福建省泉州七中13-14学年高二上学期期末考试(数学理)
福建省泉州七中2014届高三质检理科数学试题(一)Word版
福建省泉州七中2014届高三质检理科数学试题（一）参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x的标准差：s 中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．独立性检验临界值表()20P K x ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p2.如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为（ ）A ．2?n ≤B ．3?n ≤C ．4?n ≤D ．5?n ≤3．若变量y x ,满足约束条件2010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则实数2z x y =+ ( )A.有最小值，有最大值B. 有最小值，无最大值C.无最小值，有最大值 D .无最小值，无最大值4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，()2第题则由以上数据，根据临界值表，以下说法正确的是（ ）A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=， 则1012333log log log a a a +++=（ ）A. 12B. 10C. 31og 5+D. 32og 5+6.已知()24f x x x =++-的最小值为n ， 则2()n x x-的展开式中常数项为（ ）A. 160-B. 20- C . 20 D. 160 7.已知正方体1111ABCD A B C D -中，线段11B A ，11B C 上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且11B P B Q =，下列说法中，不正确的是（ ）A. A 、C 、P 、Q 四点共面；B. 直线PQ 与平面11BCC B 所成的角为定值；C.32PAC ππ<∠<； D.设二面角P AC B --的大小为θ，则tan θ的最小值8.已知点()1,0A ,若曲线Γ上存在四个点B ,C ,D ,E ,使得ABC ∆和ADE ∆都是正三角形，则称曲线Γ为“黄金曲线”，给定下列四条曲线：①2430x y +=；②2214x y +=；③2212x y +=；④2213x y -=。
福建省泉州七中2014届高三上学期第二次月考数学理试题(附答案) (1)
泉州七中2014届高三年上学期第二次月考理科数学试卷2013-11-15考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.）1. 已知集合{{},1,,,=A B m A B B m ==⋂=则( )A.0或1B.0或3C.1或3D.0或1或32. 下列命题中，真命题是( )A.命题“若p ，则q.”的否命题是“若p ，则.q ⌝”B. a+b=0的充要条件是1ab=- C.已知命题p 、q ，若“p q ∨”为假命题，则命题p 与q 一真一假 D. 命题2:10p x R x ∃∈+，使得＜，则:p x R ⌝∀∈，使得210x +≥ 3. 2(sin 22.5cos22.5)︒+︒的值为（ ）A ．12-B ．12+C 1D ．24．已知0<a<1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b，则M ，N 的大小关系是( )A ．M>NB ．M<NC ．M ＝ND ．不能确定 5. 若等比数列{}n a 的首项为19，且241(2)a x dx =⎰，则数列{}n a 的公比是( ) A. 3 B.13 C. 27 D. 1276．若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为( )A. ⎝⎛⎭⎫π8，0B. ⎝⎛⎭⎫－π8，0 C ．(0,0) D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 7. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．-7D ．-58. 设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA ＝4i ＋2j ，OB ＝3i ＋4j ，则△OAB 的面积等于 ( ) A.15 B.10 C. 7.5 D.59. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（ ）A ．(sin )(cos )f f αβ<B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ>10．数列{a n }中a 1＝1，a 5＝13，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1；数列{b n }中，b 2＝6，b 3＝3，b n ＋2b n ＝b 2n ＋1，在直角坐标平面内，已知点列P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，P 3(a 3，b 3)，…，P n (a n ，b n )…，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2009P 2010的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫3015，8⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫121005－1B.⎝⎛⎭⎫3012，8⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫121005－1C.⎝⎛⎭⎫3015，8⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122010－1D.⎝⎛⎭⎫3018，8⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122010－1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的横线上） 11. 若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ; 12．已知向量(2,4)a =，b (1,1)=，若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值为___. 13．已知=+=-=+)tan(,31)6tan(,21)6tan(βαπβπα则 14．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若 120=∠A ，1-=⋅的最小值是 15. 对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，且有如下零点存在定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．给出下列命题：①若函数y ＝f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[a ，b ]上有且仅有一个零点； ②函数f (x )＝2x 3－3x ＋1有3个零点；③函数y ＝x 26和y ＝|log 2x |的图像的交点有且只有一个；④设函数f (x )对x ∈R 都满足f (3＋x )＝f (3－x )，且函数f (x )恰有6个不同的零点， 则这6个零点的和为18；其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上) 三、解答题（本大题共6小题，满分80分） 16. (本小题满分13分)函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．（1）求集合A ，B ； （2）若集合A ，B 满足A B B =,求实数a 的取值范围．17、(本小题满分13分)已知向量a ＝)sin ,(cos θθ，],0[πθ∈，向量b ＝(3，－1) (1)若a b ⊥，求θ的值；(2)若2a b m -<恒成立，求实数m 的取值范围。
2023-2024学年泉州七中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年泉州七中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2023.11第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线20x y --=的倾斜角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．已知向量()3,1,2a =- ，()1,3,2b =--r ，()6,2,c λ=r ，若a ，b ，c三向量共面，则实数λ=（）A ．32B ．2C ．52D ．33．圆C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为（）．A ．()()22431x y -++=B ．()()224349x y -+-=C ．()()22431x y ++-=D ．()()224349x y +++=4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =3b =，45A =︒，则角B 的大小为A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．15︒或75︒5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA1D1D 内一点，若EF ∥平面BB1D1D ，则EF 长度的范围为A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]6．设点(),P x y 是曲线()241y x =---上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．过直线4x y +=上一动点M ，向圆22:4O x y +=引两条切线，A 、B 为切点，则圆22:(3)(3)1C x y ++-=的动点P 到直线AB 距离的最大值为（）A ．251+B ．6C ．8D ．2618．椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F ，交C于A ，B 两点，且2ABF △的内切圆的面积是π，若椭圆C 的离心率的取值范围为2242⎡⎢⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（）A ．2242⎢⎣⎦B ．[]1,2C ．[]4,8D ．42,82⎡⎣二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．直线y ＝ax ＋1a 可能是（）A．B ．C ．D．10．已知直线()():110l a x y a +++=∈R 与圆22:1C x y +=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 必过定点B ．l 与C 可能相离C ．l 与C 可能相切D ．当1a =时，l 被C 截得的弦长为2511．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒21米，则该正四棱锥的（）A ．底面边长为6米B ．侧棱与底面所成角的正弦值为77C ．侧面积为243D ．体积为312．已知椭圆22:1259x y C +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，,A B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上异于,A B 的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．存在P 使得12π2F PF ∠=B ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-C ．119PF <<D ．若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则1tantan 229αβ=第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某圆柱的侧面展开图是面积为24π的正方形，则该圆柱底面的半径为．14．点P 在椭圆上，且在第一象限，过右焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若3OA b=，则该椭圆的离心率为．15．已知圆22:4O x y +=与圆22:330C x y x +--=相交于A ，B 两点，则sin AOB ∠=.16．已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.(1)过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；(2)求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；18．在平面直角坐标系xOy ，已知△ABC 的三个顶点()()(),,2,1,2,3A m n B C -．(1)求BC 边所在直线的一般式方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为x －2y ＋t ＝0（t ∈R ），且△ABC 的面积为4，求点A 的坐标．19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin sin a Ba Ab Bc C =+-．(1)求角C 的大小；(2)若3c =2b a +的最大值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12(3,0),(3,0)F F 且经过点(3,2)P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）21．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，16AC =，10PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求点O 到平面PBC 的距离；（2）若//OH 平面PAB ，求直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.22．P 为圆()22:236A x y ++=上一动点，点B 的坐标为()2,0，线段PB 的垂直平分线交直线AP 于点Q ．(1)求点Q 的轨迹方程C ；(2)在（1）中曲线C 与x 轴的两个交点分别为1A 和2A ，M 、N 为曲线C 上异于1A 、2A 的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M 关于原点O 的对称点为S ，若直线1A S与直线2A N相交于点T ，直线OT 与直线MN 相交于点R ，证明：在曲线C 上存在定点E ，使得RBE 的面积为定值，并求该定值．1．B【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】直线20x y --=的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B ．2．B【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可.【详解】∵a ，b ，c 三向量共面，∴存在实数m ，n ，使得c ma nb =+，即()()()6,2,3,,2,3,2m m m n n n λ=-+--，∴363222m n n m m n λ-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得52m =，32n =，2λ=．故选：B.3．A【分析】根据两圆心的中点在直线y x =上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得.【详解】解：()()22341x y ++-=表示以()3,4-为圆心，以1为半径的圆．设()3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ，则有34022413a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：4a =，3b =-，所以C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为()()22431x y -++=．故选：A ．4．C【详解】由正弦定理可得23sin 32,sin sin sin 2a b b AB A B a =∴===，0,60B B π<<∴= 或120B =故选C5．C【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果.【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG//GE ∴平面11BDD B 又平面ABCD ⋂平面11BDD B BD=，GE Ì平面ABCD//GE BD∴E 为AB 中点G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+=，max 156EF =+=则线段EF 长度的取值范围为：2,6本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.6．B【分析】点(),P x y 是曲线()241y x =---上的任意一点，故点P 满足方程()2214(0)x y y -+=≤，24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率，由几何意义易得结论.【详解】曲线()241y x =--()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离24221k k d k-+=+，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.7．A【分析】根据题意设点()P a b ，在直线4x y +=上，可得点A 、B 在以OP 为直径的圆上，求出该圆的方程，联立圆O 的方程得出直线AB 的方程，进而可得直线AB 恒过定点(11)N ，，将问题转化为求点C 、N 之间的距离，结合圆C 的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出结果.【详解】由题意知，设点()P a b ，在直线4x y +=上，则4a b +=，过点P 作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则PA OA PB OB ⊥⊥，，所以点A 、B 在以OP 为直径的圆上，且该圆的方程为：22221()()()224a b x y a b -+-=+，又圆O 的方程为224x y +=，这两个圆的方程相减，得公共弦AB 的方程为4ax by +=，即40ax by +-=，因为4a b +=，所以4b a =-，所以()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=即1x y ==时该方程恒成立，所以直线AB 恒过定点(11)N ，，所以点M 到直线AB 距离的最大值即为点C 、N 之间的距离加上圆C 的半径，又(33)C -，，1C r =，所以25CN =，即点M 到直线AB 距离的最大值为251+.故选：A8．C【分析】由题可求得2121222ABF AF F BF F c S S S AB =+=，2222ABF EAB EBF EAF S S S S a =++= ，即可得出2aAB c =，再根据离心率范围即可求出【详解】解：设2ABF △的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F S S S AF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠111122sin 452sin135222c AF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()22114222AB BF AF a a =++=⨯=,222c a =，22aAB c ∴=，2242c e a ⎡=∈⎢⎣⎦ ，，2,22a c ∴∈，则[]224,8a c ∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8，故选：C9．AB【分析】分类讨论0a >和a<0时，直线的位置．【详解】因为a≠0，所以C 错；当a ＞0时，1a ＞0，不过第四象限，故A 对；当a ＜0时，1a ＜0，不过第一象限，故D 错，B 对．故选：AB 10．AC【分析】将直线方程化为10ax x y +++=，由010x x y =⎧⎨++=⎩,得01x y =⎧⎨=-⎩，从而判断A ；由直线l 过定点(0,1)-，而点(0,1)-在圆22:1C x y +=上，判断B,C ；根据直线与圆相交时的弦长公式计算出弦长从而判断D.【详解】解：对于A ，由()110a x y +++=可得10ax x y +++=，由010x x y =⎧⎨++=⎩,得01x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点(0,1)-，故A 正确；对于B ，因为直线l 过定点(0,1)-，而点(0,1)-在圆22:1C x y +=上，所以直线l 与C 不可能相离，故B错误；对于C ，因为直线l 过定点(0,1)-，而点(0,1)-在圆22:1C x y +=上，所以直线l 与C 可能相切，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线l 的方程为：210x y ++=，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则555d ==，所以l 被C 截得的弦长为：221245221255R d -=-==，故D 错误.故选：AC.11．ABCD【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，H 为AB 的中点，设底面边长为2a ，利用线面角的定义得出30SHO ∠=︒，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积，侧棱与底面的夹角，体积即可判断各选项.【详解】如图，在正四棱锥P ABCD -中，设底面边长为2a ．设O 为正方形ABCD 的中心，H 为CD 的中点，则PH CD ⊥，OH CD ⊥，∴PHO ∠为二面角P CD O --的平面角，又正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒，因为30PHO ∠=︒，∴323,,33OH DH a OP a PH a ====．在PCH △中，2223213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3a =，即底面边长为6米，故A 正确，∴3PO =23PH =21PC =又侧棱PC 与底面所成的角为PCO ∠，37sin 721POPCO PC∠==,故B 正确，正四棱锥的侧面积1623432S =⨯⨯=C 正确，正四棱锥的体积136333V =⨯=D 正确，故选：ABCD.12．ACD【分析】当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，结合余弦定理即可判断A 选项；根据题意，计算直线PA 与直线PB 斜率乘积即可判断B 选项；根据椭圆上任意一点到一个焦点的最小距离a c -，最大距离a c +，即可判断C 选项；利用正弦定理和三角恒等变换，把,αβ用,22αβ表示，进而得到1tan tan 221e e αβ-=+，即可判断D 选项.【详解】椭圆22:1259x y C +=，设12,F F 分别为它的左右焦点，,A B 分别为它的左右顶点，,D E 分别为它的上下顶点，如图:所以222225,9,4a b c a b ===-=，()5,0A -，()5,0B ，()()124,0,4,0F F -.对于A ：当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，因为222125587cos 25525F DF +-∠==-⨯⨯，所以12F DF ∠为钝角，因此存在P 使得12π2F PF ∠=，故A 正确；对于B ：设(),(5)P x y x ≠±，在221259x y +=上，于是有229(1)(5)25x y x =-≠±，所以22222299(1)(25)92525(5)5525252525PA PB x x y y y k k x x x x x x ---⋅=====-≠±+----，则直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-，故B 错误；对于C ：由点P 是椭圆上异于,A B 的一个动点得，所以点P 到做焦点1F 的最小距离大于1a c -=，最大距离小于9a c +=，可得119PF <<，故C 正确；对于D ：设离心率为e ，则45c e a ==，由正弦定理可得21122sin sin sin[π()]sin()PF PF F F cαβαβαβ===-++，即122sin 2sin ,sin()sin()c c PF PF βααβαβ==++，又122PF PF a +=，而2sin 2sin 2sin()sin()c c a βααβαβ+=++，即sin sin 1sin()a c e αβαβ+==+，因为sin sin sin()sin()2sin()cos()222222αβαβαβαβαβαβαβ+-+-+-+=++-=，sin()sin(22sin()cos(222αβαβαβαβ++++=⨯=，所以2sin()cos()sin sin 122sin()2sin()cos()22e αβαβαβαβαβαβ+-+==+++，即cos()12cos()2e αβαβ-=+，化简得coscossinsin1tantan1222222cos cos sin sin 1tan tan222222e αβαβαβαβαβαβ++==--，即1tan tan 221e e αβ-=+，所以4115tan tan 422915αβ-==+，故D 正确.故选：ACD.13．1【分析】根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径.【详解】因为圆柱的侧面展开图是面积为24π的正方形，所以正方形的变长为2π，设底面圆的半径为r ，则底面圆的周长2π2πr =，得1r =.故答案为:1.14．63163【分析】延长2F A，交1PF 于点Q ，根据PA 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解.【详解】延长2F A，交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO∴∥，且12||23QF OA b==.又1112||2QF PF PQ PF PF a=+=+=，223a b ∴=，222233()a b a c ∴==-，则62a c =，∴离心率为63c a =.故答案为：6315．158【分析】由题知直线AB 的方程为310x y --=，进而根据几何法得弦15AB =，再在AOB 中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为圆22:4O x y +=与圆22:330C x y x y +-+-=相交于A ，B 两点，所以直线AB 的方程为：()()22223340xy x y x y -+-+--+=，即310x y --=，所以圆心()0,0O 到弦AB 的距离为12d =，所以弦222215AB d =-=，所以在AOB 中，2OA OB ==，由余弦定理得44157cos 2228AOB +-∠==-⨯⨯，所以sin AOB ∠=249151cos 1648AOB -∠=-=故答案为：15816．220x +-=【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA NB=，所以ME NE=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k ⨯=--，解得2k =或22k =（舍去），又23MN =，即()2223MN m m=+=2m =或2m =-（舍去），所以直线2:22AB y x =-+，即220x +-=；故答案为：2220x -=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为23MN =，所以3OE 联立直线AB 与椭圆方程得22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得222(12)4260k x mkx m +++-=其中2221224=4-4(12)260,12mkmk k m x x k ∆+-+=-+（）（）>，∴AB 中点E 的横坐标2212E mk x k =-+,又,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴22=122E mk x k m k=-+-∵0k <，0m >，∴2k ,又22+322O m m k E -=（）（），解得m=2所以直线2:22AB y x =-+，即220x +-=17．(1)=1x -或158170x y --=(2)()()221436x y +++=【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解；（2）根据垂径定理和弦长公式求解即可.【详解】（1）（1）当切线的斜率不存在，直线方程为=1x -，为圆O 的切线；当切线的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+，即40kx y k -+-=，∴圆心O 2411k k -=+，解得158k =，∴直线方程为158170x y --=综上切线的方程为=1x -或158170x y --=.（2）点()1,4M --到直线2120x y --=的距离为241255d -+-==∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴()222546r =+=，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=.18．(1)240x y +-=;(2)()2,1-或()2,3.【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线BC 的斜率，即可求直线BC 的点斜式方程，转化为一般式方程即可；（2）根据,B C 的坐标可求()0,2D 及BC，从而可求t ，把点A 代入AD 的方程可得240m n -+=①.利用点到直线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，根据三角形面积列式可得244m n +-=②.联立①②即可求解.【详解】（1）由()()2,1,2,3B C -，可得直线BC 的斜率()131222k -==--，故直线BC 的方程为()1322y x -=-+，化为一般式方程为：240x y +-=；（2）由()()2,1,2,3B C -，可得BC 的中点D 的坐标为()0,2，16425BC=+=又由AD 的方程为x －2y ＋t ＝0，则有40t -+=,解得4t =.故AD 的方程为x －2y ＋4＝0.由(),A m n ，可得240m n -+=①.因为BC 所在的直线方程为240x y +-=，所以点A 到直线BC 的距离245m n d +-=因为ABC 的面积为4，所以12442BC d m n ⨯⨯=+-=②.联立①②可得21m n =-⎧⎨=⎩或23m n =⎧⎨=⎩.故点A 的坐标为()2,1-或()2,3.19．(1)π3C =(2)27【分析】（1）由sin 1sin sin sin a Ba Ab Bc C =+-，利用正弦定理得到222ab a b c =+-，再利用余弦定理求解；（2）由正弦定理得到2π2sin 2sin ,2sin 3b B A a A ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，从而2π22sin 4sin 3b a A A⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）解：因为sin 1sin sin sin a Ba Ab Bc C =+-，由正弦定理得2221aba b c =+-，即222ab a b c =+-，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，因为()0,πC ∈，所以π3C =；（2）由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C ===，则2π2sin 2sin ,2sin 3b B A a A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以2π22sin 4sin 3b a A A ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，()35sin 3cos 27sin ,tan 5A A A ϕϕ==+=，因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()max sin 1A ϕ+=，所以27b a +≤2b a +的最大值为2720．(1)22196x y +=362【分析】（1）根据椭圆的定义可得3a =，进而可求其方程，（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.【详解】（1）由椭圆的定义，可知2122(23)42426a PF PF =+=+=+=解得3a =，又222(3)6b a =-=.∴椭圆C 的标准方程为22196x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，联立椭圆方程，得22563180x mx m ++-=，2236603600m m =-+>△，得1515m -<设()()1122,,,A x y B x y ，则212126318,55m m x x x x -+=-⋅=，()21212||24AB x x x x ∴=+-⋅22236127243215255m m m -=-⋅-点(0,0)O 到直线:0l x y m +-=的距离2d ()22211436||151522552AOB S AB d m m m∴=⋅=⨯-=-⋅△22261561536522m m ⎛⎫-+≤== ⎪⎝⎭.当且仅当2215,(1515)m m m -=-<<，即21530,22m m ==±时取等号；AOB ∴ 面积的最大值为362.21．（1）123417；（2）3317,517⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）先证得,,OB OC OP 两两垂直，然后建系如图，求得平面PBC 的法向量1n u r，进而可求得O到平面PBC 的距离；（2）求得平面PAB 的法向量2n u u r，设(),,H x y z ，由2100OH n PH n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得3,4,34H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可得3,4,34PH x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （04x ≤≤），()30,0,1n = 是平面ABC 的一个法向量，进而由3sin cos n PH θ=<⋅> 结合换元法可求得结果.【详解】（1）连接,OP OB ，因为PA PC =，且O 为AC 中点，则PO AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且其交线为AC ，则PO ⊥平面ABC ，又BA BC =，则OB AC ⊥，所以,,OB OC OP 两两垂直.故以O 为原点，以,,OB OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）.则()0,0,0O ，()0,8,0A -，()8,0,0B ，()0,8,0C ，()0,0,6P .所以()8,0,6PB =-，()0,8,6PC =-，设平面PBC 的法向量为()1111=,,n x y z，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111430430x z y z -=⎧⎨-=⎩，取14z =，得()1=3,3,4n ，又()8,0,0OB = ，所以，点O 到平面PBC 的距离1222124123417334OB n d n ⋅==++.（2）同理可求得平面PAB 的法向量()2=3,3,4n -，设(),,H x y z ，则(),,OH x y z =，(),,6PH x y z =-，因为//OH 平面PAB ，PH ⊂平面PBC ，所以21OH nPH n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3340334240x y zx y z-+=⎧⎨++-=⎩，从而4334yz x=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即3,4,34H x x⎛⎫-⎪⎝⎭，又0830364xx≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，则04x≤≤，所以3,4,34PH x x⎛⎫=--⎪⎝⎭，又OP⊥平面ABC，所以()30,0,1n=是平面ABC的一个法向量.设直线PH与平面ABC所成的角为θ，则3222331344sin cos5332321163114425425xxn PHx xx xθ++ =<⋅>==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++++-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令14xt=+，则由04x≤≤得[]1,2t∈，所以22331sin5532323232125252525tt tt t θ==-+-+因为当[]1,2t∈时，23232171,1252525t t⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以3317sin,517θ⎡∈⎢⎣⎦.22．(1)22195x y+=(2)证明见解析，256【分析】（1）依题意可得BQ PQ=，即可得到64AQ BQ AB+=>=，根据椭圆的定义得到点Q的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，从求出a、c、b，即可得解；（2）设()11,M x y、()22,N x y，直线MN的方程为()0,0x my n m n=+≠≠，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设()00,T x y，由T、S、1A三点共线及T、N、2A三点共线得到263x my n=+，从而得到直线OT 的方程，再联立直线OT 与直线MN 的方程，求出R 在定直线:3l x =-上，要使RBE 的面积为定值，此时点E 一定为过点B 且与直线l 平行的直线2x =与椭圆C 的交点，求出E 点坐标，即可求出三角形的面积.【详解】（1）解： 直线BP 的垂直平分线交直线AP 于点Q BQ PQ∴=，64AQ BQ AQ PQ AB ∴+=+=>=，∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且26a =，24c =3a ∴=、2c =，则225b a c =-=，∴点Q 的轨迹方程为22195x y +=．（2）证明：设()11,M x y 、()22,N x y ，直线MN 的方程为()0,0x my n m n =+≠≠，与椭圆方程联立，得22195x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22259105450m y mny n +++-=，则()221805m 90n ∆=-+>由根与系数的关系得212254559n y y m -=+，1221059mny y m +=-+，由（1）知()13,0A -，()23,0A ，设()00,T x y，由T 、S 、1A三点共线得010133y y x x =+-，由T 、N 、2A 三点共线得020233y yx x =--，则000000233x x x y y y +-=+121233x x y y --=+121233my n my n y y +-+-=+12112(3)()m n y y =+-+12122(3)y y m n y y +=+-222(3)9mn m n n =---63mn =+.所以OT 的斜率0033y n k x m +==，则直线OT 的方程为33n y x m +=，联立直线OT 与直线MN 的方程，可得33n y x m x my n+⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得3x =-，因此R 在定直线:3l x =-上，使得RBE 的面积为定值的点E 一定为过点B 且与直线l 平行的直线2x =与椭圆C 的交点，由222195x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得253x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或253x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，此时E 的坐标为2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5或52,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以RBE 的面积15255236RBE S =⨯⨯=．。
福建省泉州七中2014届高三质检理科数学试题(一)Word版
福建省泉州七中2014届高三质检理科数学试题（一）参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x的标准差：s 中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．独立性检验临界值表()20P K x ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p2.如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为（ ）A ．2?n ≤B ．3?n ≤C ．4?n ≤D ．5?n ≤3．若变量y x ,满足约束条件2010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则实数2z x y =+ ( )A.有最小值，有最大值B. 有最小值，无最大值C.无最小值，有最大值 D .无最小值，无最大值4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，()2第题则由以上数据，根据临界值表，以下说法正确的是（ ）A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=， 则1012333log log log a a a +++=（ ）A. 12B. 10C. 31og 5+D. 32og 5+6.已知()24f x x x =++-的最小值为n ， 则2()n x x-的展开式中常数项为（ ）A. 160-B. 20- C . 20 D. 160 7.已知正方体1111ABCD A B C D -中，线段11B A ，11B C 上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且11B P B Q =，下列说法中，不正确的是（ ）A. A 、C 、P 、Q 四点共面；B. 直线PQ 与平面11BCC B 所成的角为定值；C.32PAC ππ<∠<； D.设二面角P AC B --的大小为θ，则tan θ的最小8.已知点()1,0A ,若曲线Γ上存在四个点B ,C ,D ,E ,使得ABC ∆和ADE ∆都是正三角形，则称曲线Γ为“黄金曲线”，给定下列四条曲线：①2430x y +=；②2214x y +=；③2212x y +=；④2213x y -=。
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2022-2023学年福建省泉州市第七中学高二上学期9月测试数学试题(解析版) (1)
2022-2023学年福建省泉州市第七中学高二上学期9月测试数学试题一、单选题1．已知向量a ，b 是单位向量，且()2a b b -⊥，则向量a 与b 的夹角是（ ） A ．30° B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【分析】先由()2a b b -⊥求得12a b ⋅=，再由向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】由()2a b b -⊥可得()2220a b b a b b -⋅=⋅-=，又1a b ==，则12a b ⋅=， 则1cos ,2a b a b a b⋅==，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦，则向量a 与b 的夹角是60°. 故选：B.2．已知向量 a ，b 满足||5a =， ||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+>（ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.3．已知平面向量()3)4,21,(a b =-=-， ，若a λb + 与b 垂直，则λ＝（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】C【分析】求出向量的模，根据数量积的运算可得关于λ的方程，求得答案【详解】因为()3)4,21,(a b =-=-，，故22||4(2)2510a b =+-==，，由题意a λb +与b 垂直，∴2()0a b b a b b λλ+⋅=⋅+=， 即46100λ++= ，解得1λ=- ， 故选：C4．如图所示，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点F 是侧面CDD C ''的中心，若AF AD xAB yAA '=++，则x y -=（ ）A ．0B ．1C ．12D ．12-【答案】A【分析】在正方体ABCD A B C D ''''-中，运用空间向量的线性运算，得到1122AF AD AB AA '=++，结合已知条件可得x 、y 的值，进而求出x y -的值. 【详解】如图所示，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点F 是侧面CDD C ''的中心， ()11112222AF AD DF AD DC AD DC DD AD AB AA '''∴=+=+=++=++，又AF AD xAB yAA'=++，11,22x y ∴==， 0x y ∴-=. 故选：A.5．过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ） A ．470x y ++= B ．470x y -+= C ．470x y ++= D ．470x y -+=【答案】B【分析】根据直线的两点式方程求解即可.【详解】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为322511-=---y x ，即470x y -+=． 故选：B6．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底､长方形足､器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm ，口长13.5cm ，口宽12cm ，底长12.5cm ，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm ，下部分看作台体，则其体积约为（ ）（参考数据：131.2511.5≈，16212.7≈）A ．37460.8cmB ．3871.3cmC ．31735.3cmD ．32774.9cm【答案】D【分析】根据棱台与棱锥的体积公式计算可得. 【详解】解：因为()13V S S S S h =++⋅上上下台下 ()31162131.25162131.25162342.9cm 3=++⨯⨯=， 3111628432cm 33V Sh ==⨯⨯=锥，所以32774.9cm V V V =+=台锥.故选：D7．直线1:0l ax y b -+=，2:0l bx y a +-=（0ab ≠，a 、b ∈R ）的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先假定每个选项中的1l 图象正确，则可得,a b 正负，由此可确定2l 图象所经过的象限，对比选项中的图象即可得到结果. 【详解】将1:0l ax y b -+=化为y ax b =+， 将2:0l bx y a +-=化为y bx a =-+.对于A ，若1l 图象正确，则0a >，0b >，2l ∴图象经过第一、二、四象限，A 不正确； 对于B ，若1l 图象正确，则0a >，0b <，2l ∴图象经过第一、二、三象限，B 不正确； 对于C ，若1l 图象正确，则，则0a >，0b >，2l ∴图象经过第一、二、四象限，C 不正确；对于D ，若1l 图象正确，则0a <，0b >，2l ∴图象经过第二、三、四象限，D 正确. 故选：D.8．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，90BAC ∠=︒，11AB AA ==，D 是棱1CC 的中点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点，若点Q 在线段1B P 上，则下列结论中正确的是（ ）.A ．当点Q 为线段1B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BD B ．当点Q 为线段1B P 的三等分点时，DQ ⊥平面1A BDC ．在线段1B P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面1A BD D ．不存在DQ 与平面1A BD 垂直【答案】D【分析】依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项ABC ；按照点Q 为线段1B P 的中点和点Q 不为线段1B P 的中点两种情况利用反证法证明选项D 判断正确. 【详解】连接1AB ，交1A B 于H在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，11AB AA ==， 则四边形11A B BA 为正方形，则11AB A B ⊥ 又90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，又1AA AC ⊥，1AB AA A ⋂=，1AA ⊂面11A B BA ，AB 面11A B BA则AC ⊥面11A B BA ，则1AC A B ⊥ 又11AB A B ⊥，1AB AC A =，1AB ⊂面1AB C ，AC ⊂面1AB C则1A B ⊥面1AB C ，选项A ：当点Q 为线段1B P 的中点时，又 D 是棱1CC 的中点，则1//DQ AB 若DQ ⊥平面1A BD ，则1AB ⊥平面1A BD又1A B ⊥面1AB C ，则面1//AB C 平面1A BD ，这与11=AB A B H ⋂矛盾， 故假设不成立，即当点Q 为线段1B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BD 不正确； 选项B ：当点Q 为线段1B P 的三等分点时，又 D 是棱1CC 的中点， 则1//DQ AB 不成立，即DQ 与1AB 为相交直线， 若DQ ⊥平面1A BD ，则DQ ⊥1A B又11AB A B ⊥，DQ 与1AB 为相交直线，1AB ⊂面1AB P ，DQ ⊂面1AB P 则1A B ⊥面1AB P ，又1A B ⊥面1AB C ，则面1//AB P 面1AB C这与面1AB P ⋂面11=AB C AB 矛盾，故假设不成立，即当点Q 为线段1B P 的点三等分时，DQ ⊥平面1A BD ，不正确； 选项C ：在线段1B P 的延长线上一点Q ，又 D 是棱1CC 的中点， 则1//DQ AB 不成立，即DQ 与1AB 为相交直线， 若DQ ⊥平面1A BD ，则DQ ⊥1A B又11AB A B ⊥，DQ 与1AB 为相交直线，1AB ⊂面1AB P ，DQ ⊂面1AB P 则1A B ⊥面1AB P ，又1A B ⊥面1AB C ，则面1//AB P 面1AB C 这与面1AB P ⋂面11=AB C AB 矛盾，故假设不成立，即在线段1B P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面1A BD 不正确； 选项D ：由选项A 可知，点Q 为线段1B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BD 不成立； 假设点Q 在线段1B P 上，且不是中点，又 D 是棱1CC 的中点， 则1//DQ AB 不成立，即DQ 与1AB 为相交直线， 若DQ ⊥平面1A BD ，则DQ ⊥1A B又11AB A B ⊥，DQ 与1AB 为相交直线，1AB ⊂面1AB P ，DQ ⊂面1AB P 则1A B ⊥面1AB P ，又1A B ⊥面1AB C ，则面1//AB P 面1AB C 这与面1AB P ⋂面11=AB C AB 矛盾，故假设不成立，即点Q 在线段1B P 上，且不是中点时，DQ ⊥平面1A BD 不正确； 故不存在DQ 与平面1A BD 垂直.判断正确. 故选：D二、多选题9．已知向量()1,2a =-，()3,4b =，则（ ） A ．（3a b +）∥（2a b -） B ．向量a 在向量b 上的投影向量是15b -C ．|2a b -|=D ．向量b 与向量a 【答案】BC【分析】分别利用向量的数量积公式，向量平行的定义，向量的模，向量的投影公式求解即可.【详解】对于选项A ,因为()()()31,233,410,10a b +=-+=,()()()21,223,45,10a b -=--=--，所以（3a b +）和（2a b -）不平行；故选项A 错误； 对于选项B ,设向量a 和b 的夹角为θ 向量a 在向量b 上的投影为1324cos 15a b a b θ⋅⨯-⨯===-， 又因为5b =，所以向量a 在向量b 上的投影向量是15b -，故选项B 正确；对于选项C ,()21,8a b -=--，则()221a b -=-C 正确；对于选项D ,向量b 与向量a 夹角余弦值为13cos 5a b a bθ⋅⨯-===⋅D 错误； 故选：BC.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1B C 上的动点，O 为AC 的中点，P 为棱1CC 上的动点，Q 为棱1AA 的中点，则以下选项中正确的有（ ） A ．1AE B C ⊥ B ．1B D ⊥平面11A BCC ．异面直线1AD 与1OC 所成的角为3πD ．若直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，则//m 平面11B D Q 【答案】BD【分析】选项A ：通过证明直线1B C ⊥平面11ABC D ，结合需1AE B C ⊥可作出判断； 选项B ：通过证明111AC B D ⊥和11BC B D ⊥可作出判断；选项C ：通过1OC B ∠（或其补角）为异面直线1AD 与1OC 所成的角，从而可求解判断； 选项D ：结合线面平行的判定定理和性质定理可作出判断.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11B C BC ⊥，1B C AB ⊥，1BC ABB ，1BC ，AB ⊂平面11ABC D ，∴1B C ⊥平面11ABC D ，∵只有当E 运动到线段1B C 的中点时，1AE B C ⊥才成立，故A 错误； 连接11B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111D C B A ，∴111DD AC ⊥ ∵1111B D A C ⊥，1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BDD B ，∴11A C ⊥平面11BDD B ，∴111AC B D ⊥， 同理可得11BC B D ⊥，又1111A C BC C ，11A C ，1BC ⊂平面11A BC ，∴1B D ⊥平面11A BC ，故B 正确； 连接B D ，则11AD BC ∥，∴1OC B ∠（或其补角）为异面直线1AD 与1OC 所成的角. ∵正方体的棱长为2，∴122BC =，2OB =，16OC =， 在1Rt OBC △中，163cos 222OC B ∠==，∴16OC B π∠=，故C 错误；因为11//BD B D ，∵11B D ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ， ∴11//B D 平面BDP ，∵直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，11B D ⊂平面11B D P ，∴11//m B D . ∵m ⊄平面11B D Q ，11B D ⊂平面11B D Q ， ∴//m 平面11B D Q ，故D 正确. 故选：BD.11．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（ ）A ．三棱锥1A D PC -的体积不变B ．1//A P 平面1ACDC ．1DPBCD ．平面1PDB 平面1ACD【答案】ABD【分析】证明1//BC 平面1ACD 判断A ；证明平面11//A BC 平面1ACD 判断B ；利用1BC D 判断C ；证明1DB ⊥平面1ACD 判断D 作答. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11////AB DC D C ，11AB DC D C ==，即四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ， 1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，则1//BC 平面1ACD ，于是得点P 到平面1ACD 的距离是定值，而1ACD △面积是定值，因此三棱锥1A D PC -的体积不变，A 正确；由选项A 知，1//BC 平面1ACD ，同理11//A C 平面1ACD ，而1111BC AC C ⋂=， 111,BC A C ⊂平面11A BC ，则平面11//A BC 平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，即有1//A P 平面1ACD ，B 正确；因11BC BD C D ==，即1BC D 为正三角形，点P 在1BC 上，则DP 与1BC 不一定垂直，C 不正确；因1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，即有1BB AC ⊥，正方形ABCD 中，BD AC ⊥， 而1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ，则AC ⊥平面1BB D ，1DB ⊂平面1BB D ， 于是得1DB AC ⊥，同理11DB AD ⊥，又1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，则1DB ⊥平面1ACD ，而1DB ⊂平面1PDB ，因此平面1PDB 平面1ACD ，D 正确.故选：ABD12．已知单位向量i ，j ，k 两两的夹角均为0,2πθθπθ⎛⎫<<≠ ⎪⎝⎭，若空间向量a 满足(),,a xi yj zk x y z =++∈R ，则称有序实数组(),,x y z 为向量a 在“仿射”坐标系O xyz-（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(),,a x y z θ=，则下列命题中，正确的有（ ） A ．若()1,3,2a θ=，()4,0,2b θ=，则0a b ⋅=B ．若()3,,0a x y π=，()30,0,b z π=，其中x ，y ，0z >，则当且仅当x y =时，向量a ，b 的夹角取得最小值C ．若()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()121212,,a b x x y y z z θ+=+++D ．若()31,0,0OA π=，()30,1,0OB π=，()30,0,1OC π=，则三棱锥O ABC -的表面积S =【答案】BC【分析】理解仿射坐标的概念，利用空间向量的共线定理及数量积运算即可求解 【详解】对于A ，()()()()1,3,24,0,23242421268412cos a b i j k i k i k i j j k k i θθθ⋅=-⋅=+-⋅+=+⋅+⋅+⋅-⋅-=因为0θπ<<，且2πθ≠，所以0a b ⋅≠，故A 错误．对于B ，由题可知，a xi yj =+，b zk =，()212cos ,x y z ba b a b a x +===+⋅由基本不等式可知，当且仅当x y =时，cos ,a b 取最大值，即两向量夹角取得最小值 故B 正确．对于C ，根据“仿射”坐标的定义，可得，()()()()()111222111222121212,,,,=+a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z kθθ+=++++++=++++()121212,,x x y y z z θ=+++，故C 正确．对于D ，()31,0,0OA OA i π=⇒=⇒1OA i == 同理可求1OB OC ==()1,1,0AB OB OA =-=-⇒AB i j =-+()2222121AB i j i i j j ⇒=-+=-⋅+=-=同理可求1AC BC ==，故三棱锥O ABC -为正四面体，棱长为1，其表面积21412S =⨯⨯=D 错误．故选：BC ．三、填空题13．直线34120x y ++=的斜率为______． 【答案】34-0.75- 【分析】化直线方程为斜截式，可得出所求直线的斜率.【详解】化直线方程为斜截式得334y x =--，故直线34120x y ++=的斜率为34-.故答案为：34-.14．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，且||=2a ，||=1b ，则|+2|=a b __ 【答案】2【分析】由数量积的定义求出a b ⋅，再由22|+2|44a b a b a b =++⋅，代入即可得出答案. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为23π，且||=2a ，||=1b ， 所以21cos21132a b a b π⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以()222|+2|=+244442a b a b a b a b =++⋅=+-. 故答案为：2.15．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且1OA =，2OB =，3OC =，G 为ABC 的重心，则()OG OA OB OC ⋅++=______．【答案】143【分析】由三角形重心的性质和向量的三角形法则得出1()3OG OA OB OC =++，再由向量数量积的运算律计算可得．【详解】解：如图所示，连接AG 并延长与BC 相交于点D ．点G 是底面ABC 的重心，∴2211()(2)3323AG AD AB AC OB OC OA ==⨯+=+-，又11(2)()33OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC =+=++-=++， 则1()()()3OG OA OB OC OA OB OC OA OB OC ⋅++=++⋅++222211()(||||||222)33OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC =++=+++⋅+⋅+⋅ 114(149)33=++=． 故答案为：143． 16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒，若PA PD AB DC ===，60APD ∠=︒，则二面角A PB C --的余弦值为______．【答案】7【分析】建立空间直角坐标系，借助平面PBC 和平面PAB 的法向量，结合图形，求出二面角A PB C --的余弦值.【详解】取AD 中点F ，BC 中点E ,连接PF ，FE ，由已知可得FE //AB ，FE //DC ∵90BAP CDP ∠=∠=︒，∴AB PA ⊥，DC PD ⊥， ∴FE PA ⊥，FE PD ⊥，∴FE ⊥平面PAD ，∴FE AD ⊥，FE PF ⊥ 又∵PA PD =，∴PF AD ⊥∴以F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，不妨设=2AB ，则2PA PD AB DC ====，∵60APD ∠=︒，∴=2AD ,∴()1,0,0A ，(3P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -. 所以()2,0,0BC =-，(1,3BP =--， ()0,2,0BA =-， 设()111,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量，则0,0,n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111120230x x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 令13y =10x =，12z =，∴()0,3,2n =. 设()222,,m x y z =是平面PAB 的一个法向量，则00m BP m BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即222223020x y z y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 令23x 20y =，21z =，∴()3,0,1m =.则27cos ,72n m n m n m⋅===⨯， 由图可知二面角A PB C --的平面角为钝角， 所以二面角A PB C --的余弦值为7故答案为：77-.四、解答题17．已知向量,a b 满足2,1,2a b a b ==-=． (1)求a b ⋅的值； (2)求a b +的值． 【答案】(1)12 (2)6【分析】（1）由2222,1,24a b a b a a b b ===--⋅+=，即可求解； （2）由2222a b a a b b +=+⋅+，代入即可求解. 【详解】(1)解：因为2,1,2a b a b ==-=，可得2222,1,24214a b a b a a b b a b ==--⋅+=⋅+==-，解得12a b ⋅=. (2)解：因为2221242162a b a a b b ++⋅+=++==⨯，所以6a b +=.18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 为棱BC 的中点．(1)证明：1A C ∥平面1AB D ； (2)求点1A 到平面1AB D 的距离． 【答案】(1)证明见解析 25【分析】（1）由线面平行的判定定理证明 （2）由等体积法求解【详解】(1)证明：连接1A B 交1AB 于O ，连接OD ，正三棱柱111ABC A B C -中，易得O 为1AB 中点，又D 为BC 的中点，所以OD ∥1A C ，因为1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ，所以1A C ∥平面1AB D ； (2)因为1A C ∥平面1AB D ，所以C 与1A 到平面1AB D 的距离相等， 由题意得122AB =15DB 3AD = 因为22211AD DB AB +=，所以AD ⊥DB 1， 所以1115352ADB S=13132ADC S =⨯=△ 设C 到平面ADB 1的距离为h ，则11C ADB B ACD V V --=， 所以11513233=，所以25h = 即点A 1到平面AB 1D 25． 19．求与直线1:330l x +=的夹角为60°，且经过点(3,23的直线2l 的直线方程． 【答案】3x =或390x +-=【分析】讨论当直线2l 的斜率不存在，检验满足题意；当直线2l 的斜率存在，设为k ，由两直线的夹角公式，解方程可得k ，再由直线的点斜式方程可得所求方程. 【详解】直线1:330l x +=31l 的倾斜角为30°． 当直线2l 的斜率不存在，即倾斜角为90°时，满足题意，直线2l 的方程为3x =； 当直线2l 的斜率存在，设为k ，由题意可得33tan 603313k k-︒==+，解得3k =．所以直线2l 的方程为)3233y x --，即390x +-=． 综上，2l 的方程为3x =或390x y -=．20．已知空间三点()2,0,2A -、()1,1,2B -、()3,0,4C -，设a AB =，b AC =． (1)若向量ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值； (2)若向量a b λ-与a b λ-共线，求实数λ的值． 【答案】(1)52k =-或2(2)1λ=-或1【分析】（1）求出向量ka b +、2ka b -的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数k 的方程，解之即可；（2）求出向量a b λ-与a b λ-的坐标，设()a b m a b λλ-=-，可得出关于λ、m 的方程组，即可解得实数λ的值.【详解】(1)解：由已知可得()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-， 所以，()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k +=+-=-，()()()1,1,021,0,222,,4a b k k k k =--=+--，由题意可知()()()()2221282100ka b ka b k k k k k +⋅-=-++-=+-=，即()()2520k k +-=，解得52k =-或2.(2)解：()()()1,1,01,0,21,,2a b λλλλ-=--=+-，()()()1,1,01,0,21,1,2a b λλλλ-=--=+-，由题意，设()a b m a b λλ-=-，所以，()1122m m mλλλλ⎧+=+⎪=⎨⎪-=-⎩，解得11m λ=⎧⎨=⎩或11m λ=-⎧⎨=-⎩. 因此，1λ=±.21．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n的取值范围． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决.【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 22．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABF ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAF ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．(1)求证：BF AD ⊥；(2)在线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ？若存在，求出BMBD的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，23BM BD =【分析】（1）证得AD ⊥平面ABF ，然后结合线面垂直的判定定理即可得出结论； （2）证得AB ，AD ，AF 两两垂直，然后建立空间直角坐标系进而求出平面AFM 的一个法向量，从而根据0m CE ⋅=即可求出结果.【详解】(1)证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABF ，且平面ADEF平面ABF AF =，AD ⊂平面ADEF ，所以AD ⊥平面ABF ． 因为BF ⊂平面ABF ，所以BF AD ⊥．(2)在线段BD 上存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ，且23BM BD =． 由（1）可知，AD ⊥平面ABF ，所以AB AD ⊥，AF AD ⊥． 因为90BAF ∠=︒，所以AB ，AD ，AF 两两垂直．以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，1为单位长度，建立空间直角坐标系（如图）．因为1AB AD ==，3BC =，所以()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,3,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1E ，()0,0,1F ， 设BMBDλ=，易知[]0,1λ∈． 设()111,,M x y z ，则由BM BD λ=，得()()1111,,1,1,0x y z λ-=-，所以11x λ=-，1y λ=，10z =，所以()1,,0M λλ-，所以()1,,0AM λλ=-．设平面AFM 的法向量为()000,,=m x y z ，则00m AM m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩, 易得()0,0,1AF =，所以()000100x y z λλ⎧-+=⎨=⎩，令0x λ=，则01y λ=-，所以(),1,0m λλ=-为平面AFM 的一个法向量．若在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，则存在[]0,1λ∈，使得0m CE ⋅=． 易得()1,2,1CE =--，由0m CE ⋅=，得()210λλ---=，解得23λ=， 所以在线段BD 上存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ，且23BM BD =．。
福福建省泉州市2025届数学高二上期末质量检测试题含解析
设切点 P(2
a , a) ，由 y
1 4
x 2 的导数为 y
1 2
x
，则
PA
的斜率为
1 2
2
Байду номын сангаас
a
a a 1 . 2a
∴ a 1，则 P(2,1) .
∴ PM 2， PA 2 2
PM
∴ sin PAM
2
PA 2
故选 C 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这
1 Sn
__________.
16．已知命题 p ：方程 x2 y2 1表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 q ：方程 x2 y2 1表示双曲线.若
m2 6m
m1 m3
¬p q 为真，则实数 m 的取值范围为______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知函数 f (x) ax ln x ，其中 a 常数， a R
【解析】由题意可得，抛物线 x2 4 y 的焦点 F(0,1) ，准线方程为 y 1
PF PM 过点 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得 PF PM ，则 PA PA sin PAM ， PAM
为锐角
PF
PF
∴当 PAM 最小时， PA 最小，则当 PA 和抛物线相切时， PA 最小
B.12
C. 6
D.6
5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线 的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意
福建省泉州七中高二数学上学期期末考试(理)新人教版【会员独享】
福建省泉州七中09-10学年高二上学期期末考试数学（理科）试卷（ 满分150分 考试时间120分钟 ）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“对任意的R x ∈，0123≤+-x x ”的否定是 （ ） A ．不存在R x ∈，0123≤+-x x B ．存在R x ∈，0123≤+-x x C ．存在R x ∈，0123>+-x x D ．对任意的R x ∈，0123>+-x x2．方程12sin 3sin 222=-++θθy x 所表示的曲线是 （ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线3．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与平面11B BDD 所成的角的大小为（ ） A ．O90 B ．O60C ．O 45D ．O304．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5＝ ( ) A ．3:4 B ．2:3 C ．1:2 C ．1:3 5. 对于R 上可导的任意函数()x f ，若满足()()01/≥-x fx ，则必有 （ ）A ．()()()1220f f f <+B ．()()()1220f f f >+C ．()()()1220f f f ≥+D ．()()()1220f f f ≤+ 6．已知AB =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+,则动点P 的轨迹方程是 （ ）A ．2214x y +=B ．2214y x +=C ．2219x y +=D ．2219y x += 7．已知函数f (x )=ln ln a xx+在[1,+∞]上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A. 10a e<<B. 0a e <≤C. a e ≤D. a e ≥8．已知曲线122=+by a x 和直线ax+by+1=0(a ，b 为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是 （ ）9．下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）A ．a ，b 均为负数，则222≥+a b b aB ．21222≥++x xC ．4sin 4sin ≥+x x D ．0)31)(3(,≤--∈+aa R a 10．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>有相的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是 （ ） A ．(0,)4πB ． (,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．设010211()c o s ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2008()f x =12．已知+-=+82,3168-+-=-(,,两两互相垂直的单位向量)，那么⋅= .13．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是，则双曲线22221x y a b -=的离心率是__________14．在等差数列{}n a 中，若10031004100610074a a a a +++=，则该数列的前2009项的和是 .15．下列五个说法,其中正确的说法是__ __（填序号）正三角形的一个顶点位于坐标原点另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，则正三角形的边长为；④椭圆离心率越大，椭圆越接近于圆；⑤双曲线22221x y a b -=与双曲线22225y x b a-=有相同的渐近线方程. 16．（本题满分13分）已知0>a ,设命题:p 函数xa y =为减函数；命题:q 当]2,21[∈x 时,函数ax x y 11>+=恒成立，如果q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求a 的取值范围． 17．（本题满分13分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 18．（本题满分13分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.（1）求BF 的长；（2）求二面角E-FC 1-C 的余弦值.19．(本题满分13分)已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有3322n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3311log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本题满分14分）如图，为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（2）过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DNDM=λ，求λ的取值范围.21．(本小题满分14分)设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（1）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （2）证明：()21224In f x ->泉州七中2009-2010学年度高二年上学期末考试卷答案数学（理科）一、选择题（每题5分，共50分）二、填空题（每题4分，共20分）11、______cosx___________； 12、________--65___________；13、； 14、________2009__________；15、_____②③⑤_________；[]三、解答题（本大题共6小题，16、17、18、19各13分,20、21各14分，共80分） 16．（本题满分13分） 已知0>a ,设命题:p 函数x a y =为减函数；命题:q 当]2,21[∈x 时,函数ax x y 11>+=恒成立，如果q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求a 的取值范围． 16.０＜ａ12≤或1a ≥ 17、（本题满分13分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 17、解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2x x x x f +--=).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元=-⨯+-=f答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 18、（本题满分13分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的， 其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.（1）求BF 的长；（2）求二面角E-FC 1-C 的余弦值.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .∵1AEC F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（2）设1n 为平面1AEC F 的法向量且1(,,)n x y z =110,04020200,n AE x y z x y z n AF ⎧⋅=⨯+⨯+=⎧⎪⎨⎨-⨯+⨯+=⋅=⎩⎪⎩由得1,40,1(2,0,0)1220,.4x y z z AD x z y =⎧+=⎧⎪=∴=-⎨⎨-+==-⎩⎪⎩1即令平面FCC 的法向量为设二面角E-FC 1-C 为α，则11cos ||||AD n AD n α⋅===⋅ 19．（本题满分13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有3322n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3311l o g l o gn n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．解：（1）由已知得3322n n S a =-，∴当2n ≥时，113322n n S a --=-； ∴113322n n n n S S a a ---=-，即13322n n n a a a -=-，∴当2n ≥时，13n n a a -=；∴数列{}n a 为等比数列，且公比3q =； （…………4分） 又当1n =时，113322S a=-，即113322a a =-，∴13a =； ∴3nn a =. （…………8分）（2）∵33log log 3n n a n ==，∴3311111l o g l o g (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++；（…10分） ∴{}n b 的前n 项和11111111(1)()()()122334111n nT n n n n =-+-+-++-=-=+++.（…………13分） 20．（本题满分14分）如图，为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DNDM=λ，求λ的取值范围.20．解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2,代入52x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2+20kx +15=0.Δ=(20k )2－4×15(1+5k 2)＞0,得k 2＞53.由图可知21x x DN DM ==λ由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM① ,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合). 21．(本小题满分14分)设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（1）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （2）证明：()21224In f x ->解: （1）()2222(1)11a x x a f x x x x x++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-。
福建省泉州十五中2013-2014学年高二上学期期末测试数学(文)试题
福建省泉州十五中2013-2014学年高二上学期期末测试数学（文）试题（考试时间：120分钟 满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在第5页答题表中）1、已知命题:p x ∀∈R ，2≤x ，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，2≥xB ．:p x ⌝∃∈R ，2＞xC ．:p x ⌝∀∈R ，2≥xD ．:p x ⌝∀∈R ，2＞x2、复数Z=-1+2i ，则Z 的虚部为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-23、若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假4、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）5、若双曲线2221(0)3x y a a -=>离心率为2，则a =（ ）A.2B.C. 32D. 16、若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为 （ ） （A ）x 2=–28y （B ）y 2=28x （C ）y 2=–28x （D ）x 2＝28y7、下列有关命题的说法中错误的是 ( ) A ．对于命题:,p x R ∃∈使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++≥ B ．"1"x =是2"320"x x -+=的充分不必要条件C ．命题“若2320x x -+=，则1x =“的逆否命题为： “若1,x ≠则2320x x -+≠” D ．若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题8、 抛物线y 2= 4x 上一点P 到焦点F 的距离是10, 则P 点的坐标是 （ ）（A ）（9, 6） （B ）（6, 9） （C ）（±6, 9） （D ）（9,±6）9、双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）2310、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是（ ）A ． y 2=-2xB ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x11、如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为（ ）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或5412、已知椭圆192522=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于 （ ） （A ）2（B ） 4 （C ） 8（D ）23第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在第5页答案线上）13．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第 象限14．双曲线x 225–y 29 = 1的两个焦点分别为F 1、F 2, 双曲线上的点P 到F 1的距离为12, 则P到F 2的距离为 .15．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k16．方程x 224–k + y 216 + k = 1 表示椭圆，则k 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将解答过程写在答题卷上）17、（本小题满分12分） 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
福建省泉州市高二上学期期末数学试卷(理科)
福建省泉州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若命题“”为假，且“”为假，则（）A . p或q为假B . q假C . q真D . 不能判断q的真假2. （2分）设为等差数列的前n项和，若，公差d=2，，则k=（）A . 8B . 7C . 6D . 53. （2分）设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z=0，则动点P的轨迹是（）A . 平面B . 直线C . 不是平面，也不是直线D . 以上都不对5. （2分）在等比数列{an}中，an＞0，若a1a2a3…a2012=22012 ，则a2a2011=（）A . 2B . 4C . 21005D . 210066. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成的角是（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°7. （2分）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（）①ab≤1;②+≤; ③a2+b2≥2;④≥2A . ①②③④B . ①③④C . ③④D . ②③④8. （2分）(2017·石嘴山模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1，过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积（）A .B .C .D .9. （2分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为（）A .B .C . 2D . 710. （2分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A . (x－2)2＋(y－1)2＝1B . (x－2)2＋(y－3)2＝1C . (x－3)2＋(y－2)2＝1D . (x－3)2＋(y－1)2＝111. （2分）(2018·黄山模拟) 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·江西模拟) 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A .B . 或C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直径为d的圆的内接矩形的最大面积为________ ．14. （1分）双曲线x2﹣16y2=16左右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l过双曲线的左焦点F1交双曲线的左支与A，B，且|AB|=12，则△ABF2的周长为________．15. （1分）(2017高二下·扶余期末) 由“以点为圆心，为半径的圆的方程为”可以类比推出球的类似属性是________.16. （1分） (2016高三上·上虞期末) 设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若F到直线y= x的距离为，则p=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高三上·衡水月考) 在中，角，，的对边分别为，，，已知 .（1）若，的面积为，求，的值；（2）若，且为钝角三角形，求实数的取值范围.18. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（12分）（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否能成等差数列．19. （5分）(2017·舒城模拟) 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．（Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ， S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．20. （10分） (2017高二下·宾阳开学考) 如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F 分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P﹣ABFED，且AP= ，（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．21. （10分） (2016高三上·湖州期末) 设正项数列{an}的前n项和为Sn ，且a +2an=4Sn（n∈N*）．（1）求an；（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn= （n∈N*，n≥2），求数列{bn}的前n项和Tn．22. （5分）(2017·湖南模拟) 已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
福建省泉州市高二数学上册期末试题与答案
福建省泉州市高二数学上册期末试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 已知命题:1p x ∀>，总有lg 0x >，则p ⌝为( ) A.x ∃≤1，使得lg 0x ≤ B ．x ∃>1，使得lg 0x ≤ C.1x ∀>，总有lg 0x ≤ D ．1x ∀≤，总有lg 0x ≤2. 已知抛物线)0(22>=p px y 上点),4(m M 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（ ）A. 4-=xB. 4=xC. 2-=xD. 2=x3. 若“a x >” 是“0ln >x ”的必要不充分条件 ,则a 的取值范围是（ ） A.)1,(-∞ B.]1,(-∞ C.),1(+∞ D.),1[+∞4. 直线y kx b =+与曲线22ln y ax x =+-相切于点()1,4P ，则b 的值为（ ）A.3B. 3-C.1-D. 15. 已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的离心率等于2，则双曲线的渐近线与圆1)2(22=+-y x 的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.不确定 6. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况频率分布直方图如图所示，利用频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为5， 则输入的实数a 的范围是( ) A. [)6,24 B. [)24,120 C. (),6-∞ D. ()5,248.若()(1)xxf x a b e =-<<，则（ ） A.()()f a f b = B. ()()f a f b <C. ()()f a f b >D. (),()f a f b 大小关系 不能 确定9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴两个端点分别为A 、B ，椭圆上一动点P （不同于AB ）和A 、B 的连线的斜率之积为常数λ，则椭圆C 的离心率为( )A. 1λ-B. 1λ+C. 21λ-D.211λ+10．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．21 B ．1030 C ．1530 D ．1015 11.已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点和右焦点，且2122b F F a=， 点P 为双曲线C 右支上一点，I 为12PF F ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为( ).A 21+ .B 21- .C 51- .D512- 12．已知函数()f x 错误!未找到引用源。
福建省泉州市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
福建省泉州市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．双曲线22164x y -=的焦点坐标是（ ）． A．( B．(0,C．(D．(0,【答案】A【解析】求得双曲线的a ,b ,c ,可得所求焦点坐标． 【详解】解:双曲线22164x y -=的a =2b =,c ==可得双曲线的焦点为(． 故选:A ． 【点睛】本题考查了双曲线的焦点坐标.在求解时,应确定两方面,一是焦点所在的轴,二是c 的值.对于双曲线221(0)x y AB A B+=<,2c A B =+.若0A >,则焦点在x 轴上; 若0B >,则焦点在x 轴上.2．命题:p x ∀∈R ，1222xx ⎛⎫+ ⎪⎭≥⎝，则p ⌝为（ ）． A ．x ∃∈R ，1222xx +≥ B ．x ∃∈R ，1222xx +< C ．x ∀∈R ，1222xx +<D ．x ∃∈R ，1222xx +≤【答案】B【解析】全称命题:x A ∀∈，()P x 的否定,是特称命题:x A ∃∈，()P x ⌝，结合已知中原命题x ∀∈R ,1222xx+≥,易得到答案． 【详解】解:Q 原命题x ∀∈R ,1222xx+≥ ∴ 命题x ∀∈R ,1222xx +≥的否定是: x ∃∈R ,1222xx+<． 故选:B ．本题考查了命题的否定. x A ∀∈，()P x 的否定为x A ∃∈,()P x ⌝ ; x A ∃∈,()P x 的否定是x A ∀∈,()P x ⌝.求否定的易错点是和否命题进行混淆.3．设x ，y 满足约束条件0220x y x y x -≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）．A ．1B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】作出约束条件对应的平面区域,将目标函数变形成2y x z =-+,画出2y x =- 并在平面区域内进行平移,即可找到最优解,进而可求最大值. 【详解】解:作出可行域,如图所示的阴影部分由2z x y =+可得2y x z =-+,则z 为直线2y x z =-+的纵截距 结合图象可知,当直线2y x z =-+过(2,2)B 时,z 取得最大值6 故选:B ． 【点睛】本题考查了线性规划求最值.对于这种题目,作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求最值即可．4．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =u u u r r，AD b =u u u r r ，1A A c=u u ur r ，则下列向量中与1B M u u u u r 相等的是（ ） A ．1122a b c -++r r rB ．1122a b c ++r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122a b c --+r r r【解析】【详解】因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出11111()222B M B BM c c a B b B AD A =+=+-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r rr r r ，选A5．已知a ,b ,c 分别为ABC ∆内角A ,B ,C 的对边,若3c =,b =30B =︒,则a =（ ）．A ．3B ．CD ．3或【答案】C【解析】由已知利用余弦定理可得260a -+=,解方程可求a 的值． 【详解】解:3c =Q ,b =30B =︒ ∴由余弦定理可得:2222cos b a c ac B =+-可得223323a a =+-⨯⨯,整理得260a -+=∴解得a =故选:C ． 【点睛】本题考查了余弦定理.在解三角形时,若已知两边及一边的对角,一般情况下用正弦定理解三角形,有时也可用余弦定理求另一边.若已知两边及其夹角,则利用余弦定理解三角形.易错点在于忽略大边对大角.6．等比数列{}n a 的各项数列均为正数，且34258a a a a +=，则212226log log log a a a +++=…（ ）．A ．5B ．6C ．8D ．22log 3+【答案】B【解析】结合等比数列的性质可求出344a a =,结合对数的运算性质可知所求即为2126log (...)a a a ,再次利用等比数列的性质即可求出.【详解】解: 因为{}n a 为等比数列,则由等比数列的性质可知5342a a a a = 又因为34258a a a a +=,所以34254a a a a ==则()32122262126234log log log log log ()a a a a a a a a +++== (3)2log 46==．故选:B ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了对数的运算性质.在等比数列中,若p q m n +=+,则p qm n a a a a =;等差数列有一个类似的性质,即若p q m n +=+,则p q m n a a a a +=+.对于该的应用,易错点是和等差数列性质混淆.7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，C 与直线:1l y x =-相交于A ，B 两点．若线段AB 中点的横坐标为3，则C 的标准方程为（ ）． A ．22x y = B ．22x y =C ．22y x =D ．24y x =【答案】D【解析】设出抛物线方程22y px =,与直线方程联立,利用韦达定理得1222x x p +=+,由中点横坐标为3,可求p ,进而可求解抛物线方程． 【详解】解:抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴上,抛物线方程设为22y px =联立221y px y x ⎧=⎨=-⎩,可得2(22)10x p x -++=C 与直线:1l y x =-相交于A ,B 两点．设()()1122,,,A x y B x y则1222x x p +=+,121=x x .由已知可得:1222322x x p ++==,解得2p =.所求抛物线方程为:24y x =． 故选:D ． 【点睛】本题考查了抛物线方程的求解,考查了直线与抛物线的位置关系.当涉及到直线与抛物线的问题时,常联立直线与抛物线的方程,消元后,根据韦达定理,得到两个交点坐标的关系.再根据具体地条件进行列方程求解.8．已知函数22()x x a f x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】B【解析】结合已知不等式可转化为即22a x x >-+,结合二次函数的性质求22x x -+ 在[2,)+∞ 上的最大值,即可求解． 【详解】解: [2,)x ∈+∞Q ,22()0x x af x x-+=> [2,)x ∴∈+∞,220x x a -+>即22a x x >-+在[2,)x ∈+∞上恒成立.结合二次函数的性质可知 当2x =时,22x x -+取得最大值为0.即0a >. 故选:B ． 【点睛】本题考查了由不等式恒成立问题求参数的范围.对于关于()f x 的不等式在x 的某段区间上恒成立问题,一般情况下进行参变分离,若()a h x > 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最大值,令max ()a h x > 即可; 若()a h x < 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最小值,令min ()a h x < 即可. 9．下列说法正确的是（ ）．A ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}1n n a a ++为等差数列B ．若14m ≤-，则函数2()lg lg f x x x m =+-无零点C ．在ABC ∆中，若sin 2A <，则04A π<<D ．直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，则“//m n ”是“//m α”的充要条件 【答案】A【解析】A:利用等差数列的定义进行判断;B:令lg t x =,则2()f t t t m =+-,结合二次函数的零点存在问题,进行判断;C:结合正弦函数,可解不等式,进而可判断A 的取值范围;D:判断由“//m n ”是否能推出“//m α”,再判断由“//m α”是否能推出“//m n ”. 【详解】解:数列{}n a 为等差数列,不妨设数列{}n a 通项公式为n a pn q =+,则1(1)n a p n q pn p q +++=++=.122n n n b a a pn p q +∴=+=++则1232n b pn p q +=++.12n n b b p +∴-=与n 无关.故数列{}1n n a a ++为等差数列,A 正确. 令lg t x =,则2()f t t t m =+-,当14m =-时, 21()04f t t t =++=此时12t =-,即x =,函数函数2()lg lg f x x x m =+-有零点,B 错误.由正弦函数图像可知,若sin 2A <,则04A π<<或34A ππ<<,C 错误. 当“//m α”时,直线n ⊂平面α,不一定有“//m n ”,所以D 项错误. 故选:A ． 【点睛】本题考查了等差数列的定义,考查了函数的零点与方程的根,考查了三角函数不等式,考查了充分必要条件的判断.判断一个数列是否为等差数列,可利用等差数列的定义,即判断后一项与前一项的差是否为一个常数;求解三角函数不等式时,常常结合三角函数的图像进行求解;判断两个命题的关系时,通常分为两步,判断由p 是否能推出q ,以及判断由q 是否能推出p .10．过点(2,2)P 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 与x 轴正半轴交于点A ，2l 与y 轴正半轴交于点B ，若(,)M x y 为线段AB 的中点，则14x y+的最小值为（ ）． A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】C【解析】设O 为坐标原点,由题意可得,ABOP 四点共圆,且圆心为M ,结合圆的性质及两点间的距离公式化简可得M 的方程，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】解:设O 为坐标原点,由题意可得,ABOP 四点共圆,且圆心为M所以||||MP MO =,=化简可得,2x y +=,且0x >,0y >, 则141141419()5(54)2222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4y x x y =即23x =,43y =时取等号,此时取得最小值92．故选:C ． 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,考查了基本不等式.对于求轨迹方程的问题,根据题意,找到等量关系,列出方程.有些特殊轨迹,如圆,椭圆,双曲线,抛物线,根据定义也能进行求解.利用基本不等式求最值时,常见的题型是”1”的代换.11．我国古代《易经》中有关于远古时期“结绳计数”的记载，即通过在绳子上打结来记录数量．某部落采用“满五进一结绳计数”方法，即在从右到左依次排列的绳子上打结，当某条绳子的打结数量达到5个时，则松开该绳上的所有结，并往左边相邻的绳子上打个结．例如，若打猎记录如图1，则表示打猎数量累计为8．如果该部落某年的打猎记录如图2，那么可以表明该部落该年的打猎数量累计为（ ）．A ．3906B ．7812C ．19530D ．39060【答案】B【解析】由题意可得该部落一年的打猎数量为252252525+⨯+⨯++⨯…,由等比数列的求和公式计算可得所求和． 【详解】解:由图2可得该部落一年的打猎数量为：()625515225252521552781215-+⨯+⨯++⨯=⨯+++=⨯=-……．故选:B ． 【点睛】本题考查了等比数列求和,考查了进制数的转换.对于数()n abcdef 为n 进制的数,将其转换为十进制时,只需代入公式5432a n b n c n d n e n f ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 进行求解.本题的难点在于不能由图2写出正确的五进制数.12．已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点，直线l 过椭圆的中心且与椭圆交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆过1F ，且1124F AB ππ≤∠≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）．A．2⎣⎦B．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】设1F AB θ∠=,由以AB 为直径的圆过1F ,可得1|||||AO BO OF c ===,即|2AB c =,运用直径所对的圆周角为直角,以及锐角三角函数的定义,以及辅助角公式,结合离心率公式可得所求范围． 【详解】解:设1F AB θ∠=,则124ππθ≤≤由以AB 为直径的圆过1F ,可得1|||||AO BO OF c ===,即||2AB c = 在直角三角形1F AB 中,12cos AF c θ=,12sin BF c θ=由椭圆的对称性可得1122cos 2sin 24AF BF a c c c πθθθ⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭即有14c e aπθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由124ππθ≤≤42πθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，则,23e ∈⎣⎦.故选:A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义性质,考查了三角函数的值域.本题难点是不能由性质得到,a c 的方程,若采用设直线方程、交点坐标找关于,a c 的方程,计算量很大.对于12sin(),[,]y A x x x x ωϕ=+∈ 求值域时,常用换元法,令t x ωϕ=+ ,结合正弦函数图像即可求出函数值域.二、填空题13．已知向量(1,2,3)a =-r ，(3,,)b x y =r ，若a r 与b r共线，则x y +=__________．【答案】3【解析】若a r 与b r 共线,则存在唯一实数λ使得a b λ=r r ,1323x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,解得λ,x ,y 进而得出答案． 【详解】解:若a r与b r共线,则存在唯一实数λ,使得a b λ=rr所以(1,2,3)(3,,)x y λ-=,即1323x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,解得1369x y λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩所以693x y +=-+= 故答案为:3． 【点睛】本题考查空间向量的共线.若向量()()111222,,,,,x y z x y z ==r ra b 共线,则存在唯一实数λ使得a b λ=r r或得到111222222(0)x y z x y z x y z ==≠,进而进行求解.14．若“24x <”是“11m x m -≤≤+”的必要不充分条件，则m 的取值范围是__________． 【答案】(1,1)-【解析】先解出不等式,根据题中给的充要性,判断集合的包含关系,解出参数． 【详解】解:由题意知:设24x <对应的集合为(2,2)A =- 设11m x m -≤≤+对应的集合为[1,1]B m m =-+，24x <Q 是11m x m -≤≤+的必要不充分条件 B ∴ A2112m m -<-⎧∴⎨+<⎩,解之得:11m -<<. 故答案为:(1,1)-． 【点睛】本题考查了由充分必要条件求参数的取值范围,考查了二次不等式得解法.对于已知两命题的充分必要关系时,首先对两命题进行化简,一般解不等式,得到两命题对应的集合,A B 即可;再根据命题关系,得到参数的取值范围.若已知p 是q 的充分不必要条件,则AB ;若已知p 是q 的必要不充分条件,则BA .15．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作直线l 与C的左右支分别交于P ，Q 两点，若260QPF ∠=︒，且2||PQ PF =，则双曲线的渐近线的方程为__________． 【答案】6y x =±【解析】由题意画出图形,由双曲线定义结合已知可得12PF a =,24PF a =.再由余弦定理可得a 与c 的关系,进而得到226ba=即求得双曲线的渐近线的方程．【详解】解:由双曲线的定义知,1212QF QF PF a -==,212PFPF a -= 24PF a ∴=,260QPF ∠=︒Q ,12120F PF ∴∠=︒在12F PF △中,由余弦定理:2221212122cos120F F PF PF PF PF =+-⋅︒得2221244328c a PF PF a =+⋅=,即227c a=226b a∴=,即双曲线的渐近线方程为6y x =±． 故答案为:6y x =±.【点睛】本题考查了双曲线定义及性质,考查了余弦定理.一般地,在圆锥曲线的问题中,若已知过两焦点角的大小,常结合余弦定理进行求解.本题的难点在于,根据已知条件,能够结合双曲线的定义及性质,用,,a b c 将1212,,PF PF F F 表示出来.对于求椭圆和双曲线离心率的题目,关键在于列出,,a b c 的方程,结合定义进行化简.16．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，且2sin sin (sin sin )B A A C =+，则ABC V 的周长的取值范围为__________．【答案】(4++【解析】由正弦定理、余弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin 2sin()A B A =-,进而可得2B A =.由正弦定理可得4cos b A =.根据已知可求范围64A ππ<<,利用余弦函数的性质可求范围b <<2a =,即242b c =+,可求ABC ∆的周长为212a b c b b ++=+,由二次函数性质即可求得ABC ∆的周长的取值范围．【详解】解:因为2sin sin (sin sin )B A A C =+,所以22b a ac =+由余弦定理可得2222cos 222c b a c ac c aA bc bc b+-++===同理可得:cos 2c aB b -=,即2cos 2cos c a b A c a a B+=⎧⎨-=⎩.消去c ,可得22cos 2cos a b A a B =-∴2sin 2sin cos 2sin cos A B A A B =- 即2sin 2sin()A B A =-,可得2B A = 由正弦定理sin sin a b A B=,可得2sin sin 2bA A =,即4cos b A = 因为ABC ∆为锐角三角形,且ABC π++=,所以022A π<<即64A ππ<<,所以cos 22A <<,即b << 又因为2a =,即242b c =+所以ABC ∆的周长为2241222b a bc b b b -++=++=+由二次函数性质可得, ABC ∆的周长的取值范围为:(4++．故答案为:(4++． 【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了二次函数求最值.在解三角形的问题中,若已知的一个等式中,既有边又有角,则常常进行边角互化,即2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩或者222222222222cos cos cos b c a A a a c b B b b a c C c ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩统一形式,进而进行求解.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，32418S a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】(1) 3n a n =;(2)23(1)n nT n =+.【解析】(1)设等差数列的公差为d ,运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式; (2)运用等差数列的求和公式,可得1212113(1)31n n b S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪++⎝⎭,再由数列的裂项相消求和,计算可得所求和． 【详解】解:(1)等差数列{}n a 的公差设为d ,由32418S a a =+= 可得1133182418a d a d +=⎧⎨+=⎩ ,解得13a d ==.则33(1)3n a n n =+-=.(2)13(33)(1)22n S n n n n =+=+,设1212113(1)31n n b S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪++⎝⎭则数列{}n b 的前n 项和2111112121132231313(1)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭…．【点睛】本题考查了等差数列通项公式,考查了等差数列的前n 项和.求等差数列的通项公式时,可用基本量表示出已知条件,列出方程组,求得基本量,即可求解通项公式.数列的求和问题,常见的思路有分组求和,错位相减,裂项相消等. 18．已知抛物线22(0)y px p =>经过点(3,6)． （1）求此抛物线方程及焦点坐标；（2）过点(3,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若AB 中点M 到直线20x +=的距离为7，求||AB ．【答案】(1)方程为:212y x =,焦点坐标为(3,0);(2)16.【解析】(1)利用已知条件求出p ,然后求解抛物线方程以及焦点坐标．(2)求出抛物线的准线方程,结合已知条件利用抛物线的定义以及梯形的中位线的性质求解即可． 【详解】解:(1)由题意可得266p =,所以6p =,所以抛物线方程为212y x = 所以抛物线的焦点坐标为(3,0)．(2)抛物线的焦点坐标为(3,0),准线方程为3x =-因为AB 中点M 到直线20x +=的距离为7,即M 到直线30x +=的距离为8d = 由抛物线的定义以及梯形中位线性质可得：||22816AB d ==⨯=． 【点睛】本题考查了抛物线方程,考查了抛物线的焦点弦问题.求抛物线的方程时,一般首先设出抛物线的方程,由已知条件列出关于p 的方程,进行求解即可.关于抛物的焦点弦,一般并不采用设直线与抛物线方程联立,由韦达定理进行求解的方法,而是结合抛物线的焦点弦公式求解12AB x x p =++.19．在平面四边形ABCD 中，4=AD ，2CD =，AB BC =，90B ∠=︒． （1）若3D π∠=，求DAC ∠；（2）求四边形ABCD 面积S 的最大值． 【答案】(1)6DACp?;(2)5+【解析】(1)由已知利用余弦定理可求AC 的值，由正弦定理可得1sin 2DAC ∠=,进而可求DAC ∠的值．(2)设D θ∠=,由余弦定理可得AC =利用三角形的面积公式可求54cos ABC S θ=-△,4sin ADC S θ=△,可求54ABCD S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,结合范围(0,)θπ∈,利用正弦函数的性质可求其最大值．【详解】解:(1)由余弦定理可得:2222cos AC AD CD AC CD D =+-⋅⋅即AC ==由正弦定理可得:sin sin AC CD DACθ=∠,即sin 213sin 2CD DAC AC π⋅⨯∠=== 又因为CD AC <,所以6DACp? (2)设D θ∠=,由余弦定理可得AC ==所以21122ABC S AC =⨯△1(2016cos )4θ=-54cos θ=- 又因为124sin 4sin 2ADC S θθ=⨯⨯⨯=△所以4sin 54cos 54ABCD S πθθθ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭因为(0,)θπ∈,所以42ππθ-=,即当34πθ=时, ABCD S最大值为5+ 【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角函数求最值.已知三角形中两边及其一边的对角时,常采用正弦定理求解,有时也采用余弦定理;当已知三角形的两边及其夹角时,或已知三角形的三边时,采用余弦定理解三角形.在解三角形时,注意运用大边对大角进行排除答案.20．如图，已知四边形ABDE的正方形，AD 与BE 相交于点O ，BCD V 为等边三角形．现将EAD V 沿AD 折起到E AD '的位置，将CBD V 沿BD 折起到C BD '的位置，使得折后E D '⊥平面C BO '．（1）求证：OB ⊥平面'AE D ； （2）求二面角A OC B -'-的大小． 【答案】(1)见解析;(2)3π. 【解析】(1)推导出E D OB '⊥,OB AD ⊥,由此能证明OB ⊥平面AE D '．(2)以O 为原点,OA ,OB ,OE '为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A OC B -'-的大小． 【详解】(1)证明:E D '⊥Q 平面C BO ',OB ⊂平面C BO ',∴E D OB '⊥， ∵在正方形ABDE 中,O 为AD 与BE 的交点,OB AD ∴⊥E D AD D '⋂=Q ,OB ∴⊥平面AE D '.(2)解:AE E D '='Q ,O 为AD 中点,E O AD ∴'⊥以O 为原点,OA ,OB ,OE '为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系3,0,0)A ,3,0)B ,(3,0,0)D -,3)E ',E D '⊥Q 平面C BO ',∴平面C BO '的一个法向量为3,0,3)n E D ='=u u u ur rE D '⊥Q 平面C BO ',∴E D OC '⊥'设(,,)C x y z ',则(3,,)DC x y z '=+u u u u r ,(,3,)BC x y z '=-u u u u r1E D OC '⊥Q ,||||6DC BC '='=u u u u r u u u u r ,222222330(3)6(3)6x z x y z x y z =∴+++=+-+=，解得333x y z ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或33333x y z ⎧=-⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩(舍).(3,3,3)C ∴'设平面AOC '的法向量(,,)n x y z =r则OA3x0OC3x3y3z0 nn'⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u vru u u u vr,取1y=,得(0,1,1)n=-r设二面角A OC B-'-为θ,则|||3|1cos||||226n mn mθ⋅-===⋅⋅r rr r由图知3πθ=,∴二面角A OC B-'-的大小为3π.【点睛】本题考查了线面垂直的判定,考查了二面角的求法.在证明线面垂直时,关键是在平面内找到两条直线与已知直线垂直,常运用勾股定理、矩形的临边、正方形的对角线、等腰三角形三线合一、线面垂直的性质等来证明线线垂直.求二面角的大小时,建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,进而可求.21．在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26,30]︒︒范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为20米，屏幕底部距离地面11.5米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面x米处的某人，眼睛位置距离地面高度为1.5米，观察屏幕的视角为θ（情景示意图如图所示）．（1）为探究视觉效果，请从sinθ，cosθ，tanθ中选择一个作为y，并求()y f x=的表达式；（2）根据（1）的选择探究θ是否有达到最佳视角效果的可能．【答案】(1)42sin100090000x xθ=++;(2)视角30°达到最佳．【解析】(1)过点A 作AF CE ⊥于F ,则1.5EF AB ==,10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=,sin sin()sin cos cos sin θαβαβαβ=-=-,化简即可得出答案．(2)由基本不等式可得421sin 21600100090000x x θ=≤=++,即可得出答案． 【详解】解:过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=(1)sin sin()θαβ=-sin cos cos sin αβαβ=-2222222230103010xxxx=⋅-⋅++++42100090000x x =++(2)421sin 21600100090000x x θ=≤=++, 当且仅当2290000x x =,即103x =时,sin θ取到最大值12 因为sin θ在(0,90)︒上单调递增,所以观察屏幕视角最大值为[]3026,30︒∈︒︒ 即此时视角达到最佳．【点睛】本题考查了解三角形的应用,考查了基本不等式,考查了三角恒等变换.求最值时,我们常用的思路有:根据函数图像求最值,根据函数单调性求最值,结合导数求最值,运用基本不等式求最值,换元法求最值等.在运用基本不等式求最值时,易错点在于忽略一正二定三相等.22．点P 在椭圆22:142x y C +=上，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．（1）若点R满足2RQ PQ =u u u ru ur ，试求点R 的轨迹2C 的方程； （2）直线l 与1C 相交于A ，B 两点，且与（1）中的2C 相切，线段AB 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)K n ，求n 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=;(2)(1,0)(0,1)-U .【解析】(1)设R ,P ,Q 的坐标由向量间的关系,求出R 与P 的坐标之间的关系,再由相关点法求出R 的轨迹方程.(2)设直线l ,联立与两个切线的方程,由题意得n 与直线参数的关系,由参数的范围求出n 的取值范围．【详解】解:(1)设()00,P x y ,则()0,0Q x ,(,)R x y ,()0,RQ x x y =--u u u r ,0(0,)PQ y =-u u u r由2RQ PQ =u u u r u u u r ,所以0002x x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得:0x x =,0y =由P 在椭圆上,所以动点R 的轨迹2C 的方程:2214x y +=.(2)当直线l 的斜率不存在时:2l x =,不符合题意,舍去; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为:y kx m =+ 联立与椭圆2C 的方程,整理得:()222148440k xkmx m +++-=则()()222264414440k m km∆=-+-=,化简得:2241k m =-①因为直线l 与椭圆1C 交于A ,B ,设(,)A x y ,(),B x y '',AB 的中点M 联立直线l 与椭圆1C 的方程整理得:()222124240kxkmx m +++-=∴ 2412km x x k -+'=+,222412m xx k-'=+,()22212m y y k x x m k +'=+'+=+ 则222,1212kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,所以AB 的中垂线方程:22121212m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭ 令0x =,得212m y k -=+,所以212m n k -=+②,由①②得2||12n k=+令2121t k =+>,则|||(1,0)(0,1)n t ==-⋃． 所以n 的取值范围:(1,0)(0,1)-U ． 【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了函数值域.涉及到直线与椭圆问题,一般情况下,将直线方程与椭圆方程进行联立,若直线方程未知,则可先设出直线方程.联立整理后,根据韦达定理得到交点的坐标关系,再接下来则根据题意进行求解.此类题计算量往往比较大,应注意计算的准确性.。
泉州七中2023-2024学年度下学期高二年期考末数学试卷
泉州七中2023-2024学年度下学期高二年期末考数学试卷考试时间 ：120分钟 满分：150分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，则（ ）A ．BC ．D2．已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的最小正周期为，则函数在的最大值是（ ）A ．B ．CD ．5．在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知是正数，且，则下列说法错误的是（ ）A ．的最小值为B ．的最大值为C ．的最大值为D ．的最小值为8．己知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要1i iz -=||z =23(2, 3)a = (4, )b n = //a b n =3-36-6{|03}A x x =<<{|28}x B x =≤x A ∈x B ∈π()sin()(0)3f x x ωω=+>πππ[, ]126-0121P ABC -PC M 13PM PC =PB N 23PN PB =P AMN -P ABC -19291349{}n b (1)q q ≠1012ln 0b =24()1f x x =+122023()()()f b f b f b +++= 4069404620242023, x y 2x y +=22x y +422log log x y +0(2)x x y +412x y +32+1ln 22a =+2ln 332b =+12ln 525c =+b a c >>a c b >>a b c >>c b a>>求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．袋子中有个相同的球，分别标有数字，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）A ．B ．C ．事件与是互斥事件D ．事件与相互独立10．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．是周期为的周期函数C ．当时，D ．当时，方程的所有实根之和为11．年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）A ．双纽线是中心对称图形B ．C ．双纽线上满足的点有个D ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）12．记为等差数列的前项和．若，则公差_______．13．已知函数，则_______；若函数在上单调递增，则的取值范围是_______．14．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为cm ，开口直径为cm ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的长轴长为______，离心率等于_______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，61, 2, 3, 4, 5, 6A =B =C =1()5P A =1(|)3P B C =A B B C ()f x R (2)()f x f x +=-01x ≤≤()f x x =(π)4πf =-()f x 413x ≤≤()2f x x=-44x -≤≤()(10)f x m m =-≤<420221694xOy 1(, 0)F a -2(, 0)F a 2(0)a a >00(, )P x y 1a =C C 01122y -≤≤C 12||||PF PF =2||PO n S {}n a n 32236S S =+d =2, 1()2log , 1x a a x f x a x x ⎧+≤=⎨+>⎩(0)f =()f x R a 128P ABCD -ABCD平面平面，，点是线段的中点，．（1）证明：//平面；（2）求平面与平面的夹角．16．（15分）记的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，且，点在边上，，求．17．（15分）已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．18．（17分）已知函数，，为的导函数．（注：是自然对数的底数）（1）求曲线在点处的切线方程；PAD ⊥ABCD PA PD ==E AD 2CM MP = PE BDM AMB BDM ABC △, , A B C , , a bc cos b B +=A 6AB =tan 7C =D BC 2ADB ABC ∠=∠AD 2: 2(0)E y px p =>(1, 2)P : l y kx m =+E , A B PA PB k 3m <PAB △2()e e x f x ax =+-a ∈R ()f x '()f x e 2.71828=⋅⋅⋅()y f x =(0, (0))f（2）讨论的单调性；（3）若无极值点，求实数的取值范围．19．（17分）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量的所有可能取值为，且，，其中，则称服从泊松分布，记作．（1）设，且，求；（2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有．（ⅰ）已知甲地区共有户居民，每户居民每天有的概率需要一名水电工．试估计某天需要至少名水电工的概率；（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有户居民，每户居民每天有的概率需要一名水电工．试估计某天两个地区一起至少需要名水电工的概率．()f x '()f x a X 0, 1, 2, ()e !k P X k k λλ-==0, 1, 2, k =⋅⋅⋅0λ>X ()X P λ~()X P λ~(1)(3)P X P X ===(2)P X =20n ≥00.05p <≤()P np (, )B n p (, )X B n p ~()Y P np ~k ()()P X k P Y k =≈=1000000.0001022000000.000043。
福建省泉州市高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线，则直线的倾斜角为（ ） :l y =l A ． B ．C ．D ．30 60 120 150 【答案】B【分析】设直线l 的倾斜角为，，可得，即可得出． θ0θ180<< tan θ=【详解】设直线l 的倾斜角为，． θ0θ180<<则tan θ=．60θ∴= 故选：B2．已知点P 为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则22142x y +=1F 2F 21=3PF PF 1PF =（ ）A ．BC ．1D ．312【答案】C【分析】利用椭圆的定义进行求解.【详解】因为点P 为椭圆上的一点，所以，因为，所以22142x y +=12+=4PF PF 21=3PF PF .1=1PF 故选：C.3．已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（ ） {}n a 26182a a a a ={}n a A ．B ．C ．2D ．41412【答案】B【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式计算作答.【详解】设等比数列的公比为，由，得，而，解得{}n a q 26182a a a a =7111512a q a a q q a =⋅⋅10a q ≠， 12q =所以数列的公比为. {}n a 12故选：B4．三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若，则=O ABC -OA a,OB b,OC c === OE（ ）A ．B ．1122a b c --+ 1122-++a b c C ． D ．111244a b c --+ 111244a b c ++ 【答案】D【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.OE【详解】三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，且，如图，O ABC -OA a,OB b,OC c ===.11111111()22222244OE OA OD OA OB OC a b c =+=+⋅+=++故选：D5．已知O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），则点O 到直线BC的距离为（ ） A BCD【答案】A【分析】先求得，得到向量在方向上的投影为(2,0,0),(2,2,2)OB BC ==- OB BC ||OB BC BC ⋅=，进而求得点O 到直线的距离．BC 【详解】由O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），，可得， (2,0,0),(2,2,2)OB BC ==-则向量在方向上的投影为OB BC||OB BC BC⋅==所以点O 到直线 BC =故选：A.6．已知双曲线C 的右顶点为A ，左、右焦点分别为，，以为直径22221(0,0)x y a b a b -=>>：1F 2F 12F F 的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且，则该双曲线的离心率为（ ）1||2MFMA =A BC ．2 D1【答案】C【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断cos MOA ∠||MA 形状即可求解作答.MOA A 【详解】设双曲线的半焦距为c ，直线的方程为，有，如图 C OM by x a =tan b MOA a∠=即有，而，解得， sin cos bMOA MOA a ∠=∠22sin cos 1MOA MOA ∠+∠=cos a MOA c∠==在中，由余弦定理得：MOA A ||MA b ===，因此，即有，而，则，222||||||MA OA OM +=90OAM ∠= 1||2MF MA =130MF A ∠=又，于是，1||||OM OF c ==1260MOA MF A ∠=∠=所以双曲线的离心率. ||112||cos cos 60c OM e a OA MOA =====∠故选：C7．数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ）{}n a 114,32n n a a a +==-()*N 128n n n a a λ∈-<-，λA ． B ． (,9)-∞-(,8)-∞-C ． D ．(12,9)--(12,7)--【答案】B【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求{}n a 解作答.【详解】因为数列满足，则，而， {}n a 132n n a a +=-113(1)n n a a +-=-113a -=因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，{1}n a -11333n n n a --=⨯=31n n a =+又∀，因此对恒成立，即， ()*N 128n n n a a λ∈-<-，3327n n λ<-N n *∈2713nλ<-而数列是递增数列，则当时，，有， 27{1}3n -1n =min 27(183n-=-8λ<-所以实数的取值范围是.λ(,8)-∞-故选：B8．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这A B P PBPAλ=0λ>1λ≠P种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线()0,0O Q ⎛ ⎝1:230l kx y k -++=，若为，的交点，则的最小值为（ ） 2:320l x ky k +++=P 1l 2l 32PO PQ +A ．B ．C ．D ．6-9-3【答案】A【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程12l l ⊥P CD D P为，即，取()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-)3y ≠-，则，结合，可得，进而求解.5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭32PQ PA =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥【详解】由已知过定点，1:230l kx y k -++=()2,3C -过定点，2:320l x ky k +++=()2,3D --因为，，所以，即，1l k k =21l k k=-121l l k k ⋅=-12l l ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，P CD D ()2,0-则的轨迹方程为，即，易知O 、Q 在该圆内，P ()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-又32PO ===即， )332PO y ==≠-取，则，又 5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭32PO PA ==所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以的最小值为32PO PQ +故选：A.二、多选题9．记是数列的前n 项和，且，则下列说法正确的有（ ） n S {}n a 112n a n =-A ．数列是等差数列 B ．数列是递减数列 {}n a {}n S C ． D ．当 时，取得最大值46S S =5n =n S 【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A ；求出可判断B 、C ；根据的表达式结合二次函数的46,S S n S 性质可判断D.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A 正确；1112(1)(112)2n n a a n n +-=-+--=-{}n a ， 21()(9112)1022n n n a a n n S n n ++-===-+∵，从而，可知数列不是递减数列，故B 错误，C 正确；4624,24S S ==46S S ={}n S ∵，，∴当 时，取得最大值，故D 正确.2210(5)25n S n n n =-+=--+*N n ∈5n =n S 故选：ACD.10．已知点P 为圆上的动点，直线l 过点，过l 上一点Q 作圆O 的229O x y +=：(6,0),(0,6)A B --切线QC ，QD ，切点分别为C ，D ，则下列说法正确的有( )A ．当∠PAB 最大时，PA =B ．点P 到l 的距离的最大值为 3C ．四边形CQDO 的面积的最小值为9D ．四边形CQDO 的面积最小时，直线OQ 的方程为 220x y -+=【答案】BC【分析】选项A ，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大；选项B ，点P 到l 最大距离为圆心到直线l O O 的距离加上半径；选项C ，D ，当时，四边形CQDO 的面积最小.OQ AB ⊥【详解】对于A ，如图1，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大，设圆半径为，229O x y +=：O r,，A 错误；OP PA ⊥6OA =3OP r ==对于B ，由已知直线l 的方程为，当点P 到l 的距离最大时，最大距离为圆心到直线60x y ++=Ol 的距离加上半径，即为，故B 正确； 33d r +==对于C ，如图2，QC ，QD 是圆O 的切线，则，， OC CQ ⊥OD DQ ⊥四边形CQDO 的面积， 1232S OC CQ OC CQ CQ =⨯==四边形CQDO 的面积最小时，即为取最小，又，即， CQ 222OC CQ OQ +=229CQ OQ =-所以当最小时，取最小，即当时， OQ CQ OQ AB ⊥OQ d ==则，四边形CQDO 的面积的最小值为9，故C 正确；3CQ =对于D ，四边形CQDO 的面积最小时，，直线OQ 的斜率为，方程为，故OQ AB ⊥1k =0x y -=D 错误；故答案为：BC.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过下顶点A 和右焦点的直线与E 交于2212x E y +=：1F 2F 2F 另一点B ，与y 轴交于点P ，则（ ） 1BFA ．B ． 12AF AF ⊥2BF =C ．△D ．1ABF 1430F P PB -= 【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出焦点及下顶点坐标，画出图形，再逐项分析计算、判断作答.【详解】依题意，椭圆的焦点，下顶点，如图，22:12+=x E y 12(1,0),(1,0)F F -(0,1)A -对于A ，，因此，A 正确；12||||||OF OF OA ==12AF AF ⊥对于B ，直线，由消去y 得：，则点， 2:1AF y x =-22122y x x y =-⎧⎨+=⎩2340x x -=41(,)33B于是，B 正确；2||BF ==对于C ，的周长为，， 1ABF A r ()1121141233ABF S F F =⋅--=A因此，解得C 错误；1423⨯=r =对于D ，，设点，则，而，即有，41(,)33B 0(0,)P y 10041(1,),(,)33F P y PB y ==- 1//F P PB 143F P PB = 因此，D 正确. 1430F P PB -=故选：ABD12．正方体的棱长为2，H 为线段AB 中点，P 在正方体的内部及其表面运动，若1111ABCD A B C D -，则（ ）1HP DB ⊥A ．三棱锥的体积为定值 11P A BC -B ．若P DP =C ．正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等D ．正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角不都相等 【答案】ABC【分析】根据给定条件，作出点P 的轨迹所在平面截正方体所得截面，再逐项分析、计算判断作答.【详解】点O 为正方体的中心，连接，过AB 的中点H 作交BC 1111ABCD A B C D -,BD AC //HI AC 于I ，则I 为的中点，如图，BC平面，平面，有，而，1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥1,BD AC BD BB B ⊥= 平面，则平面，又平面，即有，1,BD BB ⊂1BB D AC ⊥1BB D 1DB ⊂1BB D 1AC DB ⊥连接，同理，而平面，则1111,,A B BC A C 1111,A B DB BC DB ⊥⊥1111,,A B BC B A B BC =⊂ 11A BC 1DB ⊥平面，11A BC 令点P 的轨迹所在平面与正方体的棱所在直线交于点， 1111ABCD A B C D -,,,,,H I J K L M 平面平面，平面平面，而平面平面HIJKLM ABCD HI =HIJKLM 1111A B C D KL =//ABCD ，1111D C B A 于是，同理，依题意，平面，因此平面平面//KL HI //,//IJ LM HM JK 1DB ⊥HIJKLM 11//A BC ，HIJKLM 平面平面，平面平面，于是， 11A BC ⋂111BCC B BC =HIJKLM 11BCC B IJ =1//IJ BC 又为棱中点，则为棱中点，同理点分别为棱中点， I BC J 1CC ,,K L M 11111,,C D A D AA 因此点P 的轨迹为正六边形及内部，HIJKLM 对于A ，因为平面平面，则点P 到平面的距离为定值，又的面积为11//A BC HIJKLM 11A BC 11A BC V 定值，于是三棱锥的体积为定值，A 正确； 11P A BC -对于B ，P 在以点D 为半径的球面上，而点D 到正六边形DP =HIJKLM 则点P 的轨迹是该球截正六边形所得截面小圆，而点D 到平面距离HIJKLM HIJKLM112DO DB ==因此这个截面小圆半径，B 正确； r ===对于C ，由于平面平面，则正方体的每个面与平面所成角等于正方体该11//A BC HIJKLM HIJKLM 面与平面所成角，11A BC 又三棱锥是正三棱锥，即正方体的侧面，侧面，上底面与平面111B A BC -11ABB A 11BCC B 1111D C B A 所成角都相等，11A BC 又正方体的相对面平行，所以正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等，C 正确； 对于D ，正三棱锥的侧棱与平面所成角都相等， 111B A BC -11111,,A B B C BB 11A BC 即正三棱锥的侧棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，111B A BC -11111,,A B B C BB而，，， 1111/////AB CD C D A B 1111//////BC AD A D B C 1111//////AA DD CC BB 所以正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，D 错误. 故选：ABC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．已知空间向量，若，则x =___________. (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥【答案】1【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】空间向量，由，得，解得， (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥ 340a b x x ⋅=-+=1x =所以. 1x =故答案为：114．若圆M 的圆心在直线上，且与两坐标轴都相切，则圆M 的标准方程可以为___________.y x =（写出满足条件的一个答案即可）【答案】（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=【分析】由题意可设圆心为，与两坐标轴都相切可得出半径为， (,)a a ||a 列出圆的标准方程，取一个特殊值即可得出结果.【详解】因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为， M y x =(,)a a 又因为与两坐标轴都相切，所以圆的半径为，即圆的标准方程为||a ，取，得， 222()()x a y a a -+-=1a =22(1)(1)1x y -+-=故答案为：（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=15．已知P 是圆上任一点，，线段PA 的垂直平分线l 和半径CP 交于点()22:116C x y -+=(1,0)A -Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为___________.【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q 满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.【详解】圆的圆心，半径，点Q 在线段PA 的中垂线l 上，如图，22:(1)16C x y -+=(1,0)C 4r=有，则，||||QP QA =||||||||4||QA QC QP QC r AC +=+==>因此点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，24a=b ==所以点Q 的轨迹方程为.22143x y +=故答案为：22143x y +=16．对于数列，记：…，（其中），并称{}n a ()()()()()()()1212311112n n n nn n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，()()()111k k n n k n-+-∆∆=∆*n ∈N 数列为数列的k 阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k 阶等(){}k n ∆{}n a (){}kn ∆{}n a 比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则{}n a 20123220482a a a ===，，n m n a a -=m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算，进而求出数列的公比及通项，再借助累乘法求出数(1)(1)12,∆∆(1){}n ∆列的通项即可推理计算作答.{}n a 【详解】由数列是2阶等比数列，得，即， {}n a (2)(0)nq q ∆=≠(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆且，即数列是首项为，公比为的等比数列， (1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆(1){}n ∆10212则有，即，当时， (1)10111112()()22n n n --∆=⨯=1111(2n n n a a -+=2n ≥，22320109121(10)(9)(12)3221121111112(((()()22222nn n n n n n a a a a a a a a -+----+-+-++--=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯== 而满足上式，因此，12a =22320212n n n a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭由得：，即，n m n a a -=222320()23()202211()()22n n m n m n -+---+=222320()23()20n n m n m n -+=---+整理得，又为小于的任意正整数，所以. (2)23(2)m n m n m -=-n m 23m =故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.四、解答题17．已知抛物线经过点（），焦点为F ，且. 2:2(0)C y px p =>()2,A t 0t >52AF =(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点A 且斜率为2的直线交C 于另一点B ，求|AB |. 【答案】(1) 22y x =【分析】（1）由抛物线定义得，解得，得到抛物线方程．5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =（2）求得，得到直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求解. ()2,2A AB 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线为， 2:2(0)C y px p =>F 2p x =-点是抛物线上一点，且， ()2,A t C 52AF =所以由抛物线定义得，解得，5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =因此抛物线的方程为．C 22y x =（2）点在抛物线上，则，又，可得，． ()2,A t 222t =⨯0t >2t =()2,2A 直线的方程：，即，AB 22(2)y x -=-22y x =-联立方程，整理得：，2222y x y x=-⎧⎨=⎩22520x x -+=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 12125,12x x x x +==AB ∴==18．设等差数列的前n 项和为，已知 {}n a n S 452439.a S a ==+，(1)求数列{}的通项公式；n a (2)若，求数列{}的前n 项和.2n an n b a =+n b n T 【答案】(1)；n a n =(2).21112222n n T n n +=+-+【分析】（1）设出等差数列的公差，利用给定条件列出方程组，解方程组作答. {}n a （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差等比数列前n 项和公式求解作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，解得，{}n a d 111345103()9a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列{}的通项公式是.n a 1(1)n a a n d n =+-=（2）由（1）知，，2nn b n =+所以. 2321(1)2(12)11(123)(2222)2221222n n n n n n T n n n ++-=+++++++++=+=+-+- 19．四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，.P ABCD -60BAD ∠= BDP CDP ∠∠=(1)求证：：DP BC ⊥(2)若，平面PBC ⊥平面ABCD ，且，求平面与平面PBC 的夹角大小. 2AB =PB PC ⊥PAD 【答案】(1)证明见解析； (2). π3【分析】（1）根据给定条件，利用三角形全等证明，再取中点，借助线面垂直的判定PB PC =BC 性质推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角大小作答.【详解】（1）四边形为菱形，，则为正三角形，即， ABCD 60BAD ∠= BDC A BD CD =在与中，，而为公共边，则≌， PDB △PDC △BDP CDP ∠=∠PD PDB △PDC △有，取的中点O ，如图，连接，则有，PB PC =BC ,PO DO ,PO BC DO BC ⊥⊥而平面，则平面，又平面， ,,PO DO O PO DO =⊂POD BC ⊥POD DP ⊂POD 所以.DP BC ⊥（2）由（1）知，，因为平面平面，平面平面,OD BC OP BC ⊥⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂，ABCD BC =平面，于是平面，又平面，则，OP ⊂PBC OP ⊥ABCD OD ⊂ABCD OP OD ⊥以O 为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， ,,OD OB OP ,,x y z 因为，，则由（1）得，，PB PC ⊥2BC AB ==1OP=(0,0,1),2,0)D P A ，令平面的一个法向量，(0,2,0),1)DA PD ==- PAD (,,)n x y z =则，令，得，200n DA y n PD z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1x=n = 显然平面的一个法向量为，设平面与平面PBC 的夹角为PBC OD =PAD θ因此，则，||1cos |cos ,|2||||n OD n OD n OD θ⋅=〈〉===π3θ=所以平面与平面PBC 的夹角大小为. PAD π320．设为数列的前项和，，，，令. n S {}n a n 123n n n a a S +=-11a =0n a ≠21n n b a -=(1)求，，及数列的通项公式；2b 3b {}n b (2)令，求数列的前项和.2n bn n c b =⋅{}n C n n T 【答案】(1)，， 23b =35b =21n b n =-(2)()21106529n n n T ++-⋅=【分析】（1）利用和的关系，可得，进而求解；n a n S ()1122n n a a n +--=≥（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 123n n n a a S +=-所以时，，2n ≥1123n n n a a S --=-两式相减，可得， ()11123232n n n n n n n a a a a S S a +----=--=由，所以， 0n a ≠112n n a a +--=当时，，即，1n =21123a a a =-21a =-所以当为奇数时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， n {}n a 当为偶数时，数列是以为首项，2为公差的等差数列. n {}n a 1-所以，， 23123b a a ==+=351225b a a ==+⨯=.()2111221n n b a a n n -==+-⨯=-（2）由，()212122n b n n n n c b --⋅==⋅所以，()13521123123252212n n n T c c c c n -=++++=⨯+⨯+⨯+-⋅ 则，()2357212123252212n n T n +⋅=⨯+⨯+⨯+-⋅两式相减可得，，()()352121322222212n n n T n -+-=+⋅+++--⋅ 即， ()()21321221232221212n n n T n -+⎡⎤⋅-⎣⎦-=+⋅--⋅-即， 2110532233n n T n +⎛⎫-=-+-⋅ ⎪⎝⎭即.()21106529n n n T ++-⋅=21．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B 为底面圆周上异于12O O 11A ACC 111224AC AA A C ===A ，C 的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；1BCC 1C 1A AB(2)设平面∩平面，与平面QAC 所成角为，当四棱锥的体积1A AB 1C CB l Q l =∈，1BC α11B A ACC -最大时，求的取值范围. sin α【答案】(1)作图及理由见解析；(2).【分析】（1）取中点P ，作直线，再利用线面平行的判定推理作答.BC 1C P （2）延长交于点O ，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B 的位置，然后建立空间11,AA CC BO 直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答. 【详解】（1）取中点P ，作直线，则直线即为所求， BC 1C P 1C P 取中点H ，连接，则有，如图， AB 1,A H PH 1//,2PH AC PH AC =在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形， 11A ACC 1112AC AC =1111//,HP A C HP A C =11A C PH 即有，又平面，平面， 11//C P A H 1A H ⊂1A AB 1C P ⊄1A AB 所以平面.1//C P 1A AB （2）延长交于点O ，作直线，则直线即为直线，如图，11,AA CC BO BO l过点B 作于，因为平面平面，平面平面，BO AC '⊥O '11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =BO '⊂平面，ABC 因此平面，即为四棱锥的高，在中，，BO '⊥11A ACC BO '11B A ACC -Rt ABC △90ABC ∠= ，当且仅当时取等号，此时点与重合，22122BA BC BA BC BO AC AC AC ⋅+'=≤=BA BC =O '2O 梯形的面积为定值，四棱锥的体积，11A ACC S 11B A ACC -1113B A ACC V S BO -'=⋅于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，， BO 'O '2O 11B A ACC -22,2BO AC BO ⊥=以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 2O 2221,,O A O B O O ,,x y z 在等腰梯形中，，此梯形的高11A ACC 111224AC AA A C ===h ==显然为的中位线，则，11A C OACA 1(0,0,(2,0,0),(0,2,0),(O ABC -， 12(1,(2,2,0),(0,2,(2,0,0)BC AB BO O A =--=-=-=设，则,R BQ BO λλ=∈ (2,22,)AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=--设平面的一个法向量，则，令，得QAC (,,)n x y z = 2202(22)0n O A x n AQ xy z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩y =，,1)n λ=-则有111||sin |cos ,|||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉===，令，则时，，1t λ=+sin α=0=t sin 0α=当时，，即时取0t≠0sin α<==≤75t =2=5λ等号，综上得， 0sin α≤≤所以的取值范围是. sin α【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.22．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C ：的阿22(0)y px p =>基米德三角形为例，经探究发现：若AB 为过焦点的弦，则：①点P 在定直线上；②PAB ；③.已知△PAB 为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB 过PF AB ⊥PA PB ⊥220x y λλΓ-=>：（）Γ的右焦点F .(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）(2)若，弦AB 的中点为Q ，，求点P 的坐标.2λ=3AB FP FQ =（注：双曲线的以为切点的切线方程为 22221x y a b -=00(,)x y 0022 1.x x y y a b -=）【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. (1,(1,【分析】（1）选①②③，设出点A ，B ，P 的坐标，借助切线方程求出直线AB 的方程，代入焦点坐标，求出点P 的横坐标，再利用斜率计算判断作答.（2）设出直线AB 的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答.【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 112200(,),(,),(,)A x y B x y P x yΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y y λ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =所以点P 在定直线P 在定直线上成立. x =选②，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，显然有，00y =P PF AB ⊥当时，直线AB 的斜率PF 的斜率00y ≠00AB x k y ==PF k ==则有，即， 1AB PF k k ⋅=-PF AB ⊥所以成立.PFAB ⊥选③，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A xy B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，直线00y =P :AB x =由得， 22x x yλ⎧⎪⎨-=⎪⎩||y =A B直线PA 的斜率PB 的斜率PA k ==PB k ==有，显然不垂直于， 2PA PB k k ⋅=-PA PB 所以不成立.PA PB ⊥（2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB 的方程为：2λ=22:2x y Γ-=()2,0F 0(1,)P y ，02x y y -=由消去x 整理得：，显然， 02222x y y x y -=⎧⎨-=⎩2200(1)420y y y y -++=20201Δ8(1)0y y ⎧≠⎨=+>⎩，弦AB 的中点Q 的纵坐标为， 0121222042,11y y y y y y y -+==--01220221y y y y -+=-，||AB =，而，12||||2y y FQ +=||FP =3AB FP FQ =，解得=200)3||y y +=0y =0y =所以点P 的坐标是，. (1,(1,【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点间的距离； 1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB x x =-直线l ：x =my +t 上两点间的距离.1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB y y =-。
福建省泉州七中高二上学期期末考试(化学).doc
泉州七中09--1度上学期高二年期末考试化学试卷考试时间:90分钟满分:100分命卷：陈昊萍较对：许玲玲第Ⅰ卷(共45分)一、选择题（本题共有15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题意。
）1．降解塑料在乳酸菌作用下迅速分解为无毒物质．下列有关降解塑料叙述不正确的是（） A．降解塑料是一种高分子化合物 B．其分子量为72nC．经加成聚合反应生成 D．其单体是2．下列物质在一定条件下能被氧化生成醛的是（）3．下列除去杂质或鉴别物质的方法中，不正确的是（）A. 苯和甲苯：可用浓溴水鉴别B. 乙酸乙酯混有少量乙酸：用饱和碳酸钠溶液洗涤后分液C. 苯中混有少量苯酚：加入氢氧化钠溶液后分液D. 乙醇中混有少量水：加入CaO，然后蒸馏4．有机物A的结构简式如右所示，则A可能发生的反应类型有( )①取代②加成③消去④水解⑤酯化⑥中和⑦氧化⑧加聚A．①②③④⑥ B．②③④⑤⑧ C．③④⑤⑥⑦ D．①②③⑤⑥⑦5．在乙酸乙酯、乙醇、乙酸水溶液共存的化学平衡体系中加入重水(D2O)，经过足够长的时间后，可以发现，除水外体系中含重氢(D)的化合物是（）A．只有乙醇 B．只有乙酸 C．只有乙酸乙酯、乙醇 D．乙醇、乙酸6．有机物分子中的原子(团)之间会相互影响，导致相同的原子(团)表现不同的性质。
下列各项的事实不能．．说明上述观点的是（）A．甲苯能使酸性高锰酸钾溶液褪色，而苯不能使酸性高锰酸钾溶液褪色B．乙烯能与溴水发生加成反应，而乙烷不能发生加成反应C．苯酚与溴水可直接反应，而苯与液溴反应则需要催化剂D．苯酚可以与NaOH溶液反应，而乙醇通常不能与NaOH溶液反应7．下列液体中，滴入水中会出现分层现象，但在滴入热的氢氧化钠溶液中时分层现象会逐渐消失的是（不考虑有机物的挥发）（ ）A ．乙酸乙酯B ．乙醛C ．乙醇D ．苯乙烯8．某有机物的分子结构如右所示： CH 3—C ≡C —CH=CH—C(CH 3)3 ，该分子中最多可以有多少个碳原子共平面（ ）A 、 9B 、11C 、13D 、159．有机物A 的结构简式如下, 下列有关A 的性质叙述中，错误的是．．．．（． ）．A ．A 与金属钠完全反应时，两者物质的量之比为1∶3B ．A 与氢氧化钠完全反应时，两者物质的量之比为1∶1C ．A 能与碳酸钠溶液反应D ．A 既能与羧酸反应，又能与醇反应 10．当一个碳原子连有4个不同的原子或原子团时，这种碳原子被称为“手性碳原子”，凡具有一个手性碳原子的化合物一定具有光学活性。
泉州市第一中学2013-2014学年高二下学期期末考试(理)数学试题及答案
时间120分钟 满分150分参考公式:（1）回归直线：ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()ˆˆ()nni iii i i n ni ii i x ynx yxx y y b ay bx x nx xx ====---==---∑∑∑∑ =， （2）卡方统计量：,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量。
（3）独立性检验临界值表小题5分，满分50分.请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1．若222C A 42n =，则3n C 的值为（ C ）A.6B.7C.35D.20 2．设实b a ,满足0<ab ，则下列不等式成立的是（ B ）A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．||||a b a b -<-D ．b a b a +<- 3．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( A )。
A 、4B 、5C 、6D 、74. 测得四组),(y x 的值)2,1()3,2()4,3()5,4(则y 与x 之间的回归直线方程为（ A ）A.1+=x yB.2+=x yC. 12+=x yD. 1-=x y 5．⎪⎪⎭⎫⎝⎛4231⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4011结果是( ) A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--182131 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-218213 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-132182 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213218 6．设随机变量~(0,1N ξ，记)()(x P x <=Φξ，则(11)P ξ-<<等于（ C ）A ．(1)(1)2Φ+Φ- B ．2(1)1Φ-- C ．2(1)1Φ- D ．(1)(1)Φ+Φ-7．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ D ） A.0.85 B.0.8192 C.0.8 D.0.758. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ D ） A.148B.124C.112D.169．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级:“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于乙，且至少有一门成绩高于乙，则称“甲比乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生.那么这组学生最多有（ B ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 10. 以下四个命题，正确的是（ B ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测 ，这样的抽样是分层抽样。
福建省泉州市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题
D．向量
0,
2
5 5
,
5 5
是与
uuur BC
平行的一个单位向量
11．已知 Sn ,Tn 分别是数列an,bn的前 n 项和，
1 a1 2, Sn1 an (n 2),bn log2 an1 log2 an2 ，则（ ）
A． an 2n1
B． S2 4
C． bn
2 2n 1
D． T10
(1)求 a1, a2 ；
(2)求数列an的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积 2 倍的图形．
22．已知椭圆 C : x2 y2 1与 x 轴交于 A, B 两点，点 M 为椭圆上不同于 A, B 的点. 4
(1)若直线 MA, MB 的斜率分别为 k1, k2 ，求 k1 k2 的最小值； (2)已知直线 l : x t( t 2) ，直线 MA, MB 分别交 l 于 P、Q 两点， N 为 PQ 中点．试判断 直线 MN 与 C 的位置关系．
(1)求 C 的方程；
(2)若过点
H
(2, 0)
的直线
l
交
C
于
A,
B
两点，且
uuur AH
uuur 2HB
，求
VOAB
的面积．
20．三棱台 ABC DEF 中， AB 2DE ．
uuur uuur (1)若 AE 与 BD 交于点 M , BN 2NF ，求证： MN / / 平面 ABC ； (2)若平面 ABED 平面 ABC, AD AB, AB 2, BC 2 5, AC 4 2,CF 与底面 ABC 所 成角的正切值为 2 ，求平面 AEF 与平面 BCFE 夹角的余弦值．
B． 3
C． 3 3
2023-2024学年度上学期福建省泉州市州市高中教学质量监测高二数学试卷解析版
高二数学试题第1页（共29页）2023-2024学年度上学期泉州市高中教学质量监测2024.01高二数学本试卷共22题，满分150分，共8页。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线1l 的倾斜角为60︒，若直线2l 与1l 垂直，则2l 的斜率为考查运算求解等能力；考查化归转化、数形结合等思想；体现基础性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注.【试题解析】直线1l 的倾斜角为60，斜率1tan 60l k == 因为21l l ⊥，所以121l l k k ⋅=-，即2l k =，故选C.理论证等能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．保密★启用前高二数学试题第2页（共29页）所以数列{}n a 是以3为周期的数列，522a a ==.故选A ．3．椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为24cm 的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为A ．24cmB ．48cmC ．72cmD ．96cm【命题意图】本小题主要考查椭圆的定义等基础知识；考查推理论证能力和数学应用意识；考查化归与转化，数形结合思想；体现基础性和应用性，导向对直观想象，数学建模等核心素养的关注。
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2013－2014泉州七中高二上学期末试卷(理)
一、选择题
1、已知向量(3,5,1)a =- ，(2,2,3)b = ，(1,1,2)c =-
，则向量4a b c -+ 的坐标为( )
A 、(5,1,4)-
B 、(5,1,4)-
C 、(5,1,4)--
D 、(5,1,4)--
2、如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =
，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN
＝( )
A 、121232a b c -+
B 、112223b c a +-
C 、111222a b c +- C 、221332
a b c +-
3、若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n
，则可能使l ∥α的是( )
A 、(1,0,0),(2,0,0)b n ==-
B 、(1,3,5),(1,0,1)b n ==
C 、(0,2,1),(1,0,1)b n ==--
D 、(1,1,3),(0,3,1)b n =-=
4、若抛物线2
y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重点，则p 的值为( ) A 、8 B 、2 C 、4- D 、4
5、双曲线
22
154
x y -=的顶点和焦点到其渐近线距离的比是( ) A 、
35 B 、53 C
、3 D
、5
6、过点(0,1)作直线，使它与抛物线2
4y x =仅有一个公共点，这样的直线有( ) A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条
7、函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(,)a b 内有极小值的个数为( ) A 、4 B 、3 C 、2 D 、1
A O
C
B N
M
8、已知F 1,F 2分别为椭圆C ：22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直
线交椭圆C 于A 、B 两点，若2ABF ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率e 为( )
A 1
B 1
C 、
2 D 、3
9、设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()
()'(f x g x f x g x +>，且(3)0g -=,则不等式()()0f x g x <的解集是( )
A 、(3,0)(3,)-+∞
B 、(3,0)(0,3)-
C 、(3)(3,)-∞-+∞
D 、(3)(3,)-∞-+∞ 10、设正文体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )
A 、
3 B 、2 C 、3 D 、3
11、已知和式2222
3
123,n S n
++++= 当n 趋向于∞时，S 无限趋向于一个常数A ，则A 可用定积分表示为( )
A 、
1
01dx x ⎰ B 、12
x dx ⎰ C 、1201()dx x ⎰ D 、120()x dx n ⎰ 12、如果函数32
1()3
f x x a x =-满足：对于任意的12,[0,1]x x ∈，都有12()()1f x f x -≤恒成
立，则a 的取值范围是( )
A 、(
B 、[
C 、[(0,33-
D 、((0,33
- 二、填空题：
13、若抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离为3,若点P 到抛物线的焦点F 的距离为
14、在平面直角坐标系xoy 中，已知A 、B 分别是双曲线2
2
13
y x -=左、右焦点，ABC ∆的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin B A
C
-的值是
15、已知点G 是ABC ∆重心，O 是空间任一点，若OA OB OC OG λ++=
，则λ的值为
16、已知函数()f x 及其导数'()f x ，若存在0x ，使得00()'()f x f x =，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数个数是 (只填数字) ①2(),f x x =②(),x f x e -=③()ln ,f x x =④1()f x x x
=+ 三、解答题
17、已知函数3()3f x x x =-， (1)求函数在[1,1]-上的最值；
(2)求曲线()y f x =在点(1,2)-处的切线方程l ； (3)求由切线l ,曲线3()3f x x x =-，1x =，围成的面积
18、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2,E ，F 分别是BB 1,CD 的中点，(如图建立空间
直角坐标系)
(1)求证：1D F ⊥平面ADE ； (2)求异面直线EF 和CB 1所成的角
19、已知直线l 经过抛物线2
4x y =的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，点O 为坐标原点
(1)证明：3OA OB ⋅=-
(2)若AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程
x
20、已知如图(1),梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2
ABC BAD π
∠=∠=
，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E 、F
分别是AB 、CD 上的动点，且EF ∥BC ，设AE ＝x (02x <<)，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使使平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图(2)． (1)求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；
(2)若以B 、C 、D 、F 为顶点的三棱锥的体积记为f (x )，求f (x )的最大值； (3)当f (x )取得最大值时，求二面角D ﹣BF ﹣C 的余弦值．
21、如图，在x 轴上方有一段曲线弧C ，其端点A 、B 在x 轴上(但不属于C )，对C 上任一点P
及点F 1(－1，0)
，F 2(1，0)，满足：|PF 1|＋|PF 2|于R ，T 两点．
(Ⅰ)求曲线弧C 的方程； (Ⅱ)求|RT |的最小值(用a 表示)．
22、设函数
2()ln(1),f x x b x =++其中b ≠0
(1)若12b =-，求()f x 在[1,3]的极小值；
(2)如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；
(3)证明不等式：32
ln(1)(0)x x x x ≥-+≥
A B C D E
F A B
C D
E F。