(完整版)公倍数和公因数
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数和最小公倍数的定义在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个常见的概念，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的定义、性质和相关应用。
一、最大公因数的定义最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。
例如，12和30的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和30的最大公约数是6。
最大公因数的求法有多种方法，其中最常用的是辗转相除法。
该方法的基本思想是，用较大的数去除以较小的数，再用余数去除以刚才的除数，如此反复，直到余数为0为止。
最后一次除数即为最大公约数。
例如，求出120和84的最大公约数：120÷84=1 (36)84÷36=2 (12)36÷12=3 0因此，最大公约数是12。
二、最小公倍数的定义最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，6和8的公倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24。
最小公倍数的求法也有多种方法，其中最常用的是分解质因数法。
该方法的基本思想是，将每个数分解成质因数的乘积，然后将这些质因数的最高次幂相乘即可。
例如，求出12和18的最小公倍数：12=2×318=2×3将它们的质因数分解乘起来，得到2×3=36，因此最小公倍数是36。
三、最大公因数和最小公倍数的性质最大公因数和最小公倍数有许多重要的性质，下面列举其中的几个：1. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。
即，设a、b为两个整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。
证明：设a=p^α×p^α×…×p^α，b=p^β×p^β×…×p^β，其中p、p、…、p是不同的质数，α、α、…、α、β、β、…、β是非负整数。
公倍数和公因数
公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。
只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的。
最小的公因数是1.6、求两个数的最大公因数的特殊情形：1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
3）假如两个数都是质数或者两个数是继续的天然数，那末这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外另有别的的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=2424是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1.11、1与任意非零天然数的公因数只要1个，就是1.12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
倍数与因数公因数与公倍数——基本知识点
倍数与因数公因数与公倍数——基本知识点倍数和因数是数学中常见的概念，它们与公因数和公倍数密切相关。
下面我将详细介绍倍数和因数的概念，并阐述它们与公因数和公倍数的关系。
首先，我们来介绍倍数的概念。
在数学中，如果一个数能够整除另一个数，那么我们就称它为后者的倍数。
比如，2是4的倍数，因为4除以2等于2，可以整除。
同样地，10是5的倍数，因为10除以5等于2、可以看出，一个数的倍数可以是多个，即它可以被多个不同的数整除。
那么，什么是因数呢？一个数的因数是能够整除该数的数。
例如，4的因数有1、2和4，因为1、2和4都能够整除4、同理，5的因数只有1和5，因为只有1和5能够整除5、一个数的因数一定是它的约数，也就是说它可以整除该数。
接下来，我们来讨论倍数和因数的关系。
一个数的倍数一定是它的因数的整倍数。
例如，8是4的倍数，因为8可以被4整除。
同样地，12是3的倍数，因为12可以被3整除。
这意味着，如果一个数是另一个数的倍数，那么它也同时是后者的因数。
而另一方面，一个数的因数一定是它的倍数的约数。
也就是说，如果一个数是另一个数的因数，那么它也同时是后者的倍数的约数。
例如，3是6的因数，因为3能够整除6；同时，3也是6的2倍数的约数，因为2乘以3等于6接着，我们来谈谈公因数和公倍数。
公因数是指两个或多个数共有的因数。
例如，12和18的公因数有1、2、3和6、这是因为1、2、3和6都能够同时整除12和18、同样地，6和9的公因数只有1，因为只有1能够同时整除6和9与之相反，公倍数是指两个或多个数共有的倍数。
例如，15和25的公倍数有75、150和225，因为75、150和225都能够同时被15和25整除。
同样地，4和9的公倍数只有36，因为只有36能够同时被4和9整除。
最后，我们来探讨公因数和公倍数之间的关系。
如果两个数的公因数多于1个，那么它们的最小公倍数一定是它们的公倍数之一、另一方面，如果两个数的公倍数多于1个，那么它们的最大公因数一定是它们的公因数之一、这是因为最小公倍数是能够同时整除两个数的最小的正整数倍数，最大公因数是能够同时整除两个数的最大的正整数因数。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。
在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。
两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。
而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。
求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。
对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。
对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。
最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。
因数倍数最大公因数最小公倍数的概念
因数倍数最大公因数最小公倍数的概念因数、倍数、最大公因数、最小公倍数，听上去有点复杂，对吧？其实这些概念就像我们生活中的小道理，越简单越有趣。
想象一下，因数就像是一个大蛋糕的切块儿，切得越多，块儿就越小，大家吃得越开心。
比如说，12这个数，它的因数就是1、2、3、4、6和12。
每一个因数就像是从这个大蛋糕上切下来的小块儿，大家围在一起，共同分享，开心极了！说到倍数，那就是另一个故事了。
倍数就像是吃蛋糕的速度，越吃越多，想想看，12的倍数就是12、24、36……哇，吃得不亦乐乎！倍数就像你的朋友，每次聚会都带来一大堆美味的蛋糕，越聚越热闹。
简单来说，倍数就是某个数乘以其他数的结果，就像把小块儿蛋糕堆在一起，越来越高，越来越壮观。
再说说最大公因数，这可是个非常重要的角色。
想象一下，你和朋友们一起吃蛋糕，大家想要分得公平。
最大公因数就像是找到大家都能接受的那块蛋糕，大家都能满意，真是和谐至极。
以12和18为例，它们的因数分别是1、2、3、4、6、12和1、2、3、6、9、18。
最大公因数就是6，这就说明，大家分到的蛋糕都是一样的，大家都开心，何乐而不为呢？而最小公倍数就像是筹备聚会时，大家能一起吃到的最小份额。
想象一下，如果你和朋友们约好一起吃汉堡，而汉堡的数量必须是一个共同的倍数，最小公倍数就能帮你找到一个最小的汉堡数量，大家都能吃到。
12和18的最小公倍数是36，说明如果大家都想要吃到汉堡，那就得至少准备36个，才能确保每个人都有份，不多不少，刚刚好！这些概念其实就在我们生活中，常常会碰到。
比如，想要合理安排时间，找到大家的共同点，就像在找最大公因数；想要一次性满足大家的需求，就得找到最小公倍数。
学习这些概念并不枯燥，它们就像是一场数学派对，让人兴奋，让人期待。
我们在生活中会遇到各种各样的问题，搞明白因数和倍数，最大公因数和最小公倍数，不仅能帮助我们解决数学题目，还能让我们在生活中更加游刃有余。
就像平时和朋友们出去吃饭，大家分摊账单时，找到一个公平的方式，才能让聚会气氛更加融洽。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
最小公倍数和最大公因数的定义
最小公倍数和最大公因数的定义在我们的数学世界里，有两个小家伙总是活跃在一起，那就是最小公倍数和最大公因数。
听起来有点复杂，其实没那么难，今天就让我们轻松地聊聊这俩小家伙，让你在下次聚会上可以轻松抖出数学知识，给朋友们来个“惊艳一击”。
1. 最大公因数（GCD）1.1 定义与例子首先说说最大公因数，也就是常说的GCD（Greatest Common Divisor）。
简单来说，最大公因数就是能同时整除两个或多个数字的最大的那个数。
举个例子吧，假设你有两个数字，12和18。
想要找它们的最大公因数，我们得找出能同时整除这两个数字的所有因数。
12的因数有1、2、3、4、6、12，而18的因数有1、2、3、6、9、18。
看看，能同时整除12和18的最大数是6。
所以，12和18的最大公因数就是6。
1.2 应用场景这最大公因数可不是白叫的，咱们日常生活中可大有用处！比如，想要把12块蛋糕和18块蛋糕分给小朋友们，想让每个小朋友都能分到相同数量的蛋糕，不多不少，正好分完。
通过最大公因数，我们就知道，最多只能分6个小朋友，每人得到2块和3块的组合，完美解决了分蛋糕的问题。
是不是有点像生活中的智慧？遇到麻烦事，找最大公因数，一切迎刃而解！2. 最小公倍数（LCM）2.1 定义与例子接下来，我们得聊聊最小公倍数，简称LCM（Least Common Multiple）。
最小公倍数是能被两个或多个数字整除的最小的那个数。
比如，继续拿12和18来说。
我们得找出能够被这俩数字同时整除的数。
简单点，咱们可以先列出它们的倍数。
12的倍数有12、24、36、48、60……而18的倍数有18、36、54、72……等等。
这里最小的那个共同的倍数就是36，所以，12和18的最小公倍数是36。
简单吧？2.2 应用场景最小公倍数同样是生活中的好帮手。
想象一下，两个朋友相约去看电影，一个朋友每5天看一次，而另一个朋友每3天看一次。
那么，他们下次一起去看电影的日子，当然得等到他们的观看周期重合。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。
掌握这些概念和求法是非常重要的。
最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。
例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。
我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。
然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。
除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。
最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。
例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。
通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。
12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。
两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。
需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。
在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数（ 8 ） 4和8的最大公因数（ 4 ）9和3的最大公因数（ 3 ） 28和7的最大公因数（ 7 ）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（ 1 ） 8和9的最大公因数是（ 1 ） 99和98的最大公因数是（ 1 ）两个不同的质数5和7的最大公因数是（ 1 ） 17和29的最大公因数是（ 1 ） 11和19的最大公因数是（ 1 ）两个互质的合数4和9的最大公因数是（ 1 ） 20和49的最大公因数（ 1 ） 25和69的最大公因数是（ 1 ）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
最大公因数和最小公倍数
第三讲最大公因数和最小公倍数一．基本概念和知识1．公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2．公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3．互质数如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
二．例题例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公因数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公因数。
解：（30，60，75）＝15所以，这个数最大是15。
例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求求的数是3、4、5的公倍数，且是最小公倍数。
解：∵ [3，4，5] ＝60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180、300的公因数；又∵每段要尽可能长，∴要求的每段长度就是120、180、300的最大公因数。
解：∵（120，180，300）＝60，∴每小段最长60厘米。
120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
例4：加工某种机器零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数。
要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
解：∵[3，10，5]＝30∴各道工序均应加工30个零件。
公倍数和公因数的概念和公式
公倍数和公因数的概念和公式一、公倍数1.1定义公倍数是指同时是多个整数的倍数的数。
对于给定的两个整数a和b，它们的公倍数是a和b的最小公倍数的倍数。
1.2公倍数的表示方法假设a和b是两个整数，它们的公倍数可以用以下形式表示：m=k*a=k'*b其中m是a和b的公倍数，k和k'是整数。
1.3公倍数的求法为了求两个整数a和b的公倍数，可以按照以下步骤进行：（1）找到a和b的一个倍数；（2）继续找到a和b的倍数，直到找到它们的第一个公倍数；（3）得到a和b的所有公倍数。
1.4两个整数的最小公倍数两个整数a和b的最小公倍数是同时是a和b的公倍数的最小的正整数。
最小公倍数通常表示为lcm(a, b)。
1.5公倍数的计算方法最小公倍数可以用以下公式计算：lcm(a, b) = ，a * b， / gcd(a, b)其中gcd(a, b)表示a和b的最大公因数。
二、公因数2.1定义公因数是指同时是多个整数的因数的数。
对于给定的两个整数a和b，它们的公因数是a和b的共同的因数。
2.2公因数的表示方法假设a和b是两个整数，它们的公因数可以用以下形式表示：d=a*k=b*k'其中d是a和b的公因数，k和k'是整数。
2.3公因数的求法为了求两个整数a和b的公因数，可以按照以下步骤进行：（1）列出a和b的所有因数；（2）找到a和b的共同的因数。
2.4两个整数的最大公因数两个整数a和b的最大公因数是同时是a和b的公因数的最大的正整数。
最大公因数通常表示为gcd(a, b)。
2.5公因数的计算方法最大公因数可以用以下公式计算：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)其中mod是取模运算符。
计算两个整数的最小公倍数和最大公因数的步骤如下：（1）求出两个整数的绝对值；（2）计算两个整数的最大公因数；（3）计算两个整数的最小公倍数。
在实际应用中，计算最小公倍数和最大公因数的计算方法非常有用。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。
（2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
（3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
34、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：（1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。
）（2）互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：（1）求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、271、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9③短除法：3 18 273 6 9 2 3除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
18 ÷ 9就是18和27的最大公因数 27（2）求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
五年级上册第14讲 公因数与公倍数
（377，221）= 13
（511，1314）= 1
互质
6
【典型例题】
例3：老师在阿呆班发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生， 最后还剩5个苹果，7个梨。请问班里（最多）一共有多少名学生。
苹果： 梨：
59－5=54 (个） 97－7=90 (个）
人数是54和90的公因数。
（54，90）= 18
2
互质
三个数最 大公因数 是1
两两互质
（120，264）= 2×2×2×3=24 [ 120，264] = 2×2×2×3×5×11=1320
（240，80，96）= 2×2×2×2=16 240，80, 96] = 2×2×2×2×5×3×2=480
5
【典型例题】
例2：求下列各组数的最大公因数。
13
【课堂精练】
5．用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且 最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
边长是1072和469的最大公因数。
2 1072 938 2 134 134 0 （1072，469）= 67
469 3 402 67
答：这些正方形的边长最长是67毫米。
（54，90）= 18 [ 54，90] = 18×3×5=270
4
【典型例题】
（3）120和264 2 120 2 60 2 30 3 15 5 264 132 66 33 11 （4）240、80和96 240 2 120 2 60 2 30 5 15 33 1 80 40 20 10 5 1 1 96 48 24 12 6 6 2
互质
互质
（54，90）= 2×3×3=18 [ 54，90] = 2×3×3×3×5=270
公因数公倍数知识点总结
公因数公倍数知识点总结
嘿，朋友们！今天咱来好好唠唠公因数公倍数这个知识点。
咱就说，公因数就像是小伙伴们共同喜欢的东西。
比如说有一堆糖果，3 个小朋友分，能正好分完；5 个小朋友分，也能正好分完，那这堆糖果数量的公因数就是3 和 5 啦！
公倍数呢，好比大家以后再次相聚的时间。
比如甲每隔 3 天去一次公园，乙每隔 4 天去一次公园，那他们什么时候能在公园再次相遇呢？这就是找 3 和 4 的公倍数呀！
想象一下，公因数和公倍数不就像是我们生活中的一种默契和规律嘛！你看，数学其实也没那么难嘛，对吧？
咱再来具体说说，找公因数可以用列举法呀，把能整除的数都列出来，然后找到大家都有的那个数。
哎呀，这多有意思！就像从一堆宝贝里找出那个大家都惦记的。
公倍数呢，还能通过最小公倍数来找。
好比你要去一个很远的地方，先找到最短的那条路，然后其他的路不就都清楚啦！是不是很好理解？
亲爱的你们，公因数和公倍数在生活中也有好多应用呢！比如分东西啦、安排时间啦。
它们就像我们的小助手，帮我们把事情安排得井井有条。
所以啊，不要觉得公因数公倍数很枯燥，它们真的超级有趣的！只要我们认真去体会，就能发现数学的魅力无处不在！朋友们，好好去感受公因数公倍数的神奇吧！我的观点就是：公因数公倍数是数学中非常重要且有趣的知识点，掌握了它们，会让我们对数学的理解更上一层楼！。
公倍数公因数最大公因数最小公倍数的定义
公倍数公因数最大公因数最小公倍数的定义1. 引言1.1 什么是公倍数公倍数是指两个或多个数同时存在的倍数。
换句话说，公倍数就是能同时整除这些数的数。
2和3的公倍数包括6、12、18等等。
公倍数是数学中常见的概念，它在简化分数、求解方程等问题中起着重要作用。
通过找到两个数的公倍数，我们可以简化计算过程，使问题变得更加简单。
在求解两个数的最小公倍数时，我们只需要找到它们的公倍数中最小的那个数即可。
这样一来，我们可以节省时间和精力，提高计算的效率。
通过理解和掌握公倍数的概念，我们可以更好地理解数学中的相关知识，提高解决问题的能力。
掌握公倍数这一概念对于数学学习和应用来说是非常重要的。
希望大家能够认真学习公倍数的概念，并灵活运用于实际问题的解决中。
这样一来，我们能更好地理解数学，提高数学水平。
1.2 什么是公因数公因数，顾名思义是指能够同时整除两个或多个数的数。
换句话说，如果一个数能够同时整除两个数，那么这个数就是这两个数的公因数。
公因数在数学中具有重要的作用，它可以帮助我们简化分数、化简多项式、求解方程等。
对于数字12和18，它们的公因数包括1、2、3、6。
因为这些数字都可以整除12和18，所以它们是12和18的公因数。
而最大的公因数就是能够同时整除两个数中最大的那个数，即12和18的最大公因数是6。
公因数的概念在数学中有着广泛的应用，特别是在分解质因数、求解最大公约数等方面。
通过寻找两个或多个数的公因数，我们可以更快地找到它们的最大公因数，从而简化计算过程。
公因数是能够同时整除两个或多个数的数，它在数学中扮演着重要的角色，能够帮助我们简化计算、解决问题。
通过深入理解公因数的概念，我们可以更好地应用它们在数学中的各种场景中，提高计算效率，优化解决方案。
1.3 什么是最大公因数最大公因数是指一组数中可以同时整除这组数的最大整数。
换句话说，最大公因数是该组数的所有公因数中最大的一个。
最大公因数的概念在数论和代数中非常重要，它可以帮助我们简化分式运算、化简等式以及解决整数问题。
公倍数和公因数的符号
公倍数和公因数的符号一、引言公倍数和公因数是初中数学中比较基础的概念，也是解决整数运算问题的重要方法。
在实际生活中，我们经常需要求两个或多个数的公倍数和公因数。
本文将从符号的角度来探讨公倍数和公因数的含义及其符号表示。
二、公倍数的符号1. 定义若有整数a、b，且存在整数m，使得a=km，b=lm（k、l为整数），则称m是a、b的一个公倍数。
所有a、b的公倍数组成一个集合，称为它们的公倍数集合。
其中最小正整数叫做它们的最小公倍数。
2. 符号表示通常用lcm(a,b)表示a、b的最小公倍数，即least common multiple（最小公倍量）缩写。
三、公因数的符号1. 定义若有整数a、b，且存在整数m，使得m同时是a和b的约束，则称m为a和b的一个公因子。
所有a、b共同拥有的约束组成一个集合，称为它们的约束集合。
其中最大正整数组成它们所有约束中最大值叫做它们的最大公约束。
2. 符号表示通常用gcd(a,b)表示a、b的最大公约束，即greatest common divisor（最大公约量）缩写。
四、公倍数和公因数的关系1. 定义若有整数a、b，且存在整数m，使得a=km，b=lm（k、l为整数），则称m是a、b的一个公倍数。
若m同时也是a和b的约束，则称m为a和b的一个公因子。
所有a、b的公倍数组成一个集合，称为它们的公倍数集合；所有a、b共同拥有的约束组成一个集合，称为它们的约束集合。
2. 结论（1）若c是a、b的一个公因子，则c也是它们所有公倍数的一个公因子。
（2）若d是a、b所有公倍数中最小正整数，则d就是它们的最小公因子。
（3）若e是a、b所有共同拥有约束中最大正整数，则e就是它们的最大公倍数组成。
五、总结本文从符号角度来探讨了公倍数和公因数概念及其符号表示。
在实际应用中，我们可以利用这些符号来简化计算过程，提高计算效率。
同时，在理解这些符号背后所代表含义基础上，我们还可以更深入地理解两个或多个整数之间相互关系。
什么是公因数什么是公倍数
什么是公因数什么是公倍数
公因数，亦称公约数。
它是一个能同时整除若干整数的整数。
如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的公因数。
两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。
公因数：几个数共有的因数，叫这几个数的公因数。
最大公因数：公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数。
公倍数：几个数共有的倍数，叫这几个数的公倍数。
最小公倍数：公倍数中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。
如何求最小公倍数与最大公因数：
①当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍是它们的积；
②当两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数，较大的数是这两个数的最小公倍数；
③当两个数是一般关系时，用短除法求这两个数的最大公因数与最小公倍数。
由此可知，最大公因数是公有质因数连乘的积，最小公倍数是公有和独有因数连成的积。
可见，最小公倍数是最大公因数的倍数，最大公因数是最小公倍数的因数。
公倍数和公因数知识点整理1
头脑风暴
从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆， 加上两端的两根一共是25根。电线杆现在改成 每隔6米安装一根电线杆，除两端的两根不需 要移动外中间有多少根不必移动？
a与b的最大公因数是6，最小公倍数是72，a 是18，b是多少？
公因数
公倍数
个数
有限 最大
无限 最小
最大最小
填空
在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数 有（ ），是5的倍数的有（ ），是2的倍数 的有（ ）；是2和5的公倍数的有（ ），是2和 3的公倍数的有（ ），是3和5的公倍数的有 （ ）；同时是2、3和5的公倍数的数是（ ）。
如果A = 2 × 3 ×7，B = 2 × 5 × 7，那么它们的最大公因数是 （ ），最小公倍数是（ ） 用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是 （ ），最小是（ ） 如果两个数的最大公因数是1，它们最小公倍数是91，那么这两个数的 和最大是（ ）
求30和36的最小公倍数和最大公因数公倍数
2
3
3 0
15 5
3 6 1 8
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
6
除到两个商是互质数为止
30和36的最大公因数是 2×3＝6
把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数
30和36的最小公倍数是 2×3×5×6＝180 把所有的除数和最后的两个商连乘起来， 就得到这两个数的最小公倍数
有一盒糖如果按4块一堆分开结果多出一块， 如果按5块一堆分开结果也多出一块。那么这 盒糖最少有多少块 一张长方形纸长75厘米宽6分米。把它剪成相同 的正方形，且没有剩余。正方形的边长最大是 多少厘米？最少可以剪多少个？
某学校为每个学生编号设定末尾用1表示男生 用2表示女生。0713321表示“2007年入学的 一年级三班的32号同学该同学是男生”。那么 “0532012”表示的学生是哪一年入学几年级 几班的学生该同学是男生还是女生
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第三单元：公倍数和公因数目标导航1、 认识公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数、因数和它们的公因数。
2、 学会用列举的方法找到10以内两个数的最小公倍数和100以内两个数的最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，发现求两个数的最大公因数和最小公倍数的一些简捷的方法，并能根据两个数的关系选择用合理的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
3、 自主探索求三个数的最小公倍数的方法，在解决实际问题的过程中提高学习数学的能力。
基础巩固题1、2、6的倍数有：（ ）；8的倍数有：（ ）；6和8的公倍数有：（ ）；6和8的最小公倍数是：（ ）。
3、填空（1）48既能被8整除，又能被6整除，所以48是8和6的最小公倍数。
（ ）（2）先将18和24分解质因数，再求出它们的最小公倍数。
18＝( ) 24＝( ) 18和24的最小公倍数( )。
（分解质因数只针对于合数，质数4的倍数 5的倍数4和5的公倍数指除了1和它本身之外的数，如：2、3、5、7等）（3）4和5的最小公倍数是（ ），16和24的最小公倍数是（ ）。
（4）下面这些图形，如果这样排列下去，在第（ ）个时都是有颜色的图形呢。
4、求下列各组数的最小公倍数。
7和9 15和45 12和1824和16 11和6 4、5和65、1路和2路公共汽车早上6时同时从起始站发车，1路车每5分钟发一辆车，2路车第4分钟发一辆车。
完成下表并回答问题： 1路车 6：002路车 6：00（1）几时这两路车第二次同时发车？（2）解决这个问题就是求（ ）。
6、 一个汽车总站有甲、乙两路车。
甲路车每3分钟发一次车；乙路车每5分钟发一次车。
甲、乙两路车第二次同时发车的时间与第一次同时发车的时间至少间隔多少分钟？7、8、18的因数有：（ ）；24的因数有：（ ）；18和24的公因数有：（ ）；18和24的最大公因数有：（ ）。
9、填空（1）60的因数有（ ），能整除45的数有（ ），既是60的因数，又能整除45的数有（ ），60和45的最大公因数是（ ）。
（2）4和5的最大公因数是（ ）；5和15的最大公因数是（ ），16和24的最大公因数是（ ）。
10、求下列各组数的最大公因数。
6的因数 12的因数91和13 11和8 90和6011、联系生活，解决问题。
（1）一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长是多少？最少被剪成几块？（2）把两根分别长24分米和30分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余，每段最长是多少分米？（3）一个长方形的面积是24厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？12、7和10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
36和24的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
13、求下面每组数的最大公因数和最小公倍数3和14 22和66 42和6318和27 27和54 25和4014、求下面三个数的最小公倍数。
20、16和30 18、24和36 10、12和15 6、15和20思维拓展题15、填空（1）有10张卡片0 、1 、 2 、……、9 。
选出三张卡片，使这三张卡片组成的数能同时被2、3、5整除。
你选的卡片组成的最小三位数是（）。
（2）两个质数的最小公倍数是221，这两个数的和是（）。
（3）三个连续自然数的和是18，这三个数的最小公倍数是（）。
（4）三个连续奇数的和是21，这三个奇数分别是()、()、()，它们的最小公倍数是()。
16、有一个比50小的数，它既是2的倍数，又有因数3，还能被5整除，这个数是（）。
A．48 B．45 C．30 D．2017、一堆苹果平均分给2、3、4、5、6个小朋友，都可以使每人分到的个数一样多，这堆苹果最少有（）个。
A．30 B．60 Ｃ．126 Ｄ．24018、求下列各组数的最小公倍数。
3、2和7 24、30和16 14、8和2812、18和9 15、12和20 33、11和2219、一个自然数被2、3、5除都余1，这个数最小是多少？20、解决实际问题（1）光明小学五年级学生，分为7人一组、8人一组或6人一组排队做操，都恰好分完，五年级至少有多少学生？（2）王叔叔家三个儿子都在城里工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。
兄弟三人同时在4月20日回家，下一次三人同时在哪一天回家？21、改错：(1) (24,36)=2×2×2×3×3=72 (2) ［4,6,8］=2×2×3×4=4822、判断（1）如果a是b的倍数，那么a和b的最大公因数是b。
…………（）（2）两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
……（）（3）两个数的公倍数一定比这两个数都大。
………………………（）23、填空（1）A÷B＝8（AB均为非0的自然数），A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
（2）A＝B+1（或A－B＝1）（AB均为非0的自然数），A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
（3）甲数＝2×3×a，乙数=2×5×a,已知甲乙两数的最大公因数是22，则a是（）；如果甲乙两数的最小公倍数是210，则a是（）。
（4）A和B均是不为0的自然数，如果A ×15 = B，A和B这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
（5）210分解质因数是（），B＝2×3×11，C＝2×5×7，那么210、B和C 这三个数的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
（6）A=2×2×3×5,B=2×3×3×5,A和B的最大公因数是最小公倍数的（）。
24、联系生活，解决问题。
（1）五（1）班学生数不超过50人，小组合作学习时，根据教学内容不同可以分为每组3人，每组4人，每组6人，每组8人，各种分法都刚好分完。
这个班可能有学生（）人或（）人。
（2）园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树，一共栽了74棵。
现在要改成每隔6米栽一棵树。
那么，不用移栽的树有多少棵？（3）一个环行跑道长400米，小王平均每秒跑8米，老张平均每秒跑5米，现小王和老张同时从起点出发，经过（）秒两人第一次在起点相遇。
自主探究题25、填空（1）10和12的最大公因数是（），最小公倍数是（），比较这两个数的乘积和最大公因数与最小公倍数的积，我发现________________________________。
（2）两个数的最大公因数是1；最小公倍数是12，这两个数分别是（）和（）或者（）和（）；（3）有两个数，它们的最大公因数是14，最小公倍数是42。
这两个数是（）和（）。
（4）一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，这个数最小是（）。
26、联系生活，解决问题。
（1）浦东实验学校食堂和宿舍楼四周组成一个长50米，宽40米的长方形，现计划在这长方形边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相同，你认为可以有几种不同的植法？每种植法各需要多少棵杉树？（2）张大伯卖了一天的水果，晚上数钱时，他发现手头的一叠纸币是一些贰元的和伍元的。
张大伯把这叠钱分成钱数相等的两堆，第一堆中伍元和贰元的钱数相等，第二堆中伍元与贰元的张数相等。
你知道这一叠纸币至少有多少元？（3）有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，最后一捆是30本。
这批图书有多少本？（4）一个周长为300米的环形跑道，甲每分钟走100米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米，甲乙丙三人同时从同一地点同方向走，多少分钟后他们又在同一点？（5）放寒假了,小明总希望让爸爸、妈妈一起带他去科技馆参观,因为听同学说那里可好玩啦！可是他遇到了一个难题,因为他的爸爸、妈妈不在同一天休息。
爸爸每上4天班休息一天,妈妈却是上5天班休息两天。
小明至少要在放假后第几天才能实现他的愿望?（6）实验学校组织一次知识竞赛，下表是三位选手的参赛证号码及所代表的信息。
参赛证号参赛选手信息340105 三（4）班的选手，在第1考场第5个座位410213 四（1）班的选手，在第2考场第13个座位650612 六（5）班的选手，在第6考场第12个座位（1）写出参赛证号码是530708学生的信息。
（2）写出六（2）班在第4考场第9个座位学生的编号。
第三单元复习提优训练一、填空：1、7和8的最小公倍数是（），4和8的最小公倍数是（），6和10的最小公倍数是（）。
2、15和16的最大公因数是（），8和16的最大公因数是（），12和18的最大公因数是（）。
3、两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（）。
4、A＝2×2×3×5，B＝2×2×2×3，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
5、一个数能被3整除，又是5的倍数，还有因数7。
这个数最小是（）。
6、既能整除30、又能整除45的数中，最大的是（）。
7、在a=4b中，a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
二. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）1、连续5个自然数的最大公约数是1……………………………（）2、两个数的最大公因数一定小于这两个数。
…………………( )3、甲、乙两数都是不为0的自然数，甲数÷13 =乙数，甲和乙的最小公倍数是甲数。
……………………………………………………( )4、能被3和5整除的数一定能被15整除。
………………( )三、选择题（将正确答案的序号填括号里）：1、下列几组数中，只有公约数1的两个数是（）。
① 13和91 ② 26和18 ③ 9和852、下列（）组既有公因数2，又有公因数3。
①24和42 ②6和27 ③30和403、任何两个自然数的（）的个数是无限的。
①公倍数②公因数③倍数4、A能被B整除，那么它们的最小公倍数是（）。
①AB ②A ③B5、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数是（）。
①15和90 ②30和60 ③45和906、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是24，则符合条件的数有（）组①2组②3组③4组四、求下面每组数的最大公因数和最小公倍数（三个数的最大公因数除外）32和24 12和18 72和4878和39 3、15和20 12、60和18五、联系生活，解决问题。
1、爸爸：每一圈用4分妈妈：每一圈用6分爸爸、妈妈同时从起点出发，他们至少几分钟后在起点相遇？2、一块长方形铁皮，长84厘米，宽56厘米。