椭圆的简单几何性质(课件)
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
第8讲：椭圆的简单几何性质
第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一 由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二 由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。
椭圆的简单几何性质 课件
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] 把已知方程化成标准方程1x62 ＋y92＝1， 于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心率 e ＝ac＝ 47， 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
椭圆的主要几何量 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离 心率、焦点和顶点坐标． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程； ②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然 后再写出性质．
___|x_|_≤_a_，__|y_|≤_b_____
____|x_|_≤_b_，__|y_|≤__a___
关于__x_轴__、__y_轴__和__原__点__对称
_(_±__a_,0_)_，__(_0_，__
轴
长轴长__2_a____，短轴长___2_b___
第二章 圆锥曲线与方程
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[方法规律总结] 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a、b、c，写出其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对 称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这 些点．
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[解析] 把已知方程化成标准方程1x62 ＋y92＝1， 于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心率 e ＝ac＝ 47， 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
第二章 圆锥曲线与方程
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椭圆的主要几何量 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离 心率、焦点和顶点坐标． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程； ②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然 后再写出性质．
___|x_|_≤_a_，__|y_|≤_b_____
____|x_|_≤_b_，__|y_|≤__a___
关于__x_轴__、__y_轴__和__原__点__对称
_(_±__a_,0_)_，__(_0_，__
轴
长轴长__2_a____，短轴长___2_b___
第二章 圆锥曲线与方程
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[方法规律总结] 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a、b、c，写出其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对 称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这 些点．
椭圆的简单几何性质 课件
整理得 kAB＝xy22－－xy11＝－396xy22＋＋xy11，
由于 P(4,2)是 AB 的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是 kAB＝－396××84＝－12， 于是直线 AB 的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
小结 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直 线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公 式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端 点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的 关系．
椭圆的简单几何性质
1．点 P(x0，y0)与椭圆xa22＋yb22＝1 (a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔____ax_202_＋__by_202＝__1____； 点 P 在椭圆内部⇔___ax_202＋ ___by_202<_1____； 点 P 在椭圆外部⇔___ax_202_＋__by_202_>_1___.
所以x1＋2 x2＝116＋k2－4k82k＝4，解得 k＝－12，且满足 Δ>0. 这时直线的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
方法二
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有3x6312x＋622＋y921y9＝22＝11，
两式相减得x22－36x21＋y22－9 y21＝0，
问题 3 如何求最大距离？ 答案 由图可知，k＝－25 时，直线 m 与椭圆的交点 到直线 l 的距离最大．
小结 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转 化为直线与椭圆的位置关系问题． 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相 交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离 ⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式 是最基本的工具．
椭圆的简单几何性质优质课课件
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
△ 0 方程组有两解
两个交点 相交
△=0
方程组有一解
一个交点 相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型三：中点弦问题
例6 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
直线m为：4x 5y 25 0
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
△ 0 方程组有两解
两个交点 相交
△=0
方程组有一解
一个交点 相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型三：中点弦问题
例6 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
直线m为：4x 5y 25 0
2.1.2椭圆的简单几何性质 课件
答案：D
2020年08月26日 Wednesday
4．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离 心率为 23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12， 则椭圆 G 的方程为__3_x6_2＋___y92_＝__1____．
解析：设椭圆的长半轴长为 a，由 2a＝12 知 a＝6，又 e ＝ac＝ 23，故 c＝3 3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
[点拨] 解决有关椭圆的问题一般首先应弄清椭圆的类 型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置．
(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离 心率．
(2)熟练掌握椭圆定义、标准方程、几何性质，这些基本 概念是解决计算问题、证明问题、求轨迹问题及其他有关问 题的基础和关键．
2020年08月26日 Wednesday
2020年08月26日 Wednesday
3．求椭圆中的弦长 若直线与椭圆相交时，常常借助根与系数的关系解决弦 长问题．直线方程 y＝kx＋m，椭圆方程为：xa22＋by22＝1(a>b>0)， 联立消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程．当 Δ>0 时，直线 与椭圆相交，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2), 则直线被椭圆截 得的弦长； |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
2020年08月26日 Wednesday
[解]
椭圆方程可化为xm2＋
y2 m
＝1，∵m－mm＋3＝mmm＋＋32
m＋3
>0，∴m>mm＋3.∴椭圆焦点在 x 轴．
即 a2＝m，b2＝mm＋3，c＝ a2－b2＝
2020年08月26日 Wednesday
4．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离 心率为 23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12， 则椭圆 G 的方程为__3_x6_2＋___y92_＝__1____．
解析：设椭圆的长半轴长为 a，由 2a＝12 知 a＝6，又 e ＝ac＝ 23，故 c＝3 3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
[点拨] 解决有关椭圆的问题一般首先应弄清椭圆的类 型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置．
(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离 心率．
(2)熟练掌握椭圆定义、标准方程、几何性质，这些基本 概念是解决计算问题、证明问题、求轨迹问题及其他有关问 题的基础和关键．
2020年08月26日 Wednesday
2020年08月26日 Wednesday
3．求椭圆中的弦长 若直线与椭圆相交时，常常借助根与系数的关系解决弦 长问题．直线方程 y＝kx＋m，椭圆方程为：xa22＋by22＝1(a>b>0)， 联立消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程．当 Δ>0 时，直线 与椭圆相交，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2), 则直线被椭圆截 得的弦长； |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
2020年08月26日 Wednesday
[解]
椭圆方程可化为xm2＋
y2 m
＝1，∵m－mm＋3＝mmm＋＋32
m＋3
>0，∴m>mm＋3.∴椭圆焦点在 x 轴．
即 a2＝m，b2＝mm＋3，c＝ a2－b2＝
《椭圆的简单几何性质一》PPT课件
c e= a a
A2
思考： ＝ 时 曲线是什么？ ＝ 时曲 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 什么？ 线又是 什么？ c a −b b [3]e与a,b的关系 e = = 的关系: 与 的关系 = 1− a a a
2 2 2 2 2
问：对于椭圆C1 : 9 x + y = 36与椭圆C ： +
c 由题知a=3 cos∠OFA= 解：由题知 a ∴c=2，b2=a2-c2=5 ，
A
因此所求椭圆的标准方程为
o
F
x2
9
+
y2
5
= 1或
x2
5
+
y2
9
=1
例3、求适合下列条件的椭圆的标准方程： 、求适合下列条件的椭圆的标准方程： 与椭圆4x 有相同的焦距， 与椭圆 2+9y2=36有相同的焦距，且离 有相同的焦距 心率为 解：由已知得所求椭圆2c=2 5 由已知得所求椭圆
复习： 复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F 的距离之和为常数（大于|F 到两定点 1、F2的距离之和为常数（大于 1F2 |）的 ） 动点的轨迹叫做椭圆。 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF | + | PF2 |= 2a(2a >| F F2 |) 1 1
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在 轴上时
a + c = | OB | + | OF2 |
∴ b= a −c
2 2
= | F2 B | = 6371+ 2384 = 8755
解得 a = 7782.5 ， = 972.5 . c
≈ 7722 .
2
B
椭圆的简单几何性质课件
∴椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
离心率
e＝ac＝21m＝
3 2.
m
小结 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标 准形式，不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，才能正确地写 出焦点坐标、顶点坐标等．
直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程xa22＋by22＝1，得 y＝±ba2，∴P－c，ba2.
又 PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.
∴||FP1FF12||＝||AOOB||，∴2ba2c＝ba，∴b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
∴e2＝15，即
e＝
55，所以椭圆的离心率为
5 5.
小结 求椭圆离心率的方法： ①直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝
1－ba22求解．
②若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成ac的形式，并将其视为整体，
就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
探究点三 求椭圆的离心率
例 3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB， 求此椭圆的离心率． 解 设椭圆的方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)．
如题图所示，则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
探究点二 由椭圆的几何性质求方程
例2
椭圆过点(3,0)，离心率
e＝
6，求椭圆的标准方程． 3
椭圆的简单几何性质完整版课件
②当m>4时，a＝ m，b＝2， ∴c＝ m－4， ∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得m＝136， ∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为
83 3
，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为A10，－4
3
3，A20，4
3
3，
B1(－2,0)，B2(2,0)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参 数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ac等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦 点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有 两个．
提醒：与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c. 4写出椭圆的几何性质.
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
1234 5
3．已知椭圆C2过椭圆C1：
x2 14
＋
y2 9
＝1的两个焦点和短轴的两个
端点，则椭圆C2的离心率为( A )
A．23
B．
2 2
C．12
D．13
1234 5
4．与椭圆y42＋x32＝1有相同的离心率且长轴长与x82＋y32＝1的长轴 长相等的椭圆的标准方程为________．
椭圆的简单几何性质 课件
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即 c＋ 3c＝所2以a，
c＝ 3－1. a
所以椭圆的离心率为 e＝ 3－1.
【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a,c可直接利用 e 求c解.若已知a,b或b,c
a
可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e c 求解.
的距离为 1 |OF1|，则椭圆的离心率为( )
2
A. 1
B. 3 1
C. 2
D. 2 1
3
2
(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心
率.
【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 DA能得2D到F2什么结 论？ 2.题(2)求解离心率的关键是什么？ 3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什 么？
所以|AF1|= 3c,
所以2a=|AF1|+|AF2|= 3 1 c,
所以 e 3 1.
(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为 AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以 在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 AF2 2 AF1 2 3x 2c, 再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e 2c 3x 3 .
【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取
D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求 的c 值.
a
3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(第2课时)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
2
相应的准线方程分别为 = − 和 = .
|1 |
|2 |
=
，
= .
由椭圆第二定义得 2
2
+ 0
− 0
a2
l : x
c
a2
l:x
c
y
P
•
•
F1
O
|1 | = + 0 ，|2 | = − 0 .
说明：|1|, |2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式.
(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2 时，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．
方法总结
方法总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法
[注意]：方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
练习巩固
变式7-2: 求下列直线与椭圆的交点坐标:
2 2
2 2
+
= 1.
(1)3 + 10 − 25 = 0，
复习导入
第三章
圆锥曲线的方程
3.1.2椭圆的简单几何性质
（第2课时）
练习巩固
例5：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的
曲面)的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1 上，
片门位于另一个焦点2 上.由椭圆一个焦点1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中
|F1 B|2 + |F1 F2 |2 = 2.82 + 4.52 .
由椭圆的性质知，|F1 B| + |F2 B| = 2a.
所以a =
1
(|F1 B|
2
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分析：数形结合
4.
C
分类 讨论
5.
3 3
选择题和填空题中 可以选用特殊值
五. 学习小结——我收获，我开心！
1.知识小结：
（1）学习了椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点 坐标、离心率等概念及其几何意义。
（2） 运用椭圆几何性质解决相关问题 2.数学思想方法： （1）数形结合思想，用代数的方法解决几何问题。 （2）分类讨论的数学思想
高中数学（人教A版）选修2-1
海口市第二中学
黄礼燕
• 【学习目标】 • 1.自主观察椭圆的形状，能从图上找出它 的范围、对称性及特殊点。 • 2. 会初步运用几何性质解决一些相关问题。
旧知回顾：
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离 之和 为常数(大于 F1 F2 ) 的动点的轨迹叫做椭圆。 符号表述： PF | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |) | 1
结论：(1) 当离心率越大时，椭圆越扁
(2) 当离心率越小时，椭圆越圆
小试牛刀
二、知识演练——小试牛刀
x2 y 2 1 1. 已知椭圆 25 9 10 则它的长轴长是：
4 5
，短轴长是： ， 焦点坐标是： (4,0) ，顶点坐标是： (5,0), (0,3) ， 离心率等于：
， 60 。
7 ) 18
100c 2 = 9 10c PF1 = 3 10c 16c 8c 2a PF1 PF2 2c , 故a 3 3 3
1.审题、画图 2.找出数量关系 3.用相关知识求解
c c 3 椭圆的离心率：e a 8c 8 3
四．巩固练习——我学会了吗？ 2 2 2 2
6
外切矩形的面积等于：
关键：熟记椭圆的 简单几何性质
二、知识演练——小试牛刀
x2 y2 2.比较椭圆C1 : 9 x 2 y 2 36与椭圆C2 : 1 的形状， 16 12 哪一个更扁？为什么？ 离心率越大，
y 2 x2 解： C1的标准方程为 : 1 椭圆 36 4 a 6, b 2, c a 2 b 2 36 4 4 23、4、6 2、完成学案上的“挑战高考”题目
1. 范围
2.对称性 3.顶点 4.离心率
自主预习课本P43 P46 ，有针对性的理解好本节内容的有关概念， 然后完成下表： 表格
标准 方程 图 形
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y 2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
几 何 性 质
范围 对称性
A. 长轴长相等 C. 离心率相等
1. 椭圆 x y 1与椭圆 x y 1(k 9)的（ D 25 9 25 k 9 k B. 短轴长相等 D. 焦距相等
1
）
2. 若椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为 2 y 2 x2 1 焦距为8，则该椭圆的方程是 64 48 3. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此 椭圆的离心率是（ D ）
三． 典例示范
分析：本题主要考查椭圆的定义和几何性质运用。 解：
设椭圆的半焦距为c,由题知： 1F2 =2c F 故 PF2 =2c
2
在PF1 F2中，由余弦定理得： PF1 F1 F2 PF2 2 F1 F2 PF2 cos PF2 F1
2 2
(2c) 2 (2c) 2 2 2c 2c (
2
2c
a b c
2 2
小 结 ： 圆一 扁个 ，框 莫， 忘四 对个 称点 要， 体注 现意 光 滑 和
c e a
范围：
0 e 1
探究
思考：观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程度 不同时，离心率不同，那么离心率是如何刻画椭圆 的扁平程度的？ 课后思考：除了离心
演示
率，还可以用哪些量 来刻画椭圆的扁平程 度？
a x a, b y b b x b, a y a
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 坐标 焦点 坐标 半轴长 焦距 a、b、c 关系 离心率
(a,0)、(0,b) (c,0)、(c,0)
长半轴长：a ,
(b,0)、(0,a) (0,c)、(0,c)
短半轴长：b
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
2 2
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y x 2 1(a b 0) 2 a b
一. 新知自解——相信自己，我一定行！
x2 y 2 观察椭圆 2 2 1 a b 0 的形状, 你能从图上看出它的范围吗 ? a b 它具有怎样的对称性 ? 椭圆 上 哪 些 点比较特殊 ?
椭圆C2中 : a2 16, b 2 12, c 1 e2 = a 2
椭圆越扁
c a 2 b 2 16 12 2
e1 e2 , 椭圆C1更扁
x2 y 2 例题： 已知F1，F2是椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点，点P是椭圆 a b 7 上的一点，且 F1 F2 PF2 ，cosPF2 F1 , 求椭圆的离心率。 18