2018北京市第三十五中学高三(上)期中数学(理)
2017-2018北京西城35中高三上12月月考【理】【详解】数学试卷
北京市西城35中2018届高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（）．A ．直线、直线B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线【答案】D【解析】由cos ρθ=，得2cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式得220x y x +-=，故极坐标方程表示的图形为圆；由123x ty t =--⎧⎨=+⎩消去参数t 整理得310x y ++=，故参数方程表示的图形为直线．故选D ．2．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（）．A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+【答案】A【解析】试题分析：将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒所得到的直线为13y x =-，再向右平移1个单位，所得到的直线1(1)3y x =--，即1133y x =-+．故选A ．【考点】图象的变换．3．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则M N = （）．A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[)1,3-D ．(]2,1--【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +==+=-≥≥≥，{}|13M N x x =-< ≤．故选C ．【点睛】研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是不等式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．4．为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需要把函数lg y x =的图象上所有的点（）．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【解析】试题分析：因为3lglg(3)110x y x +==+-，所以得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位．故选C ．【考点】1对数的运算；2图像平移．5．设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 项错误； B 项．πππ2sin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 项正确；C 项．π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2sin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D 项．ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误；综上． 故选B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为2πϕ，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数sin y u =的增区间满足ππ2π2π22k u k -++≤≤，k ∈Z 等．6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（）．A ．1B ．4C ．7D ．15【答案】D【解析】∵n ，n a ，n S 成等差数列，∴2n n a n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =， 当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，， ∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+， ∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=， ∴21n n a =-， ∴442115a =-=． 故选D ．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⊥⇒⊥ ②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【解析】命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误；命题①显然正确；命题④m n ∥，n m n ααβαβ⊥⎫⊥⇒⇒⊥⎬⎭∥，故④正确；综上正确命题为①④． 故选C ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的性质和面面平行的性质等知识，涉及数形结合思想和分类与整合思想，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题型．解决此种主要采取特例法和排除法，例如：命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误．8．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（）．A ．2B ．43C D ．23【答案】D【解析】112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）．A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n <【答案】C【解析】∵命题:p n ∃∈N ，22n n >， ∴p ⌝为：n ∀∈N ，22n n ≤． 故选C ．10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（）．A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞-D ．(4,4)-【答案】A【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404xf x f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当0x <时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-+∞ ． 故选A ．二、填空题11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4c =，60A =︒，则b =__________． 【答案】1或3【解析】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，将a =4c =，60A =︒，代入得2430b b -+=，解得1b =或3b =，故答案为1或3．【点睛】此题考查了余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC △中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 12．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________． 【答案】500π35=，故球的体积为34π500π533⨯=，故答案为500π3．13．已知向量a ，b 满足||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒【解析】∵||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴22()||||2||||cos 1a b a b a b θ+=++=，∴1cos 2θ=-，120θ=︒，即a 与b的夹角为120︒， 故答案为120︒．14．已知方程22240x y x y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________． 【答案】(,5)-∞【解析】若方程22240x y x y m +--+=表示圆，则41640m +->，解得5m <，故m 的取值范围为(,5)-∞．故答案为(,5)-∞．15．如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作E F A E⊥交BCD ∠的外角平分线于F ．设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是__________．【答案】(]0,4【解析】如图，作FG BC ⊥，交BC 延长线于G ，则CG FG =，D A BCE F易证得E ABE GF ∽△△， ∴AB BEEG FG=， 设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+， ∴44xm x x m m===-+．∴π()(4)cos (4)4f x EC CF x x x =⋅=-⋅=- ，由题知04x <<，所以0()4f x <≤，故()f x 的值域是(]0,4． 故答案为(]0,4．16．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．【答案】1【解析】∵z x ay =+，则11y x z a a =-+，z a 为直线1zy x a a=-+在y 轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个，∵0a >，把x ay z +=平移，使之与可行域的边界AC 重合即可， ∴1a -=-，1a =，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z 的几何意义，属于中档题；先根据约束条件画出可行域，由z x ay =+，利用z 的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z x ay =+与可行域的边界AC 平行时，从而得到a 值即可．GFE C BA D17．已知平面量(2,1)a ，(1,3)b =-，若向量()a a b λ⊥+ ，则实数λ的值是__________．【答案】5-【解析】∵(2,1)a = ，(1,3)b =-， ∴(2,13)a b λλλ⊥=-+， ∵()a a b λ⊥+ ， ∴()0a a b λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得5λ=-， 故答案为5-．18．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．【答案】83【解析】由定积分的几何意义可得：0210448()d ()d 333S f x x f x x -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰， 故答案为83．三、解答题19．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． （3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为l ．【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a -≤．（3）见解析．【解析】（1）当1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1()2f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令1()2g x x x =-，则min ()a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴min ()(1)1g x f ==-， ∴1a -≤．（3）设切点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=+-，∴切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a t t =+-，即22ln 21t at t t at +-=+-， ∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性，设2()1ln t t t ϕ=-+，则1()20t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．【分析】（1）当1a =时，求出函数的导函数(21)(1)()x x f x x -+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间．（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果．（3）设切点为(,())M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t =，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性．【点睛】本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即max ()a h x >或min ()a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出max ()h x 或min ()h x 即得解．20．已知圆C 过点(0,1)，，且圆心C 在y 轴上． （1）求圆C 的标准方程．（2）若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围．【答案】（1）22(3)4x y +-=．（2）k <<． 【解析】（1）∵圆心C 在y 轴上， ∴可设的标准方程为222()x y b γ+-=，∵圆C 过点(0,1)和点，∴2222(1)3(4)b r b r⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32b γ=⎧⎨=⎩， ∴圆C 的标准方程为22(3)4x y +-=．（2）设过原点的直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=， ∵l 与圆C 无交点，∴圆心(0,3)到直线l 的距离大于γ，2>，解得k <<．【分析】（1）由于圆心在y 轴上，利用待定系数法可设标准方程为222()x y b γ+-=，将点代入方程． 可得方程组，解出方程组即可； （2）设直线的方程为y kx =，直线与圆无交点，等价于圆心到直线的距离大于半径，列出不等式即可．21．已知向量(sin ,2)a x =- ，(1,cos )b x = 互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值．【答案】（1．（2． 【解析】（1）∵a b ⊥， ∴sin 2cos 0a b x x ⋅=-=，即sin 2cos x x =，又∵22sin cos 1x x +=，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin x =cos x =．（2）∵5cos()5(cos cos sin sin )x x x θθθθθθ-=+=-=， ∴sin cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，π02θ<<，∴cos θ=【分析】（1）两向量垂直等价于数量积为0，即s i n2c o s x x =，结合三角恒等式及x 的取值范围可得sin x ，cos x 的值．（2）利用两角差的余弦展开可得sin cos θθ=，结合三角恒等式可得结果．22．如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ．（1）求1CGCC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥． （3）求二面角1A AG E --的余弦值． 【答案】（1）12．（2）见解析．（3）． 【解析】（1）因为1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =， 所以1C F AG ∥．因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形， 所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =． （2）因为1AA ⊥底面ABC ， 所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ，因为E ，G 分别是BC ，1CC 的中点， 所以(1,1,0)E ，(2,0,1)G ．1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=．所以1EG CA ⊥ ， 所以1EG AC ⊥．（3）设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，则G AB CEF C 1B 1A110,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y x z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，2z =-，所以(1,1,2)n =--． 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =．所以cos ,||||n m n m n m ⋅==⋅，由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为． 【分析】（1）求1CGCC 的值，关键是找G 在1CC 的位置，注意到1C F ∥平面AEG ，有线面平行的性质，可得1C F AG ∥，由已知F 为1AA 中点，由平面几何知识可得G 为1CC 中点，从而可得1CGCC 的值． （2）求证：1EG AC ⊥，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，这样建立空间坐标比较简单，故以A 为原点，以AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，取2AB =，可写出个点坐标，从而得向量EG ，1CA的坐标，证10EG CA ⋅=即可．（3）求二面角1A AG E --的余弦值，由题意可得向量AB是平面1A AG 的一个法向量，只需求出平面AEG 的一个法向量，可设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，利用0,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即可求出平面AEG 的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角1A AG E -=的余弦值． 【考点】线面平行的性质，线线垂直的判断，二面角的求法．23．已知等比数列{}n a 中，11a =，48a =． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项，求123||||||||()n b b b b n +++∈N *． 【答案】（1）12n n a -=．（2）21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪+++=⎨++∈⎪⎩NN **≤≥． 【解析】（1）∵在等比数列{}n a 中，11a =，48a =， ∴2q =，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，n ∈N *．（2）∵3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项， ∴634b a ==，8516b a ==，设等差数列{}n b 的公差为d ，则：1171654b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得126b =-，6d =，∴等差数列{}n b 的通项公式1(1)632n b b n d n =+-=-，当5n ≤时，21212||||||()329n n b b b b b b n n +++=-+++=-+ ，当6n ≥时，22121256||||||()70(32970)329140n n b b b b b b b b n n n +++=-++++++=+-+=-+ ．综上所述：21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪++++=⎨++∈⎪⎩N N≤≥**． 【分析】（1）利用等比数列的定义可得2q =，故而可得等比数列通项公式． （2）根据3a ，5a 的值可求出等差数列{}n b 的通项公式632n b n =-，分为5n ≤和6n ≥两种情况可得数列前n 项和．。
北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷-高一数学
北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高一数学一、选择题（共12个小题，每题4分，共48分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1. 设集合，集合，那么（）．A. B. C. D.2. 已知集合到的映射，那么集合中元素的原象是（）．A. B. C. D.3. 下列四个图形中，不是．．以为自变量的函数的图象是（）．A. B.C. D.4. 下列函数中，是偶函数的是（）．A. B. C. D.5. 已知函数，那么的值（）．A. B. C. D.6. 在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是（）．A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称7. 三个数，，的大小顺序是（）．A. B. C. D.8. 的值是（）．A. B. C. D.9. 函数一定存在零点的区间是（）．A. B. C. D.10. 满足的实数的取值范围是（）．A. B. C. D.11. 二次函数的最小值为，则，，的大小关系是（）．A. B.C. D.12. 如图给出了某种豆类生长枝数（枝）与时间（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（）．A. B. C. D.二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）13. 集合，写出的所有子集__________．14. 计算__________．15. 函数单调减区间是__________．16. 实数，满足，则的最大值是__________．17. 有长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，围成一块矩形菜地，则这块菜地面积的最大值为_____．18. 年之前，人们普遍认为函数是用数学符合和运算组成的表达式，德国数学家狄利克雷放弃了这个观点，他抓住了函数概念的本质——“对应规律”，提出了是和之间的一种对应的现代数学观点．他还创造了著名的狄利克雷函数，即，它的值域是__________，它的奇偶性是__________．三、解答题（共3个小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案填在答题纸相应的题号处）19. 集合，集合．（）求，．（）若全集，求．20. 已知函数，回答下列问题．（）定义域：__________，值域：__________．（）奇偶性：__________．（）证明：函数在上是减函数．（）画出草图（直接画在答题纸相应处，尽量规范精确）．21. 已知定义域为的函数是奇函数．（）求的值．（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．22. 如图，函数的图象是折线段，其中，，的坐标分别为，，，则__________；不等式的解集为__________．23. 定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．24. 若函数①当时，若，则__________．②若的值域为，则的取值范围是__________．25. 已知函数由下表给出：其中等于在，，，，中所出现的次数，则__________；__________．26. 已知函数对于任意实数，都有成立．（）求函数的零点，写出满足条件的的集合．（）求函数在区间上的值域．27. 已知函数．（）求函数的定义域．（）判断函数的奇偶性，并证明．28. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（）设函数，求集合和．（）求证：．（）设函数，且，求证：．。
2017-2018北京三十五中高二第一学期数学期中试卷(理科)
北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高二数学2017.11班级姓名学号试卷说明：试卷分值150，考试时间120分钟，请用铅笔作图。
I 卷有三个大题，共19个小题，II 卷有两个大题，共8个小题。
I 卷（必修二模块考试．．．．．．．）一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分。
每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．圆()1122=+-y x 的圆心和半径分别为（）A ．1),1,0( B.1),1,0( - C.1),0,1( - D.()1,0,1 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3 B.23 C.33D.33．平行线20x y -=与250x y --=之间的距离为（）A ．5B 3C 5D ．24．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（）（1）m l ⊥⇒βα//（2）m l //⇒⊥βα（3）βα⊥⇒m l //（4）βα//⇒⊥m l A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）5．圆221:4470C x y x y ++-+=与圆222:410130C x y x y +--+=的位置关系是（）A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A.53B.103C.203D.2537．已知线段AB 的中垂线方程为10x y --=且(1,1)A -，则B 点坐标为()A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)--D ．(2,2)8．若过点(3，1)总可以作两条直线和圆22(2)()(0)x k y k k k -+-=>相切，则k 的取值范围是（）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（2，+∞）D ．(0，1)∪(2，+∞)9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A.3:1 B.3:2 C.2:3D.3:310.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）BADC .P（A ）4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个二．填空题（共6个小题，每题4分，共24分。
2018北京市第三十五中学高三(上)期中数学(理)
2018北京市第三十五中学高三（上）期中数 学(理)出题人: 钟竺 审核人: 刘静 2018.11班级 姓名 学号试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120分钟。
I 卷为选择题，共8个小题，考生务必将答案答在机读卡上,在试卷上作答无效。
II 卷为填空题和解答题，包括第9至第20题，考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后，将机读卡和答题纸一并交回。
I 卷一．选择题（共8个小题，每题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.） 1. 已知集合{}2|20P x x x =−−≤，{}1,0,3,4M =−，则集合PM 中元素的个数为A.1B.2C. 3D.4 2. 下列函数中为偶函数的是 A.1y x=B. lg y x =C. ()21y x =− D.2x y = 3. 在ABC ∆中,60A ∠=︒, 2,1AB AC ==, 则AB AC ⋅的值为 A. 1 B. 1− C. 12 D.12− 4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +−<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥−+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+−x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+−x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A.①B.①②C.①②③D.②③ 5. 已知函数44()cos sin f x x x =−，下列结论中错误．．的是 A.()cos2f x x = B.函数()f x 的图象关于直线0x =对称 C.()f x 的最小正周期为π D.()f x 的值域为[2,2]− 6. “0x >”是“+sin 0x x >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数x y a =（0a >，且1a ≠） 及log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ， 且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足1yx1ONMAA.1a b <<B.1b a <<C.1b a >>D.1a b >>8. 已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x −≤−⎧⎪=−<<⎨⎪≥⎩，函数2()1g x ax x =−+. 若函数()()y f x g x =−恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是A.(0,)+∞B.(,0)(2+)−∞∞， C.1(,)(1,+)2−∞−∞ D.(,0)(0,1)−∞II 卷二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 9.212d ______.x x =⎰10. 在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c . 若4c =，sin 2sin C A =，15sin 4B =，则=a _____,_____.ABC S ∆=11. 在极坐标系中，A 为曲线2ρ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的 最小值是______．12. 能够说明“设x 是实数．若1x >，则131x x +>−”是假命题的一个实数x 的值为 ． 13. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>) 若()f x 的图象向左平移π3个单位所得的图象与()f x 的图象向右平移π6个单位所得的图象重合，则ω的最小值为______. 14. 对于数列{}n a ，若,*()m n m n ∀∈≠N ，都有m na a t m n−≥−（t 为常数）成立，则称数列{}n a 具有性质()P t . （i ） 若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为______, （ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=−，且具有性质(10)P ，则实数a 的取值范围 是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知函数()π2sin cos sin 22f x x x x ⎛⎫=+−⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本题满分13分） 已知函数2()(1)2xa f x x e x =−−[]0,1a ∈． (Ⅰ)当0a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数()f x 的极值点． 17．（本题满分14分）如图，在∆ABC 中，点D 在AC 边上，且3AD BD =，7AB =，3ADB π∠=，=6C π∠.（Ⅰ）求BD 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值.18．（本题满分14分） 已知函数()sin cos f x ax x b x =+在点(,())22f ππ处的切线为y x π=−+．(Ⅰ)求实数,a b 的值； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域．19．（本题满分13分）已知()ln(1)f x x =−−，23()23x x g x x =++． (Ⅰ)设()()()h x f x g x =−.求函数()h x 的零点.(Ⅱ)若()()k f x g x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立，求证：1k =．A BCD20（本小题满分13分）给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =. 若存在集合,,A B C ，同时满足下列三个条件：①n U AB C =, A B B C A C ===∅;②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中 （集合C 中还可以包含其它数）；③集合,,A B C 中各元素之和分别为,,A B C S S S ，有A B C S S S ==; 则称集合n U 为可分集合.（I ） 已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合,,A B C ； （II ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是．．可分集合； （III ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．数学试题答案一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBAADCAD二.填空题（每题5分，共30分.两空前3分后2分.）9. 3 10. 211. 2 12. 2 13. 4 14. 2 三．解答题 15．（本题满分13分）已知函数()π2sin cos sin 22f x x x x ⎛⎫=+−⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值． 15. 解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos 2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+2sin 2+4x π⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………………… 4分所以()f x 的最小正周期2.2T ππ==…………………… 5分 由222242k x k πππππ−+≤+≤+，得3.88k x k ππππ−+≤≤+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦，…………………… 7分 （Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数)(x f 取得最大值是2.当5244x ππ+=，即2x π=时，函数)(x f 取得最小值52sin1.4π=−．所以()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值分别为2和1−． ……………… 13分 16、(本题13分)已知函数2()(1)2xa f x x e x =−−．(Ⅰ)当0a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的极值点． 16解：(Ⅰ)当0a =时，()xf x xe '=，切线斜率(1)k f e '==，切点为(1,0)，切线方程为(1)y e x =−．…………………………………………………………4分 (Ⅱ)()()xf x x e a '=−因为0a >，令()0f x '=，得10x =，2ln x a =．………………………………6分 (1)当01a <<时，ln 0a <，列表：x(,ln )a −∞ ln a (ln ,0)a 0 (0,)+∞()f x '+0 −0 +()f x()f x 极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；…………………………………8分(2) 当1a =时，ln 0a =，列表：x(,0)−∞ 0 (0,)+∞()f x '+0 +()f x()f x 无极值点； …………………………………………………………10分(3) 当0a =时，列表：x(,0)−∞ 0 (0,)+∞()f x ' −0 +()f x()f x 极小值点为0x =，无极大值点；……………………………………12分综上：当01a <<时，()f x 极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；当1a =时，()f x 无极值点；当0a =时，()f x 极小值点为0x =，无极大值点；………………13分 （17）（本小题14分） 17. （本小题14分）解：（Ⅰ）如图所示，366DBC ADB C πππ∠=∠−∠=−=，…………………….1分故DBC C ∠=∠，DB DC = ……………………….2分ABCD设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+−⋅⋅∠ ……………………….3分即22217(3)2372x x x x x =+−⋅⋅⋅=， ……………………….4分解得1x =，即1DC =. ……………………….6分（Ⅱ）在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362ABC ABD DBC πππ∠=∠+∠>+=……………………….8分在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠即471sin 2ABC =∠，故2sin 7ABC ∠=， ……………………….11分 由(,)2ABC ππ∠∈，得3cos 7ABC ∠=−， ……………………….12分 22tan 333ABC ∠=−=− ………………………14分18.(本题14分)已知函数()sin cos f x ax x b x =+在点(,())22f ππ处的切线为y x π=−+．(Ⅰ)求实数,a b 的值； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域．18.解：(Ⅰ)由已知，可得切点为(,)22ππ，则()22f ππ=，得1a =． ……………………2分()sin cos sin f x x x b x '=+−，由()12f π'=−，得2b =．……………………5分所以1,2a b ==． (Ⅱ)()cos sin f x x x x '=−，令()cos sin g x x x x =−，()sin g x x x '=−， ……………………7分 因为(0,)2x π∈，所以()sin 0g x x x '=−<，()g x 为(0,)2π上的减函数，………9分 所以(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，即()0f x '<在(0,)2x π∈上恒成立，所以()f x 为(0,)2π上的减函数． ……… 11分所以min ()22y f ππ==，max (0)2y f ==．所以函数()f x 的值域为[,2]2π． ………14分19证明：(1)令23()()()ln(1)()23x x h x f x g x x x =−=−−−++， 3()1x h x x'=−(1)x < ……………………2分(,0),()0,()x h x h x '∈−∞<，(0,1),()0,()x h x h x '∈>，……………………4分所以，当(,1)x ∈−∞，()(0)0h x h ≥=，即x=0为h(x)的零点． ………………… 5分(2)令23()()()ln(1)()23x x F x kf x g x k x x =−=−−−++， ()0F x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立．3(1)()1x k F x x−−'=−，(0)0F =． ……………………7分①若1k >，当3(1,0)x k ∈−时，()0F x '>，()F x ，则3(1,0)x k ∈−时，()(0)0F x F <=，这与()0F x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立相矛盾，1k ∴≤． ……………………10分②若1k <，取1和31k −中的较小者，记为m ， 当(0,)x m ∈时，()0F x '<，()F x ，则(0,)x m ∈时，()(0)0F x F <=，这与()0F x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立相矛盾，1k ∴≥． ……………………13分 综合①②知，1k =成立．20. 给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =. 若存在集合,,A B C ，同时满足下列三个条件：①n U AB C =, A B B C A C ===∅;②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中 （集合C 中还可以包含其它数）；③集合,,A B C 中各元素之和分别为,,A B C S S S ，有A B C S S S ==; 则称集合n U 为可分集合.（I ） 已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合,,A B C ； （II ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是．．可分集合； （III ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = ……………3分（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合. 设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k kk +++⋅⋅⋅+=，而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k+<, 矛盾，所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n =35. …………………8分 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数. 当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =−∈N . …………………10分 定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成， 定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成， 根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆， 此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====−，此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +−−=−，2224(242)2k k k k −−=,22(242)(246)4k k k k k −−−=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =， 集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分 word 下载地址。
2018北京市第十五中学届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018北京市第十五中学届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．）1. 设集合A＝{x|－＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝( )A. {x|－1≤x＜2}B. {x|－＜x≤1}C. {x|x＜2}D. {x|1≤x＜2}【答案】A【解析】此题考查集合的运算解:集合可化为,又A={x｜-＜x＜2},故A∪B={x｜-1≤x＜2}.答案：A2. 复数的虚部为( )A. B. C. － D. －【答案】A【解析】复数.虚部为.故选A.3. 函数的定义域是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】函数中有：，解得.所以定义域为.故选D.4. 在平面直角坐标系中，已知，，，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】在平面直角坐标系中，已知，，，则.所以.故选B.5. 已知数列的前项和，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】数列的前项和，.故选D.6. 的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选C.7. “”是“函数在内存在零点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在内存在零点，则，解得或.所以“”是“函数在内存在零点”的充分而不必要条件.故选A.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值.8. 一张报纸，其厚度为a，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度为( )A. 8aB. 64aC. 128aD. 256a【答案】C【解析】折一次是这张纸的2a，折两次就是这张纸的22a，折三次就是这张纸的23a，则这张纸连续对折7次时就是27a=128a；故选C.9. 直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2B. 4C. 2D. 4【答案】D【解析】试题分析：根据定积分的意义，可知所求的封闭图像的面积为，故选C．考点：利用定积分求面积．10. 若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是( )A. 0B. 1C. 2D.【答案】B【解析】由ab＝100，得lg a+lg b=lg 100=2..当且仅当时，lg a·lg b取得最大值1.故选B.11. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设中提供的正视图可推知：该几何体有一个侧面是垂直于底面的，且右侧面是垂直于底面，而答案B中俯视图则表明该几何体的左侧面是垂直于底面的，与正视图不符，所以答案B是错误的，应选答案B。
北京市第十五中学2018届高三上学期期中考试数学理试卷含答案
北京十五中高三数学理科期中考试试卷2017.11考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分,考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；把答案．．．填涂在机读卡上．．．．．．．）1．设集合A＝｛x|－12＜x＜2｝，B＝｛x|x2≤1｝，则A∪B＝( ）A．{x|－1≤x＜2} B．｛x｜－错误!＜x≤1｝C．{x|x＜2} D．{x｜1≤x＜2｝2．复数1－i1－2i的虚部为( )A．15B．错误!C．－错误!D．－错误!3．函数f(x)＝错误!的定义域是( ）A．1|2x x⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B．1|2x x⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C．1|12x x x⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D．1|12x x x⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且4．在平面直角坐标系xoy中,已知(0,0)O，(0,1)A,3)B，则OA AB⋅的值为( ） A ．1B 1C D 15．已知数列{}n a 的前n项和122n n S +=-，则3a =( ) A ．1- B ．2-C ．4-D ．8-6．sin15cos15︒+︒的值为( )A ．12BCD7．“0t ≥"是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 （ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．一张报纸,其厚度为a ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度为 （ ）A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a9．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ )A ．2错误!B ．4错误!C ．2D ．410．若a ，b 均为大于1的正数,且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ）A ．0B ．1C ．2D ．错误! 12．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据,就业形势一定是( )（A)计算机行业好于化工行业. (B ） 建筑行业好于物流行业。
2018高考数学压轴卷北京市西城区35中2018届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析
北京市西城35中2018届高三12月月考数学（理）试题一、选择题1. 极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。
选D。
2. 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：将直线绕原点逆时针旋转所得到的直线为，再向右平移个单位，所得到的直线，即,故选A.考点：图象的变换.3. 若集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，故选C.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.4. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点（）．A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度C. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度【答案】C【解析】试题分析：因为，所以得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位．故C正确．考点：1对数的运算;2图像平移．5. 设函数的图象为，下面结论中正确的是（）．A. 函数的最小正周期是B. 图象关于点对称C. 图象向右平移个单位后关于原点对称D. 函数的区间上是增函数【答案】B【解析】项，的最小正周期，故项错误；项．，所以的图象关于点对称对称，故项正确；项．向右平移个单位后得到的图象，不关于原点对称，故项错误；项，时，，当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，故错误；综上，故选.点睛：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数的增区间满足等.6. 已知数列中，其前项和为，且，，成等差数列，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，成等差数列，∴，当时，，，当时，，∴，即，∴，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，∴，故选7. 已知两条直线，，两个平面，，给出下面四个命题：①，②，，③，④，，其中正确命题的序号是（）．A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③【答案】C【解析】命题②结果可能异面，故②错误；命题③结果可能，故③错误；命题①显然正确；命题④，故④正确；综上正确命题为①④，故选C. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的性质和面面平行的性质等知识，涉及数形结合思想和分类与整合思想，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题型.解决此种主要采取特例法和排除法，例如：命题②结果可能异面，故②错误；命题③结果可能，故③错误.8. 在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，则该四面体的体积为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.9. 设命题，，则为（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】∵命题∴为：故选：C10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵是定义在上的奇函数，当时，，∴当时，，当时，，当时，，∴不等式的解集为，故选.二、填空题11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________．【答案】1或3【解析】由余弦定理可得，将，，，代入得，解得或，故答案为1或3.点睛：此题考查了余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.12. 一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是__________．【答案】【解析】球的半径为，故球的体积为，故答案为.13. 已知向量，满足且，则与的夹角为__________．【答案】14. 已知方程表示圆，则的取值范围为__________．【答案】【解析】若方程表示圆，则，解得，故的取值范围为，故答案为.15. 如图，已知边长为的正方形，是边上一动点（与、不重合），连结，作交的外角平分线于．设，记，则函数的值域是__________．【答案】∴，由题知，所以，故的值域是，故答案为.16. 已知、满足以下约束条件，使取得最小值的最优解有无数个，则的值为__________．【答案】1【解析】∵，则，为直线在轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个，∵，把平移，使之与可行域的边界重合即可，∴，，故答案为1.点睛：本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确的几何意义，属于中档题；先根据约束条件画出可行域，由，利用的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线与可行域的边界平行时，从而得到值即可.17. 已知平面量，，若向量，则实数的值是__________．【答案】【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，解得，故答案为.18. 如图中的曲线为，则阴影部分面积为__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得：，故答案为.三、解答题19. 设函数．（）若，求函数的单调区间．（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．（）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为．【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）当时，求出函数的导函数，分别令和，解出不等式得单调区间；（2）函数在区间上是减函数，即对任意恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为，对函数进行求导，根据导数的几何意义得，根据切线过原点，可得斜率为，两者相等化简可得，先证存在性，再通过单调性证明唯一性.试题解析：（）当时，，，令，则，令，则，∴函数的单调减区间为，单调增区间为．（），∵在区间上是减函数，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，易知在上单调递减，∴，∴．（）设切点为，，∴切线的斜率，又切线过原点，，∴，即，∴，存在性，满足方程，所以是方程的根唯一性，设，则，∴在上单调递增，且，∴方程有唯一解，综上，过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为．点睛：本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由，得函数单调递增，得函数单调递减；函数单调递减等价于恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.20. 已知圆过点，，且圆心在轴上．（）求圆的标准方程．（）若过原点的直线与圆无交点，求直线斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于圆心在轴上，利用待定系数法可设标准方程为，将点代入方程可得方程组，解出方程组即可；（2）设直线的方程为，直线与圆无交点，等价于圆心到直线的距离大于半径，列出不等式即可.试题解析：（）∵圆心在轴上，∴可设的标准方程为，∵圆过点和点，∴，解得，∴圆的标准方程为．（）设过原点的直线的方程为，即，∵与圆无交点，∴圆心到直线的距离大于，∴，解得.21. 已知向量，互相垂直，其中．（）求，的值．（）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）两向量垂直等价于数量积为0，即，结合三角恒等式及的取值范围可得，的值；（2）利用两角差的余弦展开可得，结合三角恒等式可得结果.试题解析：（）∵，∴，即，又∵，，∴，．（）∵∴，又，，∴．22. 如图，在三棱柱，底面，，，，分别是棱，的中点，为棱上的一点，且平面．（）求的值．（）求证：．（）求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）求的值，关键是找在的位置，注意到平面，有线面平行的性质，可得，由已知为中点，由平面几何知识可得为中点，从而可得的值；（2）求证：，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于底面，所以，，又，这样建立空间坐标比较简单，故以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，取，可写出个点坐标，从而得向量的坐标，证即可；（3）求二面角的余弦值，由题意可得向量是平面的一个法向量，只需求出平面的一个法向量，可设平面的法向量，利用，即可求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值．（1）因为平面又平面，平面平面，所以. 3分因为为中点，且侧面为平行四边形所以为中点，所以. 4分（2）因为底面，所以，，5分又，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得6分因为分别是的中点，所以. 7分. 8分所以，所以. 9分（3）设平面的法向量，则即10分令，则，所以. 11分由已知可得平面的法向量11分所以13分由题意知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 14分考点：线面平行的性质，线线垂直的判断，二面角的求法．23. 已知等比数列中，，．（）求数列的通项公式．（）若，分别为等差数列的第项和第项，求．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用等比数列的定义可得，故而可得等比数列通项公式；（2）根据，的值可求出等差数列的通项公式，分为和两种情况可得数列前项和.试题解析：（）∵在等比数列中，，，∴，∴数列的通项公式为，．（）∵，分别为等差数列的第项和第项，∴，，设等差数列的公差为，则：，解得，，∴等差数列的通项公式，当时，，当时，．综上所述：．。
2017-2018北京西城35中高二上期中【理】数学真题卷
北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高二数学I 卷（必修二模块考试）一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．圆22(1)1x y -+=的圆心和半径分别为（ ）．A ．(0,1)，1B ．(0,1)-，1C ．(1,0)-，1D ．(1,0)，1【答案】D【解析】2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）．AB ．C ．D ．【答案】A【解析】3．平行线20x y -=与250x y --=之间的距离为（ ）．A ．5BCD ．2【答案】C【解析】4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）． （1）l m αβ⇒∥⊥ （2）l m αβ⇒⊥∥ （3）l m αβ⇒∥⊥（4）l m αβ⇒⊥∥A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）【答案】D 【解析】5．圆221:4470C x y x y ++-+=与圆222:410130C x y x y +--+=的位置关系是（ ）．A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）．A ．53B ．103C ．203D ．253【答案】B【解析】7．已知线段AB 的中垂线方程为10x y --=且(1,1)A -，则B 点坐标为（ ）． A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)--D ．(2,2)【答案】A 【解析】8．若过点(3,1)总可以作两条直线和圆22(2)()(0)x k y k k k -+-=>相切，则k 的取值范围是（ ）． A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(2,)+∞【答案】D【解析】9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）．AB 2C ．D【答案】D【解析】10．如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）．A ．4个B ．6个C ．10个D ．14个【答案】C【解析】二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分．请将正确答案填在答题纸） 11．在y 轴上的截距为1-且倾斜角为135︒的直线方程为__________． 【答案】10x y ++=【解析】 12．已知直线:2110l x y +-=，若直线0ax y b +-=与l 垂直，过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与l 平行，则实数a =__________；m =__________． 【答案】0.5-，8- 【解析】13．如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的体积等于__________．【答案】【解析】14．长方体1AC ，5AB =，3BC =，14BB =，P 为上底面1111A B C D 上一个动点，则三棱锥P ABC -的正视图与左视图的面积比为__________．【答案】5:3 【解析】15．过点(1,1)的直线与圆22(2)(3)9x y -+-=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为__________． 【答案】4【解析】16．如图，正方体111ABCD A B C D -中，点P 在1BC 上运动，给出下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1DP BC ⊥； ③1A P ∥平面1ACD ；④平面1PDB ⊥平面1ACD ；其中正确的命题是__________．【答案】①③④【解析】三、解答题：（共3个小题，每题12分，共36分．请写明必要的解题过程） 17．已知ABC △的顶点(0,5)A ，(1,2)B -，(3,4)C --． （1）求AB 边上的高线所在的直线方程． （2）求ABC △的外接圆的方程． 【答案】见解析．【解析】解一：（1）5(2)701AB k --==--， ∴AB 边上的高线斜率k ，1AB k k ⋅=-，则17k =． AB 边上的高线过点(3,4)C --．∴AB 边上的高线所在的直线方程为1(4)((3))7y x --=--，整理得7250x y --=．（2）设AB 中垂线为1l ，BC 中垂线为2l ． 由（1）知7AB k =-，∴117l k =，又1l 过AB 中点13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1l 的方程为7100x y -+=，4(2)1312BC k ---==--，∴22l k =-，又2l 过BC 中点(1,3)N --， ∴2l 的方程为250x y ++=， 联立方程组7100250x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得31x y =-⎧⎨=⎩．∴圆心为(3,1)-．由两点间距离公式可知半径5r ， ∴ABC △的外接圆的方程为22(3)(1)25x y ++-=， 即2262150x y x y ++--=．解二：设ABC △的外接圆为220x y Dx Ey F ++++=， ∴25501420916340E F D E F D E F ++=⎧⎪++-+=⎨⎪+--+=⎩， 解得6D =，2E =-，15F =-，所以ABC △的外接圆的方程为2262150x y x y ++--=．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点． （1）求证：DE ∥平面PAC ． （2）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．【答案】见解析．【解析】（1）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点， 所以DE PC ∥，因为DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以DE ∥平面PAC ．（2）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点， 所以PD BC ⊥，AD BC ⊥， 因为PD AD D =I ， 所以BC ⊥平面PAD ． 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PAD ．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC CB ⊥，点D 是AB 的中点． （1）求证：1AC BC ⊥． （2）求证：1AC ∥平面1CDB ．（3）设12A B A A =，AC BC =，在线段11A B 上是否存在点M ，使得1BM CB ⊥？若存在，确定点M 的位置；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中， 因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以1CC AC ⊥．又AC BC ⊥，1BC CC C =I ， 所以AC ⊥平面11BCC B ．而1BC ⊂平面11BCC B ，则1AC BC ⊥． （2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 所以1DE AC ∥．因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1AC ∥平面1CDB ．（3）在线段11A B 上存在点M ，使得1BM CB ⊥，且M 为线段11A B 的中点． 证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ， 所以1AA CD ⊥．由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点， 所以CD AB ⊥． 又1AA AB A =I ， 所以CD ⊥平面11AA B B ，取线段11A B 的中点M ，连接BM ， 因为BM ⊂平面11AA B B ， 所以CD BM ⊥．由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥， 又1CD B D D =I ， 所以BM ⊥平面1B CD ， 又1B C ⊂平面1B CD ， 所以1BM CB ⊥．II 卷一、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上．） 20．直线l 过点(1,2)A ，且不过第四象限，则l 的斜率的取值范围是__________． 【答案】[0,2] 【解析】21．圆柱形容器内部盛有高度为12cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__________cm ．【答案】6 【解析】22．(,)P x y 是22(4)4x y -+=上的点，则yx的范围是__________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】23．已知⊙22:40M x x y -+=． （1）⊙M 的半径r =__________．（2）设点(0,3)A ，(2,5)B ，若⊙M 上存在两点C ，D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，则直线CD 的方程为__________．【答案】2，0x y -=，40x y --=【解析】24．在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是__________；截得的平面图形中，面积最大的值是__________．【答案】【解析】二、解答题（共3个小题，共30分．请写明必要的解题过程） 25．（8分）已知曲线方程22240x my x y n +--+=，（m ，n ∈R ）． （1）若此方程表示圆，求m 的值及以的范围．（2）在（1）的条件下，若4n =-，直线l 过(2,0)A 且与圆相交于B ，C 两点，且||BC = 线l 方程．【答案】见解析．【解析】解：（1）曲线方程可化为22224(1)1x m y n m m ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭，（m ，n ∈R ），若此方程表示圆，则1m =且2410n m -+>， 即1m =且5n <．（2）如图，O 为圆心，M 为BC 中点， 由（1）知1m =，当4n =-时，圆的方程为22(1)(2)9x y -+-=， 其中圆心为(1,2)，半径3r =．M 为BC 中点，且||BC =∴||BM =OM BC ⊥， 在直角三角形OMB 中，3OB r ==， ∴1OM =．①当过点(2,0)A 的直线斜率不存在时，直线方程为2x =， 此时圆心到直线的距离为1，符合题意；②当过点(2,0)A 的直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程(2)y k x =-． 由点到直线距离公式知1d ==，解得34k =-，所以直线方程为3(2)4y x =--，整理得3460x y +-=．因此，过(2,0)A 且与圆的交线段长度等于2x =或3460x y +-=．26．（10分）如图，四边形ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，PD BE ∥，22AD PD BE ===，60DAB ∠=︒，点F 为PA 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ． （2）求证：平面PAE ⊥平面PAD ． （3）求三棱锥P ADE -的体积．【答案】见解析．【解析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ， 因为点F 为PA 的中点，所以FG PD ∥且12FG PD =，又BE PD ∥，且12BE PD =，所以BE FG ∥，BE FG =， 所以四边形BGFE 为平行四边形． 所以EF BG ∥，又EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ．（2）连接BD ．因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒， 所以ABD △为等边三角形． 因为G 为AD 中点， 所以BG AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以PD BG ⊥，又PD AD D =I ，PD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BG ⊥平面PAD ． 又EF BG ∥，所以EF ⊥平面PAD ， 又EF ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面PAD ．法二：因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒， 所以ABD △为等边三角形， 因为G 为AD 中点， 所以BG AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD I 平面ABCD AD =，BG ⊂平面ABCD ， 所以BG ⊥平面PAD ． 又EF BG ∥，所以EF ⊥平面PAD ， 又EF ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面PAD ．（3）因为122PAD S PD AD =⋅=△，EF BG =，所以13P ADE PAD V S EF -=⋅△27．（12分）已知：直线:3410l x y ++=，一个圆与x 轴正半轴与y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3．（1）求圆的方程．（2）P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值．（3）圆与x 轴交点记作A ，过A 作一直线1l 与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，求||OM 最大值． 【答案】见解析．【解析】（1）解：圆与x ，y 轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为222()()x a y a r -+-=，(0)a >， 圆心C 到直线的距离为3， ∴由点到直线距离公式得3d =，解得2a =，∴半径2r =．∴圆的方程为22(2)(2)4x y -+-=．（2）解：PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点， ∴PCE △≌PCF △， ∴2PEF PCE S S =△△，PE 是圆的切线，且E 为切点，∴PE CE ⊥，2CE r ==，22224PE PC CE PC =-=-，∴当斜边PC 取最小值时，PE 也最小，即四边形PECF 的面积最小． min ||PC 即为C 到l 的距离，由（1）知min ||3PC =， ∴22min 345PE =-=，即∴min PE∴11222PCE S EC PE =⋅=⨯△∴四边形PECF面积的最小值为（3）解：依题，点A 坐标(2,0)，如图，取A 关于原点的对称点坐标(2,0)P -，连接PB ，OM ， 则OM 为APM △的中位线， 所以，1||||2OM PB =， 所以，要使||OM 最大，则||PB 应最大，所以，如图，当B 点为PC 的延长线与圆C 的交点1B 时， max 11||||||||PB PB PC CB ==+，2r =．max max 1||||12OM PB =， 即||OM1．28．选做题：10分（计入总分，但总分不超过150分） 已知点(0,4)A ，圆22:4O x y +=，点P 在圆O 上运动． （1）如果OAP △是等腰三角形，求点P 的坐标． （2）如果直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，且22||||36AP AQ +=，求直线AP 的方程．【答案】见解析．【解析】解：（1）因为圆22:4O x y +=，所以(0,0)O ，半径为2．设点(,)P x y ，所以||2OP =．又(0,4)A ，所以||4OA =，||AP 因为OAP △是等腰三角形，所以||||4AP OA ==或||||2AP OP ==．当||||4AP AO ==时，有22224(4)16x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12P ⎫⎪⎪⎝⎭或12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．当||||2AP OP ==时，有22224(4)4x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩，此时O ，P ，A 三点共线，不合题意．综上，12P ⎫⎪⎪⎝⎭或12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）若直线AP 为y 轴，则(0,2)P ，(0,2)Q -或(0,2)P -，(0,2)Q ． 而22||||36AP AQ +≠，不合题意．由此可设直线AP 方程为4y kx =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2244y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)8120k x kx +++=， 其中222(8)412(1)16480k k k ∆=-⨯+=->， 且12281k x x k +=-+，122121x x k ⋅=+， 因为(0,4)A ， 所以22211||(4)AP x y =+-，22222||(4)AQ x y =+-， 又因为22||||36AP AQ +=，所以22221122(4)(4)36x y x y +-++-=，将114y kx =+，224y kx =+代入上式，整理得221212(1)[()2]36k x x x x ++-=， 所以12212222121281121(1)[()2]36k x x k x x k k x x x x ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=⎨+⎪⎪++-=⎪⎩， 解得215k =，即k =，经检验符合题意，所以4y +或4y =+．。
数学---北京十五中2018届高三(上)期中试卷(理)(解析版)
北京十五中2018届高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2} 2．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知O（0，0），A（0，1），，则的值为（）A．1 B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a3=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣86．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．7．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）一张报纸，其厚度为a，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时，报纸的厚度为（）A．8a B．64a C．128a D．256a9．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2 D．410．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lg a•lg b的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．11．（5分）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．12．（5分）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）13．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a8=2，则a5=．14．（5分）已知函数f（x）=则f[f（﹣3）]=．15．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的单调递增区间是．16．（5分）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=．17．（5分）已知95个数a1，a2，a3，…，a95，a i∈{﹣1，1}，1≤i≤95，则a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是．三、解答题：（本大题共5个小题，共65分）18．（13分）已知函数x﹣1，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间和对称轴方程．（3）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（13分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BM；（Ⅲ）在棱BB1的上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．21．（13分）设y=f（x）是g（x）=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：f（x）≤g（x）；（Ⅲ）设h（x）=g（x）+ln[f（x）]﹣ax，其中a∈R．若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．22．（13分）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．【参考答案】一、选择题1．A【解析】∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故选A．2．A【解析】由=，则复数的虚部为：．故选：A．3．D【解析】函数，∴，解得：{}，故选D.4．B【解析】因为在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），，所以，==．故选B．5．D【解析】∵数列{a n}的前n项和，∴a3=S3﹣S2=23﹣24=﹣8故选D．6．C【解析】sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin（15°+45°）=sin60°=×=．故选C．7．A【解析】函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，说明方程f（x）=x2+tx﹣t=0与x轴有交点，∴△≥0，可得t2﹣4（﹣t）≥0，解得t≥0或t≤﹣4，∴“t≥0”⇒函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”，∴“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分而不必要条件，故选A.8．C【解析】一张报纸，其厚度为a，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时，报纸的厚度为a×27=128a．故选：C．9．D【解析】先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）d x，而∫（4x﹣x3）d x=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．10．B【解析】∵a＞1，b＞1，∴lg a＞0，lg b＞0∴lg a•lg b≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lg a•lg b的最大值是1故选B．11．C【解析】根据三棱锥的正视图如图所示，第一个图是选项A的模型；第二个图是选项B的模型；第三个图是选项D的模型．故选；C12．B【解析】∵用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，∴建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，∵物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436，∴物流行业是供大于求，∴就业形势是建筑行业好于物流行业，故选B．二、填空题13．1【解析】在等差数列{a n}中，由a2+a8=2，利用等差数列的性质得2a5=a2+a8=2，∴a5=1．故答案为：1．14．2【解析】∵函数f（x）=，∴f（﹣3）=（﹣3）2=9，f[f（﹣3）]=f（9）=log39=2．故答案为：2．15．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【解析】函数f（x）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．16．2【解析】可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；当k＜0时，①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．17．13【解析】根据题意，令t=a1a2+a1a3+…+a94a95则2t=2（a1a2+a1a3+…+a94a95）=（a1+a2+…+a95）2﹣（a12+a22+…+a952），又由a1，a2，…，a95每个都只能取+1或﹣1两个值之一，则a12+a22+…+a952=95即2t=（a1+a2+…+a95）2﹣95，要使t取最小正数，t中（a1+a2+…+a95）2大于95即可，而a1+a2+…+a95为奇数个﹣1、1的和，不会得偶数，则要使所求值取最小正数，须使（a1+a2+…+a95）=±11，因此t的最小值为=13．故答案为：13．三、解答题18．解：（1）函数x﹣1=sin2x cos+cos2x sin+sin2x cos﹣cos2x sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），x∈R，∴函数f（x）的最小正周期为T==π；（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；令2x+=+kπ，解得x=+，k∈Z，∴f（x）对称轴方程为x=+，k∈Z；（3）当x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，∴x=﹣时，f（x）取得最小值为f（﹣）=×（﹣）=﹣1；当x=时，f（x）取得最大值为f（）=×1=；∴函数f（x）在区间上的最大值是，最小值是﹣1．19．解：（Ⅰ）在△ABC中，0＜C＜π，且，所以．因为，且，，所以．所以．（Ⅱ）因为b2=a2+c2﹣2ac cos B，所以a2﹣4a﹣12=0，所以a=6或a=﹣2（舍）．所以．20．解：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM．在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1中点，所以OM∥B1C．又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM．（Ⅱ）因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM．又因为M为棱AC中点，AB=BC，所以BM⊥AC．因为AA1∩AC=A，所以BM⊥平面ACC1A1．所以BM⊥AC1．因为M为棱AC中点，AC=2，所以AM=1．又因为，所以在Rt△ACC 1和Rt△A1AM中，．所以∠AC1C=∠A1MA，即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°．所以A1M⊥AC1．因为BM∩A1M=M，所以AC1⊥平面A1BM．（Ⅲ）当点N为BB1中点时，即，平面AC1N⊥平面AA1C1C．设AC1中点为D，连结DM，DN．因为D，M分别为AC1，AC中点，所以DM∥CC1，且．又因为N为BB1中点，所以DM∥BN，且DM=BN．所以BM∥DN，因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1．又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1．21．解：（Ⅰ）设g（x）=e x，则g'（x）=e x，所以g'（0）=1．所以f（x）=x+1．证明（Ⅱ）令m（x）=g（x）﹣f（x）．m（x）满足m（0）=0，且m'（x）=g'（x）﹣1=e x﹣1．当x＜0时，m'（x）＜0，故m（x）单调递减；当x＞0时，m'（x）＞0，故m（x）单调递增．所以，m（x）≥m（0）=0（∀x∈R）．所以f（x）≤g（x）．解（Ⅲ）h（x）的定义域是{x|x＞﹣1}，且．①当a≤2时，由（Ⅰ）得e x≥x+1，所以．所以h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，由x∈[0，+∞），且h'（x）的导数，所以h'（x）在区间[0，+∞）上单调递增．因为h'（0）=2﹣a＜0，，于是存在x0∈（0，+∞），使得h'（x0）=0．（12分）所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，+∞）上单调递增，所以h（x0）＜h（0）=1，此时h（x）≥1不会恒成立，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．22．解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k={﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n先证明若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k 矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，所以A k+1═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．取=（x k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1=，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．。
北京市西城区35中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题
北京市第三十五中学2016-2017年度第一学期期中试卷高三数学（理科）一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处．）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|,B x x n n A ==∈，则AB =（ ）．A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}9,16【答案】B【解析】∵{}1,2,3,4A =，{}1,4,9,16B =， ∴{}1,4A B =．故选B ．2．cos15cos 45cos105sin 45︒︒+︒︒的值为（ ）．A ．12BC ．12-D． 【答案】A【解析】∵cos15cos 45cos105sin 45︒︒+︒︒ sin(1590)cos45cos105sin 45=︒+︒︒+︒︒ sin(10545)=︒+︒sin150=︒12=． 故选A ．3．曲线24y x =和直线4y =及y 轴所围成图形的面积为（ ）．A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】D 【解析】如图所示，12301444d 033x x x ==⎰， 484133S =⨯-=阴影．【注意有文字】故选D ．4．下列命题中错误．．的是（ ）．A ．x ∀∈R ，不等式2243x x x +>-均成立B ．若2log log 22x x +≥，则1x >C ．命题“若0a b >>，0c <，则c ca b>”的逆否命题是真命题 D ．若命题:p x ∀∈R ，211x +≥，命题:q x ∃∈R ，210x x --≤，则()p q ∧⌝是真命题 【答案】D【解析】A 项：∵22224323(1)22x x x x x x +-+=-+=-+≥， ∴x ∀∈R ，不等式2243x x x +>-均成立，A 对；B 项：若2log log 22x x +≥，则221log 2log x x+≥， 则2log 0log 20xx >⎧⎨>⎩，接触：1x >，B 对；C 项：∵()0c c c b a a b ab--=>， ∴00b a c >>⎧⎨>⎩或00b ac <<⎧⎨<⎩，原命题是真命题，C 对， 则原命题的逆否命题也是真命题．D 项：∵20x ≥恒成立．211x +≥恒成立，命题p 是真命题．又∵221551244x x x ⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭≥，∴x ∃∈R ，210x x --≤，命题q 是真命题．∴()p q ∧-是假命题．D 错．5．函数y = ）．A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2-【答案】C 【解析】设2t y =， 12t m =，22m x x =-++，由图像可知，该复合函数单调区间为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C ．26．函数ln e1xy x=--的图象大致为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】令12x=，ln21113e20222y=-=-=>，排除C、D．令2x=，ln22e11y=-=，令3x=，ln33e21y=-=，排除A．故选B．7．函数21e xaxy-=存在极值点，则实数a的取值范围是（）．A．1a<-B．0a>C．1a≤-或0a≥D．1a<-或0a>【答案】C【解析】∵21e xaxy-=，2222e e(1)21(e)ex xx xax ax ax axy---++'===恒有解，∴0a≠，2440a a∆=+≥，4(1)0a a+≥，∴1a-≤或0a>，当1a =-时，2(1)0e xx y -'=≥（舍去）， ∴1a <-或0a >，故选C ．8．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C【解析】∵1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，∴11022F F ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =，1(1)12F f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令12x =-，1(0)12F f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(0)(1)2f f +=， ∴1(0)(1)2a f f =+=， 令112x n =-， ∴11112F f n n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令112x n=-， ∴11112n F f n n -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵1111022F F n n ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得222n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 332n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1221(n n a n n n+-=+⨯=+∈N ）， 故选CⅡ卷二、选择题（共6个小题，共30分，请将正确答案填在答题纸相应的题号处．）9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A 在第二象限，3cos 5α=-，则点A 的坐标为__________．【答案】4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】∵3cos 5α=-，∴4sin 5α，∴43,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．极坐标系下，方程πcos 4ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭2ρ=表示的曲线的公共点个数为__________． 【答案】2【解析】∵πcos 4ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44ρθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，cos sin )ρθρθ+= ∴直线方程为20x y +-=． 又∵2ρ=，24ρ=，∴曲线方程为圆：224x y +=．圆中心(0,0)到直线20x y +-=的距离2d ，即直线与圆相交．∴两曲线共有两个公共点．11．在ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，已知三个内角度数之比::1:2:3A B C ∠∠∠=，那么三边长之比::a b c 等于__________．【答案】2【解析】∵::1:2:3A B C ∠∠∠=， ∴118030123A ∠=︒⨯=︒++，218060123B ∠=︒⨯=︒++，318090123C ∠=︒⨯=︒++，∴::2a b c =．12．将函数cos2y x =的图象向右平移π4个单位，得到函数()sin y f x x =⋅，则()f x 的表达式为__________． 【答案】2cos x【解析】∵cos2y x =， ↓向右平移π4个单位， ππcos 2cos 242y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin 2x = ()sin f x x =⋅∴sin 2()2cos sin xf x x x==．13．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2log n S n =，则数列的通项公式n a =__________． 【答案】12()n n -+∈N 【解析】∵2log n S n = ∴2n n S =， 112n n S --=，∴112()n n n n a S S n --+=-=∈N ．14．定义在区间[],a b 上的连续函数()y f x =，如果[],a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为区间[],a b 上的“中值点”，下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，在区间[]0,1上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号） 【答案】①④【解析】①∵()3f x '=， ()()3()f b f a b a -=-，∴[]0,1ξ∀∈，均符合题意． ②∵()21f x x '=-，()()()(1)f b f a b a b a ⋅=-+-()()b a f ξ'=-． ∵b a ≠，∴()1f a b ξ'=+-， ∴211a b ξ-=+-，1()2a b ξ=+不符合题意；③∵1()1f x x '=+，1()()ln 1b f b f a a +⎛⎫-= ⎪+⎝⎭()()f b a ξ'=-∴1ln 11()1b a f b a ξξ+⎛⎫ ⎪+⎝⎭'==-+， ∴11ln 1b ab a ξ-=-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭不符合题意； ④∵21()32f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，3311()()22f b f a b a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()f b a ξ'=-．∴221111()2222f b a b a ξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2132ξ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．符合题意．三、解答题（共6个小题，共80分，请将解答过程及答案填在答题纸相应的题号处．） 15．（满分13分）若二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 满足(1)()41f x f x x +-=+，(0)3f =．（1）求()f x 的解析式．（2）若区间[]1,1-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（1）∵(0)3f c ==， (1)()41f x f x x +-=+，令0x =，∴(1)(0)1f f -=， ∴(1)(0)143f f a b =+==++， ∴1a b +=，①令1x =-，∴(0)(1)3f f --=-，∴(1)(0)363f f a b -=+==-+， ∴3a b -=，②联立①②解出2a =，1b =-， ∴2()23f x x x =-+．（2）∵()6f x x m >+在[]1,1-上恒成立， ∴22360x x x m -+-->， ∴22730x x m -+->，又∵函数2273y x x m =-+-的对称轴为771224x -=-=>⨯， ∴函数在[]1,1-上单调递减，∴当1x =时，2730m -+->恒成立， ∴20m +<，2m <-，∴(,2)m ∈--∞．16．（满分13分）等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （1）求{}n a 的通项公式．（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ （3）试比较n a 与n b 的大小，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）∵{}n a 是等差数列， 121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩， ∴解出2d =，14a =， ∴1(1)n a a d n =+-422n =+- 22n =+．（2）∵232328b a ==⨯+=， 3727216b a ==⨯+=，{}n b 是等比数列，322b q b ==， ∴1n n b b q -=⨯ 22n b q -=⨯ 12n +=．又∵6176222(1)n b a n +====+， ∴63n =，∴6b 与数列{}n a 的第63项相等．（3）猜想n n a b ≤，即12(1)2n n ++≤，即12n n +≤，用数学归纳法证明如下：①当1n =时，1112+=，显然成立，②假设当n k =时，12k k +≤成立，即120k k +-≤成立； 则当1n k =+时，1(1)12k k +++- 2122k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2122022k k k k k ⎛⎫=+---⨯=-< ⎪⎝⎭≤成立，由①②得，猜想成立． ∴n n a b ≤．17．（满分13分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数． （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【答案】见解析【解析】（1）∵速度为x 海里/小时，航行时间为600x小时， 总燃料费为216003002x x x⋅=元， 其余费用为6001250x ⨯元，∴750000300y x x =+．（2）∵750000300y x x =+≥ 当且仅当750000300x x=时，等号成立， 50x =，即轮船以50海里/小时速度行驶时，全程运输成本最小．18．（满分14分）设函数ππ()sin sin cos 63f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求数()f x 的最小正周期和对称轴方程．（2）锐角ABC △的三个顶点A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若()f A 2a =，b C ∠及边c ．（3）若ABC △中，()1f C =，求2π2cos )4A A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）∵ππππ()sin sin cos sin cos cos cos sin sin 6633f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos cos 22x x x x x =++ sin cos x x =+π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x 最小正周期2π2π1T ==， 对称轴方程：πππ()42x k k +=+∈Z ，ππ()4x k k =+∈Z ．（2）∵π()4f A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴πsin 14A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π()42A k k +=+∈Z ， 又∵ABC △是锐角三角形， ∴π4A =，又∵222cos 2b c a A bc +-==2a =，b解出1c =1． 又∵由正弦定理sin sin a bA B =，∴sin 2sin 2b A B a=== ∴在锐角ABC △中，π3B ∠=， ∴5ππ12C B A ∠=-∠-∠=， ∵在ABC △中，C B A ∠>∠>∠， ∴c b a >>，∴1c ． 综上，5π12C ∠=，1c ． （3）∵π()14f c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 4c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴ππ2π44c k +=+或3π2π()4k k +∈Z ， 在ABC △中， π2C ∠=，又∵2π2cos )4A A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ []πcos 21(π)4A A C A ⎡⎤⎛⎫=-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ππcos 21222A A ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令π22A θ=-，原式cos 1θθ=+1cos 12θθ⎫=+⎪⎪⎭ π2sin 16θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ π2sin 213A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ∵在ABC △中，ππ2A B C B =--=-， π2B A =-， 且π02B <<，π02A <<， 代入不等式，解出π02A <<． ∴02πA <<，ππ2π2333A -<-<，πsin 213A ⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤，∴π12sin 2133A ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤．19．（满分14分）已知关于x 的函数()(0)e xax a f x a -=≠． （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(0,1)处的切线方程．（2）设()e ()ln x g x f x x '=+，讨论函数()g x 的单调区间．（3）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）当1a =-时，1()e xx f x -+=， 2e e (1)112()(e )e ex x x x x x x x f x ---+-+--'===， 002(0)2e f -'==-， ∴12y x -=-， 即()f x 在(0,1)处的切线方程为210y x +-=．（2）∵2e e ()()e ln (e )x x xx a ax a g x x --=⋅+ 2ln (0)ax a x a =-++≠，1()g x a x'=-+， 当0a <时，()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，∴()g x 在(0,)+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '>，解得10x a <<， 令()0g x '<，解得1x a>， ∴()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 在1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减． （3）∵e ()0e xxax a F x -+==没有零点， 即e (1)x a x =--无解，∴1e x y =与2(1)y a x =-+两图象无交点，设两图象相交于(,)m n 点，∴e (1)e m m a m a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩， ∴2m =，2e a =-．∵两图象无交点，∴2(e ,0)a ∈-，20．（满分13分）若函数()f x 满足：集合{}*()|A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数．（1）判断下列函数：①2y x =；②1y x=；③2log y x =中，哪些是等比源函数？（不需证明） （2）判断函数()21x f x =+是否为等比源函数，并证明你的结论． （3）证明：d ∀，*b ∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数．【答案】见解析【解析】（1）①当x 取1，2，4时， y 得1，4，16构成等比数列，∴2y x =是等比源函数．②当x 取1，2，4时，y 得1，12，14构成等比数列， ∴1y x=是等比源函数． ③当x 取2，4，16时，y 得1，2，4构成等比数列，∴2log y x =是等比源函数．综上①②③均为等比源函数．（2）函数()21x f x =+不是等比源函数， 证明如下：假设存在正整数m ，n ，k ，且m n k <<， 是()f m ，()f n ，()f k 成等比数列， ∴2()()()f n f m f k =，2(21)(21)(21)n m k +=++，∴2122222n n m k m k +++=++，等式两边同除以2m ，∴2122212n m n m k k m --+-+=++，又∵1n m -≥，2k m -≥，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数， ∴2122212n m n m k k m --+-+=++不可能成立， 故假设不成立，∴()21x f x =+不是等比源函数．（3）证明：∵b ∀，n +∈N ，都有(1)()g n g n d +-=， ∴d ∀，b +∈N ，数列{}()g n 都是以(1)g 为首项，公差为d 的等差数列， d ∀，b +∈N ，(1)g ，(1)(1)g d +，2(1)(1)g d +成等比数列， ∴[][](1)(1)(1)(1)11(1)1g d g g d g g +=++-=+， []2(1)(1)(1)2(1)(1)11g d g g g d d +=+++-， []2(1)(1)1g g g d =++∴(1)g ，[](1)1g g +，[]{}2(1)(1)1()|g g g d g n n +++∈∈N ， ∴d ∀，b +∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数．。
2023-2024学年北京西城区三十五中高三(上)期中数学试题及答案
北京市第三十五中学2023-2024学年第一学期期中测试高三数学2023.11行政班教学班姓名学号试卷说明：试卷分值150分，考试时间120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．I 卷一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分。
每小题只有一个正确选项，请选择正．．．．确答案填在机读卡相应的题号处．．．．．．．．．．．．．．）1．已知集合{}{1,},28x P x x x N Q x =∈=∣∣ ,则P Q =(A){14}x x <∣ (B){13}x x <∣ (C){1,2}(D){1,2,3}2．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(A)1y x =+(B)1y x=(C)cos y x x =(D)||y x x =3．已知复数1i1iz +=-，则复数z 的共轭复数的虚部为(A)i -(B)i (C)1-(D)14．已知132a -=，21log 3b=，121log 3c =，则(A)a b c >>(B)a c b >>(C)c a b >>(D)c b a>>5．在等腰梯形ABCD 中,2AB CD =,M 为BC 的中点,则AM =(A)1122AB AD +(B)3142AB AD +(C)3144AB AD +(D)1324AB AD +6．“1a =-”是“函数()|sin |f x x a =-在区间π[0,]2上最大值为2”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7．已知(4,0)A ，点M 为曲线2y x =上一点，点M 在y 轴上的射影为N ，则AM AN ⋅的最小值为(A)13(B)14(C)15(D)168．把函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ=(A)6π(B)3π(C)23π(D)56π9．已知函数2212,2,()2,2,x x mx m m x f x x +⎧-++⎪=⎨>⎪⎩ 当2x =时,()f x 取得最小值,则m 的取值范围为(A)[1,4]-(B)[24]，(C)[1,2]-(D)[1,1]-10．十八世纪早期,英国数学家泰勒发现了公式sin x =33!x x -575!7!x x +-+ 211(1)(21)!n n x n --+--+ ，(其中,x n ∈∈R *N ,!123,0!1n n =⨯⨯⨯⨯= ).现用上述公式求111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+- 的值,下列选项中与该值最接近的是(A)sin 30︒(B)sin33︒(C)sin 36︒(D)sin 39︒II 卷二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数()f x =R ，请写出满足题意的一个实数a 的值．12．二项式6(2x 展开式的常数项为．13．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且当x y >时，()()f x f y >，请写出符合上述条件的一个函数()f x =．14．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||2ωϕ><.①若(0)1f =，则ϕ=_______；②若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是__________.15．已知函数1()sinf x x=，给出下列4个结论：①函数()f x 的值域为[1,1]-②存在正数m ，函数()f x 在区间(,)m +∞上无零点③函数()f x 的周期为12π④对任意正数m ，函数()f x 在区间(0,)m 上有无穷多个零点其中正确的结论序号有．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）已知函数()2sin sin()f x x x ϕ=+-(0πϕ<<)，π()2f =．(Ⅰ)求ϕ的值；(Ⅱ)求()f x 在[0,π]内的所有零点之和．17．（本小题14分）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.](Ⅰ)求甲没有获得奖金的概率；(Ⅱ)求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；(Ⅲ)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）18．（本小题13分）在ABC ∆中，AD 为BC边上的中线，AC =，3cos 5DAC ∠=．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，并完成下面问题．条件①：cos C =；条件②：cos C =条件③：ADC ∆的面积为2．(Ⅰ)求AD 的长；(Ⅱ)求AB 的长．注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．题目A BC 做对的概率341214获得的奖金/元326412819．（本小题15分）已知函数21()2xf x e x ax =--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为l ．(Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)判断曲线()y f x =与直线l 的公共点个数，并证明；(Ⅲ)若0a =，令()()p x f x '=，求证：对任意的123,,[1,1]x x x ∈-，都有123()()()p x p x p x +>成立．20．（本小题15分）已知函数()ln(1)1x af x x x -=-++(a R ∈)．(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知,m n 是正整数，且1m n <<，证明(1)(1)n m m n +>+.21．（本小题15分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有ij a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对.记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3,2,4,1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列C ：1234,,,a a a a ，写出两组具体的排列C ，分别满足：①()5S C =，②()4S C =；（Ⅱ）对于数字1，2， ，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.高三数学2023.11参考答案：一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．1．D 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．B 10．B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．(,0]-∞12．6013．lg x 或ln x (答案不唯一)14．①6π②2π15．①②④三、解答题共6小题，共85分．16．（本小题13分）解：(Ⅰ)因为πππ()2sin sin()222f ϕ=+-=，所以cos ϕ=，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=．(Ⅱ)π()2sin sin(6f x x x =+12sin cos )2x x x =+2sin cosx x x =+1cos 213(sin 222x x -=+-1sin 2222x x =-πsin(2)3x =-令()0f x =，即πsin(2)03x -=，得π2π3x k -=，k Z ∈，即ππ62k x =+，k Z ∈，因为[0,π]x ∈，所以12π2π,63x x ==，所以()f x 在[0,π]内的所有零点之和为π2π5π636+=．17．（本小题14分）解：(Ⅰ)甲没有获得奖金为事件M ，则31()144P M =-=；(Ⅱ)分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立．由题意，X 的可能取值为0，32，96，224．()()104P X P A ===；()()31332428P X P AB ===⨯=；()()31399642432P X P ABC ===⨯⨯=；()()311322442432P X P ABC ===⨯⨯=．所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X 03296224P1438932332()13930329622460483232E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．(Ⅲ)不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大．1813解：选条件①：cos C =(Ⅰ)记DAC α∠=，ADC β∠=．在ADC ∆中，3cos 5α=，cos C =，所以4sin 5α==，sin 5C ==，sin sin(π)sin()C C βαα=--=+sin cos cos sin C Cαα=+4355=因为sin sin AD ACC β=，所以AD AC ==．(Ⅱ)在ADC ∆中，2222cos 4DC AD AC AD AC α=+-⨯⨯=，所以2DC =．【或：sin sin DC ADCα=，所以2DC =】所以4BC =．在ABC 中，2222cos 13AC BC AC BC C =+-⨯⨯=，所以AB =选条件③：ADC ∆的面积为2(Ⅰ)记DAC α∠=，ADC β∠=．在ADC ∆中，3cos 5α=，所以4sin 5α==，1sin 22ADC S AD AC α∆=⨯⨯⨯=，又因为AC =AD =(Ⅱ)在ADC ∆中，2222cos 4DC AD AC AD AC α=+-⨯⨯=，所以2DC =．所以4BC =．法一：因为AC AD ==，所以π(0,2C β=∈，3cos cos(π)cos 25C C αβ=--=-=，即2312cos 5C -=，解得cos 5C =．在ABC 中，2222cos 13AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯=，所以AB =法二：取CD 中点E ，因为AC AD ==，所以AE CD ⊥．可求得2AE =，2229413AB AE BE =+=+=，所以AB =1，1，所以切线方程为1(1)y a x -=-，即(1)1y a x =-+；(Ⅱ)令2211()(1)1122x xg x e x ax a x e x x =-----=---，()1x g x e x '=--，令()()1x h x g x e x '==--，()1x h x e '=-，令()0h x '=，得0x =，x (,0)-∞0(0,)+∞()h x '-+()h x (()g x ')所以()(0)0h x h ≥=，即()0g x '≥恒成立，()g x 为R 上的增函数．又(0)0g =，所以()g x 只有唯一零点0，即曲线()y f x =与直线l 的公共点个数为1个．(Ⅲ)当0a =时，函数()x p x e x =-，由(Ⅱ)知，()p x 在(1,0)-上减，在(0,1)上增，又1(1)1,(1)1,(0)1p p e p e-=+=-=，所以()p x 的值域为[1,1]e -，对任意的123,,[1,1]x x x ∈-，都有123()()111()p x p x e p x +≥+>-≥，所以123()()()p x p x p x +>．20．（本小题15分）解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，2()(1)a xf x x -'=+，①当1a ≤-时，()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立，()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间；②当1a >-时，令()0f x '>，解得1x a -<<，令()0f x '<，解得x a >，所以()f x 的增区间为(1,)a -，减区间为(,)a +∞．综上，当1a ≤-时，()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间；当1a >-时，()f x 的增区间为(1,)a -，减区间为(,)a +∞．(Ⅱ)两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明ln(1)ln(1)n m m n +>+，即证明ln(1)ln(1)m n m n++>，构造函数2ln(1)ln(1)1(),()xx x x f x f x xx-+++'==，令()ln(1)1xg x x x =-++，由(Ⅰ)知，当0a =时，()g x 在(0,)+∞上为减函数，故()(0)0g x g <=，所以()0f x '<，所以()f x 为(0,)+∞上的减函数，因为1m n <<，知()()f m f n >，即ln(1)ln(1)m n m n++>，即(1)(1)n m m n +>+．4（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d - 与排列1121,,,,n n D d d d d - ：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个，………………5分所以1(1)()()2n n S D S D -+=.………………6分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.………………7分而对于数字1，2， ，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a - ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -.………………9分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++ ，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数.………………11分○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a - ，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a - ，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a - ，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数.………………15分。
北京市第三十五中学2018-2019年度第一学期期中试卷高一数学
北京市第三十五中学2018-2019年度第一学期期中试卷高一数学Ⅰ卷一、选择题（共12个小题，每题4分，共48分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1.设集合U=,则A. B. C. D.2.下列四个图形中，不是．．以x为自变量的函数的图象是( )．A. B. C. D.3.三个数，，的大小顺序是（）．A. B.C. D.4.函数的图象（）．A. 关于原点对称B. 关于直线对称C. 关于轴对称D. 关于轴对称5.的值是（）．A. B. C. D.6.下列函数中值域是的是（）．A. B. C. D.7.如图给出了某种豆类生长枝数（枝）与时间（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（）．A. B. C. D.8.已知函数（其中），若的图象如图所示，则函数的图像是（）A. B. C. D.9.函数一定存在零点的区间是（）．A. B. C. D.10.在上运算：，若不等式对任意实数成立，则（）．A. B. C. D.11.函数，，若函数在上为减函数，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.12.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B.C. D.二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）13.映射，的象为__________，的原象为__________．14.已知关于的不等式，的解集为．则__________．15.函数的零点为__________，单调减区间为__________．16.函数在区间上的最大值与最小值之差为，则__________．17.函数的定义域为全体实数，则实数的取值范围为__________．18.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（）设函数，则集合__________，__________．（）__________．（用，，填空）三、解答题（共3个小题，共28分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）19.已知集合，集合．（）化简集合并求，．（）若全集，求．20.已知函数．（Ⅰ）证明函数为偶函数．（Ⅱ）用函数的单调性定义证明在上为增函数．21.函数．（Ⅰ）若，求函数的最小值和最大值．（Ⅱ）讨论方程，的根的情况（只需写出结果）．（Ⅲ）当，时，求函数的最小值．Ⅱ卷一、填空题（共5个小题，每题4分，共20分，请将正确答案填写在答题纸相应题号处）22.已知函数若，则。
2018届北京地区高三上学期期中考试数学(理)(解析版)
2018届北京地区高三上学期期中考试数学（理）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合，，则（ ）．A ．B ．C ．D ． 答案：D2、“”是“函数的最小正周期为”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要 答案：A3．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“”的否定是“”C ．命题“若，则”的逆否命题为假命题D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题 答案：D4、定积分的值为（ ）A.B. C. D. 答案：A 5．已知函数两相邻对称轴间的距离为，则的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．答案：B{}220,A x x x x R =--≤∈{}230,y B y y y Z =-<∈A B = ∅{}02x x <≤{}01x x <≤{}12,x x x Z ≤≤∈1=a ax ax y 22sin cos -=π12=x 1=x 12=x 1≠x 01,2<-+∈∃x x R x 01,2>-+∈∀x x R x y x =y x sin sin =0⎰4π2πππ26.函数满足，则的值为（ ）A. B. C.D. 答案：C7. 已知为等比数列,,,则（ ）A ． B. C ． D. 答案：D8.已知是公差d ≠0的等差数列的前项和，若，则A BCD答案：A9．已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心答案：A10、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）．A. B. C. D. 答案：B11、设函数，，若实数，分别是，的零点，则（ ）A. B. C. D.答案：D12．设函数在上存在导数，，有，在上，()3sin(2),(0,)3f x x πφφπ=-+∈)()(x f x f =φ6π3π56π32π{}n a 472a a +=568a a =-110a a +=75-5-7n S {}n a n 739a a =()95S S =95185925,,A B C O ABC P ABC ∆1(),[0,)2OP OA AC CB λλ-=+∈+∞AP ABC ∆[1,1]-()sin f x x =2()ln 2x f x x -=+()|1|f x x =-+1()()2x xf x e e -=-()42-+=x e x f x ()52ln 2-+=x x xg a b ()x f ()x g ()()a g b f <<0()()0<<a g b f ()()b f a g <<0()()b f a g <<0若，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．答案：B第II 卷（非选择题 共计90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，且，则=. 答案：114．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________． 答案：-115、不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________. 答案：或16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a 的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2的最大值为________．答案：4三、解答题（本大题共6个小题，共计70分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6的值．解： (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.2(2)()220f m f m m m -+--+-≥[1,1]-[1,+∞）()()()1,2,,1,1,2a b x c =-==()a b c +⊥ x 2|3||1|3x x a a +--≤-x a 1a ≤-4a ≥由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24.又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由asin A＝csin C，得sin C ＝158.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cosA ＝15－7316.18．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.19.已知正项等比数列满足成等差数列,且. （Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设,求数列的前项和. （Ⅰ）设正项等比数列的公比为（1）由,因为,所以.又因为成等差数列,所以 所以数列的通项公式为.（Ⅱ）(方法一)依题意得,则…………………… 由 - 得[来源:学§科§网]所以数列的前项和(方法二)因为,所以20．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，sin x ，n ＝(1，sin x )，f (x )＝m ·n －12.{}n a 6,2,321+a a a 51249a a a ={}n a ()n n n a a b ⋅+=1log 3{}n b n n T {}n a ()0>q q 399923242235124±=⇒==⇒==q a a q a a a a 0>q 3=q 6,2,321+a a a ()3012690461111231=⇒=-++⇒=-++a a a a a a a {}n a n n a 3=()n n n b 312⋅+=()n n n T 312373533321⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=()()14323123123735333+⋅++⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n T ()()2321333323122-+⋅⋅⋅++⋅-⋅+=+nn n n T ()1212132331332312+++⋅=---⋅-⋅+=n n n n n {}n b n 13+⋅=n n n T ()()[]()n n n n n n n n n n b 3133133121⋅--⋅=⋅--=⋅+=+13+⋅=n n n T(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝12，若3sin(A＋C )＝2cos C ，求b 的大小．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1－cos 2x 2－12＝32sin 2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故f (x )的单调递减区间是k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝12和f (x )＝32sin 2x ，得sin A ＝33.①若cos A ＝63，则sin(A ＋C )＝33cos C ＋63sin C ，又3sin(A ＋C )＝2cos C ，所以cos C ＝2sin C .因为0<C <π，所以co s C ＝63.②若cos A ＝－63，同理可得：cos C ＝－63，显然不符合题意，舍去．所以sin B ＝sin(A ＋C )＝23cos C ＝223.故b ＝a sin B sin A＝4 2.21.（本小题满分12分）已知函数. ⑴求函数的单调增区间；⑵记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由 解：（Ⅰ）函数的定义域是.由已知得，. ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增 ⅱ 当时，①当时，即时, 令,解得或;函数在和上单调递增②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；③当时，即时, 令,解得或函数在和上单调递增.综上所述:⑴当时,函数在上单调递增 ⑵当时,函数在和上单调递增 ⑶当时,函数在上单调递增； ⑷当时,函数在和上单调递增.(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.设,是曲线上的不同两点，且，则，.21()ln (1)(0)2f x x ax a x a R a =-+-∈≠，()f x ()F x C 1122(,)(,)A x y B x y 、C C 00(,)M x y 1202x x x +=C M AB ()F x ()f x ()f x (0,)+∞1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-0a >'()0f x >01x <<∴()f x (0,1)0a <11a -<1a <-'()0f x >10x a<<-1x >∴()f x 1(0,)a-(1,)+∞11a -=1a =-()f x (0,)+∞11a ->10a -<<'()0f x >01x <<1x a>-∴()f x (0,1)1(,)a -+∞0a >()f x (0,1)1a <-()f x 1(0,)a-(1,)+∞1a =-()f x (0,)+∞10a -<<()f x (0,1)1(,)a-+∞()f x 11(,)A x y 22(,)B x y ()y f x =120x x <<211111ln (1)2y x ax a x =-+-222221ln (1)2y x ax a x =-+-.曲线在点处的切线斜率， 依题意得：. 化简可得 ， 即=.设 ()，上式化为：, ,令,. 因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”． [来源:学*科*网]（22）（本小题满分10分） 设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若不等式f (x )≤|a －2|的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；当－1<x <2时，由f (x )≥2得，2x －1≥2， ∴32≤x <2； 当x ≥2时，f (x )≥2恒成立．2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=-211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++--00(,)M x y 0()k f x '=12()2x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+2121ln ln x x x x --122x x =+21ln x x 21212()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+21x t x =1t >2(1)4ln 211t t t t -==-++4ln 21t t +=+4()ln 1g t t t =++214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+1t >'()0g t >()g t (1,)+∞()2g t >(1,)+∞t 4ln 21t t +=+()f x∴不等式f (x )≥2的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞.(2)∵f (x )＝|x ＋1|－|x －2|≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a －2|≥3，∴a ≥5或a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．。
最新-北京2018届高三数学上学期期中考试试卷 理 北师
北京43中2018—2018学年度上学期期中考试试卷高三数学(理科)（满分150分，时间120分钟） 2018.11.713:30-15:30一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ ）A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅3．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα⊂⊥n m ,．下面有四个命题： 1）若n m ⊥则有,//βα； 2）βα//,则有若n m ⊥； 3）βα⊥则有若,//n m ； 4）n m //,则有若βα⊥． 其中正确命题的个数是：（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.如图，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的 区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）A.24π B.34π C. 22π D.32π 5．在三棱锥D ABC -中，2AC BC CD ===，CD ⊥平面BCD , 90ACB ∠=. 若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为( )26．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 36种B.42种C. 48种D. 54种7. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．61．复数i1i =+（ ） A.1i 22+ B.1i 22- C.1i 22-+ D.1i 22--A8．点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ）A. 双曲线的一支B. 椭圆C. 抛物线D. 射线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
精品解析：北京市第三十五中学2018届高三上学期期中考试物理试(解析版)
北京市第三十五中学2017．2018年度第一学期期中高三物理（理科）试卷一、选择题1.如果一个物体只受到恒力F的作用，则它可能做以下哪种运动（）A. 匀速直线运动B. 匀变速曲线运动C. 匀速圆周运动D. 简谐运动【答案】B【解析】物体存在合力，加速度是个恒定的值，所以不可能做匀速直线运动或匀速圆周运动，故AC错误；若合力与原速度方向不在同一直线上，物体的合力恒定，而且与速度方向不在同一直线上，则物体做匀变速曲线运动．故B正确；若合力与原速度方向在同一直线上，物体的合力与速度在同一直线上，则物体做匀变速直线运动，不可能做简谐运动．故D错误．故选B．2.我国选手陈一冰在北京奥运会上以优异成绩夺得吊环比赛冠军．比赛中他先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到图示位置，此时连接吊环的绳索与竖直方向的夹角为θ．已知他的体重为G，吊环和绳索的重力不计．则每条绳索的张力为（）A.cos2GθB. sin2GθC. 2cos GθD. 2sin Gθ【答案】C 【解析】【详解】陈一冰的受力分析图，由共点力的平衡可知，在竖直方向上2cos F Gθ=解得2cos G Fθ=A．cos2Gθ，与结论不相符，选项A错误；B ．sin 2Gθ，与结论不相符，选项B 错误； C ．2cos Gθ，与结论相符，选项C 正确； D ．2sin Gθ，与结论不相符，选项D 错误； 故选C ．3.如图所示，质量为M 的人在远离任何星体的太空中，与他旁边的飞船相对静止.由于没有力的作用，他与飞船总保持相对静止的状态.这个人手中拿着一个质量为m 的小物体，他以相对飞船为v 的速度把小物体抛出，在抛出物体后他相对飞船的速度大小为( )A.m v MB.M v mC.M mv m+ D.mv M m+【答案】A 【解析】 【分析】人和物体组成的系统不受外力作用，系统动量守恒，根据动量守恒定律列式求解即可；【详解】人和物体组成的系统不受外力作用，系统动量守恒，以v 的方向为正方向，根据动量守恒定律得：mv Mv =人，解得：mvv M=人，故A 正确，B 、C 、D 错误； 故选A ．【点睛】对于动量守恒定律的应用，关键是要求同学们能正确分析物体的受力情况，注意使用动量守恒定律解题时要规定正方向．4.篮球运动员通常要伸出两臂迎接传来的篮球，接球时，两臂随球迅速收缩至胸前．这样做可以（ ） A. 减小球对手的冲量 B. 减小球对人的冲击力 C. 减小球的动量变化量 D. 减小球的动能变化量【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据动量定理，Ft mv =∆，篮球以一定得速度减小为零，因此当动量的变化一定，则冲量也一样，因速度变化一样，因此动能变化一样，增大作用时间可减少作用力；运动员接篮球时，篮球的动量由某一值减到零，接球时，两手随球迅速收缩至胸前，这样可以增加篮球和运动员的作用时间，从而减少篮球对运动员的冲击力，选项B 正确． 考点：动量定理的应用．5.如图所示，旋臂式起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动．现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物沿竖直方向做匀减速运动．在这一过程中相对于地面而言（ ）A. 货物做速度大小、方向均不变的直线运动B. 货物做速度大小变化的直线运动C. 货物做加速度大小变化的曲线运动D. 货物做加速度大小、方向均不变的曲线运动 【答案】D 【解析】站在地面上观察，货物既沿水平方向匀速运动，又沿竖直方向做匀加速运动，设水平方向速度大小为v ，加速度大小为a ，经过时间t 时，货物水平位移大小为x vt =，竖直位移大小212y at =，联立得到，222a y x v=，根据数学知识可知，轨迹是向上弯曲，加速度大小，方向均不变的曲线运动，故D 正确．故选D ． 点睛：本题是类平抛运动问题，可以与平抛运动类比，定性分析轨迹形状，也可以定量分析轨迹方程． 6.如图所示，运动员挥拍将质量为m 的网球击出．如果网球被拍子击打前、前瞬间速度的大小分别为1v 、2v ，1v 与2v 方向相反，且21v v >．重力影响可忽略，则此过程中拍子对网球作用力的冲量（ ）A. 大小为21()m v v -，方向与1v 方向相同B. 大小为21()m v v +，方向与1v 方向相同C. 大小为21()m v v -，方向与2v 方向相同D. 大小为21()m v v +，方向与2v 方向相同 【答案】D 【解析】取拍子击打前网球的速度为1v 方向为正方向，根据动量定理得：拍子对网球作用力的冲量2112()I mv mv m v v =--=-+．即冲量大小为12()m v v +，方向与1v 方向相反，与2v 方向相同，故D 正确．ABC 错误．故选D ．7.如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与一质量为m 的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O 点．现使小球以O 点为平衡位置，在A 、B 两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是（ ）A. 小球从O 位置向B 位置运动过程中做加速运动B. 小球每次通过同一位置时的速度一定相同C. 小球每次通过第一位置时的加速度一定相同D. 小球从A 位置向B 位置运动过程中，弹簧振子所具有的势能持续增加 【答案】C 【解析】小球在D 点时弹簧的弹性势能是D ，所以小球的动能最大，小球从0位置向B 位置运动过程中受到弹簧的向左的拉力，与小球速度的方向相反，所以小球做减速运动，故A 错误；小球每次通过同一位置时的回复力，F kx =-都是相等的，所以加速度一定相同，故B 错误，C 正确；小球从A 位置向D 位置运动过程中，速度增大，所以动能逐渐增大，弹簧振子所具有的势能逐渐减小，从O 位置向B 位置运动过程中，速度减小，所以动能逐渐减小，弹簧，振子所具有的势能逐渐增大，故D 错误．故选C ．点睛：解决本题的关键知道如何判断振子加速还是减速，速度与加速度的方向关系是：速度与加速度同向，速度增大，速度与加速度反向，速度减小．8.一质点做简谐运动的图象如图所示，图上A 、B 两点所对应的位移相同下列说法正确的是（ ）A. 质点振动频率是4HzB. 在1s t =至 1.5s t =的时间内，速度增加C. 质点在A 、B 两点所在的时刻的加速度相同D. 在1s t =和2s t =两时刻，速度相同 【答案】C 【解析】 依据1T f=故0.5Hz f =，故A 错误；1 1.5s -内x-t 图像的斜率在减小，则速度在减少，故B 错误；依据牛二定律F ma =且F kx =-，质点在A 、B 两点所在的时刻的加速度相同，故C 正确；1s t =和2s t =时速度大小相同，但是方向不同，故D 错误．故选C ．点睛：由振动图象可以读出周期、振幅、位移、速度和加速度及其变化情况，是比较常见的读图题．速度的大小可由斜率大小读出，方向可由斜率的符号得到．9.如图所示，在一根张紧的水平绳上挂几个小球，其中A 、D 小球摆长相等．先让A 小球振动起来，其他各小球随后也跟着振动起来，则观察到B 、C 、D 三个小球的运动情况（ ）A. D小球周期最小B. 其他各小球振动周期大小相同C. 其他各小球振动振幅大小相同D. B小球振幅最大【答案】B【解析】A摆摆动，其余各摆也摆动起来，它们均做受迫振动，则它们的振动频率均等于A摆的摆动频率，振动周期都等于A摆的振动周期，而由于A、C摆长相同，所以这两个摆的固有频率相同，则C摆出现共振现象，振幅最大．故B正确，ACD错误；故选B.点睛：受迫振动的频率等于驱动力的频率；当受迫振动中的固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象．10.质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为v/2时．汽车瞬时加速度的大小为（）A. P/mv B. 2 P/mv C. 4P/mv D. 3 P/mv【答案】A【解析】【详解】当汽车达到最大速度时,做匀速运动,牵引力F与摩擦力f相等．又P=Fv所以f=P/v恒定，当速度达到v/2时，F'=2P/v则ma=F'-f =（2P/v）-（P/v）= P/v所以a=P/(mv)A. P/mv与计算结果相符，故A正确．B.2 P/mv与计算结果不符，故B错误．C.4 P/mv与计算结果不符，故C错误．D.3 P/mv与计算结果不符，故D错误．11.如图所示，一人站在商场的自动扶梯的水平踏板上，随扶梯一起向上减速运动，则下列说法中正确的是（）A. 受到摩擦力水平向右B. 踏板对人的支持力大小等于人所受到的重力大小C. 踏板对人做的功等于人的动能的增量D. 人所受合力做的功等于人的动能的增量【答案】D【解析】依据题可知，人做减速运动，加速度a斜向下，加速度有向左的水平分量，则受到摩擦力水平向左；加速度有竖直向下的分量，则人失重，即踏板对人的支持力大小小于人所受到的重力大小，故AB错误；依据动能定理，合外力做的功等于动能的变化量，故C错误，D正确．故选D．12.在德国首都柏林举行的世界田径锦标赛女子跳高决赛中，克罗地亚选手弗拉希奇以2米04的成绩获得冠)军．弗拉希奇身高约为1.93 m，忽略空气阻力，g取10 m/s2．则下列说法正确的是(A. 弗拉希奇在下降过程中处于失重状态B. 弗拉希奇起跳以后在上升过程中处于超重状态C. 弗拉希奇起跳时地面对她的支持力大于她的重力D. 弗拉希奇起跳时的初速度大约为3 m/s 【答案】AC 【解析】试题分析：运动员起跳后上升过程做减速运动，下降过程做加速运动，加速度都是向下，所以运动员在这两个过程中整体处于失重状态，A 正确B 错误；起跳时加速度向上，根据牛顿第二定律可得N mg ma -=，即N ma mg =+，所以地面对她的支持力大于重力故能顺利起跳，C 正确；运动员起跳时重心在腰部，背越式过杆，重心上升高度可按1m 估算，则起跳时的初速度约为/ 4.5/v s m s ===，D 错误 考点：考查了超重失重，牛顿第二定律的应用13.如图所示，质量为m 的小球从距离地面高H 的A 点由静止开始释放，落到地面上后又陷入泥潭中，由于受到阻力作用到达距地面深度为h 的B 点速度减为零．不计空气阻力，重力加速度为g ．关于小球下落的整个过程，下列说法中正确的有（ ）A. 小球的机械能减少了mgHB. 小球克服阻力做的功为mghC. 小球动量的改变量等于小球重力的冲量D. 若小球所受重力与所受阻力的冲量大小相等 【答案】D 【解析】小球在整个过程中，动能变化量为零，重力势能减小()mg H h +，则小球的机械能减小了()mg H h +，故A 错误；对全过程运用动能定理得，()0f mg H h W +-=，则小球克服阻力做功()f W mg H h =+，故B 错误；对全过程分析，运用动量定理知，动量的变化量等于重力的冲量和阻力冲量的矢量和，故C 错误；对整个过程，根据动量定理：00G f I I -=-得：=G f I I ，故D 正确．点睛：本题考查了动量定理、动能定理的综合运用，对于机械能的变化，也可以根据除重力以外其它力做功得出．注意合力的冲量等于动量的变化量，不是某一个力的冲量．14.一个滑块以初速度0v从足够长的固定斜面底端沿斜面向上运动，经02t时间返回到斜面底端．图所示图像表示该滑块在此斜面上运动过程中速度的大小v随时间t变化的规律，其中可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】滑块在斜面上运动过程中,由于存在摩擦力,机械能不断减小,经过同一点时下滑的速度大小小于上滑的速度大小,所以滑回出发点的速度小于v0.故AC错误．根据速度图象的“面积”等于位移，两个过程的位移大小相等，可知，上滑时间短于下滑时间；故B正确，D错误；故选B．点睛：滑块在斜面上运动过程中，先上滑后下滑，由于存在摩擦力，上滑与下滑过程不再具有对称性，经过同一点时下滑的速度小于上滑的速度，上滑运动的时间较短．根据牛顿第二定律分析两个过程加速度的大小，结合速度关系选择．15.用一个水平拉力F拉着一物体在水平面上绕着O点做匀速圆周运动．关于物体受到的拉力F和摩擦力f的受力示意图，下列四个图中可能正确的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由于物体做匀速圆周运动，所以物体受到的合力方向指向圆心，合力提供的是向心力，再根据力的合成的知识可知，C 中的二个力的合力才会指向圆心，而其余的三种情况下的合力都不能指向圆心，故该题选C ．考点：匀速圆周运动．16.物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能,取两物体相距无穷远时的引力势能为零,一个质量为m 0的质点距离质量为M 0的引力源中心为时,其引力势能E p =-GM 0m 0/r 0(式中G 为引力常数),一颗质量为m 的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行,已知地球的质量为M ,由于受高空稀薄空气的阻力作用,卫星的圆轨道半径从r 1逐渐减小到r 2,若在这个过程中空气阻力做功为W f ,则在下面给出的W f ,的四个表达式中正确的是( ) A. 21112f GMm W r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ B. 1211f W GMm r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C. 12113f GMm W r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D. 21113f GMm W r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】卫星在圆轨道半径从r 1上时，根据万有引力提供向心力：21211mv GMm r r =，解得：2k 111122GMm E mv r ==，卫星的总机械能：11k1P 11122GMm GMm GMmE E E r r r =+=-=-，同理：卫星的圆轨道半径从r 2上时k 222GMm E r =，卫星的总机械能：222GMmE r =-卫星的圆轨道半径从r 1逐渐减小到r 2．在这个过程中空气阻力做功为W f ，等于卫星机械能的减少：2121112f GMm W E E E r r ⎛⎫=∆=-=-- ⎪⎝⎭，故A 正确．【此处有视频，请去附件查看】二、不定项选择17.如图所示，甲、乙两人静止在光滑的冰面上，两人的质量之比:5:4m m 甲乙=．甲沿水平方向推了乙一下，结果两人向相反方向滑去．在两人分开前，下列判断正确的是（ ）A. 甲的速率与乙的速率之比为4:5B. 甲的加速度大小与乙的加速度大小之比为4:5C. 甲对乙的冲量大小与乙对甲的冲量大小之比为4:5D. 甲的动能与乙的动能之比为4:5 【答案】ABD 【解析】两个人之间的作用力大小相等，方向相反，依据牛顿第二定律F ma =，可得甲的加速度大小与乙的加速度大小之比为为4:5，选项B 正确；作用时间相同，依据运动学公式0t v v at =+，故甲的速率与乙的速率之比为4:5，故A 正确；依据相互作用力的特点，两个人之间的作用力大小相等，作用时间相同，则甲对乙的冲量大小与乙对甲的冲量大小之比为1:1，故C 错误；依据动能2k 12E mv =，故甲的动能与乙的动能之比为4：5，故D 正确．故选ABD ．点睛：该题考查动量、能量的转化与守恒，题中两人组成的系统动量守恒，也可以由动量守恒定律求出两人的速度之比．18.一简谐横波沿x 轴方向传播，已知0.1s t =时的波形如图甲所示，图乙是4m x =处的质点的振动图象，则下列说法正确的是（ ）A. 此波是沿x 轴正方向传播B. 此波是沿x 轴负方向传播C. 此波的波速为10m/sD. 此波的波速为20m/s 【答案】BC 【解析】由振动图象乙可以知道0.1s t =时刻，4m x =处的质点的振动方向向上，根据波形平移法可以知道，简谐横波是沿x 轴负方向传播，故A 错误，B 正确；由甲、乙图分别读出4m λ=，0.4s T =，则波速10m/s λv T==．故C 正确，D 错误．故选BC ． 19.一质量为m 的物体从某一高度竖直下落，其运动的加速度的大小为0.9g ．若这个物体下落的高度为H ，则在此过程中（ ）A. 物体的重力势能损失了0.9mgHB. 物体的重力势能损失了mgHC. 物体的动能增加了09mgH ．D. 物体的机械能损失了0.1mgH【答案】BCD 【解析】依据p G W E =∆，物体的重力势能损失了mgH ，故A 错误，B 正确．依据动能定理，物体的动能增加了=0.9k E W maH mgH ∆==合，选项C 正确；物体所受的阻力f=mg-ma=0.1mg ，则物体机械能的损失等于阻力功，大小为0.1mgH ，，故CD 正确． 故选BCD ．点睛：本题关键根据功能关系的各种具体形式得到重力势能变化、动能变化和机械能变化．重力势能变化与重力做功有关；动能的变化与合力做功有关；机械能的变化与除重力以外的力做功有关．20.如图所示，一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M 的平板，静止在O 点，一质量为m 的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h ，如图所示，让环自由下落，撞击平板．已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长，则下列说法正确的是（ ）A. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒B. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒C. 环撞击板后，板的新的平衡位置在O 点正下方D. 碰撞后新平衡位置与下落高度h 无关 【答案】BCD 【解析】【详解】A ．由于碰后速度相同，为完全非弹性碰撞，机械不守恒，减小的机械能转化为内能，A 错误； B ．圆环与平板碰撞过程，若碰撞时间极短，内力远大于外力，外力可忽略不计，则系统总动量守恒，B 正确；CD ．碰撞前板的平衡位置满足kx =Mg碰撞后平衡时，有：()kx m M g =+'即碰撞后新平衡位置在O 点正下方，且与下落高度h 无关，CD 正确。
北京市第三十五中学高三数学上学期期中试题 理
年度第一学期期中试卷120分钟. I 卷为选择题，包括一个大题，共10个题.I 卷40分。
每小题只有一个正确选项，请选择正确答1{}42≥∈=x x R ，则=B A I {}322<≤-≤x x x 或 D. R 2; ”的否定. 3*n N ∈，都有1n n a a +>，则实数k 的取值．k >1 D ．k >04x x cos sin 22=，则下列结论正确的是 成中心对称 4π成轴对称 5(1)(1)f x f x -=+成立，则()y f x = x =1对称 2的周期函数 6A B C D7．,a r b r 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+r r 为偶函数”是“a b ⊥r r ”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8．函数()cos x f x e x =的图象在点(0, f (0))处的切线的倾斜角为 A ．0 B ．4πC ．1 D ．2π 9．若0,04a b a b >>+=，且，则下列不等式恒成立的是 A ．114ab≤B ．1114a b +≤ C ．2ab ≥D ．228a b +≥10．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则f 的n 阶周期点的个数是 A. 2n B. 2(2n -1) C. 2nD. 2n2II 卷二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分。
请将正确答案填在答题纸相应的题号处） 11．如右图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α=12．已知点P (1,- 2)及其关于原点对称点均在不等式210x by -+>表示的平面区域内，则实数b13．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则⋅a b =1，|2|+=ab 14．函数3()2x f x e x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 __________.115．已知函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是12a -<< Aαxy O16．已知函数：①，②，③.对如下两个命题：命题甲：在区间上是增函数； 命题乙：在区间上恰有两个零点，且.能使甲、乙两个命题均为真的函数的序号是____________.○1○2三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17.（本小题共12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n =324（n >6） （Ⅰ）求数列的项数n ；（Ⅱ）求910a a +的值及数列的通项公式解：（1）依题意得：1261516()36180(())n n n n a a a a a a a a --=+=++++++++L L ………3分136n a a ⇒+=………1分1()3242n n n a a S +==⇒18n =………2分（2）118910a a a a ++==36………2分11181613(25)362,1217a S a d d a a a d =+=⇒==+=+且………3分所以21n a n =-………1分 18．（本小题满分13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos2cos 2sin 3)(2xx x x f +=, 求()f B 的最大值，并判断此时△ABC 的形状． 解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． (余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……3分∵ 0<A <π，（或写成A 是三角形内角）……………………4分5分2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=311sin cos 222x x =++……………………7分 1sin()62x π=++，……………………9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈∴5666B πππ<+<（没讨论，扣1分）…………………10分∴当62B ππ+=即3B π=时()f B 有最大值是23．……………………11分 又∵3A π=，∴3C π=∴△ABC 为等边三角形．……………13分19．（本小题满分13分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。
2018北京市第三十五中学高三(上)期中数学(文)
2018北京市第三十五中学高三（上）期中数 学（文）出题人:傅红缨 审核人:钟竺 2018.11班级 姓名 学号题号I 卷II 卷 总分 一 二 15 16 17 18 19 20得分试卷说明：试卷分值 150，考试时间 120分钟，I 卷为选择题，包括一个大题，共8个小题，II 卷为填空题和解答题，包括第9至第20题.I 卷一．选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1．已知集合{|24}xA x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =（ ）（A ）{}|1x x > （B ）{}|23x x << （C ）{}|13x x << （D ）{}|21x x x ><或 2．下列函数在∞∞（-,0）(0,+)上既是偶函数，又在∞(0,+)上单调递增的是（ ） （A ）2y x =- （B ）1y x -= （C ）2log y x = （D ）2xy =-3．如图, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）12-（D ）124．已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ （C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 5．.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86．已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．已知函数, 1,()πsin , 1,2x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 则下列结论正确的是（ ） EABCDII 卷二．填空题（共6道小题，每题5分，共30分）9．设向量(1,0),(1,)a b m ==-，若()a ma b ⊥-，则m = .10. 已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S = . 11. 在等腰∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2c =，7cos 9C =，则b = ；∆ABC 的面积为 .12．如图：茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩． 已知甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则a = ； 甲、乙两组的成绩方差较大的是 组. 13. 若函数()cos2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是 . 14. 对于数列{}n a ，若*,()m n m n ∀∈≠N ，均有m na a t m n-≥-（t 为常数），则称数列{}n a 具有性质()P t . （i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为______； （ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是______.（A ）000,()()x f x f x ∃∈-≠-R （B ）,()()x f x f x ∀∈-≠R （C ）函数()f x 的值域是[1,1]- （D ）函数()f x 在ππ[,]22-上单调递增8．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安 全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 疏散乘客时间（s ）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A ）A（B ）B （C ）D（D ）E甲组乙组 890 1 a922 21 1正视图 侧视图俯视图1 1成绩（分）频率组距y0.0100.040x 0.0161009080706050O三．解答题（共6道题，共80分.每道题要写出必要的演算步骤和计算过程）15. （本小题共13分）已知{}n a 是等差数列，满足143,12a a ==，数列{}n b 满足144,20b b ==，且{}n n b a -为 等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16. （本小题共13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．17．（本小题共13分）为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．5 1 2 3 4 5678 6 7 89 3 418. （本小题满分14分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点．（Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．19. （本小题满分13分） 已知函数()ln f x x x =（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()(1)f x a x x≤-在区间[]1,e 上恒成立，求a 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数2()222xf x ax x =---e（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）CABDSQE P。
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学( 理)
试卷说明：试卷分值
班级
姓名
学号
150 ，考试时间 120 分钟。 I 卷为选择题，共 8 个小题，考生务必将答案答在机读卡
上,在试卷上作答无效。 II 卷为填空题和解答题，包括第 9 至第 20 题，考生务必将答案答在答题纸上 ,在试卷上作答无效。考试结束后，
n
2 ，且具有性质 P(t ) ，则 t 的最大值为 ______,
{ an} 具有性质 P(t ) .
（ ii）若数列 { an} 的通项公式为 an
n2
a ，且具有性质 P(10) ，则实数 a 的取值范围
n
是 ______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
将机读卡和答题纸一并交回。
I卷
一．选择题（共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分 . 每小题只有一个正确选项 . ）
1. 已知集合 P x | x2 x 2 0 ， M
1,0,3,4 ，则集合 P M 中元素的个数为
A.1
B.2
C. 3
D.4
2. 下列函数中为偶函数的是
1 A. y
x
B. y lg x
f ( x) g( x) 恰好有 2 个不同零点，则实数
a 的取值范围是 A. (0, )
B. ( ,0) (2，+ )
1 C.( , ) (1,+ )
2
ห้องสมุดไป่ตู้
D. ( ,0) (0,1)
II 卷
二、填空题 ( 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 )
2
9. 2xdx ______. 1
10. 在 ABC 中 ， 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a,b,c . 若 c 4 ， sinC 2sin A ， sin B
B
A
D
C
18．（本题满分 14 分）
已知函数 f (x) axsin x b cosx 在点 ( , f ( )) 处的切线为 y x ． 22
( Ⅰ ) 求实数 a,b 的值；
( Ⅱ ) 求函数 f (x) 在区间 [0, ] 上的值域． 2
19．（本题满分 13 分）
已知 f ( x) ln(1 x) ， g( x)
2
C. y x 1
D. y 2x
3. 在 ABC 中 , A 60 , AB 2, AC 1, 则 AB AC 的值为
A. 1
B. 1
4. 给出下列命题：
1 C.
2
1 D.
2
①若给定命题 p ： x R ，使得 x2 x 1 0 ，则 p ： x R , 均有 x2 x 1 0 ；
②若 p q 为假命题，则 p, q 均为假命题；
15．（本题满分 13 分）
已知函数 f x 2sin x cos x sin π 2x . 2
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求 f x 在区间 0，π 上的最大值和最小值． 2
16．（本题满分 13 分）
2 / 10
已知函数 f ( x) ( x 1)ex a x2 a 0,1 ． 2
③命题 “若 x 2 3x 2 0 ，则 x 2 ”的否命题为 “若 x 2 3x 2 0, 则 x 2 ，
其中正确的命题序号是（
）
A.①
B.①②
C.①②③
5. 已知函数 f ( x) cos4 x sin 4 x ，下列结论中错误．．的是
D.②③
A. f ( x) cos2x
B.函数 f ( x) 的图象关于直线 x 0 对称
C. f ( x) 的最小正周期为 π
D. f ( x) 的值域为 [ 2, 2]
6. “x 0 ”是“x+sin x 0 ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7. 如图，点 O 为坐标原点，点 A(1,1). 若函数 y a x （ a 0 ，且 a 1 ）
( Ⅰ ) 当 a 0 时，求 f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；
( Ⅱ ) 求函数 f (x) 的极值点．
17．（本题满分 14 分）
如图，在 ABC中，点 D 在 AC 边上，且 AD 3BD ， AB 7 ，
ADB
， C= .
3
6
（Ⅰ）求 BD 的值；
（Ⅱ）求 tan ABC 的值 .
15 ，则
4
a _____, S ABC _____.
11. 在极坐标系中， A 为曲线
2 上的点， B 为曲线 cos 4 上的点，则线段 AB 长度的
最小值是 ______．
12. 能够说明“设 x 是实数．若 x
13. 已知函数 f ( x) sin( x ) (
1 ，则 x 1 3 ”是假命题的一个实数 x 的值为 x1
x2 x
2
x3
．
3
( Ⅰ ) 设 h( x) f ( x) g (x) . 求函数 h( x) 的零点 .
( Ⅱ ) 若 k f ( x) g( x) 在 x ( ,1) 上恒成立，求证： k 1 ．
20（本小题满分 13 分）
3 / 10
给定正整数 n n 3 ，集合 U n 1,2, , n . 若存在集合 A, B, C ，同时满足下列三个条件：
①Un A B C, A B B C A C ; ②集合 A 中的元素都为奇数，集合 B 中的元素都为偶数，所有能被
3 整除的数都在集合 C 中
（集合 C 中还可以包含其它数） ； ③集合 A,B,C 中各元素之和分别为 SA, SB , SC ，有 SA SB SC ;
则称集合 U n 为可分集合 . （ I） 已知 U 8 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合
0 ) 若 f ( x) 的图象向左平移 π个单位所得的图象与 3
个单位所得的图象重合，则
的最小值为 ______.
． f ( x) 的图象向右平移 π
6
14. 对于数列 { an} ，若
m, n N *( m n) ，都有 am an mn
t （ t 为常数）成立，则称数列
（ i） 若数列 { an } 的通项公式为 an
及 y logb x （ b 0 ，且 b 1 ）的图象与线段 OA 分别交于点 M ， N ，
且 M ， N 恰好是线段 OA 的两个三等分点，则 a, b 满足
A. a b 1
B. b a 1
1 / 10
y
1
A
N
M O
1
x
C.b a 1
D.a b 1
8. 已知函数 f ( x)
1, x 1 x, 1 x 1，函数 g( x) ax2 x 1 . 若函数 y 1, x 1