2012年高考理科数学(江西卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。

满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。

3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式：锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面积，h 为高。

第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为 A. 5B. 4C. 3D. 22. 下列函数中,与函数A. y=1sin xB. y=ln x xC. y=xe xD. y=sin x x3. 若函数f(x)=21,x 1,x,x 1,x lg ⎧+≤⎨>⎩则f(f(10))= A. lg 101B. 2C. 1D. 04. 若tan θ+1θtan =4,则sin 2θ= A. 15B. 14C. 13D. 125. 下列命题中,假命题为A. 存在四边相等的四边形不．是正方形 B. z 1,z 2∈C,z 1+z 2为实数的充分必要条件是z 1,z 2互为共轭复数 C. 若x,y ∈R,且x+y>2,则x,y 至少有一个大于1D. 对于任意n ∈N +,0n C +1n C +…+n n C 都是偶数6. 观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10= A. 28B. 76C. 123D. 1997. 在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则222|PA ||PB ||PC |+=A. 2B. 4C. 5D. 108. 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A. 50,0B. 30,20C. 20,30D. 0,509. 样本(x 1,x 2,…,x n )的平均数为x ,样本(y 1,y 2,…,y m )的平均数为y (x y ≠).若样本(x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y m )的平均数z =αx +(1-α)y ,其中0<α<12,则n,m 的大小关系为A. n<mB. n>mC. n=mD. 不能确定10. 如右图,已知正四棱锥S -ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为第Ⅱ卷注：Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11. 计算定积分11-⎰(x 2+sin x)dx= .12. 设数列{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 1=7,a 3+b 3=21,则a 5+b 5= .13. 椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 .14. 下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 .三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分. 15. (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 . (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为 .四．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn(其中k ∈N +),且S n 的最大值为8.(1)确定常数k,并求a n ;(2)求数列n n92a 2-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .17. 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知A=4π,bsin C 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-csin B 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=a. (1)求证:B-C=2π;(2)若求△ABC 的面积.18. 如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,1,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V 的分布列及数学期望EV.19. 在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,已知AB=AC=AA 1点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O.(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E,使得OE ⊥平面BB 1C 1C,并求出AE 的长;(2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值.20. 已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C 上任意一点M(x,y)满足|MA +MB |=OM ·(OA +OB)+2. (1)求曲线C 的方程;(2)动点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)在曲线C 上,曲线C 在点Q 处的切线为l,问:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l 与PA,PB 都相交,交点分别为D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求t 的值;若不存在,说明理由.21. 若函数h(x)满足①h(0)=1,h(1)=0; ②对任意a ∈[0,1],有h(h(a))=a; ③在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=1ppp 1x 1λx ⎛⎫- ⎪+⎝⎭(λ>-1,p>0). (1)判断函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;(2)若存在m ∈[0,1],使h(m)=m,称m 是函数h(x)的中介元.记p=1n(n ∈N +)时h(x)的中介元为x n ,且S n =n i 1=∑x i ,若对任意的n ∈N +,都有S n <12,求λ的取值范围;(3)当λ=0,x ∈(0,1)时,函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x 的上方,求p 的取值范围.答案参考解析1. C 由已知,得{z|z=x+y,x ∈A,y ∈B}={-1,1,3},所以集合{z|z=x+y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为3. 2. D 因为的定义域为{x|x ≠0},而y=1sin x的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z},y=x xln 的定义域为{x|x>0},y=xe x 的定义域为R,y=x xsin 的定义域为{x|x ≠0},故D 项正确.3. B ∵f(10)=lg 10=1,∴f(f(10))=f(1)=12+1=2. 4. D ∵tan θ+1θtan =4,∴θθsin cos +θθcos sin =4.∴22θθθθsin cos cos sin +=4,即22θsin =4. ∴sin 2θ=12.5. B 选项A 中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项A 为真命题;选项B 中,z 1,z 2∈C,“z 1+z 2为实数”⇐“z 1,z 2互为共轭复数”,但“z 1+z 2为实数”“z 1,z 2互为共轭复数”,故选项B 为假命题;选项C 中,假设x,y 均小于等于1,则x+y ≤2,这与x+y>2相矛盾,故选项C 为真命题;选项D 中,0n C +1n C +2n C +…+n n C =2n ,显然2n 是偶数,故选项D 为真命题.6. C 利用归纳法:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4=3+1,a 4+b 4=4+3=7,a 5+b 5=7+4=11,a 6+b 6=11+7=18,a 7+b 7=18+11=29,a 8+b 8=29+18=47,a 9+b 9=47+29=76,a 10+b 10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和. 7. D (用向量法)将△ABC 的各边均赋予向量,则222|PA ||PB ||PC |+=222PA PB PC+ =222(PC CA)(PC CB)PC+++=22222PC 2PC CA 2PC CB CA CB PC+++⋅+⋅ =2222|PC |2PC (CA CB)|AB ||PC |++⋅+ =22222|PC |8|PC ||AB ||PC |-+ =22|AB ||PC |-6=42-6=10.8. B 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩、y 亩,总利润为z 万元,则z 关于x,y 的关系式为z=4x×0.55-1.2x+6y×0.3-0.9y=x+0.9y,且x,y 满足约束条件为x 0,y 0,x y 50,1.2x 0.9y 54.≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩ 画可行域,如图所示:设l 0:y=-109x,将l 0上下平移可知,当直线z=x+0.9y 过点A(30,20)(注:可联立方程组x y 500,1.2x 0.9y 540,+-=⎧⎨+-=⎩解得点A 的坐标)时,z 取最大值,因此当总利润z 最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩.9. A 由已知,得x 1+x 2+…+x n =n x ,y 1+y 2+…+y m =m y ,z =12n 12m (x x x )(y y y )m n ++⋯++++⋯++=nx my m n++=αx +(1-α)y ,整理,得(x -y )[αm+(α-1)n]=0, ∵x y ≠,∴αm+(α-1)n=0,即n m =α1α-.又0<α<12,∴0<α1α-<1,∴0<n m<1.又n,m ∈N +,∴n<m.10. A 设截面与SB,SD,AD,AB 分别交于点M,N,P,F,取SC 的中点Q,连结BQ,DQ,如图,过M 作MT ∥AB,V S-ABCD ,由相似性知,V S-EMN x 3,V S-TNM 3,V 棱柱TNM-APF 23. (1)当0<x<12时,V x 332332.V x 图象如图.由V x '的图象可知,当0<x<12时,V x 减小的速度先慢,再快,后慢.(2)当12≤x<1时,V x (1-x)3,V x 2,图象如图.由V x '的图象可知,当12≤x<1时,V x 减小的速度先快后慢,综合(1),(2)知选A.11. 2311-⎰(x 2+sin x)dx=13x 3-cos x 11|-=23. 12. 35 ∵{a n },{b n }均是等差数列,根据等差数列的性质a 1+a 5=2a 3,b 1+b 5=2b 3,即a 5=2a 3-a 1,b 5=2b 3-b 1,∴a 5+b 5=2(a 3+b 3)-(a 1+b 1)=2×21-7=35.13.因为A,B 为左、右顶点,F 1,F 2为左、右焦点,所以|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|BF 1|=a+c. 又因为|AF 1|,|F 1F 2|,|BF 1|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c 2,即a 2=5c 2,所以离心率e=c a14.3 当T=0,k=1时,sin k 2π>sin (k 1)2π-,所以a=1,T=1,k=2;当T=1,k=2时,sin k 2π<sin (k 1)2π-,所以a=0,T=1,k=3;当T=1,k=3时,sin k 2π<sin (k 1)2π-,所以a=0,T=1,k=4; 当T=1,k=4时,sin k 2π>sin (k 1)2π-,所以a=1,T=2,k=5; 当T=2,k=5时,sin k 2π>sin (k 1)2π-,所以a=1,T=3,k=6. 此时k ≥6,所以输出T=3.15. (1)ρ=2cos θ (2)33x|x }22⎧-≤≤⎨⎩16. 解:(1)当n=k ∈N +时,S n =-12n 2+kn 取最大值,即8=S k =-12k 2+k 2=12k 2,故k 2=16,因此k=4, 从而a n =S n -S n-1=92-n(n ≥2).又a 1=S 1=72,所以a n =92-n.(2)因为b n =n n92a 2-=n 1n 2-,T n =b 1+b 2+…+b n =1+22+232+…+n 2n 12--+n 1n 2-,所以T n =2T n -T n =2+1+12+…+n 212--n 1n 2-=4-n 212--n 1n 2-=4-n 1n 22-+.17. (1)证明:由bsin C 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-csin B 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=a, 应用正弦定理,得sin Bsin C 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-sin Csin B 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin A,sin B C C ⎫⎪⎪⎝⎭-sin C B B ⎫⎪⎪⎝⎭, 整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即sin(B-C)=1,由于0<B,C<34π,从而B-C=2π.(2)解:B+C =π-A=34π,因此B=58π,C=8π,由4π,得b=a B A sin sin =2sin 58π,c=a C A sin sin =2sin 8π,所以△ABC 的面积S=1258πsin 8π8πsin 8π=12.18. 解:(1)从6个点中随机选取3个点总共有36C =20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有1334C C =12种,因此V=0的概率为P(V=0)=1220=35. (2)V 的所有可能取值为0,16,13,23,43,因此V 的分布列为由V 的分布列可得EV=0×35+16×120+13×320+23×320+43×120=940.19. (1)证明:连接AO,在△AOA 1中,作OE ⊥AA 1于点E,因为AA 1∥BB 1,得OE ⊥BB 1, 因为A 1O ⊥平面ABC,所以A 1O ⊥BC. 因为AB=AC,OB=OC,得AO ⊥BC, 所以BC ⊥平面AA 1O,所以BC ⊥OE, 所以OE ⊥平面BB 1C 1C.又=1,AA 1得AE=21AO AA (2)解:如图,分别以OA,OB,OA 1所在直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A 1(0,0,2),由AE=11AA 5得点E 的坐标是42,0,55⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE=42,0,55⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设平面A 1B 1C 的法向量n=(x,y,z), 由1n 0,n C 0,AB A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得x 2y 0,y z 0,-+=⎧⎨+=⎩令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2,1,-1),所以cos<OE ,n>=·n || |n |OE OE即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C20. 解:(1)由MA =(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),|MA +MBOM ·(OA +OB)=(x,y)·(0,2)=2y,化简得曲线C 的方程:x 2=4y. (2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA 的方程是y=t 12-x+t,PB 的方程是y=1t 2-x+t.曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y=0x 2x-20x 4,它与y 轴的交点为F 20x 0,-4⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于-2<x 0<2,因此-1<0x 2<1.①当-1<t<0时,-1<t 12-<-12,存在x 0∈(-2,2),使得0x 2=t 12-,即l 与直线PA 平行,故当-1<t<0时不符合题意.②当t ≤-1时,t 12-≤-1<0x 2,1t 2-≥1>0x 2,所以l 与直线PA,PB 一定相交.分别联立方程组220000t 11t y x t,y x t,22x x x x y x ,y x ,2424--⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩解得D,E 的横坐标分别是x D =200x 4t 2(x 1t)++-,x E=200x 4t 2(x t 1)++-,则x E -x D =(1-t)20220x 4t x -(t 1)+-,又|FP|=-20x 4-t,有S △PDE =12·|FP|·|x E -x D |=1t 8-·22022(x 4t)(t 1)x +--,又S △QAB =12·4·20x 14⎛⎫- ⎪⎝⎭=204x 2-,于是QAB PDE S S =41t -·22200220(x 4)[x -(t 1)](x 4t)--+ =41t -·42220042200x -[4(t 1)]x 4(t 1)x 8tx 16t +-+-++. 对任意x 0∈(-2,2),要使QAB PDE S S 为常数,即只须t 满足2224-(t 1)8t,4(t 1)16t ,⎧--=⎨-=⎩ 解得t=-1.此时QAB PDES S =2, 故存在t=-1,使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.21. 解:(1)函数h(x)是补函数.证明如下:①h(0)=1p 1010-⎛⎫ ⎪+⎝⎭=1,h(1)=1p111λ-⎛⎫ ⎪+⎝⎭=0; ②对任意a ∈[0,1],有 h(h(a))=h 1p p p 1a 1λa ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪⎝⎭=1p pp p p 1a 11λa 1a 1λ1λa ⎛⎫-- ⎪+ ⎪- ⎪+ ⎪+⎝⎭=1p p (1λ)a 1λ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦=a; ③令g(x)=(h(x))p ,有 g'(x)=p 1p p p 1p 2px (1λx )-(1x )λpx (1λx )---+-+ =p 1p 2p(1λ)x(1λx )--++,因为λ>-1,p>0,所以当x ∈(0,1)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,故函数h(x)在(0,1)上单调递减.(2)当p=1n(n ∈N +)时,由h(x)=x,得λ2n x +21n x -1=0.(*) (ⅰ)当λ=0时,中介元x n =n 12⎛⎫ ⎪⎝⎭; (ⅱ)当λ>-1且λ≠0时,由(*)得1n x∈(0,1)或1n x∉[0,1];得中介元x n=n. 综合(ⅰ)(ⅱ),对任意的λ>-1,中介元为x n=n (n ∈N +), 于是,当λ>-1时,有S n=ini1=∑n 1⎡⎤-⎥⎥⎦当n无限增大时,n无限接近于0,S n故对任意的n∈N+,S n<1212,即λ∈[3,+∞).(3)当λ=0时,h(x)=(1-x p1p),中介元为x p=1p12⎛⎫⎪⎝⎭,(ⅰ)当0<p≤1时,1p≥1,中介元为x p=1p1122⎛⎫≤⎪⎝⎭,所以点(x p,h(x p))不在直线y=1-x的上方,不符合条件;(ⅱ)当p>1时,依题意只须(1-x p1p)>1-x在x∈(0,1)时恒成立, 也即x p+(1-x)p<1在x∈(0,1)时恒成立,设φ(x)=x p+(1-x)p,x∈[0,1],则φ'(x)=p[x p-1-(1-x)p-1],由φ'(x)=0得x=12,且当x∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时,φ'(x)<0,当x∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭时,φ'(x)>0, 又因为φ(0)=φ(1)=1,所以当x∈(0,1)时,φ(x)<1恒成立.综上,p的取值范围是(1,+∞).。