必修二--直线对称问题

常用结论:
设直线l的方程为Ax By C 0
1. 直线关于原点的对称直线的方程为: A(x ) B(y ) C 2.直线关于x轴的对称直线的方程为: Ax B( y) C 0
0
3.直线关于y轴的对称直线的方程为: A( x) By C 0
4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为: Bx Ay C 0 5.直线关于直线y= -x的对称直线的方程为
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y+2=0关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线l 的方程。 解：设L方程为x-y+m=0 则 L1与 L2距离等于 L2 与 L 距离
y
L1
L2 L
建立等量关系，解方程求m
o
x
四、直线关于直线对称
X+2 3· 2
L
y
L2
L1
y+0 +3=0 2 ∴L：7x+y+6=0 求出Q’点坐标后，两点式求L方程。
则
·· · P
Q(2,0),
X
四、直线关于直线对称 解题要点：
L
y
L2
Q’(x,y)
··
O
L1
Q(2,0),
求L1关于 L2的对称直线L的方程
X
· P
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
• • • • • • • •
(-a,-b) ; 1. 点 ( a, b) 关于原点的对称点为 2. 点 ( a, b) 关于点(m, n)的对称点为(2m-a,2n-b) ; (a,-b) 3. 点 ( a, b) 关于x轴的对称点为 ; (-a,b) 4. 点 ( a, b) 关于y轴的对称点为 ; (b,a) 5. 点 ( a, b) 关于y=x的对称点为 ; 6. 点 ( a, b) 关于y= -x的对称点为 (-b,-a) ; 7. 点 ( a, b) 关于x=m的对称点为 (2m-a,b) ; 8. 点 ( a, b) 关于y=n的对称点为 (a,2n-b) ;
点关于点的对称 中心对称问题
对 称 问 题
轴对称问题
线关于点的对称
点关于线的对称 线关于线的对称
中心对称
定 义 绕中心旋转180° 旋转后重合
1、两个图形是全等形
轴对称
沿轴翻转180° 翻转后重合
有一个对称中心:点 有一条对称轴 :直线
性 质
1、两个图形是全等形 2、对称轴是对应点连 2、对称点连线都经过 线的垂直平分线 对称中心，并且被对称 3、对称线段或延长线相 中心平分。 交，交点在对称轴上
直线l '的方程。 法一：根据两点确定一 条直线，故只需在 l
上任找两点，则这两点 关于直线 m : x y 5 0的对称点必在l ' 上。 因此，可取Q(0,3) , R(1,0) , 则它 们关于直线m的对称点分别为 Q' (2,5) , R' (5,4) , 所以由两点式 整理得l '的方程为：x 3 y 17 0
A( y) B( x) C 0
1、光线从A（-1，8）射出，遇到x轴反 射，反射光线过B（5，4），求入射光线 和反射光线的方程
对称与最值
1、两点在直线的异侧，在直线上求一点到这ห้องสมุดไป่ตู้点 的距离之和最小（两点在直线的同侧呢）
2、两点在直线的同侧，在直线上求一点到这两点 的距离之差最大（两点在直线的同侧呢）
O
解题要点：
· P
X
法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： L1∥L2 点斜式或对称两点式 法三： l 1 // l 2且P到两直线等距。
四、直线关于直线对称 例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方程。
解：x-y-2=0
得 P(- 1 ，- 5 ) 2 2 3x-y+3=0 Q’(x,y) 在 L1上任取一点Q(2,0), 求其关于 L2的对称点Q’(x,y) O y-0 =-1 3· x-2
AA’中点在l 上
X
（L为对称轴）
二、直线关于点对称
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。
解 ：设A(x，y)为L2上任意一点 则A关于P的对称点A′在L1上 ∴3(4-x)-(-2-y)-4=0 即直线l 2的方程为3x-y-10=0 Y L1 L 2
法三：在l ' 上任找一点P( x, y ),则它关于 点M的对称点为P' (6 x,4 y ), 则点P' 在直线l上， 所以3(6 x) (4 y ) 3 0, 整理得l '的方程为3 x y 17 0
变题二: 求直线l关于直线m : x y 5 0 的对称
设 P ( x 0 , y 0 )关 于 点 M (a , b )的 对 称 点 P ( x , y )， 则 有 x0 x a x 2a x 0 2 ' 即 P ( 2a x0， 2b y0 ). y 2b y 0 y0 y b 2 特别，点 P关 于 原 点 的 对 称 点 P ' ( x0， y0 ).
求L1关于 L2的对称直线L的方程
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
(2)若 L1‖L2，设L方程为x-y+m=0 则 L1与 L2距离等于 L2 与 L 距离 建立等量关系，解方程求m
请大家完成下例填空题
知识运用与解题研究
一、点关于点对称
例1. 已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。 解:设C(x,y)
5+x -4= 2 则 8+y 1= 2 ∴ C(-13，-6) y
得
x=-13 y=-6
B
A ·
x
·
O
· 解题要点：中点公式的运用
C
一般用中点坐标公式解决这种对称 问题.
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为
x1 x 2 y1 y2 ( , ) ______________ 2 2
3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的 Axo + Byo + C = 0 条件是 __________________
'
三、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点A’的坐标。 ′ 解：设 A（ x,y) 则
y-4 =-1 -3· x-(-4) 4+y -4+x 3· + 2 -2=0 2
Y
A·
·
O
· A′ (x，y)
(2，6)
解题要点： k • kAA’ = -1
3 x y 3 0 法二：由 得交点坐标为：（ 1， 6）， x y 5 0 所以由两点式整理得l '的方程为： x 3 y 17 0
法三：在l ' 上任找一点P( x, y ) , 设P关于m 的对称点为：P' ( x0 , y0 ) , x x0 y y0 5 0 x0 y 5 2 2 则 y y 解得 0 y0 x 5 1 x x0 由于点P' 在直线l上，所以3( y 5) ( x 5) 3 0 整理得l '的方程为：x 3 y 17 0.
3、已知L：y=x+9在L上求一点P，使P点到 （-3，0）与（3，0）距离之和最小，求P点的 坐标。
对称问题
回顾：
（1）点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：d
C2 C1 A B
2 2
，
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式, 并且X、Y项的系数要对应相等.
有关知识：
斜率存在，k1k2=－1 1、直线互相垂直的条件：__________________
结论：
E (a, b)关于直线l : Ax By C 0( B 0) 的对称点E ' ( x0 , y0 )的求法： y0 b x0 a A B C 0 2 2 y b A 0 ( ) 1 B x0 a
变题一 :
求直线l关于点M (3,2)的对称的直线 的方程。
(a, b)
例题：已知直线l : 3x y 3 0, 求p(4,5)关于l的对称点。
P
垂直
·
P’
P与P’中点
例题：已知直线l : 3x y 3 0, 求p(4,5)关于l的对称点。
解：设点p关于l的对称点为p ' ( x, y ) 4 x 5 y 3 2 2 3 0 则 y 5 3 1 x4 x 2 解得 y 7 对称点的坐标为 (2,7)。
解题要点： 法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： L1∥L2 点斜式或对称两点式 法三： l // l 且P到两直线等距。
· · A′· P
O
A
X
二、直线关于点对称
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。