电磁学(2)
电磁学部分教案2：高斯定理在电学中的应用
电磁学是物理学中的重要分支之一，它研究电荷的相互作用和电磁场的产生、传播和作用。
在电磁学的学习过程中，高斯定理是一个非常重要的知识点，它在电学中有着广泛的应用。
本文将针对高斯定理在电学中的应用进行详细阐述。
一、高斯定理的基础知识高斯定理是电磁学中的基础定理之一，也是研究电场的核心知识点。
它通过电场的通量与电荷之间的关系，来描述电场的特性。
通量是一个向量场在一个表面上的积分，通常用Φ表示。
高斯定理的表达式为：Φ = ∫E·ds = Q/ε0其中，E代表电场强度，ds表示面元，Q表示包含在该面内的电荷总量，ε0代表真空介电常数。
该公式体现了电场的通量密度与包含在被积分闭合曲面内的电荷量之间的关系。
二、高斯定理在电学中的应用1.理解电荷分布高斯定理可以帮助我们更好地理解电荷的分布情况。
在考虑电荷密度的时候，我们可以通过高斯定理来计算它们所产生的电场强度。
具体来说，我们可以选取一个闭合曲面，计算该闭合曲面内包含的电荷总量，来确定电场在该曲面处的通量大小。
通过这种方式，我们可以更好地理解电荷的分布情况，并通过电场强度的变化来确定电场的方向。
2.计算电场强度高斯定理在计算电场强度方面也有着重要的作用。
对于一些具有对称性的电场，我们可以利用高斯定理来计算电场强度大小。
这种方法可以极大地简化计算过程，并且可以得到比较准确的结果。
具体来说，我们可以通过选取一个适当的闭合曲面，计算该曲面内的电荷总量和曲面的表面积，从而计算出电场强度的大小。
3.判断电场的性质高斯定理还可以帮助我们判断电场的性质。
在计算电场时，我们需要考虑电荷的分布情况以及电荷密度的变化。
如果曲面内的电荷密度是均匀的，并且曲面本身具有对称性，那么我们可以得到一个非常简单的结论：通量与曲面面积成正比，而与曲面的形状无关。
这种结论表明电场的分布具有对称性，且电场强度沿着法向的方向变化。
4.计算电势能高斯定理还可以帮助我们计算电势能。
具体来说，我们可以通过选取一个包含所有电荷的闭合曲面来计算电势能。
电磁学2毕奥-萨伐尔定律
β lr
β dB
a
P
§4-3 毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
= cosβ l = a tgβ
β lr
dl = a sec 2β dβ r = a secβ
I dl
r
IR
θ x
y dB θ P x
By= Bz=0
Idl r z
dB
B = dB x = dB
sinθ
=
μ
4π
o
I r
2
sinθ
dl
=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
sinθ
=
R r
I dl
r
r = (x 2 +R2 )1 2 I R
θ x
y dB θ x
z
B=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
=
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
dB =
μ o I dl × r
4π r 3
=
μo
4π
I dl r2
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
电磁学 第二版 (贾起民 郑永令 陈暨耀 著) 高等教育出版社
1 q 1 2q 1 q ˆ ˆ ˆ E e e e 2 2 40 r l 40 r 40 r l 2 q 1 1 2 q 2r 2 2l 2 2 ˆ ˆ e 2 2 2 2 e 40 r l 2 r l 2 r 2 40 r r l
w.
q
kh
1-14、
da
q l a 2a l l ˆ F 0 2ln i 4 0l a a a l
w.
0 l d l a x adx xdx 0 2 2 40l l a x l a x l a x2 l a a a l a a l 0 ln 1 ln 40l a a l a a a l q l l 2a 0 2 ln 40l a al a （2）求点电荷所受的作用力，根据公式 F qE 得
后
答
5 另外一个电荷为： q 3.84 10 c 1-5、
案
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．⑤
1
网
q(5.0 105 q) 4 0d 2 5 代入数据有： q 1.16 10 c F
ww
5 1-4、设第一个球的带电量为q，则另外一个球的带电量为 5.0 10 q 有题意，F=1.0N
1-13、
解：1）求带细棒的点电荷处激发的场强。在细棒上取一元电荷 dq dx ，由点电荷场强公式得
co
2L
P
m
4
2x 0 1 dx 1 l dE 40 l a x2 l 2xdx 0 40l l a x2
电磁学2.静电势能和电势
电磁学2.静电势能和电势静电势能在静电学⾥，静电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。
假设有点电荷q1 ,距离为R的位置P点⼜有点电荷q2.很明显，如果我们要移动两个电荷到相对位置，我们需要做功克服电场⼒。
所以电荷上已经做了功，这就是静电势能。
就像挤压弹簧，松⼿后⼜会弹开。
假设空间为空，第⼀次放置q1不需要做功。
但是放置q2到P点就需要克服电场⼒⇀F el做功。
施加的⼒设为⇀F kl。
两个⼒⼤⼩相等，⽅向相反。
两个点电荷的距离设为r .从⽆限远处把电荷移动到P点做的功就是静电势能U：U=W kl=∫R∞⇀F kl⇀dr=∫∞R ⇀F el⇀dr=q1q24πϵ0∫∞Rdrr2=q1q2 4πϵ0R静电势能U是⼀个标量。
单位是焦。
电场⼒是保守⼒，⼀点到另⼀点做的功与路径⽆关。
可以是正值，也可以是负值，负值表⽰做负功。
电势假设检验电荷从⽆穷远位置，经过任意路径，克服电场⼒，缓慢地移动到某位置，则在这位置的电势，等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的⽐值。
其实就是：从⽆穷远处移动到P点，单位电荷所做的功。
等式右边只剩下⽣场电荷的电荷量。
V P=Q 4πϵ0R单位是焦/库伦。
但是没⼈这么叫，⼀般都⽤伏特（V）。
很显然就是为了纪念这位⼤佬。
两个叫法⼀个意思。
电势随着距离成1R下降。
假设空间中只有⼀个点电荷Q ,如果是正电荷的，任何位置的电势都是正的，如果是负电荷的，任何位置的电势都是负的。
只有在真正的⽆穷远处，电势才为0.多点电荷在某点位置产⽣的电势，利⽤叠加定理可以很容易求解。
等电势⾯假设球形空⼼⾦属壳，表⾯均匀布满电荷，任何⼀处电荷密度⼀样。
⽐如范式起电机。
那么我们将⼀个电荷从⽆穷远处移动到⾦属壳表⾯时，是有做功的，但是移动到⾦属壳内部，由⾼斯定律，可知内部没有电场，所以没有电场⼒的作⽤，意味着不⽤做功。
所以，内部电势将保持恒定。
⾦属壳内部任何位置的电势都是相等的。
此时内部就是⼀个等势⾯。
电磁学试题库电磁学第二章试题(含答案)复习过程
电磁学试题库电磁学第二章试题(含答案)一、填空题1、一面积为S 、间距为d 的平行板电容器，若在其中插入厚度为2d 的导体板，则其电容为 ；答案内容：;20d Sε2、导体静电平衡必要条件是 ，此时电荷只分布在 。
答案内容：内部电场处处为零，外表面；3、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S ，极反间距为L ，板间介电常数为r ε）然后使电容器充电至电压U 。
在这个过程中，电场能量的增量是 ；答案内容：202U L sr εε4、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷，如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的场强 ； 答案内容：r r qE e ∧=204πε ；5、 在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势 ；答案内容：d q04πε；6、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势 。
答案内容：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-πεb q Q aq r q 0417、导体静电平衡的特征是 ，必要条件是 。
答案内容：电荷宏观运动停止，内部电场处处为零；8、判断图1、图2中的两个球形电容器是串连还是并联，图1是_________联，图2是________联。
答案内容：并联，串联；9、在点电荷q +的电场中，放一金属导体球，球心到点电荷的距离为r ，则导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度大小为： 。
答案内容：2014qr πε ；10、 一平板电容器，用电源将其充电后再与电源断开，这时电容器中储存能量为W 。
然后将介电常数为ε的电介质充满整个电容器，此时电容器内存储能量为 。
答案内容：0W εε； 11、半径分别为R 及r 的两个球形导体（R ＞r ），用一根很长的细导线将它们连接起来，使二个导体带电，电势为u ，则二球表面电荷面密度比/R r σσ= 。
答案内容：/r R ；12、一带电量 为Q 的半径为r A 的金属球A ，放置在内外半径各为r B 和r C 的金属球壳B 内。
程稼夫电磁学第二版第二章习题解析
前言：特别感谢质心教育的题库与解析，以及“程稼夫力学、电磁学习题答案详解”的作者前辈和血色の寂宁前辈的资料.2-2变阻器在A位置时，焦耳热：，其中.变阻器在中间时，焦耳热：.代入题中数据，可得.2-32-4（1）即，在图中作出该直线，交伏安特性曲线于.两端电压.（2）电源功率之比就等于干路电流之比，即总电阻之反比，设总电阻分别为，则.2-7未烧断前总电阻，烧断后，故干路电流之比为22AB2-10注意电阻温度系数的基准是0℃，得.负载时，负载时，联立解得：.2-11题设是默认加热间断时间相等的，设为.即110V为A、B串联时的工作电压的等差中项作伏安特性曲线关于直线的对称图像，分别交另一曲线于和.得.2-15（1）电容器极板带电量，极板间电流保持为电势差为0时，极板不带电，所以.（2）最大动能的电子到达上极板时动能全部转化为电势能所以，得.K断开时，R与R1串联，该支路总电压该支路与R2并联，为R2两端电压，又R2，R3串联，R3两端电压为可以列出：两式联立，代入数据可解得：.2-18（1）由基尔霍夫方程知：.（2）沿n个电源这一路计算：2-22注意看题，不要啥都不想直接Y-△变换了设从1向O流的电流为，从2向O流的电流为，则从O向3流的电流为则可由三点的电势得到：2-即2-将等效内阻，等效电源. 2-25设有x组电池组串联，每组内有y个电池并联.法一：电源最大输出功率，电池个数.要使电源达到最大输出功率，则必有内阻与负载相等：解得法二：回路内满足：到的是Y-△变换的Y型电路（b），设出电阻即可求解，然后用Y-△变换得到△型电路（a）.2-27上式联立解得.2-28（i）由知122’1’回路为电路干路而无支路，该干路总电阻；1 2与1’2’间若有电阻，则应被导线短路.（ii）由知1 2与1’2’间确有电阻，设为；由于要求电路最简，不妨设12间仅有一个电阻；故此情况中两电阻并联：代入数据得：，带回各条件检查，满足.故电路图如下：所以安培表示数.2-30题意即5两端接电源.电压表示数是由其上电流决定的，所以可以把电压表全看成电阻，求其上电流比例.由分析，电路可简化为如下图：由节点方程可知流经并联两表中电压表的电流欧姆定律：得. 2-33由每个量程达到满偏时通过电流计的电流相同得：，干路电流为，而B，C间的电流为，即100kΩ电阻和电压表各分得干路电流的一半，可知电压表内阻也为100kΩ.在图（b）中，200kΩ电阻与电压表并联后的电阻为，电压表读数为A、B间所分的电压为.由本题推广，可以证明，电压表接入串联电路测得的数值与所测部分电阻成正比，此性质与电压表内阻无关.2-36首先说明，若测量过程中测得某两点间电阻为1Ω，由对称性及电阻串并联等效可以判断：特异电阻被短路，连接在另外两端点间.2-38等效电路图如下：其中，由电桥平衡条件，有，解得.2-39第一次实验，B端电压为40V，即电阻R分压40V，则左段电缆电阻为第二次实验，A端电压为40V，即电阻R分压40V，则右段电缆电阻为左右电缆的电阻之比为：由于电缆的电阻与长度成正比，可知左段电缆长度为由此得：2-41，解得，解得；对于上述两支路的交点A，列节点方程：；由欧姆定律，图中B点的电势为：.显然U1与U3所在支路的电流为0；由于电容所在支路电流为0，由节点方程，图中B与C之间的支路上电流为；对图中红圈内的部分列节点方程（以向下为正方向）：.2-42设该平行板电容器极板面积为S，极板间距为d，漏电流为I.由平行板电容器的电容公式，得玻璃的电阻为.由高斯2-44首先明确，无论短接哪个电阻，总电阻一定变小将五个电阻分两类，一类是四周的4 个电阻臂，一类是中间的100Ω桥上电阻.短接桥上电阻，总电阻变为203Ω；短接一支电阻臂，以500Ω的为例：两个100Ω的并联后与200Ω的串联再与300Ω的并联.可以看出300Ω的在这里与其他所有电阻并联，而并联电路中的总电阻不超过最小的电阻，故让100Ω与其他电阻并联可以使变化最大.2-45等效电阻整理得，故或.2-46本题为无穷网络等效电阻题.先分析对称性：电路呈轴对称，可将图中各个处于对称轴上的中点断开，于是电路转化为：转化为：再将A,B两点左侧网络“翻折”至右侧：单电路：，即两导线间电压为零.2-51本题为无穷网络等效电阻题，解题关键在于网络的自相似性.记A点左侧无穷网络等效电阻为R1.分析电路可知：故只需求出R1.分析R1结构可知：除去三个电阻r后剩余部分仍为一无穷网络R1：2-52（1）本题中的三角形电阻网络具有高度对称性，可将分割n次后的电阻网络（设其两顶点之间的电阻为；图中未画出分割后电阻网络的全貌；最初的只有三条边的三角形当作分割了0次）等效为如下的Y形网络：其中每个电阻的大小均为则下一次分割所得的电阻网络可以等效为三个上图所示的网络相连接而成（每个电阻变为一半），如下图所示：其中每个电阻大小为.这是一个简单的电阻网络，我们可以依据串并联关系计算其两端点间的电阻：（2，解得.2-53本题为等效电容题.（a）图中三电容实为并联；（b）图为中心对称图形，由对称性可知中间的C0等价为断路：整个线路和原来的线路完全一样，线路结构没有改变，各线上电流、各点的电势均无改变.可见，由点2到点n−1这n−2个点是完全等价的.因此，上述n−2个点的电势必然完全相同，从而这些点之间的连线上都没有电流，在考虑本题所问时，这些连线可以全部撤去，于是可得.2-58（1）电阻网络E、G两点间电压可表示为从图中的二极管D的正向伏安曲线中可査得，电压UDI对应的电流I1为25.0mA，此电流就是流过电阻R及由E点流入电阻网络的电流，将数据代入上式得由对称性可得H、A、C、F电势相等，其等效电路如图13-13所示（除两只电阻为外，（2）当引线两端P、Q与电阻网络B、D两点相接时，等效电路仍如图所示，易得通过二极管DD的电流与二极管两端电压有关系代入数据得这是一条联系UD与ID的方程，但是UD与ID又必须满足二极管的伏安特性曲线，在图中绘出上式所述直线，它与曲线的交点的纵坐标即为通过二极管的电流ID，由图中读出由对称性，，，则.2-59本题为图像分析题，同时需要用到“负载功率最大时，路端电压等于电源电动势的一半”的结论（此处证明从略）.图像显示电源可视为两个负载电流范围不同的电源``拼接''而成，分段讨论即可.电流小于0.26A时，电源电动势等于6.2V，故路端电压等于3.1V时（由（2）（3）C1电荷变化量C2电荷变化量故由a到b流过K的正电荷.2-62本题为含电容的电路分析题，只需分析始末状态和电量变化即可.通过K的电量即通过R的电量.闭合K前，两电容器不带电；闭合K并稳定后，两电容器靠近电键K的极板上均沿回路列出方程：联立解得代入数据.忽略接地信息的解法得到的答案与此一致，但无视了与大地间的电流和电位.。
电磁学第二章习题答案
习题五（第二章 静电场中的导体和电介质）1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为q ，外表面所带电量为 q +Q 。
2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。
3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。
4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。
现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。
(A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B )(A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 16、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C )(A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强；、(B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。
7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。
试求：、(1)球壳外表面上的电荷；(2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。
解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a <R <b )的rARQ)O· Q ·b·Oarq B高斯球面S,由高斯定理01εqq dS E S +=⋅⎰⎰ ，根据导体静电平衡条件,当a <R <b 时，0=E。
则0=⋅⎰⎰SdS E ，即01=+q q ,得q q -=1根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为21q q Q +=(qQ q Q q +=-=∴12(2)在内表面上任取一面元,其电量为dq ,在O 点产生的电势adq dV o πε411=q 1在O 点产生的电势aq aq adq dV V o o o πεπεπε4441111-====⎰⎰内内(3) 同理，外球面上的电荷q 2在O 点产生的电势bqQ bq V o o πεπε4422+== 点电荷q 在O 点产生的电势rq V o q πε4=∴ O 点的总点势o q V V V V πε41210=++=(bq Q a q r q ++-) 8、点电荷Q 放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a 和b ，求场强和电势分布。
电磁学第2讲——磁感应线与磁通量、安培环路定理
主要内容
一、磁通量 二、磁场的高斯定理 三、安培环路定理
复
习
洛仑兹力：
F m qv B
磁场 磁感应强度
0 0 Idl r 毕奥——萨伐尔定律 dB 4 r2
应用毕奥 ——萨伐尔定律的步骤：
（1）建立坐标系，选一般的电流元，写出 dB ; （2）分解 dB ;
无限长载流直螺线管内
0 I B 2 r
B 0 nI B 0 nI
4R
1 半无限长载流直螺线管端面中点 、磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I I I
P
0 I r , ( r R) 2 2R 0 I , ( r R) 2 r
2R
R r
• 螺绕环电流的磁场
B dl Bdl 2 rB,
L
d
R
P
0 NI , B dl
（3）确定各分量积分的积分变量和上、下限； （4）积分
无限长直线电流的磁场
0 I 半无限长直线电流的端点外 B 4 r 直线电流的延长线上 B0 2 0 IR 圆电流轴线上的磁场 B 2( R 2 x 2 )3 / 2 0 I 半圆电流的圆心处 0 I 圆心处
B 2R B
B
B dl Bdl cos Brd , 2 0 I d 0 I B dl 2 0
b) 回路不围电流时磁感的回路积分
电磁学2章(3-9)new
二、 极化强度矢量：
1、定义：
P
pe
V
( 单位C / m2 )
ΔV: 宏观上足够小,使得其中所有分子的极化程度都相同。 微观上足够大，使得其中含有足够多的分子。
电介质中某点的极化强度矢量等于该点处单位体积内
分子电矩的矢量和.
说明： 1）若某区内各点 P = 常矢， 则称为均匀极化。 2) 真空：P 0 导体： P 0
取半径为 r的同心球面做高斯面
则： D d S D 4r2 S
由高斯定理 SD d S q0
所以
4r 2 D
电位移的分布为：
D
q0 1 4r
2
q0
由电介质的性质方程可知场强的分布为：
E
1
4 r 2
q0
由电介质的极化规律可知极化强度的分布为：
P
0eE
0 ( r
1)
1
4r 2
q0
a) r R1,
tg1
D1t D1n
tg2
D2t D2n
tg1 D1t 0 E r1 1t r1 tg2 D2t 0 r 2 E2t r 2
光学折射定律
tg1 r1 tg2 r2
称为电位移的折射定律
sin1 n2 sin2 n1
四、电介质的击穿
介电强度：使电介质击穿所需的最小电场强度。
§2.8 电容和电容器
q0 0 所以 D E P 0
b) 当 R1 r R 时 q0 Q 1 0 r1
Q
D 4r 2
D
Q
E 0 r1 4 0 r1r 2
r2 r1
P
0 ( r1
1)E
( r1 1)Q 4 r1r 2
南邮《电磁学》作业答案二
《电磁学》作业答案二1.33如附图所示，在半径为Ｒ１和Ｒ２的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Ｑ１和Ｑ２， 求：（１）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布；（２）若Ｑ１＝－Ｑ２，情况如何？画出此情形的Ｅ－r 曲线。
解：（１）应用高斯定理可求得三个区域内的场强为E －r 曲线 0 1 = E r (r<R 1); re rQ E ˆ 4 2 0 1 2 pe = r (R 1<r<R 2) re r Q Q E ˆ 4 20 2 1 3 pe + = r ( r> R 2) ( 2 ) 若Ｑ１＝－Ｑ２，E 1=E 3=0, re r Q E ˆ 4 2 0 1 2 pe =r E －r 曲线如图所示。
1.35实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，Ｅ垂直于地面向下，大小约为１００Ｎ／Ｃ；在离地面 1.5千米高的地方，Ｅ也是垂直地面向下的，大小约为２５Ｎ／Ｃ。
（１） 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均密度；（２） 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。
解：（１）以地心为圆心作球形高斯面，恰好包住地面，由对称性和高斯定理得[]) / ( 10 4 . 4 ) ( 4 ) ( 4 / ) ( ) 2 ( ) ( 4 ) ( ) ( 4 cos ) ( 4 cos 3 13 2 1 0 21 2 2 1 2 0 1 2 0 1 2 2 2 1 2 2 2 02 2 2 2 2 1 1 012 1 11 m C hE E h R Q Q E E R Q Q Q Q E h R h E E R S Q Q h R E dS E S d E h R S Q Q R E dS E S d E SSSS- ´ = - = - »Þ - » - - = + - - = + × - = = × + = × - = = × òòòò òò òòe p r pe e p e p q e p q 相减 包围电荷代数和 是 为半径作同心球面 再以 包围电荷代数和 是 r r r r （２） 以地球表面作高斯面210 0 2 021 1 1 / 10 85 . 8 4 1 1 4 cos m C E R dS R E dS E S d E SSS- ´ - = = = = × - = = × òòòò òò e s p s e s e p q r r 1.37一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，筒面上都均匀带电。
电磁学(梁灿彬)第二章导体周围的静电场
电像法可以用来求解导体周围的静电场，并给出导体表面的电荷分布和电场强度。
静电场中的高斯定理和环路定理
CATALOGUE
03
环路定理表明在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零，也就是说，电场线没有起点也没有终点，它们形成闭合的曲线或直线。
总结词
环路定理是静电场的另一重要定理，它表明在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。这意味着电场线没有起点也没有终点，它们形成闭合的曲线或直线。这个定理可以用公式表示为：∮E·dl = 0。
电场强度与导体表面的电荷密度成正比
02
导体表面的电场线与导体表面垂直，并且从导体内部指向导体外部。
电场线与导体表面垂直
03
随着距离的增加，电场强度逐渐减小。
电场强度随距离的增加而减小
电像法是一种通过引入虚拟电荷来描述静电场的数学方法。
在电像法中，虚拟电荷的位置和大小是根据静电平衡条件和电场线与导体表面垂直的条件来确定的。
CATALOGUE
02
导体内部无电荷
导体内部任意位置均无电荷分布，电荷只分布在导体的表面。
电场线与导体表面垂直
导体表面的电场线与导体表面垂直，并且从导体内部指向导体外部。
导体表面电场强度与导体表面的电荷密度成正比
导体表面的电荷密度越大，导体表面的电场强度越大。
01
导体表面的电荷密度越大，导体表面的电场强度越大。
01
电子设备中的隔直、旁路和耦合作用
电容器在电子设备中可以起到隔离直流信号的作用，同时也可以旁路掉不需要的交流信号，实现不同电路之间的耦合。
02
调谐和滤波
利用电容器的充放电特性，可以调整电路的频率响应，从而实现调谐和滤波的功能。
电磁学第二版梁灿彬课后答案
1.7 附图中的 S1、S2、S3 及 S4 都是以闭曲线 L 为边线的曲面（曲面法线方向如图所示）。一直 S1 的 E 通量为 Φ1 ，求曲面 S2、S3、和 S4 的 E 通量 Φ2 、 Φ3 及 Φ4 。
答案：始终在内的点
E=0
不变，始终在外的点 E
1.9 分别画出等值同号与等值异号的两无限大均匀带电平面的电场线图。
答案：
1.10 电场线是不
是
电电荷在电场中的运动轨迹？（设此
点电荷除电场外不受其他力）
答案：一般不是。 F = qE ； F = M a ； a = v ；只有在匀强电场中，静止点电荷运动的轨 t
迹才的电力线。
1.11 下列说法是否正确？如不正确，请举一反例加以论述。
解：如图（题 1.2.4）： 根据图示，可以得到：
f = 2k Qq i 0.2 = 3.22×10−7 (N ) 0.12 + 0.22 0.12 + 0.22
方向：水平向右 1.2.5 在正方形的顶点上各放一个电荷为 q 的同行点带电体。 （1）证明放在正方形中心的任意点电荷所受的力为零。 （2）若在中心放一点电荷 Q，使顶点上每个电荷受到的合理恰为零，求 Q 与 q 的关系。
300
−
1 2
eE m
t2
=
0
解之得： t = 2mv0 sin 300 eE
所以在原来高度时水平射程为：
x = v0 cos 300 t =
3mv02 2eE
1.3.4 电子的电荷受罪先是由密立根通过油滴实验测出的，密立根设计的实验装置如附图所示。 一个很小的带电油滴在电场 E 内，调节 E 使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡，如果油滴
高中物理电磁学专题2：通电导线在电磁场中的运动问题
力及运动方向
例1 如图所示，把轻质导线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N 极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直线圈平面．当 线圈内通以图中方向的电流后，线圈的运动情况是( ) A．线圈向左运动 B．线圈向右运动 C．从上往下看顺时针转动 D．从上往下看逆时针转动
【解析】 解法一 电流元法．首先将圆形线圈分成很多 小段，每一段可看作一直线电流元，取其中上、下两小段 分析，其截面图和受安培力情况如图甲所示．根据对称性 可知，线圈所受安培力的合力水平向左，故线圈向左运 动．只有选项A正确．
第二步：特殊位置分析法 取导线逆时针转过 90°的特殊位置来分析，如图(b)所 示．根据左手定则判断安培力方向向下，故导线在逆时针 转动的同时向下运动． 【答案】 C
（二）与安培力有关的力学综合问题
如弯曲导线的有效长度L等于两端点所连直线的长度(如 图所示)，相应的电流方向沿L由始端流向末端．因为任 意形状的闭合线圈，其有效长度为零，所以闭合线圈通 电后在匀强磁场中，受到的安培力的矢量和为零．
（一）通电导体在安培力作用下的运动
判定通电导体在安培力作用下的运动或运动趋势： （1）首先必须弄清楚导体所在位置的磁场分布情况， （2）然后利用左手定则准确判定导体的受力情况， （3）进而确定导体的运动方向或运动趋势的方向． 现对五种常用的方法列表如下：
电流元法
分割为电流元―左―手―定―则→安培力方向→ 整段导体合力方向→运动方向
例2 如图甲所示，两根光滑平行导轨水平放置，间距为L， 其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.垂直于导轨 水平对称放置一根均匀金属棒．从t＝0时刻起，棒上有如 图乙所示的持续交变电流I，周期为T，最大值为Im，图甲 中I所示方向为电流正方向，则金属棒( )
赵凯华所编《电磁学》第二版答案解析
第一章静电场§1.1 静电的基本现象和基本规律思考题：1、给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。
你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。
你所用的方法是否要求两球大小相等？答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。
然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。
本方法不要求两球大小相等。
因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。
2、带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。
试解释之。
答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。
但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。
3、用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。
戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。
为什么两种情况有不同结果？答：人体是导体。
当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。
戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。
计算题：1、真空中两个点电荷q1=1.0×10-10C，q2=1.0×10-11C，相距100mm，求q1受的力。
解：2、真空中两个点电荷q与Q，相距5.0mm,吸引力为40达因。
已知q=1.2×10-6C,求Q。
解：1达因=克·厘米/秒=10-5牛顿3、为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。
解：4、氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。
根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r=5.29×10-11m。
已知质子质量M=1.67×10-27kg，电子质量m=9.11×10-31kg。
电磁学_第二版__习题答案
电磁学 第二版 习题解答电磁学 第二版 习题解答 ............................... 错误!未定义书签。
第一章 ................................................. 错误!未定义书签。
第二章 ................................................. 错误!未定义书签。
第三章 ................................................. 错误!未定义书签。
第四章 ................................................. 错误!未定义书签。
第五章 ................................................. 错误!未定义书签。
第六章 ................................................. 错误!未定义书签。
第七章 ..................................................... 错误!未定义书签。
第一章1．2．2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。
在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大解答：设一个点电荷的电荷量为1q q =，另一个点电荷的电荷量为2()q Q q =-，两者距离为r ，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为20()4q Q q F r πε-=令力F 对电荷量q 的一队导数为零，即20()04dF Q q qdq rπε--== 得122Qq q ==即取 122Qq q ==时力F 为极值，而 22202204Q q d F dq rπε==<故当122Qq q ==时，F 取最大值。
1．2．3 两个相距为L 的点电荷所带电荷量分别为2q 和q ，将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零解答：要求第三个电荷Q 所受的合力为零，只可能放在两个电荷的连线中间，设它与电荷q 的距离为了x ，如图1.2.3所示。
电磁学部分教案2：电子的荷质比和电磁力的作用
电磁学作为然界中的基本力量之一，在物理学中占有极为重要的地位。
在电磁学的学习中，我们需要深入掌握电子的荷质比和电磁力的作用等关键概念，以便进一步掌握电磁理论的本质和应用。
本文将重点探讨电子的荷质比和电磁力的作用，以及这些概念在实践应用中的具体运用。
一、电子的荷质比电子的荷质比是指一个电子在静电场和恒定磁场中所受力的比值，通常用符号e/m表示。
其中，e代表电子的电荷量，m为电子的质量。
电子的荷质比是一个常数，其数值为e/m=1.76×10^11 C/kg。
电子的荷质比的测定方法主要有三种：汤姆孙法、焦耳-朗缪尔法和质谱法。
汤姆孙法的测定原理是通过对电子在电场中的运动轨迹进行观测和计算，进而测定电子的荷质比。
焦耳-朗缪尔法和质谱法的原理是通过对电子在恒定磁场中的运动情况进行观测和计算，进而测定电子的荷质比。
电子的荷质比的测定对于揭示电子的物理本质和电磁学原理有着十分重要的意义。
电子的荷质比不仅是基础粒子物理研究中的一个关键参数，还点亮了电子物理学的起源和发展历程。
从实践角度来看，电子的荷质比的测定也是现代技术发展中必不可少的一环。
例如，电子荷质比的测定在核磁共振成像仪中有着重要的应用。
二、电磁力的作用电荷之间通过相互作用力产生电磁力，这是电磁学中的基本原理之一。
电磁力的作用使得电子在磁场中运动，同时也是电流产生的根本原因。
在物理学的研究中，电磁力的作用有着广泛的应用。
电磁力的作用对于科学研究和技术开发有着重要作用。
例如，在电子工业中，电磁力可以用于驱动电子器件的运转，或者用于制备新型电子器件。
在工程技术中，电磁力被广泛应用于发电机、电动机和变压器等领域中。
同时，电磁力也是电磁学理论中的重要概念之一。
电磁学中的麦克斯韦方程组正是揭示了电场和磁场的本质，并建立起了电磁学的完整体系。
理解电磁学理论，运用电磁学原理进行实际问题的解决，可以帮助我们更深入地认识电磁学的本质和应用。
三、电子的荷质比和电磁力的作用的应用电子的荷质比和电磁力的作用在实际应用中有着广泛的运用。
电磁学第二章
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
电磁学部分教案2：磁感应强度的理解和应用
电磁学部分教案2：磁感应强度的理解和应用磁场是一种特殊的物质场，是指空间任意点处存在磁势和磁场强度的物理现象。
磁场可以存在于空间中的任何物质体中，这些物质体包括磁体、电流、电子等。
磁场对于现代生产和科技领域中的许多应用至关重要。
本文将会介绍电磁学部分教案2：磁感应强度的理解和应用。
1.磁感应强度的概念及量纲磁感应强度是研究磁场的基本量之一，指单位电流通过导线时在垂直于导线方向上产生的磁场的强度，它用符号B表示，其量纲为[磁感应强度] = [力] / [电流·时间] = 牛/安培（T）。
2.磁感应强度的测量方法磁感应强度的测量方法有很多种，其中最常见的方法是通过磁场感应定理进行测量。
磁场感应定理又称法拉第定律，它是指在闭合电路中，磁通量的改变会产生感应电动势。
根据这个定理，我们可以使用电动势计或霍尔效应测量磁感应强度。
3.磁感应强度的应用磁场在现代科技生产中有许多重要应用，其中磁感应强度是其中一个重要参数。
具体应用如下：(1)电机：在电机中，磁场可以将电能转换成机械能。
其中，电动机中必须有磁感应强度才能产生电磁力，从而使它们工作。
(2)磁卡：磁卡是一种储存数据的技术。
在磁卡上的磁块可以根据磁场方向不同表示不同的“0”和“1”位，通过在读写器上产生磁场来读取或写入数据。
(3)磁共振成像技术：磁共振成像技术是一种非侵入性的医学检查技术，它利用磁场和射频波产生的共振现象来获取人体内部的影像信息。
(4)磁力测量：在测量磁力的时候也需要用到磁感应强度，因为磁力的大小与磁感应强度有关。
(5)导航：在空间导航中，磁场是一种重要的导航手段。
通过将磁场感应定理应用于航天器，就可以监测小行星、到达火星等行星。
4.磁感应强度的应用范围磁感应强度在现代科技中被广泛应用，它们包括但不仅限于以下几个领域：(1)电机：汽车、航空航天、等领域中的各种电机。
(2)电子设备：记录设备、显示屏、读写器等等。
(3)医疗设备：核磁共振成像（MRI）、磁型治疗设备、等离子光子疗法和其他准转的放射科学等等。
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电场强度E在不同的介质分界面上不连续，而电位移 矢量在不同的介质分界面上具有连续性。
②、电力线与电位移矢量线的比较
电力线（E 线）：
起源于正电荷
终止于负电荷
电位移线（D 线）：
起源于正的自由电荷 终止于负的自由电荷 ③、电通量与电位移通量的比较 电通量：通过某一面积的电力线的条数
电位移通量：通过某一面积的电位移线的条数
r
其中 r 为此介质的相对介电常数，是一个只与介质 本身性质有关的无量纲的量。
几种介质的相对介电常数 真空 空气 橡胶 玻璃 纯水 变压器油
0
0.000
3.5
6~8
80
3
1 1 0 r
令
r 0 （绝对介电常数）
对于各向同性均匀的电介质，各处的相同，为一常 数；各向同性不均匀的电介质，各处不相同。
s
E
R2
4 0r 2 Q
0
②、求U
U
R1
R2 Q E d l 4 2 dr r
R1
0
Q 4 0
1 1 (R ) R 1 2
③、求C
C
Q U
4
R1R 2 0 R 2 R1
[例4] 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距d，导线 半径都为R（R<<d），设导线上电荷密度分别为+和-， 试求该导体组单位长度的电容。 - + 解：①、求E
第九章 静电场中的导体和电介质
基本内容
静电场中的导体 电容和电容器 电介质中的电场、高斯定理、电位移矢量 电场的能量
§9.1 静电场中的导体
一、导体的静电平衡
1、静电感应 在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。 导体的静电感应过程 + + + + + + + + + + + 加上外电场后 无外电场时
称为电位移矢量
D dS q 0
S
此即为介质场中的高斯定理。它指出，通过闭合曲 面的电位移通量，等于此闭合曲面内所含的自由电荷。 说明：①、 D是一个辅助量，方便应用。 ②、 q0指曲面内所包含的自由电荷，与极化电 荷无关，E是由空间所有的电荷产生。
四、电位移矢量与电场强度的比较
①、E与D的比较 真空中
E
4 0r 2 Q
点电荷的场强
介质中
4 r 0 r 2 E Q
无限长带电直线的场强
真空中
20r E
介质中
2r 0r E
真空中
4r 2 D Q
点电荷的电位移
介质中
4r 2 D Q
真空中
无限长带电直线的电位移 2r 2r D D 介质中
2、电容器的电容
定义：理论与实验表明，使电容器的电量q增加，电 容器两个极板上的电势差U按比例增加，但其比值为一 定值，即： q C U
式中C是只与两个极板的尺寸、形状及其相对位置 有关，而与q、 U无关的常数，称之为电容器的电容。 计算： ①、求电场的分布（求E） ②、求两极板间的电势差（求U） ③、利用电容的定义式求电容（求C）
U
B
A
E d l E1d1 E2d 2
0 d1 d2 ( ) 0 r1 r 2
③、求C
0S q S 0 d C d2 U U 1 ( ) r1 r 2
介质存在时电容器电容的求解:
q C 先设q 再求C U
求 U
R1
②、求U
S r
h
U
R2
R1
R2 E d l 2 dr r 0
R1
2 0
ln
R2 R1
③、求C
q C U
20l l R2 ln R 2 ln 2 0 R1 R1
[例3]如图所示，同心球面形电容器的内外半径分别为 R1、 Q R2，求此电容器的电容 解：设电容器的带电量为Q r ①、求E R1 R2 E dS E 4r 2 Q
1S 2S q1
3S 4S q2
§9.2电容、电容器
一、孤立导体的电容
1、定义 使一孤立导体带电q，它将具有一定的电位U，理 论与实验表明，随着q的增加，U将按比例增加，但它 们的比值为一定值，即 ：
q C U
式中的C是一个与导体的尺寸和形状有关，而与q、 U无关的常数，称之为该孤立导体的电容。 物理意义： 使导体每升高单位电位所需的电量。 2、单位 F（法） F PF （106进位）
0 +
2
+
+
+
+
S1
r1
D1 S2 D2
d1 d2
D1 0
-0
r 2
S2
D dS D2S 2 0S 2
B
D2 0
D1 D2 0 D
0 D E2 2 0 r 2
0 D E1 1 0 r1
②、求U
2、若导体为导体壳时，电荷又是如何分布的呢？
（1）、腔内无带电体的情形
+ + + + + +
+ Q
+
S
+ +
静电平衡时，导体内表面没有电荷，电荷只能分 布在外表面 。空腔内电场强度为零，电势处处相等， 但不一定为零。 （2）、腔内有带电体的情形
Q q S
+ +
+
Q+q q -q
- +
q1
静电平衡时，导体内表面分布的电荷与腔内电荷的 代数和为零，净电荷分布在外表面，其数值为导体所带 电荷与腔内电荷的代数和。 一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电 体和外界带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。 [例1] 已知两金属板带电量分别为q1、q2，求其表面的电 荷面密度1、2、 3、4。
对于各向异性的电介质， 不再是为一普通的常数， 它是包括9个分量的张量。
E0 适用的条件： E
r 各向同性的均匀电介质充满电场所在空间
U
0S 0 r S q C U d d
0
E 0d E d l Ed
r
即：
S C d
三、电介质中的高斯定理
由于诱导电偶极矩的出现，在介质左右的两个端面上 出现极化电荷层。
+ + + +
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
+ + + + + +
E外
②、有极分子的旋转极化（取向极化）
无外电场时，有极分子的电偶极矩取向不同，整个 介质不带电。
+ + + + + + + + +
+
+ + + + +
+
[例1]如图所示，无限大平板电容器，极板间充满两层各 向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板， 两层电介质的相对介电常数各为r1和r2，厚度分别为d1和 d2。求此电容器的电容。 解：设极板的 自由电荷面密度为0 A
S1
①、求E E1 D dS D1S1 0S1 E
1、实心导体带有净电荷q，那么这些电荷如何分布？ S q
S S
导体内： E=0
S
q
i
n
i
0
n i i
ES
q 0
导体外： E dS
S 0
1 0
q
E 0
净电荷分布在导体的表面 表面附近的电场强度与电荷密度成正比
q
r
R
Q
U
rq 4 0r 2
E外
2、静电平衡： 导体中的电荷宏观定向移动终止，电荷分布不随时 间变化，此时其即达到静电平衡。 3、导体的静电平衡条件： 用场强描述 ①、导体内部任何一点场强为零（E=0) ②、导体表面任何一点场强方向垂直于导体表面 用电势描述 ①、导体是等势体 ②、导体表面为等势面
二、静电平衡时导体上的电荷分布
q U
+ + +
S d
U E d l Ed
③、求C
C
S d
0
0S d
[例2] 如图所示，同轴圆柱形内外半径分别为R1、R2，长 度为l，求此电容器的电容（忽略边缘效应）。 解：设电容器的带电量为q ，线电荷密度为 R2 l ①、求E
SE dS ES E2rh h 1 qi E 0 0 2 0r
U
0
ln d R R
0
ln d R
R
先设q 再求C
求U
求E
电容器:
q C 先设q 再求C U
求 U
求E
§9.3 电介质
一、电介质的极化
1、电介质：（没有或有极少量的自由电荷） 无极分子：分子正负电荷中心重合（H2、CH4等） 有极分子：分子正负电荷中心不重合（H2O、HCl等） 甲烷分子 水分子
以充满介质的平行板电容器为例 由高斯定理可得：
S
1 0 S E dS 0