=0.56583 sin39=0.98375 sin40=0.65392 sin41=0.05073 sin42=0.88582 sin43=0.24985 sin44=0.89972 sin45=0.65475 sin46=0.86511 sin47=0.91705 sin48=0.73941 sin49=0.27719 sin50=0.8978 sin51=0.69708 sin52=0.67219 sin53=0.72928 sin54=0.49474 sin55=0.89918 sin56=0.50417 sin57=0.54239 sin58=0.6426 sin59=0.21122 sin60=0.44386 sin61=0.93957 sin62=0.89269 sin63=0.83678 sin64=0.9167 sin65=0.66499 sin66=0.26009 sin67=0.24404 sin68=0.67873 sin69=0.72017 sin70=0.59083 sin71=0.93167 sin72=0.51535 sin73=0.30354 sin74=0.83189 sin75=0.90683 sin76=0.59965 sin77=0.52352 sin78=0.38057 sin79=0.7664 sin80=0.2208 sin81=0.51378 sin82=0.15704 sin83=0.1322 sin84=0.82733 sin85=0.17455 sin86=0.98242 sin87=0.45738 sin88=0.90958 sin89=0.63913sin90=1cos1=0.63913 cos2=0.90958 cos3=0.45738 cos4=0.98242 cos5=0.17455 cos6=0.82733 cos7=0.1322 cos8=0.15704 cos9=0.51378cos10=0.2208 cos11=0.7664 cos12=0.38057 cos13=0.52352 cos14=0.59965 cos15=0.90683 cos16=0.83189 cos17=0.30355 cos18=0.51535 cos19=0.93168 cos20=0.59084 cos21=0.72017 cos22=0.67874 cos23=0.24404 cos24=0.26009 cos25=0.66499 cos26=0.9167 cos27=0.83679 cos28=0.8927 cos29=0.93957 cos30=0.44387 cos31=0.21123 cos32=0.6426 cos33=0.5424 cos34=0.50417 cos35=0.89918 cos36=0.49474 cos37=0.72928 cos38=0.67219 cos39=0.69709 cos40=0.8978 cos41=0.2772 cos42=0.73942 cos43=0.91705 cos44=0.86512 cos45=0.65476 cos46=0.89974 cos47=0.24985 cos48=0.88582 cos49=0.05074 cos50=0.65394 cos51=0.98375 cos52=0.56583 cos53=0.20484 cos54=0.24731 cos55=0.10462 cos56=0.07468 cos57=0.50272 cos58=0.32049 cos59=0.00544 cos60=0.00001 cos61=0.63371 cos62=0. cos63=0.95468cos64=0. cos65=0. cos66=0.58004cos67=0.92737 cos68=0.59122 cos69=0.cos70=0.56688 cos71=0. cos72=0.cos73=0. cos74=0. cos75=0.cos76=0. cos77=0. cos78=0.cos79=0. cos80=0. cos81=0.cos82=0. cos83=0. cos84=0.cos85=0. cos86=0. cos87=0.cos88=0. cos89=0.72836cos90=0tan1=0. tan2=0. tan3=0.tan4=0. tan5=0. tan6=0.tan7=0.29046 tan8=0. tan9=0.tan10=0. tan11=0. tan12=0.00221tan13=0.55631 tan14=0. tan15=0.11227tan16=0.88079 tan17=0. tan18=0.29063tan19=0. tan20=0. tan21=0.54158tan22=0.51568 tan23=0.96047 tan24=0.85361 tan25=0.49986 tan26=0.58614 tan27=0.44288 tan28=0.14788 tan29=0.2769 tan30=0.96257 tan31=0.75604 tan32=0.93275 tan33=0.75104 tan34=0.24265 tan35=0.97097 tan36=0.53609 tan37=0.27942 tan38=0.67174 tan39=0.50072 tan40=0.72799 tan41=0.62267 tan42=0.78399 tan43=0.76618 tan44=0.70739 tan45=0.99999 tan46=1.05693 tan47=1.46826 tan48=1.91927 tan49=1.10092 tan50=1.421 tan51=1.5051 tan52=1.30785 tan53=1.04098 tan54=1.11733 tan55=1.21144 tan56=1.27403 tan57=1.45827 tan58=1.10506 tan59=1.05173 tan60=1.88767 tan61=1.14235 tan62=1.63318 tan63=1.51503 tan64=2.9296 tan65=2.95586 tan66=2.4215 tan67=2.3753 tan68=2.62946 tan69=2.38023 tan70=2.46216 tan71=2.5822 tan72=3.52526 tan73=3.41404 tan74=3.09087 tan75=3.88776 tan76=4.58455 tan77=4.4153 tan78=4.8456 tan79=5.0307 tan80=5.7707 tan81=6.5041 tan82=7.4207 tan83=8.4593 tan84=9.2587 tan85=11.132 tan86=14.1942 tan87=19.816 tan88=28.5515 tan89=57.9144tan90=无取值。
任意角三角函数定义
01
在三角形中，已知两边长，可用正弦、余弦定理求解未知角。
求解边长
02
在三角形中，已知两角及一边，或已知两边及夹角，可用正弦、
余弦定理求解未知边长。
判断三角形形状
03
通过比较三角形内角的大小关系，可以判断三角形的形状（如
锐角、直角、钝角三角形）。
物理学中应用举例
简谐振动
描述物体在平衡位置附近的往复运动，其运动规律可 用三角函数表示。
弧度制
以弧长与半径之比来度量角的大小， 是国际单位制中的角度单位，常用于 微积分等高级数学领域。
三角函数定义域与值域
定义域
三角函数中的自变量，即角度或弧度，其取值范围通常是实数集或其子集。
值域
三角函数中的因变量，即函数值，其取值范围依赖于具体的三角函数。例如，正弦函数和余弦函数的值域为[1,1]，而正切函数的值域为全体实数。
04
正切、余切函数性质与图 像
正切函数性质及图像特点
定义域
正切函数的定义域为所有不等于直角的角 度。
图像特点
正切函数的图像是一条连续的、无穷无尽 的曲线，以π为周期，在每个周期内，图像 从负无穷大增加到正无穷大。
值域
正切函数的值域为全体实数。
奇偶性
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x) 。
THANKS
感谢观看
正切、余切关系式推导
正切与余切的关系式
tan(x) = 1/cot(x)，cot(x) = 1/tan(x)。
VS
推导过程
根据三角函数的定义，正切函数和余切函 数可以表示为对边与邻边之比和邻边与对 边之比。因此，正切函数和余切函数互为 倒数关系。
05
三角函数在各领域应用举 例
中职数学同步教学劳保版(第七版)上册《角的概念的推广》课件
定为 D .
题
按键顺序
显示
6
6 SHIFT DRG 2 =
343.7746771
π
（ SHIFT π ÷ 7 ） SHIFT DRG 2 =25.71428571
7
-2.5
（-） 2.5 SHIFT DRG 2 =
-143.2394488
3．1 角的概念的推广
弧度制
例题解析
例5 求图3—8中公路弯道处弧AB的长l.（单位：米，精确到1米）
420°，300°，-120°.
2．把下列各角用角度制表示：
5π ， 3π ，11π . 3 56
3.用计算器把下列各角由度化为弧度：（保留4位有效数字）
128°，310°，-618°.
4．用计算器把下列各角由弧度化为度：（保留4位有效数字）
π 3，-8，11 .
3．1 角的概念的推广
弧度制
知识巩固3
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
知识巩固2
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
弧度制
3．1 角的概念的推广
例题解析 角度与弧度的换算
弧度制
3．1 角的概念的推广
例题解析
弧度制
ππ
180 3 π 3π
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广 象限角与终边相同的角
终边相同的角的表示: 一般地，与α角终边相同的角（含α在内的一般表达式为 β = α + k ·3 6 0 ° ， k ∈ z 用集合表示为 {β | β = α + k ·3 6 0 ° ， k ∈ z } 思考：第一象限的角的集合如何表示？ {α | k ·3 6 0 ° ＜ α ＜ 9 0 ° + k ·3 6 0 ° ， k ∈ z }
任意角的三角函数及其诱导公式
-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边， 由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;
一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
任意角 的三角函数
1,0
0,1
sin
O
1,0 x
O
x
O
x
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
cos
tan
三 公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到 一组公式（公式一）
sin k 2 sin , cos k 2 cos , tan k 2 tan , 其中k .
5 3
y
o
C
A x
B
练习1 利用三角函数的定义求 答案:sin
1 7 7 , cos 6 6 2
3 , 2
tan
7 6 7
的三个三角函数值.
3. 6 3
例2 已知角 的终边经过点 P0 3, 4 ,求角 的 正弦、余弦和正切值. 解： 如图，设角 的终边与 单位圆交于点 P x, y . 分别过点 P、P0 作 x 轴的垂线
x
y tan x 0 ． x
二
三角函数的定义域及函数值在各象限的符号
三角函数
sin
cos
（1）根据任意角的三角函数定义，填写下表：
定义域
R R
k , k 2
tan
（2）将三角函数值在各象限的符号填入图中. y 0,1 y y
例4
cos 250 0 ；
(2) 因为
sin 0; 4 (3) 因为 tan 672 tan 48 2 360 tan48 ,
是第四象限角，所以 4
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳XXX2020级高一数学期末复学案01三角函数知识点归纳一、任意角与弧度制1.任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按旋转方向不同分为正角、负角、零角。
按终边位置不同分为象限角和轴线角。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}。
2.弧度制的定义和公式：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。
角α的弧度数公式为α（rad）=α（°）×π/180.弧长公式为l=|α|r，扇形面积公式为S＝lr＝|α|r2.3.任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝y/x（x≠0）。
二、常用结论汇总——规律多一点1.一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。
2.三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝y/r，cosα＝x/r，tanα＝y/x（x≠0）。
三、特殊角的三角函数：角度（°） 30 45 60 90 120 135 150 180弧度（rad）π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 πsinα 1/2 1/√2 √3/2 1.√3/2 1/√2 1/2 0cosα √3/2 1/√2 1/2 0.-1/2 -1/√2 -√3/2 -1tanα √3/3 1 √3 - 不存在 -√3.-1.-√3/3 03.1象限角及终边相同的角：不同象限角的三角函数值正负性不同，但绝对值相等。
终边相同的角的三角函数值相等。
例1、若角α是第二象限角，则是B．第二象限角。
例2、若角θ的终边在第三象限，则θ的终边可能在D．第三、四象限或y轴非正半轴。
3.2三角函数的定义：已知角α的终边经过点P(-x,-6)，且cosα=-，则sinα/tanα=13.已知角α的终边经过点(3,-4)，则sinα+1=1/2.3.3 三角函数符号的判定例1：已知sinα<0.则α的终边落在哪个象限？A。
高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2
2.三角函数在各个象限的符号
3.三角函数的定义域 三角函数 sin α,cos α
tan α,sec α
cot α,csc α
定义域 R
{α|α≠kπ＋π2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}
要点一 三角函数定义的应用 例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上,求 10 sin α＋co3s α 的值.
解 由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k,－3k)(k≠0),则
x＝k,y＝－3k,r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝ －130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意
到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点 的 任 意 一 点 坐 标 (a,b), 则 对 应 角 的 正 弦 值 为 sin α ＝
b ,cos α＝ a2＋b2
a ,tan
a2＋b2
α＝ba.
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
答 锐角A的正弦,余弦,正切依次为：
sin A＝ac,cos A＝bc,tan A＝ab.
[预习导引]
1.三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP＝r
y
x
y
(r≠0).定义：sin α＝ r ,cos α＝r ,tan α＝ x ,
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式（第课时）任意角的三角函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±--︒±︒+︒•⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧的函数关系与以及的函数关系与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。
难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。
1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。
任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；1．角的定义⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。
射线顺时针旋转而成的角叫负角。
射线没有任何旋转所成的角叫零角。
2．弧度制⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。
注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与︒1sin 、︒2sin 不是一回事。
⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
⑶ 设一个角的弧度数为α，则 rl=α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。
⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。
⑸ 1π=︒弧度，1弧度︒=)180(。
湘教版高中数学必修二课件3-2-1任意角三角函数的定义必修2
(2)由x≠kπ ＋π2 （k∈Z），得x≠kπ ＋π2 （k∈Z），
sin x≠0，
x≠kπ （k∈Z），
因而 x 的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为
xx∈R且x≠k2π，k∈Z. 点评 求三角函数的定义域，除了使已知的式子有意义之 外，三角函数本身的定义域也不可忽视，如tanx中x的取 值要特别注意．
课堂总结
1．利用三角函数的定义求三角函数值时，要注意对含参数问 题的讨论．
2．借助三角函数的定义，在理解的基础上记忆三角函数值在 各象限内的符号，并熟记特殊角的三角函数值． 特殊角的三角函数值如下表：
3. 三角函数线是三角函数的几何表示，它体现了三角函数中 的数形结合思想．其应用表现在以下三个方面：(1)证明 有关不等式；(2)解三角不等式；(3)比较大小．
，k∈Z.
题型三 三角函数值的符号
【例3判】断下列各式的符号：
(1)sin340°·cos265°；
(2)sin
4·tan－243π
.
解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin340°＜0，cos265°＜0，
∴sin340°·cos265°＞0.
(2)∵π ＜4＜3π2 ，∴4 弧度角是第三象限角．
可知选 A.
答案 A
错因分析 对不等式变形时，要注意应是同解变形，而由 sin
α＞
3cos
α得到sin
cos
α α＞
3不是同解变形．
正解 因为 sin α＞ 3cos α，且 0≤α
＜2π.
所以当 cos α＞0 时，可得 tan α＞ 3，
在单位圆中画出满足 tan α＞ 3的三角
三角函数任意角的三角函数
两角差余弦公式
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
两角和与差的正弦公式
两角和正弦公式
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
两角差正弦公式
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
两角和与差的正切公式
对于任意角α，有以下基本 公式
sin²α+cos²α=1， 1+tan²α=sec²α， 1+cot²α=csc²α
04
05
两角和与差的 倍角和半角公 三角函数公式 式
sin(α+β)=sinαcosβ+cos αsinβ。 cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
sin(2α)=2sinαcosα， cos(2α)=cos²α-sin²α， tan(2α)=(2tanα)/(1tan²α)
三角函数的图象与性质
01
三角函数的图象是在单位圆上点的轨迹，具有周期nx的图象是一条波形曲线，具有周期性，最小正周期为2π；余弦 函数y=cosx的图象也是一条波形曲线，也具有周期性，最小正周期为2π；正切 函数y=tanx的图象是一条直线，没有周期性。
交流电
交流电的电压和电流是时间的周期函数，可以用三角函数来 表示。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和稳定性分析需要用到三角 函数的知识。
THANK YOU.
在解三角形中，三角函数可以用于求角度、长度 等，例如利用余弦定理求三角形面积： S=1/2bcsinA。
在微积分中，三角函数可以用于求函数的积分和 导数等，例如求圆的面积：A=πr²。
全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-3
弧度
我们规定，长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1 弧度。弧度的单位符号是rad。
根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧 对应的圆心角α的大小是 l，即
r
l rad
r
例如，圆周的长度是2πr，它对应的圆心角的大小是
第3章 三角函数
3.1 角的概念推广 3.2 任意角的三角函数 3.3 三角函数的图像和性质
3.1 角的概念推广
完成“将这扇门打开60°”的动作有两种选择。你能否找 出一种简明的方法区分出开门的方向？
假设目前的准确时间是8:45，左图里挂钟显示的时间 （10:15）快了一个半小时．要校准此钟，必须将分针（长针） 往回拨一圈半。分针被拨动一圈的时候，它被拨动的角度是 多少？再拨半圈，分针又转过多少度？从开始拨动到完成校 准，分针被拨动的角度一共是多少？
β＝30°＋k·360°，k∈Z
由此推广，与α角终边相同的角（含α角在内）的一 般表达式是：
β＝α＋k·360° ，k∈Z
由此推广，轴线角的一般表达式如下
终边位置 x轴的正半轴 x轴的负半轴
x轴( k∈Z) β＝180°＋k·360°( k∈Z) β＝k·180°( k∈Z) β＝90°＋k·360°( k∈Z) β＝270°＋k·360°( k∈Z) β＝90°＋k·180°( k∈Z)
而390°、320°角与40°角终边不相同（390°、320°与 40°的差值不是360°的整数倍）。
单击鼠标继续
1．下列各角是第几象限角？（如果是轴线角也请说明） 30°、 120°、 180°、 260°、300°、360°、390°、450°、－ 30°、－90°、 －120°、－180°、－230°、－330°。
任意角的三角函数
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线， 正切线．
三角函数的几何表示课件
三角函数的一种几何表示
当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ， MP 都看 成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正 弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
x x cos x OM r 1
而 48 °第一象限角, 所以tan(－672 °)>0
解:
因为tan(11π/3)=4)tan(5π/3+2π )=tan(5π/3)
而 5π/3第四象限角, 所以tan(11π/3)<0
变式
判断 cos(sinα)的符号
分析:
求 sinα 的大小; 弧度制把角度与实数相联系
解:
因为 sinα 的取值为 [-1,1]; 而 -1>-π /2 , 1< π/2 ;
弦 csc
tan 切 cot
全为+ 函 o x cos
余
函:所有的三角函数 弦:正弦 (倒数余割) 切:正切 (倒数余切) 余:余弦 (倒数正割)
sec
例3
确定下列三角函数值的符号
(1) cos250° (2) sin(－π /4)
解: 因为250°是第三象限角, 所以cos250°<0 解: 因为－π/4是第四象限角, 所以sin(－π/4) <0 练习4 口答
务正业了,每天坐在飞船当中,正在朝南皇国赶路."罢了,你们主内,咱主外吧..."根汉无奈の自嘲,她们在体验不同の人生,或许对她们の道法有所帮助,因为她们可能之前从来没想到会经历这样の生活.不过因为在这里已经呆了有段时间了,根汉必须要着眼开始找到这星海大陆の出口了,若是 再
数学第七版上册第七版第三章 三角函数
显示 1.047197551 1.749983463 -3.490658504
3．1 角的概念的推广
弧度制
例题解析
例4 用计算器把下列各角由弧度化为角度：（保留4位有效数字）
6, π ,-2.5. 7
分析 在计算前，首先按 MODE MODE 1 ，把计算器的显示状态设
图3—8
3．1 角的概念的推广
弧度制
例题解析
解
由图示可知r=48，α=60°=
π
.
3
由圆心角公式|α|= l ，得
r
l=|α|·r= π×48≈50（米）
3
所以弯道处弧AB的长约为50米.
提示:弧长公式l=|α|·r α为弧度单位
3．1 角的概念的推广
弧度制
知识巩固3
1．把下列各角用弧度制表示：（用π表示）
cos11 = x = 3 6r2
tan 11 =
y
=
1 2
=
3
6x 3 3
2
图3—13
3．2 任意角的三角比
任意角三角比
特殊角的三角函数的值.
角度制
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
α
弧度制
0
π
π
π
π
3
π
π
6
4
3
2
2
sinα
1
0
2
3
1
0
-1
2
2
2
cosα tanα
3
2
1
1
2
2
2
0
《任意角的三角函数》教学反思6篇
《任意角的三角函数》教学反思《任意角的三角函数》教学反思6篇作为一名人民老师，课堂教学是重要的任务之一，写教学反思可以快速提升我们的教学能力，那么你有了解过教学反思吗？以下是小编为大家收集的《任意角的三角函数》教学反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
《任意角的三角函数》教学反思1“任意角的三角函数”是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础，也是学生难以理解的地方。
因此，本节课的重点放在了任意角的三角函数的理解上。
在本节课的开头以学生所熟悉的直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐步深入，引出任意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化任意角三角函数值的`计算。
引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧知识的内在联系。
通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。
并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。
在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。
通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。
例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。
例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。
但是，要想让学生真正的学会并且灵活运用所学的知识，只靠老师上课讲是远远不够的，还需要学生在课下多做练习才行，所以，在讲课的基础上，我们还需要督促学生多做练习，因为只有熟才能够生巧，在以后的教学中，我还需要多多反思，多多探索。
《任意角的三角函数》教学反思2任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义，《任意角的三角函数》教学反思。
高中数学 第三章 三角函数 3.2 任意角的三角函数 3.2.
3.2.3 诱导公式(二)[学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．[知识链接]1．2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．2．在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有 sin α＝ac ，cos α＝b c，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝b c ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ac .根据上述结论，你有什么猜想？ 答 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.3．若α为任意角，那么π2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？答 角α的终边与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称．[预习导引] 1．诱导公式五～六 (1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.(2)公式六：tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π2，k ∈Z ；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cot α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π2，k ∈Z .2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面添上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.要点一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos (π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角．则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 规律方法 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪演练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α的值．解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.要点二 利用诱导公式证明恒等式例2 求证：π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－απ－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝－α⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同． 跟踪演练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝π＋θ＋1π＋θ－1. 证明 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝π＋θ＋1π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. ∴左边＝右边，故原式成立． 要点三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝α－3ππ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－π－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－sin αα－cos α－cos αα＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，∴sin α＝－15，又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.规律方法 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． 跟踪演练3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . 又∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形.1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( ) A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22D ．－m 2＋12答案 C解析 sin(α－180°)－sin(270°－α) ＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)] ＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m ，sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α ＝12[1－(cos α－sin α)2]＝1－m 22. 3．式子cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝.答案 1解析 原式＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin3π－α＋α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.∴sin3π－α＋α＋π5cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α ＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－2α＋cos 2α2α＋cos 2α ＝sin 2α－cos 2α2α＋cos 2α＝tan 2α－12α＋＝4－1＋＝335.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．一、基础达标1．已知f (sin x )＝cos3x ，则f (cos10°)的值为( )A ．－12B.12C ．－32D.32答案 A解析 f (cos10°)＝f (sin80°)＝cos240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15C.15D.25答案 C 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos α＝15.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13C ．－223D.223答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.4．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m 3B.2m3C ．－3m2D.3m 2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m 2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .5.α＋π2α＋3πα＋4πα－π3π2＋α的值为．答案 －1解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·tan α·cos 3α＝－sin 2αtan 2α·cos 2α ＝－tan 2αtan 2α＝－1.6．计算sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝. 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.7．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 二、能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.9．已知tan(3π＋α)＝2，则α－3π＋π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－－α＋π＋α＝. 答案 2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2， 求sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值． 解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin 3α＋cosα5sin α－3cos α ＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 三、探究与创新 13．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧ π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β， 3－α＝－2π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β.②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．π4，β＝π6满足条件．综上所述，存在α＝。
任意角的三角函数
（4）负
tanx 例3.求函数y = + 的值域. cosx tanx
解析： 定义域：cosx ≠0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx ≠0 ∴x的终边不在y轴上
cosx
∴当x是第一象限角时，x > 0,y > 0, cosx = cosx,tanx = tanx, ∴ y = 2; 当x是第二象限角时，x < 0,y > 0, cosx = -cosx,tanx = -tanx, ∴ y = -2; 当x是第三象限角时，x < 0,y < 0, cosx = -cosx,tanx = tanx, ∴ y = 0; 当x是第四象限角时，x > 0,y < 0, cosx = cosx,tanx = -tanx, ∴ y = 0; 所以，y的值域为 {2， - 2，0}
例2 已知角的终边经过点P（ 2， 3），求角的 正弦、余弦、正切值.
解：
因为
所以
x 2, y 3,
r 2 2 ( 3) 2 13 ,
所以
y 3 3 13 sin , r 13 13
x 2 2 13 cos , r 13 13
3 y . tan 2 x
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1
0
1
0
不存在
3 2
2
1
0
tanα
3 2 3 3
0
1
任意角的三角函数
任意角的三角函数【教学目标】知识目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；⑵理解三角函数在各象限的正负号；⑶掌握界限角的三角函数值．能力目标：⑴会利用定义求任意角的三角函数值；⑵会判断任意角三角函数的正负号；⑶培养学生的观察能力．【教学重点】⑴任意角的三角函数的概念；⑵三角函数在各象限的符号；⑶特殊角的三角函数值．【教学难点】任意角的三角函数值符号的确定．【教学设计】（1）在知识回顾中推广得到新知识；（2）数形结合探求三角函数的定义域；（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；（4）数形结合认识界限角的三角函数值；（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力. 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题过程行为行为意图间5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数*知识回顾任意角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．*构建问题探寻解决问题在Rt ABC中，sinα=、cosα=、tanα=．拓展将Rt ABC放在直角坐标系中，使得点A与坐标原点重合，AC边在x轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作sinα=、cosα=、tanα=．介绍回顾知识质疑提问引导说明了解回忆解答思考回答领会为下面的教学做准备利用问题引起学生的好奇心和求知欲变换角度5ABCabcα(A)(B)MxP r=横坐标到原点的距离αOP(x,y)(C)yrxxy过 程行为 行为 意图 间*动脑思考 探索新知 概念设α是任意大小的角，点(,)P x y 为角α的终边上的任意一点（不与原点重合），点P 到原点的距离为22r x y =+，那么角α的正弦、余弦、正切分别定义为sin y r α=；cos x r α=；tan yxα=．说明在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．由定义可以看出：当角α的终边在y 轴上时，ππ()2k k α=+∈Z ，终边上任意一点的横坐标x 的值都等于0，此时tan yxα=无意义．除此以外，对于每一个确定的角α，三个函数都有意义． 概念正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：三角函数定义域 sin αR cos αRtan α｛α︱ππ,2k k α≠+∈Z ｝ 当角α采用弧度制时，角α的取值集合与实数集R 之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数α为自变量的函数．引导 分析讲解 说明仔细 分析 讲解 关键 点 引导 分析 说明思考 理解 记忆 领会 明确 理解 记忆 了解强调 任意 角三 角函 数概 念与 锐角 三角 函数 的区 别与 相同 点 简单 介绍 三角 函数 的定 义域 学生 了解 即可20*巩固知识 典型例题αx yP (x ,y )Or M过 程行为 行为 意图 间例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值．分析 已知角α终边上一点P 的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要根据关系式22r x y =+，求出点P 到坐标原点的距离r ，然后根据三角函数定义进行计算．解 因为2x =，3y =-，所以222(3)13r =+-=，因此333sin 1313y r α-===-， 2213cos 1313x r α===， 3tan 2y x α==-．质疑分析 引领 讲解思考 感知 领会 理解利用 对应 例题 加深 对知 识点 的理 解记 忆25 *运用知识 强化练习 教材练习5.3.1已知角α的终边上的点P 的座标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值：⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -； ⑶ 13,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 提问 巡视指导思考 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 45*动脑思考 探索新知由于0r >，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P 的坐标来确定限．当角α的终边在第一象限时，点P 在第一象限，0,0x y >>，所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα>>>；当角α的终边在第二象限时，点P 在第二象限，0,0x y <>，所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα><<；当角α的终边在第三象限时，点P 在第三象限，0,0x y <<，所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα<<>；当角α的终边在第四象限时，点P 在第四象限，0,0x y ><，所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα<>< ． 归纳任意角的三角函数值的正负号如下图所示． 引导分析总结思考 领悟 明确分析 一种 情况 后由 学生 自我 探究 其余 形式 总结 规律+ + --xy + +--+ +- -xxy y过 程行为 行为 意图 间记忆特点 帮助 学生 记忆50*巩固知识 典型例题例2 判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º ； （2）275π．分析 判断任意角三角函数值的正负号时，首先要判断出角所在的象限．解 （1） 因为4327123607=⨯+，所以，4327º角为第一象限角，故sin43270>，cos43270>，tan 43270>．（2）因为27225ππ=⨯π7+5，所以，275π角为第三象限角，故27sin 0π<5，27cos 0π<5，27tan 0π>5． 例3 根据条件sin 0θ<且tan 0θ<，确定θ是第几象限的角． 分析 sin 0θ<时，θ是第三象限的角、第四象限的角或θ的终边在y 轴的负半轴上的界限角)；tan 0θ<时，θ是第二或第四象限的角． 同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围． 解 θ取角的公共范围得θ为第四象限的角． 质疑 引领 分析 讲解明确 引导 讲解观察 思考 主动 求解 理解 思考 主动 求解安排 与知 识点 对应 的例 题巩 固新 知 结合 图形 符号 的特 点60 *运用知识 强化练习 教材练习5.3.21．判断下列角的各三角函数值的正负号：（1）525º；（2）-235 º；（3）19π6；（4）3π-4．2．根据条件sin 0θ>且tan 0θ<，确定θ是第几象限的角． 提问 巡视 指导思考 动手 求解 交流纠错 答疑65*动脑思考 探索新知 探究由于零角的终边与x 轴的正半轴重合，所以对于角终边上引领思考讲解过 程行为 行为 意图 间的任意点(,)P x y 都有,0x r y ==．因此，利用三角函数的定义，有0sin00r ==，cos01r r ==，0tan00r==．同样还可以求得0、2π、π、32π、2π等三角函数值．归纳0 2ππ32π 2πsin α0 1 0 −1 0 cos α1 0 −1 0 1 tan α不存在不存在讲解 总结理解 求解 记忆分析 一种 情况 其余 由学 生计 算填 写完 成70*巩固知识 典型例题 例4 求值：5cos1803sin902tan 06sin 270-+-；分析 这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再进行代数运算．解 5cos1803sin902tan 06sin 270-+- =5(1)31206(1)2⨯--⨯+⨯-⨯-=-．质疑 引领 分析 讲解 明确 观察 思考 主动 求解 理解 可以 由学 生自 我完 成组 织交 流核 对 75*运用知识 强化练习 教材练习5.3.31．计算：5sin902cos03tan180cos180-++．2．计算：213cos tan tan sin cos 24332ππππ-+-+π．提问 巡视 指导 思考 动手 求解 交流 纠错 答疑80 *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？引导 提问回忆 反思 交流培养 学生 总结 反思 学习 过程 能力 85过程行为行为意图间*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节5.3；(2)书面作业：学习与训练5.3；(3)实践调查：探究计算器的计算界限角的三角函数值的方法．说明记录90。
任意角的三角函数⑵
1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义 设 为任意角, p ( x , y )是 终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y
o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。 可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4
2) sin1470
19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
任意角三角函数
2．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，三角函数线。
学习过程：一 知识梳理：1．任意角（1）角的概念的推广①按旋转方向不同分为 、 、 ． ②按终边位置不同分为 和 ． （2）终边相同的角：终边与角α相同的角可写成 ． 终边在y 轴上的角的集合可写成 . （3）象限角及其集合表示2．弧度制（1）把长度等于 长的圆弧所对的 叫做1弧度的角．以弧度作单位来度量角的单 位制叫做 ，它的单位符号是rad ，读作 ．（2）正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . （3）1800= rad(弧度)，10= rad(弧度)，1 rad(弧度)= 度（4）若扇形的半径为R ，弧长为,圆心角为α，（πα20<<），则该扇形的弧长= 扇形的面积= 3．三角函数的定义（1）在直角坐标系中，利用单位圆可得任意角的三角函数的定义．设α是一任意角，它的 终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么① y 叫做α的 ，记作 ，即sin α＝y ； ② x 叫做α的 ，记作 ，即cos α＝x ； ③ y x 叫做α的 ，记作 ，即tan α＝yx(x ≠0)．（2）三角函数线：下图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示 ， ， 。
1终边相同的角相等吗？2.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？3根据三角函数的定义，三角函数在各象限的符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？ 4 你能从单位圆的三角函数线出发得到三角函数的哪些性质？二． 问题探究：1． 在[-7200,3600]范围内与-2250终边相同的角有 。
2． 若α是锐角，则2α是第 象限角。
3．已知角θ的终边过点P （-12，5），求角θ的三角函数值。
4． 选择①,0sin >θ ②0sin <θ ③0cos >θ ④0cos <θ ⑤0tan >θ ⑥0tan <θ 适当的关系式的序号填空：（1）当角θ为第一象限角时有 （2）当角θ为第二象限角时有 （3）当角θ为第三象限角时有 （4）当角θ为第四象限角时有 5．已知点P (sin 34π，cos 34π)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，求θ的值。
3.2任意角的三角比课件-高一上学期劳保版(第七版)中职数学(上册)
的距离为 r.
比值
y
叫做角 的正弦.记作
r
sin y r
比值
x
叫做角 的余弦.记作
r
cos x r
比值
y
叫做角 的正切.记作
x
tan y x
注意：无论角α是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。
5
任意角的三角函数
新课讲解
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别
有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应
7
任意角的三角函数
新课讲解
所以当角 不变时，不论点 P 在角 的
终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只
依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上的位
置无关.
8
任意角的三角函数
新课讲解
利用单位圆定义任意角的三角函数
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1）y 叫做 的正弦，记作 sin ，即
3
sin2 cos2 1
tan sin cos
12
同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系
新课讲解
平方关系: 商数关系:
sin2 cos2 1
tan sin cos
( k , k Z )
2
13
感谢同学们观看学习， 再见！
14
任意角的三角比
1
任意角的三角函数
复习回顾
sin a
c cos b
c
tan a
b
B
c
a
Ab C
2
任意角的三角函数
新课讲解
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半 轴重合,那么它的终边在第一象限.
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3.2 任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
3.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 【知识归纳】
一．三角函数的定义
1.定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222
2>+=+=
y x y x r ，那么：
正弦r y =αsin ；余弦r x =αcos ；正切x y =αtan ；余切y
x
=αcot ；
正割x r =
αsec ；余割y
r =αcsc 2.三角函数线：利用单位圆和有向线段，根据正弦、余弦、正切的定义有：
sin ,1cos ,
1
tan .
y y
y MP r x x
x OM r y MP AT
AT x OM OA
ααα=
=========== 这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. 3.三角函数在各象限内的符号规律：
ααcsc sin 为正 全正
α
αcot tan 为正 α
αsec cos 为正
【典型例题】
例1 确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))3
11tan(
π
例2 求下列三角函数的值
(1)49cos π （2）)6
11tan(π
-
.
例3 0,sin tan .2
x x x x π
<<<<若求证：
3.3 同角三角函数的基本关系和诱导公式
【学习目标】
⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2.通过运用公式的训练培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3.掌握正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用公式进行任意角的正弦、余弦值的求解. 【知识归纳】
一．同角三角函数的基本关系
1．公式: 1cos sin 22=+αα
αα
α
t a n c o s s i n = 1c o t t a n =⋅αα 2．推广：三类八式
（1）平方关系：1cos sin 22=+αα 1t a n s e c
22=-αα 1cot csc 22=-αα
（2）商数关系：
αααtan cos sin = αα
α
cot sin cos = （3）倒数关系：1cot tan =α⋅α 1sin csc =α⋅α 1c o s s e c
=α⋅α 二．诱导公式
公式一: απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(
=+k （其中Z ∈k ） 公式二：ααπ-sin sin(=+）
；ααπ-cos cos(=+） 公式三：αα-sin sin(=-）
；ααcos cos(=-） 公式四：ααπsin sin(=-）
；ααπ-cos cos(=-） 公式五：ααπ-sin 2sin(=-）
；ααπcos 2cos(=-） 公式六：sin(90︒-α) = cos α；cos(90︒-α) = sin α.
公式概括：“απ
±2
k ” ：奇变偶不变，符号看象限！
【典型例题】 例1.已知5
4
sin =
α，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot .ααα．
例2.化简（1（2）
)(sin 1sin 1sin 1sin 1是第三象限角αα
α
αα+---+
例3求证：α
α
ααcos sin 1sin 1cos +=-
例4.已知θθcos sin ，
是方程20x ax a -+=两根（a R ∈）. 求值：33(1)sin cos ;(2)tan cot .θθθθ++
例5.已知3sin 4cos 0αα+=，求222sin 3cos (1)
;(2)sin 2sin cos 3cos sin 2cos αα
αααααα
++-+的值。
例6.下列三角函数值：（1）cos225º； (2)sin 83
π
； （3）sin(－
3
4π
)； (4)cos(－60º)－sin(－210º)； （5）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-
631π
－cos ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-310π－sin 1011π； （6）)4(cos )4(cos 22απ
απ++-。
例7.)2sin(,1)sin(3
1
sin β+α=β+α=β求，已知
例8．化简：
)
sin()5cos()
4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+.
【巩固练习】
1.化简sin(－2)+cos(－2－π)²tan(2－4π)所得的结果是（ ）
（A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1
2.已知cos(π+α)=－ 21，23π
<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．
（A ）
2
3
(B)
2
1 (C)－
2
3 (D)±
2
3 3.
已知：sin cos tan cot .αααα+=+求的值.
4．已知的值。
，求)6
5cos(33)6cos(α-π
=α+π
5.化简：
422444sin cos sin cos .1sin cos θθθθ
θθ
+--
6.求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-
7．求证：22(1sin )(1cos )(1sin cos )x x x x ++=++.
8.sin α是方程5x 2
-7x-6=0的根，求下式的值.
23sin()sin()tan (2)
22.cos()cos()cot()22
ππ
ααπαππ
ααπα--⋅-⋅--⋅+⋅-。