广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习导数与函数试题精选07【含答案】
2020年高考数学一轮复习考点07二次函数与幂函数必刷题(含解析)
考点07 二次函数与幂函数1、如果方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是____．【答案】(－∞，－3)【解析】设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3，所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．2、 若幂函数y ＝mx n (m ，n ∈R)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，14，则n ＝___． 【答案】－23【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，8n ＝14， 解得n ＝－23，故n 的值为－23. 3、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，则a ，b 的值为____．【答案】13，0 【解析】由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b ，即2bx ＝0对任意x 恒成立，所以b ＝0.又因为a －1＝－2a ，解得a ＝13，所以a ，b 的值分别为13，0. 4、函数y ＝－x 2＋2||x ＋3的单调减区间是____． 【答案】[－1，0]和[1，＋∞)【解析】令f(x)＝－x 2＋2|x|＋3，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3， x<0， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x≥0，－（x ＋1）2＋4， x<0， 所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．5、若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[]a ，a ＋2上的最大值为4，则a 的值为____．【答案】－1或1【解析】由题意得，f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴为直线x ＝1.当a≥0时，f(a ＋2)＝4，即(a ＋2)2－2(a ＋2)＋1＝4，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)；当a<0时，f(a)＝4，即a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．综上，a 的值为1或－1.6、 若不等式x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是___.【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)【解析】由题意得x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0，即(x 2＋1)2≥－a 2＋a ＋3，所以－a 2＋a ＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．7、设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使函数y ＝x α为奇函数且定义域为R 的所有α的值为____． 【答案】1，3【解析】当α＝－1时，y ＝x －1＝1x ，此时函数的定义域为{x |x ≠0}，不符合题意；当α＝12时，y ＝x 12＝x ，此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意；当α＝1时，y ＝x ，此时函数的定义域为R ，且是奇函数，符合题意；当α＝2时，y ＝x 2，此时函数的定义域为R ，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y ＝x 3，此时函数的定义域为R ，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3.8、求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2(x ∈[2，4])的最小值．【答案】f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.【解析】f(x)图象的对称轴是直线x ＝a ，可分以下三种情况：①当a ＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min ＝f(2)＝6－4a ；②当2≤a≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；③当a ＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min ＝f(4)＝18－8a.综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.9、已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【答案】g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.【解析】由题意得，f(x)＝(x －1)2＋1.①当t ＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t ＋1)＝t 2＋1;②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1;③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t 2－2t ＋2.综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.10、若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g(x)的图象上，定义 h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g（x ），g （x ）， f （x ）>g （x ）.试求函数h(x)的最大值以及单调区间． 【答案】1 单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x<－1或x>1，x 2， －1≤x≤1且x≠0. 根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).11、已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14. (1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；(2) 求当x 为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．【答案】(1) g(x)＝x －2(2) ①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．【解析】(1) 设f(x)＝x α，因为图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，所以f(x)＝x 2. 设g(x)＝x β，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14， 所以14＝2β，解得β＝－2，所以g(x)＝x －2.(2) 在同一平面直角坐标系下作出f(x)＝x 2与g(x)＝x－2的图象，如图所示. 由图象可知，函数f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1，1)，所以①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．12、已知函数f(x)＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围． 【答案】{a |a <－1或23<a <32} 【解析】因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.又函数的图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数，当m ＝2时，22－2×2－3＝－3为奇数，当m ＝1时，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1.又y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， 所以(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ， 解得a <－1或23<a <32. 故a 的取值范围为{a |a <－1或23<a <32}． 13、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)．(1) 若函数f (x )＝f (x )－mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围； (2) 求函数G (x )＝f (sin x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最值．【答案】(1) (－∞，2] (2) 最大值为0，最小值为－3【解析】(1) 因为f (x )>0的解集为(1，3)，所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，所以可设f (x )＝a (x －1)(x －3)．又因为函数图象过点(0，－3)，代入f (x )得3a ＝－3，解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3，所以f (x )＝－x 2＋4x －3－mx ＝－x 2＋(4－m )x －3.因为函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，所以－4－m 2×（－1）≥1，解得m ≤2， 故实数m 的取值范围是(－∞，2]．(2) 由题意得，G (x )＝－sin 2x ＋4sin x －3＝－(sin x －2)2＋1. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ∈[0，1]， 所以当sin x ＝0时，G (x )min ＝－3；当sin x ＝1时，G (x )max ＝0，故函数G (x )的最大值为0，最小值为－3.14、已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2) 若该函数经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 【答案】(1) [0，＋∞) 增函数 (2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 【解析】(1) 因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，且m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m (m ＋1)为偶数． 所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2) 因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， 所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.15、已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调增区间；(2) 当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a ≠0，函数y ＝f (x )在区间(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．【答案】(1) (－∞，1]，[2，＋∞) (2) f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3.(3) 2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0. 【解析】(1) 当a ＝2时，f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ）， x <2. 由图象可知，y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2) 因为a >2，x ∈[1，2]，所以f (x )＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24. 当1<a 2≤32，即2<a ≤3时，f (x )min ＝f (2)＝2a －4；当a 2>32，即a >3时，f (x )min ＝f (1)＝a －1， 所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3. (3) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x <a . ①当a >0时，图象如图1所示.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ），得x ＝1＋22a ， 所以0≤m <a 2，a <n ≤ 2＋12a . ②当a <0时，图象如图2所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），得x ＝1＋22a ， 所以2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0.图1图2 16、已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由． 【答案】 (1) f (x )＝x 2(2) 2【解析】 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得． ①当q >0时，而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q－(2－3q )＝q －24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝178， g (x )min ＝4q 2＋14q ＝－4， q 不存在．综上所述，存在q ＝2满足题意．17、设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)， f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．【答案】(1) 见解析 (2)见解析解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12. 又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13. 方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0. (2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0，∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0，∴f (m －4)的符号为正．18、设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．【答案】(1) M ＝10 m ＝1 (2) 314【解析】(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a 2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1；当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a 1＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1－2a c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a， 又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)， ∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (2a －12a )＝1－14a. g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1. 又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习导数与函数试题精选07
导数与函数071.已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等。
(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a 。
(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增。
2．已知函数)0)(ln()(>+=a a e x f x. （1）求函数)(x f y =的反函数)()(1x f x fy 及-=的导数);(x f '（2）假设对任意0))(ln(|)(|)],4ln(),3[ln(1<'+-∈-x f x f m a a x 不等式成立，求实数m 的取值范围..0)()()()(2312212*********212>---=---=-t t t t a t t t t t a t t a t t v t v所以)(),(t v t u 都是增函数.因此当]4,3[a a t ∈时，)(t u 的最大值为)(,512)4(t v a a u =的最小值为,38)3(a a v =而不等式②成立当且仅当),3()4(a v e a u m <<即 a e a m 38512<<，于是得 ).38ln()512ln(a m a <<………………12分3.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.解：（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-1λ∴≤由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤-即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2） 由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--4.解不等式：lo g 2（x 2－x －2）>lo g 2（2x －2）.解：原不等式变形为：lo g 21（x 2－x －2）>lo g 21（2x －2）.所以，原不等式3230203010)1)(2(2220102222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x故原不等式的解集为{x |2<x <3}.评述：本题通过对数恒等变形，转化为函数单调性问题，考查了考生的演绎推理和逻辑思维及计算能力.5.已知函数5)(,5)(31313131--+=-=x x x g x x x f .（1）证明f （x ）是奇函数；并求f （x ）的单调区间.（2）分别计算f （4）－5f （2）g （2）和f （9）－5f （3）g （3）的值，由此概括出涉及函数f （x ）和g （x ）的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.（2）算得f （4）－5f （2）·g （2）=0，f （9）－5f （3）·g （3）=0.由此概括出对所有不等于零的实数x 有：f （x 2）－5f （x ）·g （x ）=0.因为：f （x 2）－5f （x ）·g （x ）=0)(51)(51555532323232313131313232=---=+⋅-⋅-------x x x x x x x x x x . 6.已知f （x ）是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f （x ）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并加以证明.解：f （x ）在（－∞，0）上是增函数，证明如下： 设x 1＜x 2＜0，因为f （x ）为偶函数所以f （－x 1）=f （x 1），f （－x 2）=f （x 2） ① 由设可知－x 1＞－x 2＞0，又f （x ）在（0，+∞）上是减函数于是有f （－x 1）＜f （－x 2）②把①代入②得f （x 1）＜f （x 2）由此可得f （x ）在（－∞，0）上是增函数7.已知函数f （x ）=a x+12+-x x （a ＞1）. （1）证明：函数f （x ）在（－1，+∞）上为增函数； （2）用反证法证明方程f （x ）=0没有负数根. 证明：（1）设－1＜x 1＜x 2)1)(1()(3()1()1)(1()1)(2()2)(1()1(12121212)()(121212212111221122121211211212++-+-=+++---++-=+--+-+-=+---+-+=---x x x x a a x x x x x x a a x x x x a a x x a x x a x f x f x xx x xx x x x x因为x 2－x 1＞0，又a ＞1，所以12x x a-＞1，而－1＜x 1＜x 2，所以x 1+1＞0，x 2+1＞0，所以f （x 2）－f （x 1）＞0，∴f （x ）在（－1，+∞）上为增函数8.设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R.（1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值. 解：（1）f （2）=3，f （－2）=7由于f （－2）≠f （2），f （－2）≠－f （2） 故f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数（2）f （x ）=⎩⎨⎧<+-≥-+2,12,322x x x x x x由于f （x ）在2，+∞）上的最小值为f （2）=3，在（－∞，2）内的最小值为43)21(=f . 故函数f （x ）在（－∞，+∞）内的最小值为43. 评述：因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词.f （－x ）与f （x ）要同时有意义，f （x ）与f （－x ）要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.9.已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （a ·b ）=af （b ）+bf （a ）.（1）求f （0），f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（3）f （2）=2，u n =nf n )2(-（n ∈N ），求数列{u n }的前n 项的和S n .解：（1）、（2）同上题（3）解法一：由f （a 2）=af （a ）+af （a ）=2af （a ）f （a 3）=a 2f （a ）+af （a 2）=3a 2f （a ）猜测f （a n）=nan －1f （a ）.下面用数学归纳法证明：①当n =1时，f （a 1）=1·a 0·f （a ），公式成立； ②假设当n =k 时，f （a k）=kak －1f （a ）成立，那么当n =k +1时f （a k +1）=a k f （a ）+af （a k ）=a k f （a ）+ka k f （a ）=（k +1）a k f （a ），公式仍成立.由上两步可知，对任意n ∈N ，f （a n）=nan －1f （a ）成立.所以)21()21()2(1f n f u n n n ⋅==--因为f （2）=2，f （1）=f （2·21）=2f （21）+21f （2）=0 所以f （21）=－41f （2）=－21u n =（－21）·（21）n －1（n ∈N ） 因此1)21(211])21(1[21-=---=n n n S （n ∈N ）（以下同解法一）评述：这是一个研究抽象函数的问题，学生应该在第（1）问的基础上，利用奇偶函数的定义，计算f （－x ）是此题的切入点.第（3）问应该在归纳假设的基础上，充分利用所给函数的关系式.。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习导数与函数试题精选08【含答案】
导数与函数0810.已知a >0，函数f （x ）=ax －bx 2.（1）当b >0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2b ；（2）当b >1时，证明：对任意x ∈0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ；（3）当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件.（1）证明：根据题设，对任意x ∈R ，都有f （x ）≤1.又f （x ）=－b （x －b a 2）2+b a 42.∴f（b a 2）=ba 42≤1，∵a >0，b >0，∴a ≤2b . （2）证明：必要性：对任意x ∈0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≥－1.据此可推出f （1）≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1.对任意x ∈0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≤1，因为b >1，可得0<b 1<1，可推出f （b1）≤1，即a ·b1－1≤1，∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .充分性：因为b >1，a ≥b －1，对任意x ∈0，1］，可以推出ax －bx 2≥b （x －x 2）－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1，因为b >1，a ≤2b ，对任意x ∈0，1］，可以推出： ax －bx 2≤2b x －bx 2－b （x －b1）2+1≤1，即ax －bx 2≤1，∴－1≤f （x ）≤1. 综上，当b >1时，对任意x ∈0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .（3）解：因为a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈0，1］有f （x ）=ax －bx 2≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1；f （x ）≤1⇒f （1）≤1⇒a －b ≤1，即a ≤b +1，又a ≤b +1⇒f （x ）≤（b +1）x －bx 2≤1，即f （x ）≤1.所以，当a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是a ≤b +1. 评述：本题主要考查二次函数、不等式、充要条件的综合运用，考查分类讨论思想和逻辑推理能力以及思维能力.11.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1，x 2∈0，21］，都有f （x 1＋x 2）＝f （x 1）·f （x 2），且f （1）＝a ＞0.（1）求f （21）及f （41）； （2）证明f （x ）是周期函数； （3）a n ＝f （2n ＋n21），求∞→m lim （ln a n ）.解：（1）∵x 1，x 2∈0，21］都有f （x 1＋x 2）＝f （x 1）·f （x 2）， ∴f （x ）=f （2x ）f （2x）≥0，x ∈0，1］ f （1）=f （21+21）=f （21）·f （21）＝f （21）］2 f （21）=f （41+41）=f （41）·f （41）=f （41）]2，f （1）=a ＞0， ∴4121)41(,)21(a f a f ==．（2）同上题（2） （3）∵x ∈0，21］满足f （x 1＋x 2）＝f （x 1）f （x 2），I ＝2n （n ∈Z ） ∴f （x 1＋2n +x 2＋2n ）＝f （x 1＋2n ）·f （x 2＋2n ）， ∵x 1，x 2在2n ，21＋2n ］中也满足f （x 1＋x 2）＝f （x 1）·f （x 2） 又∵f （1）=f （1）·f （0），∴f （0）=1，∴f （2n ）=1又∵f （n 21）＝f 2（)1(21-n ），又∵f （21）＝a 21，∴f （n 21）＝a n 21∴a n ＝f （2n ）f （n21）＝a n 21，∴0)2ln (lim )(ln lim ==∞→∞→n a a n n n12.设函数f （x ）＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.解：在定义域内任取x 1＜x 2，∴f （x 1）－f （x 2）＝))(())(())((2121212221b x b x a x b x b x a x b x a x b x a x ++++-++=++-++ ))(())((2121b x b x x x a b ++--=，∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，x 1－x 2＜0，只有当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时函数才单调． 当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时f （x 1）－f （x 2）＞0．∴f （x ）在（－b ，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b ）上是单调减函数． 评述：本小题主要考查了函数单调性的基本知识．13.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次．．．．以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f （x ）.（1）试规定f （0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f （x ）=211x ，现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由．于是，当a ＞22时，f 1＞f 2；当a =22时，f 1＝f 2；当0＜a ＜22时，f 1＜f 2．因此，当a ＞22时，清洗两次后残留的农药量较少；当a =22时，两种清洗方法具有相同的效果；当0＜a ＜22时，一次清洗残留的农药量较少．评述：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法．14.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.图2—10（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f （t ）； 写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／102，ｋg ，时间单位：天）15.解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），评述：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.16.已知二次函数f （x ）＝（lg a ）x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值.109.解：原函数式可化成f （x ）＝a aa x a lg 4lg 1)lg 1(lg 2+-+． 由已知，f （x ）有最大值3，所以lg a ＜0，并且alg 1-＋4lg a ＝3， 整理得 4（lg a ）2－3lg a －1＝0，解得 lg a ＝1，lg a ＝41-． ∵lg a ＜0，故取lg a ＝41-．∴a ＝10100010441=-．评述：本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念以及对于配方法、对数方程、二次方程的解法的运用能力.17.设函数f （x ）＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f （a ）＞f （b ），证明：ab ＜1．证明：方法一：由已知f （x ）＝|lg x |＝⎩⎨⎧<<-+∞<≤).10(,lg )1(,lg x x x x∵0＜a ＜b ，f （a ）＞f （b ），∴a 、b 不能同时在区间1，＋∞）上，又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈（0，1）；若b ∈（0，1），显然有ab ＜1．若b ∈1，＋∞)，由f （a ）－f （b ）＞0， 有－lg a －lg b ＞0，故lg ab ＜0，∴ab ＜1．方法二：由题设f （a ）＞f （b ），即|lg a |＞|lg b |，上式等价于（lg a ）2＞（lg b ）2（lg a ＋lg b ）（lg a －lg b ）＞0，lg （ab ）lgb a ＞0，由已知b ＞a ＞0，∴ba＜1， ∴lg ba＜0，∴lg（ab ）＜0，0＜ab ＜118.解方程2lg 3-x －3l gx +4=0.解：设2lg 3-x ＝y ，原方程化为y －y 2＋2＝0．解得y ＝－1，y ＝2． 因为2lg 3-x ≥0，所以将y ＝－1舍去.由2lg 3-x ＝2，得lg x ＝2，所以x ＝100．经检验，x ＝100为原方程的解.评述：本题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力.训练不规范，往往不验根造成失分.19.在如图2—12所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A （0，9），其轨迹方程为y =ax 2＋c （a ＜0），D =（6，7）为x 轴上的给定区间.（1）为使物体落在D 内，求a 的取值范围；（2）若物体运动时又经过点P （2，8.1），问它能否落在D 内?并说明理由.解：（1）由点A 的坐标为（0，9）得c =9，即轨迹方程为y ＝ax 2＋9，令y =0， 得ax 2＋9＝0，x 2＝－a9. 由题意，6＜a9-＜7，解得：49941-<<-a .（2）若物体又经过点P （2，8.1），则8.1=4a +9，解得a =409-. 因为49940941-<-=<-a .所以物体能落在D 内.20.解方程3x +2－32－x=80.解：将方程变形得9·3xx 39-－80＝0，于是9·（3x）2－80·3x－9＝0 分解因式得（3x－9）（9·3x＋1）＝0， 因为9·3x＋1≠0，所以3x－9＝0，x ＝2， 经检验x =2是原方程的解.评述：本题主要考查指数方程的解法，属常规题.应用换元法，将方程转化成二次方程求解.21.已知函数f （x ）=lo g a x （a >0且a ≠1，x ∈（0，+∞））.若x 1，x 2∈（0，+∞），判断21f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)含答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)含答案一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．sin 2x >D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()h x =的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.3．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）6．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++-1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确； 当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x '<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ）A ．()2f e >B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+>⎪⎝⎭- 【答案】BCD【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减，(1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误；以B ，111(1)()110e F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+， (1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭ 1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭， 1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.8．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-【答案】AD【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)含答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x ae -=，设sin (),(,)xxg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202f π'-=>，334433()cos 442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭，又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭，即34e π>，则3()04f π'-<，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0x，因为000000()sin sin cos 4xf x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x x g x x eπ=∈-+∞，则cos sin 4()x xx x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-，()g x 取得极小值，又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，所以当24x k ππ=+，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,,...44x ππ=，()g x 取得极大值，又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞时，()34422g x e ππ-≤≤，当3412e a π-<-，即4a e >()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.当412ae π-=，即4a e π=时，1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点，所以存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．2．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 在x e =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．(2)3)f f f π<<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ．【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x+=，则32ln 1()x g x x --'=， 令()0g x '=，解得x =当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．当0x <<时，()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=， 因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-，可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.5．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．6．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.7．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．8．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()x h x e ax =-，则()x h x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．9．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.10．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 导数与函
导数与函数121、若1132210933a log .,b ,c ()-===则( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．b<c<a2、已知函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()31((1))log 2f f f +的值是A ．7B ． 2C ．5D ．33、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ＋2）＝f （x ），且当x ∈（0,1）时，f （x ）＝tan2xπ，则f （x ）在0,5］上的零点个数是（A,3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 答案：D解析：函数f （x ）是奇函数，所以，f （0）＝0，由f （x ＋2）＝f （x ）知，f （2）＝f （4）＝0，而f （x ）是定义R 上的奇函数，所以还有f （1）＝f （3）＝f （5）＝0，f （x ）在0,5］上共6个零点。
当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，f （－x ）＝tan()2xπ-，即－f （x ）＝tan2xπ-，所以f （x ）＝tan2xπ（－1＜x ＜0），函数f （x ）的周期为2，因此f （x ）在（0,1），（1，2）（2,3），（3，4）（4,5）上都没有零点，故选D 。
4、函数||(1)xx y xαα=>的图象大致形状是5、函数y =lg1|1|x +|的大致图象为【答案】D【解析】函数的定义域为}-1x {x ≠，排除A,C.取特殊值9=x ，则01<-=y ，排除B,选D.6、若全集U =R ，集合{235}A x x =+<，B =｛3|log (2)x y x =+｝，则()UC A B I =A ．{}14≥-≤x x x 或B ．{}14>-<x x x 或C ．{}12>-<x x x 或D ．{}12≥-≤x x x 或答案：D解析：因为}14{}532{<<-=<+=x x x x A ，}2}{02{})2(log {3->>+=+==x x x x x y x B ，所以}12{<<-=⋂x x B A ，所以}21{)(-≤≥=⋂x x x B A C U 或，选D.7、函数()ln e =+xf x x 的零点所在的区间是(A)(10,e)(B)(1,1e)(C)(1,e ) (D)(e,∞)98.设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（A ）52-（B ）1- （C ）3- （D ）3 【答案】C【解析】因为韩函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ，即020=+b ，所以1-=b ，所以函数)0(,122)(≥-+=x x x f x ，所以3)122()1()1(-=-+-=-=-f f ，选C.9、已知函数3,0()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,则[(1)]f f -=A ．21B ．2C ．1D ．1- 答案：B解析】()[(1)]1 2.f f f -==10、直线kx y =与函数)10(<<=a a y x的图象交与A ，B 两点（点B 在A 上方），过B 点做x 轴平行线交函数xb y =图象于C 点，若直线y AC //轴，且3a b =，且A 点纵坐标为 .11、设{}{}R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则A.Q P ⊆B.P Q ⊆C.Q P C R ⊆D.P C Q R ⊆12、R 上的奇函数()f x 满足)()3(x f x f =+，当01x <≤时，()2x f x =，则(2012)f =A. 2-B. 2C. 12-D. 1213、若函数y f (x )(x R )=∈满足1f (x )f (x )+=-，且[-1,1]x ∈时21f (x )x =-，函数010lg x(x )g(x )(x )x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数h(x )f (x )g(x )=-在区间5-，4]内的零点的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案：A解析：由f （x ＋1）＝－f （x ），可得f （x ＋2）＝－f （x ＋1）＝f （x ），所以函数f （x ）的周期为2，求h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点，即求f （x ）＝g （x ）在区间－5,4］的解的个数。
广东省广州市高考数学一轮复习模拟试题精选 专题 导数及应用
导数及其应用一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y P x y 处的切线与在点)12,1(113+=轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3C ． 9D ．15【答案】C2．曲线3sin (0)2y x x π=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为( ) A ． 1B ． 2C ． 52D ． 3【答案】A3．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a ·e －x的导函数f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ ln22B ．－ln2C ．ln22D ．ln2【答案】D4．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形面积为( )A ．112B ．14C ．13D ．712【答案】A5．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是( )A ．()()2f a f b + B ．()baf x dx ⎰C ．1()2ba f x dx ⎰ D ．1()ba f x dxb a-⎰ 【答案】C6．已知函数()f x 的定义域为(2,2),-导函数为(0)0()2cos ,f f x x ='=+且，则满足2(1)()0f x f x x ++-＞的实数x 的取值范围为( )A ． (1,1)-B ． (11)-+，C ．(1D ．(11-+【答案】C7．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( )A ．18B ．38/3C ．16/3D ．16【答案】A8．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，用分点b x x x x x a n i i =<<<<<=-ΛΛ110，把区间],[b a 等分成n 个小区间，在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i Λ=ξ，作和式∑=∆=ni i n xf S 1)(ξ（其中x ∆为小区间的长度），那么n S 的大小( )A ．与)(x f 和区间],[b a 有关，与分点的个数n 和i ξ的取法无关B ． 与)(x f 和区间],[b a 和分点的个数n 有关，与i ξ的取法无关C ． 与)(x f 和区间],[b a 和分点的个数n,i ξ的取法都有关。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习导数与函数试题精选15
导数与函数1556.若函数()f x 在给定区间M 上，存在正数t ，使得对于任意x M ∈，有x t M +∈，且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的t 级类增函数，则以下命题正确的是 （ ）A ．函数4()(1,)f x x x =++∞是上的1级类增函数B ．函数2()|log (1)|(1,)f x x =-+∞是上的1级类增函数C ．若函数()sin ,2f x ax π⎡⎫=++∞⎪⎢⎣⎭为上的3π级类增函数，则实数a 的最小值为2D ．若函数[)2()31,f x x x =-+∞为上的t 级类增函数，则实数t 的取值范围为[)1,+∞【答案】D 【解析】若[)2()31,f x x x =-+∞为上的t 级类增函数，则()()f x t f x +≥恒成立，223330x tx t ++-≥恒成立，22912360t t ∆=-+≤或2363012t t ∆=->-<⎧⎨⎩且230t t +≥，解得,1≥t 所以D 正确。
57.设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数m 满足()x M M D ∀∈⊆，均有x m D +∈，且()()f x m f x +≥，则称()f x 为M 上的m 高调函数．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．]1,1[-B ．)1,1(-C ．]2,2[-D ．)2,2(-58.值域为{2,5,10}，其对应关系为21y x =+的函数的个数 （ ）A . 1 B. 27 C. 39 D. 8 【答案】B【解析】解：分别由22212,15,110x x x +=+=+=解得1,2,3x x x =±=±=±由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：○1取三个元素：有8121212=⋅⋅C C C C21种 ○2取四个元素:先从1,2,3±±±三组中选取一组13C 再从剩下的两组中选两个元素1212C C ⋅，故共有12121213=⋅⋅C C C 种； ○3取五个元素：56C ＝6种；○4取六个元素：1种。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 导数与函
导数与函数10三、解答题13.（本小题满分14分）设a ＜1，集合}0|{>∈=x R x A ，}6)1(32|{2a x a x R x B ++-∈=，B A D I =。
（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数ax x a x x f 6)1(32)(23++-=在D 内的极值点．【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.14.设1()(0)x xf x ae b a ae =++>。
（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值。
【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
【解析】（I ）设(1)xt e t =≥；则2222111a t y at b y a at at at -'=++⇒=-=， ①当1a ≥时，0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数， 得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a++。
15.已知函数f （x ）=e x＋ax 2-ex ，a ∈R.（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线y=f （x ）上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.16.【答案】解：（）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．17.已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.（2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e18.若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 导数与函
导数与函数1320、函数2lg ()=xf x x 的大致图像为21、若偶函数()()y f x x R =∈满足()()f 1x f 1x +=-，且当[]x 1,0∈-时，()2f x x =，则函数()()g x f x 1gx =-的零点个数为A.7B.8C.9D.1022、已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x R ∀∈都有()()()f x 4f x f 2+=+成立.当[]12x ,x 0,2∈，且12x x ≠时，都有1212()()f x f x x x --＜0，给出下列命题：（1）()f 20=； （2）直线x 4=-是函数()y f x =图象的一条对称轴； （3）函数()y f x =在[]4,4-上有四个零点； （4）()()f 2012f 0= 其中所有正确命题的序号为＿＿＿＿ 答案：（1）（2）（4）解析：令x ＝－2，得ff （－2＋4）＝f （－2）＋f （2），解得：f （－2）＝0，因为函数f （x ）为偶函数，所以，f （2）＝0，（1）正确；因为f （－4＋x ）＝f （－4＋x ＋4）＝f （x ），f （－4－x ）＝f （－4－x ＋4）＝f （－x ）＝f （x ），所以，f （－4＋x ）＝f （－4－x ），即x ＝－4是函数f （x ）的一条对称轴，（2）正确；当[]12x ,x 0,2∈，且12x x ≠时，都有1212()()f x f x x x --＜0，说明函数f （x0在［0,2］上单调递减函数，又f （2）＝0，因此函数f（x ）在［0,2］上只有一个零点，由偶函数，知函数f （x ）在［－2，0］上也只有一个零点，由f （x ＋4）＝f （x ），知函数的周期为4，所以，f （6）＝f （－6）＝0，因此，函数在［－4,4］上只有2个零点，（3）错；对于（4），因为函数的周期为4，2012是4的倍数，即有f （0）＝f （4）＝f （8）＝…＝f （2012），（4）正确；选（1）（2）（4）。
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导数与函数121、若1132210933a log .,b ,c ()-===则( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．b<c<a2、已知函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()31((1))log 2f f f +的值是A ．7B ． 2C ．5D ．33、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ＋2）＝f （x ），且当x ∈（0,1）时，f （x ）＝tan2xπ，则f （x ）在0,5］上的零点个数是（A,3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 答案：D解析：函数f （x ）是奇函数，所以，f （0）＝0，由f （x ＋2）＝f （x ）知，f （2）＝f （4）＝0，而f （x ）是定义R 上的奇函数，所以还有f （1）＝f （3）＝f （5）＝0，f （x ）在0,5］上共6个零点。
当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，f （－x ）＝tan()2xπ-，即－f （x ）＝tan2xπ-，所以f （x ）＝tan2xπ（－1＜x ＜0），函数f （x ）的周期为2，因此f （x ）在（0,1），（1，2）（2,3），（3，4）（4,5）上都没有零点，故选D 。
4、函数||(1)xx y xαα=>的图象大致形状是5、函数y =lg1|1|x +|的大致图象为【答案】D【解析】函数的定义域为}-1x {x ≠，排除A,C.取特殊值9=x ，则01<-=y ，排除B,选D.6、若全集U =R ，集合{235}A x x =+<，B =｛3|log (2)x y x =+｝，则()UC A B I =A ．{}14≥-≤x x x 或B ．{}14>-<x x x 或C ．{}12>-<x x x 或D ．{}12≥-≤x x x 或答案：D解析：因为}14{}532{<<-=<+=x x x x A ，}2}{02{})2(log {3->>+=+==x x x x x y x B ，所以}12{<<-=⋂x x B A ，所以}21{)(-≤≥=⋂x x x B A C U 或，选D.7、函数()ln e =+xf x x 的零点所在的区间是(A)(10,e)(B)(1,1e)(C)(1,e ) (D)(e,∞)98.设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（A ）52-（B ）1- （C ）3- （D ）3 【答案】C【解析】因为韩函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ，即020=+b ，所以1-=b ，所以函数)0(,122)(≥-+=x x x f x ，所以3)122()1()1(-=-+-=-=-f f ，选C.9、已知函数3,0()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,则[(1)]f f -=A ．21B ．2C ．1D ．1- 答案：B解析】()[(1)]1 2.f f f -==10、直线kx y =与函数)10(<<=a a y x的图象交与A ，B 两点（点B 在A 上方），过B 点做x 轴平行线交函数xb y =图象于C 点，若直线y AC //轴，且3a b =，且A 点纵坐标为 .11、设{}{}R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则A.Q P ⊆B.P Q ⊆C.Q P C R ⊆D.P C Q R ⊆12、R 上的奇函数()f x 满足)()3(x f x f =+，当01x <≤时，()2x f x =，则(2012)f =A. 2-B. 2C. 12-D. 1213、若函数y f (x )(x R )=∈满足1f (x )f (x )+=-，且[-1,1]x ∈时21f (x )x =-，函数010lg x(x )g(x )(x )x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数h(x )f (x )g(x )=-在区间5-，4]内的零点的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案：A解析：由f （x ＋1）＝－f （x ），可得f （x ＋2）＝－f （x ＋1）＝f （x ），所以函数f （x ）的周期为2，求h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点，即求f （x ）＝g （x ）在区间－5,4］的解的个数。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 导数与函
导数与函数1669.省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？（本小题满分13分）（2）当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，记()223g t t a a =-++ 则()23,0321,32t a t a g t t a a t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩ ……………………8分 ∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故()()1171,0,02464211113,0,34242g a a a M a a a g a ⎧⎛⎫⎧≤≤+≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪+<≤<≤⎪⎪⎩⎩. ……………………10分 ∴当且仅当49a ≤时，()2M a ≤.故当409a ≤≤时不超标，当4192a <≤时超标． ……………………13分70.设函数f(x)=－121x3＋61mx2+23x ，g(x)=21mx2－x ＋c ，F(x)=x f(x)。
(Ⅰ) 若函数y= f(x)在x=2处有极值，求实数m 的值； (Ⅱ) 试讨论方程y=F ＇(x)＝g(x)的实数解的个数；（Ⅲ）记函数y= G(x)的导称函数G ＇( x)在区间(a,b)上的导函数为G ＇＇( x)，若在(a ，b)上G ＇＇( x)＞0恒成立，则称函数G(x) (a,b)上为“凹函数”。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习导数与函数试题精选06
导数与函数06一、选择题1.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =(A)(A)42 (B)22(C)41 (D)212. 设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( B )(A)3 (B)32 (C)43 (D)653、若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( A )(A) 10-x-1. (B) 10x-1. (C) 1-10-x. (D) 1-10x.4、若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则f(x)=( A )(A)10x-1. (B) 1-10x. (C) 1-10-x. (D) 10-x-1. 5．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ B ）6. 函数123==xy )01(<≤-x 的反函数是(D)(A))31(log 13≥+=x x y (B))31(log 13≥+-=x x y (C))131(log 13≤<+=x x y (D))131(log 13≤<+-=x x y7．函数y =的定义域是：（ D ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1]8．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ C ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >9.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 导数与函
导数与函数0220．函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为(A )f (x )＝1log 2x (x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0)(C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0)21．函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为（A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y ex +=> （D ）1(1)x y e x -=>解析：函数ln 1(0)y x x =+>解得1y x e -=（y∈R），∴ 反函数为1()x y ex R -=∈，选B.22.如果函数()y f x =的图像与函数32y x '=-的图像关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（A ）23y x =- （B ）23y x =+ （C ）23y x =-+ （D ）23y x =--23．函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 解析:191()12319n f x x n x x x x ==-=-+-+-+-∑L L表示数轴上一点到1,2,3…19的距离之和,可知x 在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.24.函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是25.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B26.设1232,2()((2))log(1) 2.xe xf x f fx x-⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C27.设函数f(x)=log a(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )A.6B.5C.4D.328.函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是( )A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]解析：函数f (x )=11+x 2 (x ∈R )，∴ 21x +≥1，所以原函数的值域是(0，1] ，选B .29.设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b 等于( )A.6B.5C.4D.330.函数()()()ln 1,1f x x x =->的反函数是（A ）()()11x f x e x R -=+∈ （B ）()()1101x f x x R -=+∈ （C ）()()11011x fx x -=+> （D ）()()111x f x e x -=+>解析：函数()()()ln 1,1f x x x =->，解得1yx e =+(y∈R)，所以原函数的反函数是()()11x f x e x R -=+∈，选A.31.已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(YC ．)1,21[D ．]21,0( 32.设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q <<解析：2323log 31,0log 21,log (log 2)0,P Q R =><=<=< 则R Q P <<，选A.33.函数1(0)y x =<的反函数是（ ）Ａ．0)y x =< Ｂ．0)y x =<Ｃ．2)y x =>Ｄ．2)y x =>34.如果函数2()(31)(01)xxf x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）Ａ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．1⎫⎪⎪⎣⎭Ｃ．(Ｄ．32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞35.已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1 【考点分析】本题考查对数函数的性质，基础题。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 导数与函
导数与函数1436.已知，函数，若实数M,N满足f(M) > f(n),则m、n满足的关系为A. m + n< 0B. m +n > 0C. m > nD. m < n【答案】D【解析】本题主要指数函数的单调性. 属于基础知识、基本运算的考查.3()xf x=是R上的减函数，实数M,N满足f(M) > f(n),故M<N37.已知()f x是定义在实数集R上的增函数，且(1)0f=，函数()g x在(,1]-∞上为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g==，则集合{|()()0}x f x g x≥= （）（A）{|014}x x x≤≤≤或（B）{|04}x x≤≤（C）{|4}x x≤（D）{|014}x x x≤≤≥或38.设函数)(xfy=是定义在R上以1为周期的函数，若xxfxg2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则函数)(xg在[12,12]-上的值域为（）(A)]6,2[- (B) [20,34]- (C)[22,32]- (D) [24,28]-39.函数y =的定义域为 .【答案】[2,)+∞【解析】由题可得2log (1)010x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x ≥。
40.若函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()f x x x =+，则(2)f -的值为 ；【答案】6-【解析】(2)(2)6f f -=-=-。
41.下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是（ ）A.xy 21log = B.x y 1=C.x y sin =D.x x y -=2【答案】C【解析】因A 、B 递减，C 在（0,1）递增，D 在（0,1）上先递减后递增，选C 。
42.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当)02(，-∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（ ）A.21-B.21C. 2D.2-43.函数2212()log xf x +=的值域为 ( )A ．[1,+∞) B．(0,1] C ．(-∞,1] D．(-∞,1) 【答案】C【解析】因2221x ≤+，所以22122log log 2x +≤，即()(,1]f x ∈-∞，选C 。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 导数与函
导数与函数053. 设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知x 1＋x 2＝l ， ④4.已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,22+=( 、分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2-x-6.(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值.[解](1)由已知得A(kb -,0),B(0,b),则={k b ,b},于是k b=2,b=2. ∴k=1,b=2.5．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式； (Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．(III) 2()(1)2(1) 1.h x x x λλ=-++-+当1λ=-时，()h x ＝41x +在[-1,1]上是增函数，∴1λ=-②当1λ≠-时，对称轴的方程为11x λλ-=+ (i) 当1λ<-时，11λλ-+1≤-，解得1λ<-。
广州市天河高考一轮《函数和方程》复习检测试题含答案
函数和方程1、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ D ） A 、)1,0( B 、)25.1,1( C 、)75.1,25.1( D 、)2,75.1(2、函数x x x f 3log cos )(-=π的零点个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、函数32()ln2f x xπ=-的零点一定位于区间（ A ） A 、)2,1( B 、)3,2( C 、)4,3( D 、)5,4(4、设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =（ D ）A 、在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点B 、在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点C 、在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点D 、在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点5、函数22x y x =-的图象大致是（ A ）6、设函数()()x x x f -+=12sin 4，则在下列区间中()x f 不存在零点的是（ A ） A 、[]2,4-- B 、[]0,2- C 、[]2,0 D 、[]4,27、已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则 下列命题中为假命题的是（ C ）A 、0,()()x R f x f x ∃∈≤B 、0,()()x R f x f x ∃∈≥C 、0,()()x R f x f x ∀∈≤D 、0,()()x R f x f x ∀∈≥8、已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则()1f x 的值为（ A ）A 、恒为正值B 、等于0C 、恒为负值D 、不大于09、已知()()()1f x x a x b =--+，n m ,是方程0)(=x f 的两根，且a <b ，m <n ， 则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ B ） A 、m <a <b <n B 、a <m <n <b C 、a <m <b <n D 、m <a <n <b10、若2()(2)(21)0f x m x mx m =-+++=的两个零点分别在区间(1,0)-和区间(1,2)内，则m 的取值范围是（ C ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,41C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,4111、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ A ） A 、α<β B 、α>β C 、α=β D 、无法确定α与β的大小12、设|13|)(-=x x f ，a b c <<且)()()(b f a f c f >>，则下列一定成立的是（ D ） A 、b c 33> B 、a b 33> C 、233>+a c D 、233<+a c 13、已知函数x x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x 3x ，则321,,x x x 的大小关系是（ A ）A 、123x x x <<B 、213x x x <<C 、132x x x <<D 、321x x x << 14、已知 (),4log )(,4,1n x x x g m x a x f a a x 的零点为的零点为若函数-+=-+=>nm 41+则的取值范围是（ A ） A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,49 B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 C 、[)+∞,1 D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,3715、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ B ）A 、2{|1}a a <≤B 、{|}2a a ≥C 、3|}2{a a ≤≤D 、{2,3} 16、函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
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导数与函数071.已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等。
(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a 。
(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增。
2．已知函数)0)(ln()(>+=a a e x f x. （1）求函数)(x f y =的反函数)()(1x f x fy 及-=的导数);(x f '（2）假设对任意0))(ln(|)(|)],4ln(),3[ln(1<'+-∈-x f x f m a a x 不等式成立，求实数m 的取值范围..0)()()()(2312212*********212>---=---=-t t t t a t t t t t a t t a t t v t v所以)(),(t v t u 都是增函数.因此当]4,3[a a t ∈时，)(t u 的最大值为)(,512)4(t v a a u =的最小值为,38)3(a a v =而不等式②成立当且仅当),3()4(a v e a u m <<即 a e a m 38512<<，于是得 ).38ln()512ln(a m a <<………………12分3.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.解：（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-1λ∴≤由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤-即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2） 由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--4.解不等式：lo g 2（x 2－x －2）>lo g 2（2x －2）.解：原不等式变形为：lo g 21（x 2－x －2）>lo g 21（2x －2）.所以，原不等式3230203010)1)(2(2220102222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x故原不等式的解集为{x |2<x <3}.评述：本题通过对数恒等变形，转化为函数单调性问题，考查了考生的演绎推理和逻辑思维及计算能力.5.已知函数5)(,5)(31313131--+=-=x x x g x x x f .（1）证明f （x ）是奇函数；并求f （x ）的单调区间.（2）分别计算f （4）－5f （2）g （2）和f （9）－5f （3）g （3）的值，由此概括出涉及函数f （x ）和g （x ）的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.（2）算得f （4）－5f （2）·g （2）=0，f （9）－5f （3）·g （3）=0.由此概括出对所有不等于零的实数x 有：f （x 2）－5f （x ）·g （x ）=0.因为：f （x 2）－5f （x ）·g （x ）=0)(51)(51555532323232313131313232=---=+⋅-⋅-------x x x x x x x x x x . 6.已知f （x ）是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f （x ）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并加以证明.解：f （x ）在（－∞，0）上是增函数，证明如下： 设x 1＜x 2＜0，因为f （x ）为偶函数所以f （－x 1）=f （x 1），f （－x 2）=f （x 2） ① 由设可知－x 1＞－x 2＞0，又f （x ）在（0，+∞）上是减函数于是有f （－x 1）＜f （－x 2）②把①代入②得f （x 1）＜f （x 2）由此可得f （x ）在（－∞，0）上是增函数7.已知函数f （x ）=a x+12+-x x （a ＞1）. （1）证明：函数f （x ）在（－1，+∞）上为增函数； （2）用反证法证明方程f （x ）=0没有负数根. 证明：（1）设－1＜x 1＜x 2)1)(1()(3()1()1)(1()1)(2()2)(1()1(12121212)()(121212212111221122121211211212++-+-=+++---++-=+--+-+-=+---+-+=---x x x x a a x x x x x x a a x x x x a a x x a x x a x f x f x xx x xx x x x x因为x 2－x 1＞0，又a ＞1，所以12x x a-＞1，而－1＜x 1＜x 2，所以x 1+1＞0，x 2+1＞0，所以f （x 2）－f （x 1）＞0，∴f （x ）在（－1，+∞）上为增函数8.设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R.（1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值. 解：（1）f （2）=3，f （－2）=7由于f （－2）≠f （2），f （－2）≠－f （2） 故f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数（2）f （x ）=⎩⎨⎧<+-≥-+2,12,322x x x x x x由于f （x ）在2，+∞）上的最小值为f （2）=3，在（－∞，2）内的最小值为43)21(=f . 故函数f （x ）在（－∞，+∞）内的最小值为43. 评述：因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词.f （－x ）与f （x ）要同时有意义，f （x ）与f （－x ）要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.9.已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （a ·b ）=af （b ）+bf （a ）.（1）求f （0），f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（3）f （2）=2，u n =nf n )2(-（n ∈N ），求数列{u n }的前n 项的和S n .解：（1）、（2）同上题（3）解法一：由f （a 2）=af （a ）+af （a ）=2af （a ）f （a 3）=a 2f （a ）+af （a 2）=3a 2f （a ）猜测f （a n）=nan －1f （a ）.下面用数学归纳法证明：①当n =1时，f （a 1）=1·a 0·f （a ），公式成立； ②假设当n =k 时，f （a k）=kak －1f （a ）成立，那么当n =k +1时f （a k +1）=a k f （a ）+af （a k ）=a k f （a ）+ka k f （a ）=（k +1）a k f （a ），公式仍成立.由上两步可知，对任意n ∈N ，f （a n）=nan －1f （a ）成立.所以)21()21()2(1f n f u n n n ⋅==--因为f （2）=2，f （1）=f （2·21）=2f （21）+21f （2）=0 所以f （21）=－41f （2）=－21u n =（－21）·（21）n －1（n ∈N ） 因此1)21(211])21(1[21-=---=n n n S （n ∈N ）（以下同解法一）评述：这是一个研究抽象函数的问题，学生应该在第（1）问的基础上，利用奇偶函数的定义，计算f （－x ）是此题的切入点.第（3）问应该在归纳假设的基础上，充分利用所给函数的关系式.。