西南交通大学 2008-2009 学年第(一)学期考试试卷

西南交通大学 2008－2009 学年第(一)学期考试试卷
课程代码 2100024 课程名称 线性代数B 考试时间 120 分钟
注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；
2．请将判断题、填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。

一、判断题（ 每小题 3 分，共 12 分；正确的打“√”，错误的打“×” ） 1、若向量组 12,,,r ααα 线性相关，则向量组 12,,,m ααα ()r m < 线性相关。

（ ）
2、222()2A B A AB B +=++。

（ ）
3、设12,λλ是对称矩阵A 的两个相同的特征值，12,αα是对应于12,λλ的特征向量，则1α和2α一定线性相关。

（ ）
4、12120,1,2,,{(,,,)|2}T n n i x R i n V x x x x x x nx =∈===+++ 是向量空间。

（ ）
二、填空题（每空3分，共15分）
5、求函数211
()1
2
x f x x x
x x
-=--中3x 的系数为 ；
6、设(123),(321)T αβ==，则 αβ= ；
7、已知四阶行列式12345678
44440123
D =-------，则 11121314A A A A +++= ；
8、若n 元非齐次线性方程Ax b =有唯一解，则它对应的齐次线性方程
0Ax = ；
（填写“只有零解”或“有非零解”）
班 级 学 号 姓 名
密封装订线 密封装订线 密封装订线
9、设A 为n 阶方阵，且270A A E +-=，则()1
2A E --= 。

三、选择题（每小题3分，共18分） 10、设 64201111
1x y x x y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） （A ） 410x y == （B ） 104x y == （C ） 1
1x y == （D ） 0
1x y ==
11、矩阵100200001030010004A ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，则 1A -=（ ）
（A ） 1002
10
03
100
4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭
（B ）10
020*******⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
（C ） 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 10
021003
1
04
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
12、设 A B 、均为n 阶方阵，下列各式正确的是( ). (A) ||||A A λλ=； (B) 111()AB B A ---=； (C) ()T T T AB B A =； (D)||||||A B A B +=+. 13、设3阶可逆方阵A ，且1
2
A =，则1*(2)5A A --=（ ）； （A ） 4 （
B ） -4 （
C ） 16 （
D ） -16 14、已知 3 阶方阵A 的特征值为 1，-2，3，则 2*A A +=（ ）; （A ） -245 （B ）245 （C ）49 （D ）-35 15、设矩阵1234(,,,),A =αααα其中234,,ααα线性无关，且12332ααα=-，
1234234βαααα=+++，则 AX β= 的通解为( ).
(A) 11322314x c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (B) 1132
2304x c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(C) 14332201x c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 1122
3344x c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
四、计算题（48分）
16、计算四阶行列式 43
1111
311
11311
11
3
D =
（6分） 17、设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，其中300040005A ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，求矩阵 B 。

（6分） 18、设向量组12345:(1,0,2,0),(1,2,0,1),(2,1,3,0),(2,5,1,4),(1,1,3,1)T T T T T A ααααα====-=--，求向量组A 的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。

（12分）
19、设有线性方程组1231231
23(1)0
(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩，问λ取何值时，此方程（1）有唯一解；
（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。

（12分） 20、求一个正交变换x Py =，把二次型222123121323255448f x x x x x x x x x =+++--化为标准形。

（12分） 五、证明题：（7分）
21、设有向量组 2(,,,),1,2,,,n i i i i a a a i m m n β==≤ ，试证向量组12,,,m βββ 线性无关。

其中：12,,,m a a a 为m 个互不相等且不为零的常数。

《线性代数B 》参考答案及评分标准
一、判断题：（每小题3分）：1、√；2、×；3、×；4、√。

二、填空题答案填写处（每空3分）：5、-2；6、10；7、0；8、只有零解；9、A+3E 。

三、选择题：（每小题3分）ABCDAB
三、16、计算3
1111
31111311
11
3
D =。

（6分） 解：66661311
(3)
11311113
111113116(4)1131
111311110200
6
(5)00200
00
2
48(6)
D =
-----=-------=---------=--------
17、设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，其中300040005A ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，求矩阵 B 。

（6分） 解：因为 2AB A B =+所以 (2)A E B A -=1(2)B A E A -=- ……3分
1002020003A E ⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭，260A E -=≠，故2A E -可逆；11001(2)0
0210
3A E -⎛
⎫ ⎪ ⎪-=
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
3000
20500
3B ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
……………6分 18、设向量组12345:(1,0,2,0),(1,2,0,1),(2,1,3,0),(2,5,1,4),(1,1,3,1)T T T T T A ααααα====-=--，
求向量组A 的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。

（12分）
解：增广矩阵为：
1
12
2
1112211
12210215102
1510
2151~~20313
0215
1
010*********
0410000011221110811004001041010410
104~~~0013100131
0000000
0⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10013
10
00
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
所以 向量组A 的秩为3；
123,,ααα为一个最大线性无关组； 4123443αααα=+-；523ααα=-+。

19、设有线性方程组1231231
23(1)0
(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩，问λ取何值时，此方程（1）有唯一解；
（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。

（12分）
解：增广矩阵为：
3121
31
32
r r r r r r r r 222
1110111B 111311131111110111111030302(1)003321110300(3)(1)(3)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--+++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
++⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----+----⎣⎦⎣⎦
+⎡⎤
⎢--⎢⎢-+--+⎣⎦
→→
→→⎥⎥⎥ ……………4分 （1） 当 ()()3R A R A ==，即03λλ≠≠-且时，原方程组有惟一解；……………6分 （2）当0λ=时，原方程组无解；……………8分
（3）当3λ=-时，原方程组有无穷多解；……………10分
对方程组的增广矩阵作初等行变换如下：11231011~0336~011200000000B ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以此方程的通解为11x c 12,(c R )10-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……12分 20、求一个正交变换x Py =，把二次型222123121323255448f x x x x x x x x x =+++--化为标准形。

（12分）
解：（1）二次型的矩阵 222254245A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪--⎝⎭
； ……… 2分 （2）方阵A 的特征多项式为：p A E λ
λλλ
λλλ
--=-=
--=------2222
()||254(1)(10)2
4
5 令 ()0p λ=，解得特征值为 12310, 1.λλλ=== …………………5分 将12310, 1.λλλ===分别代入方程组 ()0A E x λ-=,可得特征向量分别为
1231222,1,0201ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，………………………………7分 对它们进行schimidt 正交化再单位化后得到
q q q ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭123251242,1,5201
e e e ⎛⎫
⎛ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭123132,,3203 所求正交矩阵Q e e e =123(,,)，…9分 且满足(10,1,1)T Q AQ diag =Λ= …10分
（3）该二次型在正交变换X QY =下的标准型为：222123123
(,,)10f y y y y y y =++ 12分 五、证明题：（7分）
21、设有向量组 2(,,,),1,2,,,n i i i i a a a i m m n β==≤ ，试证向量组12,,,m βββ 线性无关。

其中：12,,,m a a a 为m 个互不相等且不为零的常数。

证明：由题设可知
2n 11112n 22222n m m m m (a ,a ,,a )(a ,a ,,a )
(a ,a ,,a )βββ⎧=⎪=⎪⎨⎪
⎪=⎩
………………………1分
去掉每一个向量的后面(n m )-个分量得：
2m 11112m 22222m m m m m (a ,a ,,a )(a ,a ,,a )
(a ,a ,,a )γγγ⎧=⎪=⎪⎨
⎪
⎪=⎩
……………………2分 设有数12m x ,x ,,x ，使得1122m m x x ...x 0γγγ+++=……………………3分
即 1122m m 222
1122m m m m m 11
22m m a x a x ...a x 0a x a x ...a x 0..........................a x a x ...a x 0
+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪
⎪+++=⎩……………………4分
其系数行列式为
1
2m
2
22
12m 12m i j 1j i m m
m
2
12m a a ...
a a a ...a a a ...a (a a )0...
.........a a ...a ≤<≤=-≠∏………………5分
故12m ,,...,γγγ线性无关，………………………6分 从而12,,,m βββ 线性无关。

……………………7分。