第七章多元函数微分法及其应用习题课(一)

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多元函数微分法习题课

z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面平面
求上求一点 , 使该点处的法线垂直于并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线的最短距离。的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用
一、基本概念
1. 多元函数的定义、极限、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系连续性方向导数存在偏导数存在可微性

高等数学多元函数微分学习题集锦

+
f y ⋅ gz ⋅ hx g y ⋅ hz
⎞ ⎟⎟⎠ dx.
即
du dx
=
fx
−
fy ⋅ gx gy
+
f y ⋅ gz ⋅ hx . g y ⋅ hz
第七章、多元函数微分法习题课
解法3 隐函数求导法，
⎧u = f ( x, y),
⎪ ⎨
g
(
x,
y,
z)
=
0,
⎪⎩ h ( x , z ) = 0.
求 ∂z , ∂2z , ∂ 2z . ∂y ∂y2 ∂x∂y
解
∂z ∂y
=
x
3
⎛ ⎜⎝
f1′x +
f2′
1 x
⎞ ⎟⎠
f12′
xy y
x y
= x4 f1′+ x2 f2′,
x
∂2z ∂y 2
=
x4 ⋅
⎛ ⎜⎝
f1′1′x +
f1′2′
1 x
⎞ ⎟⎠
+
x2
⋅
⎛ ⎝⎜
f 2′′1 x
+
f2′′2
1 x
dx
dx
− xf ′d y + dz = f + xf ′ dx dx
F1′
+ F2′
d d
y x
+F3′
d d
z x
=
0
F2′
d d
y x
+
F3′
d d
z x
=
−
F1′
∴ dz = dx
−x f′ f +xf′
F2′

多元函数的微分法及其应用试题(1)讲解

C 、 df (x0 , y0 ) 0
D、
f x
( x0 ,
y0 )
f y
( x0 ,
y0 )
f 8. 若 Z=f(x,y)有连续的二阶偏导数，且 (x, y) K (常数) ，则 xy
f y(x, y) （）
k2
A、
2
B、Ky
9. 下列结论不正确的是（
C、）
ky (x)
A、函数 z 4x2 9 y2 在点(0 0)处有极小值
， z y
18、设 u xye yz ，其中 x sin t, y t3, z t ，则 du dt
四、证明题
第1页共9页
1.
若11 zx
f
1 y
1 x
,
证明：
x2
z x
y2
z y
z2 .
方程为
9. 设 z u ln v cost ，其中 u et , v cos t ，则 dz dt
10. 若 z ex cos y ，则 z x
, z y
11. 若 z arctan(x2 y2 ) ，则 z x
12. 若 z
1 x2
y2
，则
z x
2
2
z y
13. 若 z y sin x 则 2 z 在点 ( , 2) 处的值为 y xy
（）10. 若二元函数 zf(x y)的全微分 dz xdx ydy ，则 (0, 0) 不是 zf(x y)的连续点.
（）11. 二元函数的驻点一定是极值点.
（）12. 设 z x4 y4 ，则 dz (0,0) 0
4. 曲面 x2 2y2 3z2 21, z 0 上某点的切平面平行于已知平面 x 4y 6z 0

9、多元函数微分习题课(1)

2z 其中f 具有二阶连续偏导数， z = f (e x sin y , x 2 + y 2 ), 其中具有二阶连续偏导数，求 4、设、 xy z = e x sin yf1′ + 2 xf 2′ 解 x
2z ′′ ′′ ′′ = f11e 2 x sin y cos y + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 + 4 xyf 22 + f1′e x cos y xy
x0 y0 z0 . 6abc
u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件( 于是问题转化为求函数 u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件(1)下的最大值问题. 最大值问题. F(x,y,z)=xyz＋ x,y,z)=xyz 令 F(x,y,z)=xyz＋λ( a
x + b y + c z 1 )，解方程组
2、由方程 xyz + 、
x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z=z(x, y)
在点（在点（1,0,－1）处的全微分 dz = dx －） [利用全微分由方程得利用全微分] 利用全微分因此，在点因此，在点(1,0,-1)处处
2dy
1 x + y +z
2 2 2
yzdx + xzdy + xydz +
在曲面上，因 P0 在曲面上，即 a x 0 + b y 0 + c z 0 = 1 ，
(2)
a b c x+ y+ z =1 将它代入( 可化切平面方程为，将它代入(2)式，可化切平面方程为， x0 y0 z0

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。

解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。

多元函数微分法及其应用(习题课一)讲解

12、复合函数求导法则
定理如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
８、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
z Fy . y Fz
15、多元函数的极值
定义设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y) ：若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极大值；若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0

多元函数微分法及其应用习题

多元函数微分法及其应用习题一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限运算多元连续函数的性质多元函数连续的概念全微分概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则高阶偏导数偏导数概念全微分形式的不变性隐函数求导法则多元函数的极值微分法在几何上的应用1、区域（1）邻域（2）区域连通的开集称为区域或开区域．（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．3、多元函数的极限（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限说明：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算5、多元函数的连续性6、多元连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．7、偏导数概念８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.９、全微分概念函数连续函数可导函数可微偏导数连续多元函数连续、可导、可微的关系10、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.以上公式中的导数称为全导数.11、复合函数求导法则无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.12、全微分形式不变性13、隐函数的求导法则隐函数的求导公式14、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面切线方程为法平面方程为(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为15、方向导数记为三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度与方向导数的关系16、多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.驻点极值点注意条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、典型例题例1解例2解例3解于是可得,例4解例5解例6解分析:得测验题测验题答案设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.设为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数，记为（或记为）.当时，元函数统称为多元函数.定义设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称为函数当，时的极限，记为（或这里）.定义设元函数的定义域为点集是其聚点且，如果则称元函数在点处连续.设是函数的定义域的聚点，如果在点处不连续，则称是函数的间断点.定义设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为同理可定义函数在点处对的偏导数，为记为，，或.，，或.如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作，，或.同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.函数的二阶偏导数为如果函数在点的全增量可以表示为，其中A,B不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即=.定理如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：．如果及都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算..隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有.隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有，.隐函数存在定理3设、在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）在点不等于零，则方程组、在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，，它们满足条件,，并有定理如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有，其中为轴到方向L的转角．（其中）定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为.设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时有极值，当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值.又,，令第二步对于每一个驻点，求函数极值的一般步骤：第三步定出的符号，再判定是否是极值. 求出实数解，得驻点.第一步解方程组求出二阶偏导数的值.拉格朗日乘数法要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数，其中为某一常数，可由解出，其中就是可能的极值点的坐标. 选择题:二元函数的定义（A）；（B）；（C）；（D）.2、设,则().（A）；（B）；（C）；（D）.3、().(A)0；(B)1；(C)2；(D).4、函数在点处连续,且两个偏导数存在是在该点可微的().（A）充分条件,但不是必要条件；（B）必要条件,但不是充分条件；（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件,也不是必要条件.5、设则在原点处().(A)偏导数不存在；(B)不可微；(C)偏导数存在且连续；(D)可微.6、设其中具有二阶连续偏导数.则().(A)；(B)；(C)；(D).7、曲面的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=(). (A)；(B)；(C)；(D).8、二元函数的极值点是().(A)(1,2)；(B)(1.-2)；(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).9、函数满足的条件极值是().(A)1；(B)0；(C)；(D).10、设函数在点的某邻域内可微分,则在点处有().二、讨论函数的连续性，并指出间断点类型.三、求下列函数的一阶偏导数:1、；2、；3、.四、设,而是由方程所确的函数,求.五、设,其中具有连续的二阶偏导数,求.设,试求和.设轴正向到方向的转角为求函数在点(1,1)沿方向的方向导数,并分别确定转角使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零.求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.九、在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积.一、1、A；2、B；3、B；4、B；5、D；6、C；7、A；8、A；9、D；10、B.二、(1)当时,在点函数连续；(2)当时,而不是原点时,则为可去间断点,为无穷间断点.三、1、,；2、.3、.四、.五、.六、七、八、九、切点.。

多元函数微分法及其应用(全例题)

162 多元函数微分法及其应用（全例题）一、内容提要多元函数微分法是一元函数微分法的推广,有许多相似之处,学习时应注意对比,搞清异同. 1．基本概念与定理设函数)(P f U =，点P 可以是n ,,3,2,1 维的.当2≥n 时,称此函数为多元函数. ① 二元函数),(y x f z =在几何上表示空间一张曲面.② 二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的极限、连续、偏导数、全微分的定义及关系. 极限 A y x f yy x x =→→),(l i m 0：当,0,0>∃>∀δε 成立时，有 |),(| )()(02020εδρ<-<-+-=<A y x f y y x x注意定义中的),(y x 是以任意方式趋于点),(00y x .连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→偏导数);(,),(),(lim),(000000000y y xy x f y x x f y x f xzx x P =∆-∆+==∂∂→∆固定)(,),(),(lim),(000000000x x yy x f y y x f y x f yzy y P =∆-∆+==∂∂→∆固定高阶偏导数一阶偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数,称为函数),(y x f 的二阶偏导数.⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂x z x y x f x zxx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂x z y y x f y x z xy),(2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂y z y y x f y zyy ),(22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂y z x y x f x y z yx ),(2. 类似,可定义三阶以上的偏导数.可微若全增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，则称),(y x f z =在点),(000y x P 可微.而y B x A ∆+∆为函数),(y x f z =在点),(000y x P 的全微分,记作y B x A z d y x∆+∆=),(00定理1 若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数),(y x f xy 及),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内),(y x f xy ),(y x f yx =.定理2 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微, 则必在该点连续.定理3 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微,则该函数在点),(y x 的两个一阶偏导数存在.定理4 若函数),(y x f z =在点),(y x 有一阶连续偏导数,则函数在该点可微. 且dy y x f dx y x f dz y x ),(+),(=2．多元函数的求导运算多元复合函数求导① ).,(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===若则偏导数为:;xvv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂163② ).(),(),,(t y t x y x f z ψϕ===若则全导数为:.dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= ③ ).,(),,(),,,,(y x v y x u v u y x f z ψϕ===若则偏导数为 x v v f x u u f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂; .yvv f y u u f y f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 注意,x f x z ∂∂∂∂与yfy z ∂∂∂∂与的区别. )],(),,(,,[ y x y x y x f z x zψϕ=∂∂是在复合函数中视 y 为常量，对x 求导. ),,,( v u y x f z x f=∂∂是在四元函数中视y,u,v 为常量，对x 求导. )],(),,(,,[ y x y x y x f z y zψϕ=∂∂是在复合函数中视 x 为常量，对y 求导. ),,,( v u y x f z yf=∂∂是在四元函数中视x,u,v 为常量，对y 求导. 隐函数求导① ),(0),,(y x z z z y x F ==确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件,则;z x F F x z -=∂∂ .zy F F y z-=∂∂ ② ),(),( 0),,(0),,(x y y x z z z y x G z y x F ==⎩⎨⎧==确定的隐函数由方程组则方程两边分别对x 求导,得到关于dxdzdx dy ,的方程组,解出即可. 3．应用 (1) 几何应用①空间曲线处的点在对应),,( )()()(:0000z y x M t t z t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧===Γωψϕ的切线与法平面方程. 切向量为 )}(),(),({000t t t ωψϕ'''= 切线方程)(00t x x ϕ'-)(00t y y ψ'-=)(00t z z ω'-= 法平面方程 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ ②空间曲面处上点),,(0),,(:000z y x M z y x F =∑的切平面与法线方程. 法向量为 ),,({000z y x F x =),,(,000z y x F y )},,(,000z y x F z切平面方程 0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程),,(0000z y x F x x x -),,(0000z y x F y y y -=),,(0000z y x F z z z -=对于曲面0),(),,( ),,(=-==z y x f z y x F y x f z 可表示为. (2) 函数极值定理6 (必要条件) 设函数),(),(00y x M y x f z 在点=有偏导数并取得极值，则164 ,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y定理7（充分条件）设函数),(),(00y x M y x f z 在点=某邻域内连续并有一阶及二阶连续偏导数，且,0),(00=y x f x .0),(,00=y x f y 记,),(00A y x f xx =,),(00B y x f xy =,),(00C y x f yy = 则当02>-B AC 时，有极值，且⎩⎨⎧><有极小值有极大值,0,0A A ；当02<-B AC 时，无极值；当02=-B AC 时，情况不定. 多元函数的条件极值求函数),,(z y x f u =在满足条件:0),,(,0),,(==z y x z y x ψϕ下的条件极值. 构造拉格朗日函数),,(),,(),,(),,(z y x z y x z y x f z y x F μψλϕ++= 解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====0),,(0),,(0),,(0),,(0),,(z y x z y x z y x F z y x F z y x F z y x ψϕ 得可能极值点(x,y,z ).再进一步讨论极值点的充分性.许多情况下可借助于问题的实际意义来判定.二、例题解析1. 多元函数的基本概念例8.1求下列各函数的定义域（1） z=y x -; （2） z=ln )(x y -+221yx x --;（3） 22arccosyx z u +=分析二元函数的定义域一般是平面区域，三元函数的定义域一般是空间区域.这些点集可用使函数有定义的自变量所应满足的不等式或不等式组表示.解 (1) 0≥y 且 0≥-y x ,即 y x ≥，得 D=(){}y x y y x ≥≥,0|,（2）⎪⎩⎪⎨⎧>--≥>-010,022y x x x y得 {}1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D .（3） 022≠+y x 且22yx z +1≤得 {}0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D例8.2 设⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -,求),(y x f .解（方法一）令,u y x =+xy =v ,则有 x =v u +1,v uv y +=1165由原式 f⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x ,=22y x - 知 ()v u f ,=21⎪⎭⎫ ⎝⎛+v u 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-v uv =v v u +-1)1(2 故 ),(y x f =yy x +-1)1(2 (y 1-≠)（方法二）因⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -=))((y x y x -+=yx yx y x +-+.)(2=()x y x y y x +-+112故 ),(y x f =yyx +-⋅112. (1-≠y ) 例8.3 求下列各极限:（1） 10lim→→y x 221y x xy +- ；（2） xyxy y x 42lim0+-→→ ；（3） yxy y x sin lim 02→→ ；（4） 22)()cos(1lim 222200y x y x ey x y x ++-→→.分析求多元函数的极限可利用多元函数的连续性及一元函数求极限的一些方法.解（1）用函数的连续性.10lim →→y x 221y x xy +-=1001+-=1 . （2）用一元函数求极限的方法(分子有理化).xyxy y x 42lim+-→→=)42()4(4lim0+++-→→xy xy xy y x =421lim0++-→→xy y x =41-. (3) 用一元函数的重要极限.yxy y x sin lim 02→→=221sin lim 02=⋅=⋅→→x xy xyy x .(4)()()=++-→→22222200cos 1limyxy x e y xy x 22422sin2lim 2222222200y x y x e y x y x y x +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→.0021=⋅= 例8.4 证明极限 ()222220limy x y x y x y x -+→→不存在.分析因为二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 00存在，是指),(y x P 以任意方式趋于),(000y x P 时，函数都无限接近某常数A .所以，证明极限不存在，只要P 以某一特殊方式趋于0P 时，函数不趋于某一确定值;或以两种不同方式趋于0P 时，函数趋于不同的值，便可断定函数的极限不存在.证（方法一）若点),(y x P 沿直线x y =趋于()0,0，则()1limlim440222220==-+→=→xx y x y x y x x xy x ；若点),(y x P 沿直线x y 2=趋于)0,0(，则.044lim)(lim24402222220=+=-+→=→xx x y x y x y x x xy x 所以极限不存在.166 （方法二）若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则22424222220)1(lim)(lim2x k x k x k y x y x y x x kxy x -+=-+→=→22220)1(lim2k x k x k x -+=→⎩⎨⎧≠==1,01,1k k 所以极限不存在. 例8.5 设=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0,00,222222y x y x y x xy证明),(y x f 在)0,0( 处不连续，但两个一阶偏导数存在.证 0)0,0(=f ，当()y x ,沿直线kx y =趋于)0,0(时2222201lim),(lim kk xk x kx y x f x kxy x +=+=→=→当k 取不同值时，极限值不同.故),(lim 00y x f y x →→不存在.所以),(y x f 在)0,0(处不连续.但根据偏导数的定义知000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x ；000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f y y y . 所以),(y x f 在)0,0(处两个一阶偏导数存在.本例说明，对于多元函数，偏导数存在未必连续.例8.6 证明：函数22y x z +=在)0,0(处连续，但两个一阶偏导数不存在.证因)0,0(在),(y x f 的定义域内，所以),(y x f 在)0,0(处连续. 又因||)0,(2x x x f ==在0=x 处不可导，所以)0,0('x f 不存在；同样||),0(2y y y f ==在0=y 处不可导，所以)0,0('y f 不存在.例8.7 设||),(xy y x f z ==,证明),(y x f 在)0,0(处一阶偏导数存在，但不可微. 分析要证函数),(y x f 在)0,0(处是否可微,只须检验极限:[]ρρyf x f z y x ∆+∆-∆→)0,0()0,0(lim''0是否为0，其中22)()(y x ∆+∆=ρ. 若极限为0,则函数),(y x f 在)0,0(处可微,否则不可微.证因,0),0(,0)0,(==y f x f 由定义知0)0,0(,0)0,0(''==y x f f 但 ()()[]()()2222''||||0,00,0y x y x yx y x yf x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=∆+∆-∆ρ当())0,0(,→∆∆y x 时，上式极限不存在.(取路径x k y ∆=∆) 因此，),(y x f 在)0,0(处不可微. 2. 多元函数微分法例8.8 求下列函数的偏导数（1）()y xy z +=1;（2） zy x u =;（3） z y x u )arctan(-=.分析多元函数对其中一个变量求偏导时，只需将其余变量视为常量，利用一元函数的求导公式或求导法则求导即可.解（1） .)1(.)1(121--+=+=∂∂y y xy y y xy y xz()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∂=∂∂++xy x y xy e e y y z xy y xy y 1.)1ln(1ln 1ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln()1(167（2） ,1-=∂∂z y x z y x u ,ln 11ln x x zz x x y u z yz y =⋅⋅=∂∂ .ln ln 22x x z y z y x x z u z yz y -=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=∂∂(3) ()()z z y x y x z x u 211-+-=∂∂-; ()()zz y x y x z y u 211-+--=∂∂-; ()()()z zy x y x y x z u 21ln -+--=∂∂. 例8.9 设,arcsin)1(),(yxy x y x f -+=求).1,(x f x 分析本题是求函数),(y x f 在点)1,(x 处关于x 的偏导数，由定义知,固定,1=y x x f =)1,(,再对x 求导即可.解因x x f =)1,(，所以 .1)1,(=x f x例8.10 (1)设xy z =，求 22x z ∂∂；22yz∂∂；y x z∂∂∂2.(2)设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数,求y x z ∂∂∂2.(98年考研题)解 (1),ln y y xzx =∂∂ .1-⋅=∂∂x y x y z y y x z x x z x 222ln ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂, ()2221--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x y x x y z y y z ； ().1ln 1ln 112+=⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂--y x y y y y xy x z y y x z x x x (2) x z ∂∂),()()(12y x y xy f x y xy f x+'+'+-=ϕ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂x z y y x z 2 )()()()(1)(2y x y y x xy f x x y xy f x xy f xx +''++'+''+'+'-=ϕϕ).()()(y x y y x xy f y +''++'+''=ϕϕ例8.11 求下列函数的全微分: （1） ;22y x y z +=（2） yz x u =.解 (1) 因为()();22123222322yxxyyxxy x z +-=+⋅⋅-=∂∂168 ().2223222222222yxx y x y x y y y x yz+=++⋅-+=∂∂所以 ()()2322y x xdy ydx x dy y zdx x z dz ++-=∂∂+∂∂=. )2(因为 1-⋅=∂∂yz x yz x u ；z x x yu yz ⋅⋅=∂∂ln ；y x x z uyz ⋅⋅=∂∂ln 所以 dz zu dy yu dx xu du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln 1xdz x y xdy x z dx x yz yz yz yz ⋅+⋅+⋅=-3 多元复合函数求导例8.12 求下列函数的偏导数或全导数.(1) ,ln 2v u z = ,yxu = ,23y x v -= 求 x z ∂∂；.y z ∂∂ (2) ),arcsin(y x z -= ,3t x = ,43t y =求 .dt dz分析多元复合函数求导时，先画出复合线路图，再按图写出求导公式.这种方法对复杂的复合情形尤为有利.解（1）x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u)23ln(22y x y x -=)2(ln 222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂v u y x v u y vv z y u u z y z 3ln(232x y x --= ()2dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--=.)43(1)41(3232t t t ---=例8.13 设f 具有一阶连续偏导，),,(22xy e y x f u -=求xu∂∂；.y u ∂∂ 说明抽象函数求偏导时一定要设中间变量.解令.,22xy e t y x s =-=则),(t s f u =y e tf x s fx t t f x s s f x u xy ⋅⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2 .2'2'1f ye xf xy += x e tf y s f y t t f y s s f y u xy ⋅⋅∂∂+-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2( .2'2'1f xe yf xy +-= 例8.14 设f 具有二阶连续偏导数，,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x xy f z 求.,,22222y z y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂分析求多元函数的高阶偏导数，关键在于牢记多元复合函数的各阶偏导数仍是与原来函数同类型的函数，即以原中间变量为中间变量，原自变量为自变量的多元复合函数.高阶偏导数可采用简便记法，如'2'1,f f 分别表示f 对第一、第二中间变量的偏导数，"12f 表示f 先对第一、再对第二中间变量的二阶混合偏导数.当高阶偏导数连续时，应将混合偏导数并项.解令 ,,yxv xy u ==则).,(v u f z =.1'2'1yf y f x v v f x u u f x z ⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂169.2'2'1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂y x f x f yv v f y u u f y z x f y x f y f y f y x x z∂∂⋅+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂'2'1'2'12211 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=x v v f x u u f y x v v f x u u f y '2'2'1'11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅=y f y f y y f y f y 111"22"21"12"11 .12"222"12"112f y f f y ++= y f y f y y f y f f y f y y y x z ∂∂+-∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂'2'22'1'1'2'12111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+=y v v f y u u f y f y y v v f y u u f y f '2'2'22'1'1'111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅⋅+=2"22"21'222"12"11'111y x f x f y f y y x f x f y f .1"223"11'22'1f y x xyf f y f -+-= y f y x f y x y f x f y x f x y y z∂∂⋅-⋅+∂∂⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂'22'23'1'22'1222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=y v v f y u u f y x f y x y v v f y u u f x '2'22'23'1'12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅="222"212'23"122"112f y x x f y x f y x f y x x f x .22'23"2242"1222"112f y x f y x f y x f x ⋅+⋅+⋅-⋅= 常见错解 ,01'2'122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂f y f y x x z.11'22'1'2'12f y f f y f y y y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂ .2'23'22'122f y x f y x f x y y z ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂ 错误的原因是把'2'1,f f 误认为常量. 例8.15 设,),,,(yxe u y x u f z ==其中f具有二阶连续偏导，求.2yx z∂∂∂ 分析对抽象的多元复合函数求二阶偏导,首先要搞清楚函数的结构.解 '2'1f e f xf x u u f x z y +⋅=∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)('2'12f e f yy x z y +⋅∂∂=∂∂∂y f y f e f e y y ∂∂+∂∂⋅+⋅='2'1'1)()("23"21"13"11'1f xe f f xe f e f e y y y y +⋅++⋅⋅+⋅=."23"21"13"112'1f f xe f e f xe f e y y y y +⋅+⋅+⋅+⋅=4 隐函数求导对隐函数求导时，首先要根据题目中要求对哪些变量求导，确定哪些是自变量,哪些变量函数.例8.16 设),cos(2yz x x +=求.zy∂∂分析由题目要求知，方程确定隐函数),(z x y y =，即y 是z x ,的函数. 解（方法一）(两边求导法) 方程两边对z 求偏导，得170 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⋅+-=z y z y yz x )sin(02 所以 .zy z y -=∂∂ （方法二）(公式法) 设F 0)cos(),,(2=-+=x yz x z y x . .)sin( ,)sin(22y yz x F z yz x F z y ⋅+-=⋅+-= 所以.zyF F z y y z -=-=∂∂ 例8.17 设,ln y z z x =求.,yzx z ∂∂∂∂ 解（方法一）设.ln ),,(yzz x z y x F -=则 ,1 ,12yy z z y F z F y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-== .122z z x z z x F z +-=--=所以 .12z x z zz x z F F x z zx +=+--=-=∂∂ .)(122z x y z z z x y F F y z z y +=+--=-=∂∂ （方法二）等式两边对x 求偏导，得,2y x zz y z x z x z ∂∂⋅=∂∂⋅- 得 ,z x z x z +=∂∂等式两边对y 求偏导，得,22yzy yzz y y z z x -⋅∂∂⋅=∂∂⋅-得.)(2z x y z y z +=∂∂ （方法三）原方程化为)ln (y nz z x -=，令 )ln (ln ),,(y z z x z y x F --=. 则.11ln 111ln 1z x zz x y z y z F F x zzx +=+=+=---=-=∂∂ .)(ln11ln 2z x y z y z y zy z y z F F y z z y +=+=---=-=∂∂注用隐函数求导公式求x F 时，要视z y ,为常数，同样求z y F F ,时,要分别把z x ,及y x ,看成常数.而在等式两边对x 或y 求偏导时(方法二)，应视z 为y x ,的函数，不能把z 看成常数.例8.18 设333a xyz z =-，求yx z ∂∂∂2.分析求隐函数的高阶偏数，一般都用隐函数求导公式求一阶偏导数，再用复合函数求导法求二阶及二阶以上的偏导数.解设(),3,,33a xyz z z y x F --=则有 ,3yz F x -= xz F y 3-=， xy z F z 332-=.xy z yz xy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333 .2xy z xzF F y z zy -=-=∂∂171()22222)(2xy z x y z z yz xy z y z y z xy z yz y y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂ ()22222)(2xy z x xy z xz z yz xy z xy z xz y z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+= 322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 例8.19 设),(),,(),,(y x z z z x y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，证明：.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 证因,x y F F y x -=∂∂ ,y z F F z y -=∂∂ .z x F F x z -=∂∂所以 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F x z z y y x 注偏导数yxz y x z ∂∂∂∂∂∂,,均是一个整体记号，不能看作分子与分母之商.例8.20 设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足方程.c yzb x z a=∂∂+∂∂ 分析将Φ看成以z y x ,,为自变量的复合函数，中间变量为,,bz cy v az cx u -=-=由复合函数求导法则求出;,,z y x ΦΦΦ再由隐函数求导公式求出.,yzx z ∂∂∂∂解 . , ,0),(bz cy v az cx u v u -=-==Φ;;'2'1Φ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=ΦΦ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=Φc y v v c xu u y x'2'1Φ-Φ-=∂∂⋅∂Φ∂+∂∂⋅∂Φ∂=Φb a zv v z u u z'2'1'1'2'1'1Φ+ΦΦ=Φ-Φ-Φ-=ΦΦ-=∂∂b a c b a c x zz x .'2'1'2Φ+ΦΦ=ΦΦ-=∂∂b a c y zz y 所以 .'2'1'2'1c b a bc ac y z b x z a =Φ+ΦΦ+Φ=∂∂+∂∂ 例8.21 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.(1) 设⎪⎩⎪⎨⎧=+++=203222222z y x yx z 求 .,dx dz dx dy(2) 设⎩⎨⎧=+=0),,()(z y x F y x xf z ,其中F f ,分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 .dx dz（3）设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u 其中g f ,具有一阶连续偏导数，172 求.,xv x u ∂∂∂∂ 分析由三个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个一元函数,即其中两个变量是第三个变量的一元函数,如(1)、（2）, dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组完成. 由四个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个二元函数,即其中两个变量确定为另两个变量的二元函数,如(3), x v x u ∂∂∂∂,可通过解关于xvx u ∂∂∂∂,的线性方程组完成. 解（1）此方程组可确定两个一元隐函数),(x y y =)(x z z =.方程两边对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅+⋅+=064222dx dz z dx dy y x dxdy y x dx dz 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-x dx dz z dx dy y x dx dzdx dy y 3222 在0263212≠+=-=y yz zy y J 条件下，有()();132162663121++-=+--=---=z y z x y yz x xz z x x J dx dy .132622221+=+=--=z xy yz xy x y x y J dx dz （2）方程两边对x 求导,z y ,为x 的一元函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'++=0)1(dx dz F dx dy F F f dxdy x f dx dzz y x 整理得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+'+=+'-x z y F dxdzF dxdy F f x f dxdzf dx dy x解得 )0(,)(≠'+'+'-'+=z y z y x y F f x F Ff x F Ff x F f x f dx dz （3）此方程组确定两个二元函数：),,(y x u u = ).,(y x v v = 方程两边对x 求偏导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂∂⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=∂∂.21'2'1'2'1x v vy g x u g x v x v f x u x u f x u 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-+∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂-'1'2'1'1'2'1)12()1(g x v vyg x u g uf xv f x u xf 在 0)12)(1(121'1'2'2'1'2'1'2'1≠⋅---=--=g f yvg xf yvg g f xf J 条件下， ;)12)(1()12(121'1'2'2'1'1'2'2'1'2'1'2'1g f yvg xf g f yvg uf yvg g f uf J x u ⋅---⋅---=--=∂∂ ()()()'1'2'2'1'1'1'1'1'1'1'1121111g f yvg xf uf xf g g g uf xf J x v ⋅----+=--=∂∂ 5 微分法的应用例8.22 求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在点⎪⎭⎫⎝⎛-22,1,12π处的切线及法平面方程.173解该点对应参数,20π=t切向量为 {}{}2,1,1)(),(),(0'0'0'==→t z t y t x T 所求切线方程为 22211112-=-=+-z y x π法平面方程为 0)22(2)1(12=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-z y x π即 .422+=++πz y x 例8.23 求曲线32,,t z t y t x ===上的点，使在该点的切线平行于平面 .42=++z y x解曲线的切向量为 {},3,2,12t t T =→平面42=++z y x 的法向量为 {}.1,2,1=→n 由题意知→→⊥n T ,即.0=⋅→→n T 亦即,03412=++t t 得 ,31,121-=-=t t 则所求点坐标为 )1,1,1(--和.271,91,31⎪⎭⎫⎝⎛--例8.24(1)求曲面2132222=++z y x 在点)2,2,1(-的法线方程；（2）求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.（1）解设,02132),,(222=-++=z y x z y x F 则,2)2,2,1(=-x F ,8)2,2,1(-=-y F ,12)2,2,1(=-z F 故所求的法线方程为624211-=-+=-z y x （2）分析根据已知条件，先求出切点坐标.解设,012),,(222=-++=z y x z y x F 法向量为 {}z y x n 2,4,2=→已知平面的法向量为{},2,1,11-=→n 由已知条件知 221412zy x =-= 即z y z x 41,21-==，将其代入椭球面方程.01422222=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z 得,1122±=z 于是切点为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1122,11221,1121M ，，，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1122112211122M 切平面方程为 02112=-+-z y x 和.02112=++-z y x 例8.25 在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出这法线的方程.解令().0,,=-=z xy z y x F 法向量为{}.1,,-=→x y n 已知平面法向量为{},1,3,11=→n 由题意知，→n ∥→1n ，即 1131-==x y .3,1,3=-=-=∴z y x 即所求点为)3,1,3(--，法线方程为 .133113-=+=+z y x 例8.26 试证曲面 a z y x =++ (0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证 ,0),,(=-++=a z y x z y x F 则法向量为 .21,21,21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→z y x n曲面上任一点),,(000z y x M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x174 即a z y x z z y y x x =++=++0000,化为截距式得，10=++az z ay y ax x所以，截距之和为.000a a a az ay ax =⋅=++例8.27求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点()2,1,5到点)14,4,9(的方向的方向导数. 解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l .131691234||222==++=→l1312cos ,133cos ,134cos ===γβα1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以. ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 例8.29 求函数())4)(6(,22y y x x y x f --=的极值.解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=0)24)(6(0)4)(26(2'2'y x x f y y x f yx ，得驻点(0,0),(6,0),(0,4),(6,4),(3,2). 又 )24)(26(),4(2""y x f B y y f A xy xx --==--==，),6(2"x x f C yy --==列表常见错解求得驻点()()()()().2,3,4,6,4,0,0,6,0,0后直接断定在这些点处取得极值.实际上,驻点未必是极值点.例8.30 在xoy 面上求一点，使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.分析本题是无条件极值问题.解设所求点的坐标为),(y x ，则此点到0,0==y x 及0162=-+y x 的距离分别为 |||,|y x 及,21|162|2+-+y x而距离平方和为 5)162(222-+++=y x y x z由 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂01625420162522y x y yz y x x x z ，即⎩⎨⎧=-+=-+03292083y x y x 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51658y x ，得唯一驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛516,58，由由题意知，到三直线距离平方和最小的点一定存在，故⎪⎭⎫⎝⎛516,58即是.例8.31 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.分析本题是条件极值问题.175解设椭圆上点的坐标为),,(z y x ，则原点到椭圆上这一点的距离平方为 ,2222z y x d ++=其中z y x ,,要同时满足.1,22=+++=z y x y x z 令拉格朗日函数： )1()(),,(2221222-+++--+++=z y x y x z z y x z y x F λλ由方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++==+-==+-=10202202222212121z y x zy x z F y y F x x F z y x λλλλλλ 解得 32,231 =±-==z y x由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，而恰好找到两个可能极值点，所以距离最大值和最小值在这两点处取得.因 .359)32(2312222222 =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛±-⋅=++=z y x d 所以 3591+=d 为最长距离，3592-=d 为最短距离.6 综合题例8.32 求 2222lim y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→解因为x xy y x ,222≥+>0，y >0.所以 0<,2122≤+y x xy 0<22222122y x y x y x xy ⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+又因 02122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→y x y x lim ，所以 2222y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→lim 0=.例8.33 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，求).,(),,(y x f y x f y x解当022≠+y x 时，()22222222222222223222222)()()(2)(,)(2)(2)(2),(y x y x x y x yy x y x x y x f y x xy y x xy x y x xy y x f y x +-=+⋅-+=+=+⋅-+=当022=+y x 时，0lim )0,0(),0(lim )0,0(00lim )0,0()0,(lim)0,0(0000=∆-=∆-∆==∆-=∆-∆=→∆→∆→∆→∆y y f y f f x xf x f f y y y x x x则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(2),(22222223y x y x y x xy y x f x176 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,00,)()(),(2222222222y x y x y x y x x y x f y例8.34 函数,)0,(,1)0,(,2),,('22x x f x f yf y x f z y ===∂∂=求).,(y x f解 ,222=∂∂y f两边对y 积分得+=∂∂y yf2).(x ϕ 由条件x x f y =)0,('得.)(x x =ϕ即 x y y x f y +=2),(' 两边再对y 积分，得 )(),(2x xy y y x f ψ++=. 由条件1)0,(=x f 知,1)(=x ψ所以.1),(2++=xy x y x f例8.35 设,⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x y g x y x f y u 其中g f ,均有二阶连续导数，求 .222y x u y x u x ∂∂∂+∂∂ 分析 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x f 可视为由y xt t f =),(复合而成的复合函数， f 对t 的一阶、二阶导数可分别简记为.,"'f f 即 .1'''y f x t f f x ⋅=∂∂⋅=对⎪⎭⎫⎝⎛x y g 也类似. 解x g x g x f y x u ∂∂⋅++∂∂⋅=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅++⋅⋅=2''1x y g x g y f y .''g x y g f ⋅-+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+∂∂=∂∂''22g x y g f x x u⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅''⋅-'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅'+⋅''=2221x y g x y g x y x y g y f g x y f y''⋅+''⋅=321 x g x g x y g x y x f y x u 111'"'2"2⋅-⋅⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂∂"2"2g x y f y x ⋅-⋅-= 所以 .01"2"2"32"222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=∂∂∂+∂∂g x yf y x yg x y f y x y x uy x ux 例8.36 设z 是由方程ze z y x =-+所确定的y x ,的函数，求.2yx z∂∂∂ 解令z z y x z e F F F e z y x z y x F --===--+=1,1,1,),,(.)1()1(11.11,1111322z zz z z zz y zz z x e e e y z e e y y x z e F F y z e e F F x z +-=+∂∂⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂+=-=∂∂+=---=-=∂∂ 例8.37 设),(y x z z =由方程0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x z y y zx F 所确定，且()v F u,具有连续偏导数，则.yzy x z x xy z ∂∂⋅+∂∂⋅+=177证明 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=2'2'1x z F F F x ='1F -'22F xz⋅； .1111;'2'1'2'1'12'2'22'1F xF y x F y F F F y z F F y z F F z y ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅= .11,11'2'1'22'1'2'1'12'2'2'1'1'2'2'1'22'1yxyF xF F y zF F xF y F y z F F F y z yF xF xyF F x yz F xF y F x z F F F x z z y z x ⋅+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂ 所以 ''''''''2122121122yF xF F xy xzF yF xF yF x yzF xy y zy x z x xy +-++-+=∂∂+∂∂+()().'2'1'2'1'2'1z xy z xy yF xF yF xF xy yF xF z xy =-+=++-++=例8.38 设函数),(u f z =方程dt t p u u x y⎰+=)()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ连续且可微，1)('≠u ϕ求.)()(yz x p x z y p ∂∂+∂∂ 解 yuu f y z x u u f x z u f z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂=)( ,)(),(''，方程两边对x 求偏导，得)()('x p x u u x u +∂∂=∂∂ϕ，即 .)(1)('u x p x u ϕ-=∂∂ 所以.)()()(''u x p u f x z ϕ-⋅=∂∂1 方程两边对y 求偏导，得)()('y p y u u y u -∂∂⋅=∂∂ϕ，即 .)(1)('u y p y u ϕ--=∂∂ 所以).()()(''u f u y p y z ⋅--=∂∂ϕ1 故 y z x p x z y p ∂∂+∂∂)()(.0)()(1)()()()(1)()(''''=⋅--⋅+⋅-⋅=u f u y p x p u f u x p y p ϕϕ 例8.39求抛物面22y x z +=的一个切平面，使切平面与直线⎩⎨⎧=+=+2212z y z x 垂直.解已知直线方向向量 {}.1,2,2210201--==→→→→kj ia 抛物面在点()z y x ,,处切平面的法向量为: {}1,2,2-=→y x n .由题意知，→a ∥.→n 即 112222-=-=-y x 得211===z y x ,, 切点为 ).2,1,1( 所求切平面方程为 ,0)2()1(2)1(2=-+----z y x即 .0222=++--z y x例8.40 求球面6222=++z y x 与抛物面22y x z +=的交线在点()2,1,1处的切线方程.178 分析本题主要是求切向量.因方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==++222226y x z z y x 确定了交线⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z x y x x ψϕ .所以可用方程两边对x 求导的方法，解含有dxdzdx dy ,的方程组.从而得切向量 ()(){}.,,10'0'x x T ψϕ=→解在方程22222,6y x z z y x +==++两边分别对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==++dx dy y x dx dz dx dz z dx dy y x 220222 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+xdxdz dx dy y x dx dz z dx dy y 22 解得 ,0 ,22=--+=dx dz yz y xz x dx dy所以 ()().0 ,12,1,12,1,1=-=dxdzdx dy 切向量{}0,1,1-=→T ，所求切线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=---=-021111z y x , 即⎩⎨⎧==-+202z y x .三、自测试题(时间:120分钟,满分:100分)(一) 填空题(每小题3分,共15分) 1. 函数)1ln()arccos(22y x y x z --++= 的定义域是 .2. 设y xu arctan =, 则=du .3. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==4422y x z y 在点M )5,4,2(处的切线方程是 .4. =++→→2201)ln(lim y x e x y y x .5. 函数22324y xy x x z -+-=的驻点为；极值点为 . (二) 选择题(每小题3分,共15分)1.函数),(y x f 在点),(00y x 处可微,是),(y x f 在),(00y x 可导的() ()A 充要条件；()B 充分条件；()C 必要条件；()D 以上都不对.2. 函数22y xy x z +-=在点()1,1处沿⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→41,41l 的方向导数().()A 最大；()B 最小；()C 1； ()D 0.3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(,2222y x y x yx y x y x f 则()=0,0'y f()A 0 ；()B 1 ；()C 2；()D .1-4. 椭球面163222=++z y x 上点()3,2,1--处的切平面与平面1=z 的夹角为( ).()A 4π；()B 167arccos ;()C 227arccos ;()D 223arccos .1795. 设,23z xy u -=点M )1,2,1(-，则). (=M gradu()A {}2,4,2；()B {}3,4,2--；()C 62；()D 63.(三) 计算下列各题(每小题12分,共48分)1 设z y x u =，求.,,z uy u x u ∂∂∂∂∂∂2. 设)sin()arctan(z x e y x u xy z +⋅+-=求.du3.设方程1=++zx yz xy 确定隐函数),(y x z z =,求.22y z ∂∂4.设),(22xye y xf z -=，求.22xz ∂∂ (f 具有二阶连续偏导).(四) 求曲面3=+-xy z e z 在点()0,1,2处的切平面与法线方程.(10分)(五) 设一矩形的周长为2.现让它绕其一边旋转,求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体体积.(12分)参考答案(一) }111|),.{(122<+≤+≤-y x y x y x 且;).0,0();2,2(),0,0.(5 ;2ln .4 ;403.3 ;.222⎩⎨⎧==+-+-y z x y x xdyydx (二) ..5 ;.4 ;.3 ;.2 ;.1B D A A B(三) ;.11-=∂∂z y z x y x u ;ln 1x z x y y uz y z -=∂∂.ln ln y x x y z u z y z =∂∂ dx z x e z x y e y x y x z du xyxy zz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++-+-=-）（cos )sin()(1)(.221 dy z x x e y x y x z xy z z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+-)sin()(1)(21 .)cos()(1)ln()(2dz z x e y x y x y x xyzz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+ .)()(2.3222y x z x yz ++=∂∂.442.422221211222122f e y f xye f x f e y f xz xy xy xy ''+''+''+'+'=∂∂ (四) 切平面方程为:.04-2=+y x 法线方程为: ⎩⎨⎧==--0032z y x(五) 矩形面积为:;92=s 最大体积为:.274π=V。

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

大学高等数学各章节练习题

第一章极限与连续一、填空 1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则[]()___________.f f x = 2、假设数列{}n x 收敛，则数列{}n x 肯定。

3、假设0lim ()x x f x A →=，而0lim ()x x g x →不存在，则0lim(()())x x f x g x →+ 。

4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则_______=a 5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续。

6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ，则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么〔〕〔A 〕)()(x g x f +在0x 点处间断〔B 〕)()(x g x f -在0x 点处间断〔C 〕)()(x g x f +在0x 点处连续〔D 〕)()(x g x f +在0x 点处可能连续。

10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则以下断言正确的选项是〔〕〔A 〕假设n x 发散，则n y 必发散。

〔B 〕假设n x 无界，则n y 必有界〔C 〕假设n x 有界，则n y 必为无穷小〔D 〕假设1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么〔〕〔A 〕()f x 在0x =处不连续。

〔B 〕()f x 在0x =处连续。

〔C 〕0lim ()x f x →不存在。

〔D 〕0lim ()1x f x →=12、设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为〔〕〔A 〕12 (B)13 (C) 14 (D)不存在13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的〔〕〔A 〕无穷间断点。

华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

多元函数微分法及其应用习题

多元函数微分法及其应用习
• 多元函数微分法概述 • 多元函数极值问题 • 多元函数微分法的几何意义 • 多元函数微分法的应用实例 • 习题解析与解答
01
多元函数微分法概述
定义与性质
定义
多元函数微分法是研究多元函数在某点附近的变化的一种方法，包括偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念。
性质
习题二解析与解答
总结词
抽象思维能力
详细描述
这道题目考察了学生的抽象思维能力，需要学生通过分析问题，将实际问题转化为数学模型，并运用多元函数微分法进行求解。通过解答这道题目，学生可以培养自己的抽象
思维能力，提高数学建模的能力。
习题二解析与解答
要点一
总结词
综合应用能力
要点二
详细描述
这道题目考察了学生对多元函数微分法的综合应用能力，需要学生将理论知识与实际问题相结合，通过解决实际问题来提高自己的应用能力。通过解答这道题目，学生可以加深对多元函数微分法的理解，提高自己的综合应用能力。
多元函数极值问题
无约束极值问题
无约束极值问题是指在定义域内，函数值不受任何限制的极值问题。求解无约束极值问题通常采用梯度法、牛顿法等。
梯度法的基本思想是通过不断迭代，沿着函数值下降最快的方向逼近极值点。在每一步迭代中，都需要计算函数的梯度，并根据梯度信息更新迭代点。
牛顿法的基本思想是通过不断迭代，逼近函数的零点，从而找到极值点。在每一步迭代中，需要计算函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）和梯度向量，并根据这些信息更新迭代点。
多元函数的微分法具有一系列性质，如可加性、可乘性和可线性化等，这些性质在解决实际问题中具有重要应用。
偏导数与全微分

9-7 多元函数微分法习题课

1．简单、具体函数
u例1
设
z
=
(x2
+
y
2
-
)e
arctan
y x
求 ¶2z .
¶x¶y
2．复合函数：外层具体、内层具体
u例2 设 u = ex ( y + z), y = sin x, z = cos x, 求 du .
dx
u例3
设 z = u2v - uv2 , u =
x cos y,
v=
x sin y,
第七讲多元函数微分法习题课
多元函数微分法习题课
一、内容小结二、题型练习
多元函数微分法习题课
一、内容小结二、题型练习
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则
多元复合函数的五种基本类型
类型
举例
复合关系图求导法则注
Fx表示F对x求偏分导子和分母不要颠倒
不要丢掉负号
ìF(x, y,u, v) = 0 îíG(x, y,u, v) = 0
ìu = u (x, y) îív = v (x, y)
(1) 确定因变量个数与自变量个数.
明确变量个数与方程个数
确定因变量个数方程个数
确定自变量个数变量个数
方程个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
一个具体、一个抽象
u例21 设 w = f ( x, y, z), z=z(x,y)由方程 z5 - 5xy + 5z = 1
确定，求
¶w ¶x
,
¶2w ¶x 2
.
两个抽象

多元函数微分法及其应用(习题和详细解答)

多元函数微分法及其应用（习题）(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z ∂∂，yz∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。

多元函数在电学中应用实例

多元函数在电学中应用实例
摘要：
一、多元函数的概念和基本性质
二、多元函数在电学中的应用
三、多元函数的极值及其应用
四、多元函数微分法及其应用
五、多元函数的应用实例
正文：
一、多元函数的概念和基本性质
多元函数是指含有多个自变量的函数，例如f(x, y)。

多元函数的基本性质包括极限、连续性、可微性、偏导数等。

在电学中，多元函数可以用来描述电场、电势等物理量，从而分析电路的性能。

二、多元函数在电学中的应用
在电学中，多元函数常用来描述电场、电势等物理量。

例如，电势可以表示为关于空间坐标的函数，而电场强度可以表示为关于空间坐标和时间的函数。

通过分析多元函数的性质，可以得到电场和电势的分布规律，从而优化电路设计。

三、多元函数的极值及其应用
多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的点。

在电学中，极值可以用来分析电势分布的极值点，例如电势最高的点、电势最低的点等。

这些极值点对于分析电路的性能具有重要意义。

四、多元函数微分法及其应用
多元函数的微分法包括全微分、偏导数等。

在电学中，偏导数可以用来表示电场强度、电势梯度等物理量。

通过计算偏导数，可以得到电场和电势的变化率，从而分析电路的性能。

五、多元函数的应用实例
在电学中，多元函数可以用来描述复杂电路的性能。

例如，在分析一个电阻、电容和电感组成的电路时，可以用多元函数来表示电压、电流等物理量。

通过求解多元函数的微分方程，可以得到电路中各物理量的变化规律，从而优化电路设计。

第07章_多元函数微分法及其应用习题详解

6.求下列各极限：
（1） lim x2 xy y2 ；
(x, y)(2,0)
x y
（2）
(
x,
lim
y)(0,0)
1 cos ln( x 2
x2 y2
y2 1)
；
（3） lim (x2 y2 )sin 1 ；
(x, y)(0,0)
xy
（4） lim sin(xy) ；
(x, y)(2,0)
解（1）定义域为 (x, y) y x；
（2）定义域为 (x, y) x y x ；
（3）定义域为 (x, y) xy 0 ，即第一、三象限（不含坐标轴）；
（4）定义域为
(
x,
y)
x2 a2
y2 b2
1
；
（5）定义域为 (x, y) x 0, y 0, x2 y ；
（6）定义域为 (x, y, z) x2 y2 z2 0, x2 y2 0 .
第七章多元函数微分法及其应用习题详解
第七章多元函数微分法及其应用
习题 7-1 1.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.
（1）(x, y) x 0, y 0；
（2） (x, y) 1 x2 y2 4 ；（3） (x, y) y x2 ；（4） (x, y) x2 ( y 1)2 1且x2 ( y 1)2 4 .
（2）函数在抛物线 y2
2x 上无定义，故 y2
2x 上的点均为函数 z
y2
1 2x
的间断
3
第七章多元函数微分法及其应用习题详解
点. 9.用二重极限定义证明：
lim
xy 0 .
x y ( x, y)(0,0) 2

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1 ( )
f ( cos , sin ) d
四、典型例题
lim 【例1】求极限 ( x , y )(0,0)
lim
xy 1 -1 . xy
解：
( x , y )(0,0)
xy 1 -1 xy
xy 1-1 xy( xy 1 1)
1 xy 1 1

f ( x , y )dx.
x
2．利用极坐标计算
D : 1 ( ) 2 ( ),
f ( x ,
D
y )dxdy f ( cos , sin ) dd
D
d

2 ( ) 1 ( )
f ( cos , sin ) d
四、二重积分的解题方法及典型例题
1．解题方法流程图
计算二重积分主要应用直角坐标与极坐标两种方法, 在
直角坐标系下进行计算的关键是首先判别区域 D的类型(X-型
或Y-型 ), 然后把二重积分转化为关于 x和 y 的二次积分. 而
应用极坐标进行计算，关键是判别被积函数 f ( x , y )及区域 D
x2 y2 sin ( )( x 2 y 2 ) 2 lim 2 2 x 0 2 2 x y y 0 8( )2 e x y 2
2
lim
x0 y0
x2 y2 8e
x2 y2
0
解法2：作变量代换，令x cos , y sin , 当 x cos , y sin 时, 0, 任意,则
所具有的特点, 如果被积函数 f ( x, y ) g( x 2 y 2 ) 或积分区域是圆域(圆域的一部分), 则把二重积分转化为关于和的二次
积分.
解题方法流程图
No
I f ( x , y )dxdy
D
f ( x , y ) g( x 2 y 2 )
Yes
Fx z x Fz Fy z y Fz
5．全微分的求法
z z dz dx d x , y ) 时，有当 z f ( u, v )，而 u ( x , y )、
z z dz du dv u v
所以 f ( x, y ) 的极限不存在。
x 2 y 2 , xy =0 【例4】设二元函数 f ( x , y ) , 判别 f ( x, y ) 在 xy 0 1, (0,0)点处的连续性。
f ( x , y ) f (0, 0). 分析：f ( x , y )在(0,0)点处的连续性,应满足lim x 0
2 z z ( ) f yy ( x, y ) 2 y y y
3．多元复合函数求导法则
z f (u, v ) 在对应点 ( u, v ) (1)设u ( t )和 v ( t ) 在点 t 可导，
处可微，则复合函数 z f ( (t ), (t )) 在点 t 处可导，且 u dz z du z dv t z dt u dt v dt v
1
【例3】设
xy 2 f ( x, y ) x y 2 0
y0
( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
f ( x , y )的存在性。判断lim x0
f ( x , y ) A 的定义中,动点 P ( x , y ) 在 R 2 中分析：在二重极限lim x 0
f ( x ,
D
y )d f ( x , y )d f ( x , y )d
D1 D2
3. 区域 D的面积：

d
D
4. 单调性：若在 D 上, f ( x, y) ( x, y) ,则
f ( x ,
D
y )d ( x , y )d
D
5．估值性质：设 m f ( x, y) M , ( x, y ) D, 是 D的面积则
m
f ( x ,
D
y )d M .
6．中值定理：设函数 f ( x , y ) 在闭区域 D上连续,
是 D 的面积，则在 D上至少存在一点 ( , ) , 使得
lim
x0 y0
1 - cos( x 2 y 2 ) ( x y )e
2 2 x2 y2
lim
x0 y0
1 - cos 2
e
2 4 cos 2 sin 2
lim
x 0 y0
sin 2

2
lim
x 0 y0
1 e
4 cos2 sin 2
f ( x ,
D
y )d f ( , ) .
7.奇偶对称性：

D
0 D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数 f ( x , y )d 2 f ( x , y )d D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数
D1
三、二重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f ( x ,
D
.
y )d
f ( x ,
D
y )dxdy .
关键：选择积分次序
y
y 2 ( x)
（1）X-型区域：
D
D : 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b
o
y 1 ( x )
a
b
x
f ( x,
D
y )dxdy dx
a
b
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x , y )dy
y
（2）Y-型区域：
D : 1 ( y) x 2 ( y), c y d ,
d
x 1 ( y)
D
x 2 ( y)
c
o
f ( x,
D
y )dxdy dy
c
d
2 ( y)
1( y)
3．物理意义： M ( x , y )d —— D 的质量.
D
二、二重积分的性质
1．线性性质：
[ f ( x ,
D
y ) g ( x , y )]d f ( x , y )d g ( x , y )d
D D
2. 可加性： D D1 D2

( x , y )(0,0)
lim
( x , y )(0,0)
lim
1 2
【例2】求极限 lim x0
y0
1 cos( x 2 y 2 ) ( x y )e
2 2 x2 y2
1 2 x2 y2 sin ( ) 1 cos( x 2 y 2 ) 2 2 解法1： lim 2 2 ＝lim 2 2 x y 2 2 x2 y2 x0 x 0 ( x y ) e ( x y ) e y0 y 0
x0 y x x0 x0
y 0
解：因为当点 P ( x, y )沿 x 轴趋于点 (0,0) 时,
lim f ( x , y ) lim f ( x , 0) 0
x0 y0 x0
又当点 P ( x, y ) 沿着直线 y x ( x 0) 趋于点 (0,0) 时,
lim f ( x , y ) lim f ( x , x ) lim1 1
求函数 z f ( x, y )的偏导数
y
2．高阶偏导数
2 z z ( ) f xx ( x , y ) 2 x x x
2z z ( ) f yx ( x , y ) yx x y
2z z ( ) f xy ( x, y ) xy y x
趋向点 P ( x0 , y0 ) 与一元函数 y f ( x ) 的自变量 x 在数轴上的变
y 0
化不同,它可以区域 D R2内沿着不同的路线(如曲线或直线等)
和不同方式(连续或离散),从四面八方趋近于点 P ( x0 , y0 ),二元函数f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的极限都是 A .反之, 动点 P ( x , y ) 沿着两条不同的路线(或点列)趋近于点 P ( x0 , y0 ) ,二元函数 f ( x , y )有不同的极限,则二元函数 f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的极限不存在.
第七章多元函数微分法习题课
多元函数微分法重积分
一、多元函数的基本概念
1.极 2.连
f ( x, y) A 限： ( x , y )lim ( x , y )
0 0
续：
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
3.偏导数：
z x zx f ( x0 x ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
D为圆域
1
2
应用直角坐标
Yes No
应用极坐标
D-X型
a x b D: ( x ) y ( x )
No
D Di
D: 1 ( ) ( ) 2 ( )
D-Y i 型
Yes
dxdy d d
I dx
则称函数 z f ( x , y )在点 P ( x , y ) 可微分，函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 全微分为
dz Ax By
二、多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可导
函数可微
偏导数连续
三、多元函数的求导法

第七章 多元函数微分法及其 应用习题课(一)

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