高中数学分章节训练试题：32双曲线经典练习题

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高二数学双曲线试题(有答案)

高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线()2210x y mn m n -=≠的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625x y +=的焦点重合，那么m 的值为〔〕 A ． B ．C ．D ．【答案】A2．以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为〔〕 A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 【答案】A3．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，那么12PF F ∆的面积等于〔〕〔A 〕45〔B 〕315〔C 〕53 〔D 〕210【答案】B4.双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F 1〔﹣，0〕，F 2〔，0〕，点P 是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是〔〕A ．B ．C ．D ．解：设双曲线的方程为：﹣=1， ∵两焦点F 1〔﹣，0〕，F 2〔，0〕，且•=0，∴⊥，∴△F 1PF 2为直角三角形，∠P 为直角； ∴+===28；①又点P 是此双曲线上的一点，∴||PF1|﹣|PF2||=2a，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，应选C．5.双曲线E的中心为原点，P〔3，0〕是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N〔﹣12，﹣15〕，那么E的方程式为〔〕A．B．C．D．解：由条件易得直线l的斜率为k=k FN=1，设双曲线方程为，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，应选B．6.椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是〔〕A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x应选D7.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，那么此双曲线的方程为〔〕A．﹣y2=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1应选A．8.抛物线y 2=8x 的准线与双曲线相交于A ，B 两点，点F 是抛物线的焦点，假设双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB 是直角三角形，那么双曲线的标准方程是〔〕 A ．B ．C ．D ．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得 y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴那么不妨设A 〔﹣2，〕，F 〔2，0〕∵△FAB 是等腰直角三角形， ∴=4，解得：a=，b=4∴c 2=a 2+b 2=2+16=20，∴双曲线的标准方程是应选C9..椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，那么椭圆C 的方程为〔A 〕22182x y += 〔B 〕221126x y += 〔C 〕221164x y += 〔D 〕221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a a c -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，那么第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 10.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，那么双曲线离心率为〔〕 A ．B ．C ．D ．解：设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中2a=|AF 1|﹣|AF 2|=2，，∴离心率，应选B ．11.设双曲线的﹣个焦点为F ；虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为〔〕 A ． B ． C ． D ．解：设双曲线方程为，那么F 〔c ，0〕，B 〔0，b 〕直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或〔舍去〕12．双曲线221124x y -=的右焦点为F ，假设过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此直线斜率的取值围是( C )A.33()B.(3,3)-C.33[D.[3,3]-【答案】C13.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=〔a,b ＞0〕的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，假设|MF 2|=|F 1F 2|,那么C 的离心率是A.233 B 。

高二数学双曲线练习题及答案

高二数学双曲线练习题及答案下面是一份高二数学双曲线练习题及答案的文章，请你仔细阅读：高二数学双曲线练习题及答案双曲线是数学中重要的曲线之一，在高二数学学习中也占有重要地位。

为了帮助同学们更好地掌握双曲线知识，我们提供一些练习题以及答案，供同学们进行巩固和练习。

题目一：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点F在y轴上，顶点坐标为(0, a)，离心率为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，求双曲线C的方程。

答案一：由双曲线的性质可知，焦点到顶点的距离与焦点到曲线上一点的距离之比等于离心率。

设F的坐标为（0, c），则离心率为：$\frac{CF}{Ca}=\frac{1}{\sqrt{2}}$由焦点的坐标可得c=a(1/√2)由离心率的定义可得：$\sqrt{a^2-c^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$解得a^2=4c^2。

将焦点的坐标带入，得到方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4c^2}=1$题目二：已知双曲线C的一支渐近线方程为y=3x-2，焦点的坐标为（1,0），求双曲线C的方程。

答案二：由双曲线的性质可得，双曲线的渐近线的斜率为圆心到焦点连线的斜率。

设焦点坐标为(F, 0)，则斜率为：k = tan⁡α，其中α为双曲线的倾斜角又由渐近线y=3x-2可得，圆心到焦点连线的斜率为3因此，k=3=tan⁡α，则α为60度，倾斜角为60度。

由焦点坐标可知，焦点在(x1, y1)上，即（1,0）由双曲线的方程性质可得，双曲线的公式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$根据双曲线标准方程，我们可以将双曲线方程改写为：$\frac{(y-y1)^2}{a^2}-\frac{(x-x1)^2}{b^2}=1$代入焦点坐标（1,0）得到：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}=1$将双曲线的倾斜角代入，可得：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}-\frac{(y-x)^2}{a^2}=1$化简得：$\frac{2x^2+2xy+2x+2y^2-4y}{a^2}=0$这样得到了双曲线C的方程。

双曲线练习题(含答案)

双曲线及其标准方程习题一、单选题(每道小题 4分共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于．．．．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是．．．．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的．既非充分又非必要条件．充要条件．必要而非充分条件．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是．．．．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为．．．．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是．．．．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是．．．．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是．或．或．或．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　．．．．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是．．．．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、填空题(每道小题 4分共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。

双曲线训练题(二)(含答案)

双曲线训练题（二）一、选择题： 1．设P 是双曲线22219x ya-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF =（） A ．1或5B ．6C ．7D ．92．焦点为(06)，，且与双曲线2212xy -=有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．2211224xy-= B ．2211224yx-=C ．2212412yx-= D ．2212412xy-=3．过双曲线221169xy-=左焦点1F 的弦A B 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）周长为（） A ．28B ．22C ．14D ．124．已知m n ，为两个不相等的非零实数，则方程0m x y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是（）5．已知双曲线方程为2214yx -=，过点(10)P ，的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．已知双曲线22221x y ab-=(00)a b >>，的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（） A ．43B ．53C ．2D ．73二、填空题：7．直线1y x =+与双曲线22123xy-=相交于A B ，两点，则AB =8．已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是9．双曲线22221(00)x y a b ab-=>>，一条渐近线的倾斜角为π(0)2αα<<，则其离心率为10．直线y x b =+与双曲线2222x y -=相交于A B ，两点，若以A B 为直径的圆过原点，则b =11．若直线y x m =+与曲线y =m 的取值范围为12．双曲线221169xy-=上有点12P F F ，，是双曲线的焦点，且12π3F P F ∠=，则12F PF △的面积是三、解答题：13．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程．14．求过点(3-，，离心率为2e =的双曲线的标准方程．15．已知双曲线2222:1(00)x y C a b ab-=>>，，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴的正半轴上，且满足O A ，O B ，O F成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ．（1）求证：PA OP PA FP =；（2）若直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．双曲线训练题（二）参考答案CBACBB sec α 2± (](]202-- ∞，，13.解：221x y -= ，c ∴=．设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=（常数0a >），所以点P 是以12F F ，为焦点，2a为长轴的椭圆，22a c >=a ∴>由余弦定理，有2221212cos 2m n F F F PF m n+-∠=2212()22m n m n F F m n+--=2241a m n-=-．222m n m n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴当且仅当m n =时，mn 取得最大值2a ．此时12cos F PF ∠取得最小值22241a a--，由题意2224113a a--=-，解得23a =，222321b a c ∴=-=-=．P ∴点的轨迹方程为2213xy +=．14．解：（1）若焦点在x 轴上，设方程为22221x y ab-=，则22921ab-=，又2c e a====，得224a b =．由①、②，得21a =，214b =，得方程为2241x y -=．（2）若焦点在y 轴上，同理可得2172b =-不合题意．故所求双曲线标准方程为2241x y -=．15．（1）证明：直线l 为()ay x c b =--， ①在第一、三象限的渐近线by x a =， ②解①、②得垂足2a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，．因为O A ，O B ，O F成等比数列，所以可得点20a A c ⎛⎫⎪⎝⎭，．所以0ab P A c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，2a ab O P c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2b ab F P c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，．所以222a b PA O P c = ，222a bPA FP c=- ．因此PA OP PA FP =；（2）解：由222222()a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩，，得4442222222220a a a c b x cx a b b b b ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，所以42222124220a c a b b x x a b b⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=<-，所以4220a b b->，即44b a >，22b a >，222c a a ->，222c a >，22e >，因此e >。

高中数学双曲线练习题(含答案)

双曲线检测试题一．选择题1．设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于A.1或5B.6C.7D.92． “ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3．双曲线42x －92y =1的渐近线方程是A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x4．过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =1 5．如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是A.10B.7732 C.27 D.532 二．填空题6．给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________________.7．过点A （0，2）可以作____________条直线与双曲线x 2－42y ＝1有且只有一个公共点. 8．已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.9．求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.三．解答题10．根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.11．设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.12．如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列.（1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.13．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.14．已知双曲线x 2－22y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点.（1）求直线AB 的方程；（2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦.15．双曲线kx 2－y 2＝1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为l ，l 与右准线交于A ，F A 与左准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 的中点，求双曲线方程.16．已知l 1、l 2是过点P （－2，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2＝1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.（1）求l 1的斜率k 1的取值范围；（2）若｜A 1B 1｜＝5｜A 2B 2｜，求l 1、l 2的方程.17．在双曲线162x －92y ＝1上求一点M ，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M 点到两准线的距离．18．已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C ′：22a x －22by =1写出具有类似特性的性质，并加以证明.19．已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?20．设双曲线的中心在原点，准线平行于x 轴，离心率为25，且点P （0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.双曲线必做习题参考答案：一．选择题1．C 2． C 3．A 4．A 5．D 二．填空题6．|PF 2|=17 7．4 8．316 9． 92x －162y =1（x ＞0）三．解答题10．解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，a b =34， 22)3(a -－22)32(b =1，解得a 2=49，b 2=4. 所以双曲线的方程为492x －42y =1.（2）设双曲线方程为22a x －22b y =1. 由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y ＝41.（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.11．解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y =±2x （x ≠0）. ①因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM |－|PN ||<|MN |=2. ∵||PM |－|PN ||=2|m |>0，∴0<|m |<1.因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上.故22mx －221m y -=1.②由题意，得将①代入②，并解得x 2=22251)1(m m m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0.解得0<|m |<55，即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）.12．（1）解：c =1312+=5，故F 为双曲线的焦点，设准线为l ，离心率为e ，由题设有2|FB |=|F A |+|FC |.①分别过A 、B 、C 作x 轴的垂线AA 2、BB 2、CC 2，交l 于A 1、B 1、C 1，则由双曲线第二定义有|FB |=e |BB 1|，|F A |=e |AA 1|，|FC |=e |CC 1|，代入①式，得2e |BB 1|=e |AA 1|+e |CC 1|，即2|BB 1|=|AA 1|+|CC 1|.于是两边均加上准线与x 轴距离的2倍，有 2|BB 2|=|AA 2|+|CC 2|，此即2×6=y 1+y 3，可见y 1+y 3=12. （2）证明：AC 的中垂线方程为y －231y y +=－3131y y x x --（x －231x x +），即y －6=－3131y y x x --x +)(2312321y y x x --.②由于A 、C 均在双曲线上，所以有1221y －1321x =1，1223y －1323x =1.相减得132321x x -=122321y y -.于是有312321y y x x --=1213（y 1+y 3）=1213·12=13，故②变为y =－3131y y x x --x +225，易知此直线过定点D （0，225）.13．解：（1）由16x 2－9y 2=144得92x －162y =1，∴a =3，b =4，c =5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），离心率e =35，渐近线方程为y =±34x . （2）||PF 1|－|PF 2||=6，cos ∠F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF -+=||||2||||||2|)||(|2122121221PF PF F F PF PF PF PF -+-=641006436-+ =0.∴∠F 1PF 2=90°.14．（1）解：设过P （1，2）点的直线AB 方程为y －2=k （x －1），代入双曲线方程得（2－k 2）x 2+（2k 2－4k ）x －（k 4－4k +6）=0. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=－22242k k k --，由已知221x x +=x p =1， ∴24222--k k k =2.解得k =1.又k =1时，Δ=16＞0，从而直线AB 方程为x －y +1=0.（2）证明：按同样方法求得k =2，而当k =2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在. 15．解：由题意k ＞0，c =k11+，渐近线方程l 为y =k x ，准线方程为x =±kc 1，于是A （kc1，kc k ），直线F A 的方程为 y =21)(kcc x k --，于是B （－kc 1，)1(122-+kc c k kc ）.由B 是AC 中点，则x C =2x B －x A ＝－kc3， y C =2y B －y A ＝)1(322-+kc c k kc .将x C 、y C 代入方程kx 2－y 2＝1，得 k 2c 4－10kc 2＋25＝0.解得k （1+k1）＝5，则k ＝4. 所以双曲线方程为4x 2－y 2＝1．16．解：（1）显然l 1、l 2斜率都存在，否则l 1、l 2与曲线不相交.设l 1的斜率为k 1，则l 1的方程为y ＝k 1（x ＋2）.y ＝k 1（x ＋2）， y 2－x 2＝1，消去y 得（k 12－1）x 2＋22k 12x ＋2k 12－1＝0. ① 根据题意得k 12－1≠0， ② Δ1＞0，即有12k 12－4＞0. ③ 完全类似地有211k －1≠0，④Δ2＞0，即有12·211k －4＞0， ⑤从而k 1∈（－3，－33）∪（33，3）且k 1≠±1. （2）由弦长公式得｜A 1B 1｜＝211k +22121)1(412--k k . ⑥完全类似地有｜A 2B 2｜＝2111k +22121)1(412--k k . ⑦∵｜A 1B 1｜＝5｜A 2B 2｜，∴k 1＝±2，k 2＝22.从而l 1：y ＝2（x ＋2），l 2：y ＝－22（x ＋2）或l 1：y ＝－2（x ＋2），l 2：y ＝22（x ＋2）．17．解：设M （x 1，y 1），左右两焦点F 1、F 2，由双曲线第二定义得｜MF 1｜＝ex 1＋a ，｜MF 2｜＝ex 1－a ，由已知2（ex 1＋a ）＝3（ex 1－a ），把e =45，a =4代入，得x 1＝16，y 1＝±315.∴点M 的坐标为（16，±315）.双曲线准线方程为x =±c a 2=±516.∴M （16，±315）到准线的距离为1254或1951． 18．解：类似的性质为若MN 是双曲线22a x －22by =1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN联立得之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中22am －22b n =1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由k PM =m x n y --，k PN =mx n y ++，得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --，将y 2=22a b x 2－b 2，n 2=22ab m 2－b 2，代入得 k PM ·k PN =22ab .19．解：设在左支上存在P 点，使|PF 1|2=|PF 2|·d ，由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ，即|PF 2|=e |PF 1|. ① 再由双曲线的第一定义，得|PF 2|－|PF 1|=2a .②由①②，解得|PF 1|=12-e a ，|PF 2|=12-e ae， ∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，∴12-e a +12-e ae≥2c .③利用e =ac，由③得e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤1+2. ∵e >1，∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.20．解：依题意，设双曲线的方程为22a y －22bx =1（a >0，b >0）.∵e =a c =25，c 2=a 2+b 2，∴a 2=4b 2. 设M （x ，y ）为双曲线上任一点，则 |PM |2=x 2+（y －5）2=b 2（22ay－1）+（y －5）2=45（y －4）2+5－b 2（|y |≥2b ）. ①若4≥2b ，则当y =4时，|PM |min 2=5－b 2=4，得b 2=1，a 2=4.从而所求双曲线方程为42y －x 2=1.②若4<2b ，则当y =2b 时， |PM |min 2=4b 2－20b +25=4，得b =27（舍去b =23），b 2=449，a 2=49.从而所求双曲线方程为492y －4942x =1.。

(完整版)双曲线基础练习题

(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。

通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。

2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。

1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。

- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。

2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。

- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。

2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。

1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。

这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。

继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。

高中数学双曲线练习题(打印版)

高中数学双曲线练习题（打印版）# 高中数学双曲线练习题## 一、选择题1. 下列哪个方程不是双曲线的标准方程？- A. $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $- B. $ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 $- C. $ x^2 + y^2 = 1 $- D. $ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 $2. 若双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 上的一点 P(x, y) 满足 $ x > 0 $ 和 $ y > 0 $，那么下列哪个不等式成立？- A. $ x^2 > a^2 $- B. $ y^2 > b^2 $- C. $ x^2 < a^2 $- D. $ y^2 < b^2 $## 二、填空题3. 双曲线 $ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 $ 的焦点坐标是 __________。

4. 已知双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 经过点 (2, -3)，且 $ a = 2 $，求 b 的值。

## 三、解答题5. 已知双曲线 $ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 $，求其渐近线方程。

6. 双曲线 $ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 $ 上的点 P(x,y) 到右焦点的距离为 10，求点 P 到左焦点的距离。

## 四、证明题7. 证明：双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 上任意一点到两个焦点的距离之差等于 $ 2a $。

高中数学双曲线经典练习题训练(含答案)

高中数学双曲线经典练习题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分。

考试时间90分钟。

２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题3分,共60分）1．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为）A．B．2C．3D．2．若双曲线-=1（b＞0）的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3．双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x-8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．4D．4、已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S+λS成立，则λ的值为（）A．B．C．D．5．设F1、F2是离心率为的双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（）A．2B．C．3D．6．斜率为的直线与焦点在x轴上的双曲线x2-=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为双曲线的两焦点，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．47．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知O为坐标原点，P1、P2是双曲线上的点．P是线段P1P2的中点，直线OP、P1P2的斜率分别为k1、k2，则k1k2=（）A．B．C．D．9．F1是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P是双曲线右支上一点，若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点，且|OM|=a（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．B．C．2D．310．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点分别为A（a，0）、F（c，0），若在直线x=-上存在点P使得∠APF=30°．则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，4]D．[4，+∞）11．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．12、双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（）A．B．C．D．213．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A．a B．b C．ea D．eb14．等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2，则三边长分别为|x1|，|x2|，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定15．设F是双曲线-=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5B．5+4C．7D．916．过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C 的方程为（）A．B．C．D．17．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．18．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．19．已知双曲线C：x2-=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条20．（2016•北海一模）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（每题3分，共15分）21．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|A B|，|AF2|成等差数列，则此双曲线的离心率为______．22．若双曲线的离心率小于，则k的取值范围是______．23．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值是______．24．双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．25．已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点（），则该双曲线的渐近线方程为______三．简答题（每题5分，共25分）26．已知双曲线过点P，它的渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．27．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且虚轴的长为4．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．28．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；（2）求与双曲线C共渐近线且过点P（，2）的双曲线方程．29．已知在双曲线=1上有一点P，F1，F2为两焦点．（1）若PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积及P的坐标；（2）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积及P的坐标．30．已知双曲线以两坐标轴为对称轴，点（，）是其准线和渐近线的交点，求双曲线的标准方程．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为）A．B．2C．3D．答案：B解析：解：设P点的横坐标为x，准线方程为x=，∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），根据双曲线的第二定义，可得3e（x-）=e（x+），且e=，∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2，则双曲线的离心率的最大值为2．故选B．2．若双曲线-=1（b＞0）的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．答案：C解析：解：双曲线-=1（b＞0）的a=4，c=，双曲线的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，即有c+a=9，即+4=9，解得，b=3，c=5．即有离心率为e==．故选C．3．双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x-8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．4D．答案：D解析：解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x-8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．4、已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S+λS成立，则λ的值为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S△IPF1=|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，=•2c•r=cr，由题意得，|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故λ===，故选：B．5．设F1、F2是离心率为的双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（）A．2B．C．3D．答案：A解析：解：取PF2的中点A，则=2，∵，∴•=0，∴，由OA 是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，∵|PF1|=λ|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2，∴=4c2，又=，∴，∴λ=2，故选A．6．斜率为的直线与焦点在x轴上的双曲线x2-=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为双曲线的两焦点，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．4答案：C解析：解：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2-）x2-tx-t2-b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为-c，c．则t=0，即有（b2-）c2=b2，由于b2=c2-1，则有2c4-5c2+2=0，解得c2=2（舍去），则c=．焦距为2．故选：C．7．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：不妨设A（c，y0），代入双曲线=1，可得y0=±．∵线段AB的长度恰等于焦距，∴，∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．8．已知O为坐标原点，P1、P2是双曲线上的点．P是线段P1P2的中点，直线OP、P1P2的斜率分别为k1、k2，则k1k2=（）A．B．C．D．答案：B解析：解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y∵，两式相减可得：（x1-x2）×2x-（y1-y2）×2y=0∴=，∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k2，∴k1k2=．故选：B．9．F1是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P是双曲线右支上一点，若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点，且|OM|=a（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．B．C．2D．3答案：B解析：解：由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，由中位线定理可得，PF2⊥F1F2，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，即有3a2=c2，∴e==，故选：B．10．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点分别为A（a，0）、F（c，0），若在直线x=-上存在点P使得∠APF=30°．则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，4]D．[4，+∞）答案：B解析：解：由A（a，0）、F（c，0），则|AF|=c-a，由正弦定理可得，2r==2（c-a），即有r=c-a，且圆心B在x=上，当△AFQ为直角三角形，且∠AQF=30°，∠QAF=90°时，可得B的纵坐标为（c-a）．故以为圆心、c-a为半径的圆B恰好经过A、F两点，且圆B上的点Q即为使得∠AQF=30°的所有点，所以原题等价于直线与圆B存在公共点，即≤c-a⇒e2-3e-2≥0⇒e≥，或e≤（舍去）．故选B．11．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．答案：C解析：解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5-=5-2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9-=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C12、双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（）A．B．C．D．2答案：D解析：解：依题意可知，其中一个渐近线的方程y=x，|OF|=c=，F（，0）|MF|==a∵∠MFO=30°∴|OF|=2|MF|，即c=2a∴e==2故选D13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A．a B．b C．ea D．eb答案：A解析：解：由题意知：F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）-（c-x）|=2a∴x=a．在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．故选A．14．等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2，则三边长分别为|x1|，|x2|，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定答案：C解析：解：∵等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），∴．∵方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2．∴．设长度为2的边的对角是θ，则cosθ===＜0．因此θ是钝角．故选C．15．设F是双曲线-=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5B．5+4C．7D．9答案：D解析：解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线定义可得，|PF|-|PF′|=2a=4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．则|PF|+|PA|的最小值为9．故选：D．16．过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C 的方程为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），由x=a和一条渐近线y=x，可得A（a，b），以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则|AF|=|OF|=c=2，即有=2，c2=a2+b2=4，解得a=1，b=，即有双曲线的方程为x2-=1，故选A．17．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．答案：B解析：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．18．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．19．已知双曲线C：x2-=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：D解析：解：根据双曲线方程可知a=1∴右顶点为（1，0），使l与C有且只有一个公共点的情况为：当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）故可推断出满足条件得l共有4种情况．故选D20．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．二．填空题（共__小题）21．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|A B|，|AF2|成等差数列，则此双曲线的离心率为______．答案：2解析：解：|AF1|，|AB|，|AF2|成等差数列，则|AF1|+|AF2|=2|AB|=4a，即有|F1F2|=4a，即2c=4a，e==2．故答案为：2．22．若双曲线的离心率小于，则k的取值范围是______．答案：（-1，0）解析：解：双曲线，化为标准方程为∴a2=1，b2=-k，∴c2=1-k∵双曲线的离心率小于，∴-1＜k＜0故答案为：（-1，0）23．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值是______．答案：8解析：解：∵双曲线的方程为，∴a2=6，b2=10，可得c==4因此双曲线的右焦点为F（4，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合∴=4，解之得p=8故答案为：824．双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．答案：1解析：解：∵双曲线的方程为，∴双曲线的焦点在x轴上，a2=4且b2=1，可得a=2、b=1、c==，因此，双曲线的焦是（，0），渐近线方程为y=x，即x±2y=0．∴双曲线的焦点到渐近线的距离d==1．25．已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点（），则该双曲线的渐近线方程为______答案：y=解析：解：依题意可知，两式相减求得8b2=5a2，∴==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x故答案为：y=±x三．简答题（共__小题）26．已知双曲线过点P，它的渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．答案：解：（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为=λ，λ≠0；双曲线过点P，将P的坐标代入可得λ=1；则所求的双曲线方程为（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=32，又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，∴d12+d22-2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=100，又|F1F2|=2c=10，∴|F1F2|2=100=d12+d22=|PF1|2+|PF2|2△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°．27．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且虚轴的长为4．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．答案：解：（Ⅰ）由已知得，焦点坐标为（3，0），∴c=3，∵2b=4，∴∴双曲线的方程为：．（Ⅱ）∵焦点在x轴上，∴双曲线的渐近线方程为28．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；（2）求与双曲线C共渐近线且过点P（，2）的双曲线方程．答案：解：（1）由题意可得，解得c=2，a2=3，b2=1．∴双曲线C：=1，渐近线方程：，即．（2）设与双曲线C共渐近线的方程为，把点P（，2）代入可得，解得λ=-3．∴要求的双曲线方程为，化为．29．已知在双曲线=1上有一点P，F1，F2为两焦点．（1）若PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积及P的坐标；（2）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积及P的坐标．答案：解：（1）由题意得，a=4，b=3，c=5，∴F1（-5，0）、F2（5，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|-|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，∴100=4×16+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=18，∴△PF1F2面积为|PF1|•|PF2|=9．设P（x，y），则=9，∴|y|=，∴|x|=∴P（，）或P（，-）或P（-，）或P（-，-）；（2）△PF1F2中，由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-•|PF1|•|PF2|=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|=4a2+|PF1|•|PF2|，∴100=4×16+|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=36，∴△PF1F2面积为|PF1|•|PF2|=9．设P（x，y），则=9，∴|y|=，∴|x|=．∴P（，）或P（，-）或P（-，）或P（-，-）．30．已知双曲线以两坐标轴为对称轴，点（，）是其准线和渐近线的交点，求双曲线的标准方程．答案：解：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为-=1（a，b＞0），则渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，由题意可得=，=•，又a2+b2=c2，解得a=4，b=3，c=5，即有双曲线的标准方程为-=1；若焦点在y轴上，设双曲线的方程为-=1（a‘，b'＞0），则渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=•，又a'2+b'2=c'2，解得a'=4，b'=，即有双曲线的标准方程为-=1．综上可得，双曲线的方程为-=1或-=1．。

高中数学关于双曲线的经典试题(含答案)

高中数学关于双曲线的经典试题（含答案）
高中数学经典试题：已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐进线的距离为（根号10）／5，过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且PM是PA与PB的等比中项．⑴求双曲线C的渐进线方程⑵求双曲线C的方程高中数学经典试题答案第一问设渐近线方程为y=kx，利用点到直线的距离，求出k=1/3，可求得渐近线方程为y=1/3x，第二问解答如下设：A(x1，y1)B（x2，y2）直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3所以
M(0，1/3)|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：
|PM|=|PM|：|PB|画个图可知他们是相似三角形所以有：
|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2|由于A、B必在x轴的两侧，所以y1，y2其中的一个必是负的因此上式整理为：1/9=-y1*y2再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y其中双曲线的
a=3b得到一个关于y的一元二次方程过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0则y1*y2=(4-b^2)/27因此b^2=5则a^2=45方程就求出来了
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高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a by a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ．由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ．说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ．由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果．解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+．又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)．说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ．(2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--ay a x ． (3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹．说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

高二数学双曲线练习题

高二数学双曲线练习题1. 已知双曲线H的焦点为F1和F2，离心率为e。

点P在双曲线上，且PF1与PF2的距离之差为a。

证明：线段PF1与线段PF2的中点M在双曲线H上。

解答：设双曲线H的中心为O，双曲线的两个顶点为A和B，焦点F1和F2分别在双曲线的右侧和左侧。

设点M为线段PF1与线段PF2的中点。

首先，根据双曲线的定义，我们知道焦点F1和F2到双曲线上任意一点P的距离之差等于该点P到曲线的准线AB的距离之差。

也就是说，有PF1 - PF2 = d1 - d2，其中d1和d2分别为点P到准线AB的距离。

因为点M是线段PF1与线段PF2的中点，所以可以得到MF1 =MF2。

又由双曲线的性质可知，对于任意一点P，PF1 - PF2 = d1 - d2。

将点M代入上述等式，可以得到MF1 - MF2 = d1 - d2。

由于MF1 =MF2，因此d1 - d2 = 0。

根据上述推导，我们可以得出结论：当且仅当点P在双曲线上时，线段PF1与线段PF2的中点M在双曲线上。

2. 若双曲线的离心率e = 2，焦距为2a。

已知双曲线上一点的坐标为(x, y)，满足x^2 + y^2 = 4。

求该点关于双曲线的对称点的坐标。

解答：设焦点为F1(-ae, 0)和F2(ae, 0)，双曲线的中心为O(0, 0)，焦距为2a。

由双曲线的性质可知，对于双曲线上任意一点P(x, y)，有PF1 - PF2 = 2a。

代入坐标得到√((x+ae)^2 + y^2) - √((x-ae)^2 + y^2) = 2a。

将已知条件x^2 + y^2 = 4代入上述等式，得到√((x+2)^2 + y^2) -√((x-2)^2 + y^2) = 4。

为了求在双曲线上关于点P对称的点Q的坐标，可以通过求解上述方程组得到点Q的坐标。

将方程两边平方并整理，得到((x+2)^2 + y^2) - 2√((x+2)^2 +y^2)√((x-2)^2 + y^2) + ((x-2)^2 + y^2) = 16。

2023年苏教版新教材高中数学选择性必修第一册3.2双曲线同步练习题含答案解析

3.2 双曲线一、单选题1．已知椭圆221(1)x y a a+=>和双曲线221(0)x y m m -=>有相同焦点，则（）A ．2a m =+B ．2m a =+C ．222a m =+D ．222m a =+【答案】A【解析】由题得椭圆221(1)x y a a +=>双曲线221(0)x y m m-=>11,2a m a m =-=+∴=+.2．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A B C D 【答案】A【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e3．设(),P xy 是双曲线22154x y -=的右支上的点，最小值为（）A B ．C D 3【答案】B设()()0,1,3,0A F ,上式表示PA PF -,由于双曲线22154x y -=的左焦点为()()3,0,3,0F F '-,双曲线的实轴2a =2PF PF a PF ''=-=-()PA PF PA PF PF PA ''-=-+=--+PF PA AF ''-≤==当P 在F A '的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以()PA PF PF PA '-=--+4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，双曲线22212222:1,,2-=-x y C F F b a b 为2C 的焦点，P 为1C 和2C 的交点，若12PF F △的内切圆的圆心的横坐标为2，1C 和2C 的离心率之积为32，则a 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】不妨设点P 在第一象限内，12PF F △的内切圆与边1122,,PF F F PF 的切点分别为,,A B C ，双曲线的焦距为2c .则()()1212PF PF PA AF PC CF -=+-+()()12PA BF PA BF =+-+12BF BF =-()()224c c =+--=，因为点P 在双曲线上，所以1224PF PF b -==，则2b =，又因为1C 和2C 的离心率之积为32，而椭圆的离心率1e ，双曲线的离心率为2e =所以1232e e=，解得4a=.5．已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C 的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A1BC1D．【答案】C【解析】由题意(),F c o-，四边形MNOF为菱形，如图，则MN ON OF c===且//MN OF ，,M N分别为C的左，右支上的点，设M点在第二象限，N在第一象限.由双曲线的对称性，可得2Ncx=，过点N作NH x⊥轴交x轴于点H，则11,222cO c OH M NNN O====，所以60NOH∠=︒,则2NH c=，所以2cN⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以22223144c ca b-=，则22222234c b c a a b-=，即42e8e40-+=，解得2e4=+2e4=-e1>，所以取2e4=+e1=6．设双曲线222:1(0)4xC y aa-=>与直线:1l x y+=相交于两个不同的点A，B，则双曲线C 的离心率e的取值范围是（）A．)+∞B．)⋃+∞⎝C．⎫+∞⎪⎝⎭D．⎝【答案】B【解析】2221,41xyax y⎧-=⎪⎨⎪+=⎩()222214880a x a x a⇒-+-=，所以()2422140,Δ6448140,a a a a ⎧-≠⎪⎨=+⨯->⎪⎩2214120a a a ⎧≠⎪⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩(2,)e ⇒=+∞⎝ 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182xy +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（） A．y = B．y = C．y = D．y=【答案】C【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bxay -=，1=，1b=，∴a =，∴渐近线方程为y x =． 812的化简结果为（） A ．236x －264y ＝1B ．264x －236y ＝1C ．236x －264y ＝1(x ＞0) D ．264x －236y ＝1(x ＞0)【答案】C【解析】解：设A (−10,0)，B (10,0)，(,)P x y ，由于动点P (x ,y )12，则|P A |−|PB |=12，故点P 到定点A (−10,0)与到定点B (10,0)的距离差为12，则动点P (x ,y )的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a =12，c =10，则2221003664b c a =-=-=，故P 的轨迹的标准方程为236x －264y ＝1(x ＞0).所以原方程可以化简为236x －264y ＝1(x ＞0).二、多选题9．已知双曲线C ：2213x y -=，下列对双曲线C 判断正确的是（）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4CD ．渐近线方程为0x =【答案】BD【解析】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b =，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =，C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确. 10．已知圆1C ：2210100x y x y +--=和圆2C ：2262400x y x y +-+-=则（）A ．两圆相交B ．公共弦长为C ．两圆相离D ．公切线长【答案】AB【解析】圆1C 的标准方程为：()()225550x y -+-=，圆心为（5，5）半径为 1r =圆2C 的标准方程为：()()223150x y -++=，圆心为（3，-1）半径为 2r =所以两圆心的距离：d ==120,d r r ∴<<+∴两圆相交，选项A 正确，选项C 错误；设两圆公共弦长为L ，则有：()2221222L d r r r r ⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ∴=B 正确，选项D 错误.11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（） A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为y = C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为6【答案】ACD【解析】A ：由双曲线方程知：3a =，则C 的实轴长为6，正确；B ：由双曲线方程知：C 的渐近线为y x =，错误； C ：双曲线、圆如下：(4,0)D -为左焦点，当且仅当P 为x 轴交点，Q 为x 轴右交点时，PQ 最小为12，正确；D ：由(4,0)F 为右焦点，||||26PF PD a -==，则6||PA PD PA PF -=+-，要使PA PD -最小只需,,P A F 共线，此时min ()6||6PA PD AF -=-=.12．已知曲线2212:1,,9x y C F F m +=分别为曲线C 的左右焦点，则下列说法正确的是（）A ．若3m =-，则曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π B ．若曲线C 的离心率2e =，则27m =-C ．若3m =，则曲线C 上不存在点P ，使得122F PF π∠=D ．若3,m P =为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为【答案】ABD【解析】对于A 选项，当3m =-时，曲线22:193x y C -=表示焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为y x =，故渐近线的倾斜角分别为5,66ππ，所以曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π，故A 选项正确；对于B 选项，离心率2e =，则曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，3,2a e ==，故6c =，所以2236927m c a -=-=-=，所以27m =-，故B 选项正确；对于C 选项，若3m =，则曲线22:193x y C +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时2229,3,6a b c ===，设椭圆C 的短轴的一个顶点坐标为(M ，则222122461cos 02183a a c F MF a +--∠===-<，故12F MF ∠为钝角，所以线C 上存在点P ，使得122F PF π∠=，故C 选项错误；。

高中《双曲线》专题训练经典练习题1（含答案）

⾼中《双曲线》专题训练经典练习题1（含答案）⾼中双曲线专题训练经典练习题【编著】黄勇权⼀、选择题1、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线⽅程是y=±2x ，则该双曲线的离⼼率是（）。

A 、3 B 、 5 C 、33 D 、552、已知焦点在x 轴上的双曲线的实轴是虚轴的2倍，⼀个焦点到⼀条渐近线的距离为3，则双曲线的标准⽅程为（）。

A 、 19y 36x 22=-B 、 118y 36x 22=-C 、 115y 30x 22=-D 、19y 30x 22=- 3、椭圆12y 20x 22=+与双曲线12y a x 222=-有共同的焦点，则a 的值是（） A 、3 B 、 4 C 、 32 D 、234、双曲线的两条渐近线为x+3y=0和x-3y=0，且经过p （1，1）点，则双曲线的⽅程是（）A 、 18y 89x 22=- 或 18x 89y 22=-B 、 189y 8x 22=- C 、 189y 8x 22=-或 18y 89x 22=- D 、 18x 89y 22=- 5、双曲线1by a x 2222=-的右焦点为（c ，0），直线λ过点（a ，0），（0，b ），原点O到直线λ的距离是2c，则双曲线的离⼼率是（） A 、 2 B 、 3 C 、 2 D 、36、双曲线1by a x 2222=-的⼀个交点到⼀条渐近线的距离是3，⼀个顶点到⼀条渐近线的距离是512，则双曲线的⽅程是（） A 、19y 20x 22=-B 、116y 20x 22=-C 、18y 16x 22=-D 、19y 16x 22=- 7、曲线C 是以椭圆112y 16x 22=+的右焦点为圆⼼，半径为1的圆，若双曲线15y a x 222=-的两条渐近线与圆C 相切，则双曲线的离⼼率是（） A 、23 B 、332 C 、 233 D 、 3358、双曲线1by a x 2222=-的左右焦点为F1，F2，P 是双曲线上的⼀点，若⼁PF1⼁+⼁PF2⼁=6a ，∠PF1F2=30°，则双曲线的离⼼率是（）A9、已知双曲线1by a x 2222=-（a ＞0，b ＞0）的离⼼率为3，直线y=2与双曲线的两个交点间的距离为6，则双曲线的⽅程为（）A 、 18y x 22=- B 、116y 2x 22=- C 、18y 4x 22=-D 、 127y 3x 22=- 10、双曲线115y x 22=-的左右焦点为F1、F2,点P 为双曲线上的⼀点，若3⼁PF1⼁=4⼁PF2⼁，则△PF 1F 2的⾯积是。

高中数学湘教版 3.2 双曲线课后练习、课时练习

一、单选题1. 已知圆柱的底面半径为2，母线长为6，过底面圆周上一点作与圆柱底面成45°角的平面，截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（）A．B．C．D．2. 椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以F为圆心，为半径的圆与E交于点P，且，则E的离心率为（）A．B．C．D．3. 已知是椭圆：的右焦点，点P在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．4. 已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（）A．或B．或C．D．5. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（）A．B．C．D．6. 比利时数学家丹德林( Germinal Dandelin)发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长为（）A．B．C．D．二、多选题7. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A．长轴长为4，短轴长为B．C．轴，且D．四边形的内切圆过焦点，8. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（）A．椭圆的蒙日圆方程为B．记点到直线的距离为，则的最小值为C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为D．的面积的最小值为，最大值为三、填空题9. 已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线交椭圆C于点N，直线交于点T，则动点T的轨迹方程为_______________.10. 已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足，则的取值范围______．11. 已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，轴，(为原点，为右顶点，为上顶点)，则该椭圆的离心率为__________.12. 已知椭圆是椭圆上两点，线段的垂直平分线与轴交于，则的取值范围是__________.四、解答题13. 已知动点M到定点和的距离之和为4(1)求动点轨迹的方程；(2)若直线交椭圆于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求的面积14. 已知椭圆C：的离心率为，上顶点为，下顶点为，，设点在直线上，过点的直线分别交椭圆于点和点，直线与轴的交点为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若的面积为的面积的2倍，求t的值.15. 已知E是曲线上任一点，过点E作x轴的垂线，垂足为H，动点D满足(1)求点D的轨迹的方程；(2)若点P是直线l：上一点，过点P作曲线的切线，切点分别为M，N，求使四边形OMPN面积最小时的值．16. 已知点M，N分别是椭圆的右顶点与上顶点，原点O到直线的距离为，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点，并且与椭圆交于A，B两点，点P在椭圆上，O为原点，若，求直线的方程．。

高中数学分章节训练试题：32双曲线

高三数学章节训练题32《双曲线》时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（）A ．2B ．3C ．2D ．33．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（）A ．14-B ．4-C ．4D ．145．双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象限的点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为（）A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y xD ．1125322=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．37．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

高中数学选择性必修一(人教版)《3.2双曲线习题》

1．已知双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或232．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1B ．x 23－y 22＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 3．双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A ． 2B ．2C ．322D ．225．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t ＞0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －sB ．12(m －s )C ．m 2－s 2D ．m －s6．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40°C ．1sin 50°D ．1cos 50°7．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．48．(2020·郑州一中月考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P在双曲线上，且异于A ，B 两点．O 为坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率之积为79，则双曲线的离心率为________．9．若F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 224＝1(y ≠0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＝6，则|PF 2|＝______，△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝_______.10．若椭圆x 216＋y 27＝1和双曲线x 2－y 28＝1有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|2＋|PF 2|2的值是________.11．若直线y ＝x －4与双曲线x 29－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为53.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设点P 是双曲线C 上任意一点，且|PF 1|＝10，求|PF 2|.13. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．。

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高三数学章节训练题32《双曲线》含答案
时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
2．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2
1π
=Q PF ，则
双曲线的离心率e 等于（）
A ．12-
B ．2
C ．12+
D ．22+
4．双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（）
A ．14
-
B ．4-
C ．4
D ．
14
5．双曲线)0,(122
22>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象
限的点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,2
1
tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为（）
A ．1351222
=-y x B ．1312
522
=-y x C ．15
1232
2
=-y x
D ．112
532
2=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，
点M 在双曲线的右准线上，且满足,
1OM OF OP PM O F ==λ)0(>λ，则该双曲线的
离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
7．如果方程22
1x y p q
+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）
A ．2212x y q p q +=+
B ．22
12x y q p p
+=-+
C ．
22
12x y p q q
+=+ D ．22
12x y p q q
+=-+
二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

9．若曲线
22
141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是。

10．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 2
3±=，则双曲线的焦点坐标是_________．
三、解答题：（本大题共2小题，满分30分）
11. （本小题满分10分）双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双
曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

12．（本小题满分20分）已知三点P（5，2）、
F（－6，0）、2F（6，0）。

1
（1）求以
F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
1
（2）设点P、
F、2F关于直线y＝x的对称点分别为P'、'1F、'2F，求以'1F、'2F为
1
焦点且过点P'的双曲线的标准方程.
高三数学章节训练题32《双曲线》答案
一、选择题
1．D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上
2．C 22222
22,2,2,a c c c a e e c a
=====
3．C Δ12PF F 是等腰直角三角形，21212,PF FF c PF ===
12222,1c PF PF a c a e a -=-==
== 4．A.
5．A 【思路分析】：设),(00y x p ，则
1,2,2100000==-=+cy c
x y
c x y ，
∴3
3
2,635,2300=
==
y x c 【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算
6． C 【思路分析】：由PM O F =
1知四边形OMP F 1是平行四边形，又λ=
知OP 平分OM F 1∠，即OMP F 1是菱形，设c OF =1，则c PF =1.
又a PF PF 212=-，∴c a PF +=22，由双曲线的第二定义知：12
2+=+=e
c c a e ,且1>e ，∴2=e ，故选C .
【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性. 7．D ．由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭
圆的焦点都在x 轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;
若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2
c p q =--,双曲线的
焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.
二、填空题
8．
22
1205
x y -=±设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，
2
2
1,25,204
4
x y λ
λλλ
λ
-
=+
==；
当0λ<时，
2
21,()25,2044
y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.
10
．(渐近线方程
为2
y x =±
，得3,m c =x 轴上. 三、解答题
11．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为22
22
125y x a a +=-；双曲线方程为2222
125y x b b
+=-，点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近
线为y x =
，即243,16b =
=
所以椭圆方程为
2214015y x +=；双曲线方程为22
1169
y x += 12．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122
=b
y )0(>>b a ，其半焦距6=c 。

||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，
936452
2
2
=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +
19
2
=y ；（2）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：
)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）
设所求双曲线的标准方程为
2
1
2a x -
12
1
2=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，
|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，
1620362
12
12
1=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为
202y -116
2
=x .。