高中数学第二章第10课时等比数列的概念和通项公式训练苏教版必修5
苏教版必修5高中数学2.2.1《等差数列的概念及通项公式》练习题
苏教版必修5高中数学2.2.1《等差数列的概念及通项公式》练习题2．2.1 等差数列的概念及通项公式1．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差．2．如果数列{an}是公差为d的等差数列，则a2＝a1＋d；a3＝a2＋d＝a1＋2d． 3．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．4．等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝a2＋(n－2)d＝a3＋(n－3)d，因此等差数列的通项公式又可以推广到an＝am＋(n－m)d(n＞m)．5．由an＝am＋(n－m)d，得d＝连线的斜率．6．如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A可以用a，b表示为A＝an－am，则d就是坐标平面内两点A(n，an)，B(m，am)n－ma＋b2，A称为a，b 的等差中项．7．如果数列{an}的通项公式an＝a・n＋b，则该数列是公差为a的等差数列． 8．等差数列的性质．若{an}是等差数列，公差为d，则：(1)an，an－1，…，a2，a1亦构成等差数列，公差为－d； (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…(m∈N)也构成等差数列，公差为md；(3)λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…(λ，μ是常数)也构成等差数列，公差为λd； (4)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N)是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为d＝***an－am； n－m(5)若m，n，k，l∈N，且m＋n＝k＋l，则am＋an＝ak＋al，即序号之和相等，则它们项的和相等，例如：a1＋an＝a2＋an－1＝… ?基础巩固一、选择题1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(B)A．1 B．2 C．3 D．4a1＋a5解析：由等差中项的性质知a3＝＝5，又a4＝7，∴公差d＝a4－a3＝7－5＝2.22．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则(A)A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5 C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5解析：考查项数与d之间关系．3．首项为－20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(C)A．d＞ B．d≤ C.＜d≤ D.≤d＜?a10＞0，??－20＋9d＞0，20?5即?即＜d≤.2??a9≤0，??－20＋8d≤0，92209522095220952解析：由题意知?4．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax＋2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(D)A．1个 B．0个 C．2个 D．1个或2个解析：∵Δ＝(2b)－4ac＝(a＋c)－4ac，∴Δ＝(a－c)≥0.∴A与x轴的交点至少有1个．故选D.5．(2021・重庆卷)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(B)222A．5 B．8 C．10 D．14解析：设出等差数列的公差求解或利用等差数列的性质求解．方法一设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.方法二由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8. 二、填空题6．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析：根据等差数列的性质，a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37. ∴原式＝37＋37＝74. 答案：747．(2021・广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．解析：由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10，即2a1＋9d＝10， 3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d）＝20.答案：208．在等差数列{an}中，a3＝50，a5＝30，则a7＝________．解析：2a5＝a3＋a7，∴a7＝2a5－a3＝2×30－50＝10. 答案：10 三、解答题9．在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7. (1)求a9；(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．解析：(1)设首项为a1，公差为d，则2a1＋5d＝12， a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2，∴a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.(2)由(1)知，an＝2n－1，由101＜an＜1 000知 101＜2n－1＜1 000， 1 001∴51＜n＜. 2∴共有项数为500－51＝449.111110．已知数列{an}中，a1＝，＝＋，求an.2an＋1an3111?1?111n＋5解析：由＝＋知??是首项为2，公差为的等差数列，∴＝2＋(n－1)×＝. an＋1an3?an?3an33∴an＝3*(n∈N)． n＋5?能力升级一、选择题11．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(B)A．0 B．3 C．8 D．11解析：由b3＝－2和b10＝12得b1＝－6，d＝2，∴bn＝2n－8，即an＋1－an＝2n－8，由叠加法得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(a8－a7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.∴a8＝a1＝3.12．等差数列{an}中，前三项依次为：151，，，则a101等于(D) x＋16xx*12A．50 B．13 332C．24 D．83解析：由11511＋＝2×解得x＝2，故知等差数列{an}的首项为，公差d＝，故a101x＋1x6x31211262＝a1＋100d＝＋100×＝＝8. 3123313．已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则等于(B)11A. B. 4211C．－ D．－24解析：设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－2，故知－4－（－1）－5＋1＝－1，b2＝4－12a2－a1b2a2－a11＝. b22二、填空题14．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 21－714解析：∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列，其公差为＝＝7.22∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35. 答案：3515．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a2－4，则an＝________．解析：利用等差数列的通项公式求解．设等差数列公差为d，则由a3＝a2－4，得1＋2d＝(1＋d)－4，∴d＝4.∴d＝±2.由于该数列为递增数列，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N)．答案：2n－1(n∈N) 三、解答题16．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式．解析：由题设条件可得*2222??a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，? ?（a1＋d）（a1＋3d）（a1＋5d）＝45，???a1＝－1，??d＝2??a1＝11，??d＝－2.解得?或?*∴数列{an}的通项公式为an＝2n－3或an＝13－2n，n∈N. 17．已知111222，，是等差数列，求证：a，b，c是等差数列． b＋cc＋aa＋b112＋＝， b＋ca＋bc ＋a证明：由已知条件，得∴2b＋a＋c2＝. （b＋c）（a＋b）c＋a∴(2b＋a＋c)(a＋c)＝2(b＋c)(a＋b)．∴a＋c＝2b，即a，b，c是等差数列．222222感谢您的阅读，祝您生活愉快。
【高中】高中数学第2章数列2322等比数列的性质学案苏教版必修5
【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必
第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。
苏教版高中数学必修五第2章数列2.3等比数列的概念、性质(学生版)
等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。
苏教版数学必修五同步讲义：2.3.2等比数列的通项公式
2．3.2 等比数列的通项公式1.掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题． 2．理解等比数列的性质，能熟练运用等比数列的性质解决有关问题．, [学生用书P31])1．等比数列的通项公式(1)通项公式：设数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1．(2)通项公式的变形：设a n ，a m 分别是等比数列{a n }的第n 项和第m 项，数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)．2．等比数列的性质若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)；(2)若m ＋n ＝s ＋t ＝2k (m ，n ，s ，t ，k ∈N *)， 则a m ·a n ＝a s ·a t ＝a 2k ； (3){c ·a n }(c 是非零常数)是公比为q 的等比数列； (4){|a n |}是公比为|q |的等比数列；(5)若{b n }是公比为q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q ·q 2的等比数列．1．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝________，a n ＝________．解析：a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1.★答案☆：24 3×2n －12．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝________． 解析：因为a 7＝a 5q 2， 所以q 2＝32.所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2＝4×94＝9.★答案☆：93．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 解析：因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25. ★答案☆：25等比数列的通项公式及其应用[学生用书P32]已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．【解】 (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．因为方程组中含有指数式，通常采用相除消元法求a 1和q .(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法具有一定的技巧性，能简化运算．1.(1)若等比数列{a n }的前三项分别为5，－15，45，则第5项是________．(2)已知a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________． 解析：(1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，②由②①，得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6. ★答案☆：(1)405 (2)6等比数列的性质及应用[学生用书P32]已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9. 【解】 法一：根据等比数列的性质得 a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 26， 由a 2·a 6·a 10＝1得a 36＝1，故a 6＝1，所以a 3·a 9＝a 26＝1. 法二：根据等比数列的通项公式得： a 2·a 6·a 10＝(a 1q )(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 31·q 15＝(a 1q 5)3＝1，所以a 1q 5＝1，所以a 3·a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2＝1.解决此类问题时，应用等比数列的性质，会简化运算过程．要注重领会整体思想，观察整体特征，找到它们的内在联系，选取合适的方法．2.(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7.(2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .解：(1)法一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9. (2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7， 而a 3＋a 7＝15，所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.1．用函数的观点看等比数列的通项等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，还可以改写为a n ＝a 1q q n ，当q >0且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q ·q n 是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q·q x 的图象上一些孤立的点．2．等比数列的通项公式与指数函数(1)等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1可以看作是指数型函数y ＝cq x .(2)等比数列增减性：①当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，等比数列{a n }是递增数列． ②当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，等比数列{a n }是递减数列． ③当q ＝1时，等比数列{a n }是常数列． ④当q <0时，等比数列{a n }是摆动数列．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，求{a n }的通项公式．[解] 因为(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0， 所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋1a n ＝nn ＋1，即a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝n －1n ·n －2n －1·…·23·12a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·23·12·1＝1n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n.(1)本题易出现以下错解：因为(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0， 即(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，所以(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以{a n }是以1为首项，n n ＋1为公比的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫n n ＋1n －1.以上错解中n n ＋1不是常数，不能作为等比数列的公比．(2)由a n ＋1a n＝q 得{a n }为等比数列中的q 必须是一个非零常数．1．在等比数列{a n }中，a 5＝8，a 7＝2，且该数列的各项都为正数，则通项公式a n ＝________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝8，a 1q 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝14，a 1＝128，因为a n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝128，所以a n ＝128×⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －8.★答案☆：⎝⎛⎭⎫12n －82．在等比数列{a n }中，若a 6＝6，a 9＝9，则a 3＝________． 解析：因为a 9＝a 6q 3，所以9＝6q 3，解得q 3＝32.所以a 3＝a 6q －3＝6q 3＝4.★答案☆：43．在等比数列{a n }中，a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11＝________．解析：因为a 3a 11＝a 5a 9＝a 27， 由a 3a 5a 7a 9a 11＝243， 得a 57＝35，所以a 7＝3，所以a 29a 11＝a 9·a 7q 2a 9·q 2＝a 7＝3.★答案☆：34．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．解析：设这三个数分别为aq ，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.★答案☆：－25，1，－52, [学生用书P91(单独成册)])[A 基础达标]1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________． 解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2，所以a n ＝2n . ★答案☆：a n ＝2n 2．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程2x 2＋7x ＋6＝0的两个根，则a 1a 3a 5a 7a 9＝________． 解析：因为a 3，a 7是方程2x 2＋7x ＋6＝0的两根， 所以a 3a 7＝3>0，a 3＋a 7＝－72<0，所以a 3<0，a 7<0， 所以a 5＝a 3q 2<0，又a 25＝a 3a 7＝3，所以a 5＝－3， 所以a 1a 3a 5a 7a 9＝a 55＝－9 3. ★答案☆：－9 33．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________． 解析：因为a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)， 所以a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，所以q ＝2，a 1＝34，即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3×2n －3.★答案☆：3×2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：因为a 4a 6＝a 25，所以a 4a 5a 6＝a 35＝3， 解得a 5＝313.因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. ★答案☆：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________． 解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， 所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.★答案☆：－76．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________．解析：因为b n ＝a n ＋1a n ，且b 10·b 11＝2，又{b n }是等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2，则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1＝1 024， 从而a 21＝1 024a 1＝1 024. ★答案☆：1 0247．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，所以a 27＝4a 7.因为a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. ★答案☆：88．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.★答案☆：3或27 9．已知数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式． 解：因为a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数， 得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2.令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2. 令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1，所以b 1＝0，C 1＝－2， 所以{C n }为等比数列， 所以C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－22－n . 所以b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－22－n .10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1知，a 1＋1＝2，这时a n ＋1≠0， 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＝2·2n －1＝2n ， 所以a n ＝2n －1.[B 能力提升]1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．解析：设轿车每年的价值构成数列{a n }，根据题意分析可知数列{a n }是首项为36，公比为0.9的等比数列，则a n ＝36×(0.9)n －1，根据题意有a n ≤18，则36×(0.9)n －1≤18， 即(0.9)n ≤0.45，因为y ＝(0.9)n 关于n 单调递减，又|0.97－0.45|>|0.98－0.45|，故n ＝8. ★答案☆：82．已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为______________．解析：由题意设此四个数分别为bq，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8.★答案☆：1，－2，4，10或－45，－2，－5，－83．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1－23a n ，求a n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－23a n －⎝⎛⎭⎫1－23a n －1 ＝－23a n ＋23a n －1，则53a n ＝23a n －1，所以a n a n －1＝25， 所以数列{a n }为等比数列． 令n ＝1，则S 1＝1－23a 1，即a 1＝1－23a 1，所以a 1＝35，所以a n ＝35×⎝⎛⎭⎫25n －1.4．(选做题)若数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正数，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ， 所以a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． 因为a 2＝2S 1＋1＝3， 所以a 2＝3a 1.故数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)设数列{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，所以(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2. 解得d 1＝2，d 2＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正数，所以d >0，所以d ＝2，所以b 1＝3.所以T n ＝3n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋2n .。
高中数学苏教版必修五《第2章数列2.3等比数列》课件
证明：(1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an－4an－1， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)， ∴bn＝2bn－1(n≥2)． 又b1＝a2－2a1＝S2－3a1＝a1＋2＝3， ∴{bn}是以首项为3，公比为2的等比数列．
＝q(q 为常数)也可以用aan＋ n 1＝aan－n 1(n≥2)进行判断．
例3 在等比数列{an}中，对 n∈N*，a1＋a2＋…＋an ＝2n－1，求证：数列{a2n}是等比数列．
【分析】 可先求出an，再利用等比数列的定义证明
【证明】 ∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，
①
∴a1＝1且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1.
(2)求数列{an}的通项公式． 【分析】 由递推公式变形出 an－23、an－1－23，通过待 定系数法寻找关系．
【解】 (1)证明：由 an＋1＝12an＋13，得 an＋1－23＝12(an－23)． 又 an－23≠0，
∴an＋1－32＝ an－32
12，即数列an－23是
首项为254，公比为12的等
(2)∵bn＝3·2n－1，∴an＋1－2an＝3·2n－1， 又 cn＝a2nn， ∴cn＋1－cn＝2n1＋1(an＋1－2an)＝2n1＋1·3·2n－1＝34， 且 c1＝a21＝12， ∴{cn}是以12为首项，34为公差的等差数列．
题型二 等比数列的判定
判断一个数列是等比数列的基本方法是紧扣定义： an an－1
比数列．
(2)由(1)知 an－23＝(a1－23)(12)n－1，且 a1＝78， 即 an＝(a1－23)(12)n－1＋23
高一数学《数列》同步训练(共7份)含答案必修5
必修5《数列》同步训练（共7份）含答案2．1 数列的概念与简单表示法一、选择题：1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ ） A.(1)n n a =- B.1(1)n n a +=- C.1(1)n n a -=- D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ ）A. n aB. n a =C. n a =D.n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 124．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 （ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1），14，19，116，； （2）32，54，，1716，3332，。
8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a =.9.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为.（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为.（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为.10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a =.三.解答题11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.2.2等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（ ） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（ ）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4.已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（ ） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为 （ ）A.47n -B.47n --C.41n +D.41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是 （ ）A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D.一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a =.8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a =.9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a =.10.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8=.三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12.等差数列｛a n｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.（1）求公差d的值;（2）求通项a n.13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.2.3等差数列的前n 项和一.选择题：1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （ ）A.12B.24C.36D.482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为 （ ）A.0B.90C.180D.3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A.130B.170C.210D.2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为 （ ）A.0B.100C.1000D.100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ ） A.38B.1124C.1324D.3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s =.8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d =.9.有一个 凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n=.10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b =. 三.解答题11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.已知等差数列｛a n｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。
苏教版高中数学必修5学案第二章第10课时等比数列的概念和通项公式
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
听课随笔第2课时【学习导航】知识网络学习要求1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】1．如果a n ≠0，且a n +12=a n a n +2对任意的n ∈N *都成立，则数列{a n }___________. 2．等比数列的递增和递减性. 在等比数列{a n }中(1)若a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1则数列递增，(2)若a 1＞0,0＜q ＜1,或a 1＜0，q ＞1 ,则数列递减；(3)若q =1，则数列为_____________； (4)若q ＜0，则数列为____________.3．对于k 、l 、m 、n ∈N *，若m n p q +=+，则_________________；【选修延伸】【例1】（１）在等比数列{a n }中，是否有a 2n ＝a n-1 a n +1（ｎ≥２）？（２）如果数列{a n }中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a 2n ＝a n-1 a n +1，那么，{a n }一定是等比数列吗？ 【解】【例2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．【解】追踪训练一１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ， Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．3．在等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9，那么a 3等于( )A.4B.23 C.916D.2 4.等比数列{a n }的公比为2，则432122a a a a ++的值为( ) A.41 B.21C.81D.1莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
苏教版高中数学必修五《等比数列的概念和通项公式(第2课时)》教案
等比数列的概念和通项公式（第2课时）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识。
二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用。
难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n n a a q =（0≠q ）。
2．等比数列的通项公式：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n 。
3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+q =（+∈N n ,q ≠0），“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件。
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。
二、研探新知1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项，即G =±ab （a ,b 同号）。
推导：若在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，则ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2； 反之，若G 2=ab ，则Gb a G =，即b G a ,,成等比数列。
∴b G a ,,成等比数列⇔G 2=ab （0≠ab ）。
探究：已知数列}{n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？结论：若}{n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅。
苏教版高中数学必修五学案第二章第课时等比数列的概念和通项公式(1)
第11课时 等比数列的概念和通项公式【分层训练】1．已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好是某等比数列的第4，6，8项，那么该等比数列的公比是 （ ） A ．3 B ．2 C ．±3 D ．±22．已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+， 则20a =( )A ．0B ．3-C ．3D ．233．在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，下列结论正确的是（ ）A ．a 1 + a 9 = a 10，b 1·b 9 = b 10B ．a 1 + a 9 = a 3 + a 6，b 1 + b 9 = b 3 + b 6C ．a 1 + a 9 = a 4 + a 6，b 1·b 9 = b 3·b 6D ．a 1 + a 9 = 2a 5，b 1·b 9 = 2b 54．某单位某年12月份产量是同年1月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ ） A ．11mB ．12m C ．111-mD ．112-m5．若方程052=+-m x x 与0102=+-n x x 的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则n ∶m 的值为________; 6. 若{a n }是等比数列，有a 3+a 5= – 132，a 2a 6= 512，则a 7 =_____________;7. 数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n + 1) = n + 1, 则a n =___________;8. 制造某种产品，预计经过两年使成本降低36%，则平均每年应降低成本的百分比为____ .【拓展延伸】9．等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.10. 已知数列{a n }，a n ∈N *，S n =2)2(81+n a .（1）求证：{a n }是等差数列；（2）若b 1 =1，b 2 =4，{b n }前n 项和为B n ，且B n +1 =（a n +1 – a n + 1）B n +（a n – a n +1）B n –1（n ≥2）.求{b n }通项公式.。
【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5第2章2.3-2.3.2等比数列的通项公式
第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级基础巩固一、选择题1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a，b，c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案：B2．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析：因为a4＝a1q3＝8·q3＝64，所以q3＝8，q＝2.所以a 3＝a 1q 2＝8×22＝32.答案：C3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，….答案：A4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．答案：B5．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.答案：D二、填空题6．等差数列{a n}的首项为a1＝1，a1，a2，a5成等比数列，则d ＝________．解析：因为a1，a2，a5成等比数列．所以a22＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)．所以(1＋d)2＝1＋4d.所以d＝0或d＝2.答案：0或27．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．解析：由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案：1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．解析：设这个林场今年的树木总量是m，第n年末的树木总量为a n，则a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.则a n＋1a n＝1.25.则数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．则a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案：1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中：(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n ； (2)a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n .解：(1)法一：因为a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18.所以a 1q 2＋a 1q 5＝36，①a 1q 3＋a 1q 6＝18, ②②①得q ＝12，所以14a 1＋132a 1＝36，所以a 1＝128， 而a n ＝a 1q n －1，所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以n ＝9.法二：因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)． 所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32. 因为a n ＝a 3q n －3，所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，所以q 2＝14，q ＝±12. 又a n >0，所以q ＝12. 所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n ， 即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1，即b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.B 级 能力提升一、选择题11．已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，故得(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，所以a 3＋a 5＝5.答案：A12．设{a n }是由正数组成的等比数列，且a 5·a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值是( )A ．5B ．10 C ．20 D ．40解析：log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·a 3·…·a 10)＝log 3(a 5·a 6)5＝log 3815＝log 3320＝20.答案：C13．在正项等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )A ．4B ．6C ．8D ．4 2解析：因为a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 33＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案：C二、填空题14.(2014·安徽卷)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：1415．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50三、解答题16．已知等比数列{a n }各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解：由⎩⎨⎧a 23＝9a 2a 6，2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎨⎧a 23＝9a 24，2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a 1＝13. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。
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第10课时 等比数列的概念和通
项公式
【分层训练】
1.下列各组数能组成等比数列的是（ ）
A. 111
,,369
B. lg3,lg9,lg 27
C. 6,8,10
D. 3,33,9- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那
么它的公比q =（ ）
A. 4
B. 2
C. 52
D. 1
2
3. 考察下列数列，①a 1 =1，a n +1 =a n + 21，b 1 =2，b n +1 =b n ·2. ②a n +1 =a n ，b n +1 =2b n . ③
a n +1 =a n +n ，
b 1 =1，b n +1 =(b n )2 ，则{a n }是等差数列且{b n }是等比数列的有（ ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．0组 4. 等差数列{a n }中，a n -m = A ，a n +m =B .等比
数列{b n }中，b n -m = A ，b n +m =B .则有（ ） A ．a n =A + B ，b n =A ·B
B ．a n =2B A +，b n =AB
C ．a n =2
B
A +，b n =±AB
D ．a 2n =A + B ，b 2n =AB 5.等比数列中，首项为98，末项为1
3
，公比为
2
3
，则项数n 等于 . 6.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等
于 .
7.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且
3698a a a =，则222426log log log a a a ++
28210log log a a ++= .
8.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2
n
a ② {}2n
a
③ 1n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
④{}
lg n a 【拓展延伸】
9．某地现有耕地１0000公顷，规划10年后
粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，
那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷
（精确到１公顷）？
（注：粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数）
10．如图，正方形ABCD 的边长为3a cm ，分
别作边AB ，BC ，CD ，DA 上的三等分点Ａ1，Ｂ1，Ｃ1，Ｄ1，得正方形Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，再分
别取边Ａ1Ｂ1，Ｂ1Ｃ1，Ｃ1Ｄ1，Ｄ1Ａ1上的三
等分点Ａ2，Ｂ2，Ｃ2，Ｄ2，得正方形Ａ2Ｂ2
Ｃ2Ｄ2，如此继续下去，得正方形Ａ3Ｂ3Ｃ3
Ｄ3…… （１）求边Ａ1Ｂ1，Ａ2Ｂ2，Ａ3Ｂ3的长；
（２）求正方形Ａn Ｂn Ｃn Ｄn 的边长．
学生质疑
教师释疑。