2020高中数学苏教版必修一第2章2.3.2第二课时知能演练轻松闯关版含答案
苏教版数学必修1：第2章2.3.2第二课时知能演练轻松闯关
1.设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象经过两点A (－1，0)、B (0，1)，则2a ＋b 的值是________．解析：把点A (－1，0)，B (0，1)分别代入f (x )＝log a (x ＋b )，得0＝log a (b －1)与1＝log a b ，∴a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＝4，2a ＋b ＝24＝16.答案：162.函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的最大值是________．解析：y ＝log 12(x 2－6x ＋17)＝log 12[(x －3)2＋8]，因为(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log 12[(x －3)2＋8]≤log 128＝－3.答案：－33.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －2)－3必过定点________．解析：由log a 1＝0，知f (3)＝log a (3－2)－3＝－3.答案：(3，－3)4.函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是________．解析：函数的定义域是(－∞，1)，设y ＝log 23u ，u ＝1－x ，由于函数y ＝log 23u 是减函数，函数u ＝1－x 是减函数，则函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是(－∞，1)．答案：(－∞，1)5.函数f (x )＝2x －log 12(x －1)，x ∈(1，3]的值域是________．解析：u 1＝log 12(x －1)在(1，3]上为减函数，u 2＝－log 12(x －1)在(1，3]上为增函数，又u 3＝2x 在(1，3]上也为增函数．∴f (x )＝u 2＋u 3＝2x －log 12(x －1)在(1，3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]．答案：(－∞，7][A 级 基础达标]1.设log a 34，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a >1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a <1时，log a 34<1＝log a a ，得0<a <34.故a >1或0<a <34. 答案：(0，34)∪(1，＋∞) 2.当a >0且a ≠1时，已知函数y ＝log a x ＋1的图象必过定点M ，则M 的坐标是________． 解析：函数y ＝log a x ＋1的图象由函数y ＝log a x 的图象沿y 轴的正方向平移一个单位得到，而函数y ＝log a x 的图象过定点(1，0)，所以M 的坐标是(1，1)．答案：(1，1)3.(1)函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象关于________对称；(2)函数y ＝log 3x 与y ＝log 3(－x )的图象关于________对称；(3)函数y ＝log 3x 与y ＝－log 3(－x )的图象关于________对称．解析：对于任何函数y ＝f (x )，其图象与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．答案：(1)x 轴 (2)y 轴 (3)原点4.函数f (x )＝3－log 12x (x ≥2)的值域是________．解析：f (x )＝3－log 12x 在区间[2，＋∞)上为增函数，或者先将f (x )变形为f (x )＝3＋log 2x .答案：[4，＋∞)5.已知函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：令u ＝2－ax ，y ＝log a u ，因为a ＞0，所以u ＝2－ax 递减，又y 关于x 递减，所以y 关于u 递增，所以a ＞1，又u ＝2－ax 在x ∈[0，1]上恒大于0，所以2－a ＞0，即a ＜2，综上得1＜a ＜2.答案：(1，2)6.求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(2x ＋1)；(2)y ＝log 0.2(x 2－1)； (3)y ＝log 12(x 2－2x ＋3)．解：(1)值域为R ；(2)值域为R ；(3)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴2≤(x －1)2＋2，即log 12(x 2－2x ＋3)≤－1，值域为(－∞，－1]．7.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，求实数a 的值． 解：(1)若0<a <1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为减函数，令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f （1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a 2＝0，无解． (2)若a >1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为增函数，令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （1）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝0，log a 2＝1，故a ＝2，符合题意． 综合(1)、(2)知，a ＝2.[B 级 能力提升]8.设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是________． 解析：由f (0)＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x＜0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x ＞0，1＋x 1－x＜1，解得－1＜x ＜0. 答案：(－1，0)9.已知f (x )＝|log a x |(0＜a ＜1)，则f (14)________f (2)．(填大小关系) 解析：因为0＜a ＜1，所以f (2)＝|log a 2|＝－log a 2＝log a 12，又f (14)＝log a 14，f (x )在(0，1)上递减，而0＜14＜12＜1，所以f (14)＞f (12)，即f (14)＞f (2)． 答案：＞10.已知关于x 的方程(12)x ＝11－lg a有正根，求实数a 的取值范围． 解：法一：设x 0为方程的正根，则0<(12)x 0<1，即0<11－lg a，得lg a <0，故0<a <1. 法二：由(12)x ＝11－lg a， 可知x ＝log 2(1－lg a )．令log 2(1－lg a )>0，得1－lg a >1，故lg a <0，得0<a <1.11.(创新题)设函数f (x )＝lg(1－x )，g(x )＝lg(1＋x )，试在f (x )和g(x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g(x )|的大小．解：f (x )和g(x )的公共定义域是(－1，1)．(1)当－1<x <0时，|f (x )|－|g(x )|＝lg(1－x )＋lg(1＋x )＝lg(1－x 2)<0，即|f (x )|<|g(x )|.(2)当x ＝0时，|f (x )|＝|g(x )|.(3)当0<x <1时，|f (x )|－|g(x )|＝－lg(1－x )－lg(1＋x )＝－lg(1－x 2)>0，即|f (x )|>|g(x )|. 综合(1)、(2)、(3)知，当－1<x <0时，|f (x )|<|g(x )|；当x ＝0时，|f (x )|＝|g(x )|；当0<x <1时，|f (x )|>|g(x )|.。
苏教版数学必修1：第2章2.1.2知能演练轻松闯关
1.下列图象中表示函数y ＝f (x )关系的有________． 解析：根据函数定义知②，③，④表示函数关系，而①不是函数关系．答案：②③④2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，3x ＋1，x<0.则f (x)＝________． 解析：∵x ≥0，∴f (x)＝(x)2＝x .答案：x3.若函数f (x )满足f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (4)＝________．解析：法一：令x ＝3，得f (3＋1)＝2×32＋1，即f (4)＝19.法二：f (x ＋1)＝2(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，故f (x )＝2x 2－4x ＋3.令x ＝4得f (4)＝2×42－4×4＋3＝19.答案：194.已知f (x )＝a x ＋b ，且对一切x ∈R 恒有f (f (x ))＝9x ＋8，则f (x )表达式为________．解析：a f (x )＋b ＝a(a x ＋b)＋b ＝a 2x ＋(a ＋1)b ＝9x ＋8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9（a ＋1）b ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－4， ∴f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4.答案：f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －45.某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n (双)之间的函数关系是C ＝4000＋50n ，若要使某天的生产成本不超过5000元，则当天至多生产皮鞋________双．解析：4000＋50n ≤5000，50n ≤1000，∴n ≤20.答案：20[A 级 基础达标]1.某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图形如图所示，现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．你认为正确的说法有________．(填序号)解析：由图象可知开始时温度增加的速度越来越慢，5分钟以后温度保持不变，故②和④正确．答案：②④2.设函数f (x )＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f (x )，则g(x )的表达式为________．解析：∵g(x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g(x )＝2x －1.答案：g(x )＝2x －13.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 x ≤22x x ＞2，若f (x 0)＝8，则x 0＝________. 解析：若x 0≤2，则f (x 0)＝x 20＋2＝8，得x 0＝± 6.∵x 0≤2，∴x 0＝－ 6.若x 0＞2，则f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4.综上可知，x 0＝－6或x 0＝4.答案：－6或44.已知f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，则f (x )＝________．解析：设f (x )＝a x 2＋b x ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.故f (x )＝－12x 2＋x －3. 答案：－12x 2＋x －3 5.某洗衣店每洗一次衣服(4 kg 以内)需要付费4元，如果在这家洗衣店洗衣每满10次，那么解析：当1≤x ＝22时，y ＝80；当23≤x ≤32时y ＝4x －8.答案：40 40 44 56 76 92 1126.设函数f(x )满足f (x －1)＝2x ＋5，求f (x )，f (x 2)．解：设x －1＝t(t ∈R)，则x ＝t ＋1.∴f (t)＝2(t ＋1)＋5＝2t ＋7，∴f (x )＝2x ＋7，f (x 2)＝2x 2＋7.7.求函数y ＝1－|1－x |的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积．解：函数解析式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<1，2－x ， x ≥1. 作出函数的图象如图所示，所求面积S ＝12×2×1＝1. [B 级 能力提升] 8.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3， x ≤－2，3x －1， －2<x ≤0，x 2－7， x>0，若f (a)＝－3，则a ＝________．解析：若a ≤－2，则5a ＋3＝－3，∴a ＝－65>－2(舍)； 若－2<a ≤0，则3a －1＝－3，∴a ＝0∈(－2，0]． 若a>0，则a 2－7＝－3，∴a ＝2或a ＝－2(舍)．综上，a ＝0，或a ＝2.答案：0或29.已知函数f (x )满足f (ab)＝f (a)＋f (b)，a ，b ∈R ，若f (2)＝3，f (3)＝5，则f (36)＝________． 解析：令a ＝2，b ＝3，有f (6)＝f (2)＋f (3)＝8；令a ＝b ＝6，有f (36)＝f (6)＋f (6)＝16. 答案：1610.已知函数f (x )＝a x 2＋b x ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1对任意x ∈R 成立，求f (x )．解：由f (0)＝0，得c ＝0，∴f (x )＝a x 2＋b x ，由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝a x 2＋b x ＋x ＋1，∴a x 2＋(2a ＋b)x ＋(a ＋b)＝a x 2＋(b ＋1)x ＋1，该式对任意x ∈R 成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12. ∴f (x )＝12x 2＋12x . 11.(创新题)2011年9月1日开始实施的新《个人所得税法》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资、薪金所得税，超过3500元的部分需征税，设全月总收入金额为x 元，试写出工资x (x ≤ 解：由题意得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 x ∈[0，3500]0.03x －105 x ∈（3500，5000]0.1x －455 x ∈（5000，8000]， 当x ＝6000元时，y ＝0.1×6000－455＝145(元)．∴月收入6000元应缴纳145元税金．。
苏教版数学选1-1：第2章2.2.2知能演练轻松闯关
[A级 基础达标]
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．
解析：椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由，消去y，整理得3x2－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，
则x1，x2是方程3x2－5x＝0的两个实根，解得x1＝0，x2＝，故A(0，－2)，B，
故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝××1＝.
答案：
∴b2＝a2－c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于________．
解析：由题意，知b＝c，即a2－c2＝c2，a2＝2c2，e2＝，
故e＝.
答案：
已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0<e≤，则长轴的最大值是________．
解析：由e2＝＝＝，得0<≤，解得1<a2≤4.故1<a≤2，2<2a≤4.
PQ＝－3b2＋3b＋a2＋＝7，
又b2＝a2，则消去a得4b2＋12b－19＝0，此时无解；
②若b≥，则当y＝－时，PQ＝a2＋3＝7，得a2＝4.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.当y＝－时，由此得，x＝±.故椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为.
[B级 能力提升]
过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
2020高中数学苏教版必修一第2章2.2.2第二课时知能演练轻松闯关版含答案
1.为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向________平移________个单位长度．解析：y ＝3×(13)x ＝(13)x －1. 答案：右 12.已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________．解析：令x －1＝0，得x ＝1，此时y ＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(1，3)．答案：(1，3)3.指数函数f (x )的图象上的点的坐标是(－3，18)，则f (2)＝________． 解析：设y ＝a x ，则18＝a －3，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ， ∴f (2)＝4.答案：44.若关于x 的方程2x ＝3a ＋1有负根，则a 的取值范围是________．解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1，所以0＜3a ＋1＜1，解得－13＜a ＜0. 答案：(－13，0) 5.某厂2012年的产值为a 万元，预计产值每年以n %递增，则该厂到2024年的产值(单位：万元)是________．解析：2013年的产值为a (1＋n %)，2014年的产值为a (1＋n %)2，…，2024年的产值为a (1＋n %)12.答案：a (1＋n %)12[A 级 基础达标]1.若函数y ＝(1－a )x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由函数y ＝(1－a )x 在R 上是减函数知0<1－a <1，得0<a <1.答案：(0，1)2.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，若x <0时，f (x )＝1＋2x ，则x >0时，f (x )＝________．解析：当x <0时，f (x )＝1＋2x ，设x >0，则－x <0，从而f (－x )＝1＋2－x .又f (－x )＝－f (x )，则当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－1－2－x .答案：－1－2－x3.某电子元件厂生产一种元件的原成本为10元，在今后5年内，计划使成本平均每年比上一年降低1%，则成本y 随经过的年数x 变化的函数关系式是________．解析：每年生产这种元件的成本是上一年的0.99，x 年后，成本为y ＝10×0.99x .答案：y ＝10×0.99x (x ＝1，2，3，4，5)4.若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 必满足条件________． 解析：函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移b －1个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0，1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由1－(b －1)<0，得b >2，因此，a ，b 必满足条件a >1，b >2.答案：a >1，b >25.已知函数f (x )＝(a ＋1)x 2－1在区间(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令t ＝x 2－1，则t ＝x 2－1在(1，＋∞)上为增函数，而当y ＝f (x )为减函数时，必有y＝(a ＋1)t 为减函数，故0<a ＋1<1，即－1<a <0.答案：(－1，0)6.已知函数f (x )＝2x ，作出下列函数的简图，并结合图象分别写出它们的单调区间．(1)y ＝f (|x |)；(2)y ＝|f (x )－2|；(3)y ＝f (|x －3|)．解：(1)由函数y ＝2x (x ≥0)的图象及其关于y 轴对称的图象得到y ＝2|x |的图象，如图①.函数的单调增区间是[0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0]．(2)将函数y ＝2x 的图象沿着y 轴的负方向向下平移2个单位后得到函数y ＝2x －2的图象，再将函数y ＝2x －2在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称图形，就得到函数y ＝|2x －2|的图象，如图②.函数的单调增区间是[1，＋∞)，单调减区间是(－∞，1]．(3)将y ＝2|x |的图象沿着x 轴向右平移3个单位得到y ＝2|x －3|的图象，如图③.函数的单调增区间是[3，＋∞)，单调减区间是(－∞，3]．7.已知函数y ＝(12)x －2＋2(x ∈[0，1])． (1)判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)求函数的值域． 解：(1)设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，(12)x 1－x 2>1. 故f (x 1)－f (x 2)＝4(12)x 2[(12)x 1－x 2－1]>0，即f (x 1)>f (x 2)．即函数f (x )为单调减函数． (2)y ＝(12)x －2＋2是单调减函数，所以y 在x ∈[0，1]上的最大值是y ＝(12)0－2＋2＝6，最小值是y ＝(12)1－2＋2＝4，所以函数的值域是[4，6]． [B 级 能力提升]8.要得到函数y ＝21－2x 的图象，只要将函数y ＝(14)x 的图象向________平移________个单位． 解析：设f (x )＝(14)x ，则21－2x ＝(12)2x －1＝(14)x －0.5＝f (x －0.5)． 答案：右 129.设函数f (x )定义在R 上，它的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则f (13)，f (32)，f (23)的大小关系为________． 解析：由对称性知f (23)＝f (43)，f (13)＝f (53)，根据图象，由1＜43＜32＜53，得f (43)＜f (32)＜f (53)， 即f (23)＜f (32)＜f (13)． 答案：f (23)＜f (32)＜f (13) 10.某电器公司生产A 型电脑，2008年每台电脑平均生产成本为p 元，并以纯利润20%确定出厂价．从2009年开始，公司开始更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2012年，尽管A 型电脑的出厂价仅是2008年出厂价的80%，但却实现了50%的纯利润的高效益．(1)求2012年每台A 型电脑的生产成本；(2)若2008年到2012年的生产成本逐年降低幅度是相同的，求此下降幅度(即下降的百分比)．(精确到0.01，参考数据：5≈2.236，6≈2.449)解：(1)设2012年每台电脑的生产成本为x 元，由题意得x ·(1＋50%)＝p ×(1＋20%)×80%，解得x ＝1625p. (2)设2008～2012年间每年平均生产成本降低的百分率是y ，则由题意得p(1－y )4＝1625p ，解得y ＝1－255或y ＝1＋255(舍去)．∴y ＝1－255≈0.106≈11%. 即2012年每台电脑的生产成本是1625p 元，2008～2012年生产成本平均每年降低11%. 11.(创新题)2010年我国GDP 总量为397983亿元，2011年我国GDP 总量为471564亿元，(1)求我国GDP 的年平均增长率(保留2位小数)；(2)按此增长速度估计2013年我国的国民生产总值(保留2位小数)．解：(1)设年增长率为x ，则：397983(1＋x)＝471564，x≈0.18＝18%.(2)2年后总值为471564(1＋0.18)2＝656605.71(亿元)．即年平均增长率为18%，到2013年，我国国民生产总值为656605.71亿元．。
苏教版数学必修2：第2章2.3.2知能演练轻松闯关
1.点P(3，4，5)在yOz平面上的投影点P′的坐标是________．答案：(0，4，5)2.若点P(a，b，c)即在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________．解析：点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.答案：03.两点A(0，4，－2)，B(3，0，3)的距离为________．解析：AB＝32＋42＋52＝5 2.答案：5 24.设球心C(0，－1，0)，球面经过一点M(－1，3，1)，则球的半径为________．解析：r＝CM＝（－1－0）2＋（3＋1）2＋（1－0）2＝3 2.答案：3 25.已知A(4，0，2)，B(1，0，－1)，M为y轴上一点，且满足MA＝2MB，则M点的坐标为________．解析：设M(0，y，0)，则由题意有（0－4）2＋（y－0）2＋（0－2）2＝2（0－1）2＋（y－0）2＋（0＋1）2，∴20＋y2＝4(2＋y2)，∴3y2＝12，即y＝±2.答案：(0，2，0)或(0，－2，0)[A级基础达标]1.已知点A(－3，1，－4)，则点A关于原点的对称点的坐标为________．解析：空间中的一点关于原点对称点的坐标应为原来点的每个坐标的相反数，即所求的点是(3，－1，4)．答案：(3，－1，4)2.点M(4，－3，5)到原点的距离d1＝________，到z轴的距离d2＝________．解析：利用两点间距离公式可得d1＝42＋（－3）2＋52＝5 2.过M作MN⊥平面xOy于N，则N(4，－3，0)，故d2＝ON＝42＋（－3）2＝5.答案：52 53.已知A(4，－7，1)，B(6，2，z)，若AB＝10，则z＝________．解析：由AB＝（4－6）2＋（－7－2）2＋（1－z）2＝10，解得z＝1±15.答案：1±154.已知点A(1，2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则BC 的长为________．解析：点C的坐标为(1，2，1)，点B的坐标为(1，－2，1)．∴BC＝（1－1）2＋（－2－2）2＋（1－1）2＝4，答案：45.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则AB的最小值为________．解析：∵AB＝（2a－1）2＋（－7－a）2＋（－2＋5）2＝5a2＋10a＋59＝5（a＋1）2＋54≥54，∴AB的最小值为3 6.答案：3 6 6.已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为a ，侧棱长为l ，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解：设正四棱锥底面中心点为O ，∵OA ⊥OB ，点P 在平面ABCD 上的射影为O ，∴以O 为坐标原点，以直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则OA ＝22a ，PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝l ， ∴PO ＝PA 2－OA 2＝l 2－12a 2. 故各顶点坐标依次为A (22a ，0，0)． B (0，22a ，0)，C (－22a ，0，0)，D (0，－22a ，0)， P (0，0，l 2－12a 2)．7.三棱锥P －ABC 中，侧面PAC ⊥底面ABC ，△ABC 是以角B 为直角顶点的直角三角形，AB ＝BC ＝22，又PA ＝PB ＝PC ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中：(1)求点A ，B ，C ，P 的坐标；(2)求AB ，PC 的中点之间的距离．解：(1)取AC 的中点O ，连结OB ，OP .∵△ABC 是直角三角形，且AB ＝BC ＝2 2.∴AC ＝4，OB ＝2.∵PA ＝PB ＝PC ，∴点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，即点O .故PO ⊥平面ABC .∵PA ＝3，∴PO ＝PA 2－AO 2＝32－22＝ 5.以O 为坐标原点OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∴点P 的坐标为P (0，0，5)．又A (0，－2，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)．(2)AB 的中点坐标为(1，－1，0)，PC 的中点坐标为(0，1，52)．这两个中点之间的距离为 d ＝12＋22＋（52）2＝52. [B 级 能力提升]8.已知P 1(－2，－3，1)，P 2(1，2，3)，P (x ，y ，z )，且PP 1＝PP 2，则实数x 、y 、z 满足的条件是________．解析：∵PP 1＝PP 2，由两点间的距离公式得（x ＋2）2＋（y ＋3）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －2）2＋（z －3）2，化简得3x ＋5y ＋2z ＝0.答案：3x ＋5y ＋2z ＝09.在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于________．解析：∵AM ＝（3－0）2＋（－1－1）2＋（2－2）2＝13，∴正方体的体对角线长为213，∵3a 2＝52(a 为正方体的棱长)，∴a ＝2393. 答案：239310.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝6，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .(1)试建立恰当的空间直角坐标系，并写出图中各点的坐标；(2)求A ，E 之间的距离．解：(1)以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得：BC ⊥PC ，PC ＝62，PB ＝62＋（62）2＝6 3.由△PEF ∽△PBC ，得PF PC ＝PE PB， ∴PF ＝23，∴BF ＝4 3.在△PBD 中，作FF ′∥PD ，交BD 于F ′，则FF ′⊥平面ABCD ，且FF ′6＝4363，∴FF ′＝4. ∴原图中各点的坐标为A (6，0，0)，B (6，6，0)，C (0，6，0)，D (0，0，0)，E (0，3，3)，F (2，2，4)，P (0，0，6)．(2)AE ＝62＋32＋32＝3 6.11.(创新题)如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，点P在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点P 为对角线AB 中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究PQ 的最小值；(2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究PQ 的最小值；(3)当点P 在对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动时，探究PQ 的最小值．解：设正方体的棱长为a ，连结OA ，在平面AOB 内，作PH ⊥OA 于H .∵OB ⊥平面xOy ，∴PH ⊥平面xOy .设P (x ，x ，z )，则z a ＝2a －2x 2a， ∴z ＝a －x .故P (x ，x ，a －x )．(1)x ＝a 2时，P (a 2，a 2，a 2)， 设Q (0，a ，t )，则PQ ＝a 24＋a 24＋（t －a 2）2. 故当t ＝a 2，即Q 为CD 中点时，PQ min ＝22a . (2)由题意知Q (0，a ，a 2)，P (x ，x ，a －x )， PQ ＝x 2＋（x －a ）2＋（x －a 2）2 ＝3x 2－3ax ＋54a 2 ＝3（x －a 2）2＋a 22故当x ＝a 2，即P 为AB 中点时，PQ min ＝2a 2. (3)由题意知P (x ，x ，a －x )，设Q (0，a ，t )．则PQ ＝x 2＋（x －a ）2＋（x －a ＋t ）2＝3（x －2a －t 3）2＋23（t －a 2）2＋a 22故当⎩⎨⎧x ＝2a－t 3，t ＝a 2，即⎩⎨⎧x ＝a 2，t ＝a 2，时，PQ min ＝2a 2. 此时，P 、Q 分别为AB ，CD 的中点．。
苏教版数学必修1：第2章2.2.1知能演练轻松闯关
1.（a －b ）2(a ＜b )＝________． 解析：（a －b ）2＝|a －b |＝b －a . 答案：b －a2.下列说法中正确的个数为________ . ①na n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③3x 4＋y 3＝x 43＋y ；④3－5＝6（－5）2.解析：①中，若n 为偶数，则不一定成立，故①是错误的；②中，因为a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≠0，所以(a 2－a ＋1)0＝1是正确的；③是错误的；④左边为负数，而右边为正数，是错误的．故正确的个数为1. 答案：13.若a <0，则a －1a ＝________．解析：由题意a －1a ＝－ a 2（－1a ）＝－－a .答案：－－a4.已知(x －y )2＝5－26，则x －y ＝________． 解析：先分别求出x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝2. ∴x －y ＝±1. 答案：±15.若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则 22y x a+＝________．解析：22y x a ++＝(a x )2·(a y )12＝32·512＝9 5.答案：9 5[A 级 基础达标]1.27的平方根和立方根分别是________． 解析：在实数范围内，因为(±33)2＝27，所以27的平方根有两个：－33与3 3.只有33＝27，所以27的立方根是3. 答案：±33，32.(－a )2×a 3等于________．解析：(－a )2×a 3＝a 2×a 3＝a 2＋3＝a 5. 答案：a 53.计算：[(－2)2]－12＝________．解析：＝2－12＝12＝22.答案：224.求值：(1)5－32＝________； (2) （－3）4＝________； (3)（3－2）2＝________． 解析：(1) 5－32＝5（－2）5＝－2. (2) （－3）4＝92＝9.(3) （3－2）2＝|3－2|＝2－ 3. 答案：－2 9 2－ 35.已知10α＝2，100β＝3，则10002α－13β＝________．解析：100β＝3，即102β＝3，即10β＝312，∴10002α－13β＝106α－β＝（10α）610β＝26312＝6433. 答案：64336.(1)计算：(－3)0－012＋(－2)－2－16－14；(2)已知a ＝12，b ＝132，求[a －32b (ab －2)－12(a －1)－23]2的值．解：(1)原式＝1－0＋1（－2）2－(24)－14＝1＋14－2－1＝1＋14－12＝34. (2)因为a ＝12，b ＝132，所以原式＝(a －32－12＋23b 1＋1)2＝a －83b 4＝(2－12)－83×(2－13)4＝243－43＝20＝1. 7.化简下列各式(a >0，b >0)：(1)(a －12b －2)3； (2)(a 12－b 12)÷(a 14－b 14)．解：(1)(a －12b －2)3＝a －32b －6.(2)(a 12－b 12)÷(a 14－b 14)＝(a 14＋b 14)(a 14－b 14)÷(a 14－b 14)＝a 14＋b 14.[B 级 能力提升]8.当|x |<2时，x 2－（x －3）2－（x ＋3）2＝________． 解析：原式＝|x |－|x －3|－|x ＋3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －6， －2<x <0，x －6， 0≤x <2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧－x －6， －2<x <0x －6， 0≤x <29.若x ＝3－23＋2，y ＝3＋23－2，则3x 2－5xy －3y 2＝________． 解析：x ＝(3－2)2＝5－26，y ＝(3＋2)2＝5＋26，代入即可求得．答案：－5－120 6 10.化简：(1) （x ＋1）2＋3（x ＋1）3；(2)a －2＋2a －1b 1＋b －2a －2－b －2. 解：(1)原式＝|x ＋1|＋(x ＋1) ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2， x ≥－10， x <－1. (2)原式＝（a －1＋b －1）2（a －1）2－（b －1）2＝（a －1＋b －1）2（a －1－b －1）（a －1＋b －1）＝a －1＋b －1a －1－b －1＝b ＋ab －a. 11.(创新题)已知：a 23＋b 23＝4，x ＝a ＋3a 13b 23，y ＝b ＋3a 23b 13，试求：(x ＋y )23＋(x －y )23的值． 解：∵x ＝a ＋3a 13b 23，y ＝b ＋3a 23b 13， ∴x ＋y ＝a ＋3a 13b 23＋b ＋3a 23b 13＝(a 13)3＋3a 23b 13＋3a 13b 23＋(b 13)3＝(a 13＋b 13)3，x －y ＝a ＋3a 13b 23－b －3a 23b 13＝(a 13)3－3a 23b 13＋3a 13b 23－(b 13)3＝(a 1－b 1)3. ∴(x ＋y )23＋(x －y )23＝[(a 13＋b 13)3]23＋[(a 13－b 13)3]23＝(a 13＋b 13)2＋(a 13－b 13)2＝2(a 23＋b 23)＝2×4＝8.。
高中数学 电子题库 第2章2.3.2第一课时知能演练轻松闯关 苏教版必修1
苏教版数学必修1电子题库第2章2.3.2第一课时知能演练轻松闯关＝错误!的定义域是________．解析：由错误!得＜4且≠3∴的定义域为－∞，3∪3，4．答案：－∞，3∪3，42若0＜a＜1，则函数＝og a＋5的图象不经过第________象限．解析：由＝og a的图象左移5个单位长度得到．答案：一＝，b＝og1.10.9，c＝，则a、b、c的大小关系是________．解析：∵0＜a＝，b＝og1.10.9＜0，c＝，故b＜a＜c答案：b＜a＜c＝g2＋1的值域为________．解析：∵2≥0，∴2＋1≥1∴g2＋1≥0∴值域为[0，＋∞．答案：[0，＋∞填序号．①n22；②nn2；③n错误!；④n2解析：根据＝n的单调性易知②③④中，n2最大．又因为0＜n2＜1，所以n22＜n2答案：④[A级基础达标]＝og a1≤≤2的值域是[－1，0]，那么a＝________．解析：由题意得00，得og b3>0，则a，b的大小关系是________．解析：∵og a3>og b3>0，∴a>1，b>1由换底公式有错误!>错误!>0，∴og3b>og3a>0∴b>a答案：b>a6比较下列各组数的大小：1og0.20.4，，；2og错误!3，og错误!3，og错误!3；3og23，og45，og76解：1因为函数＝是区间0，＋∞上的单调减函数，且0.20.3因为函数f＝错误!是减函数，又错误!>错误!>错误!，所以错误!og45>1，而og760，得>2，所以函数＝og2－2的定义域是2，＋∞．函数＝og2－2的值域是R2因为对任意实数，og42＋8都有意义，所以函数＝og42＋82＋8≥8，所以og42＋8≥og48＝错误!，即函数＝og42＋8的值域是[错误!，＋∞．[B级能力提升]＝{|og2≤2}，B＝－∞，a，若A⊆B，则实数a的取值范围是c，＋∞，其中c＝________．解析：∵og2≤2，∴0＜≤4又∵A⊆B，∴a＞4∴c＝4答案：4＞1，且m＝og a a2＋1，n＝og a a－1，＞＞＞n＞＞n解析：令a＝2，则m＝og25＞2，n＝og21＝0，＝og24＝2答案：②错误!已知函数f＝og2a－12＋1在区间错误!，＋∞上满足f>0，试求实数a的取值范围．解：当∈错误!，＋∞时，2＋1>4>1因为og2a－12＋1>0＝og2a－11，所以2a－1>1，即2a>2，解得a>的取值范围是1，＋∞．错误!创新题若a、b为不等于1的正数且a1，而og a错误!0，og a b错误!时，og a b<og b错误!<og a错误!；当b<错误!时，og b错误!<og a b<og a错误!。
苏教版数学必修1：第2章2.3.2第一课时知能演练轻松闯关
1.函数y ＝lg （4－x ）x －3的定义域是________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，x －3≠0，得x ＜4且x ≠3. ∴x 的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．答案：(－∞，3)∪(3，4)2.若0＜a ＜1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第________象限． 解析：由y ＝log a x 的图象左移5个单位长度得到． 答案：一3.已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a 、b 、c 的大小关系是________． 解析：∵0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1，故b ＜a ＜c. 答案：b ＜a ＜c4.函数y ＝lg(x 2＋1)的值域为________．解析：∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1.∴lg(x 2＋1)≥0.∴值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5.下列四个数中最大的是________(填序号)．①(l n 2)2；②l n (l n 2)；③l n 2；④l n 2.解析：根据y ＝l nx 的单调性易知②③④中，l n 2最大． 又因为0＜l n 2＜1，所以(l n 2)2＜l n 2.答案：④[A 级 基础达标]1.函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域是[－1，0]，那么a ＝________．解析：由题意得0<a <1，则log a 2＝－1，即a －1＝2，a ＝12. 答案：122.函数y ＝l nx (0<x ≤1)的值域是________．解析：y ＝l nx 在区间(0，1]上单调递增，y max ＝l n 1＝0. 答案：(－∞，0]3.函数y ＝log 2x (x ∈(1，2])的值域是________． 解析：由于对数函数y ＝log 2x 在定义域上是单调增函数，所以函数y ＝log 2x (x ∈(1，2])也是单调增函数，值域为(log 21，log 22]，即(0，1]． 答案：(0，1]4.函数y ＝log 5(4－2x )的定义域是________．解析：由题意知4－2x >0，得x <2.答案：(－∞，2)5.已知log a 3>log b 3>0，则a ，b 的大小关系是________． 解析：∵log a 3>log b 3>0，∴a >1，b >1.由换底公式有1log 3a >1log 3b>0，∴log 3b >log 3a >0. ∴b >a .答案：b >a6.比较下列各组数的大小：(1)log 0.20.4，log 0.20.3，log 0.23；(2)log 123，log 133，log 143；(3)log 23，log 45，log 76.解：(1)因为函数y ＝log 0.2x 是区间(0，＋∞)上的单调减函数，且0.3<0.4<3， 所以log 0.20.3>log 0.20.4>log 0.23.(2)因为函数f (x )＝1log 3x 是减函数，又12>13>14， 所以1log 3121log 313<1log 314，即log 123<log 133<log 143.(3)log 23＝log 49>log 45>1，而log 76<log 77＝1， 故log 76<log 45<log 23.7.求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．解：(1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)．函数y ＝log 2(x －2)的值域是R.(2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义，所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R.又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)． [B 级 能力提升]8.已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．解析：∵log 2x ≤2，∴0＜x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a ＞4.∴c ＝4.答案：49.设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则下列关系正确的是________．(填序号)①n ＞m ＞p ；②m ＞p ＞n ；③m ＞n ＞p ；④p ＞m ＞n . 解析：令a ＝2，则m ＝log 25＞2，n ＝log 21＝0，p ＝log 24＝2. 答案：②10.已知函数f (x )＝log (2a －1)(2x ＋1)在区间(32，＋∞)上满足f (x )>0，试求实数a 的取值范围． 解：当x ∈(32，＋∞)时，2x ＋1>4>1. 因为log (2a －1)(2x ＋1)>0＝log (2a －1)1，所以2a －1>1，即2a >2，解得a >1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11.(创新题)若a 、b 为不等于1的正数且a <b ，试比较log a b ，log a 1b ，log b 1b 的大小． 解：log b 1b1， ①若1<a <b 时，log a b >1，而log a 1b <log a 1a ＝－1， ∴log a 1b <log b 1b<log a b . ②若0<a <b <1时，则0<log a b <1，而－1＝log a 1a <log a 1b<0. ∴log b 1b <log a 1b<log a b .③若0<a <1<b ，则log a 1b>0，log a b <0， 当b ＝1a 时，log a b ＝log b 1b <log a 1b ； 当b >1a 时，log a b <log b 1b <log a 1b ； 当b <1a 时，log b 1b <log a b <log a 1b .。
苏教版数学选1-1：第2章2.3.2知能演练轻松闯关
答案：－＝1
已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率．
答案：(±4，0)x±y＝0
双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题意得2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又因为a＝2，c2＝a2＋b2＝4＋b2，所以b＝c－2，所以c2＝4＋(c－2)2，即c2－4c＋8＝0，所以c＝2，b＝2，所求的双曲线的标准方程是－＝1.
解析：设双曲线的方程为y2－3x2＝λ(λ≠0)，将点(1，1)代入可得λ＝－2，故双曲线C的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
(2011·高考北京卷)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________．
解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝2，∴＝4.
∵a2＝1，∴b2＝4.又∵b>0，∴b＝2.
解：直线l过(a，0)、(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1，0)到直线l的距离为d1＝，
同理得到点(－1，0)到直线l的距离为d2＝，由s≥c得到≥c①.将b2＝c2－a2代入①式的平方，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，
两边同除以a4后令＝x，得到4x2－25x＋25≤0，
高中数学 电子题库 第2章2.3.1第二课时知能演练轻松闯关 苏教版必修1
苏教版数学必修1电子题库 第2章2.3.1第二课时知能演练轻松闯关1.下列四个结论中正确的是________(填序号)． ①lg(lg10)＝0；②log a 2＋log a 12＝0(a ＞0且a ≠1)；③log 318－log 32＝3；④lg 14－lg25＝－2.答案：①②④2.计算：2log 525＋3log 264－8log 71等于________． 解析：原式＝4＋18－0＝22. 答案：223.log 2716log 34的值为________． 解析：原式＝lg16lg27lg4lg3＝lg16·lg3lg27·lg4＝2lg4·lg33lg3·lg4＝23.答案：234.若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．解析：由已知，得log 34·log 48·log 8m ＝lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝log 3m ＝2，∴m ＝32＝9.答案：95.已知log 32＝a ，3b＝5，则log 330用a ，b 表示为________．解析： 由3b＝5，得b ＝log 35，而log 330＝12(log 310＋log 33)＝12(log 32＋log 35＋1)＝12(a＋b ＋1)．答案：12(a ＋b ＋1)[A 级 基础达标]1.若log 32＝a ，则log 38－2log 36＝________．解析：log 38－2log 36＝log 323－2(1＋log 32)＝3a －2－2a ＝a －2. 答案：a －22.给出下列4个等式：①log 253＝3log 25；②log 253＝5log 23；③log 84＝23；④log24＝4.其中正确的等式是________．(写出所有正确的序号)解析：②中log 253＝15log 23，故②不正确，①③④都正确．答案：①③④3.(lg5)2＋lg2·lg50＝________．解析：(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝1. 答案：14.计算log 225·log 3(22)·log 59的结果为________．解析：原式＝lg25lg2·lg （22）lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.答案：65.设a >1且a ≠0，log a (xy )＝3，log a (ax )＝3，则log a y ＝________.解析：log a (xy ax)＝log a (xy )－log a (ax )＝3－3，即log a (ya)＝3－3，即log a y －1＝3－3(或先求出log a x ＝2)，则log a y ＝3－2.答案：3－26.不用计算器，计算下列各式：(1)log 25－2log 410； (2)lg4＋lg5lg20＋(lg5)2. 解：(1)法一：原式＝log 25－2log 2210＝log 25－log 210＝log 212＝－1.法二：原式＝log 425－log 4100＝log 414＝－1.(2)原式＝2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg5)2＝2lg2＋lg5(2lg2＋lg5＋lg5)＝2lg2＋2lg5lg10＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2. 7.求下列各式中x 的值：(1)log 2(x 2－2)＝0； (2)log 3(log 4x )＝1.解：(1)因为log 2(x 2－2)＝0，所以x 2－2＝1，即x 2＝3，解得x ＝± 3.(2)因为log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.[B 级 能力提升]8.已知log a x ＝1，log b x ＝2，log c x ＝3，则log ab c x ＝________．解析：由已知，有log x a ＝1，log x b ＝12，log x c ＝13.∴log x (ab c)＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝116.∴log ab c x ＝611.答案：6119.若log 5(6－1)＋log 2(2＋1)＝a ，则log 5(6＋1)＋log 2(2－1)的值为________．解析：log 5(6＋1)＋log 2(2－1)＝log 556－1＋log 212＋1＝1－[log 5(6－1)＋log 2(2＋1)] ＝1－a . 答案：1－a10.设lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求a b的值．解：由题知，a >0，b >0，a －2b >0，且lg(ab )＝lg(a －2b )2，所以ab ＝(a －2b )2，从而a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a b)2－5×a b ＋4＝0，解得a b ＝1或4.由a －2b >0，得a b >2，所以a b＝4.11.(创新题)地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lgE －11.4).2008年5月12日，中国汶川发生了8.0 级特大地震，而2011年3月11日日本海域地震的震级为9.0级，那么2011年地震的能量约是2008年地震的多少倍．解：由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧8＝23（lgE 1－11.4）9＝23（lgE 2－11.4）⇒⎩⎪⎨⎪⎧lgE 1＝23.4lgE 2＝24.9⇒lg E 2E 1＝lgE 2－lgE 1＝32.∴E 2E 1＝1032.故为1032倍．。
高中数学 电子题库 第2章2.4知能演练轻松闯关 苏教版必修1
1.若幂函数f (x )＝x m －1在(0，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：指数为正时，幂函数在第一象限为增函数．答案：m ＞12.已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，那么这个幂函数的解析式为________． 解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3α＝3，所以α＝12，所以y ＝x 12. 答案：y ＝x 123.函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．解析：由题意，1－x ≠0且1－x ≥0，所以x ＜1.答案：(－∞，1)4.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m ＜0，n ＜0.取x ＝2，则有2m ＞2n ，故n＜m ＜0.答案：n ＜m ＜05.函数f (x )＝x 1m 2＋m ＋1(m ∈N ＋)为________函数．(填“奇”，“偶”，“奇且偶”，“非奇非偶”)解析：∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＋1＝m (m ＋1)＋1为奇数，∴f (x )为奇函数．答案：奇[A 级 基础达标]1.函数y ＝x 12＋x －1的定义域是________．解析：y ＝x 12的定义域是[0，＋∞)，y ＝x －1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．答案：(0，＋∞)2.函数y ＝x ＋1x －1的对称中心的坐标是________． 解析：y ＝x ＋1x －1可化为y ＝1＋2x －1，即y －1＝2x －1. 其图象可看作是由y ＝2x 向右平移1个单位，向上平移1个单位而得，由y ＝2x的对称中心为(0，0)，可知y ＝x ＋1x －1图象的对称中心为(1，1)． 答案：(1，1)3.写出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23.其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x －1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：①②③4.设函数f (x )＝(m －1)xm 2－2，如果f (x )是正比例函数，则m ＝________；如果f (x )是反比例函数，则m ＝________．解析：如果f (x )是正比例函数，则m 2－2＝1且m －1≠0，解得m ＝±3，如果f (x )是反比例函数，则m 2－2＝－1且m －1≠0，解得m ＝－1. 答案：± 3 －15.已知0<a <1，则a 12，a 2，2a 从小到大的次序是________．解析：分别利用函数y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝2x 的图象，直线x ＝a (0<a <1)与各自交点的纵坐标即为3个函数值，故a 2<a 12<2a .答案：a 2<a 12<2a6.已知函数f (x )＝x 2(x ≥0)，g(x )＝x 12(x ≥0)．(1)(2)函数y ＝f 解：(1)(2)y ＝f (x )与1)．7.已知f (x )＝x ，g(x )＝x 3，设F (x )＝f (x )＋g(x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性． 解：∵f (x )，g(x )的定义域均为R ，∴F (x )＝f (x )＋g(x )＝x ＋x 13的定义域为R.又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )，∴F (x )是奇函数．∵f (x )与g(x )在R 上均为增函数，∴F (x )在R 上也为增函数．[B 级 能力提升]8.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12 （x ＞0），－2 （x ＝0），（x ＋3）12 （x ＜0），则f {f [f (0)]}＝________.解析：f (0)＝－2，f [f (0)]＝f (－2)＝(－2＋3)12＝1，f {f [f (0)]}＝f (1)＝1－12＝1. 答案：19.已知函数y ＝(m 2－9m ＋19)x 2m －9是幂函数，且图象不过原点，则m ＝________．解析：令m 2－9m ＋19＝1，得m ＝3或m ＝6.当m ＝6时，原函数为y ＝x 3过原点，不合题意，舍去．答案：310.已知幂函数y ＝xm 2＋2m －3(m ∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1，又∵m ∈Z，∴m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵－3＜0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，∴y ＝x －3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )， ∴函数y ＝x －4是偶函数．∵－4＜0，∴y ＝x －4在(0，＋∞)上是减函数．又∵y ＝x －4是偶函数，∴y ＝x －4在(－∞，0)上是增函数．11.(创新题)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3＜(3－2a )－m 3的a 的取值范围． 解：因为函数在(0，＋∞)上递减，所以m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.又m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1，所以有(a ＋1)－13＜(3－2a )－13.又因为y ＝x －13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减， 所以a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，a ＋1＜0， 解得a ＜－1或23＜a ＜32， 即a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＜－1或23＜a ＜32.。
2021-2022年高中数学 电子题库 第2章2.1.3第二课时知能演练轻松闯关 苏教版必修1
2021-2022年高中数学 电子题库 第2章2.1.3第二课时知能演练轻松闯关 苏教版必修11.已知函数y ＝(x －1)2，则x ∈(－1，5)上的最小值为________．解析：因为函数y ＝(x －1)2的对称轴为x ＝1，所以其最小值为f (1)＝0.答案：02.函数y ＝ax ＋1(a ＜0)在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为________，________． 解析：因为a ＜0，∴y ＝ax ＋1在[0，2]上是减函数，当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝2时，y m i n ＝2a ＋1.答案：1 2a ＋13.函数y ＝－x 2＋2x －1在[0，3]上的最小值为________．解析：y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，函数图象对称轴为x ＝1，结合图象(图略)可知，当x＝3时，y m i n ＝－4.答案：－44.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， 0≤x ≤12， 1<x <2，3， x ≥2的最大值是________．解析：0≤x ≤1时，f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时，f (x )＝2；x ≥2时，f (x )＝3.因此f (x )的最大值是3.答案：3[A 级 基础达标]1.若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________． 解析：函数y ＝－2x 在[－4，－1]上是单调增函数，故y max ＝－2－1＝2. 答案：22.函数y ＝(a －1)x 在[1，3]上的最大值是2，则a ＝________．解析：若a >1，当x ＝3时，y max ＝2，∴(a －1)×3＝2，a ＝53. 若a <1，当x ＝1时y max ＝2，∴(a －1)×1＝2，a ＝3，与a <1矛盾，故舍去．因此满足条件的a ＝53. 答案：533.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则函数y ＝f (2x )＋3的最大值为________，最小值为________．解析：y ＝f (2x )的最大值为M ，最小值为N ，故y ＝f (2x )＋3的最大值为M ＋3，最小值为N ＋3.答案：M ＋3 N ＋34.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a .∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[0，1]上单调递增．又∵f (x )m i n ＝－2，∴f (0)＝－2，即a ＝－2.∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.答案：15.函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1，当x ∈[－2，＋∞)时是减函数，则m 的取值范围是________．解析：由题意函数f (x )的单调减区间为[m 4，＋∞)．故m 4≤－2，得m ≤－8. 答案：(－∞，－8]6.函数y ＝－x 2－4x ＋1在区间[a ，b](b ＞a ＞－2)上的最大值为4，最小值为－4，求a 与b的值．解： ∵y ＝－(x ＋2)2＋5，∴函数图象对称轴是x ＝－2.故在[－2，＋∞)上是减函数．又∵b＞a ＞－2，∴y ＝－x 2－4x ＋1在[a ，b]上单调递减．∴f (a )＝4，f (b)＝－4.由f (a )＝4，得－a 2－4a ＋1＝4，∴a 2＋4a ＋3＝0，即(a ＋1)(a ＋3)＝0.∴a ＝－1或a ＝－3(舍去)，∴a ＝－1.由f (b)＝－4，得－b 2－4b ＋1＝－4，∴b ＝1或b ＝－5(舍)，∴b ＝1.7.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1，1]上的最小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )m i n ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增，故f (x )m i n ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增，故f (x )m i n ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )m i n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a ＞1）2－a 2（－1≤a ≤1）.3＋2a （a ＜－1）[B 级 能力提升]8.如果函数f (x )＝x 2＋b x ＋c 对任意实数x ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系为________．解析：由题意知，函数以x ＝2为对称轴，f (1)＝f (3)，且在(2，＋∞)上单调递增，故f (2)<f (1)<f (4)．答案：f (2)<f (1)<f (4)9.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最小值为________．解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3， x >2，1， 1≤x ≤2，3－2x ， x <1，作出函数图象(如图)易得f (x )最小值为1.法二：在数轴上，设实数1，2，x 分别对应点A ，B ，P ，则|x －1|＋|2－x |＝A P ＋BP ，结合图象易得A P ＋BP≥A B ＝1，当P 在A ，B 之间时取等号．答案：110.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋5，x ∈[－5，5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值和最大值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4.∴当x ＝1时，y m i n ＝4；当x ＝－5时，y max ＝40.(2)f (x )＝(x ＋a )2＋5－a 2.由条件，得－a ≤－5或－a ≥5，∴a ≤－5或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．11.(创新题)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值为4，求a 的值．解：f (x )＝x 2＋2ax ＋1＝(x ＋a )2＋1－a 2，区间[－1，2]的中点为12，对称轴为直线x ＝－a ，结合二次函数的图象(图略)知： 当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝1－2a ＋1＝4，∴a ＝－1≤－12； 当－a <12，即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4＋4a ＋1＝4，∴a ＝－14>－12. 综上所述，a ＝－1或a ＝－14.27964 6D3C 洼+o@26709 6855 桕36978 9072 遲.e25454 636E 据21435 53BB 去d23583 5C1F 尟'26793 68A9 梩。
高中数学电子题库第2章2.1.1第二课时知能演练轻松闯关苏教版必修1
苏教版数学必修 1 电子题库第 2 章 2.1.1 第二课时知能操练轻松闯关1. 以下坐标系中的曲线或直线，能作为函数的y＝ f ( x)的图象的有________(填序号)．分析：依据函数定义，对每一个自变量x，有且只有一个函数值与之对应，因此①，③不是函数的图象，故只有②，④是函数的图象．答案：②④2.函数 y＝ f ( x)的图象以下图，填空：(1)f (－1)＝________；(2)f (1)＝________；(3)f (2)＝________．分析：由图象过点(－1，0) ，(1 ， 1) ，(2 ，0) ，可知 f (－1)＝0， f (1)＝1， f (2)＝0.答案：0 103.225函数 f ( x)＝a x ＋b x＋c(a≠0)的图象以下图，则 f (5) 与f ( 2) 的大小关系是 ________．分析：f (x) 对称轴为x＝2，∵225－2，∴f2(5．－>( )>)525f22 5答案： f (5)> f (2)4.已知函数 y＝ f ( x)的图象以下图，则 f ( x)的定义域为________，值域为________．分析：察看图象中任一点( x，y) 的取值状况．答案： ( －∞，－ 1] ∪ (1 ，＋∞ )( －∞，－ 1] ∪ (1 ， 3)5. 函数 y ＝ f ( x ) 的图象以下图，则(1) 使 f ( x ) ＝ 0 建立的 x 的会合 ________；(2) 若 1<x 1<x 2<2，则 f ( x 1) 与 f ( x 2) 的大小关系是 ________； (3) 若 1<x 0<3，则 f ( x 0) 的符号为 ________．( 填正或负 )分析：察看函数图象可得．答案： { － 1， 1， 3} f ( x 1)> f ( x 2) 负[A 级 基础达标 ]x － 11. 若 f ( x ) ＝x，则方程 f (4 x ) ＝ x 的根是 ________．4x － 1 4x － 1 1分析： f (4 x ) ＝4x，由4x＝ x 得 x ＝ 2.1答案： x ＝22. 假如一次函数图象以下图，则该一次函数的分析式为 ________．分析：设一次函数f ( x ) ＝ a x ＋ b ，其图象过点 (1 ， 0) 与 (0 ， 1) ，所以有 f （ 1）＝ 0，即f （ 0）＝ 1， a ＋ b ＝ 0， a · 0＋ b ＝ 1，a ＝－ 1，∴∴ f ( x ) ＝－ x ＋ 1.b ＝ 1，答案： f ( x ) ＝－ x ＋ 1 3. 函数 y ＝|x|＋ x 的图象是 ________．( 填序号 ) x分析：分 x >0 和 x <0，获得分析式． 答案：④4. 函数 y ＝ f ( x ) 图象如右图所示，则 f ( x ) 的值域为 ________． 分析：察看图象可得 y 的取值范围为 [0 ，1] ． 答案： [0 ，1]5. 如图，函数 f ( x)的图象是曲线OAB，此中点O， A， B 的坐标分别为 (0 ， 0) ，(1 ， 2) ， (3 ，11) ，则f ( f（3） ) 的值等于 ________．1分析：由题意， f (3)＝1，∴ f (f（3）)＝ f (1)＝2.答案： 26.画出以下函数的图象，并求值域：(1)y＝3x－1， x∈[1，2]；(2) y＝x2，x∈ {0 ，1， 2， 3} ；x2－ x(3) y＝ | x－1|; (4)y＝x－1.解：函数图象以下所示，由图象察看易得：(1) 值域为 [2 ，5] ；(2) 值域为 {0 ，1，4，9} ；(3)值域为 [0 ，＋∞ ) ； (4) y＝x( x≠1) ，值域为 { y| y∈R且y≠1} ．7.已知函数f(x)＝ a ＋ b，且f(－ 1) ＝－ 4，(2) ＝5，x f求： (1)a，b 的值； (2) f (0)的值．解： (1) 由f （－ 1）＝－ 4－ a＋b＝－ 4?2a＋ b＝ 5f （ 2）＝ 5? a＝ 3， b＝－ 1.(2) 由 (1)知 f ( x)＝3x－1，∴ f(0) ＝－ 1.[B 级能力提高 ]8.下边所给出的四个图象和三个事件：①我走开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是马上返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以匀速行驶走开家，不过在途中碰到一次交通拥塞，耽误了一些时间；③我从家里出发后，心情轻松，慢慢前进，以后为了赶时间开始加快．图象与这三个事件发生的次序相符合的分别为________．分析：离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故①与图象d 相符合；途中有一段时间交通拥塞，则这段时间与家的距离必为必定值，故②与图象 a 相吻合；加快赶向学校，图象上涨地就愈来愈快，故③与图象 b 相符合．答案：①－ d，②－ a，③－ b9. 若对于x的方程 2x2－3x－ k＝0 在 ( － 1，1) 内仅有一个实根，则 k 的取值范围是________．分析：此题可转变为函数 y ＝2x 2－ 3x 与函数 y ＝ k 在区间 ( －1，1) 内交点个数问题，作出函23 2 9 数 y ＝ 2x － 3x ＝ 2( x －4) － 8在 ( － 1， 1) 上的图象，以下图．由图象知当－ 1≤k<5或 k ＝－ 9 时， y ＝ k 与 y ＝2 2－3 x 仅有一个交点．8 x9答案：－ 1≤k<5 或 k ＝－ 810. 画出 f ( x ) ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3 的图象，并依据图象回答以下问题．(1) 比较 f (0) 、 f (1) 、 f (3) 的大小；(2) 若 x 1<x 2<1，比较 f ( x 1) 与 f ( x 2) 的大小．(1)解：利用描点法作出 f ( x ) ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3 的图象，联合其图象对称性及变化状况来比较大小． (1) 函数图象如图 (1) 所示． 可见 f (0) ＝ f (2) ，f (1)> f (2)> f (3) ， ∴f (1)> f (0)> f (3) ．(2)(2) 如图 (2) 所示，当x 1<x 2<1 时， f ( x 1)< f ( x 2) ．1 23的定义域和值域都是 [1 ， b](b>1)，求 b 的值．11.( 创新题 ) 若函数 f ( x ) ＝ x－x ＋221212解： f ( x ) ＝ 2( x － 1) ＋1 ，作出 y ＝ 2( x － 1) ＋ 1 的图象 ( 图略 ) ，察看图象可知在 [1 ， b] 上，当 x ＝ 1 时， ( ) i ＝1；当 x ＝ b 时， f ( x ) a 1 2 3 ，∴ ( x1 2 3 ＝ b － b ＋ ) 值域为 [1 ， b － b ＋ ] ．又m n m x2 2 2 2∵ f ( x ) 的值域是 [1 ，b] ，∴ 1b 2－b ＋ 3＝ b ，∴ b ＝ 1( 舍 ) 或 b ＝3. 所以 b ＝ 3.22。
高中数学 电子题库 第2章2.1.3第一课时知能演练轻松闯
苏教版数学必修1电子题库 第2章2.1.3第一课时知能演练轻松闯关1.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________．解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－32.已知函数y ＝|x |在[a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：画出函数y ＝|x |的图象(图略)，可知函数的单调增区间为[0，＋∞)，∴a ≥0. 答案：[0，＋∞)3.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0x 2，x <0的单调递增区间为________；单调递减区间为________． 解析：当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数．答案：[0，＋∞) (－∞，0)4.(2012·郑州高一检测)已知函数y ＝f (n )(n ∈N *)的函数值全为整数且该函数是一个单调增函数，若f (4)＝0，f (1)＝－4，则f (2)可能取的值是________．解析：由于函数y ＝f (n )(n ∈N *)是一个单调增函数且f (4)＝0，f (1)＝－4，所以－4<f (2)<f (3)<0，故f (2)可能取的值为－3或－2.答案：－3或－25.若f (x )在R 上是增函数且f (x 1)>f (x 2)，则x 1、x 2的大小关系为________． 解析：由增函数的定义知，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2.答案：x 1>x 2[A 级 基础达标]1.函数y ＝－2x的单调递增区间为________． 解析：由函数y ＝－2x的图象可知增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞)2.下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0”的是________(填序号)．①f (x )＝2x ； ②f (x )＝－3x ＋1；③f (x )＝x 2＋4x ＋3; ④f (x )＝x ＋1x. 解析：由题意f (x )在(0，＋∞)上为增函数，函数f (x )＝2x及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上都为减函数，函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，函数f (x )＝x 2＋4x ＋3在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，故在(0，＋∞)上也为增函数．满足条件的只有③.答案：③3.若函数f (x )＝k －x x在(－∞，0)上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：f (x )＝k x －1与函数y ＝k x 有相同的单调性，∴只要转化为函数y ＝k x在(－∞，0)上是减函数即可．答案：k>04.右图为y ＝f (x )的图象，则它的单调递减区间是________．答案：(－2，1)，(3，＋∞)5.设函数y ＝f (x )为R 上的减函数，且f (－2)＝0，则不等式f (x －1)>0的解集是________． 解析：f (x －1)>0即f (x －1)>f (－2)，由函数单调性知x －1<－2，故x <－1.答案：(－∞，－1)6.求证：函数f (x )＝－32x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 证明：任取区间(－∞，0)上的两个值x 1，x 2，设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，x 1x 2>0，因为f (x 1)－f (x 2)＝－32x 1－1－(－32x 2－1) ＝32×1x 2－1x 1＝32×x 1－x 2x 1x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )＝－32x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 7.判断函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明如下：设0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝(x 22－x 21)＋(1x 1－1x 2) ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋1x 1x 2)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋1x 1x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即函数y ＝f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． [B 级 能力提升]8.若函数f (x )是定义在R 上的增函数，当a ＋b>0时给出下列四个关系：①f (a )＋f (b)<f (－a )＋f (－b)；②f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)；③f (a )＋f (－a )>f (b)＋f (－b)；④f (a )＋f (－a )<f (b)＋f (－b)．其中正确的关系序号为________．解析：∵a ＋b>0，即a >－b ，b>－a ，又∵f (x )是R 上的增函数，∴f (a )>f (－b)，f (b)>f (－a )．∴f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)．答案：②9.已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________． 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a （x ＋2）＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2. ∵f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，∴1－2a <0，即a >12. 答案：a >1210.已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (2x －1)，求x 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1，－1≤2x －1≤1，x －1<2x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤x ≤1，x >0，∴0<x ≤1，∴x 的取值范围是(0，1]．11.(创新题)设函数f (x )＝x ＋a x ＋b(a >b>0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：f (x )的定义域为{x |x <－b 或x >－b}．设x 1，x 2∈(－∞，－b)，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋a x 2＋b＝（x 1＋a ）（x 2＋b ）－（x 2＋a ）（x 1＋b ）（x 1＋b ）（x 2＋b ）＝（b －a ）（x 1－x 2）（x 1＋b ）（x 2＋b ）. ∵a >b>0，∴b －a <0，又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，故(b －a )(x 1－x 2)>0.又∵x 1＋b<0，x 2＋b<0，∴(x 1＋b)(x 2＋b)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0.即y ＝f (x )在(－∞，－b)上为减函数．同理可得f (x )在(－b ，＋∞)上也是减函数．因此，f (x )的单调减区间为(－∞，－b)和(－b ，＋∞)．。
【位置】苏教版高考数学必修2第1章123第二课时知能演练轻松闯关Word版含答案
【关键字】位置1.如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.答案：平行下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1笔直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1笔直．答案：2下列说法中正确的个数是________．①如果一条直线和一个平面内的所有直线都笔直，则这条直线和这个平面笔直；②如果一条直线和一个平面笔直，则这条直线和这个平面内的所有直线都笔直；③如果一条直线和一个平面内的两条直线笔直，那么这条直线和这个平面笔直；解析：①②正确，③中缺少两条“相交”直线这一条件．答案：2若点A∉平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，则A到α的距离为________．解析：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH＝45°.在Rt△ABH中，AH＝ABsin45°＝3.答案：3[A级基础达标]已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是________．解析：当直线a∥平面α，直线a∥平面β时，a∥b且a∥c，则b∥c；当直线a∩平面α＝A，直线a∩平面β＝B.且AB与l不笔直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b 和c的位置关系是相交、平行或异面．答案：相交，平行或异面笔直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线笔直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面笔直．答案：笔直如图，边长为2的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为，则AD与α所成的角为________．解析：在Rt△AED中，AE＝，AD＝2，∴∠ADE＝30°.答案：30°在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.答案：①如图，PA⊥面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB，△PAC为直角三角形．∵BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．∵BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.∴△PBC也为直角三角形．答案：4如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC.求证：AC⊥平面PBD.证明：设AC∩BD＝O，连结PO(图略)．∵PA＝PC，∴AC⊥PO.又ABCD为菱形，∴AC⊥BD.而PO∩BD＝O，PO，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.7.已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：如图，过A作AO⊥平面BCD于O，则AO⊥CD.连结OB，OC，∵AB⊥CD，AO∩AB＝A，∴CD⊥平面AOB，∴BO⊥CD.同理得CO⊥BD，∴O是△BCD的垂心．连结DO并延长交BC于M，则DM⊥BC，而AO⊥BC，AO∩DM＝O，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD.[B级能力提升]8.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩P A＝P，∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.即Q在以AD为直径的圆上，当半圆与BC相切时，点Q只有一个．故BC＝2AB＝2，即a ＝2.答案：29.正△ABC边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．解析：如图，作DH⊥A C于H，连结BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，∴DH为BH在平面ADC内的射影，∴BH⊥AC，又正△ABC边长为a，∴DH＝34a，∴BH＝BD2＋DH2＝7 4a.答案：7 4a10.如图，已知α∩β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明：∵EA⊥α，l⊂α，∴EA⊥l.同理EB⊥l.∵E A∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a.又AB⊥a，AB∩EB＝B，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.11.(创新题)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，E为AB的中点，M为DE的中点，将△AED沿DE折起，使AB＝AC.求证：AM⊥平面BCDE.证明：取BC中点N，连结MN，AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.又MN⊥BC，MN∩AN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴BC⊥AM.∵AD＝AE，∴AM⊥DE.而直线BC与DE为相交直线，∴AM⊥平面BCDE.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
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1.设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象经过两点A (－1，0)、B (0，1)，则2a ＋
b 的值是________．
解析：把点A (－1，0)，B (0，1)分别代入f (x )＝log a (x ＋b )，得0＝log a (b －1)与1＝log a b ，∴a
＝2，b ＝2，∴a ＋b ＝4，2a ＋b ＝24＝16.
答案：16
2.函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的最大值是________． 解析：y ＝log 12(x 2－6x ＋17)＝log 12[(x －3)2＋8]，因为(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log 12
[(x －3)2＋8]
≤log 12
8＝－3.
答案：－3
3.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －2)－3必过定点________．
解析：由log a 1＝0，知f (3)＝log a (3－2)－3＝－3.
答案：(3，－3)
4.函数y ＝log 23
(1－x )的单调递增区间是________．
解析：函数的定义域是(－∞，1)，设y ＝log 23u ，u ＝1－x ，由于函数y ＝log 23
u 是减函数，函
数u ＝1－x 是减函数，则函数y ＝log 23
(1－x )的单调递增区间是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
5.函数f (x )＝2x －log 12
(x －1)，x ∈(1，3]的值域是________．
解析：u 1＝log 12
(x －1)在(1，3]上为减函数，
u 2＝－log 12
(x －1)在(1，3]上为增函数，
又u 3＝2x 在(1，3]上也为增函数．
∴f (x )＝u 2＋u 3＝2x －log 12
(x －1)在(1，3]上为增函数．
故f (x )的值域为(－∞，7]．
答案：(－∞，7]
[A 级 基础达标]
1.设log a 34
<1，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a >1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a <1时，log a 34<1＝log a a ，得0<a <34
.故a >1或0<a <34
. 答案：(0，34
)∪(1，＋∞) 2.当a >0且a ≠1时，已知函数y ＝log a x ＋1的图象必过定点M ，则M 的坐标是________． 解析：函数y ＝log a x ＋1的图象由函数y ＝log a x 的图象沿y 轴的正方向平移一个单位得到，而函数y ＝log a x 的图象过定点(1，0)，所以M 的坐标是(1，1)．
答案：(1，1)
3.(1)函数y ＝log 3x 与y ＝log 13
x 的图象关于________对称；
(2)函数y ＝log 3x 与y ＝log 3(－x )的图象关于________对称；
(3)函数y ＝log 3x 与y ＝－log 3(－x )的图象关于________对称．
解析：对于任何函数y ＝f (x )，其图象与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．
答案：(1)x 轴 (2)y 轴 (3)原点
4.函数f (x )＝3－log 12
x (x ≥2)的值域是________．
解析：f (x )＝3－log 12x 在区间[2，＋∞)上为增函数，或者先将f (x )变形为f (x )＝3＋log 2x .
答案：[4，＋∞)
5.已知函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：令u ＝2－ax ，y ＝log a u ，因为a ＞0，所以u ＝2－ax 递减，又y 关于x 递减，所以y 关于u 递增，所以a ＞1，又u ＝2－ax 在x ∈[0，1]上恒大于0，所以2－a ＞0，即a ＜2，综上得1＜a ＜2.
答案：(1，2)
6.求下列函数的值域：
(1)y ＝log 2(2x ＋1)；
(2)y ＝log 0.2(x 2－1)；
(3)y ＝log 12
(x 2－2x ＋3)．
解：(1)值域为R ；(2)值域为R ；
(3)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，
∴2≤(x －1)2＋2，即log 12
(x 2－2x ＋3)≤－1，
值域为(－∞，－1]．
7.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，求实数a 的值． 解：(1)若0<a <1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为减函数，
令⎩
⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f （1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a 2＝0，无解． (2)若a >1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为增函数，
令⎩
⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （1）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝0，log a 2＝1，故a ＝2，符合题意． 综合(1)、(2)知，a ＝2.
[B 级 能力提升]
8.设f (x )＝lg(21－x
＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是________． 解析：由f (0)＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x
＜0，得 ⎩
⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x ＞0，1＋x 1－x
＜1，解得－1＜x ＜0. 答案：(－1，0)
9.已知f (x )＝|log a x |(0＜a ＜1)，则f (14
)________f (2)．(填大小关系) 解析：因为0＜a ＜1，所以f (2)＝|log a 2|＝－log a 2＝log a 12，又f (14)＝log a 14
，f (x )在(0，1)上递减，而0＜14＜12＜1，所以f (14)＞f (12)，即f (14
)＞f (2)． 答案：＞
10.已知关于x 的方程(12)x ＝11－lg a
有正根，求实数a 的取值范围． 解：法一：设x 0为方程的正根，则0<(12)x 0<1，即0<11－lg a
<1，得lg a <0，故0<a <1. 法二：由(12)x ＝11－lg a
， 可知x ＝log 2(1－lg a )．令log 2(1－lg a )>0，得1－lg a >1，故lg a <0，得0<a <1.
11.(创新题)设函数f (x )＝lg(1－x )，g(x )＝lg(1＋x )，试在f (x )和g(x )的公共定义域内比较|f (x )|
与|g(x)|的大小．
解：f(x)和g(x)的公共定义域是(－1，1)．
(1)当－1<x<0时，|f(x)|－|g(x)|＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝lg(1－x2)<0，即|f(x)|<|g(x)|.
(2)当x＝0时，|f(x)|＝|g(x)|.
(3)当0<x<1时，|f(x)|－|g(x)|＝－lg(1－x)－lg(1＋x)＝－lg(1－x2)>0，即|f(x)|>|g(x)|.综合(1)、(2)、(3)知，当－1<x<0时，|f(x)|<|g(x)|；当x＝0时，|f(x)|＝|g(x)|；
当0<x<1时，|f(x)|>|g(x)|.。