高中数学人教A版第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新必修4_139
人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案
3.1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标.1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一.二倍角公式的推导思考1.二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案.sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2.根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二.二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一.给角求值例1.求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°. 解.(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 反思与感悟.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1.求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.解.(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin 2π78sin 2π7＝18. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二.给值求值例2.(1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 答案.89解析.(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⇒sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于(..) A.6425B.4825C.1D.1625答案.A解析.cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解.由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19， 即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 反思与感悟.(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2.已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值. 解.(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 类型三.利用倍角公式化简例3.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解.方法一.原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二.原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 反思与感悟.(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角. ②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3.化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝ ； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝ . 答案.(1)sin α－cos α.(2)0解析.(1)∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α， ∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－ 1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.1.12sin π12cos π12的值等于(..) A.14B.18C.116D.12 答案.B解析.原式＝14sin π6＝18. 2.sin 4π12－cos 4π12等于(..) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案.B解析.原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝ . 答案.1－32 解析.tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15°＝1－32. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案. 3解析.∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－12， sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin 2α等于(..) A.－1213B.1213C.－120169D.120169答案.D解析.由α是第三象限角，且cos α＝－513， 得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D. 2.若tan θ＝－13，则cos 2θ等于(..) A.－45 B.－15 C.15 D.45答案.D解析.tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 3.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于(..) A.724 B.－724 C.247 D.－247答案.D解析.由cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34， 所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D.4.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于(..) A.16B.13C.12D.23 答案.A解析.因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 5.如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是(..) A.－105B.105C.－155D.155 答案.C解析.∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. 又∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0. ∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， sin θ2＝－155. 6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于(..) A.－53 B.－59 C.59 D.53答案.A解析.由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin 22α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－ 1－49＝－53，故选A. 7.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于(..) A.725B.15C.－15D.－725 答案.D解析.因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1， 又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案.－22 解析.原式＝－cos 45°＝－22. 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案.116解析.原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 10.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝ . 答案.247解析.cos α＝x x 2＋42＝x 5， ∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－35，sin α＝45， ∴tan α＝－43，tan 2α＝2×(－43)1－(－43)2＝－831－169＝－83－79＝7221＝247. 11.已知tan x ＝2，则tan 2(x －π4)＝ . 答案.34 12.若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝ . 答案.0 解析.由tan α＋1tan α＝103， 得tan α＝13或tan α＝3. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3. ∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－22 ＝2×310×110＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－22 ＝5210－22＝0. 三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值. 解.∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， ∴原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 . 答案.459解析.设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(23)2＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15.已知π<α<32π，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 解.∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.。
人教a版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式(含答案)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式自主学习知识梳理1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos ∠AOB ＝____________.2．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝________________________________.自主探究灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．对点讲练知识点一 给角求值例1 求下列各式的值．(1)sin 195°＋cos 105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．回顾归纳 (1)公式C (α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．变式训练1 求下列各式的值．(1)cos π12； (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)．知识点二 给值求值例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等． 变式训练2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．知识点三 给值求角型 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值．回顾归纳 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．变式训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．1．公式C (α－β)是三角恒等式，既可正用，也可逆用，要注意公式的结构名称、特征、灵活变换角或名称．2．公式C (α－β)中的角α、β为任意角，既可以代表具体的角，也可以代表代数式．可以把α、β视为一个“代号”，将公式标记作：cos(▭－△)＝cos ▭cos △＋sin ▭sin △.课时作业一、选择题1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝54π B ．α＝1312π，β＝34π C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π4，β＝π63．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π64．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55 B.55 C.11525D. 5 5．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－32 C.34 D ．1二、填空题6．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.三、解答题8．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．9．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式答案知识梳理1．(cos α，sin α) (cos β，sin β) (cos α，sin α) (cos β，sin β) cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)2．cos αcos β＋sin αsin β自主探究解 方法一 15°＝60°－45°cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 方法二 15°＝45°－30°，cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 对点讲练例1 解 (1)原式＝cos 105°＋sin 195° ＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2×(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2×⎝⎛⎫－22×32＋22×12＝2－62. (2)原式＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(45°－α)·cos(15°＋90°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)－sin(45°－α)sin(15°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.变式训练1 解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6＝cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝2＋64. (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(70°－x )·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)·sin(x －40°) ＝cos[(x ＋20°)－(x －40°)]＝cos 60°＝12. 例2 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 变式训练2 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12， 所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 例3 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17， cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 变式训练3 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513， α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π， α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π⇒2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2. 课时作业1．B 2.A3．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)． sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010·55＋⎝⎛⎭⎫31010·⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.] 4．B [∵sin(π＋θ)＝－35， ∴sin θ＝35，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.]5．B [由题意知⎩⎨⎧ sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12② ①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.] 6.327.83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 8．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.9．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵3π2<α＋β<2π， sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1. ∵π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2.。
【新】版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】 由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 －79[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24·cos π12＝12sin π12·cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12·cos π12＝14sin π6＝18.∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33.∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°；(3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝－2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A.2 B.－2 C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C.－79D.－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值.【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α；(2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α)――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系⎩⎨⎧cos α或sin α，tan α――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值. 【导学号：70512043】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】 －45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式； 证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋A ＋2B2－1－A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边. 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【导学号：00680072】 【证明】 左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α＝α＋cos α22cos αα＋cos α＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α ＝12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 请利用倍角公式化简：2＋2＋2cos α(2π<α<3π). 【提示】 ∵2π<α<3π， ∴π<α2<3π2，π2<α4<3π4，∴2＋2＋2cos α＝2＋4cos2α2＝2－2cos α2＝4sin2α4＝2sin α4. 探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3×(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】 化简f x 的解析式→f x ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝Aωx ＋φ的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】 原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】 因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) 【导学号：00680073】 A.－32B.－12C.12D.32【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 11 【答案】 －565.求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8. 【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4(1)
3.1.1 两角差的余弦公式1.公式C(α-β)的推导是本节的难点:(1)结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;(2)探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则).其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.2.学习本节内容的要求是:经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用,强调掌握数学公式,应用公式解决相关问题.3.本节的教学重点是两角差的余弦公式的应用,主要涉及两角差的余弦公式的正用、逆用和变形应用、直接求三角函数式的值或结合向量进行综合命题.1.已知角α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,求β-α的值.解:由已知得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β,将两式分别平方,然后相加得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1.∴sin2β-2sin βsin α+sin2α+cos2α-2cos αcos β+cos2β=1,即cos βcos α+sin βsin α=.∴cos(β-α)=.又∵α,β,γ∈,且sin γ=sin β-sin α>0,∴0<β-α<,∴β-α=.2.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.(1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cos φ的值.解:(1)∵a⊥b,∴sin θ-2cos θ=0.∵θ∈,sin2θ+cos2θ=1,∴sin θ=,cos θ=.(2)∵0<φ<,0<θ<,∴-<θ-φ<.∵sin(θ-φ)=,∴cos(θ-φ)=.∴cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=.3.设向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,求β-α.解:2a+b=(2cos α+cos β,2sin α+sin β),a-2b=(cos α-2cos β,sin α-2sin β).∵|2a+b|=|a-2b|,∴|2a+b|2=|a-2b|2.∴(2cos α+cos β)2+(2sin α+sin β)2=(cos α-2cos β)2+(sin α-2sin β)2.∴4+4cos αcos β+4sin αsin β+1=1-4cos αcos β-4sin αsin β+4.∴8cos αcos β+8sin αsin β=0.∴cos(β-α)=0.又0<α<β<π,∴0<β-α<π.∴β-α=.。
高中数学人教A版必修4第三章 3.1.1两角差的余弦公式教学设计
人教A版高中数学必修4 3.1.1两角差的余弦公式
一、教材分析
人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换是在学习三角函数和平面向量两章内容后的延续和发展，共分两大节，4小节内容。
本节课是第一节中的第一小节，通过对两角差的余弦公式的探究和推导，掌握公式的灵活应用，为今后建立其他和差角公式打好基础。
转化和化归思想是本节学习的一个重要思想，在解题中会灵活应用。
二、教学目标
1．知识与技能
正确理解两角差的余弦公式的推导，掌握两角差余弦公式的应用。
2．过程与方法
通过两角差的余弦公式的推导及应用过程，感知应用数学解决问题的方法，体会数形结合的思想方法。
3．情感态度与价值观
通过公式的探究，使学生经历了发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到了数学学习的严谨、求实的科学态度。
三、教学重点、难点
重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。
难点：探究过程的组织和引导；两角差余弦公式的探究思路的发现。
四、教学方法与手段
教学方法：诱思探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学
五、教学过程
cos30
-的探究1：怎样联系单位圆上的三
（3）OA
设
的夹角公式得出
)
OA OB
β==
cos sin
αβ+
（以上推导是否有不严谨之处？应=cos cos
αβ+
45
sin
30
cos
45+。
人教版高中数学必修四 3.1. 1 两角差的余弦公式 【导学案】
3.1.1 两角差的余弦公式班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:_______ ___♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语不登高山，不知天之大；不临深谷，不知地之厚也。
——荀况学习目标1．掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用.2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能.学习重点两角差的余弦公式学习难点1．两角差的余弦公式的推导2．两角差的余弦公式的应用自主学习两角差的余弦公式(1)公式：cos(α－β)＝ . (2)简记： .预习评价1．cos15°cos105°+sin15°sin105°＝ .2．cos105°+sin195°＝________________________.3．已知，则＝________________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．两角差的余弦公式如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B，请结合图形思考下列问题：(1) 与的夹角是多少？向量·的坐标是什么？(2)怎样计算，？根据上面的计算可以得出什么结论？2．(1)公式是否对任意角α，β都成立？(2)两角差的余弦公式有何特点？教师点拨对两角差的余弦公式的四点说明(1)公式的适用范围：α，β是任意角.(2)公式的用法：单角的三角函数表示差角的三角函数.(3)公式的特点可用口诀“余余、正正，号相反”记忆.(4)一般情况下，两角差的余弦公式不能按照分配律展开，即cos(α－β)≠cosα－cos β.交流展示——两角差的余弦公式，，，β是第三象限角，则cos(β—α)=A. B. C. D.变式训练已知，，则A. B. C. D.交流展示——给值求值问题，α是锐角，则A. B. C. D.变式训练已知，则的值是____.交流展示——给值求角若是第二象限角，是第三象限角，则cos的值是D.A. B. C.变式训练若α∈(0，π)且，则cosα=A. B. C. D.学习小结1．两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.(2)含有常数的式子，先将系统转化为特殊角的单角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦2．给值求值问题的解题方法(1)已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算.(2)由于和差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换.3．求解给值求角的三个步骤(1)求所求角的某一种三角函数值.(2)确定所求角的范围.(3)在所求角的范围内，根据三角函数确定角.提醒：在确定角的三角函数值时，要特别注意角的范围，避免出现错解或漏解.当堂检测1．A. B. C. D.2．已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈(0,),则cos(α-β)的值为A.-B.C.-D.3．若，α是第二象限的角，则A. B. C. D. 4．已知，，且，则β的值为A. B. C. D. 5．已知，则A.2mB.±2mC.D.3.1.1 两角差的余弦公式♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)cosαcosβ＋sinαsinβ(2)C(α－β)【预习评价】1．02．3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)因为∠xOA＝α，∠xOB＝β,所以与的夹角∠AOB＝α－β,又因为｜｜＝｜｜＝1，所以向量的坐标为(c osα，s i nα)，向量的坐标为(cosβ，sinβ).(2方法一：由数量积公式得·＝｜｜·｜｜cos(α－β)＝cos(α－β).方法二：根据向量的坐标运算，得·＝cosαcosβ＋sinαsinβ，可得出cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．(1)根据两角差的余弦公式的推导过程，对任意角α，β公式都成立. (2)公式左侧为α，β的差角的余弦，右侧展开式为α，β的余弦之积与正弦之积的和.【交流展示——两角差的余弦公式】A【解析】由3,,cos ,25παπα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭得4sin ,5α==同理由12sin ,13ββ=-是第三象限角，可得5cos .13β=-由两角差的余弦公式，可得()cos cos cos sin sin βαβαβα-=+531243313513565⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 【变式训练】B 【解析】43cos ,,,sin .525πααπα⎛⎫=-∈∴=== ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫∴- ⎪⎝⎭4355αα⎛⎫=+=-+= ⎪⎝⎭故选B. 【交流展示——给值求值问题】A 【解析】1sin ,2α=α是锐角，cos α∴1cos -=cos cos +sin sin 4442πππααα⎛⎫∴ ⎪⎝⎭. 故选A.【变式训练】 45【解析】cos sin 3sin 6παααα⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭，1414cos ,cos cos 25325πααααα⎛⎫+=∴-=+= ⎪⎝⎭. 【交流展示——给值求角】B【变式训练】B【解析】()0,απ∈，4,333πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 又4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 35πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 又33ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭413525=⨯+. 【当堂检测】1．D2．D【解析】∵α∈(0,),∴2α∈(0,π).∵cos α=,∴cos 2α=2cos 2α-1=-,∴sin 2α==.而α,β∈(0,),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)==,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-)×(-)+×=.3．A【解析】3sin ,5αα=是第二象限的角，4cos ,5α∴==-432cos -2cos cos sin sin 2244455πππααα⎛⎫⎛⎫∴=+∙=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A. 4．A【解析】由,(0,),2παβ∈得(0,)αβπ+∈,由1cos 7α=,得到sin α== 由11cos()14αβ+=-,得到sin()αβ+==1111cos cos[()]cos()cos sin()sin 1472βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+= 又(0,)2πβ∈,所以3πβ=.故选A. 5． C【解析】11cos cos cos cos sin 3226x x x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=+=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4
3.1.1 两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）创设情景，揭示课题以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15 （2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学案(1)
．两角和与差的正弦、余弦、正切公式．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用．．能熟练地把＋化为(ω＋φ)的形式．()与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即(α±β)≠α±β，(α±β)≠α±β，(α±β)≠α±β.()和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如(π－α)＝π α－π α＝×α－×α＝－α.当α或β中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．()使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简(α＋β) β－(α＋β) β时，不要将(α＋β)和(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：(α＋β) β－(α＋β) β＝[(α＋β)－β]＝α.这也体现了数学中的整体原则．()注意公式的结构特征和符号规律：对于公式(α－β)，(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式(α－β)，(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做－】若α＝，β＝，则(α－β)＝( )．－．－．【做一做－】°的值为( )【做一做－】°＝.答案：αβ－αβαβ＋αβα－β＋α β)αβ＋αβαβ－αβα＋β－α β)【做一做－】(α－β)＝α－β＋α β)＝＝.【做一做－】 °＝(°＋°)＝° °＋° °＝.【做一做－】°＝(°＋°)＝° °－° °＝×－×＝.化简α±α(≠)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出αβ±αβ的形式来化简．α±α＝α±(,(＋)) α))，∵＋＝，∴可设θ＝，θ＝.则θ＝(θ又称为辅助角)．∴α±α＝( αθ±αθ)＝(α±θ)．特别是当＝±、±、±时，θ是特殊角，此时θ取±、±、±.例如，α－α＝α－((),(＋)) α))＝α－(()) α))＝α(π)－α(π)))＝.在公式α＋α＝(α＋φ)中，() φ＝，φ＝，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．() α＋α中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例】求下列各式的值：() ° °＋ ° °；()＋.分析：本题()可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题()可构造两角和的正弦公式求解．反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用(α±β)，(α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例】已知α＝，α∈，β＝－，β是第三象限角．求(α＋β)，(α－β)的值．分析：求出α，β的值，代入公式(α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求(α±β)，(α±β)，(α±β)时，其步骤是：()利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；()代入公式(α±β)，(α±β)，(α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例】已知(α＋β)＝，(α－β)＝－，＜α＋β＜π，＜α－β＜π，求α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．()当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．()当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．()角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．题型四易错辨析【例】已知π＜α＜α＋β＜π，且满足α＝－，(α＋β)＝，求β.错解：∵α＝－，(α＋β)＝，且π＜α＜α＋β＜π，∴α＝－，(α＋β)＝－.∴β＝[(α＋β)－α]＝(α＋β) α－(α＋β) α＝.∵π＜α＜α＋β＜π，∴＜β＜π.∴β＝或.错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足β＝且β∈(，π)的β有两值，两值的取舍就是个问题，事实上β＝－，故β＝，只有一值，故应计算角β的余弦值．反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：()先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；()根据()所得范围来确定求α，α，α中的一个值，尽量使所选函数在()得到的范围内是单调函数；()求α的一个三角值；()写出α的大小．答案：【例】解：()原式＝(°－°)(°－°)＋(°－°)(°－°)＝° °＋° °＝(°＋°)＝°＝.()原式＝＝＝＝＝.【例】解：∵α＝，α∈，∴α＝＝.∵β＝－，β是第三象限角，∴β＝－＝－.∴(α＋β)＝αβ＋αβ＝×＋×＝－.(α－β)＝αβ－αβ＝×－×＝.【例】解：∵(α＋β)＝，＜α＋β＜π，∴(α＋β)＝－＝－.∵(α－β)＝－，＜α－β＜π，∴(α－β)＝＝.∴α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝(α＋β)(α－β)－(α＋β)(α－β)＝×－×＝－.【例】正解：∵α＝－，(α＋β)＝，且π＜α＜α＋β＜π，∴α＝－，(α＋β)＝－.∴β＝[(α＋β)－α]＝(α＋β) α＋(α＋β) α＝－.∵π＜α＜α＋β＜π，∴＜β＜π.∴β＝.．(·山东青岛高三质检)已知α＝，且α∈，则等于( )．．－．．化简的结果是( )．．．．．＝.．在△中，＝且＝，则的值是．．已知(α－β)＝，β＝，且α，β∈(，π)．()求α的值；()求α－β的值．答案：．由于α∈，则α＝＝，所以α＝＝，所以＝＝.．原式＝＝＝＝＝..＝＝＝＝＝..由于在△中，＝，可知为锐角，∴＝＝.由于＝，可知也为锐角，∴＝＝.∴＝[π－(＋)]＝－(＋)＝－＝×－×＝. ．解：() α＝[(α－β)＋β]＝＝＝.()(α－β)＝[(α－β)＋α]＝＝.∵β＝＜，∴＜β＜π.又α＝＞，∴＜α＜.∴－π＜α－β＜.而(α－β)＝＞，∴－π＜α－β＜.∴α－β∈(－π，)．∴α－β＝.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1倍角公式导学案新人教A版必修4【精选】.doc
13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导 教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ； （２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-； （４）75sin 212-． （5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.知识与技能以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程,培养学生发现数学规律的思维方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,并体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习,培养学生的探索精神和应用意识,体会数学的科学价值和应用价值,不断提高自身的文化修养.重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点:二倍角的理解及其灵活运用.1.+2的化简结果是()A.2cos 4-4sin 4B.2sin 4C.2sin 4-4cos 4D.-2sin 4解析:原式=+2+2=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.∵sin 4<0,sin 4<cos 4,∴原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.答案:A2.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是.解析:f(x)=sin-2sin2x=sin 2x-cos 2x-2=sin 2x+cos 2x-=sin,故该函数的最小周期为=π.答案:π3.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,已知点P的坐标为.(1)求的值;(2)若=0,求sin(α+β).解:(1)由三角函数定义得cos α=-,sin α=,∴原式===2cos2α=2×.(2)∵=0,∴α-β=.∴β=α-.∴sin β=sin=-cos α=,cos β=cos=sin α=.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.。
[推荐学习]高中数学第三章三角恒等变换3.1二倍角的正弦余弦和正切公式教案新人教A版必修4
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例1、已知 求 的值．
例２、已知 求 的值．
解： ，由此得
解得 或
例3.①化简 ；②求 的值
3. 小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用
[教学反思]
课题: 二倍角的正弦、余弦和正切公式
［课时安排］
和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.
2．过程与方法: 启发式教学,引导学生思路
3．情感、态度与价值观: 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．
［教学重点］
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式
［教学难点］
二倍角的理解及其灵活运用
［教学器材］
［教法学法］
［教学过程］
备注
一、复习准备：
大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
； ；
．
思考：当 = 这些公式会变成怎么样呢？
二、讲授新课：
1. 新课教学：
；
；
思考：把上述关于 的式子能否化为只含有 或 形式的式子吗？ ； ．
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？ 提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos 2α－sin 2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [导入新知]二倍角公式[化解疑难] 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例1] (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.[类题通法] 化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.答案：(1)tan 2θ (2)1[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5，2≤α<2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[解] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sin α＋π4cos α＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原方程可化为1－2cos 2α＋π4＝－cos α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α的值． 答案：－4292．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α. 答案：π6[例3] A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域． [解] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3. 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[活学活用](福建高考节选)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．答案：(1)2π (2)g (x )＝10sin x －89.二倍角的配凑问题[典例] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．[解] 原式＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x x －sin xcos x －sin xcos x＝2sin x cos x ＝sin 2x .或原式＝sin 2x －2sin x cos x ·sin xcos x1－tan x＝sin 2x －sin 2x tan x1－tan x＝sin 2x －tan x1－tan x＝sin 2x .∵2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2，∴sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1 ＝2×925－1＝－725，∴原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＝725.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；常见的此类变换，还有： (1)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2 的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[活学活用]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案：－792．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________.答案：183．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________. 答案：1164．求值：＋3－cos 20°cos 80°1－cos 20°.答案： 2[随堂即时演练]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°答案：B2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( ) A ．－2cos 50° B ．2cos 50° C ．－2sin 50° D ．2sin 50°答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 答案：－434．函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期为________． 答案：π5．已知α为第二象限角，且sin α＝154， 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值． 答案：－ 2[课时达标检测]一、选择题 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.1925答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设－3π<α<－5π2，化简1－α－π2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2答案：C4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 答案：D 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74 D.34答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 答案：1－ 27．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 答案：78．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．答案：459三、解答题9．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α2α－cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.10．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.11．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。
人教版高中数学必修4第三章三角恒等变换-《3.1.1两角差的余弦公式》教案(3)
3．1．1 两角差的余弦公式教学目标（1） 了解两角差的余弦公式的推导，能够借助单位圆，运用向量的方法，推导出公式（2） 掌握其公式并能利用它解决简单的求值和证明问题（3） 通过对公式的推导，感受知识间的相互联系，培养逻辑思维能力，树立创新和运用意识，提高数学素养教学重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式 难点：探索过程的组织和适当引导 教学基本流程教学过程：一、 问题式导入:某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC 约为30米,在地平面上有一点A,测得A 、C 两点间距离约为67米, 从A 观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45° .求这座电视发射塔的高度分析：由方程思想得：30tan )45tan(30-+︒=ααCD 问题提出：如何用βα,的正弦、余弦值来表示)cos(βα-？C 30αD45°67 AB（导入的设计目的：让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模思想，并感受对和、差角公式的需要，引出课题）二、提出探究βαβαcoscos)cos(-=-？βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-？让学生意识恒等的意义，及举反例验证的数学方法。
三、公式的推导联系与角的余弦相关的知识点：向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径方法一：利用向量的数量积相关知识点的复习（可强调向量夹角的范围）（1）),(),,(2211yxyx==2121yyxxBOAOBOAO+==∙（2）诱导公式设计问题（1）结合图形，选择向量；（2）如何利用数量积的概念和公式得到探索结果（3）验证探索过程的严密性。
证明过程：（体现了分类讨论的思想）在平面直角坐标系XOY内作单位圆O，以OX为始边作角βα,，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A，B，则)s i n,(c o s),sin,(cosββαα==OBOA由向量数量积的坐标表示，有：βαβαββααs i ns i nc o sc o s)s i n,(c o s)s i n,(c o s+=∙=∙（1）如果[]πβα,0∈-那么向量的夹角就是βα-，由数量积的定义，有)cos()βαβα-=-=∙于是βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-（2）当[]πβα,0∉-时，设OA与OB的夹角为θ，则θθcos==∙OBOAβαβαsinsincoscos+=另一方面，θβπα++=k2，于是,,2Zkk∈+=-θπβα所以θβαcos)cos(=-Y也有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-得出公式，对任意的βα,，（公式的特点，由学生总结，便于记忆）三角函数名称 符号相反角符号βα,的理解（与诱导公式及同角三角函数的关系式间的联系）加练习以巩固公式三、例题讲解利用差角余弦公式求︒15cos （应用一：求单角的三角函数值）处理方式：由学生独立完成 方法一：42630sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(15cos +=︒︒+︒︒=︒-︒=︒方法二：46245sin 60sin 45cos 60cos )4560cos(15cos +=︒︒+︒︒=︒-︒=︒ （题后小结）此题体现了角的拆分的思想 思考：︒︒75sin ,15sin ，如何来求？ 变式练习：已知βα,都是锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求 βcos 的值 思路点拨：αβαβ-+=)(（设计目的：进一步巩固拆角的意识，理解公式中符号的意义）的值是第三象限角，求：已知例)cos(,135cos ),,2(,54sin 2βαββππαα--=∈=解题思路： 求解最后代入公式再求先求)cos(,sin ,cos βαβα- 解：由⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππαα,2,54sin ，得53sin 1cos 2-=--=αα又由ββ,135cos -=是第三象限角，得1312sin 1cos 2-=--=ββ 所以βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (+=-=653313125413553-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=例题板书：强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性 思考：如果去掉条件中的⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，对题目和结果有没有影响？体现讨论的数学思想 练习（公式逆用） 化简求值（设计目的：加强对公式的理解与应用）x x x x x x sin 23cos 21)4(167cos 32sin 77cos 32cos )3()15sin(sin )15cos(cos )2(105sin 15sin 105cos 15cos )1(+︒︒-︒︒︒++︒+︒︒+︒︒四、小结：1.两角差的余弦公式的推导,注意向量法 的应用2.公式及其特点,应用,可以解决简单的求值和证明问题3.三角函数解题的基本要求: 思维的有序性和表述的条理性（小结中强调向量法对公式的推导，并说明第二种方法）利用三角函数线相关知识点的复习有向线段OM ，MP 分别为角α的余弦线和正弦线 设计问题（1） 作出角βαβα-,,的终边 （2） 作出βαβα-,,的正弦及余弦线 （3） 寻找βα-余弦线的表达式五、作业 P137 2、3、4、5六、板书设计3．1．1两角差的余弦公式一、探究结果 三、例题讲解 方法一 例1．应用一题后小结及变式练习 方法二例2．应用二题后小结及思考 二、公式 及特点 例3．公式逆用 四、小结。
2020版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4_139.doc
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一 两角差的余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22，而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22，故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32，而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32，故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即____________________________________________. 答案 ①1 ②32 ③0 ④12cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式思考1 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β).OA →与OB →的夹角是α－β.思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)， ②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一 利用两角差的余弦公式化简求值例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°) ＝cos 90° ＝0.反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°. 解 (1)原式＝cos(150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° ＝－32×22＋12×22＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝32. 类型二 给值求值例2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值.解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6.又因为α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493. 反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 类型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值.解 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)， 即cos β＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值. 解 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A.0B.12C.22D.32答案 C解析 cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6 ＝cos π4＝22.2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于( ) A.22 B.12 C.32D.－12答案 A解析 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22，故选A.3.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75 B.15 C.－75D.－15答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.4.已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值.解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.5.已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值； (2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题1.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(π6－α)等于( )A3＋66B.3－66 C.－3＋66D.6－36答案 A解析 由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( )A.53＋1226 B.12－5313 C.5＋12326D.5＋5313答案 A解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 4.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，0)，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255，sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.5.若cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( ) A.22B.32C.5665D.3665答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又∵cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35×1213＋45×513＝5665，故选C. 6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( ) A.－12B.12C.32D.－32答案 B解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67° ＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23° ＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12，故选B.7.化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A.sin 2y B.cos 2y C.－cos 2y D.－sin 2y答案 C解析 原式＝－cos[(x ＋y )－(x －y )]＝－cos 2y ，故选C. 8.已知sin(π6＋α)＝14，则cos α＋3sin α的值为( )A.－14B.12C.2D.－1答案 B 二、填空题9.已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π，则cos β＝________.答案 －1解析 由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.10.已知sin α＝1517，α∈(π2，π)，则cos(π4－α)的值为________.答案723411.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则sin β＝________. 答案 －1－m 2解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α ＝cos[(α－β)－α]＝m ， 即cos β＝m . 又∵β为第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－m 2.12.设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B ，3sin B ).若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________.答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B ). 又－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3.13.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________.答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ，② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 三、解答题14.已知cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴sin α＝45，sin β＝1213， ∴cos α＝35. (2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－513×35＋1213×45＝3365.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4
3.小结：学习两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用
[教学反思]
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单位圆的交点为 ， 等于角 与单位圆交点的横坐标，也可以用角 的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角 和角 ？〔注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.〕
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
［教学难点］
两角差的余弦公式的推导及运用
［教学器材］
［教法学法］
［教学过程］
备注
一、复习准备：
1. 向量的知识：数量积 ;
二、讲授新课：
1. 新课导入：①情景导入：我们在初中时就知道 ， ，由此我们能否得到 大家可以猜想，是不是等于 呢？
根据第一章所学的知识可知猜想是错误的！下面一起探讨两角差的余弦公式
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
2.教学：
记忆：右端为 的同名三角函数积的和左端为两角差的余弦
例1、利用余弦公式计算 的值
点评：把一个具体角构成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，要学会灵活运用.
例2、 ， 是第三象限角，求 的值.
课题: 两角差的余弦公式
［课时安排］
1课时
［教学目标］
1．知识与技能: 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用
2．过程与方法: 启发式教学,引导学生思路
3．情感、态度与价值观: 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．
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3.1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一 两角差的余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22，而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22，故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32，而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32，故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即____________________________________________. 答案 ①1 ②32 ③0 ④12cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式思考1 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β).OA →与OB →的夹角是α－β.思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)， ②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一 利用两角差的余弦公式化简求值例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°) ＝cos 90° ＝0.反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°. 解 (1)原式＝cos(150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° ＝－32×22＋12×22＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝32. 类型二 给值求值例2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值.解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6.又因为α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493. 反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 类型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值.解 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)， 即cos β＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值. 解 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A.0B.12C.22D.32答案 C解析 cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6 ＝cos π4＝22.2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于( ) A.22 B.12 C.32D.－12答案 A解析 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22，故选A.3.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75 B.15 C.－75D.－15答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.4.已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值.解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.5.已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值； (2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题1.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(π6－α)等于( )A3＋66B.3－66 C.－3＋66D.6－36答案 A解析 由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( )A.53＋1226 B.12－5313 C.5＋12326D.5＋5313答案 A解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 4.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，0)，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255，sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.5.若cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( ) A.22B.32C.5665D.3665答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又∵cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35×1213＋45×513＝5665，故选C. 6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( ) A.－12B.12C.32D.－32答案 B解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67° ＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23° ＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12，故选B.7.化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A.sin 2y B.cos 2y C.－cos 2y D.－sin 2y答案 C解析 原式＝－cos[(x ＋y )－(x －y )]＝－cos 2y ，故选C. 8.已知sin(π6＋α)＝14，则cos α＋3sin α的值为( )A.－14B.12C.2D.－1答案 B 二、填空题9.已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π，则cos β＝________.答案 －1解析 由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.10.已知sin α＝1517，α∈(π2，π)，则cos(π4－α)的值为________.答案723411.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则sin β＝________. 答案 －1－m 2解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α ＝cos[(α－β)－α]＝m ， 即cos β＝m . 又∵β为第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－m 2.12.设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B ，3sin B ).若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________.答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B ). 又－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3.13.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________.答案 －12 解析 sin α＋sin β＝－sin γ， ① cos α＋cos β＝－cos γ，② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 三、解答题14.已知cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－22×22＋22×22＝0. 四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝35.(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513，∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.。