089计算机图形学课件@北工大图形学的数学基础2-曲线
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• 对于正则曲线 P P(t )
定义：s (t )
t
t0
dP (t ) dt为曲线从t0到t的弧长。 dt
t 由弧长函数的反函数： t (s)
Q 可得到曲线自然参数方程： Q(s)
正则曲线与自然参数（3）
• 定理：自然参数曲线的切矢量满足：
证明：
dP dQ dP(t ) dt dP(t ) ds T / dt ds dt ds dt dt dP dt
因此：B'与N平行
亦即：B' (s) coff (s) N (s)
曲线在一点处的挠率
定义 : 设P' ' ( s ) 0, 则由B' ( s ) ( s ) N ( s)所确定的 函数 ( s )为曲线在s处的挠率。
含义： • 从法向量方向对弧长的变化率--反映曲线的扭曲 程度。 • 该值大于、小于、等于0分别对应右旋、左旋和 平面曲线。
0阶几何连续 GC ：位置连续即： + P (to ) P(t0 )
0
1阶几何连续 GC ：GC 且切线重合即： + P ' (to ) P' (t0 ) 0
1 0
2阶几何连续 GC ：GC 且：
2 1 + B (to ) B (t0 ) + k (t0 ) k (t0 )
它的方向指向参数增加的方向(曲线正向)
曲线上一点处的切矢量（3）
• 参数变换条件下曲线上点的切矢量：
参数变换方程：
t t (t )
参数曲线新方程： Q (t ) P (t (t ))
dQ dP dt 切矢量表达式： dt dt dt (1.2)
切矢量方向 保持不变
dt 要求： 0 dt
沿该方向过该点的直线称为该点处的主法线
曲线上一点处的曲率
曲率：称k ( s ) P ' ' ( s ) 为曲线在s点的曲率。
曲率可衡量曲线的弯曲程度—单位切矢对弧长的转动率 如图所示
P' ' ( s) T ' ( s) lim
Ds 0
D
T ( s + Ds)
T ( s + Ds ) T ( s ) Ds 2 sin D D 2 lim Ds Ds 0 Ds
正则曲线与自然参数（1）
' 正则点：曲线上满足P (t ) 0的点
P' 0 ?
正则曲线：所有点都是正则点的曲线。
正则曲线与参数选取无关
参数表示方程与参数选取有关
自然参数：弧长参数
以弧长为参数的曲线光顺性好 常采用曲线的自然参数（弧长参数）来定义曲线。
正则曲线与自然参数（2）
• 在任意参数条件下的曲率、挠率分别为：
曲线的连续性
• 参数连续：函数可微
• 几何连续：曲线光滑 • 二者既有区别又有联系
曲线的参数连续性
定义C（参数连续）为：
n
d P(t ) dt k
k
t t 0
d P(t ) dt k
k
+ t t 0
k 0,1,2,, n
曲线的几何连续性（1）
图形学的数学基础
－参数曲线基础知识
参数曲线的基本知识
• 表示方法
• 属性
• 连续性
曲线的表示方法
显式表示：
y f ( x),
z f ( x, y)
f ( x, y, z) 0
t a, b
隐式表示： f ( x, y) 0,
x x(t ) 参数表示： y y (t ), z z (t )
曲线的几何连续性（2）
• 是一种可观察的连续性
• 只与曲线本身有关 • 定理：若参数曲线关于它的弧长参数n 阶连续，则n阶几何连续
T (s)
lim
Ds 0
曲率半径
1 定义：当k ( s) 0时，称 ( s) 为曲线在s处的曲率半径 k ( s)
• 直线特征：曲率处处为0；
• 圆的特征：曲率半径处处相等
曲线上一点处的主法向量（2）
• 定理：主法向量与切矢量正交。 • 证明：
T 1即T T 1
求导数得到：T T ' 0
T 1
除特别申明外通常讨论正则曲线并采用弧长参数定义曲 线。以弧长为参数的曲线若非正则，则畸形。
曲线上一点处的主法向量（1）
• 记号
– 自然参数曲线： P(s) P
任一点处的单位切矢量为 T (s)
衡量曲线弯曲 定义-- s处的主法向量： 程度？ T ' (s) ' N (s) （当T ( s ) 0时） T ' (s)
问题：
切矢量(垂直于法平面)的变化快慢反映了曲线于密切平面)的变化反映了曲线的何种属性?
预备定理
• 定理：B' (s) coff (s) N (s) 证明：
由B T 0 B'T 0 B' 与T垂直
又： 1 B'B 0 B' 与B也垂直 B
曲线的几何不变量（1）
• 曲率和挠率：
因与曲线参数和空间直角坐标系的选取都无关， 而称其为曲线的几何不变量。
• 曲线基本定理：
如果两条曲线在弧长参数相同的点处具有相同 的曲率和挠率，那么这两条曲线经过旋转和平 移运动后一定会重合。
• 曲线的自然方程： k k (s) (s)
曲线的几何不变量（2）
T与T '即N垂直
曲线上一点处的从法向量
定义：B(s) T (s) N (s)为从法向量
沿该方向过该点的直线称为从法线。
显然：T (s), N (s), B(s)三单位矢量两两垂直
Frent活动标架
称 P( s), T ( s), N ( s), B( s) 为曲线在s处的Frent活动标架。
图 1 切矢量表示位置矢量的变化
曲线上一点处的切矢量（2）
记号 : P(t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) 表示t处位置矢量
该点处的切矢量表示为：
P(t + Dt ) P(t ) dP ' T lim P (t ) Dt 0 Dt dt (1.1)
更强的控制能力 更灵活方便的变换及表达
参数曲线的基本概念
• 假设参数曲线表示为 P(t )亦即：
x x(t ) y y (t ), z z (t )
t 0,1
曲线上一点处的切矢量（1）
• 用以表示曲线上位置矢量的大小、方向变 化
P (t )
P (t + D t )
定义：s (t )
t
t0
dP (t ) dt为曲线从t0到t的弧长。 dt
t 由弧长函数的反函数： t (s)
Q 可得到曲线自然参数方程： Q(s)
正则曲线与自然参数（3）
• 定理：自然参数曲线的切矢量满足：
证明：
dP dQ dP(t ) dt dP(t ) ds T / dt ds dt ds dt dt dP dt
因此：B'与N平行
亦即：B' (s) coff (s) N (s)
曲线在一点处的挠率
定义 : 设P' ' ( s ) 0, 则由B' ( s ) ( s ) N ( s)所确定的 函数 ( s )为曲线在s处的挠率。
含义： • 从法向量方向对弧长的变化率--反映曲线的扭曲 程度。 • 该值大于、小于、等于0分别对应右旋、左旋和 平面曲线。
0阶几何连续 GC ：位置连续即： + P (to ) P(t0 )
0
1阶几何连续 GC ：GC 且切线重合即： + P ' (to ) P' (t0 ) 0
1 0
2阶几何连续 GC ：GC 且：
2 1 + B (to ) B (t0 ) + k (t0 ) k (t0 )
它的方向指向参数增加的方向(曲线正向)
曲线上一点处的切矢量（3）
• 参数变换条件下曲线上点的切矢量：
参数变换方程：
t t (t )
参数曲线新方程： Q (t ) P (t (t ))
dQ dP dt 切矢量表达式： dt dt dt (1.2)
切矢量方向 保持不变
dt 要求： 0 dt
沿该方向过该点的直线称为该点处的主法线
曲线上一点处的曲率
曲率：称k ( s ) P ' ' ( s ) 为曲线在s点的曲率。
曲率可衡量曲线的弯曲程度—单位切矢对弧长的转动率 如图所示
P' ' ( s) T ' ( s) lim
Ds 0
D
T ( s + Ds)
T ( s + Ds ) T ( s ) Ds 2 sin D D 2 lim Ds Ds 0 Ds
正则曲线与自然参数（1）
' 正则点：曲线上满足P (t ) 0的点
P' 0 ?
正则曲线：所有点都是正则点的曲线。
正则曲线与参数选取无关
参数表示方程与参数选取有关
自然参数：弧长参数
以弧长为参数的曲线光顺性好 常采用曲线的自然参数（弧长参数）来定义曲线。
正则曲线与自然参数（2）
• 在任意参数条件下的曲率、挠率分别为：
曲线的连续性
• 参数连续：函数可微
• 几何连续：曲线光滑 • 二者既有区别又有联系
曲线的参数连续性
定义C（参数连续）为：
n
d P(t ) dt k
k
t t 0
d P(t ) dt k
k
+ t t 0
k 0,1,2,, n
曲线的几何连续性（1）
图形学的数学基础
－参数曲线基础知识
参数曲线的基本知识
• 表示方法
• 属性
• 连续性
曲线的表示方法
显式表示：
y f ( x),
z f ( x, y)
f ( x, y, z) 0
t a, b
隐式表示： f ( x, y) 0,
x x(t ) 参数表示： y y (t ), z z (t )
曲线的几何连续性（2）
• 是一种可观察的连续性
• 只与曲线本身有关 • 定理：若参数曲线关于它的弧长参数n 阶连续，则n阶几何连续
T (s)
lim
Ds 0
曲率半径
1 定义：当k ( s) 0时，称 ( s) 为曲线在s处的曲率半径 k ( s)
• 直线特征：曲率处处为0；
• 圆的特征：曲率半径处处相等
曲线上一点处的主法向量（2）
• 定理：主法向量与切矢量正交。 • 证明：
T 1即T T 1
求导数得到：T T ' 0
T 1
除特别申明外通常讨论正则曲线并采用弧长参数定义曲 线。以弧长为参数的曲线若非正则，则畸形。
曲线上一点处的主法向量（1）
• 记号
– 自然参数曲线： P(s) P
任一点处的单位切矢量为 T (s)
衡量曲线弯曲 定义-- s处的主法向量： 程度？ T ' (s) ' N (s) （当T ( s ) 0时） T ' (s)
问题：
切矢量(垂直于法平面)的变化快慢反映了曲线于密切平面)的变化反映了曲线的何种属性?
预备定理
• 定理：B' (s) coff (s) N (s) 证明：
由B T 0 B'T 0 B' 与T垂直
又： 1 B'B 0 B' 与B也垂直 B
曲线的几何不变量（1）
• 曲率和挠率：
因与曲线参数和空间直角坐标系的选取都无关， 而称其为曲线的几何不变量。
• 曲线基本定理：
如果两条曲线在弧长参数相同的点处具有相同 的曲率和挠率，那么这两条曲线经过旋转和平 移运动后一定会重合。
• 曲线的自然方程： k k (s) (s)
曲线的几何不变量（2）
T与T '即N垂直
曲线上一点处的从法向量
定义：B(s) T (s) N (s)为从法向量
沿该方向过该点的直线称为从法线。
显然：T (s), N (s), B(s)三单位矢量两两垂直
Frent活动标架
称 P( s), T ( s), N ( s), B( s) 为曲线在s处的Frent活动标架。
图 1 切矢量表示位置矢量的变化
曲线上一点处的切矢量（2）
记号 : P(t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) 表示t处位置矢量
该点处的切矢量表示为：
P(t + Dt ) P(t ) dP ' T lim P (t ) Dt 0 Dt dt (1.1)
更强的控制能力 更灵活方便的变换及表达
参数曲线的基本概念
• 假设参数曲线表示为 P(t )亦即：
x x(t ) y y (t ), z z (t )
t 0,1
曲线上一点处的切矢量（1）
• 用以表示曲线上位置矢量的大小、方向变 化
P (t )
P (t + D t )