专题 25 配方法--拔高题

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一元二次方程配方法专项练习

一元二次方程的解法（2）——配方法一选择题1.用配方法解一元二次方程x 2−4x=5时，此方程可变形为（）A. (x+2)2=1B. (x −2)2=1C. (x+2)2=9D. (x −2)2=92.用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（）A. （x+2）2=3B. （x-2）2=3C. （x-2）2=5D. （x+2）2=53.方程x 2+2x −1=0的两个根为( )A. x 1=1+2x 2=1−2B. x 1=2，x 2=−2C. x 1=−1+2，x 2=−1−2D. x 1=2+1，x 2=2−14.方程x 2+4x=2的正根为（）A. 2−6B. 2+6C. −2−6D. −2+65.用配方法解一元二次方程x 2−4x=5时，此方程可变形为（）A. (x+2)2=1B. (x −2)2=1C. (x+2)2=9D. (x −2)2=96．如果用配方法将20mx n x -+=变形为()217x -=-的形式，那么m 、n 的值分别为（）A. m=-2，n=6 B ．m=-2，n=8 C ．m=2，n=6 D ．m=2，n=8二、填空题1．用配方法解方程2420x x -+=，可以变形为．2．方程25302x x --=的实数根是．3．当m= 时，22160mx x ++=是完全平方式．4．若x=0是一元二次方程()2223280m x m x m -+++-=的实数根，则m= ．5.x 2+6x+______=(x+______)26.若把方程x 2−4x=6化成(x+m)2=n 的形式，则m+n=______.三、解答题1．用配方法解下列方程：(1) 2520x x --=； (2) 2670x x +-=：(3) 27402x x +-=； (4) 2443x x -=．2．等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的实数根，求这个三角形的周长．3．用配方法证明：无论x 为何值时，2123130x x --=的值恒小于0．4阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程,还可以用它来解决很多问题。

配方法解方程练习题及答案

配方法解方程练习题及答案解方程是数学中的基础内容，也是数学中的重要部分之一。

配方法解方程是一种常用的解方程的方法，它适用于一些特定的方程。

在本文中，我们将介绍一些配方法解方程的练习题，并提供答案以帮助大家巩固和加深理解。

一、配方法解一元二次方程练习题1. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，我们观察方程的系数，发现a=1，b=-5，c=6。

根据配方法解方程的步骤：Step 1: 计算b^2 - 4ac= (-5)^2 - 4(1)(6)= 25 - 24= 1Step 2: 如果b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解。

计算并求解。

计算：x_1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(-5) + √(1)) / (2(1))= (5 + 1) / 2= 3计算：x_2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(-5) - √(1)) / (2(1))= (5 - 1) / 2= 2因此，方程x^2 - 5x + 6 = 0的实数解为x = 3和x = 2。

2. 解方程：2x^2 + 5x + 2 = 0解答：观察方程的系数，发现a=2，b=5，c=2。

根据配方法解方程的步骤：Step 1: 计算b^2 - 4ac= (5)^2 - 4(2)(2)= 25 - 16= 9Step 2: 如果b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解。

计算并求解。

计算：x_1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(5) + √(9)) / (2(2))= (-5 + 3) / 4= -1/2计算：x_2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(5) - √(9)) / (2(2))= (-5 - 3) / 4= -2因此，方程2x^2 + 5x + 2 = 0的实数解为x = -1/2和x = -2。

配方法习题

配方法习题第一篇：配方法习题配方法习题一、选择题1.下列哪个不是完全平方式？（）A、2x2B、x2－6x＋9C、25x2－10x＋1D、x2＋22x＋1212.以配方法解3x2＋4x＋1＝0时，我们可得下列哪一个方程式？（）252121A、(x＋2)2＝3B、(3x＋)2＝、(x＋2＝D、(x＋2＝34333.若2x2－3x＋1加上一数k后，成为完全平方式，则k＝（）A、18B、7C、116D、44.想将x2＋32 x配成一个完全平方式，应该加上下列那一个数？（）A、34B、9994C、8、165.下列哪个不是完全平方式？（）A、x2＋4B、x2＋4x＋4C、4x2＋4x＋1D、x2＋x＋14二、填空题1.将方程式x2－4x＋1＝0配成(x＋a)2＝b之形式则a＋b＝___________2.填入适当的数配成完全平方式x2－1＋____________＝(x－)223.已知一元二次方程式x2－2x－1＝0的解为x＝a±b 则a－b ＝_______三、利用配方法解下列一元二次方程式3x2－8x＋3＝0。

ax2－2bx＋c＝0（a＞0，b2－ac≧0）3x2－8x＋3＝03x2＋11x＋2＝0。

x2＋2x－1＝03x2－8x＋3＝0一、选择题（共56分，每小题14分）：1、2x^2+4x+10=12中，可以配方得到_______A、2(x+1)^2=3B、2(x+2)^2=3C、(2x+1)^2=3D、(2x+1)^2=5.2、x^2+4x+3=-1的结果是_______A、x=-2B、x=2C、无解D、此题有两个根.3、对于关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0（a不为0,a,b,c 是常数）进行配方，得到_______A、(x+b/a)^2(c/a^2)=-b/aC、(x+b/2a)^2 =(b^2/4a^2)-c/aD、对于不同的数字没有唯一表达式。

.4、对于关于x的方程(px+q)^2=m的根的判断，其中有可能正确的有_______(1)x为任意实数，（2）x1=x2=q/p，(3)当m<0时,方程无解A、没有正确的B、(2)(3)正确C、只有(3)正确D、(1)(3)正确.二、解答题（共46分，第5题18分，第6题28分）5、请用配方法解方程x^2+4x+3=156、对于关于x的方程mx^2+nx+q=0，将其化简成x=?的形式。

配方法计算专题

配方法计算专题配方法可是数学里超有趣的一个小技能呢！那啥是配方法呢？简单来说，就是把一个式子或者一个等式，通过加上或者减去一些数，让它变成一个完全平方式。

就像变魔术一样哦！比如说对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），我们就可以用配方法把它变成$y=a(x + h)^{2}+k$的形式。

具体咋做呢？1. 先提出二次项系数$a$。

就像$ax^{2}+bx + c=a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c$。

2. 然后在括号里加上和减去一次项系数一半的平方。

$x^{2}+\frac{b}{a}x$，一次项系数一半就是$\frac{b}{2a}$，那它的平方就是$(\frac{b}{2a})^{2}$，式子就变成$a(x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c$。

3. 把前三项写成完全平方式$a((x + \frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c$，然后再化简一下就好啦。

再举个简单的例子吧，比如$x^{2}+6x + 5 = 0$。

1. 先看$x^{2}+6x$，一次项系数$6$，一半是$3$，它的平方是$9$。

2. 就在式子上加上和减去$9$，变成$x^{2}+6x+9 - 9+5 = 0$。

3. 前三项写成$(x + 3)^{2}$，式子就成了$(x + 3)^{2}-4 = 0$，这样就很容易求解$x$啦。

下面来做几道练习题吧，每题20分哦。

1. 用配方法解方程$x^{2}-4x - 5 = 0$。

•首先把$x^{2}-4x$拿出来，一次项系数$-4$，一半是$-2$，平方是$4$。

•式子变成$x^{2}-4x+4 - 4 - 5 = 0$。

配方法的题及其答案（精选3篇）

配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。

配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。

初三配方法例题20道

初三配方法例题20道题目一某班有35名学生，其中男生和女生的人数比为4：5，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为4x，女生人数为5x。

根据题目可得：4x + 5x = 35 解得：x = 7 所以男生人数为4x = 4 * 7 = 28人，女生人数为5x = 5 * 7 = 35人。

题目二某校举行篮球比赛，男生和女生共有60人参加比赛，男生人数比女生人数多8人，那么男生和女生各有多少人参加比赛？解析：设女生人数为x，男生人数为x + 8。

根据题目可得：x + (x + 8) = 60 解得：2x + 8 = 60 解得：2x = 52 解得：x = 26 所以女生人数为26人，男生人数为26 + 8 = 34人。

题目三某班共有40人，男生和女生的人数比为2：3，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为2x，女生人数为3x。

根据题目可得：2x + 3x = 40 解得：5x = 40 解得：x = 8 所以男生人数为2x = 2 * 8 = 16人，女生人数为3x = 3 * 8 = 24人。

题目四一群人分成4组，每组人数相等，共有36人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。

根据题目可得：4x = 36 解得：x = 9 所以每组有9人。

题目五一群人分成3组，每组人数相等，共有30人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。

根据题目可得：3x = 30 解得：x = 10 所以每组有10人。

题目六一群人分成5组，每组人数相等，共有40人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。

根据题目可得：5x = 40 解得：x = 8 所以每组有8人。

题目七某班共有48人，男生和女生的人数比为2：3，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为2x，女生人数为3x。

根据题目可得：2x + 3x = 48 解得：5x = 48 解得：x = 9.6 由于人数必须为整数，所以x不能为小数。

因此不能找到满足题目条件的解。

配方法及其应用(题目)

配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。

将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。

三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。

分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。

解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。

解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。

初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题25 配方法

【例 6】已知自然数 n 使得 n2 19n 91 为完全平方数，求 n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中 n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算 10+8 3+2 2 =_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知 a2 b2 c2 2(a b c) 3 0 ，则 a3 b3 c3 3abc _________ .
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
(全国通讯赛试题)
6、若 M 10a2 b2 7a 6, N a2 b2 5a 1 ，则 M－N 的值 ( )
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算 14 6 5 14 6 5 的值为 ( )
A、1
B、 5
C、 2 5
D、 3 5
(全国初中数学联赛试题)
8、设 a ， b , c 为实数， x a2 2b , y b2 2c , z c2 2a ，则 x，y，z 中
2
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a ( a )2 能
联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.

配方法解方程练习题300道

配方法解方程练习题300道1. 通过配方法解下列方程：(a) $x^2-3x+2=0$(b) $2x^2+5x-3=0$(c) $3x^2+7x+2=0$(d) $4x^2-6x+2=0$(e) $5x^2-4x-1=0$解答：(a) $x^2-3x+2=0$可以通过配方法进行求解。

我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-3$，积等于$2$。

显然，$-2$和$-1$满足这个条件。

因此，我们可以将方程改写为$(x-2)(x-1)=0$，从而得到$x=2$和$x=1$作为方程的解。

(b) $2x^2+5x-3=0$同样可以通过配方法进行求解。

我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$5$，积等于$-6$。

可以得到，$6$和$-1$满足这个条件。

因此，将方程改写为$(2x-1)(x+3)=0$，可得到$x=\frac{1}{2}$和$x=-3$作为方程的解。

我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$7$，积等于$6$。

可以得到，$6$和$1$满足这个条件。

将方程改写为$(3x+1)(x+2)=0$，可得到$x=-\frac{1}{3}$和$x=-2$作为方程的解。

(d) $4x^2-6x+2=0$可以通过配方法求解。

我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-6$，积等于$8$。

可以得到，$-4$和$-2$满足这个条件。

将方程改写为$(2x-1)(2x-2)=0$，可得到$x=\frac{1}{2}$和$x=1$作为方程的解。

(e) $5x^2-4x-1=0$同样可以进行配方法求解。

我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-4$，积等于$-5$。

很明显，$1$和$-5$满足这个条件。

将方程改写为$(5x+1)(x-1)=0$，我们可以得到$x=-\frac{1}{5}$和$x=1$作为方程的解。

初中数学用配方法解一元二次方程的拔高题

标题：初中数学拔高题：配方法解一元二次方程一、引言在初中数学学习中，解一元二次方程是一个重要的内容，而用配方法解一元二次方程更是一个拔高的难题。

本文将以初中数学拔高题：配方法解一元二次方程为主题，深入探讨配方法的原理、应用及解题技巧，帮助读者更全面地理解和掌握这一知识点。

二、配方法的原理和应用1. 配方法的原理在初中数学中，当一元二次方程的普通解法（如公式法、因式分解法）难以进行时，可以尝试使用配方法。

配方法的原理是利用完全平方公式，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，从而更容易求解未知数的值。

2. 配方法的应用配方法在实际应用中具有重要意义。

比如在物理、工程等领域，经常会遇到需要解一元二次方程的情况，而有些问题无法直接运用公式法或因式分解法求解，这时就需要用到配方法。

深入理解配方法对解决实际问题具有重要意义。

三、配方法解一元二次方程的拔高题以学习初中数学的同学为例，我们可以通过一个拔高题来深入探讨配方法的应用。

比如以下的一元二次方程：\[x^2 + 6x + 9 = 0\]这个方程看似普通，但是采用配方法后会发现并不容易求解。

我们可以通过以下步骤来解决这个拔高题：1. 对方程两边同时减去9，化为\[x^2 + 6x = -9\]2. 通过配方法转化为完全平方的形式：\[x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\]3. 原方程变为：\[(x+3)^2 = 0\]4. 进一步得出：\[x+3 = 0\]\[x = -3\]通过以上步骤，我们成功地用配方法解决了这个拔高题，展现了配方法在解决一元二次方程中的重要作用。

四、解题技巧和个人观点在使用配方法解一元二次方程时，我们需要注意一些解题技巧。

要灵活运用完全平方公式，找出方程中的完全平方项；要注意方程中各项之间的关系，确定变形的方向。

多做练习是掌握配方法的关键。

在个人看来，配方法是解一元二次方程中的一种高级解法，能帮助我们更深入地理解方程的性质和求解方法。

配方法专题练习

配方法专题1．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为。

2．方程x2+y2+4x－2y+5=0的解是。

3．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系为。

4．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式。

5．完全平方式是___项式，其中有__完全平方项，____•项是这两个数（式）乘积的2倍．6．x2+mx+9是完全平方式，则m=_______．7．4x2+12x+a是完全平方式，则a=________．8．把方程x2－8x－84=0化成（x+m）2=n的形式为（）．A．（x－4）2=100 B．（x－16）2=100 C．（x－4）2=84 D．（x－16）2=849．已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为。

10．如果二次三项次x2－16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（）．A．±8 B．4 C．－．±11．用配方法解方程：（1）2x2－x=0；（2）x2+3x－2=0．12．判断题．x2+23x－19=（x+23）2+59（）x2－4x=（x－2）2+4（）12y2+y+12=（y+1）2（）13．已知（x2+y2）（x2+y2+2）－8=0，则x2+y2的值是（）．A．－4 B．2 C．－1或4 D．2或－414．用配方法说明：－3x2+12x－16的值恒小于0．15．设代数式2x2+4x－3=M，用配方法说明：无论x取何值时，M总不小于一定值，并求出该定值．16、求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.17、因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4 ； ②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1.18、求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 .对应练习：求下列代数式的最大或最小值：①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1.19、解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.20求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解21、求下列代数式的最大或最小值：①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1.22、已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.。

配方法含答案

配方法1、方程6x2=18的根是__________；已知2（x－3）2=72，则x的值是__________.2、若方程x2－6x＋5=0可化为（x＋m）2=k的形式，则m=__________，k=__________．3、一元二次方程x2－2x－3=0的根是__________．1、；9或－32、－3；43、x1=3，x2=－14、用配方法解方程x2－4x＋2=0，下列配方正确的是（）A．（x－2）2=2 B．（x－2）2=6 C．（x－2）2=－2 D．（x－2）2=－6 5、不论x、y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（）A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数6、将二次三项式x2＋6x＋7进行配方，正确结果是（）A．（x＋3）2＋2 B．（x＋3）2－2 C．（x－3）2＋2 D．（x－3）2－2 7、用配方法解下列方程：（1）（2）5x2－18=9x7、（1）解：（2）解：8、用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于108、证明：2x2－8x＋18=2（x2－4x）＋18=2（x－2）2＋18－8=2（x－2）2＋10．不论x为何实数，（x－2）2≥0，∴2（x－2）2＋10≥10．即无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10．9、已知a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，试求的值9、∵a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，∴a2－2008a＋1=0, a2－2007a=a-1, a2＋1=2008a且∴．10、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？10、解：设这次会议到会的人数是x人.则x2－x=132∴，∴x1=12，x2=－11<0（舍去）故这次会议到会的人数是12人．公式法1、下列方程有实数根的是（）A．2x2＋x＋1=0 B．x2－x－1=0 C．x2－6x＋10=0 D．x2－＋1=02、若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>1 B．k≥－1 C．k＜1 D．k＞1且k≠0答案：1、B 2、A例2、用公式法解下列方程．（1）2x2－9x＋8=0解：b2－4ac=17（2）9x2＋6x＋1=0解：b2－4ac=0，x1=x2=．（3）（x－2）（3x－5）=1解：3x2－11x＋9=0b2－4ac=13故例3、解方程：.有一位同学解答如下：这里，∴，∴∴x1=，x2=．请你分析以上解答有无错误，如有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答.解：有错误，错在常数，而c应为，正确为：原方程可化为：∵∴∴∴例4、m为何值时，方程（2m＋1）x2＋4mx＋2m－3=0．（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根？解：若 2m＋1≠0,即 m≠,则=（4m）2－4（2m＋1）（2m－3）=4（4m＋3）（1）当4m＋3>0且2m＋1≠0，即m>且m≠时，原方程有两个不相等的实数根．（2）当4m＋3=0即m=时，原方程有两个相等实数根．（3）当4m＋3<0即m<时，没有实数根．例5、若关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k=0有实数根，求k的取值范围．解：（1）当k=0时，原方程可化为－x=0，此方程有实根．（2）由题意得：，解得且k≠0．故：综合（1）（2）得k的取值范围为．例6、求证：不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．证明：∵a=2，b＝3（a－1），c=a2－4a－7．b2－4ac=[3（a－1）]2－4×2（a2－4a－7）=a2＋14a＋65=（a＋7）2＋16≥16>0．故不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．因式分解法1、方程x2－4x=0的解为__________.2、请你写出一个有一根为0的一元二次方程__________．3、方程x（x＋1）=3（x＋1）的解是（）A．x=－1 B．x=3 C．x1=－1，x2=3 D．以上答案都不对4、解方程（x＋2）2=3（2＋x）最适当的解法是（）A．直接开平方法B．配方法 C．公式法D．因式分解法5.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2＋3x－2=0 B．x2－3x＋2=0 C．x2－2x＋3=0 D．x2＋3x＋2=06、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2＋3a－4=0有一个实数根是x=0，则a的值为（）A．1或－4 B．1C．－4 D．－1或47、用因式分解法解下列方程：（1）（x＋3）2=2x＋6（2）2（5x－1）2=3（1－5x）（3）9（x－2）2=4（x＋1）2（4）（2x－1）2－x2－4x－4=08、用适当的方法解下列方程：（1）x2－8x－9=0（2）（x＋3）（x－3）=（3）x（40－2x）=180（4）x2＋（）x＋=08、（1）解：（x＋1）（x－9）=0x1=－1, x2=9（2）解：∴,（3）解：x2－20x=－90 x2－20x＋102=－90 ＋102（x－10）2=10∴x－10=∴，（4）解：（x＋）（ x＋）=0∴x1=－，x2=－9、若x2＋xy＋y=14 ①，y2＋xy＋x=28 ②，求x＋y的值9、解：由①＋②得：（x2＋y2）＋2xy＋（x＋y）=42 （x＋y）2＋（x＋y）－42=0 （x＋y＋7）（x＋y－6）=0 ∴x＋y=－7或x＋y=6．10、关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根解：由已知得：解得m=2，∴x=，∴x1=，x2=故m的值为2，该方程的根为x1=，x2=1.。

解一元二次方程-配方法(能力提升)(原卷版)

专题2.2 解一元二次方程-配方法（能力提升）（原卷版）一、选择题。

1．（2021秋•扶风县期末）方程x2＝4的根为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝0D．x＝±2 2．（2022春•泉港区期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝19B．（x+4）2＝19C．（x+2）2＝7D．（x﹣2）2＝7 3．（2022•宁波模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A．（x﹣1）2＝m2+1B．（x﹣1）2＝m﹣1C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+14．（2021春•河北区期末）如果2是方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为（）A．2B．C．3D．45．（2021秋•海门市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1＝0时，下列变形正确的为（）A．（x﹣4）2＝17B．（x+4）2＝17C．（x﹣4）2＝15D．（x+4）2＝15 6．（2022春•平阴县期末）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15 7．（2021秋•曾都区期中）用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（）A．3x+1＝2x﹣5B．3x+1＝﹣（2x﹣5）C．3x+1＝±（2x﹣5）D．3x+1＝±2x﹣58．（2021春•浦江县期末）用配方法解方程：2x2+4x﹣3＝0，则配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝B．（x﹣1）2＝C．（x+1）2＝D．（x﹣1）2＝9．（2021•深圳模拟）若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（）A．16B．8C．4D．010．（2022春•东乡区期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（）A．非负数B．0C．正数D．负数二、填空题。

人教版九年级数学上《配方法》拔高练习

《配方法》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+3）2＝2B．（x﹣3）2＝16C．（x﹣6）2＝2D．（x﹣3）2＝2 2．（5分）用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝3 3．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝5B．（x+4）2＝21C．（x﹣4）2＝14D．（x﹣4）2＝8 4．（5分）下列方程配方正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣1B．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣4C．y2﹣2y﹣2＝（y﹣1）2+1D．y2﹣6y+1＝（y﹣3）2﹣85．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）将一元二次方程x2+2x﹣1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a ＝，b＝．7．（5分）用配方法将x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣4）2＝m，则m＝．8．（5分）把方程x2+2x﹣5＝0配方后的方程为．9．（5分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为．10．（5分）方程4x2﹣4x+1＝0的解为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）解不等式组：（2）解方程2x2﹣4x﹣1＝012．（10分）解方程．（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）x2﹣2x﹣2＝0（3）x2﹣6x+9＝013．（10分）解一元二次方程：4x2＝4x﹣1．14．（10分）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．15．（10分）解方程：x2﹣2x＝4．《配方法》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+3）2＝2B．（x﹣3）2＝16C．（x﹣6）2＝2D．（x﹣3）2＝2【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，x2﹣6x+9＝﹣7+9，（x﹣3）2＝2，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．2．（5分）用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝3【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2+4x+1＝0，x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝﹣1+4，（x+2）2＝3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．3．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝5B．（x+4）2＝21C．（x﹣4）2＝14D．（x﹣4）2＝8【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣8x+2＝0，x2﹣8x＝﹣2，x2﹣8x+16＝﹣2+16，（x﹣4）2＝14，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．4．（5分）下列方程配方正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣1B．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣4C．y2﹣2y﹣2＝（y﹣1）2+1D．y2﹣6y+1＝（y﹣3）2﹣8【分析】利用配方法解一元二次方程的方法将四个选项中的一元二次方程进行变形，由此即可得出结论．【解答】解：A、∵x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，故错误；B、x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，故错误；C、∵y2﹣2y﹣2＝（y﹣1）2﹣3，故错误；D、∵y2﹣6y+1＝（y﹣3）2﹣8＝0，故正确．故选：D．【点评】本题考查了解用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的方法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．5．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．【解答】解：x2﹣8x+5＝0，x2﹣8x＝﹣5，x2﹣8x+16＝﹣5+16，（x﹣4）2＝11．故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）将一元二次方程x2+2x﹣1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a ＝1，b＝2．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，变形得到结果，即可确定出a与b的值．【解答】解：方程x2+2x﹣1＝0，变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，则a＝1，b＝2．故答案为：1，2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（5分）用配方法将x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣4）2＝m，则m＝17．【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0，移项得：x2﹣8x＝1，配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．所以m＝17．故答案为17．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．8．（5分）把方程x2+2x﹣5＝0配方后的方程为（x+1）2＝6．【分析】移项后配方，再变形，即可得出答案．【解答】解：x2+2x﹣5＝0，x2+2x＝5，x2+2x+1＝5+1，（x+1）2＝6，故答案为：（x+1）2＝6．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．9．（5分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（x﹣4）2＝17．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝17，（x﹣4）2＝17，故答案为（x﹣4）2＝17．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．10．（5分）方程4x2﹣4x+1＝0的解为x1＝x2＝．【分析】方程的左边是完全平方式，则方程即可变形成（2x﹣1）2＝0，再利用直接开平方法即可求解．【解答】解：∵4x2﹣4x+1＝0，∴（2x﹣1）2＝0，则2x﹣1＝0，解得：x1＝x2＝，故答案为：x1＝x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）解不等式组：（2）解方程2x2﹣4x﹣1＝0【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1），解不等式①，得x≥﹣1．解不等式②，得x＜3．则原不等式的解集为：﹣1≤x＜3．（2）2x2﹣4x﹣1＝0，2x2﹣4x＝1，x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝，解得：x1＝，x2＝．【点评】考查了配方法解一元二次方程和解一元一次不等式组，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12．（10分）解方程．（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）x2﹣2x﹣2＝0（3）x2﹣6x+9＝0【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）先分解因式，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣4＝0（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x1＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣2x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，x＝，x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2﹣6x+9＝0，（x﹣3）2＝0，x﹣3＝0，即x1＝x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．13．（10分）解一元二次方程：4x2＝4x﹣1．【分析】方程化成一般式后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1＝0∴（2x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键．14．（10分）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是不符合等式的性质1；（2）请写出此题正确的解答过程．【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．故答案为一；不符合等式性质1；（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．15．（10分）解方程：x2﹣2x＝4．【分析】利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．。

中考数学十大解题思路之配方法

中考数学专项讲解配方法知识梳理把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．典型例题一、配方法在解一元二次方程中的应用【例1】用配方法解方程x 2+6x+3=0．【解】移项，得x 2+6x =－3 配方，得222666322x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即(x+3) 2=6，从而3x += 所以13x =，23x =．二、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用一般地，这种题型方程系数含有字母，可通过配方法把b 2－4a c 变形为±(m ±h) 2+k 的形式，由此得出结论，无论m 为何值，b 2－4a c ≥0或b 2－4a c ≤0，从而判定一元二次方程根的情况．【例2】已知关于x 的方程x 2－m x+m －2=0．求证：方程有两个不相等的实数根．【证明】因为△=(m －2)2+4>0 所以方程x 2－mx+m －2=0有两个不相等的实根；变式；已知二次函数y=x 2－mx+m －2，求证：不论m 为何值，抛物线y=x 2－mx+m －2总与x 有两个不同的交点．三、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成y=a (x －h) 2+k 的形式，则得到顶点坐标(h ，k)；若a >0，函数值y 有最小值k ；若a <0时，函数值y 有最大值为k ．【例3】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1)y=x 2－2x －4； (2)21522y x x =-+- 【解】 (1)()222222224241522y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a =1>0，∴开口向上．对称轴方程是x=1，顶点坐标是(1，－5)． (2)()2222215122512122222222y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=--+--=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦a =－12<0，∴开口向下．对称轴方程是x=－12，顶点坐标是(1，－2)．【例4】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?【解】设利润为y 元，售价为x 元，则每天可销售100－10(x －10)件，依题意得：y=(x －8)[100－10(x －10)] 化简得：y=－10x 2－280x －1600配方得：y=－10(x －14) 2+360 ∴当(x －14) 2=0时，即x=14时，y 有最大值是360．答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元．四、配方法在不等式、比较大小中的应用【例5】已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2+3>2a ，②a 2+b 2≥2(a －b －1)，③a 2+b 2>a b 中一定成立的有__________．【分析】 a 2+3－2a =(a －1) 2+2>0，∴①式成立．a 2+b 2－2(a －b －1)=a 2+b 2－2a +2b+2= (a －1) 2+(b+1) 2≥0，∴②式成立．22223024b a b ab a b ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭(当且仅当a =b=0时取得等号)，∴③式不一定成立．故填①②．【解】①②综合训练1．方程x 2+6x －5=0的左边配成完全平方后所得方程为 ( )A ．(x+3) 2=14B ．(x －3) 2=14C ．()2162x += D ．以上答案都不对 2．已知二次函数y=x 2－mx+m －5与x 轴交点个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个3．用配方法解方程：(1)x 2－4x －5=0 (2)2x 2－4x －1=04．(1)二次函数y=x 2－6x+2通过配方化为顶点式为y=________，其对称轴是________，顶点坐标为_________．(2)通过配方求二次函数y=3x 2－6x+1的最小值．5．关于x 的一元二次方程x 2+(k+1)x －k －3=0(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．6．(06南通)已知A=a +2，B=a 2－2a +5，C=a 2+5a －19，其中a >0．(1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由．7．已知二次函数y=a x2+k+c：(1)当a=1，b=－2，c=1时，请在下面的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；(2)用配方法求该二次函数图象的顶点坐标．8．(1)已知13xx+=．则221xx+的值为__________．(2)把代数式a2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．9．如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100 m，BC=80 m，CD=40 m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36 m．(1)求边AD的长；(2)设PA=x(m)，求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，四边形PMBN的面积最大?10．(08镇江)如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T(m，n)表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十字路口)，OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计)．(1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围)；(2)当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)；(3)设t=m－n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)．参考答案1．A 2．C 3．(1)x1=5，x2=－1 (2)31x=4．(1)(x－3) 2－7 x=3 (3，－7)(2)y=3(x －1) 2－2，y 最小值=－2． 5．(1)△=(k+3) 2+4>0，所以方程有两个不相等的实根； (2)另一根的值是0．6．(1)()()2223325233024B A a a a a a a ⎛⎫-=-+-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，∴B>A ． (2)C －A=(a 2+5a －19)－(a +2)=a 2+4a －21=(a +7)(a －3) a >0，∴a +7>0； ∴当a －3>0，即a >3时C －A>0，此时C>A ；当a －3=0，即a =3时C －A=0，此时C=A ；当a －3<0，即0<a <3时C －A<0，即C<A ．7．(1)图略 (2)(1，0) 8．(1)7 (2)4164a ，±8a 9．(1)过点D 作DE ⊥AB 于E则D E ∥BC 且DE=BC ，CD=BE ，DE ∥PM Rt △ADE 中，DE=80 m∴AE=AB －BE=100－40=60 m ∴2236006400100AD AE DE m +=+= (2) DE ∥PM ，∴△AP M ∽△ADE ，∴AP PM AMAD DE AE ==即x 1008060PM AM ==．∴45PM x =，35AM x = 即MB=AB －AM=100－35x 24312100805525S PM MB x x x x ⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭由PM=45x ≥36，得x ≥45， ∴自变量x 的取值范围为45≤x ≤100(3)()221212805012002525S x x x =-+=--+ 当x 为50时，四边形PMBN 的面积最大，最大面积1200． 10．(1)设反比例函数为k y x =(k>0)．则k=xy=mn=S 矩形OATB =10000，∴1000y x =． (2)设鲜花方阵的长为m 米，则宽为(250－m)米，由题意得：m(250－m)=10000．即：m 2－250m+10000=0，解得：m=50或m=200，满足题意．此时火炬的坐标为(50，200)或(200，50)． (3) mn=10000，在Rt △TAO 中，()222222220000TO OA AT m n m n mn t =+=+=-+=+当t=0时，TO 最小，此时m=n ．又mn=10000，m>0，n>0，∴m=n=100，且10<100<1000．∴T(100，100)．。

数学配方法压轴题

数学配方法压轴题数学配方法压轴题通常是指一些难度较高、涉及多个知识点的数学题目，可以检验学生对于数学知识的理解与运用能力。

以下是一道常见的数学配方法压轴题示例：题目：已知函数 f(x) 的定义域为实数集 R，其中 f(x) 满足f(x+y) = f(x) + f(y) + xy，对于任意的实数 x 和 y 成立。

同时，函数 f(x) 在 x = 0 处的函数值为 0，且 f(1) = 2。

求 f(2019) 的值。

解析：题目中给出了函数 f(x) 的定义域为实数集 R，并且满足函数方程 f(x+y) = f(x) + f(y) + xy。

首先，我们可以尝试找到一些函数值来推导出函数的性质。

根据函数方程，我们令 x = y = 0，则有 f(0) = 2f(0)，即 f(0) = 0。

再令 x = 1，y = -1，则有 f(0) = f(1) + f(-1) - 1，代入已知条件f(0) = 0 和 f(1) = 2，得到 f(-1) = -1。

再令 y = -1，则有 f(x-1) = f(x) + f(-1) - x，即 f(x-1) = f(x) - x - 1。

由此，我们可以推导出 f(x) 的一个性质：f(x) - x = f(x-1)。

换句话说，函数 f(x) 减去 x 的值等于函数 f(x-1) 的值。

继续推导，我们可以得到 f(x) - x = f(x-1) = f(x-2) - (x-1) = f(x-3) - (x-2) = ... = f(1) - 1 = 1。

因此，对于任意的实数 x，我们有 f(x) = x + 1。

代入 x = 2019，得到 f(2019) = 2020。

所以，f(2019) 的值为 2020。

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专题 25 配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、2222()a ab b a b ±+=±
2、2a b ±=
3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++
4、2
2
2
2221
[()()()]2
a b c ab bc ac a b b c a c ++---=
-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法.
(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
例题与求解
【例1】已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.
【例2】若实数a ，b ， c 满足2
2
2
9a b c ++= ，则代数式222
()()()a b b c c a -+-+- 的
最大值是 ( )
A 、27
B 、18
C 、15
D 、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；
(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】已知1
52
a b c +--，求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.
【例4】证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：2222497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想
21
44448889(66661)n n
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+
，只需完成从左边到右边的推导过程即可.
几个有趣的结论：
(1) 21
444488889(66661)n n
n
+=+
(2) 21
111155556(33331)n n
n
+=+
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
【例6】已知自然数n 使得2
1991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知2
2
2
2()30a b c a b c ++-+++= ，则3
3
3
3_________a b c abc ++-=.
3、x ，y 为实数，且2
2
422
y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.
4、当x ＞2，得___________.
5、已知2
2
4121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.
(全国通讯赛试题)
6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )
A 、负数
B 、正数
C 、非负数
D 、可正可负
7 的值为 ( )
A 、1
B
C 、
D 、
(全国初中数学联赛试题)
8、设a ，b , c 为实数，2
222,2,23
6
2
x a b y b c z c a π
π
π
=-+
=-+
=-+
，则x ，y ，z 中
至少有一个值 ( )
A 、大于零
B 、等于零
C 、不大于零
D 、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )
A 、2
333n n -+ B 、2
444n n ++ C 、2
555n n -+ D 、2
777n n -+ E 、2
111111n n -+
10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.
(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++> ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++< ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.
11、解方程组2222
22212121z x z x y x y z y
⎧=⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (苏州市竞赛试题)
12、能使2256n
+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)
13、已知b a >，且()()243a
a b a ab b b
+++-+
= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)
13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.
(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；
(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。