正交试验设计的方差分析

若以S 表示A 若以S1表示A1水平下实验误差所引起的波动，其值应 +(34.97+(36.62为：S =(32.62为：S1=(32.62-34.74)2+(34.97-34.74)2+(36.62-34.74)2 =8.0870。同理可以求出A =8.0870。同理可以求出A2 、A3水平下实验误差所引 起的波动，其值分别为S =7.8389， 起的波动，其值分别为S2=7.8389，S3=11.7875 则，A 则，A因素的各个水平下总的偏差平方和应为： Se= S1+ S2+ S3=8.0870+7.8389+11.7875=27.71 (2) S总的计算 总的偏差平方和S 是指全部实验数据中，每个数据(y 总的偏差平方和S总是指全部实验数据中，每个数据(yi) 与总平均值(y 与总平均值(y总)之差的平方和，即：
第二：就因素A而言(因素B 第二：就因素A而言(因素B、C也类同)，其中k1、k2、 也类同)，其中k k3值之间的差异是如何产生的？是由于A因素水平不 值之间的差异是如何产生的？是由于A 同引起的呢？还是由于实验误差所造成的呢？还是 两者综合作用的结果？从直观分析角度是无法说清 楚的。 正是由于直观分析存在着上述的缺点，所以需 要采用方差分析的方法来弥补上述的不足。 1.单因素实验的方差分析 1.单因素实验的方差分析 为了便于讨论，我们仍以实验室制取H2的因素 为了便于讨论，我们仍以实验室制取H 之一------A因素(硫酸的质量分数) 之一------A因素(硫酸的质量分数)为例，来说明单个 因素的实验数据的方差分析方法。
二.方差分析中的一些基本概念 1.偏差平方和 1.偏差平方和 方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此， 充分理解这一概念是至关重要的。 所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y 所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y1, y2, y3……yn)与它们的算术平均数y之差的平方和。用符号 与它们的算术平均数y S来表示。即：
上述推论可通过以下简单换算予以证明。 若令X 若令Xi=yi-C (i=1, 2, ……n) 则
1n 1n X = ∑xi = ∑yi −C n i=1 n i=1 X = y −C
于是
S = ∑(xi − x)2 = ∑[(yi −C) −(y −C)]2 = ∑(yi − y)2
i=1 i=1 i=1
2 1 3 1 3 2 3 2 1
列号 实验号
K1 K2 K3 k1 k2 k3 R
A wH2SO4 (%) 104.21 116.12 131.35 34.78 38.70 43.78 9.05
B mCuSO4·5H2O(g) 114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
三.正交试验设计的方差分析 现以实验室制取H 现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表1和表2 如表1和表2所示。
表1. 因素水平
因素 水平 一 二 三 A wH2SO4 (%) 20 25 30 B mCuSO4·5H2O(g) 0.4 0.5 0.6 C mZn (g) 4 5 6
表3.实验结果分析 参与wH2SO4某一水平的实验编号 w A1(20%) 1 4 7 A2 (25%) 2 5 8 平均值y A3 (30%) 3 6 9 10minH2产率 A1(20%) 32.62 34.97 36.62 34.74 A2 (25%) 40.40 36.53 39.19 38.71 A3 (30%) 41.07 45.75 44.53 43.78
4.因素的显著性判断 4.因素的显著性判断 设因素A 设因素A的F比为FA： 当FA >F0. 01 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有很显著的影响，记作**。 对实验结果有很显著的影响，记作**。 当FA >F0. 05 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有显著的影响，记作* 对实验结果有显著的影响，记作*。 当FA >F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有一定的影响，记作O 对实验结果有一定的影响，记作O。
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用) 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。 方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S 分解为因素的偏差平方和(S 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(S ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方) 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 分布表上横行(n 3…)代表F 由度；竖行(n 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 3…)代表F 中的数值即各种自由度情况下F 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。 例如，某因素A的偏差平方和的自由度f =1，误差 例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 (e)的偏差平方和的自由度f =8，查得F (1,8)=3.64，这 里0.1是信度。 0.1是信度。 在判断时(如判断因素A 在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当F 的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 95%的把握判断因素A 影响。对于不同的信度a，有不同的F 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
若令：
G = ∑ yi
i =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CT =
G2 n
n
则
S = ∑ yi 2 − CT
i =1
偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。 偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。 显然，S越大，该组数据越分散；反之，S 显然，S越大，该组数据越分散；反之，S越小，说明该 组数据越集中。 2.平均偏差平方和与自由度 2.平均偏差平方和与自由度 为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或 集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和) 集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和)平 均偏差平方和的计算方法是：将n个数(y 均偏差平方和的计算方法是：将n个数(y1, y2, y3, ……yn) n 的偏差平方和 S = (y − y)2 除以平方项的个数减1， 除以平方项的个数减1
方差分析是把实验数据总的波动( 方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方 和S总)分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动 (即因素的偏差平方和)，对本例而言仅为S wH2SO4；另一部分 即因素的偏差平方和)，对本例而言仅为S 反映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和S 反映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和Se)。即： (1) Se的计算
n
n
n
3. F比与F分布表 (1) F比
F比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误 S因素 差的平均偏差平方和的比值。即： (2) F分布表及其查阅方法
F比 = S
f因素
误差
f 误差
为了判断F 值的大小所表明的物理意义( 为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的 改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的 差异主要是由实验误差所引起的) 差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个 标准来衡量F 标准来衡量F比值，此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。
正交试验设计的方差分析
一.方差分析的意义 前面我们介绍了正交设计方案及其结果的直 观分析， 该方法简单明了， 通俗易懂， 观分析 ， 该方法简单明了 ， 通俗易懂 ， 计算工作 量少， 便于普及和推广 。 量少 ， 便于普及和推广。 但直观分析方法不能把 实验中由于实验条件的改变而引起的数据波动同 实验误差引起的数据波动区分开来， 也就是说， 实验误差引起的数据波动区分开来 ， 也就是说 ， 不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异， 不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异 ， 究竟是由于因素水平不同引起的， 究竟是由于因素水平不同引起的 ， 还是由于实验 误差引起的。 误差引起的。
1 1 y = ( y1 + y2 + ...... yn ) = ∑ yi n n i=1
则
S =
n
n
∑
( y
i=1
i
− y)
2
为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：
S = ∑ yi − 2∑ yi y + ∑ y = ∑ yi 2 − ny 2
2 2 i =1 n i =1 i =1 i =1 n n n n
表2.实验方案及实验结果的直观分析 2.实验方案及实验结果的直观分析
列号 实验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A wH2SO4 (%) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B mCuSO4·5H2O(g) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 C mZn (g) 1 2 3 3 1 2 2 3 1 空白列 10min内H2的 产率 32.62 40.40 41.07 34.97 36.53 45.75 36.62 39.19 44.53
C mZn (g) 122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
空白列
10min内H2的 产率
119.9 117.56 114.22 39.96 39.18 38.07 1.89
最佳实验条 件是A3B3C1
上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度 来看，提供给我们如下有用的信息： 第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标 影响的主次关系，即： 主--------------------------------------------次 --------------------------------------------次 C[m C[mZn] B[m B[mCuSO4·5H2O] A[wH2SO4] A[w 但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次 关系，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程 度。也就是说，它既不能指明这些因素中哪个是影响 实验指标的关键因素，也不能提供一个标准，用来考 察、判断各个因素的作用是否显著。
∑
i=1
i
即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。 即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。
S 平均偏差平方和 = n−1
为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这是因为n 为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这是因为n个 数(y1, y2, y3, ……yn)之间并非彼此毫无关系，它们满 足的关系是： 1 n y = ∑ yi n i =1 即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中 只有(n-1)个可“自由”变动，所以，求平均偏差平 (n-1)个 方和时除以(n-1)，数学上将这个(n-1)称为S的自由 (n-1)，数学上将这个(n-1)称为S 度。 当实验所测得的n个数(y1, y2, y3, ……yn)数值较 当实验所测得的 (y 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据y 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据yi(i=1, 2, 3……n)都减去同一个常数C，这并不影响偏差平方 ……n)都减去同一个常数C 和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。