2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题课件新人教A版选修2_1
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2017-2018学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2-1.1.3 四种命题间的相互关系课件 新人
1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
考纲定位
重难突破
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的
逆命题、否命题和逆否命题． 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之 间的联系．
重点：掌握四种命题之间的相互关系． 难点：等价命题的应用.
3.会利用命题的等价性解决问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
探究二 四种命题的关系及真假判断
[典例 2] 对于原命题：“已知 a、b、c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”，以及它的逆命
题、否命题、逆否命题，在这 4 个命题中，真命题的个数为( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．4 个
[解析] 逆命题为“若 ac2>bc2，则 a>b”为真命题．
否命题为“若 a≤b，则 ac2≤bc2”为真命题．
写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否 定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题． (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和 结论．
1．命题：“若 a·b 不为零，则 a，b 都不为零”的逆否命题是________． 答案：若 a，b 至少有一个为零，则 a·b 为零
[错因与防范] (1)易把大前提“a＞0”作为原命题的条件而致误． (2)写否命题时易忽略否定命题的条件而致误． (3)改写命题大前提保持不变． (4)写否命题时，既要否定条件，又要否定结论.
1．命题“若 a>－3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的
个数为( )
考纲定位
重难突破
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的
逆命题、否命题和逆否命题． 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之 间的联系．
重点：掌握四种命题之间的相互关系． 难点：等价命题的应用.
3.会利用命题的等价性解决问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
探究二 四种命题的关系及真假判断
[典例 2] 对于原命题：“已知 a、b、c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”，以及它的逆命
题、否命题、逆否命题，在这 4 个命题中，真命题的个数为( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．4 个
[解析] 逆命题为“若 ac2>bc2，则 a>b”为真命题．
否命题为“若 a≤b，则 ac2≤bc2”为真命题．
写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否 定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题． (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和 结论．
1．命题：“若 a·b 不为零，则 a，b 都不为零”的逆否命题是________． 答案：若 a，b 至少有一个为零，则 a·b 为零
[错因与防范] (1)易把大前提“a＞0”作为原命题的条件而致误． (2)写否命题时易忽略否定命题的条件而致误． (3)改写命题大前提保持不变． (4)写否命题时，既要否定条件，又要否定结论.
1．命题“若 a>－3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的
个数为( )
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版选修1-1
阅读教材 P2～P3 第 3 段第 3 行，完成下列问题． 1．命题的定义 在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以_判__断__真__假__的__陈__述__句___叫 做命题．
2．命题的分类 (1)真命题：_判__断__为__真__的语句叫做真命题； (2)假命题：_判__断__为__假__的语句叫做假命题．
命题真假的判断
判断下列命题的真假： (1)若 a＞b，则 a2＞b2； (2)x＝1 是方程(x－2)(x－1)＝0 的根； (3)当 x＝4 时，2x＋1＜0； (4)直线 y＝x 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切． 【精彩点拨】 语句 ―命 定―题 义→ 判断是否是命题 证明―举 ―→反例 真假命题
(1)若整数 a 能被 2 整除，则 a 是偶数； (2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分． 【提示】 (1)条件 p：整数 a 能被 2 整除，结论 q：整数 a 是偶数． (2)条件 p：四边形是菱形，结论 q：四边形的对角线互相垂直且平分．
把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若 条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结 论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“指数函数的图象真漂亮”是命题．( ) (2)语句“陈述句都是命题”不是命题．( ) (3)命题“实数的平方是非负数”是真命题．( ) (4)“mx2＋2x－1＝0 是一元 P3 第 4 段，完成下列问题． 命题的结构 1．结构形式：_若__p_，__则__q_. 2．命题的条件是：命题中的__p__；命题的结论是：命题中的__q_.
判断命题真假的两个技巧 1．真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、 法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学地推理论证得出要证 的结论． 2．假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可．
2．命题的分类 (1)真命题：_判__断__为__真__的语句叫做真命题； (2)假命题：_判__断__为__假__的语句叫做假命题．
命题真假的判断
判断下列命题的真假： (1)若 a＞b，则 a2＞b2； (2)x＝1 是方程(x－2)(x－1)＝0 的根； (3)当 x＝4 时，2x＋1＜0； (4)直线 y＝x 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切． 【精彩点拨】 语句 ―命 定―题 义→ 判断是否是命题 证明―举 ―→反例 真假命题
(1)若整数 a 能被 2 整除，则 a 是偶数； (2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分． 【提示】 (1)条件 p：整数 a 能被 2 整除，结论 q：整数 a 是偶数． (2)条件 p：四边形是菱形，结论 q：四边形的对角线互相垂直且平分．
把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若 条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结 论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“指数函数的图象真漂亮”是命题．( ) (2)语句“陈述句都是命题”不是命题．( ) (3)命题“实数的平方是非负数”是真命题．( ) (4)“mx2＋2x－1＝0 是一元 P3 第 4 段，完成下列问题． 命题的结构 1．结构形式：_若__p_，__则__q_. 2．命题的条件是：命题中的__p__；命题的结论是：命题中的__q_.
判断命题真假的两个技巧 1．真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、 法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学地推理论证得出要证 的结论． 2．假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可．
高中数学课件第1章 常用逻辑用语1.1.1
【精彩点拨】 命题必须是陈述句并且可判断真假，两个条件缺一不可；要 判定一个命题为真，需证明，若判定一个命题为假，举一个反例即可.
【自主解答】 ①②③是命题，④⑤不是命题. 命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为 π， 是真命题. 命题②中，当 x＝4 时，2x＋1＞0，是假命题. 命题③中，若等比数列的首项 a1＜0，公比 q＞1 时，该数列为递减数列，是 假命题. ④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题. ⑤它是一个疑问句，没有作出判断，不是命题.
【自主解答】 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学，为假命题； 否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑，为假命题； 逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学，为假命题. (2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则 x＝3 或 x＝7，为真命题； 否命题：x≠3 且 x≠7，则(x－3)(x－7)≠0，为真命题； 逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0 则 x≠3 且 x≠7，为真命题. (3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形，为真命题； 否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形，为真命题； 逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形，为真命题.
[小组合作型] 命题的概念及真假判断
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由. ①函数 y＝sin4x－cos4x 的最小正周期是 π； ②若 x＝4，则 2x＋1＜0 ； ③一个等比数列的公比大于 1 时，该数列为递增数列； ④求证：x∈R 时，则方程 x2－x＋2＝0 无实根. ⑤平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
阶
阶阶 段 二
1.1.1 四种命题
学 业 分 层 测
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.21.1.3课件新人教A版选修21
容易忽视这一点而导致错误(cuòwù).
正解:否命题:若两个数不都是有理数,则它们的和不是有理数.
反思要注意命题中的隐含条件的挖掘.
第二十页，共20页。
命题.
也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若¬p,则¬q”.
第三页，共20页。
对于(duì
yú)两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做
互为逆否
命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题.
否命题等价的原理.
第十页，共20页。
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)逆命题:若一个正数不是质数,则这个正数是偶数.(假命题)
否命题:若一个正数不是偶数,则这个正数是质数.(假命题)
逆否命题:若一个正数是质数,则这个正数不是偶数.(假命题)
(2)逆命题:若一个整数(zhěngshù)能被2整除,则它的末位数字是偶
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不经
过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是
(
)
A.3
B.2
C.1 D.0
解析(jiě xī):本题考查等价命题真假的判断,原命题为真命题,故逆否命题为
真命题,而逆命题和否命题都是假命题.
集,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,
7
∴a< 4 < 2. ∴ 原命题是真命题.
由原命题和它的逆否命题等价,知它的逆否命题为真命题.
正解:否命题:若两个数不都是有理数,则它们的和不是有理数.
反思要注意命题中的隐含条件的挖掘.
第二十页，共20页。
命题.
也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若¬p,则¬q”.
第三页，共20页。
对于(duì
yú)两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做
互为逆否
命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题.
否命题等价的原理.
第十页，共20页。
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)逆命题:若一个正数不是质数,则这个正数是偶数.(假命题)
否命题:若一个正数不是偶数,则这个正数是质数.(假命题)
逆否命题:若一个正数是质数,则这个正数不是偶数.(假命题)
(2)逆命题:若一个整数(zhěngshù)能被2整除,则它的末位数字是偶
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不经
过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是
(
)
A.3
B.2
C.1 D.0
解析(jiě xī):本题考查等价命题真假的判断,原命题为真命题,故逆否命题为
真命题,而逆命题和否命题都是假命题.
集,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,
7
∴a< 4 < 2. ∴ 原命题是真命题.
由原命题和它的逆否命题等价,知它的逆否命题为真命题.
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反思与感悟
一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为
真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例
即可.
跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为
答案
解析
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a· b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
过的定理、推论都是命题.
(3)分类
真命题：判断为 真 的语句 命题 假命题：判断为 假 的语句
知识点二
命题的结构
思考1
在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些 知识？
答案
命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知 事项推出的事项，命题常可以写为“如果„，那么„”的形式， “如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.
答案
解析
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线 √ 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相
判断一个语句是否是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句 不是命题. (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假， 若能，就是命题；否则就不是命题.
②④⑥ 跟踪训练1 给出下列语句，其中不是命题的有_______.
① 2 是无限循环小数； ②x2－3x＋2＝0； ③当x＝4时，2x>0； ④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ ⑤一个数不是奇数就是偶数； ⑥2030年6月1日上海会下雨.
答案
解析
②⑥不是命题，因为该语句无法判断其真假；
④为疑问句，故④不是命题.
类型二 例2 给定下列命题： ①若a>b，则2a>2b；
①④ (2)下列语句为命题的有_____. ①一个数不是正数就是负数；
答案
解析
②梯形是不是平面图形呢？
③22 015是一个很大的数；
④4是集合{2，3，4}中的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
①是陈述句，且能判断真假；
②不是陈述句；
③不能断定真假；
④是陈述句且能判断真假；
⑤不是陈述句.
反思与感悟
解答
若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题. (2)负数的立方是负数；
解答
若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题.
(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
解答
已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题.
当堂训练
1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是
思考2
完成下列题目： 等角的补角 ，结论是 (1) 命题 “ 等 角 的补 角 相等 ” ：题 设 是 ___________ 相等 _____.
一个数是实数 ， (2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果_____________
它的平方是非负数 ”. 那么_________________
解答
若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根.
反思与感悟
把命题改写成 “ 若 p ，则 q” 的形式，关键是找到命题的条件 “p” 和结 论 “q” ，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可 以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条 件和结论分别是什么.
跟踪训练3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假. (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
解答
→ → 不是真命题，AB· BC<0 只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定.只 有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形.
→ → 直角 三角形. 2.本例中命题④改为： 若AB· BC＝0， 则△ABC 是_____
答案 解析
→ → 由AB· BC＝0，得∠B＝90° ，故该三角形为直角三角形.
梳理
(1)命题的一般形式为“若p，则q”.其中p叫做命题的 条件 ，q叫做命题
的 结论 .
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.
题型探究
类型一 例1 (1)下列语句为命题的是 A.x－1＝0 B.2＋3＝8
命题的判断
解析
答案
C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断； B中2＋3＝8是命题，且是假命题； C不是陈述句，故不是命题； D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
命题真假的判断
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
π ③直线 x＝2是函数 y＝sin x 的一条对称轴； → → ④在△ABC 中，若AB· BC>0，则△ABC 是钝角三角形.
①③④ 其中为真命题的是_______.
答案 解析
引申探究
→ → 1.本例中命题④变为：若AB· BC<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是 真命题吗？
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)· f(b)<0.
A.1
B.2
C.3
D.4
因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例.
类型三
命题结构形式解读
例3 将下列命题写成“若p，则q”的形式. (1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
解答
若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除. (2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根.
思考2
依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不 是命题.
答案
①三角形外角和为360°； ②连接A、B两点； ③计算3－2的值； ④过点A作直线l的垂线； ⑤在三角形中，大边一定对的角也大吗？ 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题.
梳理
判断 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以_____ 真假 的 陈述句 叫做命题. (2)命题定义中的两个要点：“可以 判断真假 ”和“ 陈述句 ”.我们学习
第一章 §1.1 命题及其关系
1.1.1 命
题
学习目标
1.理解命题的概念.
2.会判断命题的真假.
3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
命题的概念
思考1
在初中，的句子叫做命题.