矩阵理论作业
工程数学第四次作业
工程数学第四次作业随着工程的复杂性和综合性日益增长，工程数学成为了工程师必备的重要工具。
本次作业的主题为“线性代数与矩阵运算”。
线性代数是工程数学的一个重要分支，它研究的是向量空间及线性变换。
在工程领域，线性代数被广泛应用于计算机图形学、机器学习、物理建模和经济学等领域。
通过对线性代数的学习，工程师可以更好地理解和分析工程问题，提高解决问题的效率和质量。
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是向量空间中的一种特殊元素。
矩阵的运算是工程数学中的基本运算之一，它可以表示物体之间的相对位置和运动状态。
在工程中，矩阵被广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、机器人学和控制系统等领域。
通过对矩阵的学习，工程师可以更好地理解和分析工程问题，提高解决问题的效率和质量。
本次作业的任务是完成一份关于线性代数与矩阵运算的试卷。
试卷包括了填空题、选择题和计算题等多种题型，涵盖了线性代数与矩阵运算的基本概念和基本运算。
完成本次作业需要学生掌握线性代数与矩阵运算的基本概念和基本运算，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
通过本次作业，学生可以更好地理解和掌握线性代数与矩阵运算的基本概念和基本运算，提高解决实际问题的能力。
本次作业还可以帮助学生培养良好的学习习惯和思维方式，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
工程数学第四次作业是关于线性代数与矩阵运算的一次重要实践。
通过本次作业，学生可以更好地理解和掌握工程数学的基本概念和基本方法，提高解决实际问题的能力。
本次作业还可以帮助学生培养良好的学习习惯和思维方式，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
第四次中东战争中东战争是指在中东地区发生的多次军事冲突和战争，其中第四次中东战争是指1973年埃及和叙利亚等国家与以色列之间爆发的一场大规模战争。
这场战争的爆发原因和战场情况以及战争的影响和后果都值得我们深入探讨。
在第四次中东战争爆发前，中东地区已经存在着紧张的政治和军事局势。
以色列和埃及、叙利亚等国家之间长期存在着领土争端和民族矛盾，这是导致战争爆发的重要原因之一。
矩阵理论作业3：最小二乘法拟合
用最小二乘法确定m 次拟合多项式()m y P x =摘 要在实际问题中测得的实验数据有时需要较简单的函数逼近来解 , 最小二乘法拟合在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用非常广泛 ,已成为这类问题数据处理的重要且可靠的技术手段。
本文针对最小二乘法的多项式拟合，进行了拟合曲线系数矩阵的理论公式推导，并由matlab 工具实现了拟合函数的编程。
然后在实际数据上进行了应用，并通过对结果的比较分析得出了结论，旨在提升对这种在工程中应用广泛的方法的理解和应用能力。
关键字：最小二乘法 多项式 拟合引言最小二乘拟合是一种数学上的近似和优化，利用某种方法由已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间距离的平方和达到最小。
最小二乘拟合在工程中具有普遍应用，是数据分析的重要方法。
最小二乘法拟合的模型有很多种，其中多项式拟合模型应用比较广泛。
()m P x 表示次数不高于m 次的多项式。
本文结合线性代数中有关矩阵的运算等知识[2]，在最小二乘法多项式拟合基本公式的推导[1][3]基础上，应用matlab 工具进行编程实现[3]，并对实际的例子进行一次、二次及多次拟合，做出拟合曲线。
实验发现，程序运行良好，基本可以很好地进行数据拟合分析。
最小二乘法基本原理对于一组给定数据点1122(,),(,),,(,)N N x y x y x y ，求一个次数不高于m 次的多项式2012()m m m y a a x a x a x P x =++++= (1)使得拟合出的近似曲线尽可能反映所给数据点的变化趋势（一般来说m N ）。
那么，就要求()m P x 在所有数据点i x 上的偏差()i m i i P x y δ=-，(=12i N ，，，) (2)都较小。
为达到这个目标，令偏差的平方和最小，即2211()[()]min N Nimiii i P x y δ===-=∑∑ (3)称这种方法为最小二乘法，利用这一原则确定拟合多项式()m P x 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
矩阵理论作业6：两种算法求三次最佳平方逼近多项式
矩阵理论作业6：两种算法求三次最佳平⽅逼近多项式两种算法求()f x 的三次最佳平⽅逼近多项式摘要对于⼀个较复杂的函数，往往需要求⼀个简单多项式来逼近。
本⽂选取两种基函数，⽤两种算法计算⼀个函数()=exp()sin()f x x x ?在[0,]2x π∈上的三次最佳平⽅逼近多项式及其逼近误差，然后应⽤matlab 进⾏计算作图并对⽐两种⽅法的逼近结果。
关键字：三次最佳平⽅逼近两种算法引⾔多项式的⼀个重要应⽤就是可以⽤来逼近⼀个区间上的连续函数，往往许多复杂的函数需要⽤各种⽅法来进⾏多项式逼近。
本⽂参考矩阵理论讲义[1]对函数()=e x p()s i n (f x x x ?在[0,]2x π∈上进⾏三次最佳平⽅逼近，求其逼近误差，并在matlab 中编程计算和绘图以验证和⽐较逼近结果的准确性。
求最佳平⽅逼近的多项式()=exp()sin()f x x x ?，[0,]2x π∈求三次的最佳平⽅逼近多项式（内积中的权函数()=1x ρ）。
⽤两种算法实现，⼀是设{}23=1,,,span x x x Φ，⼆是设为{}0123=(),(),(),()L x L x L x L x Φ，其中(),0,1,2,3i L x i =是勒让德多项式。
第⼀种算法：{}23=1,,,span x x x Φ，由矩阵形式(1)根据[,]C a b 上内积定义((),())()()()baf xg x x f x g x dxρ=?(2)其中权函数()=1x ρ，在[0,]2x π∈上计算得2340234513456245673 2.9052/2/8/24/64 3.2781/8/24/64/160 4.0294/24/64/160/384 5.2035/64/160/384/896a a a a ππππππππππππππππ=(3)解得待定系数00.0201a =，10.7658a =，2 1.5765a =，20.0708a =-。
矩阵理论作业4-2：线性变换(面积公式)
线性变换下求有界区域面积的公式及论证摘要在2R上的一个任意形状的有界区域经过矩阵的线性变换后，面积由Ω变为*Ω。
为了论证变换后的面积与变换前的面积和变换矩阵的关系，本文根据微积分的相关知识推导和论证了面积的变换公式*=det()AΩ⋅Ω。
然后在matlab中对圆变换为椭圆的特例情况进行了编程验证。
最终证明了两个区域的面积的关系是正确的。
关键字：线性变换有界区域面积关系引言矩阵的线性变换可以改变图形的形状，同时图形的面积也发生了相应的改变。
那么，变换后的面积与变换前的面积和变换矩阵有什么关系呢？本文结合了线性代数[2]和高等数学[3]微积分的相关知识，对面积的变换公式进行了推导和论证，并在matlab中对实际的算例编程验证。
最终证明了两个区域的面积的关系为*=det()AΩ⋅Ω。
这个结论在《线性变换在求空间区域面积、体积中的应用》[1]中也有说明。
问题概述如下图所示，在2R上有一个有界区域2RΩ⊂，其面积为Ω，该区域经过线性变换y Ax=，det()0A≠得到新的区域，记为*2RΩ⊂，面积为*Ω。
图1试论证两个区域的面积存在如下关系*=det()AΩ⋅Ω(1) 在《线性变换在求空间区域面积、体积中的应用》[1]这篇文章中明确地给出了这样的结论。
在2R中，设σ是由2×2矩阵A确定的线性变换，P为2R中一面积有限的任意形状的区域。
利用微积分的思想，将P分割成若干小正方形。
当小正方形足够小时，这些小正方形的面积总和就充分逼近P的面积。
在线性变换σ下，这些小正方形的面积总和就充分逼近()Pσ的面积，再通过取极限就有()detP PS A Sσ=。
其中：PS表示P的面积；()P S σ表示()P σ 的面积。
由此可知用面积积分的方法即可验证以上结论，下面进行论证。
线性变换下求有界区域面积公式的论证 由微积分的相关知识可知变换前的图形面积为12dx dx ΩΩ=⎰⎰ (2)同理，变换后的图形面积为**12dy dy ΩΩ=⎰⎰ (3)二阶变换矩阵A 存在两个特征值1λ和2λ，使得111222y ,x y x λλ==，带入（3）式得***121212dy dy dx dx λλΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰ (4)又由行列式与特征值的关系可知1211221221det()A a a a a λλ==- (5)所以可以得出结论*12det()=det()A dx dx A ΩΩ=⋅Ω⎰⎰ (6)算例分析由于不规则图形面积不易计算，所以以圆变换为椭圆为例验证以上面积公式，并通过在matlab 中编程（程序详见附录）实现。
吴莹莹矩阵论作业
本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。
最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。
本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。
关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。
特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。
因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。
但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。
一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。
况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。
所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。
复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。
因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。
在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。
两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。
因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。
圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。
目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。
本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。
矩阵分析 考前例题和作业题
于是有
AP = A ⎡ ⎣ X1 , X 2 , X 3 ⎤ ⎦=⎡ ⎣ AX1 , AX 2 , AX 3 ⎤ ⎦ ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ = PJ = ⎡ ⎣ X1 , X 2 , X 3 ⎤ ⎦ ⎢ 0 −1 1 ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 −1⎥ ⎦ =⎡ ⎣− X1 , − X 2 , X 2 − X 3 ⎤ ⎦
E + U ≠ 0, 否则-1就是 U 的特征根，与已知矛盾。 矩阵 E + U 满秩。 ( E + U )( E − U ) H H −1 H W = −i( E + U ) ( E − U ) = ( E − U )( E + U ) H −1 −1 H = −i( E + U ) U U ( E − U )
再由第三个方程解出一个特解 再由第 个方程解出 个特解 为 那么所求相似变换矩阵为
T
X 3 = [1, 1 0 0, 0]
T
⎡0 4 1⎤ P = [ X 1 , X 2 , X 3 ] = ⎢1 3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 −2 0 ⎥ ⎦
3 5(2) 3-5(2)
A 是正规矩阵，求酉矩阵 是正规矩阵 求酉矩阵U 使得 U AU 为对角矩阵.
⎡a 1 ⎤ ⎥ ⎢ a ⎥ 与 B=⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a⎦ ⎣ε
ε ≠0
⎤ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ a⎦
n Dn−1 (λ ) = 1, Dn (λ ) = (λ − a ) n Dn−1 (λ ) = 1, Dn (λ ) ≠ (λ − a )
2 7(4) 求方阵 2-7(4)
⎡3 0 8⎤ A = ⎢ 3 −1 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ −2 0 −5⎥ ⎦
故 A 的初等因子为
λ + 1,( ( λ + 1) )
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等课后限时作业(四)带答案新高考高中数学
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．设曲线22:41C x y +=在(,)(2,)x y x y y →-对应的变换下变成另一条曲线'C ,则曲线'C 的方程为______22':(2)41C x y y ++= 2．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a+++⋅⋅⋅+= 45 。
评卷人得分 二、解答题3．若矩阵A 有特征值13λ=,21λ=-,它们所对应的特征向量分别为110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和212⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ,求矩阵A .4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3421M （1）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；（2）求矩阵M 的特征值.5．已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．6．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点(1,2)A 变成了点(7,10)A '，点(2,0)B 变成了点(2,4)B '，求矩阵M 的逆矩阵1M -．7．求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ．8．若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．2．1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 评卷人得分 二、解答题3．解.设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,由⎧⎨⎩111222λλ==Ae e Ae e …………………3分 得⎧⎪⎨⎪⎩11330001111222a b c d a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即⎧⎪⎨⎪⎩302122a c a b c d ==+=-+=-，⎧⎪⎨⎪⎩3021a c b d ===-=-，所以3201-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A …………………10分 4．5．（选修4—2：矩阵与变换） 解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ， ……………………………………………5分 =AXB ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B ．…………………………10分 6．解：设1a b Mc d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，依题意有：7122,10240a b a b c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦------4分 即71017102242240a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ，解之得232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩ ------8分 所以1322112M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦------10分 7．8．2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，………………………………………4分所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩……………………………………………6分 所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．………………………10分 另01=M 10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．另01cos90sin9010sin90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90) sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．。
矩阵理论作业7：奇异值引理证明
奇异值引理证明—矩阵BA 和AB 的关系摘 要矩阵理论中关于矩阵AB 和BA 的特征值的关系非常丰富，本文针对两个结论：()()tr AB tr BA =和det()det()n mn m I BA I AB λλλ--=-进行了证明。
关键字：矩阵 迹 BA 和AB 特征值引言在学习矩阵奇异值分解前，我们引入了一个引理，本文参考矩阵理论中关于矩阵AB 和BA 的特征值的关系[1][2][3][4]，用矩阵分块的方法证明了此引理，即对m nA ⨯∀∈R ，n mB ⨯∀∈Rdet()det()n m n m I BA I AB λλλ--=-，以及AB BA 、迹相等的结论。
引理证明对于m n A ⨯∀∈R ，n m B ⨯∀∈R ，证明 ①()()tr AB tr BA = ②det()det()n mn m I BA I AB λλλ--=-特别地，当T B A =时，则有det()det()T n m T n m I A A I AA λλλ--=-（提示：借助分块矩阵乘法证明） 证明①：已知111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭(1)111212122212m m n n nm b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭(2)先来计算AB ，令A 按行分块，B 按列分块11112122122212=(,,,)=(,,,)=(,,,)n n m m m mn a a a a a a a a a ααα(3)11121121222212=(,,,)'=(,,,)'=(,,,)'n n m m m nm b b b b b b b b b βββ(4)则矩阵A B 、可简化为12m A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(5)，()11m B βββ= (6)111212122212=m m m m m m AB αβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭(7) 由矩阵的迹的定义可知，AB 的迹为1122()m m tr AB αβαβαβ=+++ (8)将αβ、带入(8)展开，得111112211121122222221122112211111()()()()n n n n m m m m mn nm nnni i i i mi imi i i mnji ijj i tr AB a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ======++++++++++++=+++=∑∑∑∑∑(9)同理再来计算BA ，令A 按列分块，B 按行分块11121121222212=(,,,)'=(,,,)'=(,,,)'m m n n n mn a a a a a a a a a ααα(10)11112122122212=(,,,)=(,,,)=(,,,)mmn n n nmb b b b b b b b b βββ(11)矩阵A B 、简化为()12nA ααα= (12)， 12n B βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(13)1211112222122=nn n n n BA βαβαβαβαβαβαβαβαβα⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭(14) BA 的迹为1212()n n tr BA βαβαβα=+++ (15) 将 αβ、带入(15)展开111112211121122222221122112211111()()()()m m m m n n n n nm mn mmmi i i i ni ini i i nmji ijj i tr BA b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ======++++++++++++=+++=∑∑∑∑∑(16)显而易见，（9）和（16）式互换,i j 结果相等，由此可以证明()()tr AB tr BA =。
第3章-72矩阵初等变换与线性方程组作业解答
第3章 矩阵初等变换与线性方程组 (作业1)一. 填空题：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=532111363A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532010363B , 则由A 变换为B 的一个初等变换为( r 2–31r 1 ); 由B 变换为A 的一个初等变换为( r 2+31r 1 ). 二. 选择题：设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----441221442, B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000221, 其中矩阵B 是矩阵A 的行最简形, 以下5组初等变换及其次序: ① r 1↔r 2, r 2–2r 1, r 3+2r 1; ② r 3+r 1, r 1⨯1/2, r 2–r 1; ③ r 1–2r 2, r 3+2r 2, r 1↔r 2; ④ r 3+r 1, r 1–2r 2, r 1↔r 2; ⑤ r 3+r 1, r 1–r 2, r 2–r 1. 其中有( D )是由A 变换为B 的初等变换.(A) 2组; (B) 3组; (C) 4组; (D) 5组.三. 把矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=12433023221453334311A 化为行最简形矩阵.解:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=12433023221453334311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210034311 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011 四. 利用矩阵的初等变换求方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--113122214的逆阵. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100113010122001214 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100113010122101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----403210212320101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614100403210101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614100825010513001, 所以，A –1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614825513.r 1+r 2⨯(–1) r 2+r 1⨯(–3) r 3+r 1⨯(–2) r 4+r 1⨯(–3) r 2÷(–4) r 2÷(–3)r 2÷(–5)r 3+r 2⨯(–1) r 4+r 2⨯(–1) r 1+r 3⨯(–1) r 2+r 1⨯(–2) r 3+r 1⨯(–3) r 2+r 3⨯(–2) r 2↔r 3r 2+r 3⨯(2)r 1+r 3⨯(–1) r 3÷(–1)五. 已知AX + 2E = X +B , 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221001323A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112221015B ，求矩阵X . 解: 由AX + 2E = X +B 得, (A –E ) X = B –2E , X =(A –E )–1(B –2E ),⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100121010011001322 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110110010011021340 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021340110110010011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--461100110110010011 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461100351010341001所以, X =(A –E )–1(B –2E ) =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312201013=⎪⎪⎭⎫⎝⎛----051142141.六. k 取何值时矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11100001k 可逆, 并在A 可逆的条件下求A –1.解: 显然|A |=k , 故A 可逆当且仅当k ≠0. 以下求A –1.方法一: (A :E )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10011101000001001k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011100/10010001001k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/111000/10010001001k k , 所以A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/110/10001k k . 方法二: 将矩阵A 分块, A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11100001k =⎪⎭⎫⎝⎛231A A O A由分块矩阵逆矩阵的有关结论有: A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----121131211A A A A O A ,易得⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k A /100111, )1(12=-A , ())1,1(10011,1)1(11312k k A A A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---, 所以A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/110/10001k k .r 1+r 2⨯(–2) r 3+r 2⨯(1) r 1↔r 2 r 2↔r 3 r 3+r 2⨯(–4) r 3÷(–1) r 2+r 3⨯(–2) r 2↔r 3 r 3+r 1⨯(–1) r 2÷(k ) r 3+r 2⨯(1)第3章 矩阵初等变换与线性方程组 (作业2)一. 填空：1. 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a A 212221212111，其中a i ≠ 0, b i ≠ 0( i = 1, 2, …, n )，则R (A ) = 1 .解: A =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T (b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n ), R (A )≤R ((a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T )R ((b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n ))=1⨯1=1,而a i ≠ 0, b i ≠ 0( i = 1, 2, …, n ), 故A ≠ O , R (A )≥1, 所以R (A )=1.2. 当齐次线性方程组Ax = 0的方程个数大于未知量个数时, 则方程组 不一定 有非零解. 解: 由条件知, 系数矩阵A 的行数m 大于列数n , 因此R (A )=n 可能成立.3. 设B 为非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵, 则Ax = b 有解的充分必要条件是 R (A )与R (B ) 相等 .解: 根据非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 二. 选择题：1. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则矩阵A , B 的秩的关系为( C ).(A)R (A ) = R (B ) +1; (B) R (A ) > R (B ); (C) R (A ) ≥ R (B ) ≥ R (A ) –1; (D) R (B ) > R (A ) –1. 解: 结论(A)(B)(D)都是不能确定的(可以举反例), 而(C)结论是正确的. 2. 矩阵A 的秩为r , 则下列结论正确的是（ A ）.(A) A 的所有阶数大于r 的子式全等于零; (B) A 没有r – 1阶的非零子式; (C) A 的所有r 阶子式都不为零; (D) A 的所有r – 1阶子式都不为零. 解: 由矩阵秩和最高阶非零子式的概念可得.3. 设非齐次线性方程组Ax = b 有n 个未知量, m 个方程, 且R (A ) = r , 则此方程组( A )。
矩阵理论作业4-2：线性变换(面积公式)
矩阵理论作业4-2：线性变换(面积公式)-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII线性变换下求有界区域面积的公式及论证摘 要在2R 上的一个任意形状的有界区域经过矩阵的线性变换后，面积由Ω变为*Ω。
为了论证变换后的面积与变换前的面积和变换矩阵的关系，本文根据微积分的相关知识推导和论证了面积的变换公式*=det()A Ω⋅Ω。
然后在matlab 中对圆变换为椭圆的特例情况进行了编程验证。
最终证明了两个区域的面积的关系是正确的。
关键字：线性变换 有界区域 面积关系引言矩阵的线性变换可以改变图形的形状，同时图形的面积也发生了相应的改变。
那么，变换后的面积与变换前的面积和变换矩阵有什么关系呢？本文结合了线性代数[2]和高等数学[3]微积分的相关知识，对面积的变换公式进行了推导和论证，并在matlab 中对实际的算例编程验证。
最终证明了两个区域的面积的关系为*=det()A Ω⋅Ω。
这个结论在《线性变换在求空间区域面积、体积中的应用》[1]中也有说明。
问题概述如下图所示，在2R 上有一个有界区域2R Ω⊂，其面积为Ω，该区域经过线性变换y Ax =，det()0A ≠得到新的区域，记为*2R Ω⊂，面积为*Ω。
图1试论证两个区域的面积存在如下关系*=det()A Ω⋅Ω (1)在《线性变换在求空间区域面积、体积中的应用》[1]这篇文章中明确地给出了这样的结论。
在2R 中，设σ是由2×2矩阵A 确定的线性变换，P 为2R 中一面积有限的任意形状的区域。
利用微积分的思想，将P 分割成若干小正方形。
当小正方形足够小时，这些小正方形的面积总和就充分逼近P 的面积。
在线性变换σ下，这些小正方形的面积总和就充分逼近()P σ的面积，再通过取极限就有()det P P S A S σ=。
其中：P S 表示P 的面积；()P S σ表示()P σ 的面积。
由此可知用面积积分的方法即可验证以上结论，下面进行论证。
南航矩阵论第一章作业答案与提示
矩阵论作业答案与提示第一章（P41-P44）8提示：设044332211=+++ααααx x x x ，解得04321====x x x x ，因此4321,,,αααα线性无关．10（1）提示：考虑n 阶反对称矩阵构成的线性空间V ．设ij α是处的元素为1，处的元素为-1，而其余元素均为零的n 阶反对称矩阵（），则),(j i ),(i j j i <n n n 2n ,123112,,,,,,,−ααααL L L A ij 线性无关．又若V a α∈=)(，则有∑≤<≤=nj i ijija A 1α，即A 可以由n n n n ,1223112,,,,,,,−αααααL L L 线性表示，因此.2)1(12)2()1()dim(−=+++−+−=n n n n V L 同理，若V 是n 阶对称矩阵构成的线性空间，则.2)1()dim(+=n n V 12提示：设A x x x x =+++44332211αααα，解得1,1,3,24321−===−=x x x x ，因此A 在基4321,,,αααα下的坐标是.)1,1,3,2(T −−18提示：（1）对任意P ,,∈∈k W Y X ，直接验证W kX Y X ∈+,．（2）在中取向量W )(i i e diag =α，其中表示第i 个分量为1，其余分量为零的n 维行向量，，则i e n i ,,2,1L =n ααα,,,21L 线性无关．又若，则由W x X n n ij ∈=×)(XA AX =得到，即)(0j i x ij ≠=),,,(2211nn x x x diag X L =．于是∑==ni i ii x X 1α，即X 可由n ααα,,,21L 线性表示．因此n ααα,,,21L 是的一组基，而．W n W =)dim(19（1）提示：设},{},,{212211ββααspan V span V ==，则},,,{212121ββααspan V V =+．由于121,,βαα是向量组2121,,,ββαα的极大线性无关组，所以，而3)dim(21=+V V 121,,βαα是21V V +的一组基．接下来，求的维数和基．设21V V I 21V V I ∈α，则有24132211ββαααk k k k −−=+=，从而024132211=+++ββααk k k k ．解这个向量方程得到：,,3,4,4321k k k k k k k k =−=−==其中k 是任意常数．此时,)4,3,2,5()3()4(2121T k k k −−−=−=−=ββααα即．于是})4,3,2,5{(21T span V V −−−=I 1)dim(21=V V I ，而是的一组基． T )4,3,2,5(−−−21V V I 21提示：设,)1,,1,1(,)1,1,0,,0(,)0,,1,1,0(,)0,,0,1,1(121Tn T n T T L L L L =−=−=−=−αααα则},,,{},{},,,,{112121211n n n n span V V span V span V ααααααα−−=+==L L ．由于n n ααα,,,11−L 线性无关，所以它们构成n R 的一组基，从而．注意到，于是． n R V V =+21}0{21=V V I n R V V =+⋅2124提示：在V 中取向量,1100,0010,0011321⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ααα 则321,,ααα线性无关，且321αααc b a c c b a a ++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+， 从而，而3)dim(=V 321,,ααα是V 的一组基．定义映射如下：3:R V →σ,)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+c b a c c b a a σ 由于是向量在基T c b a ),,(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=c c b a a α321,,ααα下的坐标，所以σ是V 到3R 的同构映射．27（1）提示：首先将321,,ααα化为标准正交向量组，得到.)2,1,1,2(101,)2,3,3,2(261,)1,2,2,1(101321T T T −−−=−=−=εεε其次，解方程组，求得基础解系，将其单位化，得0321===x x x TT T εεεT )3,2,2,3(4−=αT )3,2,2,3(2614−=ε，则4321,,,εεεε是V 的标准正交基．最后，直接计算，得到311010εεα+=． （2）解答：212321362),31(4103,26,21εεαεεε+=−===x x ．。
矩阵论作业
1,用行列式的方程表达空间直角坐标系中三点A （,,i i i x y z ），B （,,j j j x y z ），C （,,k k k x y z ）所构成的三角形的面积。
解：,,,,,,(,,)(,,)i i i j j j k k k k i k i k i j i j i j i x y z x y z x y z AC AB x x y y z z x x y y z A B z C ⨯=------ （），（），（） 1||2ABC S AC AB ∆=⨯ =11112k ik i k i j i j i j i x x y y z z x x y y z z ------MATLAB 程序：假设1,1,30.5,4, 1.7 2.3,1.8,0.9A B C ----（），（），（）>> e=ones(1,3);a=[1,-1,3];b=[0.5,-4,-1.7];c=[-2.3,1.8,0.9];>> A=[e;c-a;b-a];%构造3阶方阵s=0.5*abs(det(A))%对矩阵A 的行列式求绝对值以后再乘以0.5当A,B,C 三点的坐标是随机的情况下，程序为e=ones(1,3);a=rand(1,3);b=rand(1,3);c=rand(1,3);A=[e;c-a;b-a];s=0.5*abs(det(A))2，给定n 个不同观测点1122,,,n n x y x y x y （），（），,（），用最小二乘法拟合直线y ax b =+，即表达出a,b 。
解：设拟合直线为()y f x ax b ==+，最小二乘法需使得i ()(1,2,,)i y f x i n = 与之间偏差的平方和最小，即：2211i i [()][()]n n i i s i i y f x y a bx ====--+∑∑最小 据此有2120i [()]n i s i a y a bx =∂=-=∂-+∑① 2120i [()]n i i s x i b y a bx =∂=-=∂-+∑② 联立①②得211112211n n n n i i i iii i i i n i i x y x y x a n n xi i x =====-=-=∑∑∑∑∑∑（），1112211n n n i i i i i i i n i i x y n x y b n n x i i x ====-=-=∑∑∑∑∑（）MATLAB程序；在（0，2π）区间上有5个观测点x=linspace(0,2*pi,5);y=cos(x);>> a=[sum(x.*y)*sum(x)-sum(y)*sum(x.*x)]/[sum(x)^2-5*sum(x.*x)]a =0.2000b=[sum(x)*sum(y)-5*sum(x.*y)]/[sum(x)^2-5*sum(x.*x)]b =在(0，200)区间上有100个观测点n=100;x=linspace(0,200,n);y=cos(x);a=[sum(x.*y)*sum(x)-sum(y)*sum(x.*x)]/[sum(x)^2-n*sum(x.*x)]a =0.0204>> b=[sum(x)*sum(y)-n*sum(x.*y)]/[sum(x)^2-n*sum(x.*x)]b =-1.5709e-004假设有n个观测点在（0，2π）区间上有n个观测点x=linspace(0,2*pi,n);y=cos(x);a=[sum(x.*y)*sum(x)-sum(y)*sum(x.*x)]/[sum(x)^2-n*sum(x.*x)]b=[sum(x)*sum(y)-n*sum(x.*y)]/[sum(x)^2-n*sum(x.*x)]>> x=linspace(0,2*pi,5);y=cos(x);>> xx=linspace(0,2*pi,100);y2=polyval(p2,xx);yy=cos(xx);plot(x,y,'go',xx,y2,'b-',xx,yy,'r-')结论：先初步审查观测数据，如果数据呈现一定的线性或者倍数关系，则采用线性拟合，如果规律不明显，则需尝试高阶拟合。
中科院矩阵分析与应用大作业
中科院矩阵分析与应用大作业1. 研究背景矩阵是数学领域中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在计算机科学中，矩阵常常用于图像处理、计算机视觉等领域；在数据分析中，矩阵则被用来描述数据之间的关系。
因此，深入研究矩阵的相关算法和应用，对于提高计算机科学和数据分析领域的研究水平具有重要意义。
2. 研究目的本次研究的主要目的是掌握矩阵分析的基本概念和相关算法，并将其应用于实际问题中，进一步提高对于矩阵分析的理解和应用能力。
3. 研究内容3.1 矩阵分解矩阵分解是矩阵分析中的一项重要任务，它将一个矩阵分解成为多个小的矩阵，从而更方便的进行处理。
常见的矩阵分解算法有：1.奇异值分解（SVD）2.QR分解3.LU分解4.特征值分解3.2 矩阵重构矩阵重构是指将矩阵进行转换、组合等操作，旨在从不同的角度探索和发现矩阵的内在规律。
常见的矩阵重构算法有：1.矩阵乘法2.矩阵转置3.矩阵拼接4.矩阵切片3.3 矩阵应用矩阵在各个领域的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用场景：1.图像处理：将图像转化成为矩阵，对其进行矩阵分解、矩阵重构等操作，从而实现图像降噪、图像识别等功能。
2.推荐系统：利用矩阵分解的方法将原始数据转化为矩阵，再对其进行推荐系统的处理，从而为用户提供更好的推荐服务。
3.聚类分析：将大量数据转化为矩阵，从而利用聚类算法对其进行分析，发现数据之间的关系，进一步深入研究数据的内在规律。
4. 研究通过对于矩阵分解、矩阵重构、矩阵应用等领域的研究，我们可以得到以下：1.奇异值分解、QR分解、LU分解、特征值分解等矩阵分解算法各有优缺点，在实际应用中应该根据具体情况选用不同的算法。
2.矩阵乘法、矩阵转置、矩阵拼接、矩阵切片等矩阵重构算法可以帮助我们从不同的角度分析和处理矩阵，从而深入研究矩阵的内在规律。
3.矩阵在图像处理、推荐系统、聚类分析等领域有着广泛的应用，掌握矩阵分析算法可以帮助我们更好地解决实际问题。
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二、复内积空间与实内积空间的比较与分析
1.线性空间
设V 是个非空集合，其中元素以,αβ，……，表示；F 是一个数域，其中元素以,k l ，……，表示.在V 的元素中间定义了一种称为加法的运算，即对V 中依次取出的两个元素,αβ，根据一定的规则，在V 中唯一的一个元素γ与它们对应，称它为α和β的和，记为γαβ=+，且加法满足下面规则：
,,V αβγ∀∈，有
（1）αββα+=+（交换律）
（2）()()αβγαβγ++=++（结合律）
（3）存在零元素，即在V 中有一个元素0，使对于V 中任一元素α都有0αα+=；
（4）存在负元素，即对V 中每个元素α，存在V 中的元素β，使0αβ+=，β称为α关于加法的负元素，记为α-.
在数域F 中与几何V 中的元素之间定义了一种称为数乘的运算，即对F 中任一数k 与V 中任一元素α，根据一定规则，在V 中唯一的一个元素β与它们对应，记为k βα=⋅，称β为k 与α的数乘，而且数乘满足下面规则：
,k l F ∀∈和,V αβ∀∈，有
（5）1αα⋅=；
（6）()()k l kl αα⋅⋅=⋅（结合律）
加法与数乘两个运算之间满足下面规则：
（7）()k l k l ααα+⋅=⋅+⋅（分配率）；
（8）()k k k αβαβ⋅+=⋅+⋅（分配率）
如此，称V 为数域F 上的线性空间，V 中元素不论其本来的性质如何，统称为向量，简称V 为线性空间或向量空间.
如果数域是实数域，就称V 为实线性空间；如果数域是复数域，就称V 为复线性空间.
2.实内积空间和复内积空间的不同
概念定义：
实内积空间定义：设V 是实数域上的线性空间，如果对于V 中的任意两个向量,αβ都有一实数与之对应，记为()αβ+且满足下列四个条件，那么称这数()αβ+为α和β的内积
（1）()(),,,,V αββααβ=∀∈；（对称性）
（2）()(),,,,k k k R V αβαβα=∀∈∀∈；（线性性）
（3）()()(),,,,,,V αβγαγβγαβγ+=+∀∈；（线性性）
（4）(),0αα≥；当且仅当0α=时， (),0.αα=（非负性）
此内积运算的实线性空间称为实内积空间，也称为欧式空间. 在复线性空间n C 中会出现0α≠，而长度
0α=的情形，所以定义满足的条件不同 复内积空间定义：设V 是复数域上的线性空间，如果对于V 中的任意两个向量,αβ都有一复数与之对应，记为()αβ+且满足下列四个条件，那么称复数()αβ+为α和β的内积
（1）(),(,),,V αββααβ=∀∈；（对称性）
（2）()(),,,k k k C αβαβ=∀∈和,V αβ∀∈；（线性性）
（3）()()(),,,,,V αβγαγβγαβ+=+∀∈；（线性性）
（4）(),0αα≥；当且仅当0α=时， (),0.αα=（非负性）
定义了内积运算的复线性空间称为复内积空间，也称为酉空间
注1：对任意实数α，αα=，此时复内积空间与实内积空间是一直的
注2：在复内积空间中，()(),,k k αβαβ=
夹角定义：
设,αβ是实内积空间的任意两个非0向量，定义,αβ的夹角为
(,),a r c c o s αβαβ
αβ<>= 0,αβπ≤≤ 若(),0αβ=，则称向量,αβ是正交向量.
设,αβ是复内积空间的任意两个非0向量，定义,αβ的夹角为
(,)(,)
2(,)(,)cos ,αββαααββαβ<>= 0,αβπ≤≤
若(),0αβ=，则称向量,αβ是正交向量
实内积空间
定理：设n 维实内积空间V 的两个基12,,,n ααα与12,,,n βββ的度量分别是A 和B ，则矩阵A 和B 是合同的，即存在可逆阵P ，使T P AP =B .
推论4.2.3：设A 是n 阶可逆方阵，则存在n 阶正交阵Q 和可逆上三角阵R ，使QR A =.这称为方阵A 的QR 分解.
定理：实内积空间A 的任一子空间W 必有唯一正交补，记这正交补为W ⊥，则
{}W V W αα⊥=∈⊥
复内积空间
在复内积空间中有新的概念，酉阵、正规阵：
若复方阵A 适合T A A =AA =E ，则称A 为酉阵.实酉阵即是正交阵
定义：设A 是复方阵，如果T T A A =AA ，则A 为正规阵.
定理4.6.1：任意复方阵必定酉相似于上三角阵.
定理4.6.2：设A 是n 阶复方阵，则A 酉相似于对角阵的充分必要条件是A 为正规矩阵.
3.实内积空间和复内积空间相同部分
定理：设V 是实的或复的内积空间，设,V αβ∈，为常数（实数或复数），则
（1）k k αα=
（2）柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式
(,)αβαβ≤
当且仅当,αβ线性相关时，等号成立
（3）三角不等式
αβαβ+≤+
（4）都可以进行施密特正交化，在内积空间中找到一个标准正交基
（5）若实（复）内积空间V 的子空间12,,,s V V V 两两正交，则和12s V V V +++必为直和.
（6）正交变换：设T 是实（复）内积空间V 的线性变换，若对V 中任意向量α有
()()(),(),ααααT T =
即T 保持向量的长度不变，则称T 为正交变换
定理：设T 是实（复）内积空间V 的线性变换，则下面的叙述都是T 为正交变换（酉变换）的等价条件. ,V αβ∀∈，
a)
()()(),(),ααααT T =，即T 保持向量的长度不变； b) ()()(),(),αβαβT T =，即T 保持内积不变；
c) 若12,,
,n e e e 是V 的一个标准正交基，则12(),(),,()n e e e T T T 也是V 的一个标准正交基；
d) 若12,,,n e e e 是V 的一个标准正交基，且T 在这个基下的矩阵为A ，即
1212(,,,)(,,,)n n e e e e e e T =A
则A 是正交阵，即T A A =E （则A 是酉阵，即T A A =AA =E ）
（7）厄米特阵：在复内积空间，矩阵中满足T A =A ，称A 为厄米特阵；在实内积空间中，实Hermite 阵就是实对称阵.。