信阳高三毕业班第一次测试理科数学

高三理科数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．3．本试卷主要考试内容：必修1及导数的应用、三角函数与解三角形．第Ⅰ卷一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合A ＝{x ｜12x x ＋｜－｜≥0}，B ＝{x ｜x ＞a}，则下列关系不可能成立的是A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ≠φD ．A ⊆C RB2．已知函数f （x ）＝sin()(0),6(0),2x x f x ππ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥)(＜则f （－3π）等于A ．12 BCD ．－12 3．函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是4．函数f （x ）＝2x－2x－a 的一个零点在区间（1，2）内，则实数a 的取值范围是 A ．（1，3） B ．（1，2） C ．（0，3） D ．（0，2） 5．定积分ln 2x e dx ⎰的值为A ．－1B ．1C ．2e －1 D ．2e6．23sin 702cos 10-︒-︒等于A ．12 BC ．2D ．3 7．若函数y ＝tan ωx （ω∈N ﹡）的一个对称中心是（6π，0），则ω的最小值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 8．已知函数f （x ）＝lnx ＋tan α（α∈（0，2π））的导函数为()f x '，若使得0()f x '＝0()f x 立的0x ＜1，则实数α的取值范围为 A ．（4π，2π） B ．（0，3π） C ．（6π，4π） D ．（0，4π） 9．设函数f （x ）是定义在R 上的以7为周期的奇函数，若f （2）＞1，f （2014）＝33a a ＋－，则a 的取值范围是 A ．（－∞，0） B ．（0，3） C ．（0，＋∞） D ．（－∞，0）∪（3，＋∞）10．定义在R 上的函数f （x ），当x ≠－2时，恒有（x ＋2）()f x '＜0（其中()f x '是函数f （x ）的导数），又a ＝f （13log 3），b ＝f[0.11()3]，c ＝f （ln3），则A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a11．已知函数f （x ）＝3x －t 2x ＋3x ，若对于任意的a ，b ∈[1，3]且a ＜b ，函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减，则实数t 的取值范围是 A ．（－∞，3] B ．（－∞，5] C ．[3，＋∞） D ．[5，＋∞）12．已知方程xx｜sin ｜＝k 在（0，＋∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是A ．sin2α＝22cos αα B ．cos2α＝22sin ααC ．sin2β＝2β2cos β D ．cos2β＝2β2sin β第Ⅱ卷二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．） 13．函数f （x_______________．14．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边过直线x ＝1与曲线y ＝2x的交点，则cos2θ＝___________．15．已知定义域为R 的函数f （x ）在（－5，＋∞））上为减函数，且函数y ＝f （x －5）为偶函数，设a ＝f （－6），b ＝f （－3），则a ，b 的大小关系为______________．16．已知函数f （x ）＝xe ｜｜，对任意的x ∈[1，m]（m ＞1），都有f （x －2）≤ex ，则最大的正整数m 为___________________． 三、解答题．（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 已知集合A ＝{x ｜2－a ≤x ≤2＋a}，B ＝{x ｜2x －5x ＋4≥0}． （Ⅰ）当a ＝3时，求A ∩B ；（Ⅱ）若a ＞0，且A ∩B ＝φ，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2π）的部分图象如图所示． （Ⅰ）试确定函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）若f （2απ）＝13，求cos （23π－α）的值．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边长，已知22223b c a ac --＝（Ⅰ）求cosB 及tan2A C＋的值； （Ⅱ）若b ＝ABCsinA ＋sinC 的值．20．（本小题满分12分）已知二次函数f （x ）＝a 2x ＋bx ＋1（a ＞0），F （x ）＝(),0,(),0.f x x f x x ⎧⎨-⎩＞＜若f （－1）＝0，且对任意实数x 均有f （x ）≥0成立．（Ⅰ）求F （x ）的表达式；（Ⅱ）当x ∈[－2，2]时，g （x ）＝f （x ）－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半 圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将此铁 皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC ． （Ⅰ）设∠MOD ＝30°,求三角形铁皮PMN 的面积； （Ⅱ）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝－2x ＋2lnx 与g （x ）＝x ＋ax有相同的极值点． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若对于1x ∀，2x ∈[1e ，3]，不等式12()()1f xg x k --≤1恒成立，求实数k 的取值范 围．信阳市2013—2014学年度高中毕业班第一次调研检测理科数学参考答案7．B 代入验证可知ω的最小值为3.8．A ∵f ′(x )＝1x ，f ′(x 0)＝f (x 0)，∴1x 0＝ln x 0＋tan α，∴tan α＝1x 0－ln x 0，又∵0＜x 0＜1，∴可得1x 0－ln x 0＞1，即tan α＞1，∴α∈(π4，π2)．9．B ∵f (2014)＝f (5)＝f (－2)＝－f (2)＜－1， ∴a ＋3a －3＜－1， 解得0＜a ＜3.12．C ∵|sin x |x ＝k ⇒|sin x |＝kx ，∴要使方程|sin x |x ＝k (k ＞0)在(0，＋∞)上有两个不同的解，则y ＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k ＞0)在(0，＋∞)上有且仅有两个公共点，所以直线y ＝kx 与y ＝|sin x |在(π，32π)内相切，且切于点(β，－sin β)，∴可得：－cos β＝－sin ββ⇒βcos β＝sin β，∴sin 2β＝2sin βcos β＝2βcos 2β.13．{x |1＜x ≤2} ∵log 12(x －1)≥0，∴0＜x －1≤1，解得1＜x ≤2，∴函数f (x )的定义域是{x |1＜x ≤2}．17．解：(Ⅰ)∵A ＝{－1≤x ≤5}，B ＝{x ≤1或x ≥4}，∴A ∩B ＝{－1≤x ≤1或4≤x ≤5}. (5分)(Ⅱ)∵A ∩B ＝Ø，又∵A＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }(a ＞0)，B ＝{x ≤1或x ≥4}，∴⎩⎨⎧2－a ＞1，2＋a ＜4，∴0＜a ＜1.(10分) 18．解：(Ⅰ)由图象可知A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝π.将点(13，2)代入y ＝2sin(πx ＋φ)，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|＜π2，所以φ＝π6.故所求解析式为f (x )＝2sin(πx ＋π6)(x ∈R ).(6分) (Ⅱ)∵f (α2π)＝13，∴2sin(α2＋π6)＝13，即sin(α2＋π6)＝16，(7分) ∴cos(2π3－α)＝cos[π－2(π6＋α2)]＝－cos 2(π6＋α2)＝2sin 2(π6＋α2)－1＝－1718.(12分)19．解：(Ⅰ)由b 2－c 2＝a 2－23ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13.由0＜B ＜π知sin B ＝1－cos 2B ＝223. tan A ＋C 2＝tan π－B 2＝sin （π2－B 2）cos （π2－B2）＝cos B 2sin B 2＝2cos 2B22sin B 2cos B 2＝1＋cos Bsin B ＝ 2. (6分)(Ⅱ)由12ac sin B ＝2，得ac ＝3，由b 2－c 2＝a 2－23ac ，得(a ＋c )2＝b 2＋83ac ＝16，即a ＋c ＝4.由正弦定理得sin A ＋sin C ＝a ＋c b ×sin B ＝43.(12分)20．解：(Ⅰ)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，（a －1）2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1 （x ＞0），－x 2－2x －1 （x ＜0）.(6分)(Ⅱ)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2，2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2，或k ≥6.∴k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).(12分)22．解：(Ⅰ)f ′(x )＝－2x ＋2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x (x ＞0)，由⎩⎨⎧f ′（x ）＞0，x ＞0，得0＜x ＜1； 由⎩⎨⎧f ′（x ）＜0，x ＞0，得x ＞1. ∴f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，∴x ＝1是函数f (x )的极值点． ∵g (x )＝x ＋a x ，∴g ′(x )＝1－a x 2，又∵函数f (x )与g (x )＝x ＋ax 有相同极值点，∴x ＝1是函数g (x )的极值点，∴g ′(1)＝1－a ＝0，解得a ＝1. 经检验，当a ＝1时，函数g (x )取到极小值，符合题意.(5分) (Ⅱ)∵f (1e )＝－1e 2－2，f (1)＝－1，f (3)＝－9＋2ln 3，∵－9＋2ln 3＜－1e 2－2＜－1，即f (3)＜f (1e)＜f (1)，∴∀x 1∈[1e ，3]，f (x 1)min ＝f (3)＝－9＋2ln 3，f (x 1)max ＝f (1)＝－1.由Ⅰ知g (x )＝x ＋1x ，∴g ′(x )＝1－1x2.故g (x )在[1e，1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(1，3]时，g ′(x )＞0.故g (x )在[1e，1)上为减函数，在(1，3]上为增函数．∵g (1e )＝e ＋1e ，g (1)＝2，g (3)＝3＋13＝103，而2＜e ＋1e ＜103，∴g (1)＜g (1e)＜g (3)．∴∀x 2∈[1e ，3]，g (x 2)min ＝g (1)＝2，g (x 2)max ＝g (3)＝103.。