《二元一次不定方程的特解》课件
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故〔3〕的一个整数解是 x 26, y 9
〔2〕的一个整数解是 x 26 25, y 9 25 原方程的整数解为 x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z 或者，x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z
4
求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算，观察法
例5 求 107 x 37 y 25 的一切整数解。
解：y 25 107 x 3x 25 4 x
37
37
令y' 25 4x x 37 y' 25 9 y' 6 y' 1
37
4
4
取y' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解 x0 3, y0 8 从而所求的一切整数解为
9
10
(2)当 N ab a b时， 代入原方程，有 a( x 1) b( y 1) ab (*) 又 (a,b) 1， 所以a ( y 1), b ( x 1)，即y 1 ma, x 1 nb. 假设存在非负整数解，则 x 1, y 1 1， 从而 m,n 1， 代入〔*〕，显然不成立。
x 3 37t, y 8 107t,t Z
5
求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法
例6 求 176x 162 y 2 的一切整数解。 解：原方程可化为 88x 81 y 1 令 x y z，则方程可化为 7 x 81z 1. 再令u x 11z， 则方程可化为 7u 4z 1 又令 t 2u z， 则方程可化为 4t u 1 u 4t 1. 逐步往回代入，可得 z t 2u 2 7t; x 23 81t; y 25 88t;t Z
74 1 3 3 741 43 1 1 1 4 31 所以，1 4 (7 4 1) 1, 即 7 (1) 4 2 1. 从而，x0 1; y0 2.
注：若原方程是 7x 4 y 1，则化为 7x 4( y) 1 ， 原方程有一个特解 x 1, y 2 .
3
例4 求 111x 321y 75〔1〕的一切整数解。 解：(111,321) 3 原方程可以化为 37x 107 y 25 (2)
先求 37 x 107 y 1〔3〕 的一个整数解。 107＝37×3－4，37＝4×9+1， 从而 1 37 4 9 37 (37 3 107) 9 37 (26) 107 (9)
ab
ab
t 的取值区间长度为 N . 从而得证。 ab
7
4.证明：方程ax by N ,a 1,b 1,(a,b) 1 当N ab a b时有非负整数解；N ab a b时则不然 思考：N ab a b呢？
（1）方程的一般解可以表示为 x x0 bt, y y0 at,t 0,1,2, 在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 t Z ，使得
0 y y0 at a 1
对此t，代入原方程，得 x N b( y0 at)
N b(a 1)
ab
a
b
b(a
1)
a
1
a
a
8
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4.证明：方程ax by N ,a 1,b 1,(a,b) 1 当N ab a b时有非负整数解；N ab a b时则不然 思考：N ab a b呢？
6
习题讲解：
P31 3.证明：方程 ax by N ,a 0,b 0,(a,b) 1
的非负整数解的个数为
N ab
或
N ab
1.
设 x0 , y是0 原方程的一个非负整数解，
则其一切整数解可以表示为 x x0 bt, y y0 at,t Z
由 x 0, y 0 ax0 N t ax0
二元一次不定方程的特解
1
求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c, (a,b) 1
(3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 as bt 1, 则 x0 cs, y0 ct.
2
例3 求方程 7x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法
〔2〕的一个整数解是 x 26 25, y 9 25 原方程的整数解为 x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z 或者，x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z
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求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算，观察法
例5 求 107 x 37 y 25 的一切整数解。
解：y 25 107 x 3x 25 4 x
37
37
令y' 25 4x x 37 y' 25 9 y' 6 y' 1
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取y' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解 x0 3, y0 8 从而所求的一切整数解为
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(2)当 N ab a b时， 代入原方程，有 a( x 1) b( y 1) ab (*) 又 (a,b) 1， 所以a ( y 1), b ( x 1)，即y 1 ma, x 1 nb. 假设存在非负整数解，则 x 1, y 1 1， 从而 m,n 1， 代入〔*〕，显然不成立。
x 3 37t, y 8 107t,t Z
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求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法
例6 求 176x 162 y 2 的一切整数解。 解：原方程可化为 88x 81 y 1 令 x y z，则方程可化为 7 x 81z 1. 再令u x 11z， 则方程可化为 7u 4z 1 又令 t 2u z， 则方程可化为 4t u 1 u 4t 1. 逐步往回代入，可得 z t 2u 2 7t; x 23 81t; y 25 88t;t Z
74 1 3 3 741 43 1 1 1 4 31 所以，1 4 (7 4 1) 1, 即 7 (1) 4 2 1. 从而，x0 1; y0 2.
注：若原方程是 7x 4 y 1，则化为 7x 4( y) 1 ， 原方程有一个特解 x 1, y 2 .
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例4 求 111x 321y 75〔1〕的一切整数解。 解：(111,321) 3 原方程可以化为 37x 107 y 25 (2)
先求 37 x 107 y 1〔3〕 的一个整数解。 107＝37×3－4，37＝4×9+1， 从而 1 37 4 9 37 (37 3 107) 9 37 (26) 107 (9)
ab
ab
t 的取值区间长度为 N . 从而得证。 ab
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4.证明：方程ax by N ,a 1,b 1,(a,b) 1 当N ab a b时有非负整数解；N ab a b时则不然 思考：N ab a b呢？
（1）方程的一般解可以表示为 x x0 bt, y y0 at,t 0,1,2, 在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 t Z ，使得
0 y y0 at a 1
对此t，代入原方程，得 x N b( y0 at)
N b(a 1)
ab
a
b
b(a
1)
a
1
a
a
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4.证明：方程ax by N ,a 1,b 1,(a,b) 1 当N ab a b时有非负整数解；N ab a b时则不然 思考：N ab a b呢？
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习题讲解：
P31 3.证明：方程 ax by N ,a 0,b 0,(a,b) 1
的非负整数解的个数为
N ab
或
N ab
1.
设 x0 , y是0 原方程的一个非负整数解，
则其一切整数解可以表示为 x x0 bt, y y0 at,t Z
由 x 0, y 0 ax0 N t ax0
二元一次不定方程的特解
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求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c, (a,b) 1
(3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 as bt 1, 则 x0 cs, y0 ct.
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例3 求方程 7x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法